1 Números reales. y proporcionalidad. Informática básica SUMARIO QUÉ SABES DE ESTO?

1 ·

Números reales

y proporcionalidad.

Informática básica

SUMARIO

1.Los números reales 2.Notación científica 3.Proporcionalidad 4.Porcentajes 5.Radicales 6.Hardware y software 7.Redes informáticas CIENCIA RECREATIVA • Ese trascendente pi • Otro número trascendente • Truco de magia • La hoja de cálculo AULA DE INTERNET • Internet INVESTIGACIÓN DIGITAL • Pitágoras

¿QUÉ SABES DE ESTO?

1.

¿Sabes qué es un número irracional?

2.

¿Podrías calcular el 25 % de 2.300

€

?

3.

Cuando decimos que dos magnitudes son proporcionales, ¿qué pretendemos decir?

4.

La masa del Sol es:

1.989.100.000.000.000.000.000.000.000.000 kg

¿Sabes cómo expresarla de una manera más cómoda?

1 ·

Números reales

y proporcionalidad.

Informática básica

Con esta unidad comenzamos el curso repasando las propiedades y las operaciones de los números reales.

Aprenderemos a utilizar los porcentajes, la proporcionalidad, la notación científica y los radicales.

Es muy importante que manejes adecuadamente estos números ya que constituyen la base sobre la que

se desarrolla el resto de los contenidos del ámbito científico-tecnológico.

1. Los números reales

1.1. Distintos conjuntos de números

Los primeros números que conociste, los más sencillos, son los

núme-ros que utilizamos para contar: 0, 1, 2, 3, 4… Este conjunto de númenúme-ros

se denomina

números naturales

y se representa como

!

.

Otro conjunto de números que ya debes conocer es el de los números

negativos. Son números que utilizamos para representar infinidad de

situaciones: temperaturas inferiores a 0 ºC, deudas, disminuciones, etc.,

y se obtienen cuando a un número natural se le resta otro más grande

que él.

El conjunto que forman los números naturales junto con los negativos

se denomina

números enteros

ya que solo nos permiten realizar

divisio-nes exactas. Para representar este conjunto utilizamos la letra

"

.

Para poder resolver divisiones que no sean exactas necesitamos un

nuevo tipo de números: los

números racionales.

Estos números se

obtie-nen al dividir dos números enteros y también reciben el nombre de

frac-ciones.

Algunos ejemplos de fracciones serían:

, –

,

Observa que las fracciones también pueden ser negativas.

Otra forma de representar los números racionales consiste en utilizar

cifras decimales. Por ejemplo,

se puede escribir 0,4.

Se llama

fracción generatriz

de un número decimal a la fracción

irre-ducible que da como resultado ese número decimal.

• Fracción generatriz de un decimal exacto.

En el numerador se escribe el número decimal sin coma y, en el

deno-minador, la unidad seguida de tantos ceros como cifras decimales tenga.

Ejemplo: 0,125 =

=

• Fracción generatriz de un decimal periódico puro.

En el numerador se escribe el número sin coma hasta el final del

periodo y se le resta la parte entera; en el denominador se ponen

tan-tos nueves como cifras tenga el periodo.

Ejemplo: 1,3 =

=

=

• Fracción generatriz de un decimal periódico mixto.

En el numerador se escribe el número sin coma hasta el final del

periodo y se le resta la parte entera y el anteperiodo; en el

denomi-nador se ponen tantos nueves como cifras tenga el periodo y tantos

ceros como cifras tenga el anteperiodo.

Ejemplo: 2, 16 =

=

=

2

5

11

3

10

2

2

5

13 – 1

9

12

9

4

3

216 – 21

90

195

90

13

6

125

1.000

1

8

Números irracionales

Los números irracionales se caracte-rizan porque no pueden represen-tarse como el cociente de dos núme-ros entenúme-ros y escritos en forma decimal tienen infinitas cifras deci-males pero no son periódicos. El más conocido es el número π = 3,141592…, aunque hay otros que también se utilizan frecuentemente, como e = 2,718281… o φ = 1,618033… A este último se le conoce con el nombre de razón áurea.

Los números racionales junto con los números irracionales forman el con-junto de los números reales.Este conjunto incluye todos los números que has estudiado. Se representa con la letra #.

Números decimales

Decimales exactos:sus cifras deci-males son finitas, es decir, acaban en algún momento. Ejemplo: 4,25.

Decimales periódicos puros:

tie-nen infinitas cifras decimales que se repiten de manera regular. Ejemplo: 12,63636363… Su periodo es 63.

Decimales periódicos mixtos:

tie-nen infinitas cifras decimales pero no todas se repiten. Ejemplo: 5,1788888… Su periodo es 8.

!

Y

1.2. Operaciones con números reales

Vamos a repasar brevemente las operaciones básicas con los distintos

tipos de números reales.

!

Operaciones con números enteros

La

suma

de dos números enteros se resuelve siguiendo las siguientes

reglas:

• Para sumar dos números enteros del mismo signo, se suma el valor

absoluto de dichos números y se añade al resultado el signo de los

sumandos.

Ejemplo: (+4) + (+7) = +11

(–1) + (–6) = –7

• Para sumar dos números enteros de distinto signo, se restan sus

valo-res absolutos (el mayor menos el menor) y se añade al valo-resultado el

signo del número de mayor valor absoluto.

Ejemplo: (+5) + (–2) = +3

(–10) + (+4) = –6

Para

restar

dos números enteros solo tienes que sumar al primero el

inverso del segundo. Para obtener el inverso de un número entero

sim-plemente debes cambiarle el signo.

Ejemplo: (+4) – (+5) = (+4) + (–5) = –1

(–11) – (–3) = (–11) + (+3)= –8

Para

multiplicar

o

dividir

dos números enteros, basta con que

multipli-ques o dividas el valor absoluto de los números y añadas al resultado el

signo en función de las tablas del margen.

!

Operaciones con números racionales

Para sumar y restar fracciones debes conseguir que todas las fracciones

tengan el mismo denominador. Para ello buscarás la fracción

equiva-lente a cada una de ellas que tenga como denominador el mínimo

común múltiplo de todos los denominadores.

Observa estos ejemplos:

₊

₌

₊

₌

–

=

–

=

=

El producto de dos fracciones es otra fracción cuyo numerador y

deno-minador son el producto de los numeradores y denodeno-minadores de

dichas fracciones respectivamente.

Ejemplo:

_{· =}

₌

· 2 = ·

=

=

Para realizar el cociente de dos fracciones debes multiplicar la primera

por la inversa de la segunda. Para obtener la inversa basta con cambiar

el numerador por el denominador, y viceversa.

Ejemplo:

:

=

=

=

2

3

5

4

8

12

15

12

23

12

4

5

3

10

8

10

3

10

5

10

1

2

7

3

4

5

7 · 4

3 · 5

28

15

6

5

6

5

2

1

6 · 2

5 · 1

12

5

5

6

1

4

5 · 4

6 · 1

20

6

10

3

Valor absoluto

El valor absoluto de un número es el valor de dicho número sin tener en cuenta su signo.

Se representa con dos barras verti-cales.

Por ejemplo:

!+5!= 5 !–12!= 12

Reglas de los signos

para la división

Positivo : Positivo = Positivo Positivo : Negativo = Negativo Negativo : Positivo = Negativo Negativo : Negativo = Positivo

Reglas de los signos

para la multiplicación

Positivo · Positivo = Positivo Positivo · Negativo = Negativo Negativo · Positivo = Negativo Negativo · Negativo = Positivo

Brahmagupta

Brahmagupta, un matemático hindú del siglo VII, fue el primero en estu-diar las operaciones de los números enteros. Escribió reglas como esta: «El producto de un negativo y un po-sitivo es negativo, de dos negativos, positivo, y de positivos, positivo; el producto de cero y un negativo, y de cero y un positivo, o de dos ceros, es cero».

1. Indica escribiendo SÍ o NO en cada casilla si los siguientes números pertenecen a los distintos conjuntos de nú-meros:

2. Identifica los siguientes números decimales como decimales exactos, decimales periódicos puros, decimales periódicos mixtos o irracionales:

a) 0,3 c) 8,1457124… e) –4,6717171… g) –7,2

b) 12,55555… d) 7,2232323… f) 31,621622162221… h) 4,45454545…

3. Calcula el valor absoluto de los siguientes números enteros:

a) !+3! c) !0! e) !–1,5!

b) !–11! d) !–25! f) !+4,66!

4. Resuelve las siguientes sumas y restas de números enteros:

a) (+7) + (+5) f) (+4) – (+2) k) (–5) + (+7) – (–1) b) (+4) + (–3) g) (+5) – (–6) l) (+4) – (+14) + (–3) c) (–7) + (+1) h) (–1) – (+12) m) (+12) – (–1) – (+12) d) (–11) + (–3) i) (–10) – (–4) n) (–4) + (–1) – (–10) e) (–2) + (+10) j) (+6) – (+15) ñ) (–3) + (–17) + (+21) 5. Resuelve: a) 8 – 16 d) –9 – 11 + 5 g) –10 + 11 – 3 b) 5 + 1 – 7 e) 1 – 6 – 12 h) –5 + (–4) – (–1) c) 2 + (–4) – 12 f) –7 + 8 – (–3) i) 1 + (–15) – 20 + (–3)

6. Resuelve los siguientes productos y divisiones de números enteros:

a) (+5) · (–2) c) (+11) · (+3) e) (–24) : (–4) g) 35 : (–7) b) (–5) · (–4) d) (–6) · (+2) f) (–15) : (+3) h) 40 · 5 : (–8)

Naturales (N) Enteros (Z) Racionales (Q) Reales (R)

2,45151515151… –6 π 13 1 3 – 3 4 –0,5 0,333333… 0 12,41411411141111…

A C T I V I D A D E S

Y

7.Resuelve las siguientes operaciones combinadas de números enteros: a) 7 – (–3) · (–6) e) 11 – (1 – 9) : (–4) + 5

b) (–4) + (–12) : (+3) f) 12 – [(–3) · 2 –7] + 2 c) –15 · 2 – (–1) · 5 g) [10 + (–2)] : (–4) + 1

d) 8 + (10 – 6) : (–2) h) 3 – (–3) · (–1) + [(–3 + 1) : (–2)]

8.Resuelve las siguientes sumas y restas de números racionales:

a) + e) + +

b) – f) + –

c) +

"

–

#

g) +

"

–

#

– d) – 2 h) – –

"

–

#

+ 1

9.Resuelve las siguientes multiplicaciones y divisiones de números racionales simplificando el resultado siempre que sea posible:

a) · c) : e)

"

+

#

·

"

–

#

g)

"

+

#

:

"

+

#

b) · d) : 3 f)

"

–

#

·

"

–

#

h) 2 :

" #

10. Resuelve las siguientes operaciones combinadas de números racionales: a) –

"

+

#

· g) – +

$

–

"

–

#%

+ 1 b) – + 2 ·

"

–

#

h)

$

3 –

"

–

#%

: + c) · – : i) – + · – 2 d) · +

"

–

#

j)

$

– 1 +

"

–

#%

– e)

"

+

#

·

"

+

#

–

"

–

#

:

"

–

#

k) 3 –

$"

–

#

+ 1

%

:

"

–

#

f)

$"

– 1

#

+

%

+ l) – ·

"

+ – 1

#

+

:

11. Halla las fracciones generatrices de los siguientes decimales:

a) 4,3 d) 3,23 g) 4,316 j) 7,5 b) 3,14 e) 1,12 h) 6,18 k) 1,6 c) 5,2 f) 2,57 i) 8,521 l) 2,82 2 3 5 4 2 5 1 4 5 7 1 4 5 8 1 3 3 4 5 6 3 5 1 2 4 3 2 5 1 10 5 6 3 4 4 7 3 4 1 5 1 5 10 3 3 2 1 5 4 9 1 2 7 6 3 2 4 3 7 11 2 7 1 5 1 5 3 2 2 5 2 5 3 2 7 5 4 3 1 5 2 3 4 5 1 2 2 3 1 4 5 6 1 10 5 4 3 2 7 5 1 2 3 2 1 4 4 5 4 3 1 15 3 4 1 2 3 5 4 5 2 5 1 6 4 5 2 3 4 5 3 5 4 7 3 5 6 5 11 2

Para resolver operaciones combina-das en las que aparezcan multiplica-ciones, divisiones, sumas y restas debes recordar la siguiente jerarquía de operaciones: 1. Paréntesis y corchetes. 2. Multiplicaciones y divisiones. 3. Sumas y restas.

Recuerda

!

!

!

!

!

!

!

!

A C T I V I D A D E S

2. Notación científica

La notación científica es una de las principales aplicaciones de las

potencias de exponente entero. Se trata de una forma de escribir

núme-ros especialmente útil cuando trabajamos con cantidades muy grandes

o muy pequeñas.

De forma general, un número está expresado en notación científica si

está escrito de la siguiente forma:

a,bc

… · 10

n

donde

a

es una cifra del 1 al 9 que va seguida de los decimales necesarios

(

bc

…) y multiplicada por una potencia de base diez y exponente entero (es

decir,

n

puede ser positivo o negativo).

Veamos algunos ejemplos:

• La masa de un electrón, que como recordarás es una de las partículas

que componen el átomo, es evidentemente muy pequeña. Si la

expresamos utilizando la notación normal tenemos que:

m

electrón

= 0,00000000000000000000000000167 kg

Usando las propiedades de las potencias de base 10 podemos

expre-sar esta cantidad utilizando la notación científica:

m

electrón

= 1,67 · 0,000000000000000000000000001 kg = 1,67 · 10

–27

kg

• La distancia de la Tierra al Sol es de 150.000.000 km.

Utilizando la notación científica podemos expresarla como 1,5 · 10

8

_km.

Potencias de base 10

La notación científica se basa en las propiedades de las potencias de base 10 y exponente entero. Observa los valores que obtenemos cuando elevamos a 10 números posi tivos y negativos:

106_{= 1.000.000} 105_{= 100.000} 104_{= 10.000} 103_{= 1.000} 102_{= 100} 101_{= 10} 100_{= 1} 10–1_{= 0,1} 10–2_{= 0,01} 10–3_{= 0,001} 10–4_{= 0,0001} 10–5_{= 0,00001} 10–6_{= 0,000001}

a La distancia de la Tierra al Sol es de 150 millones de km, que en el Sistema In-ternacional (SI) y notación científica se-rían 1,50 · 1011_m.

En la mayor parte de las calculadoras científicas los números escritos en nota-ción científica se emplean usando la tecla EXP. Por ejemplo, para intro-ducir el número 3,4 · 108

usaríamos la siguiente combinación de teclas:

Notación científica en tu calculadora

Y

1.Expresa las siguientes cantidades en notación científica: a) 0,0000000005 b) 12.000.000.000 c) 0,002 d) 13.400 e) 45.000 f) 0,5 g) 57,001 h) 0,0000007 i) 450 · 103 j) 0,006 · 10–4 k) 12,5 · 10–19 l) 0,0055 · 1010

2.La masa del Sol, utilizando la notación científica, es de 1,9891 · 1030

kg. Si no utilizásemos este tipo de notación deberíamos escribir 1.989.100.000.000.000.000.000.000.000.000 kg. ¿Cómo tendría-mos que escribir las siguientes cantidades si no utilizásetendría-mos la nota-ción científica?

a) El diámetro de la Luna: 3,47 · 106_m

b) La masa de un protón: 1,67 · 10–27_kg

c) El número aproximado de estrellas de la Vía Láctea: 3 · 1011_estrellas

d) La población total de la Tierra: 6,6 · 109_personas

e) El diámetro de un glóbulo rojo: 7 · 10–6_m

f) La frecuencia de un horno microondas: 2,5 · 109_Hz

3.Resuelve las siguientes operaciones según los siguientes ejemplos, expresando el resultado en notación científica: (3,5 · 104_{) · (6 · 10}7_{) = (3,5 · 6) · (10}4_{· 10}7_{) = 21 · 10}11_{= 2,1 · 10}12 (8,4 · 106_{) : (4 · 10}3_{) = (8,4 : 4) · (10}6_{: 10}3_{) = 2,1 · 10}3 a) (5,1 · 106_{) · (2,5 · 10}2₎ b) (1,02 · 109_{) · (1,6 · 10}–4₎ c) (1,235 · 1011_{) : (5 · 10}2₎ d) (9,6 · 10–6_{) : (2,4 · 10}15₎

A C T I V I D A D E S

3. Proporcionalidad

La proporcionalidad es una de las aplicaciones más interesantes y de

mayor uso de los números racionales. Vamos a estudiar ahora las

dife-rentes relaciones de proporcionalidad que pueden existir entre distintas

magnitudes

.

3.1. Proporcionalidad directa

Existen muchos casos de dos magnitudes relacionadas de forma que al

aumentar una, la otra lo hace en la misma proporción. Veamos un

ejem-plo: cuatro amigos que van al cine deben pagar entre todos 28

€

para

adquirir las entradas. Si en lugar de 4 amigos fueran solo la mitad, es decir,

2, deberían pagar solo la mitad (14

€

). Si por el contrario fueran al cine el

triple de personas (12), el precio total de las entradas sería también el

tri-ple (84

€

). Podríamos resumir esta relación con la siguiente tabla:

Este es un ejemplo de dos magnitudes, las personas que van al cine y el

precio total de las entradas, que son

directamente proporcionales.

Como se puede apreciar en la tabla, si dividimos el precio de las

entra-das entre las personas que van al cine obtenemos siempre una misma

cantidad:

=

=

= 7

Se trata, en este caso, del precio de una sola entrada (7

€

_{por entrada).}

En general, diremos que dos magnitudes son directamente

proporcio-nales cuando al multiplicar (o dividir) una de ellas por un cierto número

la otra resulta multiplicada (o dividida) por el mismo número.

Siempre que dividamos dos magnitudes directamente proporcionales

obtendremos un mismo número que denominamos

constante de

pro-porcionalidad.

3.2. Regla de tres simple y proporciones

Otra forma de resolver problemas relacionados con magnitudes

directa-mente proporcionales es la denominada

regla de tres simple.

Se trata de

un procedimiento de cálculo utilizado para determinar el valor de una

de las magnitudes proporcionales cuando conocemos la otra.

Siguiendo con el ejemplo del cine, si sabemos que 4 personas pagan

28

€

_{, podríamos calcular cuánto pagarían 7 personas mediante una}

regla de tres:

4 personas

28

€

7 personas

x

€

Para calcular la incógnita, multiplicamos los números que la «rodean» y

dividimos por la cantidad situada «en frente», es decir:

x

_{= = 49}

€

También podría haberse calculado utilizando una proporción, que es

una igualdad entre fracciones:

₌

⇒

x

₌

_{= 49}

€

84

12

14

2

28

4

7 · 28

4

7 · 28

4

x

7

28

4

Personas

Precio de las entradas

4 28 € 2 14 € 12 84 € 4 personas 28 € 7 personas x€

aProceso para calcular una regla de tres simple.

Se

Y Pintores Tiempo empleado 6 4 12 2 1 24 6 pintores 4 h 8 pintores xh

aProceso para calcular una regla de tres inversa.

Se

multiplican Divide

3.3. Proporcionalidad inversa

Otra posible relación que podemos encontrar entre dos magnitudes es

la

proporcionalidad inversa.

En este caso la relación entre las dos magnitudes es tal que cuando una

de ellas aumenta un cierto número de veces, la otra disminuye ese

mismo número de veces.

Vamos a considerar, por ejemplo, la relación existente entre el tiempo

empleado en pintar una habitación y el número de pintores dedicados

a esa tarea.

Supongamos que 6 pintores completan el trabajo en 4 horas. Si el

número de pintores se duplica (12 pintores), el tiempo necesario sería

la mitad (2 horas). Si, por el contrario, el número de pintores se reduce

a una sexta parte (1 pintor), el tiempo que emplearía sería seis veces el

original (24 horas).

Veamos una tabla que resume esta relación:

Analizando los valores que adoptan ambas magnitudes en cada

columna, podemos descubrir que en el caso de la proporcionalidad

inversa la cantidad que se mantiene constante en todos los casos es el

producto de dichos valores:

6 · 4 = 12 · 2 = 1 · 24 = 24

Si te fijas, esta cantidad se corresponde en este caso con el tiempo que

emplearía un solo pintor en realizar el trabajo completo.

De manera general podemos establecer que dos magnitudes son

inver-samente proporcionales cuando al multiplicar (o dividir) una de ellas

por un determinado número la otra resulta dividida (o multiplicada) por

ese mismo número.

Siempre que multipliquemos los valores correspondientes de dos

mag-nitudes inversamente proporcionales obtendremos una cantidad fija que

denominamos

constante de proporcionalidad inversa.

3.4. Regla de tres inversa

Para calcular el valor de magnitudes directamente proporcionales

con-tamos con la regla de tres inversa.

Se trata de un procedimiento de cálculo, muy similar a la regla de tres

simple, en el que debemos colocar los valores conocidos y la incógnita

de forma similar. La diferencia está en la forma de calcular esta

incóg-nita. Veamos un ejemplo: sabemos que 6 pintores tardarían 4 horas en

terminar un determinado trabajo. ¿Cuánto tardarían 8 pintores en

reali-zar ese mismo trabajo?

6 pintores

4 horas

8 pintores

x

horas

En este caso multiplicamos los números que están en distinta fila que la

incógnita y dividimos por el que está en su misma fila:

x

= = 3 horas

6 · 4

1.Completa las siguientes tablas de magnitudes directamente proporcionales: a)

b)

c)

2.Calcula la constante de proporcionalidad para cada una de las tablas anteriores.

3.En el primer día de una campaña de donación se consiguen 28.000 mL de sangre gracias a la colaboración de 70 personas. Contesta las siguientes preguntas:

a) Si el segundo día colaboran 85 donantes, ¿cuánta sangre se conseguirá reunir? b) Si el tercer día se consiguen 22.000 mL de sangre, ¿cuántas personas han colaborado? c) Representa todos los resultados en una tabla.

d) Calcula la constante de proporcionalidad de esta relación. ¿Qué significado tiene?

4.Una empresa de reparto de mercancías entrega cada día 48.000 kg de alimentos utilizando sus 4 camiones.

a) El número de camiones y los kilogramos de comida, ¿son direc-tamente proporcionales?

b) ¿Cuántos kilogramos podrán repartir si se avería uno de los camiones y solo pueden utilizar tres?

c) Si en la empresa deciden comprar dos camiones más, ¿cuántos kilogramos de comida podrían repartir?

d) Si quieren ampliar su capacidad de reparto a 120.000 kg, ¿cuán-tos camiones necesitarán?

e) Calcula la constante de proporcionalidad de esta relación. ¿Qué significado tiene?

5.A Javier y a Celia les han regalado dos reproductores de mp3. Celia almacena 240 canciones que ocupan un total de 750 Mb.

a) ¿Cuántas canciones podrá guardar Javier si utiliza los 2 Gb de que dispone su reproductor? b) Calcula la constante de proporcionalidad de esta relación.

c) ¿Qué significado tiene esta constante?

6.Calcula la incógnita en cada una de las siguientes proporciones:

a)

=

d)

=

g)

=

b)

=

e)

=

h)

=

c)

=

f)

=

i)

=

40 15 16 x x 5 28 4 5 x 3 12 3 72 x 24 20 x 10 3 6 x 8 16 3 x 15 70 x 1 36 9 x 21 5 35 Magnitud 1 Magnitud 2 6 30 12 150 9 15 Magnitud 1 Magnitud 2 8 10 2 30 11,2 12,5 Magnitud 1 Magnitud 2 12 6 1,5 60 30 0,5

A C T I V I D A D E S

7.Los siguientes ejemplos pueden ser: • Relaciones de proporcionalidad directa. • Relaciones de proporcionalidad inversa.

• Otro tipo de relación no proporcional o ninguna relación. Indica en cada caso de qué se trata y justifica tu respuesta. a) El tiempo que estudias y la nota que obtienes en un examen.

b) El ancho de una estantería y los libros (del mismo tipo) que puedes colocar en ella.

c) La capacidad de un depósito de gasolina y el tiempo que necesitamos para llenarlo utilizando el mismo surtidor.

d) La velocidad a la que circula un automóvil y el tiempo que tarda en recorrer un trayecto determinado. e) Los megabytesde una tarjeta de memoria y las fotos que puedes almacenar en ella.

f) Las personas que montan en un ascensor y la velocidad a la que este asciende. g) Las personas que levantan un objeto y la fuerza que debe hacer cada una de ellas. h) La velocidad a la que se mueve un coche y la cantidad de combustible que consume.

8.Completa los siguientes cuadros de magnitudes inversamente proporcionales: a)

b)

c)

9. Un proyecto de ayuda a países subdesarrollados se ha financiado gracias a la colaboración de 5.000 personas. El promedio de la cantidad que ha aportado cada una de estas personas ha sido de 140 €.

a) Si hubiesen colaborado 7.500 personas, ¿cuánto dinero tendría que aportar cada una de promedio para desarrollar el mismo proyecto?

b) Si el promedio de la aportación personal para el mismo proyecto fuese de 350 €,

¿cuántas personas habrían colaborado? c) Representa todos los resultados en una tabla.

d) Calcula la constante de proporcionalidad de esta relación. ¿Qué significado tiene?

10. Varios amigos de Fouad le compran como regalo de cumpleaños una sudadera que cuesta 30 €.

a) Si quieren participar en el regalo 5 amigos, ¿cuánto pagará cada uno de ellos? b) Y si fuesen 6 amigos, ¿cuánto pagaría cada uno de ellos?

c) ¿Qué tipo de relación existe entre el número de amigos y el dinero que tiene que poner cada uno de ellos?

d) En una situación similar, seis amigos de Cristina le compran un regalo de cum-pleaños poniendo cada una de ellas 4 €. ¿Cuánto tendrían que poner si ese

mismo regalo lo hubiesen comprado entre 8 amigos?

Magnitud 1 Magnitud 2 8 5 10 4 16 20 Magnitud 1 Magnitud 2 12 10 24 30 2,4 2,5 Magnitud 1 Magnitud 2 15 7 3,5 30 0,5 7,5

Recuerda que para que dos mag-nitudes sean proporcionales no solo deben estar relacionadas sino que de-ben variar del mismo modo, es decir, que si una aumenta el doble la otra debe aumentar el doble también.

Recuerda

Y

A C T I V I D A D E S

4. Porcentajes

Es muy habitual oír a nuestro alrededor expresiones como las siguientes:

• Me compré una camisa que estaba rebajada un 15 %.

• La mejor audiencia de la noche del martes fue del 24,5 %.

• Hay que sumarle el 16 % de IVA.

• El riesgo de precipitaciones para el domingo es del 46 %.

Todas estas expresiones tienen algo en común:

los porcentajes.

Vamos

a conocer qué es un porcentaje y cómo se realizan cálculos elementales

con ellos.

4.1. ¿Qué es un porcentaje?

Un porcentaje es una fracción de denominador 100. Como recordarás,

en una fracción, el denominador nos señala las partes en las que

dividi-mos y el numerador las partes que cogedividi-mos. En el caso de un

porcen-taje, el denominador siempre es 100, de manera que cuando hablamos,

por ejemplo, del 25 %, estamos refiriéndonos a

.

Además, hay que entender que con un porcentaje expresamos una

pro-porción. Si decimos que en una clase ha aprobado el 75 % de los alumnos

no estamos diciendo que hay 100 alumnos de los cuales han aprobado

75, sino que esa es la proporción de aprobados: si hubiese 100 alumnos

habrían aprobado 75. Si por ejemplo estamos hablando de una clase de

24 alumnos, habrían aprobado 18 alumnos ya que:

=

4.2. Cálculo de porcentajes

Los porcentajes, al ser fracciones, también pueden expresarse en forma

de número decimal. Para calcularlos bastará entonces con multiplicar la

cantidad total por el número decimal asociado al porcentaje.

Ejemplos: 45 % de 1.200 = 0,45 · 1.200 = 540

50 % de 32 = 0,5 · 32 = 16

3 % de 700 = 0,03 · 700 = 21

De la misma forma, si queremos calcular qué porcentaje supone una

determinada cantidad respecto de un total, bastará con dividir esa

canti-dad entre el total y luego multiplicar por 100.

Ejemplo: 57 alumnos de un total de 380:

= 0,15

⇒

0,15 · 100 = 15 %

4.3. Porcentajes encadenados

Los porcentajes encadenados aparecen cuando calculamos varios

porcentajes de manera sucesiva sobre una misma cantidad. Utilizando

los números decimales estos cálculos son muy sencillos.

Ejemplos: Calcula el 15 % del 40 % de 240: 0,15 · 0,4 · 240 = 14,4

Calcula el 5 % del 20 % de 1.350: 0,05 · 0,2 · 1.350 = 13,5

25

100

18

24

75

100

57

380

Otras formas de calcular

porcentajes

Vamos a ver algunos ejemplos de cómo se calculan porcentajes utili-zando regla de tres o proporciones: • Calcula el 20 % de 760: 20 100 x 760 x = = 152 • Calcula el 15 % de 330: 15 100 x 330 x =15 . 330= 49,5 100 20 . 760 100

En una fracción el denominador nos indica las partes en las que dividimos la unidad, y el numerador, las que tomamos.

Y

4.4. Aumentos y disminuciones

Otra aplicación muy útil de los porcentajes son los aumentos y

dismi-nuciones porcentuales. Para calcularlos de una manera cómoda

recu-rrimos de nuevo a los números decimales. Observa los siguientes

ejemplos:

• Un ordenador costaba 850

€

_{y se le aplica una rebaja del 20 %.}

¿Cuánto cuesta ahora?

Como se ha rebajado un 20 %, ahora debemos pagar el 80 % del

pre-cio original (100 – 20 = 80). Lo calculamos:

0,8 · 850 = 680

€

_{es el nuevo precio del ordenador.}

• El número de suspensos de una clase, que era 8, se ha incrementado

en un 25 %. ¿Cuántos suspensos hay ahora?

Si se ha incrementado un 25 %, los suspensos ahora son el 125 % de

los que había antes (100 + 25 = 125). Lo calculamos:

1,25 · 8 = 10 suspensos hay ahora.

4.5. Interés simple y compuesto

Cuando depositamos nuestro dinero en un banco, este nos paga a

cam-bio un determinado porcentaje de ese dinero. De la misma forma,

cuando un banco nos presta dinero, debemos pagarle un porcentaje del

dinero que nos ha prestado. A ese porcentaje se le denomina

interés.

Si el interés se calcula siempre respecto a la cantidad original, se

deno-mina

interés simple.

Por ejemplo, si ingreso 1.000

€

_{en una cuenta}

ban-caria con un interés simple del 2 % anual (que se abona cada año), el

cálculo del dinero que me debe pagar el banco se hará siempre

res-pecto a esos 1.000

€

_{. De esta forma, cada año tendrán que abonarme}

el 2 % de 1.000

€

_:

0,02 · 1.000 = 20

€

debe pagarnos el banco cada año.

Si, por el contrario, el interés se calcula cada año respecto al dinero que

resulta al ir acumulando los intereses de otros años, se denomina

inte-rés compuesto.

En el caso de los 1.000

€

, si el interés es compuesto, la

situación sería:

•

El primer año:

mi dinero se incrementa un 2 %, es decir, es el 102 %

de lo que tenía. Lo calculamos:

1,02 · 1.000 = 1.020

€

•

Segundo año:

ahora calculamos el interés sobre los 1.020

€

que

hemos acumulado al sumar los intereses del primer año. De esta

forma nuestro dinero será ahora el 102 % de 1.020

€

:

1,02 · 1.020 = 1.040,40

€

De esta forma, cada año que pase debemos multiplicar de nuevo por

1,02 para obtener el dinero que vamos acumulando. Si consideramos,

por ejemplo, 10 años, tendríamos que multiplicar los 1.000

€

inicia-les por 1,02 diez veces, o lo que es lo mismo:

1,02

10

_{· 1.000 = 1.218,99}

_€

De esta forma podemos calcular directamente el dinero que

tendre-mos al cabo de cualquier número de años.

Interés compuesto

Podemos utilizar la siguiente fór-mula para calcular el interés com-puesto:

Cf= Ci· (1 + r)n

Donde:

Cfes el denominado capital final,

que es el dinero que tendremos transcurrido un determinado nú me ro de años.

Cies el capital inicial,es decir, el dinero que inicialmente ingresamos.

res el interés que nos abonan cada año escrito en forma decimal.

nes el número de años que estamos considerando.

1.Escribe los siguientes porcentajes en forma de fracción con denominador 100 y simplifica dicha fracción siempre que sea posible:

a) 25 % b) 30 % c) 12 % d) 75 %

2.Completa las siguientes expresiones de forma que queden expresadas como fracciones de denominador 100 y por lo tanto como porcentajes.

a)

=

=

_%

c)

=

=

%

e)

=

=

%

b)

=

=

%

d)

=

=

%

f)

=

=

%

3.Calcula los siguientes porcentajes:

a) El 10 % de 360 c) El 25 % de 48 e) El 5 % de 845 g) El 1,5 % de 70 b) El 80 % de 170 d) El 2 % de 600 f) El 32 % de 15 h) El 24,7 % de 471

4.Describe las siguientes situaciones utilizando porcentajes:

a) En una clase de 24 alumnos, 6 de ellos han suspendido Educación Física.

b) En una ciudad de 180.000 habitantes, 9.000 personas no reciclan correctamente la basura. c) En un edificio de 60 viviendas, 15 están deshabitadas.

d) En una empresa en la que trabajan 2.600 empleados, 923 tienen menos de 35 años.

e) David ha sido el autor de 12 de los 50 goles que ha marcado su equipo de fútbol esta temporada. f) Alicia ha gastado 26,65 €de los 130 que tenía ahorrados.

5.Daniel tiene 12 de los 20 CD que componen la discografía de su grupo favorito: a) ¿Qué porcentaje suponen los discos que tiene?

b) ¿Qué porcentaje de discos le faltan para completar la discografía de ese grupo?

6.Rubén ha ganado el 75 % de los 12 partidos de ping-pong que ha jugado en un campeonato de su instituto. ¿Cuántos partidos ha perdido?

7.Calcula los siguientes porcentajes encadenados utilizando números decimales:

a) El 20 % del 50 % de 490 c) El 40 % del 2 % de 120 e) El 30 % del 80 % de 3.000 b) El 15 % del 10 % de 1.300 d) El 18 % del 4,5% de 900 f) El 80 % del 30 % de 3.000

8.Calcula el total de alumnos de cada una de las clases de 4.º de ESO de un instituto utilizando los siguientes datos: a) En 4.º A hay 12 chicas que representan el 50 % del total de alumnos.

b) En 4.º B, 21 alumnos aprobaron el último examen de Matemáticas. Son el 75 % del total. c) En 4.º C, 8 alumnos no participan en el viaje de fin de curso al que sí van el 60 % de la clase.

9.En una tienda de informática, el 40 % de los ordenadores que se vendieron el último mes eran portátiles. De estos, el 15 % se ofertaban con una impresora de regalo. Sabiendo que en total se vendieron 250 ordenado-res, ¿cuántas impresoras se regalaron ese mes?

10. Jesús ha conseguido incrementar su nota media en un 15 %. Si su nota media era 6,3, ¿cuál es su nota actual? 100 1 20 100 2 25 100 1 5 100 3 20 100 4 25 100 3 5

A C T I V I D A D E S

Y

11. En un concesionario de coches ofrecen un determinado modelo con una rebaja del 10 %. El precio de ese automóvil es de 17.000 €+ IVA.

a) Calcula primero el precio del coche sin rebaja cuando le sumamos el IVA (16 %). b) Si a ese precio le aplicamos ahora la rebaja del 10 %, ¿cuánto cuesta

final-mente el vehículo?

c) Repite el cálculo pero ahora aplica primero la rebaja y añade a ese precio reba-jado el 16 % de IVA. ¿Ha influido el orden en el resultado?

12. Calcula el resultado de los siguientes aumentos y disminuciones:

a) El número de aprobados en Ámbito Científico-Tecnológico, que en la evalua-ción pasada fue de 8 alumnos, ha disminuido en un 25 %. ¿Cuántos alumnos han aprobado esta evaluación?

b) En un folleto de publicidad, el precio de un ordenador es de 700 €+ IVA.

¿Cuál es el precio real?

c) Una camisa que cuesta 20 €ahora se encuentra rebajada en un 20 %. ¿Cuál

es su precio actual?

d) A Patricia le suben el sueldo un 15 %. Si antes cobraba 1.200 €, ¿cuánto cobra

ahora?

13. Fran ha conseguido reducir en un 7 % el tiempo que empleaba en correr 100 m. Sabiendo que antes tardaba 14,6 s:

a) ¿Cuál es su marca actual?

b) ¿En cuántos segundos ha logrado reducir su récord personal?

14. Lidia ingresa 200 €en una cuenta bancaria que le genera un interés simple del 2 %.

Completa la siguiente tabla calculando el dinero que tendrá al cabo de los años:

15. Completa ahora la siguiente tabla suponiendo que las condiciones en las que Lidia ingresa su dinero son de un 2 % de interés compuesto:

16. Álvaro decide ingresar 560 €en un fondo de inversión que le proporciona un interés compuesto del 5,5 %.

a) ¿Cuánto dinero tendrá al cabo de un año? b) ¿Y cuando pasen 5 años?

17. Javier ingresa 200 €en una cuenta con un interés compuesto del 1,5 %. Cuatro años después, ingresa en la

misma cuenta 100 €más. Completa la siguiente tabla indicando el dinero que tiene en la cuenta cada año:

Tiempo Dinero

1 año 2 años 3 años 4 años 5 años 10 años

Tiempo Dinero

1 año 2 años 3 años 4 años 5 años 10 años

Tiempo Dinero

1 año 2 años 3 años 4 años 5 años 10 años

IVA: Impuesto sobre el

Valor Añadido

El IVA es un impuesto indirecto que se aplica, salvo algunas excepciones, siempre que se compra algún bien o servicio.

Esto quiere decir que siempre que alguien compra algo o contrata algún servicio, hay que añadirle al precio inicial un determinado porcentaje que en España puede ser: 16 % (es el tipo general), 7 % (la mayoría de los alimentos, hostelería, trans-portes…) o 4 % (alimentos básicos como el pan, la leche, fruta, etc., libros, material escolar…).

5. Radicales

Se denomina

radical de índice

n

de un número

a

, o

raíz

n

-ésima

de un

número

a,

el número que elevado a

n

nos da

a

. De esta forma, diremos

que

b

es la raíz

n-

ésima de

a

siempre que

b

n

₌

_a:

Veamos varios ejemplos:

2

_&

'

₉

₌

_&

'

₉

₌

_!

_{3, ya que}

_"

₊₃

_#

2

_{= 9 y}

_"

_–3

_#

2

_{= 9}

3

&

'

_–8

_{= –2, ya que}

"

_–2

#

3

_{= –8}

5.1. Producto y división de radicales

A la hora de operar con radicales resultan muy útiles las siguientes

expresiones que nos permiten convertir cualquier radical en una

poten-cia de índice fraccionario:

n

_&

'

_a

₌

_a

_y

n

_&

''

_a

m

₌

_a

Ejemplo:

3

&

'

₁₁

_·

&

'

₁₁

'5

_{= 11}

·

_{11 = 11}

+

= 11

5.2. Extracción de factores de un radical

Utilizando la expresión que convierte los radicales en potencias,

pode-mos simplificar determinadas expresiones extrayendo factores de una

raíz.

Ejemplo:

3

&

'

₁₁

5

_{= 11 = 11}

+

= 11

·

11 = 11 ·

3

&

'

₁₁

2

En resumen, cada vez que tengamos

n

factores iguales dentro de una

raíz

n

-ésima, podemos sacar estos factores como uno solo que

multi-plica la raíz. Veamos algunos ejemplos:

Ejemplos:

3

_&

'

₅

4

_{= 5}

3

_&

'

₅

_&

'''

₂

3

_{· 5}

_{= 2 ·}

_&

'''

_{2 · 5}

_{= 2}

_&

'

₁₀

5

_&

'

₇

9

_{= 7}

5

_&

'

₇

4 4

_&

'

₃

10

_{= 3 · 3 ·}

4

_&

'

₃

2

_{= 9}

4

_&

'

₃

2

5.3. Suma y resta de radicales

Para sumar y restar radicales seguimos los siguientes pasos:

a) Descomponemos en factores los radicandos.

b) Extraemos los factores que sea posible.

c) Sumamos o restamos solo los radicales que tengan el mismo índice

y el mismo radicando.

Observa los siguientes ejemplos:

•

&

'

27

+ 10

&

'

12

=

&

'

3

3

_{+ 10}

_&

'''

₂

2

_{· 3}

_{= 3}

_&

'

₃

_{+ 10 · 2}

_&

'

₃

_{= 3}

_&

'

₃

_{+ 20}

_&

'

₃

_{= 23}

_&

'

₃

•

&

'

45

+ 3

&

'

20

– 2

&

'

63

=

&

'''

3

2

_{· 5}

_{+ 3}

&

'''

₂

2

_{· 5}

_{– 2}

&

'''

₃

2

_{· 7}

₌

= 3

&

'

5

+ 3 · 2

&

'

5

– 2 · 3

&

'

7

= 3

&

'

5

+ 6

&

'

5

– 6

&

'

7

= 9

&

'

5

– 6

&

'

7

n

_&

'

_a

₌

_b

_{siempre que}

_b

n

₌

_a

m n 1 n 17 6 5 2 1 3 5 2 1 3 2 3 3 3 2 3 3 3 5 3

a

n

aPartes de un radical.

Posibles resultados…

Siempre que podemos calcular una raíz de índice par, obtenemos dos soluciones, ya que el resultado puede ser positivo o negativo. Por otra parte, las raíces de índice par de números negativos no tienen solu-ción dentro de los números reales ya que no existen números reales que multiplicados por sí mismos un nú -mero par de veces den un resultado negativo.

Esto no sucede con las raíces de índice impar, ya que sí es posible encontrar números reales que eleva-dos a un exponente impar den resul-tados negativos.

ÍNDICE

RADICAL

Y

1.Calcula las siguientes raíces cuadradas:

a)

&

'64 d)

&

'10'.00'0 g)

&

'256 j)

&

'– 64

b)

&

'1.600' e)

&

'121 h)

&

'' k)

&

'810''.000

c)

&

'' f)

&

'–4 i)

&

''–100 l)

&

''

2.Calcula las siguientes raíces:

a) 3

&

'_{27 d)} 3

&

''_{–216 g)} 4

&

'' _j) 11

&

'_–1

b) 4

&

'_{16 e)} 5

&

'' _h) 5

&

''_{–243 k)}

&

'₁

c) 3

&

'' _f) 4

&

''_{–81 i)} 8

&

''_{–216 l)} 6

&0

'

3.Efectúa y simplifica: a)

" #

6

c)

&

'3_&'_{'4 e)}

&

''_3&'8

b) 3

&

''_{2&'3 d)} 4

&

'5

&

''_{64 f)}

"

&

'_&'_'5

#

4

4.Efectúa y simplifica:

a) 2

&

'5·

"

7

&

'5

#

2 c)

"

4

&

'3

#

2 e)

"

2 +

&

'3

#

2 b)

"

5

&

'

#

2 d)

"

&

'

#

2 f)

"

&

'5–

&

'2

#

2

5.Resuelve las siguientes operaciones con radicales: a) 3

&5

'2_· 11

&5

'3 _c) 3

&

' _·5

&

'

"

'

#

2

e) 7 · 3

&

'₇2 _g)

"

5

&6

' · &6'

#

4

b) 3

&

'₃5_: 4

&

'₃3 _d) 5

&

'_{2 :} 4

&

'₂3 _f) 4

&

'₁₁7_:

"

3

&

''₁₁2

#

5 _h)

&

''

&

3'_{2: 2}

6.Resuelve las siguientes sumas y restas de radicales:

a)

&

'20+

&

'45 c) 5

&

'54– 10

&

'600 e) 10

&

'3– 2

&

'405+ 7

&

'108

b) 2

&

'28–

&

'175 d) 7 3

&

'_{243 + 2} 3

&

'_{72 f) 11}

&

'_{50– 2}

&

'_{18+ 6}

&

'₇₂

1 25 4 9 16 81 625 16 32 243 125 8 3

&

'₄

&

'32 3 2 1 5 2 x 5 4 4 5

A C T I V I D A D E S

6. Hardware y software

La relación entre ordenadores y matemáticas ha sido siempre muy

estrecha. Las primeras computadoras, que se construyeron durante la

década de 1940, se utilizaban principalmente para realizar cálculos

matemáticos.

Hoy en día los ordenadores están presentes en casi todas nuestras

actividades y por supuesto siguen teniendo una gran utilidad a la hora

de resolver problemas matemáticos. Por ello vamos a aprender algo

sobre los elementos básicos que determinan el funcionamiento de un

ordenador.

6.1. Sistema operativo

Es el software que nos permite comunicarnos con nuestro ordenador.

Mediante el sistema operativo podemos, entre otras cosas, controlar

los recursos de nuestro ordenador (CPU, memoria, periféricos…),

crear, manejar y borrar archivos y carpetas y ejecutar y utilizar otros

programas.

Los sistemas operativos más habituales son Windows, Linux y MacOS.

En los tres casos podemos encontrar distintas versiones que

continua-mente van evolucionando y mejorando sus prestaciones.

6.2. Instalación de programas informáticos

El sistema operativo nos permite instalar y utilizar otros programas o

aplicaciones en nuestro ordenador. En algunos casos debemos adquirir

una licencia para poder utilizarlos legalmente (software de pago), y en

otros, sus autores permiten su uso gratuito (software gratuito).

La mayor parte de las aplicaciones que podemos instalar en nuestro

equipo cuentan con un denominado «asistente de instalación». Se trata

de un pequeño programa que nos ayuda a instalar correctamente la

aplicación indicándonos los pasos que debemos seguir e incluso

anali-zando si nuestro equipo cumple los requisitos necesarios para que el

programa funcione correctamente una vez instalado. Generalmente,

para completar la instalación de un programa será necesario reiniciar

nuestro ordenador.

6.3. Mantenimiento básico del sistema

Existen algunos conceptos que debemos conocer para mantener

nues-tro equipo en condiciones óptimas de funcionamiento:

• Actualizaciones:

todos los sistemas operativos y muchas aplicaciones

informáticas son continuamente mejorados por sus autores. Hoy en

día es habitual que estos programas se actualicen de forma

automá-tica a través de la conexión a internet de nuestro equipo. En algunas

ocasiones es necesario activar esta posibilidad.

• Utilidades de disco:

existen algunas herramientas que nos ayudan a

mantener nuestro disco duro bien organizado, lo que agiliza el

fun-cionamiento de nuestro equipo. Las más importantes son las que nos

permiten

desfragmentar

nuestro disco duro y las que eliminan

archi-vos temporales que ya no se utilizan.

• Antivirus y software de protección:

son programas que defienden

nuestro ordenador del ataque de virus informáticos y otros programas

maliciosos como los denominados troyanos, gusanos, etc.

Software libre

El software libre es aquel que se encuentra disponible para que cual-quier usuario pueda utilizarlo, copiarlo, modificarlo y distribuirlo. Esto implica que el autor debe per-mitir el acceso al código fuente de su programa, lo que le diferencia de las compañías informáticas que no elaboran software libre.

No hay que confundir software libre con software gratuito. Aunque muchas veces el software libre se distribuye sin cobrar ningún precio, no siempre es así.

Hardware:

principales componentes

de un ordenador

1. Monitor 2. Placa base 3. Procesador 4. Puertos ATA 5. Memoria RAM 6. Ranuras de expansión 7. Fuente de alimentación 8. CD/DVD 9. Disco duro 10. Teclado 11. Ratón 1 6 2 3 4 5 8 7 9 10 11

Y

1. Todos los personajes de la lista de la izquierda han tenido una relación importante con la historia de la informá-tica. Busca la información necesaria y une mediante flechas cada uno de ellos con uno de los elementos de la lista de la izquierda:

1. Tim Berners-Lee a. Computadora Z3

2. Gary Kildall y Tim Paterson b. World Wide Web(WWW)

3. Ada Lovelace c. Primer lenguaje de programación

4. Konrad Zuse d. Sistema operativo MS-DOS

2. Completa la tabla ordenando cronológicamente los siguientes sistemas operativos e indicando la fecha de su aparición en cada caso. Para ello puedes consultar el siguiente enlace:

http://es.wikipedia.org/wiki/Cronolog%C3%ADa_de_los_Sistemas_Operativos

Apple DOS 3.1 MS-DOS Windows Vista Linux OS/2

Windows XP MacOS 7.6 Microsoft Windows 1.0 Windows 3.1 Unix

3. Busca información sobre los siguientes sistemas operativos y aplicaciones informáticas y completa la información de la tabla, indicando para qué se utilizan y si son programas comerciales o software libre:

4. Busca información en internet y explica con tus propias palabras en qué consiste desfragmentar un disco duro y cuál es su utilidad.

Sist. operativo

Fecha 1969

Sist. operativo

Fecha 2007

Aplicación informática Comercial Libre Tipo de programa

OpenOffice Writer X Procesador de textos

Microsoft Messenger Microsoft Word Mozilla Firefox Windows Vista Adobe Photoshop Linux Pidgin MacOS X OpenOffice Calc Microsoft Explorer Gimp Microsoft Excel

A C T I V I D A D E S

7. Redes informáticas

En la actualidad, la mayor parte de los ordenadores con los que

tra-bajamos comparten recursos con alguna red informática. Los

ordena-dores del aula de Informática de tu instituto seguramente estarán

conectados entre sí formando una red. Además, la mayor parte de los

ordenadores cuentan ya con una conexión a internet, que no es sino

otro tipo de red.

Una red informática es un sistema de ordenadores conectados entre sí

de forma que puedan compartir recursos, ya sean de hardware (por

ejemplo, una impresora) o de software (archivos, aplicaciones…).

La conexión entre los ordenadores o dispositivos que conforman la red

puede establecerse con diversos medios. Los más habituales son: cable,

infrarrojos, WiFi y Bluetooth.

7.1. Tipos de red

Aunque hay numerosas formas de clasificar las redes, nosotros vamos a

estudiar los tipos de redes más habituales de acuerdo a su alcance:

LAN

(Local Area Network):

son redes de tamaño reducido, como la que

podemos encontrar en un aula de Informática o entre los equipos de

una casa particular. También sería una red de este tipo la que se

esta-blece entre todos los ordenadores de un edificio de oficinas o incluso

entre varios edificios.

MAN

(Metropolitan Area Network)

y WAN

(Wide Area Network):

son redes de

amplio alcance que se establecen en áreas geográficas bastante

exten-sas permitiendo la comunicación entre ordenadores situados en una

misma ciudad (MAN) o en distintas ciudades (WAN).

Internet: es una enorme red informática formada por la conexión de

redes más pequeñas que conecta millones de ordenadores de todo

el mundo. Esta red pone a nuestra disposición numerosos servicios,

entre los que destacan la

World Wide Web

(WWW, un servicio de

infor-mación basado en documentos que incluye elementos multimedia

como imágenes, animaciones, vídeos, etc.), el correo electrónico

(e-mail) y la mensajería instantánea con programas como Windows Live

Messenger, Google Talk, Yahoo Messenger, Pidgin (antiguo Gaim)...

7.2. Recursos compartidos en una red local

A la hora de compartir y utilizar recursos de una red local vamos a

encontrarnos con diferentes opciones de seguridad:

• Restricciones de acceso. El acceso puede estar limitado a una lista

determinada de usuarios o puede requerir una contraseña.

• Tipo de acceso. De solo lectura o que permita la modificación de

archivos y carpetas.

Siempre que compartas recursos de tu equipo en una red local tendrás

que elegir en qué condiciones lo vas a hacer. Los sistemas operativos

más habituales (Windows XP, Vista, MacOS o Linux) nos permiten

esta-blecer estas condiciones para cada uno de los recursos que

comparti-mos (incluidos los recursos de hardware) simplemente modificando sus

propiedades.

WAN

LAN

Recursos compartidos

En Windows los recursos comparti-dos de cada equipo muestran su icono con una mano debajo que los sujeta,

Y

1. Busca información sobre los distintos tipos de conexiones inalámbricas entre ordenadores y dispositivos (infrarro-jos, WiFiy Bluetooth) y contesta las siguientes preguntas:

a) ¿Qué significan las siglas WiFi?

b) ¿Cuál es el origen del término Bluetooth?

c) ¿Qué tipo de conexión tiene más alcance: WiFio Bluetooth?

d) ¿Cuál de ellas requiere que los equipos tengan comunicación visual entre sí? e) ¿Cuál es el método más utilizado para establecer conexiones en internet?

2. Dada la innumerable cantidad de recursos que nos ofrece internet, se hace imprescindible disponer de una manera eficiente de buscar los documentos y la información que nos interesa. Para ello contamos con la ayuda de los buscadores. Busca información sobre estas aplicaciones y contesta las siguientes preguntas:

a) ¿Qué es exactamente un buscador de internet?

b) Cita el nombre de tres buscadores. ¿Cuál es el más utilizado actualmente?

c) Enumera alguno de los servicios que podemos encontrar en «búsqueda avanzada» de cualquier buscador.

3. Pregunta o investiga si el ordenador que usas en tu aula forma parte de una LAN. De ser así, realiza las siguientes tareas:

a) Crea una carpeta en el disco duro de tu ordenador. Llámala Ejemplo 1.

b) Dentro de esta carpeta crea una subcarpeta y llámala

Ejemplo 2.Dentro de esta carpeta coloca un docu-mento de texto cualquiera.

c) Utilizando las propiedades de la carpeta Ejemplo 1, permite que otros usuarios de la red LAN puedan acceder a ella pero no habilites la opción de modifi-car los archivos. Si el sistema operativo con el que estás trabajando es Windows XP deberás acceder a la ventana de Propiedadesde la carpeta pulsando con el botón derecho del ratón sobre ella. Dentro de esta ventana encontrarás la casilla que habilita esta opción en la pestaña de Compartir,dentro de las opciones de Uso compartido y seguridad de red.

d) Si el sistema operativo que utilizas te lo permite, cam-bia el nombre con el que los demás usuarios verán la carpeta Ejemplo 1. En Windows XP puedes cambiar este nombre en la casilla Recurso compartido.

e) Con ayuda de un compañero situado en otro ordenador contesta las siguientes preguntas: • ¿Tiene acceso tu compañero a la carpeta Ejemplo 1? ¿Con qué nombre aparece en su equipo? • Y la carpeta Ejemplo 2, ¿puede acceder a ella desde su ordenador?

• ¿Puede abrir el documento de texto que has colocado dentro de la carpeta Ejemplo 2? • ¿Puede tu compañero modificar este archivo desde su ordenador?

4. Utilizando las mismas opciones que has usado en la actividad 2, crea en tu disco duro una carpeta, denominada

Para compartir,dentro de la cual haya dos subcarpetas. La primera, llamada Solo lecturaen la que los docu-mentos que incluya no se puedan modificar en red. La segunda, llamada Para modificar,en la que se puedan modificar los archivos que contenga.

ACTIVIDADES

FINALES

1.

Efectúa los siguientes cálculos:

a)

7 · (–3) + 2 + 4 : (–2) + (–9)

e)

(–72 : 12) – 3 + (–5) –1

b)

5 + (–5) · (–3) – [4 · (–6) + (8 + 9 : 32_)]

_f)

_{6 + 4 · (–2) + (16 : 2}2_{) + (–3)}

c)

[(4 · 7) : (–2)] – 10

g)

[(5 · 2) : (8 : 4) ] · (–7) – (+2)

d)

15 : (–7 + 4) +3 – 16 : 22

_h)

_{20 : (–5 + 3) · (–2)}2_{+ (–1)}

2.

Realiza las siguientes operaciones:

a)

– +

c)

1 + 2 +

e)

· +

b)

"

: 2

#

·

d)

" #

2

f)

" #

–3

3.

Resuelve las siguientes operaciones con potencias:

a)

28_{· 2}

_c)

" #

7 ·

" #

–2

e)

"–13#4_{· "–13#}4

_g)

$

" #

3 ·

" #

8

%

2

b)

116_{· 11}5

_d)

"

_–

#

–10 :

"

–

#

7

f)

" #

5:

" #

–5

h)

$"–4#–1_{: "–4#}–11_%7

4.

Resuelve las siguientes operaciones con raíces:

a) 5_&'₃2_·10_&'_{3 d) "}11_&'_{5 :}6_&'₅5_#2 _{g) 2}

&

'₆₃₊₁₀

&

'₂₈

b) 142_{: &'14 e)} 3

&

'

&

''₅2'_·4

&

''₅3 _{h) 7} 3

&

'_80–2 3

&

'₂₇₀

c) 5

&

' ·3

&

'

"

#

2 f) 3

&

'

"

#

2

:

&

' i) 5

&

'8+33

&

'98–5

&

'12

5.

Expresa los siguientes números utilizando la notación científica:

a) La velocidad de la luz: 300.000.000 m/s.

b) La distancia media entre la Tierra y el Sol: 150.000.000.000 m.

c) Tamaño de una célula: 0,00002 m.

d) Los espectadores de un estadio de fútbol: 80.000 espectadores.

e) La edad aproximada del Sol: 4.500.000.000 años.

6.

Utilizando la calculadora resuelve las siguientes operaciones y expresa el resultado en notación científica:

a) (2 . 10

3

_{) . (4 . 10}

7

_{) =}

b) (3 . 10

6

_{) . (8 . 10}

9

_{) =}

c) (7 . 10

7

_{) . (6 . 10}

3

_{) =}

d) (9 . 10

2

_{) . (5 . 10}

2

_{) =}

e) (6 . 10

4

_{) . (6 . 10}

8

_{) =}

4 7 6 5 2 3 2 4 1 2 5 9 6 8 15 3 1 –2 3 –4 –2 5 –5 10 7 –3 3 5 3 5 5 12 5 12 4 3 4 3 11 2 11 2 3 2 3 2 1 2 1₂

Y

7.

Completa las siguientes tablas de magnitudes directamente proporcionales:

a)

b)

8.

Completa las siguientes tablas de magnitudes inversamente proporcionales:

a)

b)

9.

Calcula la constante de proporcionalidad para cada una de las relaciones de las actividades 7 y 8.

10.

Una bombilla encendida durante 4 horas consume 0,24 kWh de energía:

a) ¿Cuánto consumirá esa misma bombilla encendida durante seis horas?

b) Si sabemos que ha consumido 0,6 kWh, ¿cuánto tiempo ha estado encendida?

c) Calcula la constante de proporcionalidad de esta relación. ¿Cuál es su significado?

11.

Francisco compra habitualmente botes de champú con 500 mL de capacidad que le duran un mes y medio.

Si debido a una promoción compra un bote de champú que incluye un 15 % más gratis:

a) ¿Qué capacidad tiene el bote de champú de esa promoción?

b) ¿Cuánto le durará?

c) Calcula la constante de proporcionalidad de esta relación. ¿Cuál es su significado?

12.

Si para decorar el gimnasio de su instituto 15 alumnos han tardado 2 horas y media.

a) ¿Cuánto habrían tardado 20 alumnos?

b) ¿Cuántos alumnos tendrían que haber colaborado para decorar el gimnasio en tan solo 1 hora y media?

13.

Halla los 3/5 del número 7.430 y escríbelo en notación científica.

14.

Tengo que pagar una factura de 600 euros. Si me rebajan el 5%, ¿qué cantidad debo pagar?

Magnitud 1 Magnitud 2 45 9 90 27 15 12 Magnitud 1 Magnitud 2 8 22 2 11 16,5 9 Magnitud 1 Magnitud 2 3 20 6 2 60 12 Magnitud 1 Magnitud 2 2 10 35 7 4 52,5

CIENCIA

RECREATIVA

Pero, ¿qué es pi? En la escuela aprendemos que la longitud de la curva más

primi-tiva y regular que existe, la circunferencia, es la longitud de su diámetro

multiplicado por pi; o que la superficie de un terreno circular contiene

pi veces el cuadrado del radio.Y todo esto, ¿qué significa?

Sencilla-mente, que si trazas una circunferencia con radio 1 m, el área

limi-tada mide pi m

2

_{. Semejante y poco intuitivo número ha sido}

conocido desde siempre, ya que la circunferencia interesó y ha

sido objeto de «persecución» a lo largo de los siglos. Y es que

pi, para ser tan común, goza de atributos muy

particula-res: es irra cional, lo que significa que tiene infinitas cifras

decimales no periódicas, o dicho de otro modo,

siempre será un desconocido; y además es

trascen-dente, es decir, no es la solución de ninguna

ecua-ción con fracciones.

Con la llegada de los ordenadores fue posible

calcu-lar un número anteriormente inimaginable de cifras

de pi.

William Shanks pasará a la historia como el más

perseverante calculador de cifras de pi. Pasó 20

años calculando sus primeros 707 decimales. Pero

en 1945, la computadora ENIAC descubrió que

había cometido un error en el dígito 528 y... en

todos los siguientes. En 1949, ENIAC invirtió 70

horas de procesamiento para calcular las primeras

2.000 cifras del número pi.

El siempre inteligentísimo y brillante Mr. Spock, de la serie futurista

Star Trek, consiguió salvar a la tripulación de la maldad de una diabólica

compu-tadora. Le ordenó que calculara el valor de pi, y como este es irracional, la

com-putadora se quedó presa del proceso y... ellos escaparon.

Otro número trascendente

El número

e

es uno de los llamados números trascendentes, como pi, así que es

infinito, no periódico y no se puede expresar como la raíz de una fracción. Sus

primeras cifras son 2,718281...y se le puede encontrar en muchos fenómenos

na-turales.

Truco de magia

Si sabemos un poco de matemáticas, no nos costará hacer trucos de magia. Así

podéis pedir a un amigo que piense un número cualquiera, luego que lo

multi-plique por 2. A continuación, pedidle que sume 8 a ese resultado y luego que lo

divida entre 2; por último, que sume 6 al total y que diga el número que ha

ob-tenido. Inmediatamente podrás decir a tu amigo el número que había pensado

al principio.

Esto no es magia, sino matemáticas.