MECANICA CLASICA Coordenadas generalizadas. Grados de libertad. Lagrange.
1: Se tiene el sistema de la ¯gura, donde x1, x2 se miden a partir de las posiciones de
equilibrio. Seaq1 =x1+x2 y q2 =x1¡x2.
a: De¯nen (q1; q2) un conjunto admisible de coordenadas generalizadas?.
b: Si q1 = 0, describa cualitativamente el movimiento de cada part¶³cula. Idem si q2 = 0.
c: Calcular las fuerzas generalizadas Q1 y Q2.
2: Para los casos siguientes. Cu¶antos grados de libertad tiene el sistema?. Proponga conjuntos de coordenadas generalizadas adecuadas:
a: m1 y m2 se mueven en el plano de la mesa. b: Idem, pero la mesa rota con! = cte:.
c: m1 y m2 se hallan dentro de un tubo. Si q1 y q2 se miden a partir del centro de masa, son coordenadas apropiadas?.
d: Las dos masas se hallan unidas entre s¶³ por una barra r¶³gida. Analice el caso en ques¶olopueden moverse horizontalmente y tambi¶en el caso bidimensional. e: Discuta los casos P ¯jo y P m¶ovil.
f: Una masa enhebrada en un alambre el¶³ptico.
g: Una m¶aquina de Atwood. Analice los casos en que la cuerda desliza y no desliza sobre la polea.
h: Una part¶³cula puntual que cae por una esfera,con gravedad.
3: D1 y D2 son dos plataformas rotantes como se muestra en la ¯gura. D1 se mueve respecto a la tierra con velocidad _µ1. D2 se mueve respecto a D1 con velocidad _µ2.
Una part¶³cula de masa m se mueve libremente sobre D2. Escriba el lagrangiano del sistema en t¶erminos de coordenadas polares ½; ', de un sistema cartesiano ¯jo a D2. Halle las ecuaciones de movimiento de la part¶³cula e interprete.
4: Se tiene el sistema de la ¯gura. Hallar la aceleraci¶on de cada masa utilizando: a: Las ecuaciones de Newton y condiciones cinem¶aticas.
b: Principio de los Trabajos Virtuales (PTV) c: Las ecuaciones de Lagrange.
d¤: Repita a y b, pero ahora considerando que las poleas tienen masaM y radio R. 5: Dos part¶³culas de masa m1 y m2 est¶an unidas por un hilo inextensible de longitud l;
m1 se mueve s¶olo sobre el eje x y m2 s¶olo sobre el y. Las condiciones iniciales son las que indica la ¯gura.
a: Halle la ecuaci¶on de movimiento para µ utilizando el PTV. b: Halle la ecuaci¶on de Lagrage para µ.
c: Sim1 =m2 ´m, halle la tensi¶onT en el hilo como funci¶on de µ.
d: Cu¶al es el per¶³odo de movimiento de µ en este caso?. Suponga queµ s¶olo puede tomar valores peque~nos.
6: Dos part¶³culas de masas m1 y m2 est¶an unidas por un hilo como indica la ¯gura. m1 se mueve en el plano de la mesa y m2 s¶olo verticalmente. En t = 0, m1 se encuentra
a una distancia r0 del ori¯cio y se le aplica una velocidadv0 perpendicular al hilo.
a: Escriba las ecuaciones de Lagrange y halle sus integrales primeras en t¶erminos de las condiciones iniciales.
b: Halle la tensi¶on del hilo.
c: Repita a y b suponiendo ahora que el movimiento de m2 es bidimensional.
7: Bajo la acci¶on de la gravedad, una part¶³cula de masa m se desliza por una super¯cie c¶onica½ =ztg®, sin rozamiento.
a: Halle las ecuaciones de movimiento de la part¶³cula utilizando como coordenadas generalizadas el ¶angulo µ medido en el plano perpendicular al eje del cono y la distancia r al v¶ertice del mismo, tomada a lo largo del cono.
b: Hallar r m¶aximo y r m¶³nimo para el caso en que ® = 30± y las condiciones iniciales seanr(0) =a, _r(0) = 0, _µ2(0) = 4p3g=a.
c: Halle el potencial efectivo unidimensional equivalente. Muestre que las ¶orbitas circulares son posibles y halle la velocidad de la part¶³cula en tales ¶orbitas. d: Suponiendo la part¶³cula en movimiento circular, halle la constante del oscilador
y el per¶³odo de oscilaci¶on para peque~nas perturbaciones de este movimiento. Compare este per¶³odo con el de revoluci¶on para hacer una descripci¶on cualitativa del movimiento perturbado.
8: Analizar los siguientes puntos
a: Dado un sistema constitu¶³do por N part¶³culas, cu¶al es el n¶umero de grados de libertad del mismo? y cu¶al el de ecuaciones de v¶³nculo?
b: Se puede utilizar una velocidad como coordenada generalizada? c: Las fuerzas generalizadas se aplican sobre cada part¶³cula?
d: El n¶umero de grados de libertad de un sistema, es independiente del sistema de referencia utilizado para describir el movimiento?.
e: Para estudiar el equilibrio de un sistema, es siempre v¶alido utilizar el principio de los trabajos virtuales?.
f: Es v¶alida la formulaci¶on lagrangiana para un potencial dependiente de la veloci-dad? y para el campo electromagn¶etico?.
g: D¶e un ejemplo en que un desplazamiento virtual di¯era de uno real. En qu¶e casos son iguales?.
h: Las ecuaciones de v¶³nculo para un sistema f¶³sico, dependen del sistema de refe-rencia utilizado?, y las fuerzas de v¶³nculo?.
i: Para calcular las fuerzas de v¶³nculo de un sistema, qu¶e m¶etodos es posible em-plear?.
j: Siempre se pueden escribir las ecuaciones de Newton desde el centro de masa de un sistema?.
k: Para un sistema de N part¶³culas, cu¶antas ecuaciones de Newton se necesitan? y de Lagrange?.
l: Qu¶e se entiende por un sistema inercial? Ser¶an correctas las ecuaciones de movimiento si se escribe el lagrangiano desde un sistema no inercial?
m: Para una carga en un campo electromagn¶etico, se puede conservar el impulso lineal de la misma? Qu¶e magnitud se conserva?.
9: Sea el sistema de la ¯gura.
a: Halle las ecuaciones de movimiento utilizando el m¶etodo de Lagrange.
b: Para el caso g = 0, integre las ecuaciones para condiciones iniciales r(0) = r0,
_
r(0) = 0.
c: Discuta el caso en que 'var¶³a libremente. 10: Considere el sistema de la ¯gura.
a: Encuentre las ecuaciones de movimiento para el p¶endulo doble que oscila en un plano.
b: Halle una expresi¶on aproximada de las mismas para peque~nas oscilaciones alrede-dor de la posici¶on de equilibrio estable.
c: Resuelva las ecuaciones proponiendo una soluci¶on de tipo arm¶onico para los grados de libertad. En t = 0 ambas masas se hallan en reposo sobre la vertical y a la inferior se le aplica una velocidadv0 perpendicular al hilo.
d: Halle las tensiones sobre los hilos.
11: Una part¶³cula de masa m se desliza sin fricci¶on por un alambre ¯jo en el punto A y que forma un ¶angulo µ0 con un eje vertical y que se encuentra rotando alrededor del
mismo eje con velocidad angular constante!.
a: Encuentre el lagrangiano y las ecuaciones de Lagrange. b: Haller(t) sabiendo que at= 0, r(0) =r0, _r(0) = 0. 12: Considere el p¶endulo en tres dimensiones |p¶endulo esf¶erico.
a: Encontrar las ecuaciones de Lagrange para el mismo.
b: A partir de las ecuaciones de Lagrange hallar las constantes de movimiento. c: Discuta cualitativamente el movimiento de este p¶endulo.
13: Escriba el lagrangiano de un p¶endulo plano donde el punto de suspensi¶on:
a: se desplaza uniformemente por un c¶³rculo vertical de radioa con frecuencia !, b: efect¶ua oscilaciones verticales de la forma acos!t,
c: efect¶ua oscilaciones horizontales de la forma acos!t.
14: Encuentre el lagrangiano de los sistemas de la ¯gura. Existe gravedad.
15¤: Sea una part¶³cula libre de masa m y carga q en un campo electromagn¶etico con po-tenciales Á, A (E=¡rÁ¡c¡1@A=@t;B =r£A). Obtenga a partir del lagrangiano L=T ¡U |donde U es un potencial generalizado dependiente de la velocidad| las ecuaciones de movimiento. Muestre que la fuerza aplicada sobre la part¶³cula es la de Lorentz F=q(E+c¡1v£B), U =qÁ¡qc¡1v¢A.
16¤: Sean (x1; y1);(x2; y2), dos sistemas de referencia cartesianos bidimensionales. Suponga
que el origen de coordenadas O se mueve con v= cte: respecto a x1; y1 y que los ejes x2; y2 rotan con velocidad angular constante. Hallar expl¶³citamente las ecuaciones de transformaci¶on: x1 =x1(x2; y2; t) y y1 =y1(x2; y2; t).
17: Encuentre el lagrangiano y las ecuaciones de movimiento del siguiente sistema: un p¶endulo simple de masa m2, con una masa m1 en el punto sost¶en, la cual puede moverse sobre una l¶³nea horizontal contenida en el plano de movimiento de m2. Re-suelva las ecuaciones de movimiento y halle la frecuencia de oscilaci¶on del sistema para peque~nos apartamientos de la posici¶on de equilibrio estable. Suponga condiciones ini-ciales adecuadas.
18¤: Escriba el lagrangiano y las ecuaciones de movimiento del siguiente sistema: una m¶aquina de Atwood con una cuerda de largo l, una polea con momento de inercia I y que rueda sin deslizar con la cuerda.
19¤: Sea una part¶³cula de masa m y carga q inmersa en un campo magn¶etico uniforme B=B0z.b
a: Si A = Bxyb| compruebe que B = r£A |, calcule las ecuaciones de movi-miento y muestre que las ¶orbitas son espirales cil¶³ndricas. Calcule el radio y el centro de la circunferencia transversal a dicha espiral. Las condiciones iniciales son r(0) = (x0; y0; z0), v(0) = ( _x0;y_0;z_0).
b: Repita el punto a. pero ahora para el potencial vectorA0 = 1 2B£r.
c: Calcule la funci¶on à que da el cambio de medida |cambio de gauge| A0 = A+rÃ.
d: Siv(0) = 0, interprete f¶³sicamente la soluci¶on hallada en a. 20: Sea un oscilador is¶otropo bidimensional (kx=ky ´k).
a: Escriba el lagrangiano del sistema y halle las ecuaciones de movimiento para las coordenadas generalizadasq1 =x y q2 =y.
b: Sea L¤ = mx_y_ ¡kxy. Halle las ecuaciones de movimiento para este sistema. Compare con las obtenidas en a.
