DEFINICIÓN DE FUNCIÓN

DEFINICIÓN DE FUNCIÓN

Ejemplo. Una tienda de café vende su especialidad a 12 € el kilogramo. Expresa la relación entre el número de kilogramos y el importe

1 kg 12 € 1,5 kg 18 € 2 kg  24 € etc

A cada valor del peso en kilogramos le corresponde un único valor en euros. Por tanto la relación entre los kg de café y su precio es una función.

 La magnitud que se fija previamente se denomina variable independiente y se identifica con la letra x

 La magnitud que se deduce de la anterior es la variable dependiente y se identifica con la letra y

En el ejemplo, la variable independiente son los kg de café y la variable dependiente es el coste en euros. x: kg de café y: precio en euros

Se indica que y es función de x, escribiendo y = f(x)

Las funciones sirven para describir fenómenos físicos, económicos, biológicos, sociológicos o, simplemente, para expresar relaciones matemáticas.

-.-.-.-.-.-.-.-.

1.- Indica si las siguientes correspondencias son funciones o no.

En las que sí losean, indica cuál es la variable independiente y la dependiente a) A todo número natural se le hace corresponder su número natural siguiente.

Ejemplo: al 3 el 4, al 4 el 5, etc.

b) A todo número natural se le asocian sus divisores.

Ejemplo: 6 tiene como divisores 1, 2, 3, y 6

c) A cada día del año se le asocia una temperatura máxima d) A todo número fraccionario se le asocia su inverso. Ejemplo: a

3

2 _{le asociamos} 2 3

e) A cada número se le asocia su cuadrado.

Ej a 2  4 , a 3  9, etc.

f) A todo número se le asocia su doble.

g) A un número se le asocia el resultado de su raíz cuadrada.

(Recuerda que por ejemplo 4  2)

h) Al tiempo que se alquila una bicicleta se le asocia el precio que se paga i) Gasto de la factura de la luz y kilovatios consumidos

j) Coste de una llamada y minutos que dura.

Una función asocia a cada valor de la variable independiente x , un únicovalor de la variable dependiente y.

Una función es una relación entre dos magnitudes en la que a cada valor de la primera magnitud le corresponde un único valor de la segunda magnitud.

F O R M A S D E E X P R E S A R U N A F U N C I Ó N

una TABLA

Una función, se puede expresar mediante: una GRÁFICA

una FÓRMULA



T A B L A

Una tabla es una representación de datos, mediante pares ordenados, que expresan la relación existente entre dos magnitudes o dos situaciones.

2.- En el ejemplo: “Una tienda de café vende su especialidad a 12 euros el kilogramo”.

Kg de café 0 0,5 1 1,5 2

Importe (€) 0 . . . . . . . .

a) Completa la tabla:

b) La variable independiente x es . . . . La variable dependiente y es . . .



G R Á F I C A

Una gráfica es la representación en unos ejes de coordenadas de los pares ordenados de una tabla.

 Los valores de variable independiente, x se indican en el eje horizontal, o eje de abscisas

 los valores de la variable dependiente, y, se representan en el eje vertical , o eje de ordenadas

En el ejemplo se representan ▪ en el eje x los kg de café ▪ en el eje y el importe en euros

La gráfica será una línea recta que parte del origen (ya que para 0 kilogramos de café el importe es 0 €)



F Ó R M U L A

Es muy frecuente representar la relación de dependencia entre dos magnitudes mediante una fórmula o expresión algebraica.

En el ejemplo la fórmula que relaciona el número de kilogramos de café con el importe en euros es

Sustituyendo la x por un valor, por ejemplo 3 kg, se obtiene el valor de y, o sea los euros que hay que pagar

y=3·12 = 36 € y = 12x

y

Representación gráfica

Representación de puntos en el plano

Los ejes de coordenadas dividen el plano en cuatro regiones denominadas cuadrantes

3.-Dibuja los siguientes puntos e indica el cuadrante o el eje en el que están.

a) (3, 2) está en el . . . cuadrante b) ( 5, 3) en el . . . cuadrante c) (1,2) en el . . . d) (–1, 2) en el . . . e) (4, 0) en el eje . . . f) (4, 4) en el . . . g) (2, –3) en el . . . h) (– 4, 5) en el . . . i) (– 5, 0) en el . . . j) ( 0, –2) en el . . . k) (1, – 3) en el . . . l) (–5, 4) en el . . .

ABSCISA signo de x ORDENADA signo de y 1er cuadrante

+

+

2º cuadrante

−

+

3er cuadrante

−

−

4º cuadrante

+

−

m) ( 0, 3) en el . . . n) (– 4, –5) en el . . . ñ) (– 1, 0) en el . . . o) (– 3, – 3) en el . . . p) (– 2, 0) en el . . . q) (0, 4) en el . . . r) (– 3, –1) en el . . . s) (0,–2) en el . . . t) ( 1, 0 ) en el . . . u) (4,–2) en el . . . v) (0, 1) en el . . .

Si tenemos un punto ya dibujado y queremos indicar sus coordenadas procedemos así

Desde el punto trazamos una paralela al eje Y hasta llegar al eje X y una paralela al eje X hasta el eje Y. Estas paralelas, al cortar con cada uno de los ejes, nos darán los correspondientes coordenadas x e y de ese punto.

4.- ¿Qué coordenadas corresponde al punto A representado en la gráfica?

5.- Completa la tabla con las coordenadas de los puntos representados en la imagen siguiente:

5

6.- Representa cada una de las funciones (Los ejes ya han sido trazados) cuya fórmula o expresión se indica.

Completar en primer lugar la tabla en la que a la x se le han asignados valores de –3 a +3

e) y = 3 –2x x _{4 3 2 1 0 1 2 3 4} y e)y= 2x+3 x –3 –2 –1 0 1 2 3 y a) y=x

x –3 –2 –1 0 1 2 3 y b)y= 2x x –3 –2 –1 0 1 2 3 y c) y= x–2

x –3 –2 –1 0 1 2 3 y d) y= –x x _ 4 3 2 1 0 1 2 3 4 y

7.- Representa las funciones siguientes: a) y= 2x+3 x –3 –2 –1 0 1 2 3 y b) y= –3x x –3 –2 –1 0 1 2 3 y c) y =2–x

x –3 –2 –1 0 1 2 3 y d) y=2 x –3 –2 –1 0 1 2 3 y

e) y= 2x–1 x –3 –2 –1 0 1 2 3 y f) y=4 x –3 –2 –1 0 1 2 3 y g) y=–2

x –3 –2 –1 0 1 2 3 y h) y= 1 x –3 –2 –1 0 1 2 3 y

Obtención de información a partir de una gráfica

 Asociar a un punto x el valor de y que le corresponde en la gráfica.

Para ello desde el punto x en el eje de abscisas se traza una vertical (paralela al eje y) hasta que corte a la gráfica. Desde ese punto se traza una horizontal (paralela al eje x) hasta llegar al punto en el eje de ordenadas en el cual se leerá el valor de y

Por ejemplo: para x = –3 el valor de y es y= –4  Asociar a un punto y el valor de x que le corresponde en la gráfica.

Procederemos igual pero empezando desde el punto situado en el eje y

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8.- Trata de extraer de la gráfica la información siguiente:

a) Si se compran 0,25 kg de café, se gastará . . . .

b) Si se compra un kilo y cuarto de café costará . . . .

c) Con 9 € ¿cuántos kg de café se pueden comprar? . . . . d) Con 21 € ¿cuántos kg de café se pueden comprar? . . . .

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9.- a) Representa la gráfica de la siguiente función: y = 1 – x (completa antes la tabla)

Prolonga la recta obtenida por ambos extremos b) *Halla el valor de “y” que le corresponde a:

b1) x= – 4  y= . . .

b2) x = 5  y= . . .

(* hallalo tanto con la gráfica cómo con la fórmula)

c) Halla el valor de x que produce que: c1) y = 4  x = . . .

c2) y = – 3  x = . . .

x –3 –2 –1 0 1 2 3 y

10.- Dada la siguiente gráfica

a) Halla el valor de y para x = – 3  y= . . . x = 1  y = . . .

b) Halla el valor de x para y= –1  x = . . . y = 1  x = . .

c) Completa la tabla de valores

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11.- La gráfica siguiente indica la variación de temperatura a lo largo de un día de invierno

a) La temperatura mínima fue de . . . . ºC

y se registró a las . . . horas.

b) La temperatura máxima fue de . . . ºC.

y se registró a las . . . horas.

c) ¿Qué temperatura había a: c1) la 1 de la madrugada  . . .

c2) las 5 de la mañana  . . .

c3) las 7 de la mañana  . . .

c4) las 12 del mediodía . . c5) las 18 horas  . . . c6) las 21 horas  . .

d) ¿A qué hora/s la temperatura era:

d1)  2ºC  . . . d2) 0ºC  . . . d3) 7ºC  .

d4) 5ºC  . . . d5) 3ºC  . . . . . d6) 12ºC  . . .

x – 3 –2 –1 0 1 2

12.- La gráfica adjunta representa la actividad en un andén de una estación de metro desde las 7 horas a las 17 horas.

a) ¿Cuántas personas hay en el andén a:

a1) las 10 h  . . . . a2) las 11 h . . . .

a3) las 12  . . . . a4) las 12 h 30 . . . .

a5) las 14 h  . . . . a6) las 16 h  . . . .

b) El mayor número de personas que esperan en el andén es de . . . y se produce a las . . . c) El menor número de personas es de . . . y se produce a las . . . horas

d) ¿Qué ocurre entre las 12 y las 13 horas? . . .

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13.- La cotización en bolsa de un determinado producto en los 10 primeros días en que se sacó a bolsa es la función representada a continuación:

a) ¿Cuál fue la mayor cotización que alcanzó? . . .

b) ¿Cuándo ocurrió? . . . .

c) ¿En cuánto se cotizó c1) el 1er día . . . . c2) el 3er día . . . c3) el 4º día . . . . c4) el 7º día . . . c5) el 9º día . . . -.-.-.-.-.-.-.-.-.-.

14.-La afluencia a una piscina pública, a lo largo de un día de verano, viene dada por esta gráfica.

Observa la gráfica y determina: a) El horario de la piscina es . . .

b) El máximo número de personas en la piscina es . . . .

y la hora en que se produce es . .

c) ¿Qué ocurre entre la 14 y las 16 horas?

d) ¿Qué ocurre entre las 19 y 20 horas?

15.- La siguiente gráfica representa la altura en función del tiempo de una pelota lanzada verticalmente

hacia arribadesde el suelo.

a) Completa la tabla

b) ¿En que instantes estaba la pelota a 25 m de altura? . . .

c) ¿Cuál es la altura máxima que alcanza la pelota?

(No confundir esta gráfica en la que se representa la altura de la pelota para cada instante de tiempo con la línea o trayectoria que describe la pelota la cual es una línea vertical)

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16.- La gráfica siguiente relaciona la afluencia de personas en un supermercado durante un día

Tiempo (s) Altura (m) 0 1 2 3 4 5 6

a) ¿Cuál es el horario de apertura del supermercado?

b) ¿En qué tramo se mantiene constante el nº de personas?

c) ¿Cuántas personas hay en el supermercado

c1) a las 11 h 30’  . . .

c2) a las 17 h  . . .

c3) a las 18 h 30’  . . . .

d) ¿A qué hora hay mayor afluencia?

e) ¿Cuál es en ese momento el número de personas?

f) ¿A qué horas hay exactamente 20 personas en el supermercado?

¿Todas las gráficas son funciones?

Una relación entre dos magnitudes se llama función si a cada valor de la primera magnitud le corresponde unúnico valor de la segunda.

Un criterio para reconocer si una gráfica representa una función es comprobar que cualquier recta vertical corta a la gráfica como máximo en un punto:

.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.

17.- Las siguientes gráficas reflejan relaciones entre dos variables. Indica si son funciones

DOMINIO de una función

Llamaremos dominio de la función al conjunto de valores de x que tienen imagen , es decir el tramo de valores de x para los cuales existen valores de y

Ejemplo 1: Hallar el dominio de la función cuya gráfica se representa

El dominio de la función comprende todos los valores de x que tienen un valor de y, o sea que tienen imagen. Se puede identificar proyectando la gráfica hacia el eje horizontal y leyendo el punto más a la izquierda y el más a la derecha que serán los extremos del intervalo.

En este ejemplo son todos los valores de x entre – 5 y 2 ambos incluidos, es decir el – 5 y todos los valores mayores que él hasta llegar al valor 2.

Esto se suele expresar mediante un intervalo que en este caso es [– 5 ,2 ]. Por tanto Dom=

[– 5 ,2 ]

Intervalos

Es una forma de expresar un conjunto de valores seguidos y se hace escribiendo el extremo inferior y el superior separados por una coma. Además se utilizan por fuera corchetes o paréntesis para indicar si cada extremo está o no incluido en el intervalo.

Tipos de intervalos

◘ Intervalo abierto (a,b) : comprende todos los valores entre a y b , pero sin incluir ni a, ni b Ejemplo: el intervalo (3,7) comprende todos los valores mayores que 3 y menores que 7

◘ Intervalo cerrado [a,b] comprende todos los valores desde a hasta b, es decir incluye a y b Ejemplo: el intervalo [–5,9] comprende todos los valores desde el –5 hasta 9

◘ Intervaloabierto por un lado y cerrado por otro

[a,b) números comprendidos entre a y b , incluido a , excluido b (a,b]números comprendidos entre a y b , excluido a , incluido b

Ejemplo

:

[3,12) comprende los valores desde el 3, hasta el 12, pero sin incluirlo (– 4, 0] es el intervalo de los valores mayores que – 4 hasta el 0 incluido.

Ejemplo 2: Hallar el dominio de la función cuya gráfica se representa

(

Proyectar los extremos de la gráfica sobre el eje horizontal y leer el extremo izquierdo y derecho)

El dominio comprende todos los valores entre –4 y 4 ambos incluidos

Ejemplo 3: Hallar el dominio de la función cuya gráfica se representa

En este segundo caso el dominio va desde 3 a 2 pero sin incluir el 2 ( ya que el 2 no tiene imagen).

Como el valor x=2 no está incluido en el dominio, al indicar el intervalo ponemos un paréntesis por ese lado en lugar de un corchete.. Dom =

[



3,2)

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19.- La gráfica siguiente indica la relación entre la edad en años y la estatura en cm.

El a) ¿Qué estatura corresponde a las edades: siguientes a1) 10 años . . . .

a2) 11 años . . . .

a3) 15 años . . . .

b) ¿Cuántos años tienen los que miden:

b1) 154 m . . . .

b2) 162 m . . . .

Dom =[10,15] b3) 168 m . . .

c) ¿Cuál es el Dominio de la función ?

-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.

20.- Halla el Dominio de la función

El punto en blanco de la gráfica indica que ese punto no forma parte de ella.

RECORRIDO de una función

Llamamos recorrido al conjunto de valores y que son imagen de algún valor de x perteneciente al dominio.

El recorrido se puede identificar proyectando la gráfica hacia el eje vertical y leyendo el punto más bajo y el más alto que serán los extremos del intervalo.

Ejemplo 1:

En este ejemplo el punto más bajo es el



4 y el más alto el 4. Por tanto el recorrido será: Rec=

[



4,4]

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Ejemplo 2:

En este otro ejemplo el recorrido irá desde el 1 sin incluirlo hasta el 5

Rec=

(



1, 5]

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21.- Indica el recorrido de estas dos funciones:

22.- Hallar el dominio y recorrido de las gráficas de los ejercicios 11, 12, 13 , 14, 15 y 16

Dom = Dom = Rec = Rec= Dom = Dom = Rec = Rec= Dom = Dom = Rec = Rec=

Tipos de funciones

Dependiendo de ciertas características que tome la expresión algebraica o notación de la función f en x, tendremos distintos tipos de funciones:

- Función constante

Una función de la forma f(x) = b , donde b es una constante, se conoce como una función constante . Por ejemplo, f(x) = 3, (que corresponde al valor de y ) donde el dominio es el conjunto de los números reales y el recorrido es {3}, por tanto y = 3 . La gráfica de abajo muestra que es una recta horizontal.

-

Función lineal y afín.

Una función de la forma f(x) = mx + b se conoce como una función afín donde m representa la pendiente y b representa la intersección en y. La representación gráfica de una función afín es una recta. Las funciones lineales y afines son funciones polinómicas.

Ejemplo: f(x) = 2x − 1

es una función lineal con pendiente m = 2 y corta al eje y en (0, −1) . Su gráfica es una recta ascendente.

f(x) = 2x − 1 En general, una función afín es de la forma

f ( x ) = ax + b , donde a y b son constantes (la a es lo mismo que la m anterior (corresponde

a la pendiente).

Para trazar la gráfica de una función afín solo es necesario conocer dos de sus puntos. La ecuación matemática que representa a esta función, como ya vimos, es f(x) = ax + b, donde f(x)corresponde al valor de y, entonces

y = ax + b

Donde “a” es la pendiente de la recta, y “b” es la ordenada en el origen.

La pendiente indica la inclinación de la recta, cuanto sube o baja y cuanto avanza o retrocede. Esto depende del signo que tenga.

El valor de “a” siempre es una fracción (si no tiene nada abajo, es porque tiene un 1), donde el numerador (p) me indica cuanto sube o baja, y el denominador (q) indica cuanto avanzo o retrocedo.

Aprendido esto, y según el signo de la fracción, la pendiente se marca de la siguiente forma

La ordenada en el origen (b) es el valor donde la recta corta al eje y. La recta siempre va a pasar por el punto (0; b)

- Representación gráfica de una función lineal o función afín

Para graficar una recta, alcanza con los datos que da la ecuación matemática de la función, y se opera de la siguiente manera:

1.- Se marca sobre el eje y la ordenada al origen, el punto por donde la recta va a cortar dicho eje.

2.- Desde ese punto, subo o bajo según sea el valor de “p” y avanzo o retrocedo según indique el valor de “q”. En ese nuevo lugar, marco el segundo punto de la recta.

3.- Se podría seguir marcando puntos con la misma pendiente, pero con 2 de ellos ya es suficiente como para poder graficar la recta.

4.- Teniendo ya los dos puntos, con regla se traza la recta que pasa por los mismos. Ejemplo:

Graficar la siguiente función:

La ordenada en el origen (3) me indica que me debo parar sobre el eje y en el 3. De ahí subo 1 y avanzo 2, como me lo indica la pendiente.

También podemos graficar una función dando valores a x y obteniendo dos puntos en las coordenadas.

Ejemplo

Graficar la función dada por f ( x ) = 2 x – 1

Solución

Como la función es lineal se buscan dos puntos de la recta; para ello, se le dan valores a x y se encuentran sus imágenes respectivas, esto es:

Si x = 0, se tiene que f (0) = 2(0) – 1 = − 1 Si x = 2, se tiene que f (2) = 2(2) – 1 = 3

Así, los puntos obtenidos son (0, −1) y (2, 3), por los cuales se traza la gráfica correspondiente.

Veamos ahora el proceso inverso; o sea, si tenemos la gráfica de una función queremos encontrar su expresión analítica o matemática.

Para eso, necesitamos encontrar una expresión de la forma f(x) = ax + b a partir de la gráfica.

La imagen de 0 es b porque f(0) = a(0) + b = b luego b = –3

Tomamos otro punto, por ejemplo, el (2, 1); el 1 es la imagen del 2 luego se cumple que:

1 = a(2) + b → 1 = 2a – 3 → 4 = 2a → a = 2

FUNCIONES CUADRÁTICAS

Vamos a ver la función que representa el área de un cuadrado en función de su lado. Si

consideramos como variable independiente la medida del lado en cm, y como variable dependiente el área

en cm

2

.

2

x y

Cuya tabla y representación gráfica será:

En este caso carece de sentido que la x tome valores negativos, pero si consideramos el caso más general

Aparece la segunda rama simétrica a la anterior

La curva obtenida es una

parábola

, y es característica de las funciones cuadráticas.

Una función cuadrática es cualquier polinomio de segundo grado y, queda expresada mediante la expresión:

c bx ax y 2  

donde a ≠ 0

X (cm)

0 1 2 3 4

Y( cm

2

) 0 1 4 9 16

X (cm)

0 1 2 3 -1 -2 -3

Y( cm

2

) 0 1 4 9 1

4

6

x0 x1 x2

REPRESENTACIÓN GRÁFICA:

El signo del coeficiente de segundo grado indica el sentido de la rama parabólica:

Si a >0 la parábola es cóncava

Si a<0 la parábola es convexa

Puntos de corte con los ejes:

Con el eje OY:

sustituir la x por cero en la expresión general:

y = 0+0+c = c así el punto de corte con el eje y es en ( 0, c)

Con el eje OX:

sustituir la y por cero en la expresión general

c bx

ax  

 2

0

, por lo tanto se trata de resolver la ecuación de segundo grado:



Si se obtiene dos soluciones, los puntos de corte serán (x

1

, 0), ( x

2

, 0)



Si se obtiene solución doble,, la parábola es tangente al eje x, y pasa por el punto x

0



Si no se obtiene ninguna solución, la parábola no corta al eje.

Vértice de la parábola:

Este es el punto que coincide con el máximo o con el mínimo según la orientación de la parábola. Este

punto se obtiene de la siguiente forma:

La coordenada x

a b xv 2  

La coordenada y se obtiene sustituyendo en la expresión general la coordenada x del vértice

y= f(x

v

)

Ejercicio:

Representa la siguiente función:

y = 3x

2

-6



Al ser 3>0 la función es cóncava, o lo que es los mismo abierta hacia arriba



Puntos de corte:

Eje OY: y = 3·0 - 6, y = - 6 , el punto de corte es p(0,-6)

Eje OX: 0 = 3x

2

-6, x

1

= +√2, x

2

= -√2, los puntos de corte son P(√2,0) P( -√2,0)

EJERCICIOS:

1.

Representa en un mismo plano cartesiano las parábolas:

2 ) 2 ) ) 2 2 2 x y c x y b x y a   

d)

y = -x

2

2.

Representa gráficamente las siguientes funciones cuadráticas hallando previamente sus vértices y

puntos de corte con los ejes

10 6 ) ( ) 21 20 4 ) ( ) 12 8 ) ( ) 3 2 ) ( ) 2 2 2 2               x x x f d x x x f c x x x f b x x x f a

Aquí incluyo más ejemplos para realizar:

Encontrar las soluciones de las ecuaciones usando la fórmula

a

ac

b

b

x

2

4

2

_







Hacer la gráfica de las parábolas correspondientes

1) x

2

_-2x-3=0

_{{x1=3; x2=-1}}

2) x

2

_-7x+12=0

_{{x1=4; x2=3}}

3) x

2

_-2x+1=0

{x=1;Raíz doble}

4) x

2

_-18x+81=0

{x=9;Raíz doble}

5) x

2

_+x+1=0

_{{No tiene solución}}

6) x

2

_-x+3=0

_{{No tiene solución}}

Nota:

En esta dirección web se pueden encontrar Video tutoriales sobre la función

lineal y cálculo de funciones lineales conociendo un punto y la pendiente o las

coordenadas de dos puntos de la recta.

http://www3.gobiernodecanarias.org/medusa/ecoblog/mrodperv/4-eso-op-b/funciones-lineales/

En esta otra dirección web se pueden encontrar Video tutoriales sobre la

función cuadrática (parábola) y su representación.