Razones y Proporciones

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Razones y Proporciones

Razon: Una raz´on es el cuociente entre dos cantidades. Se escribe a

b o a:b y se lee:“a es a b” en donde a se denomina antecedente y b se denomina consecuente.

Proporci´on: Una proporci´on es la igualdad de dos razones. Se escribe x a =

y

b Y se lee x es a a como y es a b;x y b se denominan extremos; a ey se denominan medios.

Teorema Fundamental: En toda proporci´on, el producto de los extremos es igual al producto de los medios.

(x:a=y:b)

Observaci´on: Si x : a = y :b , entonces existe una constante k, denominada constante de propor-cionalidad, tal que:

(x=ka, y =kb;k6= 0)

Proporcionalidad directa: Dos variables, x e y, son directamente proporcionales si el cuociente entre sus valores correspondientes es constante.

x1 y1 = x2 y2 = x3 y3 =· · ·= xn yn =k

Observación:En una proporción directa, si una cantidad aumenta (disminuye) n veces, la otra au-menta (disminuye) el mismo número de veces. El gráfico de una proporcionalidad directa corresponde a una l´ınea recta que pasa por el origen.

Definici´on: Dos variables, x e y, son inversamente proporcionales si el producto entre sus valores correspondientes es constante:

(x1×y1 =x2×y2 =x3×y3 =· · ·=xn×yn=k)

Observacion: En una proporcionalidad inversa, si una cantidad aumenta (o disminuye) n veces, la otra disminuye (o aumenta) el mismo número de veces. El gráfico de una proporcionalidad inversa corresponde a una hipérbola equilátera.

Ejercicios

1. Dada la siguiente tabla: A 10 15 20 B 3 x 1,5 ¿Cu´al(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)?

a) S´olo I b) S´olo I y II

c) S´olo I y III d) S´olo II y III

e) I, II y III

I) A y B son directamente proporcionales. II) El valor de x es 2.

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2. 2 electricistas hacen un trabajo en 6 d´ıas, trabajando 8 horas diarias. ¿Cu´al(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)?

a) S´olo I b) S´olo I y II

c) S´olo I y III d) S´olo II y III

e) I, II y III

I) 4 electricistas har´an el trabajo en 3 d´ıas, trabajando 8 horas diarias. II) Los electricistas y las horas son directamente proporcionales

III) La constante de proporcionalidad es 3.

3. En una quinta hay naranjos, manzanos y duraznos que suman en total 300 árboles. Si hay 120 naranjos y la razón entre los duraznos y manzanos es 7 : 3, entonces ¿cuántos duraznos hay en la quinta? a) 54 b) 77 c) 84 d) 126 e) 210

4. y es inversamente proporcional al cuadrado de x, cuando y= 16, x= 1. Si x= 8, entoncesy = a) 1 2 b) 1 4 c) 2 d) 4 e) 9

5. Se sabe que a es directamente proporcional al n´umero 1

b y cuando a toma el valor 15, el valor deb es 4. Sia toma el valor 6, entonces el valor de b es:

a) 10 b) 8 5 c) 5 8 d) 1 10 e) 15 4

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6. En un mapa (a escala) se tiene que 2 cm en ´el corresponden a 25 km en la realidad. Si la distancia en el mapa entre dos ciudades es 5,4 cm, entonces la distancia real es:

a) 50 km. b) 65 km.

c) 67,5 km. d) 62,5 km.

e) Ninguno de los valores anteriores.

7. Dos variables N y M son inversamente proporcionales entre s´ı. Para mantener el valor de la constante de proporcionalidad, si M aumenta al doble, entonces N

a) Aumenta el doble. b) Disminuye a la mitad

c) Aumenta en dos unidades. d) Disminuye en dos unidades.

e) Se mantiene constante.

8. En la tabla adjunta z es directamente proporcional a 1

y , seg´un los datos registrados, el valor de a c , es: a) 256 b) 16 c) 1 16 d) 64 e) 1 64 z y 8 2 a 4 1 16 1/4 b

9. Los cajones M y S pesan juntos K kilogramos. Si la raz´on entre los pesos de M y S es 3:4, entonces la razon S:K es a) 4:7 b) 4:3 c) 7:4 d) 3:7 e) 3:4

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10. Una nutricionista mezcla tres tipos de jugos de fruta de modo que sus volúmenes están en la razón 1:2:3. Si el volumen del segundo tipo es de 4 litros, ¿cuántos litros tiene la mezcla total?

a) 6 litros. b) 10 litros.

c) 12 litros. d) 14 litros. e) 16 litros.

11. A un evento asistieron 56 personas. Si hab´ıa 4 mujeres por cada 3 hombres, ¿cu´antas mujeres asistieron al evento? a) 8 b) 21 c) 24 d) 28 e) 32

12. Si h hombres pueden fabricar 50 art´ıculos en un d´ıa, ¿cu´antos hombres se necesitan para fabricar x art´ıculos en un d´ıa? a) hx 50 b) 50x h c) x 50h d) h 50x

e) Ninguno de los valores anteriores.

13. Las variables x, w, u, v son tales que: x es directamente proporcional a u, con constante de proporcionalidad 2, y w es inversamente proporcional a v, con constante de proporcionalidad 8. ¿Cu´ales de las siguientes relaciones entre dichas variables representan este hecho?

a) x u = 2 y w•v=8 b) x−u= 2 yw+v = 8 c) x•u= 2 y w v= 8 d) x+u= 2 y w−v = 8 e) x+w= 10

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14. Un trabajador X, trabajando solo se demora t d´ıas en hacer un jard´ın, otro trabajador Y se demora t + 15 d´ıas en hacer el mismo jard´ın, y si ambos trabajan juntos se demoran 10 d´ıas. ¿Cu´antos d´ıas se demorar´a Y trabajando solo?

a) 30 b) 28 c) 25 d) 20 e) 15

15. Si el ´ındice de crecimiento C de una poblaci´on es inversamente proporcional al ´ındice D de desempleo y en un instante en que C = 0,5 se tiene que D = 0,25, entonces entre ambos ´ındices se cumple: a) D= 0,5 b) D=C2 c) D= 0,5 C d) D= 0,125C e) D= 0,125 C

16. Para hacer arreglos en un edificio se contratará un cierto número de electricistas. Si se con-tratara 2 electricistas, ellos se demorar´ıan 6 d´ıas, trabajando 8 horas diarias, ¿cuál(es) de las siguientes aseveraciones es(son) verdadera(s)?

a) S´olo I b) S´olo III

c) S´olo I y II d) Solo II y III

e) I, II y III

I) Si se contrataran 4 electricistas, se demorar´ıan 3 d´ıas, tra-bajando 8 horas diarias.

II) El n´umero de electricistas y el numero de d´ıas son variables directamente proporcionales.

III) La constante de proporcionalidad entre las variables es 3. 17. n y m son directamente proporcionales y su constante de proporcionalidad es 3. ¿Cu´al de las

siguientes tablas representa dicha relaci´on? a) m n 3 1 6 2 9 3 c) m n 3 2 9 6 27 18 e) m n 3 6 6 12 9 18 b) m n 1 3 6 0,5 12 0,25 d) m n 1 3 2 6 3 9

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Porcentaje

El tanto por ciento es un caso particular de proporcionalidad directa en que uno de los t´erminos de la proporci´on es 100: Q C = P 100 ⇒Q = P 100C ⇒Q=P%C P: es el tanto por ciento.

C: es la cantidad de referencia. Q: es el porcentaje.

El tanto por ciento P de una cantidad C expresado en fracci´on es

P% de C= P 100C

Observaci´on:Dos o mas tantos por cientos de una misma cantidad se pueden sumar o restar. a% deC ±b% deC = (a±b) % de C

El tanto por ciento del tanto por ciento de una cantidad es igual al producto de los tantos por cientos. a% del b% de C = a

100 b 100 C

Definición de interés simple: Una cantidad C crece a una tasa del i % por unidad de tiempo en un periodo de n unidades, en un régimen de crecimiento simple, si el crecimiento en cada unidad de tiempo es fijo. La cantidad final CF después de cumplido el periodo n está dada por la fórmula:

CF =C

1 +n i 100

Observación: Un capital está sometido a un régimen de interés simple cuando, al finalizar el periodo m´ınimo de depósito, los intereses son retirados. En este caso el capital permanece inalterable. Definición de interés compuesto:Una cantidad C crece a una tasa del i % por unidad de tiempo en un periodo de n unidades, en un régimen de crecimiento compuesto, si el crecimiento en cada unidad de tiempo se agrega a C de modo que al final de cada unidad hay una nueva cantidad. La fórmula para calcular la cantidad final CF después de cumplido el periodo n es:

CF =C

1 + i 100

n

Observación: Un capital está sometido a un régimen de interés compuesto cuando, al finalizar el periodo m´ınimo de depósito, los intereses no se retiran y se añaden al capital para producir nuevos intereses.

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Ejercicios

1. En un supermercado hay supervisores, cajeros y reponedores. Si el 60 % de los trabajadores son reponedores, 18 son supervisores y ´estos son un tercio de los cajeros, ¿cu´al es el total de trabajadores? a) 108 b) 72 c) 180 d) 90 e) 54

2. Una persona deposita $1.000 y en tres a˜nos gana $157,5. Calcular el inter´es simple anual. a) 5 %

b) 5,25 % c) 5.5 % d) 5,75 %

e) 15,75 %

3. Un par de zapatos más dos pantalones valen $70.000 en una tienda. Se ofrece una oferta, al comprar dos o más pares de zapatos del mismo precio se descuenta un 10 % en cada par y por tres o más pantalones del mismo precio un 15 % en cada pantalón. Juan paga por tres panta-lones $38.250 y luego, compra dos pares de zapatos. ¿Cuánto pagó Juan por los dos pares de zapatos? a) $45.000 b) $50.000 c) $57.150 d) $72.000 e) $81.900

4. Un vendedor recibe 215.000 de sueldo, al mes, más un 8 % de las ventas por comisión. ¿Cuánto debe vender para ganar 317.000 en el mes?

a) $254.625 b) $532.000

c) $1.275.000 d) $1.812.500 e) $3.962.500

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5. En una tienda un televisor de 29 pulgadas se ofrece con un 40 % de descuento, si el precio normal es de $ 250000, entonces el precio a pagar es:

a) $ 416667 b) $ 240000 c) $ 178571 d) $ 150000 e) $ 100000

6. Si un grupo de 8 albañiles levantan una pared en 8 horas, entonces ¿en cuánto tiempo levantarán la misma pared 4 albañiles?

a) 4 horas

b) Las mismas 8 horas c) 12 horas

d) El doble de las horas que demoraron el grupo de 8 albañiles e) El cuádruplo de las horas que demoraron el grupo de 8 albañiles 7. El 30 % de 30 centésimos es igual a: a) 900 b) 90 c) 9 d) 0,9 e) 0,09

8. Si el di´ametro de un c´ırculo es incrementado en un 100 %, entonces su ´area se incrementa en un: a) 100 % b) 200 % c) 300 % d) 400 % e) Otro porcentaje

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Ra´ıces

Sines un entero par positivo yaes un real no negativo, entonces √n

aes el ´unico realb, no negativo, tal que bn

=a

n

√

a=b_⇔bn=a, b_≥0

Si n es un entero impar positivo y a es un real cualquiera, entonces √n

a es el ´unico real b, tal que

bn =a n √ a=b_⇔bn =a, b_∈_R Observaciones

1. Sin es un entero par positivo ya es un real negativo, entonces √n

a No es real. 2. La expresion √n

ak

, conareal no negativo, se puede expresar como una potencia de exponente fraccionario √n

ak

=ank

3. √a2 ₌

|a_|, para todo numero real.

Propiedades

Si √n

a y √n

b estan definidas en R se cumplen las siguientes propiedades:

Multiplicaci´on de ra´ıces de igual ´ındice

n

√

a_· √nb = √na_·b

Divisi´on de ra´ıces de igual ´ındice

n √ a n √ b = n r a b, b6= 0

Potencia de una ra´ız

n √ am = (√n a)m , a >0

Ra´ız de una ra´ız

n q m √ a= n_·m√ a

Amplificaci´on y simplificaci´on del orden de una ra´ız

n

√

a= m_·√n

am

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Producto de ra´ıces de distinto ´ındice n √ a_· m√b= m·√n am ·bn , a, b_∈_R+

Factor de una ra´ız como factor subradical

b_· √n

a= √nbn

·a, b_∈_R+

Racionalizaci´

on

Consiste en “eliminar” las raices del denominador de una fracci´on. B´asicamente se distinguen tres casos:

1. Que el denominador sea una ra´ız cuadrada: en este caso se multiplica numerador y denomi-nador por la misma ra´ız. Ejemplo:

5 √ 2 = 5 √ 2· √ 2 √ 2 = 5√2 2

2. Que el denominador no sea una ra´ız cuadrada: en este caso se multiplica numerador y deno-minador por una ra´ız del mismo ´ındice que el denodeno-minador, pero con un radicando elevado a un exponente que pueda eliminar ra´ız del denominador. Ejemplo:

5 3 √ 2 = 5 3 √ 2 · 3 √ 22 3 √ 22 = 5√3 4 2

3. Que el denominador sea un binomio con ra´ıces cuadradas: en este caso debemos de multiplicar numerador y denominador por el conjugado. Ejemplo:

2 5₋√3 = 2_·(5 +√3) (5₋√3)_·(5 +√3) = 10 + 2√3 52 −(√3)2 = 10 + 2√3 25₋3 = 10 + 2√3 22

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Ejercicios

1. 5√12₋2√27 = a_{) 16}√₃ b_{) 4}√₃ c_{) 2}√₃ d_{) 3}√₃ e_{) No se puede determinar.} 2. r 6 + 1 4 − r 5 + 1 16+ r 8₋ 4 25 = a₎ 61 20 b₎ √ 7 2 − √ 6 4 + 2 5 c₎ 151 20 d₎ √₆₋√_{5 +}√_{8 +} 7 20

e_{) Ninguno de los valores anteriores.}

3. √3 a2x+2 ·√3 ax+1 ₌ a₎ _a3x+3 b₎ √6 a3x+3 c₎ _a3x d₎ _ax+3 e₎ _ax+1

4. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s) cuando la variable x toma los tres valores 0, 1 y ₋1? a_{) Sólo I} b_{) Sólo II} c_{) Sólo III} d_{) Sólo I y III} e_{) Ninguna de ellas.} I) √x2 ₌ −x II) √x2 ₌_|_x_| III) √x2 ₌_x 5. (√2₋2)3 (√2 + 2)4 + (√2₋2)4 (√2 + 2)3 es un número: a_{) Racional positivo.} b_{) Racional negativo.} c_{) Irracional positivo.} d_{) Irracional negativo.} e_{) No real.}

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6. r 2 3 √ 2 = a₎ √3 4 b₎ √3 2 c₎ √6 8 d₎ √6 2 e_{) 1}

7. Si √2 = a, √3 = b y √5 = c, entonces ¿cuál(es) de las expresiones siguientes es(son) equi-valentes a √60? a_{) Sólo I} b_{) Sólo II} c_{) Sólo III} d_{) Sólo I y II} e_{) Sólo I y III} I) 2bc II) √4 a4_b2_c2 III) √a2_bc 8. Al simplificar la expresión 2 √ 7 +√14 √ 7 resulta: a_{) 2}√₃ b_{) 2 +}√₁₄ c_{) 2 +}√₂ d_{) 2}√_{7 +}√₂ e_{) 4} 9. √12₋√2 +√8₋√3 = a₎ √_{3 +}√₂ b₎ √₁₅ c₎ √_{10 +}√₅ d₎ √₂₀₋√₅

10. (√50 +√512₋√242) :√2 = a_{) 10} b_{) 10}√₂ c_{) 8}√₅ d_{) 32} e_{) 40}

(13)

11. √ 55_{+ 5}5_{+ 5}5_{+ 5}5_{+ 5}5 3 √ 55_{+ 5}5 _{+ 5}5_{+ 5}5 _{+ 5}5 = a_{) 5} b_{) 5}56 c_{) 1} d_{) 5}23 e_{) 5}32

12. Sip2 +√3₋p2₋√3 =t, entonces el valor de t2₋2 es:

a_{) 2}√₃₋₂ b_{) 0} c_{) 2}√₃ d_{) 2} e₎ ₋₂ 13. p (0,25)1−a= a₎ 1 2 −a b₎ 1 2 1−a c₎ 1 2 − a 2 d₎ 1 2 a 2 e₎ 1 2 a

14. ¿Cu´al(es) de los siguientes pares ordenados es(son) soluci´on(es) de y=√x2_{+ 5 +}√_x2_?

a_{) Sólo I} b_{) Sólo II} c_{) Sólo III} d_{) I, II y III} e_{) Ninguno de ellos.} I) (2,5) II) (2,₋5) III) (2,₋1)

15. ¿Cu´al(es) de los siguientes n´umeros es(son) irracional(es)?

a_{) Sólo I} b_{) Sólo II} c_{) Sólo III} d_{) Sólo I y III} e_{) Sólo II y III} I) √2_·√8 II) √3 + 3√3 III) √ 6 √ 24

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16. 6 2 +√2 − 3 2₋√2 = a_{) 0} b₎ 3 2√2 c_{) 6}₋₉√₂ d₎ 6−9 √ 2 2 e₎ 6−3 √ 2 2

17. Si 0< x <1 ¿cu´al de las siguientes opciones es verdadera?

a₎ _{x >}√_x b₎ 1 x < √ x c₎ 1 x > √ x d₎ _{x <}₁ e₎ _{x <}_|_x_| 18. √3 27x ·27−3 = a_{) 27}x_·₂₇−9 b_{) 3}3x ·3−9 c_{) 3}x+3 d_{) 9}x+3 e_{) 3}x₋3

19. Dados los n´umeros reales ₋3√2,₋11

3 ,−

√

7,₋2√3,₋4√1

3 al ordenarlos de menor a mayor, el t´ermino que queda en el centro es:

a₎ ₋₂√₃ b₎ ₋₃√₂ c₎ ₋√₇ d₎ ₋11 3 e₎ ₋₄_√1 3 20. (5√2₋√3)(√3 + 5√2) = a₎ ₋₂₅√₅ b_{) 24}√₅ c_{) 7} d_{) 47} e_{) 0}

(15)

21. El n´umero √216 _{es igual a:}

a_{) 2}4

b₎ √₃₂ c_{) (}√₂₎4

d_{) 2}14

22. Siy = r 5 3 + r 3 5 !2 ¿cu´al es el valor de 15y+ 1? a_{) 65} b_{) 64} c₎ 64 15 d₎ 34 15 e₎ 4 15 23. Sip= 3√5₋2 y q=√5 + 3, entonces p_·q= a_{) 9 + 7}√₅ b_{) 8}√_{5 + 1} c_{) 3}√_{5 + 1} d_{) 7}√₅₋₉

24. √3 a6n₋6 ₌ a₎ _a2n₋6 b₎ _a2n−2 c₎ _a 1 2n₋2 d₎ _a2n1₋6 e₎ _a6n−2

25. Para todom >0 la expresi´on √3

m4 ·√3 m2 ·√m es igual a: a₎ _m b₎ √8_m7 c₎ √_m5 d₎ √5 m7 e₎ √6 m7

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26. Si p

q <0, ¿cu´al(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)?

a_{) Sólo I} b_{) Sólo II} c_{) Sólo III} d_{) Sólo I y III} e_{) Sólo II y III} I) pp2 ₊p_q2 ₌ |p_|+_|q_| II) pp2 ₊p_q2 ₌_p₊_q III) pp2 ₊p_q2 _>₀ 27. pa√a= a₎ √4 a b₎ √4_a3 c₎ √_a d₎ _a√_a e₎ _a√4 a

28. Para la expresi´on √2x₋3 sea real, es necesario y suficiente que:

a₎ _x_≥₃ b₎ _x_≤ 2 3 c₎ _x_≥ 3 2 d₎ _x_≤ 3 2 e₎ _x_≥ 2 3

29. De las afirmaciones siguientes, ¿cu´al(es) es(son) verdadera(s)?

a_{) Sólo I} b_{) Sólo II} c_{) Sólo III} d_{) I, II y III}

e_{) Ninguna de las anteriores.}

I) √a2 −b2 ₌√_a2 −√b2 II) √a2₊_b2 ₌_a₊_b III) a√b=b√a 30. √3(√2 +√3₋√8) = a_{) 3}₋√₆ b_{) 3 +}√₆ c₎ √₃₋√₆ d₎ √_{3 +}√₆ e_{) 3}

(17)

31. Determina el valor de √ 15₋√5 √ 5 a₎ √₃₋₁ b₎ √₁₅₋₁ c₎ √₃ d_{) 2} e₎ √₇₅₋₅ 32. ¿Cu´al es el resultado de (2₋√9)2 ? a₎ ₋₇ b₎ ₋₅ c₎ ₋₁ d_{) 1} e_{) 13} 33. ¿Cu´al es el valor de (ax2 + 1), cuando a=√3 y x=√4 12? a_{) 37} b_{) 36} c_{) 12}√_{3 + 1} d₎ √4 36 + 1 e_{) 7} 34. Al racionalizar √ 4 5₋1 se obtiene: a₎ √_{5 + 1} b₎ √₅₋₁ c_{) 4(}√_{5 + 1)} d_{) 4(}√₅₋₁₎ e₎ √ 5 + 1 4

35. ¿Por cu´al de los siguientes terminos se puede amplificar la fracci´on

√

5

√

4, para que su deno-minador sea un n´umero racional?

a₎ √5 4 b₎ √5 8 c₎ √5 16 d₎ √5 64 e₎ √5 45

(18)

36. Si el volumen de un cubo se calcula como a3

siendo a la arista, determine la longitud de la arista de un cubo cuyo volumen es 54 u3

. a_{) 3}3√ 2 u b_{) 3} _u c₎ √₅₄ _u d_{) 9} _u e_{) 18} _u 37. El ´area de un circulo esπ_·r2

, siendo r el radio yπ una constante cuyo valor aproximaremos a 3, entonces ¿cu´al es el valor aproximado del ´area de un c´ırculo si el radio es 3√3 cm?

a_{) 3}4 cm2 b_{) 27}√₃ _cm2 c_{) 9}√₃ _cm2 d_{) 9} _cm2 e₎ √₅₄ _cm2 38. El valor de√0,0049 es: a_{) 0}_,₀₀₇ b_{) 0}_,₀₇ c_{) 0}_,₀₀₀₇ d_{) 0}_,₀₀₀₀₇

39. La expresi´on 121 100 − 3 2 es igual a: a₎ 10 11 b₎ 11 10 c₎ 1331 1000 d₎ 1000 1331

40. Se puede determinar que el resultado de (a₋1)4

ser´a un n´umero par positivo si: (1) a es impar.

(2) a₆= 1

a_{) (1) por s´ı sola.} b_{) (2) por s´ı sola.}

c_{) Ambas juntas (1) y (2).}

d_{) Cada una por s´ı sola (1) ´o (2).} e_{) Se requiere informacion adicional.}