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5. Encontrar la matriz estándar de las siguientes transformaciones lineales, definidas por, x 2 = x 1 x 1 + 3x 2. x 1 x 2

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Academic year: 2021

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5. Encontrar la matriz est´andar de las siguientes transformaciones lineales, definidas por, T(x1, x2) = (x2,−x1, x1+ 3x2, x1−x2)

por notaci´on, podemos reescribirlo as´ı,

T x1 x2 =     x2 −x1 x1+ 3x2 x1−x2    

si buscas en el libro que me dijiste en la p´agina 265, encontrar´as el procedimiento, lo primero es considerar las columnas de una matriz identidad con el orden del dominio, es decir 2×2, entonces,

T 1 0 =     (0) −(1) (1) + 3(0) (1)−(0)     =     0 −1 1 1    

ahora con la segunda columna de la matriz identidad, entonces,

T 0 1 =     (1) (−0) (0) + 3(1) (0)−(1)     =     1 0 3 −1    

entonces, utilizando aT(e1), T(e2) como vectores columna, obtienes que,

A=     0 1 −1 0 1 3 1 −1    

entonces queda sobreentendido que,

T(x) =A x1 x2 =     x2 −x1 x1+ 3x2 x1−x2    

que es respectivamente aT(x). voy a hacer el siguiente, y los dos restante los vas a hacer tu mi amor. T(x1, x2, x3, x4) = (7x1+ 2x2−x3+x4, x2+x3,−x1)

nuevamente, ahora debemos considerar la matriz identidad de orden del dominio es decir 4×4, y hallar el valor de cada vector columna en la transformada, entonces,

T     x1 x2 x3 x4     =   7x1+ 2x2−x3+x4 x2+x3 −x1   entonces, T     1 0 0 0     =   7(1) + 2(0)−(0) + (0) (0) + (0) −(1)  =   7 0 −1   T     0 1 0 0     =   7(0) + 2(1)−(0) + (0) (1) + (0) −(0)  =   2 1 0   T     0 0 1 0     =   7(0) + 2(0)−(1) + (0) (0) + (1) −(0)  =   −1 1 0  

(2)

T     0 0 0 1     =   7(0) + 2(0)−(0) + (1) (0) + (0) −(0)  =   1 0 0  

entonces, usandoT(e1), T(e2), T(e3), T(e4), armamos la matriz,

A=   7 2 −1 1 0 1 1 0 −1 0 0 0  

y eso ser´ıa todo. Mira que para el siguiente, no hay mucho que hacer... porque cualquier cosa que entre a la transformada siempre te dar´a los vectores columna nulos, entonces la matriz est´andar A ser´ıa los vectores co-lumna nula, de orden 5×3 (verifica). y para el ´ultimo es el procedimiento similar a ´este ´ultimo...si tienes dudas mi amor me avisas.

6. En cada inciso se proporciona la matriz est´andar T de una transformaci´on lineal T. Usar la matriz para encontrar T(x). Expresar la respuesta en forma matricial.

[T] = 1 2 3 4 : x= 3 −2

aqu´ı ya nos dan la forma est´andar...es decir la matriz que estuvimos buscando en el ejercicio anterior. La forma est´andar ´unicamente nos garantiza que una presentaci´on m´as c´omoda de efectuar la multiplicaci´on de matrices para hallar la imagen...entonces,

[T]x= 1 2 3 4 3 −2 = 1 −1 [T] =   2 1 4 3 5 7 6 0 −1  ; x=   x1 x2 x3  

hacemos lo mismo, una multiplicaci´on de matrices,

[T]x=   2 1 4 3 5 7 6 0 −1     x1 x2 x3  =   −2x1+x2+ 4x3 3x1+ 5x2+ 7x3 6x1−x3  

multiplicas filas cada fila por cada columna. Ahora termina con los dos ejercicios restantes.

7. En cada inciso, encontrar T(x) usando la matriz para T, luego, comprobar el resultado calculando direc-tamente T(x).

T(x1, x2) = (−x1+x2, x2); x= (−1,4)

Bien, aqu´ı debes primero hallar la forma est´andar, para eso nos fijamos que los elementos del dominio pertenecen aR2 entonces los vectores columna de la identidad deben ser de orden 2×2, bien,

T 1 0 = (−1) + (0) (0) = −1 0 T 0 1 = (−0) + (1) (1) = 1 1

entonces, la forma matriz est´andar ser´a,

[A] =

−1 1 0 1

entonces, la forma est´andar ser´a, [A]x= −1 1 0 1 −1 4 = (−1)(−1) + (1)(4) (0)(−1) + (1)(4) = 5 4

y eso ser´ıa todo, nos pide verificar ese resultado ´unicamente usando la forma convencional, entonces,

(3)

y es el mismo resultado que obtuvimos. Vamos el siguiente hazlo tu¡...

Y me acabo de dar cuenta que primero era la segunda imagen que publicaste y luego iba todo ´esto...pero bueno, entonces,

Encontrar el dominio y el codominio de la trasformaci´on definida por las ecuaciones, y determinar si la trasfor-maci´on es lineal.

S1=

w1= 3x1−2x2+ 4x3 w2= 5x1−8x2+x3

Lo primero ser´a verificar si es lineal o no lineal, para eso puedes socorrerte de la definici´on, que nos dice, una funci´on es lineal si y solo s´ı, tiene la forma,

f(x) = k X

n=0

anxn=a0x0+a1x1+a2x2+. . .+ak−1xk−1+akxk

donde a0, a1, ..., ak ∈ <, entonces es l´ogico pensar que ´este sistema de ecuaciones si lineal, porque podemos reescribirlo de la formaAx=b, es decir,

3 −2 4 5 −8 1   x1 x2 x3  = w1 w2

El dominio se lo puede ver, mediante el n´umero de variables que tienes, es decir, x1, x2, x3, entonces ser´a,

DS1:R 3

y mira que el recorrido, nos arroja dos elementos, entonces,

RS1 :R2 entonces la transformaci´on lineal, viene definida por,

R3−→R2

usando ´esta informaci´on est´as de acuerdo que b) esNo lineal, porque tiene multiplicados sus variables w1= 2x1x2−x2, solo fij´emonos en la primera ecuaci´on, tiene la multiplicaci´on de dos de sus variables, entonces deja de ser lineal. U otra raz´on es que no podemos reescribirla de la forma Ax=b, puedes intentarlo y no valdr´a. Su dominio, est´a dado porR2 y el recorrido ser´aR3, entonces,

R2−→R3

Para los dos ´ultimos te quedan de tarea...para el ejercicioc) mira que son lineales...tiene todas sus variables libres...y eld) si miras cuidadosamente ver´as que no es lineal.

Hallar la matriz est´andar para la transformaci´on lineal definida por las ecuaciones.

La matriz est´andar tambi´en es llamada la matriz de cofactores del sistema de ecuaciones, entonces basta que formesAx=b, donde [A] es la matriz de cofactores o matriz est´andar, veamos,

2x1−3x2+x4 3x1+ 5x2−x4 nota, que el coeficiente dex3vale cero, es decir que,

2x1−3x2+ (0)x3+x4 3x1+ 5x2+ (0)x3−x4 bien, entonces la forma matricial viene dada por,

Ax= 2 −3 0 1 3 5 0 −1     x1 x2 x3 x4     = w1 w2

(4)

entonces la matriz est´andar, viene dado por, [A] = 2 −3 0 1 3 5 0 −1

o si quieres usar el m´etodo que te indica el libro puedes seleccionar una matriz de orden 4×4 e ir reemplazando para la transformaci´on lineal como lo hice en los primeros ejercicios...y obtienes la matriz est´andar con las columnas de cada imagen.

Para los dem´as es exactamente el mismo procedimiento.

el ejercicio 3 y 4, hay que hacer lo mismo... en especial el 4 es igual al 5.

Encontrar la matriz est´andar para el operador lineal que hace girar un vector enR3en sentido del movimiento de las manecillas del reloj hasta describir un ´angulo de−60 con respecto al eje

a) x b) y c) z

bien, en el libro tienes una tabla simp´atica donde te resume todos ´estos giros, el ´angulo que te piden hallar es negativo, es decir es en sentido horario, es decir como se mueven las manecillas del reloj. Pero las f´ormulas que te dan solo funcionan con ´angulos positivos, o antihorarios, entonces, podemos decir que,

Si queremos el ´angulo θ = −60o entonces es equivalente a pedir θ = +300o si verdad?, me da los mismo moverme -60 en sentido horario, que moverme +300 grados en sentido antihorario, entonces podemos usar las f´ormulas de esa tabla con el ´angulo de 300, entonces,

con respecto al eje equis:A=   1 0 0 0 cos(θ) −sin(θ) 0 sin(θ) cos(θ)  =   1 0 0 0 cos(300) −sin(300) 0 sin(300) cos(300)  

ahora, si no te sabes el valor de esos ´angulos, entonces puedes usar la trigonometr´ıa, sin(300) = sin(360−60) = sin(360) cos(60)−cos(360) sin(60)

por supuesto debes saber los m´as importantes, entonces sin(360) = 0, sin(60) =

√ 3 2 , cos(360) = 1, cos(60) = 1 2, entonces, sin(300) =− √ 3 2 y adem´as,

cos(300) = cos(360−60) = cos(360) cos(60) + sin(360) sin(60) entonces

cos(300) = 1 2 entonces la matriz nos queda,

A=    1 0 0 0 12 −− √ 3 2 0 − √ 3 2 1 2   =    1 0 0 0 12 √ 3 2 0 − √ 3 2 1 2   

Ahora, vamos con respecto al eje ye, nuevamente vas a la tabla 7 de la p´agina 229.

B=   cos(θ) 0 sin(θ) 0 1 0 −sin(θ) 0 cos(θ)  =   cos(300) 0 sin(300) 0 1 0 −sin(300) 0 cos(300)  =    1 2 0 − √ 3 2 0 1 0 − √ 3 2 0 1 2   

finalmente para el ´ultimo,

C=   cos(θ) sin(θ) 0 sin(θ) cos(θ) 0 0 0 1  =   cos(300) sin(300) 0 sin(300) cos(300) 0 0 0 1  =    1 2) √ 3 2 0 − √ 3 2 1 2 0 0 0 1   

(5)

Y eso ser´ıa todo...

Usar multiplicaci´on matricial para encontrar la imagen del vector (−2,1,2) si ´este se hace girar; a) -30 en sentido del movimiento de las manecillas del reloj con respecto al eje x.

b) -45 en sentido del movimiento de las manecillas del reloj con respecto al eje y. c) -90 en sentido del movimiento de las manecillas del reloj con respecto al eje z.

Bueno, debes aplicar las mismas f´ormulas que aplicamos arriba, pero ahora tienen una variaci´on en el es-pacio, que es ese punto, entonces, se modifica que,

Quieres girar un vector en sentido antihorario respecto del eje equis, entonces usas:

  1 0 0 0 cos(θ) −sin(θ) 0 sin(θ) cos(θ)     x y z  =   w1 w2 w3  

Quieres girar un vector en sentido antihorario respecto del eje ye, entonces usas:

  cos(θ) 0 sin(θ) 0 1 0 −sin(θ) 0 cos(θ)     x y z  =   w1 w2 w3  

Quieres girar un vector en sentido antihorario respecto del eje zeta, entonces usas:

  cos(θ) −sin(θ) 0 sin(θ) cos(θ) 0 0 0 1     x y z  =   w1 w2 w3  

Listo, aqu´ı tienes las f´ormulas, que vas a aplicar para cada enunciado, como los ´angulos est´an negativos, nue-vamente puedes usar el ´angulo positivo de cada uno...por ejemplo env´es de usar el -30, usas el +330, env´es del -45, usas el +315, env´es del -90, usas el +270...y las coordenadas (−2,1,2) = (x, y, z) corresponde al vector columna...y de ah´ı ya obtienes el respectivo vector rotado.

Haber, voy a hacer unito no m´as...el (c), entonces, uso la tercera f´ormula,   cos(270) −sin(270) 0 sin(270) cos(270) 0 0 0 1     −2 1 2  =   0 1 0 −1 0 0 0 0 1     −2 1 2  =   (0)(−2) + (1)(1) + (0)(2) (−1)(−2) + (0)(1) + (0)(2) (0)(−2) + (0)(1) + (1)(2)  

entonces el vector rotado tendr´a, por componentes,

− →v =   1 2 2  

y ya, bueno, unito m´as...el primero est´a un poco feo, haber, nos pide hacer girar respecto a equis, entonces usamos la primera f´ormula,

  1 0 0 0 cos(330) −sin(330) 0 sin(330) cos(330)     −2 1 2  =    1 0 0 0 √ 3 2 1 2 0 −1 2 √ 3 2      −2 1 2       (1)(−2) + (0)(1) + (0)(2) (0)(−2) + √ 3 2 (1) + 12 (2) 0(−2) + −1 2 (1) + √ 3 2 (2)    

haciendo las reducciones necesarias, obtenemos que el vector girado, nos da,

− →w =    −2 √ 3+2 2 −1+2√3 2   

para hallar los valores puedes valerte de la suma de ´angulos del seno y la suma de ´angulos del coseno, entonces, sin(330) = sin(360−30) = sin(360) cos(30)−cos(360) sin(30) =−1

2 y ya...ahora te queda por terminar el segundo...

(6)

y los tres ´ultimos, te los entrego luego ¿si mi amor?, disc´ulpame es que estaba un poco cansado...te debo el 16,17 y 18...te juro mi vida¡... He intenta hacer los que faltan porfa...y si mismo tienes problemas me avisas y los adjunto con los que te debo...Muah¡¡..te adoro mi princesa, estoy muy enamorado de ti te amooooo¡¡... no quiero perderte...:( pero s´e que a´un piensas en otro chico...

pero esta bien...te dar´e lo mejor de mi...y cuando ya no lo quieras...pues...mmm...espero te vaya bien¡...

Att. Santiago Seeker

Referencias

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