ELEMENTOS DE VARIABLE COMPLEJA

ELEMENTOS DE VARIABLE COMPLEJA

SAMAEL NAVARRETE MOLANO

Trabajo de grado para optar por el titulo de Matemático

DIRECTOR: JOSÉ JOAQUÍN VALDERRAMA Matemático Universidad Nacional Profesor facultad de Matemáticas

FUNDACIÓN UNIVERSITARIA KONRAD LORENZ

BOGOTÁ

INDICE GENERAL

INTRODUCCION ...4

I. ESTRUCTURA DE LOS NÚMEROS COMPLEJOS...5

1.1NÚMEROS COMPLEJOS Y SU ALGEBRA....5

1.2AXIOMAS DE CUERPO PARA NÚMEROS COMPLEJOS...5

1.3LOS NÚMEROS REALES COMO SUBCONJUNTO DE LOS NÚMEROS COMPLEJOS...6

1.4REPRESENTACIÓN CARTESIANA DE LOS NÚMEROS COMPLEJOS...6

1.5REPRESENTACIÓNGEOMÉTRICA...6

1.6PROPIEDADES DE ESPACIO VECTORIAL PARA LOS NÚMEROS COMPLEJOS....7

1.6.1 Para la Suma...7

1.6.2 Para el Producto por Escalar...7

1.7 ESPACIO VECTORIAL NORMADO....8

1.8 COMPLEJO CONJUGADO...9

1.8.1 Propiedades del Complejo Conjugado...9

1.9 REPRESENTACIÓN POLAR...9

1.9.1 Multiplicación de Números Complejos Bajo su Representación Polar...11

1.9.2 División de Números Complejos...12

1.10 DESIGUALDAD TRIANGULAR...13

1.11 SUPERFICIE DE RIEMANN...14

1.12 RAÍCES DE UN NÚMERO COMPLEJO...15

1.13 TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CÁLCULO....17

II. TOPOLOGIA DEL PLANO COMPLEJO C... 18

III. FUNCIONES DE VARIABLE COMPLEJA... 20

3.1 FUNCIONES...20

3.2 LIMITES...21

3.2.1 Propiedades de los Límites....23

3.3 CONTINUIDAD....29

3.3.1 Propiedades Algebraicas para la Continuidad...29

3.4FUNCIONES CONTINUAS DE UNA VARIABLE...30

3.5DERIVADAS...30

3.5.1 Derivadas Parciales...33

3.6FUNCIÓN EXPONENCIAL COMPLEJA...34

3.6.1 Propiedades de la Exponencial Compleja...35

3.7MAPEO....36

3.8FUNCIÓN LOGARITMO COMPLEJO...39

3.9 FUNCIÓN POTENCIA....42

3.10 FUNCIONES TRASCENDENTALES...42

3.11 CONDICIONES NECESARIAS PARA LA ANALITICIDAD...45

3.12 CONDICIONES SUFICIENTES PARA LA ANALITICIDAD...48

3.13 FUNCIONES ARMÓNICAS....50

3.14 ARMÓNICOS CONJUGADOS....50

IV INTEGRAL COMPLEJA ... 51

4.1INTRODUCCIÓN A LA INTEGRAL DE LÍNEA...51

4.2INTEGRALES DE LÍNEA....51

CONCLUSIONES ... 65 BIBLIOGRAFÍA ... 66

INTRODUCCION

Los números complejos fueron propuestos inicialmente en 1545, por el matemático italiano Girolamo Cardano, en un tratado monumental acerca de la solución de las ecuaciones cúbica y cuadrática. Para apreciar la dimensión de esta propuesta debe tenerse en cuenta que el concepto de números negativos apenas había tenido aceptación, y que aun había controversia en la relación con sus propiedades.

Las cantidades ficticias de Cardano fueron ignoradas por la mayoría de sus colegas, hasta que el genio matemático Carl Friedrich Gauss les dio el nombre actual y las

utilizo para demostrar el Teorema Fundamental del Algebra, el cual establece que

todo polinomio que no sea constante tiene al menos un cero.

Otro descubrimiento de Gauss mucho más simple, pero no menos importante, fue que la aritmética de los números complejos, introducida formalmente a partir de la

relación i= −1, tiene una interpretación geométrica sencilla si identificamos los

elementos de C con los puntos del plano. Esta interpretación puede considerarse como el punto de partida del estudio analítico de los números complejos. En términos

modernos C recibe la topología de 2

R

y la relación de esta topología con su

I. ESTRUCTURA DE LOS NÚMEROS COMPLEJOS 1.1 Números Complejos y su Algebra.

De los axiomas que gobiernan la relación < se deduce que el cuadrado de un número no es nunca negativo. Entonces, ecuaciones cuadráticas elementales tales como, por

ejemplo

x

2

=

−

1

no posee solución entre los números reales. Ahora con los números

complejos, podemos conseguir soluciones para tales ecuaciones. Resulta entonces que al introducir los números complejos, se proporciona, soluciones de las ecuaciones algebraicas de la forma

0

...

1

+

+

=

+

n n o

a

z

a

z

a

donde los coeficientes

a

0

,

a

1

,...,

a

n son números reales cualesquiera. (Este resultado

es conocido como Teorema fundamental del Algebra). 1.2 Axiomas de Cuerpo para Números Complejos

Por número complejo entenderemos un par ordenado de números reales, que

designaremos por (x₁,x₂). La primera componente, (x₁)se llama parte real del

número complejo; la segunda componente, (x2) se llama parte imaginaria. Dos

números complejos x=(x₁,x₂) e y=(y₁,y₂) son iguales, y escribiremos

x

=

y

, si, solo si, x1= y1 y x2 =y2. Definimos la suma x+y y el, producto

xy

por

) ,

(x₁ y₁ x₂ y₂ y

x+ = + + , xy=x∗y=(x₁y₁−x₂y₂,x₁y₂+x₂y₁)

las cuales satisfacen los siguientes axiomas. Axioma 1. (Leyes conmutativas)

x

y

y

x

+

=

+

y xy= yx. Axioma 2. (Leyes asociativas)

z y x z y x+( + )=( + )+ _y x(yz)=(xy)z.

Axioma 3. (Leyes distributivas)

xz xy z y

x( + )= + y (x+y)z=(az+bz).

Axioma 4. Identidades. La identidad aditiva 0 y la identidad multiplicativa 1 satisfacen que

0

≠

1

y

x

x

x

+

0

=

=

0

+

y

x

*

1

=

x

=

1

*

x

.

Axioma 5. Inversos. Cada número complejo

z

tiene un inverso aditivo

(

−

z

)

y, si

0 ≠ z un inverso multiplicativo −1

z

_{que satisfacen}

)

(

)

(

0

)

(

z

z

z

z

+

−

=

=

−

+

y

zz

−1

=

1

=

z

−1

z

.

El inverso multiplicativo de

z

=

x

+

iy

es 2 2 1

)

(

y

x

iy

x

iy

x

+

−

=

+

− .

1.3 Los Números Reales como Subconjunto de los Números Complejos

Se identifica el par ordenado (x,0) _{con el número real}

x

, notamos que la suma y la

multiplicación de tales pares satisfacen las operaciones usuales de suma y multiplicación de números reales:

) 0 , ( ) 0 , ( ) 0 , (x + a = x+a y (x,0)(a,0)=(xa,0)

Entonces, el conjunto de números complejos incluye los números reales. 1.4 Representación Cartesiana de los Números Complejos

Considere el número complejo z=(x,y) escrito de la siguiente forma

) 0 , )( 1 , 0 ( ) 0 , ( ) , (x y x y z= = + ,

si se representa (x,0) por

x

y se denota (0,1) por el símbolo (i), se puede

reescribir z=(x,y) de la forma

z

=

x

+

iy

. Esta es la notación más conocida para

los números complejos. El símbolo (i)se llama unidad imaginaria y satisface la

propiedad

)

0

,

1

(

)

1

,

0

)(

1

,

0

(

2

=

=

−

i

o también i2 =−1. Ejemplo 1

Encuentre las partes real e imaginaria de

z

=

2

+

3

i

.

Solución: tenemos que Re z=2 e Im z=3.

1.5 REPRESENTACIÓN GEOMÉTRICA

Al asociar el número complejo

z

=

x

+

iy

con un punto del plano cuyas coordenadas

rectangulares son e . Cada número complejo corresponde a un punto. El número i

+

−2 , por ejemplo, se asocia al punto (-2,1) en la (figura 1.1).

El origen del sistema coordenado se denota por el número complejo 0. El modelo de

plano Cartesiano de los números complejos se llama plano complejo. Cuando nos

+

=

denotamos por Re (z_{). El número} y llamado parte imaginaria de z, se denota por

Im (z_{). Si}

x

=

0

, tendremos

z

=

iy

, y entonces se dice que z es imaginario puro.

Figura 1.1

1.6 Propiedades de Espacio Vectorial para los Números Complejos.

El conjunto C de los números complejos es un espacio vectorial sobre el cuerpo

R

de los números reales con las operaciones de suma definida en C y producto por

escalares tal que para todo z∈C y

α

∈R, se tiene que

α

z∈C además se

cumplen las siguientes 10 propiedades para todo α, β de R y u, v, w de C: 1.6.1 Para la Suma

(i). v+w∈C. La suma vectorial es una operación cerrada en C.

(ii).

u

+

(

v

+

w

)

=

(

u

+

v

)

+

w

. Asociatividad de la suma vectorial en C.

(iii). Existe un elemento 0 en C tal que para todo v de C, v+0=v. Existencia del

elemento neutro de la suma vectorial en C.

(iv). Para todo v ∈ C, existe un elemento −v ∈ C, tal que

v

+

(

−

v

)

=

0

.

Existencia del elementos opuestos respecto a la suma en C.

(v).

v

+

w

=

w

+

v

. Conmutatividad de la suma vectorial en C. 1.6.2 Para el Producto por Escalar

(i).

α

v∈C. El producto por escalares es una operación cerrada en C.

(ii).

α

(

β

v

)

=

(

αβ

)

v

. Asociatividad del producto por escalares en C.

(iii). Si 1 denota el elemento neutro de la multiplicación del campo de escalares R,

(iv).

α

(

v

+

w

)

=

α

v

+

α

w

. Distributividad con respecto a la suma vectorial. (v).

(

a

+

b

)

v

=

av

+

bv

. Distributividad con respecto a la suma escalar.

Las propiedades de la 1 a la 5 indican que C es conmutativo o Abeliano bajo la suma

vectorial.

Figura 1.2

De hecho la definición de suma coincide con la suma según la regla del paralelogramo para la suma vectorial en R2_{. (Figura 1.2).}

1.7 Espacio Vectorial Normado.

El modulo, o valor absoluto, de un número complejo

z

=

x

+

iy

se define como el

número real negativo 2 2

y

x + y se denota por

z

; esto es,

z

= 2 2 y

x + .

C es un espacio vectorial. Una función que hace corresponder a cada vector z∈C el

número real z = z es una norma de C si, y solo si, para todos

z

,

w

∈

C

y k∈R,

verifican los siguientes axiomas.

Axioma 1. z ≥0 y z =0 si, y solo si, z=0.

Axioma 2. z+w ≤ z + w .

1.8 Complejo Conjugado

El complejo conjugado de un número complejo z=x+iy se obtiene cambiando el

signo de la parte compleja y se denota por el símbolo z. Entonces

z

=

x

−

iy

.

1.8.1 Propiedades del Complejo Conjugado

Dado que si

z

=

x

+

iy

, entonces

i) z+z =(x+ yi=+(x+yi)=2x=2Re (z), ii) z−z=(x+ yi)−(x−yi)=2iy=2iIm (z), iii) 2 2 2 ) )( (x yi x yi x y z z z = + − = + = .

iv) De esta forma tendremos las identidades

( )

2

Re

z

=

z

+

z

,

( )

i

z

z

z

2

Im

=

−

, v) Si z1 =x1+iy1 y z2 = x2 +iy2, entonces

)

(

)

(

)

(

)

(

_{1 2 1 2 1 2 1 2} 2 1

z

x

x

i

y

y

x

x

i

y

y

z

+

=

+

+

+

=

+

−

+

=

(

x

1

−

iy

1

)

+

(

x

2

−

iy

2

)

=

z

1

+

z

2.

Luego, el complejo conjugado de la suma de números complejos es la suma de sus conjugados: 2 1 2 1

z

z

z

z

+

=

+

. De manera semejante se muestra que

2 1 2 1

z

z

z

z

−

=

−

, vi)

z

₁

z

₂

=

z

1

z

2 vii) 2 2 2 1 2 1

z

z

z

z

z

_⎟

₌

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

_{, 0} 2 ≠ z . 1.9 REPRESENTACIÓN POLAR

Figura 1.3

Los números complejos pueden representarse como vectores en el plano complejo, utilizaremos el concepto de segmento de recta dirigido para determinar las propiedades de la longitud y del ángulo de inclinación de un vector en plano complejo.

Consideremos el vector no nulo

z

=

x

+

iy

la longitud r del vector z se muestra en la

(figura 1.3) se puede determinar aplicando el teorema de Pitágoras.

Llamamos a esta longitud valor absoluto (norma ó magnitud) del número complejo

z, y lo denotamos como z = x2 +y2 .

Regresando a la (figura 1.3) vemos que el ángulo θ que forma el vector

z

=

x

+

iy

con el eje real positivo se llama argumento del complejo z y se nota arg(z), esta dado

por la expresión:

π

θ

k

y

x

2

arctan

+

=

donde

k

=

0

,

±

1

,

±

2

,...

El ángulo θ tal que −

π

≤

θ

<

π

, se llama valor principal del argumento y se designa

Arg(z). Ejemplo 1

Encuentre la representación polar de

1

−

i

Solución: remitiéndonos a la (figura 1.4). El valor absoluto de

1

−

i

es

2

)

1

(

1

1

−

i

=

2

+

−

2

=

,

Mientras que el valor principal del argumento de

1

−

i

es

) 1

( −i =−

π

Como los ángulos polares no están determinados las superficies de Riemann se tienen en forma única, y su argumento es

k i

π

2

π

4 ) 1 arg( − = − + ,

Donde k es cualquier entero. Así, la representación polar de

1

−

i

es

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−

₊

+

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−

₊

=

−

i

π

π

k

isen

π

2

π

k

4

2

4

cos

2

1

. Figura 1.4

1.9.1 Multiplicación de Números Complejos Bajo su Representación Polar

La multiplicación de los números complejos z y

w

tienen interpretaciones

geométricas cuando los escribimos en sus representaciones polares.

Sean

θ

=arg(z) y

φ

=arg(w). Se tiene

(

θ

isen

θ

)

z

z

=

cos

+

y

w

=

w

(

cos

φ

+

isen

φ

)

. Entonces,

(

θ

isen

θ

)(

φ

isen

φ

)

w

z

zw

=

cos

+

cos

+

(

) (

)

[

θ

φ

sen

θ

sen

φ

i

sen

θ

φ

θ

sen

φ

]

w

z

cos

cos

−

+

cos

+

cos

=

y, por las formulas de suma de ángulos de trigonometría,

(

)

(

)

[

θ

+

φ

+

θ

+

φ

]

=

z

w

isen

zw

cos

. Como

(

)

(

)

1

,

cos

θ

+

φ

+

isen

θ

+

φ

=

La ecuación

(

)

(

)

[

θ

+

φ

+

θ

+

φ

]

=

z

w

isen

zw

cos

.

Figura 1.5 Conduce a

w

z

zw

=

Y ) arg( ) arg( ) arg(zw = z + w _.

Por lo tanto la longitud del vector

zw

es el producto de las longitudes de los

vectoresz y

w

, mientras que el ángulo polar del vector

zw

es la suma de los ángulos

polares de los vectores z y

w

. Ya que el argumento se determina hasta la

multiplicación de

2

π

la ecuación arg(zw)=arg(z)+arg(w) se interpreta diciendo

que, si se asignan valore particulares a dos términos cualesquiera, existe un valor del tercer término para el cual se cumple la igualdad.

La construcción geométrica del producto

zw

se muestra en la (figura 1.5). Para la

multiplicación, el ángulo entre

w

y

zw

debe ser idéntico al ángulo entre 1 y z en la

(figura 1.5). De ello, los triángulos de 0i 1 z y 0i

w

zw

son semejantes. 1.9.2 División de Números Complejos

La división de números complejos conduce a la siguiente ecuación:

(

)

(

)

[

θ

−

φ

+

θ

−

φ

]

=

isen

w

z

w

z

cos

) (θ φ φ θ

β

β

−

=

=

r

e

e

re

i i

[

cos(

θ

φ

)

(

θ

φ

)

]

β

−

+

−

=

r

isen

como

w

=

w

, obtenemos, por las formulas de sumas de ángulos de la

trigonometría,

(

) (

)

.

0

,

cos

cos

2

≠

−

+

=

=

w

w

isen

w

isen

z

w

w

w

z

w

z

θ

θ

φ

ϕ

Por lo tanto, w z = w z y ) arg( ) arg( arg z w w z − = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ _,

con la ecuación arg arg(z) arg(w)

w z _{= −} ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛

, sujeta a una interpretación similar a la de la ecuación arg(zw)=arg(z)+arg(w).

1.10 Desigualdad Triangular Definición 1.1

Dados dos números z1 y z2se verifica que

2 1 2 1

z

z

z

z

+

≤

+

Demostración: Si tomamos

)

)(

(

)

)(

(

_{1 2 1 2 1 2 1 2} 2 2 1

z

z

z

z

z

z

z

z

z

z

+

=

+

+

=

+

+

2 2 1 2 2 1 1 1

z

z

z

z

z

z

z

z

+

+

+

=

2 2 1 2 2 2 1 2 1 2 2 1

z

z

2

z

z

z

(

z

z

)

z

+

≤

+

+

=

+

.

Extrayendo la raíz cuadrada (recordemos que el módulo es siempre positivo), recordemos que la longitud de un lado de cualquier triangulo es menor o igual a la suma de las longitudes de los otros dos lados. De tal forma que la desigualdad del triangulo también se puede deducir inmediatamente considerando el triangulo

Figura 1.6

1.11 Superficie De Riemann

Una superficie de Riemann es una generalización del plano complejo a una superficie de más de una hoja tal que una función multivaluada tiene sólo un valor correspondiente a cada punto de esa superficie. Una vez construida esa superficie para una función dada, la función es univaluada sobre la superficie y se le puede aplicar allí la teoría de funciones univaluadas (figura 1.7). Las complicaciones que aparecen ligadas al carácter multivaluado de la función quedan así evitadas por un truco geométrico. Sin embargo, la descripción de esas superficies y la relación entre sus hojas pueden ser muy engorrosas.

Teorema 1.2 Teorema De Moivre Si n es un número entero entonces

,

cos

)

(

)

(cos

θ

+

isen

θ

n

=

e

iθ n

=

e

iθn

=

n

θ

+

isenn

θ

Demostración.

Por inducción sobre n. El producto

(

)

(

)

[

cos

θ

+

φ

+

θ

+

φ

]

,

=

z

w

isen

zw

donde

θ

=arg(z) y

φ

=arg(w), y cuando

z

=

w

obtendremos que:

Si

θ

=

φ

, tenemos

( )

( )

[

cos 2

θ

2

θ

]

2 2 isen z z = + con 2 z w= , obtenemos

( )

z 2 = z z2

[

cos

(

θ

+2

θ

)

+isen

(

θ

+2

θ

)

]

z o

( )

( )

[

cos3

θ

3

θ

]

3 3 isen z z = + .

Como

z

=

z

(

cos

θ

+

isen

θ

)

, hemos demostrado que:

(

cos

θ

+isen

θ

)

2 =cos

( )

2

θ

+isen

( )

2

θ

y

(

cos

θ

+isen

θ

)

3 =cos

( )

3

θ

+isen

( )

3

θ

.

Mediante este proceso hemos obtenido el teorema De Moivre.

(

θ

isen

θ

)

z

z

=

cos

+

y

w

=

w

(

cos

φ

+

isen

φ

)

. Donde n es un entero positivo.

1.12 Raíces de un Número Complejo Definición 1.3

Si n

w

z

=

, entonces w se llama la raíz enésima de

z

y podemos escribirla como:

n

z

w=

que posee n distintos valores. Es decir n

z está multivaluada. Sean

)

(cos

φ

isen

φ

R

w

=

+

,

z

=

r

(cos

θ

+

isen

θ

)

Entonces por el teorema de Moivre:

z

w

n

=

entonces

[

cos(

n

φ

)

isen

(

n

φ

)

]

r

(cos

θ

isen

θ

)

R

w

n

=

n

+

=

+

luego n

R

r

=

o n r R= y

π

θ

φ

k

n

=

+

2

o

n

k

n

π

θ

φ

=

+

2

tomando los valores k = 0,1,...., n-1, obtendremos las n raíces. Resumiendo:

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛ +

+

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛ +

=

n

k

isen

n

k

r

z

n n

θ

2

π

θ

2

π

cos

,

k

=

0

,

1

,...,

n

−

1

.

Los n valores se reparten equitativamente en una circunferencia de radio n

r con

centro en el origen, constituyendo los vértices de un polígono regular de n caras. El valor de n

z obtenido al tomar el valor principal de

arg(

z

)

y k =0 en la fórmula

de arriba se asume como valor principal de n

z

w= .

El teorema De Moivre también puede utilizarse para encontrar las raíces de un

número complejo. Si z _{es una raíz n-ésima del número complejo}

w

, entonces

.

w

zn =

para encontrar z, establezcamos que

(

θ

isen

θ

)

z

z = cos + y

w

=

w

(

cos

φ

+

isen

φ

)

,

donde

θ

=

arg(

z

)

y

φ

=

arg(

w

)

. De tal forma que con el teorema De Moivre,

tenemos:

(

θ

isen

θ

)

w

(

φ

isen

φ

)

zn cos + = cos + .

Así, podemos tomar

n w z = 1 y

)

2

)

(

(

1

)

arg(

1

k

w

Arg

n

w

n

π

θ

=

=

+

,

k

=

0

,

±

1

,

±

2

,...

,

aunque la ecuación anterior proporciona un número infinito de valores para

θ

, solo se obtienen n ángulos polares diferentes porque:

(

)

π

_π

π

2 2 2 + = + n k n n k

pues los ángulos polares se repiten cada n enteros. Por lo tanto, limitamos nuestra atención a los n ángulos polares:

(

2

)

, 1 k Argw n

π

θ

= + k =0,±1,±2....,n−1. Ejemplo 2

Encontrar las tres raíces cúbicas de

w

=

1

−

i

_{, donde 2e}i(2kπ−π4) =₁+_i=_z3 .

Solución: sea z una raíz cúbica de

1

−

i

. Entonces z3 =1−i, y por el teorema de

Moivre,

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−

₊

+

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−

₊

=

+

isen

π

k

π

isen

π

k

π

z

2

4

2

4

cos

2

)

30

30

(cos

3 , De tal forma que

6 1

2

=

z

y 3 2 12

π

π

θ

= − + k , k =0,1,2.

En consecuencia, las tres raíces cúbicas de

1

−

i

son:

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

=

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛ −

+

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛ −

=

12

12

cos

2

12

12

cos

2

6 6 0

π

π

π

π

isen

isen

z

,

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

+

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

=

12

7

12

7

cos

2

6 1

π

π

isen

z

,

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

+

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

=

4

5

4

5

cos

2

6 2

π

π

isen

z

.

Una consecuencia de estas definiciones es el siguiente teorema. 1.13 Teorema Fundamental del Cálculo.

Si una función real f(x) es continua en un intervalo

a

≤

x

≤

b

, entonces

f

(

x

)

posee

antiderivadas en ese intervalo. Si

f

(

x

)

es cualquier antiderivada de

f

(

x

)

en

b

x

)

(

)

(

)

(

x

dx

F

b

F

a

f

b a

=

−

∫

. Donde

F

'

(

x

)

=

f

(

x

)

.

II. TOPOLOGIA DEL PLANO COMPLEJO C

Si

z

=

x

+

iy

entonces B(z0,r)={z: z−z0 <r} son los discos abiertos en C.

Se define la topología generada por discos abiertos como:

Sea S un subconjunto de C, y sea

a

∈

S

. Entonces

a

se denomina punto interior de

S si existe una n-bola abierta con centro en

a

, contenida en S.

Interior de S se designa por (int S). Definición de Punto Interior 2.1

Un conjunto S de C es abierto si todos sus puntos son interiores o S es abierto si, y

solo si, S=int S.

Definición de Punto Adherente 2.2

Sea S un subconjunto de C, y sea

z

un punto de C, no necesariamente de S.

Entonces se dice que

z

es adherente a S si toda n-bola

B

(

z

)

contiene un punto de

S, por lo menos.

Definición de Punto Acumulación2.3

Si

S

⊆

C

y

x

∈

C

, entonces

z

se llama punto de acumulación de S si cada n-bola

)

(

z

B

contiene por lo menos un punto de S distinto de

z

.

Ejemplo 3

Sea

S

0 el conjunto de todos los puntos z tales que

z

<

1

. Encuentre el interior, la frontera y el exterior del conjunto

S

0.

Solución: sea

z

0un punto cualquiera de

S

0. Note que el disco

z

−

z

0

<

ε

esta

situado completamente dentro de

S

0 siempre que

ε

<1− z0 . Así, todo punto de

0

S

es un punto interior. Igualmente todo punto

z

0 que satisfaga z >1 será exterior

a

S

0. Si z0 =1, entonces toda

ε

-vecindad de

z

0 contendrá puntos que están en

0

S

y puntos que no lo están. Por tanto, la frontera de

S

0 consiste en todos los

puntos sobre el circulo z =1, el interior es el conjunto z <1, y el exterior es el

Figura 1.8 Definición de Conjunto Acotado2.4

Un conjunto S es acotado si existe un número real positivo

α

tal que todo (z) en

S satisfaga

z

<

α

. Si esta condición no se cumple decimos que S es no acotado.

Definición de Conjunto Inconexo2.5

Un subconjunto A de C, es inconexo (o no conexo) si existen subconjuntos abiertos

G y H de C tales que

A

∩

G

y A∩H son conjuntos no vacíos disjuntos cuya unión

es A. en esta caso,

G

∪

H

e una inconexión de A. un conjunto es conexo si no es

inconexo.

Definición de Región2.6

Un conjunto en C se llama región si es la unión de un conjunto conexo con alguno, ninguno o todos sus puntos fronteras. Si ninguno de sus puntos frontera esta incluido en la región, se dice que esta en una región abierta. Si todos los puntos frontera están incluidos, se dice que la región es una región cerrada.

Teorema 2.7

Cualesquiera dos puntos de una región pueden unirse por medio de una línea poligonal contenida en la región.

Demostración.

Por contradicción. Llamemos S a la región, y supongamos que

z

0 esta dentro de S.

Denotaremos por

S

1 todos aquellos puntos de S que puedan unirse a

z

0 por medio

de un polígono y denotaremos por

S

₂ aquellos puntos que no pueden unirse. Si

z

₁

esta en

S

1 y por tanto en S, es un punto interior de S. Así, existe una vecindad de

1

z

contenida en S:

z

−

z

₁

<

δ

. Todos estos puntos están en

S

₁, ya que cada uno

puede unirse a

z

₁ por medio de una que recta que pertenece a S, y que por ende

puede unirse a

z

0 por medio de un polígono contenido en S. Entonces todo punto

de

S

₁ es punto interior de

S

₁, así que

S

₁ es abierto.

Si

z

2 esta en

S

2, sea

z

−

z

2

<

δ

una vecindad contenida en S. Ningún punto de

esta vecindad puede estar en

S

1, porque si así fuera

z

2 estaría en

S

1. Por lo cual todo

punto de

S

₂ es punto interior de

S

₂, entonces

S

₂ es abierto. Ningún conjunto

puede contener un punto frontera del otro, ya que ambos son abiertos y son ajenos.

Como S es conexo, uno de estos conjuntos debe ser vació. Pero

z

0 esta en

S

1, así

que

S

₂ es vació. Cualesquiera dos puntos pueden unirse a

z

0 por medio de una

trayectoria poligonal contenida en S y, por tanto, puede unirse entre si por una

trayectoria poligonal que pasa por

z

0.■

III. FUNCIONES DE VARIABLE COMPLEJA 3.1 Funciones

Definición de Función 3.1

Sea S un conjunto de números complejos. Una función f definida sobre S es una

regla que asigna a cada z en S un número complejo

w

. El numero

w

se llama el

valor de f en z y se denota por f(z); esto es,

w

= f(z).

Para definir una función es necesario dar tanto una regla de asignación como un dominio de definición. Si no se menciona el dominio de definición, sobreentendemos que se toma el mayor conjunto posible.

Sea w=u+iv el valor de una función f en

z

=

x

+

iy

; es decir,

) (x iy f iv

u+ = + .

Cada numero real

u

y

v

depende de las variables reales

x

y y, luego f(z) puede

ser expresado en terminote un par de función con valores reales de las variables reales

) , ( ) , ( ) (z u x y iv x y f = + . Ejemplo 4 Si f(z)=

z

2, entonces

xy

i

y

x

iy

x

iy

x

f

(

+

)

=

(

+

)

2

=

2

−

2

+

2

. Luego 2 2

)

,

(

x

y

x

y

u

=

−

y v(x,y)=2xy.

Si se usan coordenadas polares r y

θ

, en vez de

x

y y, entonces

u

+

iv

=

f

(

re

iθ

)

,

donde w=u+iv y iθ

re

z= . En este caso podemos escribir,

) , ( ) , ( ) (z u r

θ

iv r

θ

f = + . 3.2 Limites Definición 3.2

Se dice que la función

f

(

z

)

tiene limite A cuando

z

tiende hacia a,

A

z

f

a z→

(

)

=

lim

,

Si para todo

ε

>0 existe un número

δ

>0 tal que

ε

< −A z f( )

Siempre que 0< z−a <

δ

. Además, la función

f

(

z

)

es continua en a si y sólo si

)

(

)

(

lim

f

z

f

a

a z→

=

(Figura 2.0). Una función continua es aquella que es continua en todos los puntos donde está definida.

Geométricamente, la definición de limite establece que cualquier

ε

-vecindad de a

contiene todos los valores que

f

toma en alguna

δ

-vecindad de a excepto

posiblemente en el valor

f

(

a

)

. El siguiente ejemplo ilustra el procedimiento usual

Figura 2.0 Ejemplo 5 Pruebe que

2

2

1

lim

3

−

=

−

→

_z

z

z .

Solución: con la expresión f(z)−a, simplificada, obtenemos

2

2

3

2

2

1

−

<

−

−

=

−

−

−

z

z

z

z

z

δ

.

Puesto que 0< z−3 <

δ

donde

δ

debe todavía expresarse en términos de

ε

. Si

2

1

<

δ

, mediante la desigualdad del triangulo, tenemos

2

1

1

)

3

1

)

3

(

1

2

=

−

−

≥

−

−

>

−

>

−

z

z

δ

z

de tal forma que

δ

2

2

2

1

<

−

−

−

z

z

.

Así dado cualquier número pequeño

ε

>0, si elegimos

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

<

ε

δ

2

1

,

2

1

min

, obtenemos

ε

<

−

−

−

2

2

1

z

z

.

Al igual que la definición de límite de una función compleja de una variable compleja es idéntica a la de una función real de una variable real, y puesto que los valores absolutos se comportan como en el caso real, se aplican exactamente las mismas reglas de los límites.

3.2.1 Propiedades de los Límites.

Sean

f

z

A

a z→

(

)

=

lim

y

g

z

B

a z→

(

)

=

lim

. Entonces (i)

[

f

z

g

z

]

A

B

a z→

(

)

+

(

)

=

±

lim

, (ii)

f

z

g

z

AB

a z→

(

)

(

)

=

lim

, (iii)

B

A

z

g

z

f

a z→

₍

₎

=

)

(

lim

, para B≠0. Demostración.

Dado

ε

>0 existe un número

δ

₁ >0 tal que f(z)−A <

ε

, si z−a <

δ

1, y un número

δ

₂ >0 tal que g(z)−B <

ε

, siempre que z−a <

δ

2. Sea z−a <

δ

, donde

δ

1 =min(

δ

1,

δ

2). Entonces, por la desigualdad del triangulo,

[

f(z)+g(z)

]

−(A+B) =

[

f(z)−A

] [

+ g(z)−B

] [

≤ f(z)−A

]

+ g(z)−B <

ε

+

ε

=2

ε

y

[

f(z)−g(z)

]

−(A−B) =

[

f(z)−A

] [

+ B−g(z)

]

≤ f(z)−A + B−g(z) <

ε

+

ε

=2

ε

.

Como

ε

>0 es arbitrario, se muestra que

f

(

z

)

±

g

(

z

)

puede estar arbitrariamente

cercano a

A

±

B

eligiendo a

z

suficientemente cercano a a. Por tanto, la propiedad

(i) se cumple. Además,

AB B z f B z f z g z f AB z g z f( ) ( )− = ( ) ( )− ( ) + ( ) − A z f B B z g z f A z f B B z g z f( ) ( )− + ( )− ≤ ( ) ( )− + ( )− y

B

A

B

z

f

B

z

f

z

g

z

f

B

A

z

g

z

f

₋

₌

₋

(

)

₊

(

)

₋

)

(

)

(

)

(

)

(

[

]

B A z f z g B z g B z f B A z f z Bg z g B z f − + − ≤ − + − = ( ) ( ) ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( . Si

B

2

1

0

<

ε

<

, tenemos ) ( ) ( ) (z g z g z g B B = − + ≤

ε

+ ,

de tal forma que

B

B

z

g

2

1

)

(

≥

−

ε

<

ε

+ ≤ + − = f z A A A z f( ) ( ) , por lo tanto

(

ε

)

ε

+ + ≤ −AB A B z g z f( ) ( ) , y

⎟

⎟

⎠

⎞

⎜

⎜

⎝

⎛

+

+

<

−

1

2

1

)

(

)

(

B

A

B

B

A

z

g

z

f

ε

ε

,

así que podemos hacer

f

(

z

)

g

(

z

)

y

f

(

z

)

arbitrariamente cercanos a

AB

y A B,

respectivamente, con

z

suficientemente cercano a a. Esto comprueba las reglas (ii) y

(iii). Teorema 3.3 Sea 0

)

(

lim

0

w

z

f

z z→

=

y

lim

0

(

)

0

W

z

F

z z→

=

. Entonces

[

(

)

(

)

]

0 0

lim

0

W

w

z

F

z

f

z z→

+

=

+

, y

[

(

)

(

)

]

0 0

lim

0

W

w

z

F

z

f

z z→

=

Y, si

W

₀

≠

0

, entonces 0 0

)

(

)

(

lim

0

W

w

z

F

z

f

z z→

=

. El limite de un polinomio n nz a z a z a a z P( )= 0 + 1 + 2 2 +...+ cuando z tiende a 0

)

(

)

(

lim

₀ 0

z

P

z

P

z z→

=

.

Otra propiedad de los límites que nos será de utilidad. 0

)

(

lim

0

w

z

f

z z→

=

, entonces

lim

0

(

)

0

w

z

f

z z→

=

.

En general las propiedades que aplican para los límites de los números reales también son las mismas que se utilizan para los complejos. Las reglas de los limites pueden usarse para probar que toda función polinomial en z

0 1 1 1 ... ) (z a z a z a z a

f = _n n + _n− n− + + + es continua en los complejos.

Sea una función definida en todos los puntos z de un entorno abierto de

z

0. La

afirmación de que el limite de f(z), cuando z tiende a

z

0, es número

w

0, o sea 0

)

(

lim

0

w

z

f

z z→

=

,

significa que el punto

w

= f(z) puede hacerse tan próximo como se quiera a

w

0 si

escogemos el punto z suficientemente cercano al punto

z

0, pero distinto de el.

Entonces la afirmación

lim

(

)

0

0

w

z

f

z

z→

=

significa que, para cada número positivo

ε

,

existe un número positivo

δ

tal que

ε

<

−

w

_o

z

f

(

)

siempre que

0

<

z

−

z

0

<

δ

.

Geométricamente, esta definición dice que para cada

ε

-entorno

w

−

w

0

<

ε

de

0

w

, existe un

δ

-entorno abierto

0

<

z

−

z

0

<

δ

de

z

0 tal que todo punto z en él

tiene una imagen

w

que esta en el

ε

-entorno (figura 2.1).

Teorema 3.4 Sea f(z)=u(x,y)+iv(x,y),

z

0

=

x

0

+

iy

0, y

w

0

=

u

0

+

iv

0. Entonces 0

)

(

lim

0

w

z

f

z z→

=

Si y solo si 0 ) , ( ) , (

lim

0 0

(

,

)

u

y

x

u

y x y x →

=

y (x,y)lim→(x₀,y₀)v(x,y)=v0. Demostración: Supongamos que ₀ ) , ( ) , (

lim

0 0

(

,

)

u

y

x

u

y x y x →

=

y (x,y)lim→(x₀,y₀)v(x,y)=v0 entonces 0 ) ( lim 0 w z f z z→ = .

Supongamos que

lim

(

)

0

0

w

z

f

z

z→

=

y de acuerdo con la definición de límites, donde

para cada número positivo

ε

existe un número positivo

δ

tal que

ε

<

−

+

−

)

(

)

(

u

u

₀

i

v

v

₀ siempre que

δ

<

−

+

−

<

(

)

(

)

0

x

x

₀

i

y

y

₀ . como

)

(

)

(

_{0 0} 0

u

u

i

v

v

u

u

−

≤

−

+

−

, y

)

(

)

(

_{0 0} 0

u

u

i

v

v

v

v

−

≤

−

+

−

, se sigue que

ε

<

−

u

₀

u

y

v

−

v

0

<

ε

, si

δ

<

−

+

−

<

2 0 2 0

)

(

)

(

0

x

x

i

y

y

.

Recíprocamente supongamos que 0

) , ( ) , (

lim

0 0

(

,

)

u

y

x

u

y x y x →

=

y 0 ) , ( ) ,

(xylim→x₀y₀ v(x,y)=v . Para cada número

ε

positivo existen números positivos

δ

1

y

δ

2 tales que 2 0

ε

< −u u si 1 2 0 2 0

)

(

)

(

0

<

x

−

x

+

y

−

y

<

δ

y 2 0

ε

< −v v si 2 ₂ 0 2 0

)

(

)

(

0

<

x

−

x

+

y

−

y

<

δ

,

0 0 0 0

)

(

)

(

u

−

u

+

i

v

−

v

≤

u

−

u

+

v

−

v

, concluimos que

ε

<

+

−

+

)

(

)

(

u

iv

u

₀

iv

₀ siempre que

δ

<

+

−

+

<

(

)

(

_{0 0}

0

x

iy

x

iy

.

lo cual es igual a la ecuación

lim

(

)

0

0

w

z

f

z z→

=

.■

Ejemplo para la superficie

log(

z

)

.

Correspondiendo a cada número no nulo z, la función multivaluada

θ

i

r

z

)

=

ln

+

log(

Tiene infinitos valores. Para describir

log(

z

)

como función univaluada, sustituimos el

plano

z

, quitado el origen, por una superficie sobre la cual se coloca un nuevo punto

cada vez que el argumento de

z

crece o decrece en 2

π

o en un múltiplo entero de

π

2 .

Consideremos el plano

z

, sin el origen, como una fina hoja

R

0 cortada a lo largo del

eje real positivo. Sobre esa hoja,

θ

varía de 0 a 2

π

. Sea R1 otra hoja cortada del

mismo modo y colocada sobre

R

0. El borde inferior del corte en

R

0 se une entonces

con el borde superior del corte de R1. Sobre R1,

θ

varía de 2

π

a 4

π

; así que

cuando

z

es representado por un punto en R1 la componente imaginaria de

log(

z

)

varía de 2

π

a 4

π

.

Se corta ahora de la misma manera otra hoja R2 y se coloca sobre R1. El borde

inferior del corte de R1 se une con el superior del corte R2, y análogamente para las

hojas

R

₃

,

R

₄

,...

Una hoja R−1 en la que

θ

varía desde 0 hasta −2

π

se corta y se

coloca bajo

R

0, con el borde inferior de su corte unido al borde superior del corte de

0

R

. Las hojas

R

₋₃

,

R

₋₄

,...

se construyen de forma similar. Las coordenadas r y

θ

de un punto sobre cualquiera de las hojas pueden considerarse como coordenadas

polares de la proyección del punto sobre el plano

z

original, estando restringida la

variación de

θ

en cada hoja a un rango de 2

π

radianes.

Consideremos cualquier curva continua sobre esta superficie conexa de infinitas hojas.

Al describir un punto

z

esa curva, los valores de

log(

z

)

varían continuamente ya

que

θ

, al igual que r, varía continuamente; y

log(

z

)

toma exactamente un valor

Figura 2.2

Por ejemplo, si el punto da una vuelta completa en torno al origen sobre la hoja

R

0

por el camino indicado en la (Figura2.2), el ángulo cambia de 0 a 2

π

. Al atravesar el

rayo

θ

=2

π

, el punto pasa a la hoja R1 de la superficie. Mientras completa una

vuelta en R1, el ángulo

θ

varia de 2

π

a 4

π

, y al cruzar el rayo

θ

=4

π

, el punto pasa a la hoja R2.

La superficie aquí descrita es una superficie de Riemann para

log(

z

)

. Es una

superficie conexa de infinitas hojas, construida de modo tal que

log(

z

)

es univaluada

sobre ella.

La transformación

w

=

log(

z

)

aplica la superficie de Riemann completa de manera

uno a uno sobre todo el plano w. La imagen de la hoja

R

0 es la franja 0≤v≤2

π

.

Cuando un punto

z

se mueve por la hoja R1 a lo largo del arco que muestra la

(Figura 2.3), su imagen w se mueve hacia arriba cruzando la recta v=2

π

, como

indica la (Figura 2.3).

Nótese que

log(

z

)

, definida sobre la hoja R1, representa la prolongación analítica de

la función analítica univaluada

θ

i

r

z

f

(

)

=

ln

+

,

(

0

<

θ

<

2

π

)

Por el eje real positivo hacia arriba. En ese sentido,

log(

z

)

es no sólo una función

univaluada de todos los puntos de la superficie de Riemann, sino también una función analítica en ellos.

Las hojas podrían haberse cortado, claro está, a lo largo del eje real negativo o de cualquier otro rayo que parta del origen, y unidas adecuadamente por los bordes de

Figura 2.3

Como sabemos la longitud de cualquier triángulo es menor o igual a la suma de las longitudes de los otros dos lados.

3.3 Continuidad.

Una función f es continua en un punto

z

0 si satisface las siguientes condiciones:

1.

lim

(

)

0

z

f

z z→ existe, 2.

f

(

z

₀

)

existe, 3.

lim

(

)

(

₀

)

0

z

f

z

f

z z→

=

.

La afirmación (3) dice que para cada número positivo

ε

existe un número positivo

δ

tal que,

4.

f

(

z

)

−

f

(

z

₀

)

<

ε

si

z

−

z

0

<

δ

.

Una función de una variable compleja se dice que es continua en una región R si lo es en todos sus puntos.

3.3.1 Propiedades Algebraicas para la Continuidad.

Si dos funciones son continuas en un punto, su suma y su producto también lo son; su cociente es continua en las mismas circunstancias siempre que el denominador no se anule en ese punto.

Se sigue directamente de la definición (4) que la composición de dos funciones

continuas es continua. Para verlo, sea w= f(z) una función definida para todo z de

imagen de ese entorno. Entonces la composición

g

[

f

(

z

)

]

esta definida para todo z de ese entorno de

z

0.

Supongamos ahora que f es continua en

z

0 y que g es continua en el punto

0

w

=

f

(

z

0

)

. En vista de la continuidad de g en

w

0, sabemos que para cada numero

positivo

ε

existe un número positivo

γ

tal que

[

f

(

z

)

] [

−

g

f

(

z

₀

)

]

<

ε

g

si

f

(

z

)

−

f

(

z

₀

)

<

γ

.

Ahora correspondiendo a

γ

, existe un número positivo

δ

la segunda de estas

igualdades se satisface siempre que

z

−

z

₀

<

δ

. 3.4 Funciones Continuas de una Variable

Una función continua de una variable compleja es una regla que asigna un numero

complejo w a cada numero complejo z de un conjunto S. Al escribir w= f(z) en

términos de las descomposiciones en partes real e imaginaria

z

=

x

+

iy

y

iv u

w= + de

cada variable compleja,

w

=

u

( ) ( ) ( ) ( )

z

+

iv

z

=

x

,

y

+

iv

x

,

y

,

notamos que una

función compleja de una variable compleja consiste en un par de funciones reales de dos variables reales.

Las funciones reales de una variable real y= f(x) pueden describirse

geométricamente por medio de una grafica en el plano

xy

. No es posible una

representación para w= f(z), ya que se requeriría cuatro dimensiones, dos para

cada variable compleja. En lugar de esto, la información acerca de la función se

expresa dibujando planos complejos separados para las variables z y

w

, e indicando

la correspondencia existente entre puntos, o conjuntos de puntos, en los planos (figura 2.4).

3.5 Derivadas Definición 3.5

Sea

f

una función cuyo dominio de definición contiene un entorno de

z

0. La

derivada de

f

en

z

0, escrita

(

0

)

'

z

f

, se define por la ecuación,

0 0 0 ' ( ) ( ) lim ) ( 0 z z z f z f z f z z − − = → ,

Supuesto que ese límite exista. La función

f

se dice diferenciable en

z

0 cuando

Figura 2.4

Expresando la variable

z

de la ecuación

0 0 0 ' ( ) ( ) lim ) ( 0 z z z f z f z f z z − − = → en términos

de la nueva variable compleja cuando

z

esta muy cerca de

z

0, se tiene,

0

z

z

z

=

−

∆

de donde 0

z

z

z

=

∆

+

, y la ecuación se puede escribir como

z z f z z f z f z ∆ − ∆ + = → ∆ ) ( ) ( lim ) ( 0 0 0 0 ' .

Siempre que ∆z sea suficientemente pequeño (Figura 2.5).

Al utilizar la ecuación z z f z z f z f z ∆ − ∆ + = → ∆ ) ( ) ( lim ) ( 0 0 0 0 ' de la definición de

derivada se suele omitir el subíndice de

z

0, y se introduce el número

Que denota el cambio en el valor de

f

correspondiente a un cambio

∆

z

en el punto

en el que evaluamos

f

. Entonces, si llamamos

dw

_dz

a

f

´(

z

)

, la ecuación

z z f z z f z f z ∆ − ∆ + = → ∆ ) ( ) ( lim ) ( 0 0 0 0 ' se convierte en

z

w

dz

dw

z

∆

∆

=

→ ∆

lim

0 .

)

(

)

(

z

z

f

z

f

w

=

+

∆

−

∆

, Figura 2.5 Todo polinomio: n nz a z a z a z a a z P( )) ₀ + ₁ + ₂ 2 + ₃ 3 +...+

Es entero, porque en cada punto z de los complejos tiene derivada

1 2 3 2 1 ' ... 3 2 ) (z =a + a z+ a z + +nanzn− P . Ejemplo 6

Examinemos ahora la función

f

(

z

)

=

z

2. Aquí

Figura 2.6

z

z

z

z

z

z

z

z

z

z

z

z

z

w

∆

∆

+

∆

+

=

∆

−

∆

+

∆

+

=

∆

−

∆

+

=

∆

∆

2 2

(

)(

)

.