Exponenciales y Logaritmos

(1)

7. EXPONENCIALES

Y

LOGARITMOS

En esta Unidad estudiaremos y analizaremos las

En esta Unidad estudiaremos y analizaremos las funciones y ecuaciones exponenciales yfunciones y ecuaciones exponenciales y logarítmicas.

logarítmicas. Comenzaremos con las funciones exponenciales para luego continuar conComenzaremos con las funciones exponenciales para luego continuar con ecuaciones exponenciales.

ecuaciones exponenciales. La necesidad de La necesidad de resolver resolver ecuaciones ecuaciones exponenciales exponenciales trae trae consigo consigo hallar hallar lala función inversa de la función exponencial y es donde toma sentido la función logaritmo. función inversa de la función exponencial y es donde toma sentido la función logaritmo. Repasaremos algunas propiedades de los logaritmos para centrarnos en resolver ecuaciones Repasaremos algunas propiedades de los logaritmos para centrarnos en resolver ecuaciones logarítmicas

logarítmicas y y situaciones situaciones problemáticas problemáticas donde donde se se encuentren encuentren involucradas involucradas ecuaciones ecuaciones tantotanto exponenciales como logarítmicas.

exponenciales como logarítmicas.

Comencemos con la siguiente situación. Comencemos con la siguiente situación.

La esperanza de vida, aún en los países poco desarrollados, creció después de la Segunda La esperanza de vida, aún en los países poco desarrollados, creció después de la Segunda Guerra Mundial aunque a distinto ritmo. Este crecimiento, si bien al principio trajo mayor Guerra Mundial aunque a distinto ritmo. Este crecimiento, si bien al principio trajo mayor actividad y progreso, a la larga ha producido graves problemas: falta de viviendas, escuelas, actividad y progreso, a la larga ha producido graves problemas: falta de viviendas, escuelas, puestos de trabajo.... El aumento de la población por la prolongación de la vida se ha visto puestos de trabajo.... El aumento de la población por la prolongación de la vida se ha visto compensado en parte por el descenso de la natalidad en los países industrializados. De todos compensado en parte por el descenso de la natalidad en los países industrializados. De todos modos, ha aparecido el problema del envejecimiento de la población

modos, ha aparecido el problema del envejecimiento de la población ((es decir el aumento de laes decir el aumento de la edad promedio

edad promedio))..

Analizaremos ahora algún modelo matemático que trata de describir la evolución de una Analizaremos ahora algún modelo matemático que trata de describir la evolución de una población.

población.

En Europa occidental, durante los siglos XVII y XVIII, comenzó a descender el índice de En Europa occidental, durante los siglos XVII y XVIII, comenzó a descender el índice de mortalidad, y el

mortalidad, y el incremento poblacional en muchos incremento poblacional en muchos países se situó países se situó entre 0.5 y entre 0.5 y 1% anual. Para1% anual. Para evitar complicaciones con los cálculos consideraremos que el crecimiento poblacional fue del 1% evitar complicaciones con los cálculos consideraremos que el crecimiento poblacional fue del 1% anual durante los primeros 20 años de este siglo.

anual durante los primeros 20 años de este siglo.

Supongamos que la cantidad de población europea al comienzo del siglo XVII

Supongamos que la cantidad de población europea al comienzo del siglo XVII ((año 1.600año 1.600 ))

sea 10

sea 10 ((en cientos de millonesen cientos de millones)). La función P. La función P((t t )) medirá la cantidad de población en el tiempo t.medirá la cantidad de población en el tiempo t. Como comenzaremos nuestro estudio a partir del año 1.600 este será el tiempo inicial, es decir, Como comenzaremos nuestro estudio a partir del año 1.600 este será el tiempo inicial, es decir,

t t = 0.= 0.

Año Tiempo

Año Tiempo tt (años)(años) Población ( en cientos dePoblación ( en cientos de millones ) millones ) 1600 1600 t t = 0= 0 PP (0) = 10(0) = 10 1601 1601 t t = 1= 1 P P (1)(1) = 10 + 1% de 10= 10 + 1% de 10 = = 10 10 ++ 100 100 1 1 .10 .10 = 10,1 = 10,1 1602 1602 t t = 2= 2 P P (2) = 10,1 + 1% de 10,1(2) = 10,1 + 1% de 10,1 = 10,1 + 0,01. 10,1 = 10,1 + 0,01. 10,1 = 10,201 = 10,201 1603 1603 t t = 3= 3 PP (3) = ...(3) = ... ... ... ... ... ...

¿Podemos hallar una fórmula que nos permita calcular la población para cualquier valor de ¿Podemos hallar una fórmula que nos permita calcular la población para cualquier valor de t t ?? Para ello analizaremos lo que hemos hecho hasta el momento en cada paso:

(2)

en en t t == 0,0, PP(0)(0) = 10= 10 en en t t == 1,1, PP(1)(1) = 10 + = 10 + 0,01.10 = 10 ( 0,01.10 = 10 ( 1 + 1 + 0,01) = 10 .1,01 =0,01) = 10 .1,01 = PP (0) . 1,01(0) . 1,01 en en t t = 2,= 2, PP (2)(2)= P= P (1)(1) + 0,01.+ 0,01. PP (1)(1) = 10. = 10. 1,01 + 1,01 + 0,01. 10. 1,01 0,01. 10. 1,01 == 10. 1,01 ( 1 + 0,01) = 10. 1,01. 1,01 = 10 (1.01) 10. 1,01 ( 1 + 0,01) = 10. 1,01. 1,01 = 10 (1.01)22

¿Podrás realizar el caso t =

¿Podrás realizar el caso t = 33 ?? (Ten en cuenta los pasos hechos en los casos t =(Ten en cuenta los pasos hechos en los casos t = 11 y t =y t = 22)) En general, la población después de

En general, la población después de t t períodos será:períodos será: P

P((t t )) = 10 (1.01)= 10 (1.01)t t

donde

donde 1010 es es la la población población inicial inicial PP (0)(0). . Verifiquemos Verifiquemos que la fórmula obque la fórmula obtenida nos da, ptenida nos da, por ejemploor ejemplo para t

para t = = 22 , P , P (2)(2) == 10 . 1,0110 . 1,0122= 10,201= 10,201 que coincide con que coincide con el valor de el valor de la tabla. la tabla. Si queremos estimar Si queremos estimar la población en el año

la población en el año 16101610 , , será será PP(10)(10) = 10. 1,01= 10. 1,011010 = 11046.= 11046. Observemos que...

Observemos que...

en la fórmula

en la fórmula PP ((t t ) = 10 (1,01)) = 10 (1,01) t t , , el factor 10 el factor 10 es la población inicial y es la población inicial y la variablela variable t t figura

figura en en el exel exponponente. ente. A este tipo de funciones se las A este tipo de funciones se las llamallama exponenciales.exponenciales.

7.

1

1 Función

Función

Exponencial

Desde “ejemplos” hasta la aparición de la definición, lo pondría como texto habitual, dado que son Desde “ejemplos” hasta la aparición de la definición, lo pondría como texto habitual, dado que son comentarios no vinculados a la enunciación de definiciones, leyes, etc. Esto, a los efectos de ver la comentarios no vinculados a la enunciación de definiciones, leyes, etc. Esto, a los efectos de ver la coherencia gráfica.

coherencia gráfica.

Ejemplos:

Ejemplos: Hasta ahora hemos estudiado potencias pertenecientes aHasta ahora hemos estudiado potencias pertenecientes a distintos campos numéricos:

distintos campos numéricos:

••

potencias de exponente naturalpotencias de exponente natural

a ann == 4 433 4 422 1 1 veces veces .... .... .. .. n n a a a a a a a a nn

∈

NN,,

••

potencias de exponente nulopotencias de exponente nulo

a a00 == 1 1 ((aa

≠≠

0 ),0 ),

••

44-3-3== 3 3 4 4 1 1

 

 

 



 

 

••

55₂₂ 55 2 2 2 2

==

••

5522.5.544=5=566 (3(322))33= 3= 366

••

potencias de exponente entero negativopotencias de exponente entero negativo

a a-n-n == _n_n a a 1 1 n n

∈

NN , , ((aa

≠≠

0 ),0 ),

••

potencias de exponente fraccionariopotencias de exponente fraccionario

a

am/nm/n == nn aamm mm

∈

ZZ _,, _n_n

∈

NN

y conocemos sus propiedades básicas: y conocemos sus propiedades básicas:

a

ann . a. amm = a= a n + mn + m aann: a: amm = a= an-mn-m

(3)

Las propiedades antes mencionadas se Las propiedades antes mencionadas se

extienden para el caso en que

extienden para el caso en que nn yy mm son números reales cualesquiera son números reales cualesquiera

También

También es es posible posible dar dar sentido sentido a a expresiones expresiones tales tales comcomo o 22ππ ,,

2 2

3

3 _{y estimar su valor a partir de una aproximación del}_{y estimar su valor a partir de una aproximación del}

exponente irracional. exponente irracional.

Con estos elementos, podemos definir la función exponencial . Con estos elementos, podemos definir la función exponencial .

F u n c i ó n

exponencial

Dado

Dado a a > > 0 0 , , llamamosllamamos función exponencial función exponencial de basede base a a a a lala función

función f f ::R R →→→→ _R_R definida pordefinida por f f (( x x) =) = a a x x ..

El comportamiento de la función exponencial es muy distinto El comportamiento de la función exponencial es muy distinto según sea

según sea aa > 1 ,> 1 , aa < 1 < 1 ,, aa = 1.= 1.

Ejemplo:

Ejemplo: Analicemos Analicemos la _{valor de}_{valor de} _a_a_.. la gráfica de gráfica de la la función exponencial función exponencial de de acuerdo alacuerdo al

Observemos que... Observemos que...

cualquiera sea el valor de

cualquiera sea el valor deaa > 0, la> 0, la gráfica de la función exponencial debe gráfica de la función exponencial debe pasar por el punto (0,1), ya que es el pasar por el punto (0,1), ya que es el valor de la ordenada al origen; es decir valor de la ordenada al origen; es decir

el valor que toma la función para el valor que toma la función para x x== 0.

0. Por otro lado Por otro lado es claro que a medidaes claro que a medida que el valor de

que el valor de x xaumenta, el valor deaumenta, el valor de a

a x x también, también, y si el y si el valor devalor de x x decrecedecrece (con valores

(con valores negativos) negativos) entonces elentonces el valor de

valor de aa x x tiende a 0.tiende a 0.

a) Si

a) Si aa > 1 , por ejemplo> 1 , por ejemplo aa = 2 , la función= 2 , la función y y == 22 x x eses creciente . creciente . --33 --22 --11 11 22 33 2 2 4 4 6 6 8 8 Observemos que... Observemos que...

nuevamente cualquiera sea el valor de nuevamente cualquiera sea el valor de 0<

0<a <a <1, la 1, la gráfica de la gráfica de la función función pasapasa por el punto (0,1).

por el punto (0,1).

Por otro lado, a medida que el valor de Por otro lado, a medida que el valor de

x

xaumenta, aumenta, el el valor devalor deaa x x decrece.decrece.

b)

b) Si Si 0 0 << aa < 1, por ejemplo< 1, por ejemplo y y ==

x x

 

 

 



 

 

2 2 1 1 la función es la función es decreciente. decreciente. --33 --22 --11 11 22 33 2 2 4 4 6 6 8 8

La siguiente tabla de valores nos permite hacer un estudio comparativo de las funciones La siguiente tabla de valores nos permite hacer un estudio comparativo de las funciones

y = y =22 x x ee y =y = x x

 

 

 



 

 

2 2 1 1 ..

(4)

x x 22 x x x x

 

 

 



 

 

2 2 1 1 = = _x_x 2 2 1 1 0 0 1 1 11 1 1 22 2 2 1 1 2 2 44 4 4 1 1 3 3 88 8 8 1 1 -1 -1 22-1-1 == 2 2 1 1 2 2 -2 -2 4 4 1 1 4 4 -3 -3 8 8 1 1 8 8 ... ... ... ... La gráfica de la

La gráfica de la función pasa por elfunción pasa por el punto (0,1).

punto (0,1). Si los valores de

Si los valores de x xson positivos,son positivos, entonces

entonces –x –xes negativo.es negativo. Si

Si x x> 0, entonces 5> 0, entonces 5 –x –x es decreciente.es decreciente. Si

Si x x< 0, se tiene< 0, se tiene –x –xpositivo y apositivo y a medida que los valores de -medida que los valores de - x x

aumentan, 5

aumentan, 5 –x –xdecrece.decrece.

c)

c) y y= 5= 5-x-x

¿¿Cuál es la gráfica de esta función?Cuál es la gráfica de esta función?

Para pensar.... Para pensar....

¿Qué pasa cuando

¿Qué pasa cuando aa = 1 ?= 1 ?

La función exponencial aparece con frecuencia en modelos matemáticos de diferentes procesos La función exponencial aparece con frecuencia en modelos matemáticos de diferentes procesos evolutivos. Por ejemplo, las amebas son seres unicelulares que se reproducen dividiéndose en dos. evolutivos. Por ejemplo, las amebas son seres unicelulares que se reproducen dividiéndose en dos. Supongamos que las condiciones de un cultivo son tales que las amebas se duplican Supongamos que las condiciones de un cultivo son tales que las amebas se duplican aproximadamente cada hora, y que inicialmente solo hay una ameba. Proponemos calcular el aproximadamente cada hora, y que inicialmente solo hay una ameba. Proponemos calcular el número de amebas que habrá según pasan las horas:

número de amebas que habrá según pasan las horas:

Tiempo (hs)

Tiempo (hs) 1 1 2 2 3 3 4 4 5 5 6 6 7 7 ... x x

Nro. de amebas

(5)

Observemos que... Observemos que...

si en el

si en el momento iniciamomento inicial l hayhayk k amebas, y en

amebas, y en la primer la primer hora sehora se duplican, entonces ahora hay 2 duplican, entonces ahora hay 2k k .. En la

En la segunda segunda hora se hora se vuelven avuelven a duplicar, es decir, 2 (2

duplicar, es decir, 2 (2k k ) = ) = 2222k k ,, en la tercer hora se

en la tercer hora se repite la situaciónrepite la situación y tenemos 2(2

y tenemos 2(222k k ) = ) = 2233k k , etc., etc. Luego en

Luego en general se tiene 2general se tiene 2xxk.k.

El número total al cabo de

El número total al cabo de x x horas seráhoras será

y = y = 22 x x Si al comienzo del proceso había

Si al comienzo del proceso había k k amebas, el número totalamebas, el número total sería: sería: y = k y = k 22 x x Observemos que... Observemos que... en

en esta última esta última igualdad, la igualdad, la variable variable independienteindependiente x x aparece como exponente.aparece como exponente. ¿Qué pasa si ahora queremos hallar el tiempo

¿Qué pasa si ahora queremos hallar el tiempo x x en el cual el número de amebas existente “en el cual el número de amebas existente “ y” y” eses conocida? En la sección siguiente estudiaremos este tipo de ecuaciones resultante.

conocida? En la sección siguiente estudiaremos este tipo de ecuaciones resultante.

7.1.1

7.1.1 Ecuaciones

Ecuaciones

Exponenciales

E c u a c i ó n

exponencial

A una ecuación en la que la incógnita aparece en un A una ecuación en la que la incógnita aparece en un exponente se la llama

exponente se la llama ecuación exponencial ecuación exponencial ..

Observemos que... Observemos que... estamos teniendo

estamos teniendo en en cuenta que cuenta que si si laslas bases son las

bases son las mismas mismas en una igualdad,en una igualdad, entonces los exponentes deben ser entonces los exponentes deben ser

iguales. iguales. a) a) 553-3- x x= 125= 125 Observemos que... Observemos que... 5 53-3- x x = 5= 533, , entonces entonces 3 3 -- x x = 3,= 3, luego luego x x = 0= 0 b) b) 2 2 x x −− 1 1 3 3 == 27 27 1 1 Recordemos que Recordemos que aa--nn=_{= nn} a a 1 1 22 x x −− 1 1 3 3 == ₃₃ 3 3 1 1 = 3 = 3-3-3 1 -1 - x x22 = -3= -3 x x22 = 4= 4

Aquí utilizamos la definición de valor Aquí utilizamos la definición de valor

absoluto. absoluto.



x x



= = 4 = 4 = 2 e2 entontoncencess

x

(6)

Actividades de Aprendizaje

1)

1) Graficar:Graficar: a)

a) y = y = 33 x x b)b) y y==

x x

 

 

 



 

 

4 4 1 1 c) y = 3. 2 c) y = 3. 2xx d) d)y = y = 33xx – – 2 2 e) e) y y = = - - 33xx f) y =f) y = --2 2 1 1 ..33xx 2)

2) Las sustancias radiactivas se desintegran emitiendo radiaciones y transformándose en otrasLas sustancias radiactivas se desintegran emitiendo radiaciones y transformándose en otras sustancias.

sustancias.

Sustancia radiactiva

→

radiaciones + otra sustancia.radiaciones + otra sustancia.

Este proceso se realiza con el paso del tiempo y a un ritmo que varía según el tipo de sustancia. Este proceso se realiza con el paso del tiempo y a un ritmo que varía según el tipo de sustancia.

La rapidez con que se desintegra una sustancia radiactiva se mide mediante su "período de La rapidez con que se desintegra una sustancia radiactiva se mide mediante su "período de desintegración", que es el tiempo que tarda en desintegrarse la mitad de la masa inicial; algunos desintegración", que es el tiempo que tarda en desintegrarse la mitad de la masa inicial; algunos ejemplos son:

ejemplos son:

uranio:

uranio: 2502500 0 millones de millones de añosaños radio:

radio: 1620 1620 añosaños acti

actinio: nio: 28 28 añoañoss talio:

talio: 3 3 minutosminutos

Si tenemos una masa inicial de un gramo y el período de desintegración es un año, averiguar qué Si tenemos una masa inicial de un gramo y el período de desintegración es un año, averiguar qué cantidad de sustancia radiactiva queda al cabo de:

cantidad de sustancia radiactiva queda al cabo de:

Tiempo (años)

Tiempo (años) 1 1 2 2 3 3 4 4 5 5 6 6 7 7 ... grs. de sustancia

grs. de sustancia ...

¿Cuál es la función que representa este proceso?. Graficar. ¿Cuál es la función que representa este proceso?. Graficar.

3)

3) Encontrar el valor deEncontrar el valor de x x que verifica:que verifica:

a) a) ₂₂ 1 1 2 2 4 4 ++ ++ x x x x = = 128 128 b) b) 2233 x x = 0,5= 0,533 x x+2+2 4)

4) La población de una ciudad se triplica cada 50 años. En el tiempoLa población de una ciudad se triplica cada 50 años. En el tiempo t t = 0, esta población es de= 0, esta población es de 100.000

100.000 habitantes. habitantes. Dar Dar una una fórmula fórmula para para la la población población P(P(t t ) ) como como función función del del tiempotiempo t t . ¿Cuál es. ¿Cuál es la población después de

la población después de a)

a) 100 100 años? años? b) b) 150 150 años? años? c) c) 200 200 años?años?

5)

5) Las bacterias Las bacterias en una en una solución se solución se duplican cada duplican cada 3 minutos. Si 3 minutos. Si hay hay 101044 bacterias al comienzo, darbacterias al comienzo, dar una fórmula para el número de bacterias en el tiempo

una fórmula para el número de bacterias en el tiempo t t . ¿Cuántas bacterias hay después de. ¿Cuántas bacterias hay después de a)

(7)

6)

6) Un elemento radiactivo que decae en su crecimientoUn elemento radiactivo que decae en su crecimiento f f ((t t ) después ) después de de un un tiempotiempo t t satisface lasatisface la fórmula

fórmula f f ((t t ) = 60) = 60 .. 22-0,02 t -0,02t ..

a)

a) ¿Cuál es ¿Cuál es la cantidad la cantidad de este de este elemento al elemento al inicio del inicio del proceso?proceso? b)

b) ¿Qué ¿Qué cantidad cantidad queda queda después después de de 500 500 años?años? c)

c) ¿Qué ¿Qué canticantidad dad queda queda después después de de 1000 1000 años?años? d)

d) ¿Qué ¿Qué cantidad cantidad queda queda después después de de 2000 2000 años?.años?.

7.2

7.2 Función

Función

Logarítmica

-

Logaritmos

Supongamos que un determinado bien material que hoy cuesta $150 se devalúa con el uso, cada Supongamos que un determinado bien material que hoy cuesta $150 se devalúa con el uso, cada año, un 4%

año, un 4% de su valor de su valor durante el año anterior. durante el año anterior. Por ejemplo:Por ejemplo: En

En t t = 0= 0 ((inicioinicio)) el el valor valor en en 0 0 V V ((00))= 150= 150 En

En t t = 1= 1 ((1 año después1 año después )) V V ((11))= 150 – 4% de 150 = 144= 150 – 4% de 150 = 144 En

En t t = 2= 2 ((2 años después2 años después)) V V ((22))= 144 – 4% de 144 = 138,24= 144 – 4% de 144 = 138,24 En

En t t = 3 ...= 3 ...

En general, u

En general, una fórmula na fórmula que representa que representa esta situación, esta situación, puede obtenepuede obtenerse como en rse como en el ejemplo inicialel ejemplo inicial de la unidad:

de la unidad:

V(

V(t t ) = 150. (096)) = 150. (096)t t

Supongamos ahora, que queremos saber luego de cuántos años de uso el valor del bien se redujo Supongamos ahora, que queremos saber luego de cuántos años de uso el valor del bien se redujo aproximadamente a $92.

aproximadamente a $92.

Para esto

Para esto necesitamos resolver necesitamos resolver la siguiente la siguiente ecuaciónecuación

92 = 150 (0,96) 92 = 150 (0,96)t t

¿Cómo despejar t de esta fórmula? ¿Cómo despejar t de esta fórmula? Observemos que...

Observemos que...

el valor de

el valor de t t que estamos buscando es tal queque estamos buscando es tal que elevando

elevando el númeel número 0,96 ro 0,96 a ese a ese valor valor da da por resupor resultadoltado 150 150 92 92 .. Ahora

Ahora queremos queremos resolver resolver otros tipootros tipos s de de ecuacionesecuaciones. Por . Por ejemplo,ejemplo, resolvamos resolvamos la la ecuaciónecuación 10

101 - 1 - xx= 30. Veamos qué secuencia de pasos desarrollamos:= 30. Veamos qué secuencia de pasos desarrollamos: Descomponemos el número 30 en sus

Descomponemos el número 30 en sus factores primos. factores primos. 1010 1 -1 - x x = 3 . 2 . 5 = 3 . 2 . 5 Observemos que... Observemos que...

no podemos expresar al segundo miembro como potencia de no podemos expresar al segundo miembro como potencia de 10, lo que nos permitiría resolver la ecuación de manera similar 10, lo que nos permitiría resolver la ecuación de manera similar

a la sección anterior. a la sección anterior.

(8)

Nuestra pregunta es: ¿cómo podemos resolver ecuaciones del Nuestra pregunta es: ¿cómo podemos resolver ecuaciones del tipo 10

tipo 10 x x ==k k ?, ó en general ¿?, ó en general ¿ aa x x = k = k ?.?.

Podemos hacerlo si conocemos la función inversa de

Podemos hacerlo si conocemos la función inversa de y = y = 1010 x x

F u n c i ó n

l o g a r í t m i c a

A esta

A esta nueva funcnueva función se la ión se la llamallama función logarítmica en función logarítmica en base 10

base 10 y se denotay se denota y = log y = log1010 x x ó también,ó también, y y == log xlog x ..

10

10 x x= 100 entonces= 100 entonces x = log x = log1010100100 = 2= 2

pues 10

pues 1022 = 100= 100 Si

Si 3 = 3 = loglog1010 1000 entonces1000 entonces

10

1033 = 1000= 1000 10

10 x x= 1/100 entonces= 1/100 entonces x

x= log= log1010101000-1-1= = -2 -2 pues 10pues 10-2-2= 100= 100-1-1..

Ahora, podemos decir que, Ahora, podemos decir que,

si 10

si 10 x x== k k entoncesentonces x x == loglog1010 k k

es decir, el logaritmo de un número en base 10 es el exponente es decir, el logaritmo de un número en base 10 es el exponente al que hay que elevar la base 10 para obtener dicho número.

al que hay que elevar la base 10 para obtener dicho número.

Generalizando: Generalizando:

L

o

g

a

r i t

m

o

L

o

g

a

r i t

m

o

en base a

Sea

Sea a a > 0 > 0 yy a a ≠≠≠≠ 1 , e1 , e y y > 0, llamaremos> 0, llamaremos logaritmo en baselogaritmo en base

a de y

a de y al único númeroal único número x x que verificaque verifica a a x x = y= y. Es decir,. Es decir, log

log a a y = xy = x ⇔⇔⇔⇔ a a x x = y= y ..

Ejemplo:

Ejemplo: InterpretemoInterpretemos la s la definición de logaritmo:definición de logaritmo: a) a) 2277 = 128= 128 2 277 = 128= 128

⇔

loglog22 128 = 7128 = 7 b) b) 881/31/3 = 2= 2 8 81/31/3 = 2= 2

⇔

loglog88 2 =2 = 3 3 1 1 Ejemplo

Ejemplo:: _Calculemos_Calculemos

a)

a) loglog22 1616

log

log22 16 =16 = y y

⇔

22 y y = 16 = 2= 16 = 244

⇔

y y= 4= 4 b)

b) loglog22 3232

log

(9)

Ejemplo:

Ejemplo: Ahora estamos en condiciones de resolver la siguienteAhora estamos en condiciones de resolver la siguiente ecuación.

ecuación.

El símbolo

≅≅

significasignifica aproximadamente aproximadamente..

Consulta el manual de tu calculadora Consulta el manual de tu calculadora

para verificar que

para verificar que loglog10103030 eses

aproximadamente aproximadamente 1,477121,47712.. 10 101-1- x x= 30= 30 10 101-1- x x = 30= 30

⇔

1 -1 - x x == loglog1010 3030

≅≅

1,477121,47712 luego luego x x

≅≅

- 0,47712- 0,47712

7.2.1

7.2.1 Propiedades

Propiedades

de

los

Logaritmos

Recordemos algunas propiedades de los logaritmos: Recordemos algunas propiedades de los logaritmos:

log

log22(4.8) =(4.8) =loglog2232 = 532 = 5

y

yloglog22 4 +4 +loglog2288 = 2 + 3 = 5= 2 + 3 = 5

1.-1.- El logaritmo de un producto es igual a la suma de losEl logaritmo de un producto es igual a la suma de los logaritmos de los factores

logaritmos de los factores

log

logaa (( x . y x . y) ) == loglogaa xx ++ loglogaa yy

log

log22 4433==loglog2264 = 6 pues 264 = 6 pues 266 = 6= 644

y

y 33loglog2244 = 3.2 = 6= 3.2 = 6

2.-2.- El logaritmo de una potencia es igual al exponente por elEl logaritmo de una potencia es igual al exponente por el logaritmo de la base

logaritmo de la base

log

logaa (( x x y y) ) == y . log y . logaa xx

A partir de estas dos propiedades se pueden deducir las siguientes: A partir de estas dos propiedades se pueden deducir las siguientes:

log

log3381/9 =81/9 =loglog339 = 9 = 22

y

y por por otro ladootro lado log

log3381 --81 loglog339 = 4 – 2 = 2.9 = 4 – 2 = 2.

3.-3.- El logaritmo de un cociente es igual al logaritmo delEl logaritmo de un cociente es igual al logaritmo del numerador menos el logaritmo del denominador.

numerador menos el logaritmo del denominador.

log logaa

     

 

 

 

y y x x =

= loglogaa xx -- loglogaa yy

Observar que Observar que loglogaa

     

 

 

 

y y x x =

= loglogaa lologg lologg 11 1 1 ..

==

++

−−

     

 

 

 

y y x x y y x x _a_a _a_a =

= loglogaa x – logx – logaa yy

log log33 11 3 3 1 1 3 3 log log 4 4 81 81 1 1

−−

==

pues 3 pues 3-1-1== 3 3 1 1 1/3. 1/3. Por otro lado tenemos Por otro lado tenemos

.. 1 1 )) 4 4 .( .( 4 4 1 1 81 81 1 1 3 3 log log 4 4 1 1

−−

==

−−

==

4.-4.- El logaritmo de una raíz es igual al logaritmo del radicandoEl logaritmo de una raíz es igual al logaritmo del radicando dividido por el índice de la raíz.

dividido por el índice de la raíz.

log

logaa y y x x ==

y y 1 1 log logaa xx == y y x x log log_a_a Observar que

Observar que loglogaa y y

x

x == loglogaa (( x x1/ 1/ y y))==

y y 1 1 log logaa xx

(10)

Para pensar ... Para pensar ...

El logaritmo de la base es siempre 1 El logaritmo de la base es siempre 1

log

logaa aa = = 1 1 ¿por ¿por qué?qué?

El logaritmo de 1 es 0 en cualquier base El logaritmo de 1 es 0 en cualquier base

log

logaa 1 1 = = 0 0 ¿por ¿por qué?qué?

7.2.2

7.2.2 Cambio

Cambio

de

base

Las calculadoras científicas permiten solamente obtener logaritmos decimales y neperianos. Las calculadoras científicas permiten solamente obtener logaritmos decimales y neperianos.

L

o

g

a

r i t

m

o

L

o

g

a

r i t

m

o

decimal

Los

Los logaritmos decimaleslogaritmos decimales son los logaritmos de base 10, y seson los logaritmos de base 10, y se acostumbra denotar

acostumbra denotar loglog1010 x x == log xlog x omitiendo la base.omitiendo la base.

L

o

g

a

r i t

m

o

L

o

g

a

r i t

m

o

neperiano

El

El logaritmo neperiano o natural logaritmo neperiano o natural es el logaritmo cuya base eses el logaritmo cuya base es el número

el número ee≅≅≅≅ 2,7182 2,7182 y y se se denotadenota loglog_ee x x = = ln ln x x ..

Si queremos calcular logaritmos en otra bas

Si queremos calcular logaritmos en otra base, e, es conveniente realizar cambios de es conveniente realizar cambios de base.base.

Si

Si,, por ejemplopor ejemplo,, tuviéramos que calculartuviéramos que calcular loglog22 3:3:

Llamamos

Llamamos x x al al logaritmo logaritmo queque queremos

queremos calcular. calcular. Luego, Luego, aplicamoaplicamo ss logaritmo decimal a ambos miembros logaritmo decimal a ambos miembros y obtenemos

y obtenemos

x

x ==loglog22 33

x log

x log 2 2 == loglog3,3, finalmente, finalmente, x x == 2 2 3 3 log log log log

≅≅

1,5849 .1,5849 .

El procedimiento general es: El procedimiento general es:

y

y == loglogaa xx

a

a y y == xx y log

y logbb aa == loglogbb xx

y y == a a log log x x log log b b b b

(11)

Actividades de Aprendizaje

7)

7) Calcular a)Calcular a) loglog22 448181 b)b) loglog33 1515 2727 ..

8)

8) Hallar el valor deHallar el valor de x x.. a)

a) loglog77 x x = = 2 2 b)b) loglogaa xx = 0= 0 c) c)loglog88 x x == 3 3 1 1 d) d)loglog22 64 =64 = x x e)

e)loglog4949 7 7 == x x f)f)loglog88 44 2 2 == x x g) g)loglog x x 10 =10 = 4 4 1 1 h) h)loglog x x0,000001 = -60,000001 = -6 9)

9) Mostrar con un ejemplo que en general,Mostrar con un ejemplo que en general, a)

a) loglogaa (( x x ++ y y))

≠≠

loglogaa xx ++loglogaa yy b)b) loglogaa (( x x -- y y))

≠≠

loglogaa x - logx - logaa y.y.

10)

10) Resolver aplicando la definición de logaritmo.Resolver aplicando la definición de logaritmo. a)

a) loglog55 25 25 ++ loglog22 4 4 1 1 b) b) loglog1000 -1000 -3 3 1 1 log log1/21/2 11 c)

c) loglog₇₇2249 49 -- loglog22 16 16 d)d) loglog22 2 2 ++ loglog33 33 3344 -- loglog0,0010,001 e)

e) loglog33 27 27 ++ loglog1/21/2 4 4 - - 22 loglog1/31/3 9 9 1 1

11)

11) Sabiendo queSabiendo que loglog22 55

≅≅

2,3 2,3 calcular, calcular, aplicando aplicando las las propiedades propiedades del del logaritmo.logaritmo.

a) log

a) log22 10 10 b)b) loglog22 2,5 2,5 c)c) loglog22 5 5 d)d) loglog22 25.25.

12)

12) Averiguar el valor numérico de las siguientes expresiones:Averiguar el valor numérico de las siguientes expresiones: a)

a)loglogaa ((aa22 aa ) ) b)b)loglogaa 11 c) c) 3 3 22 lo logg x x x x x x d)d)loglog22 33 6464 e) e) lologg 33 6464 2 2 1 1 f)f) 2 2 lo logg 2 2 aa aa g) g)1100lologgaa aa hh)) 1010lologg (( )) 3 3 a a a a a a i)

i) loglog1010((loglog1010 10101010) ) j)j)

   

 

 



 

 

₁₀₁₀_lo_log_g₁₀₁₀22 10 10 lo logg

(12)

13)

13) Calcular realizando cambio de baseCalcular realizando cambio de base a)

a)loglog22 10 10 b)b) loglog55 2 2 c)c) loglog1/21/2 20 20 d)d) loglog44 0,1 .0,1 .

7.3 Ecuaciones Exponenciales y Logarítmicas

Ya

Ya hemos hemos resuelto resuelto ecuaciones ecuaciones exponenciales exponenciales del del tipo tipo 553-3- x x = = 5533 y y del del tipo tipo 10101-1- x x = = 30 30 utilizandoutilizando logaritmos. Ahora resolveremos ecuaciones más complejas utilizando las propiedades del logaritmos. Ahora resolveremos ecuaciones más complejas utilizando las propiedades del logaritmo.

logaritmo.

Ejemplo:

Ejemplo: Calcular el valor deCalcular el valor de x x en las siguientes ecuaciones exponenciales...en las siguientes ecuaciones exponenciales...

Aplicamos las propiedades de Aplicamos las propiedades de logaritmo y resolvemos la ecuación logaritmo y resolvemos la ecuación

resultante en forma habitual resultante en forma habitual

a)

a) 33 x x . 5. 52 x2 x = = 44

log

log ( 3( 3 x x. 5. 52 x2 x) ) == loglog 44

log

log33 x x ++ loglog5522 x x == loglog 44

x . log

x . log 3 3 + + 22 x log x log5 5 == loglog 44

x x . 0,477 + 2. 0,477 + 2 x x . 0,699. 0,699

≅≅

0,6020,602 x x . . 0,477 0,477 ++ x x . 1,398. 1,398

≅≅

0,6020,602 x x . (0,477 + 1,398). (0,477 + 1,398)

≅≅

0,6020,602 x x . 1,875. 1,875

≅≅

0,6020,602 x x

≅≅

0,3210,321 Recordemos que… Recordemos que… a am+nm+n= a= amm. a. ann a a-1-1==1/ 1/ aa b) b) 33 x x+1+1 + 3+ 3 x x-1-1 = 2431= 2431 3 3 x x+1+1 + 3+ 3 x x-1-1 = 2431= 2431 3 .3 3 .3 x x + 3+ 3-1-1 . 3. 3 x x = 2431= 2431 Extraemos 3

Extraemos 3 x xfactor común,factor común, resolvemos y aplicamos resolvemos y aplicamos a la expresión a la expresión 3 3 x x = 729,3= 729,3 logaritmo para luego logaritmo para luego resolver mediante propiedades. resolver mediante propiedades.

3 3 x x

 

 

 



 

  ++

3 3 1 1 3 3 = = 22443311 3 3 x x .. 3 3 10 10 = 2431 = 2431 3 3 x x = 729,3= 729,3 x log

x log3 =3 = loglog 729,3729,3

x x == 3 3 729,3 729,3 log log log log x x

≅≅

6,00036,0003 Consideremos

Consideremos z z= 3= 3 x x, reemplazando, reemplazando en la

en la ecuación, obtenemos ecuación, obtenemos unauna ecuación de segundo grado y ecuación de segundo grado y encontramos las raíces como se encontramos las raíces como se

mostró en la Unidad 5. mostró en la Unidad 5. c) c) 3322 x x - - 4 4 . . 33 x x+1+1 = -27= -27 (3 (3 x x))22 - - 4 . 4 . 3 . 3 . 33 x x + + 27= 27= 00 z z22 - 12- 12 z z+ 27 = 0+ 27 = 0 las raíces de esta ecuación son

(13)

Por

Por lo lo tanto tanto 33 x x = 9= 9

⇒

x x = 2= 2 y y 33 x x = 3= 3

⇒

x x = 1= 1 Si reemplazamos Si reemplazamos z z= 5= 5 x x obtenemos una obtenemos una ecuación de segundo grado ecuación de segundo grado..

Atención Atención

Una vez obtenidas las soluciones Una vez obtenidas las soluciones

no olvides verificar si las

no olvides verificar si las mismasmismas satisfacen la ecuación. satisfacen la ecuación. d) 25 d) 25 x x + + 55 x x = = 2020 25 25 x x + + 55 x x = = 2020 (5 (5 x x))22 + + 55 x x = = 2020 z z22 ++ z z- 20 = 0- 20 = 0 Raíces de la ecuación cuadrática:

Raíces de la ecuación cuadrática: z z11 = 4 = 4 ,, z z22 = -5.= -5. Luego 5

Luego 5 x x = 4= 4

⇒

x x loglog5 =5 =loglog44

⇒

x x

≅≅

0,86130,8613 Si

Si consideramos consideramos 55 x x= -5 , = -5 , vemos que vemos que no hay no hay valores devalores de x x

que

que cumpla cumpla la la ecuación, ecuación, pues pues ninguna ninguna potencia potencia de de 55 puede ser negativa.

puede ser negativa.

Por ejemplo

Por ejemplo,, calculemos el valor decalculemos el valor de x x en las siguientes ecuaciones logarítmicas:en las siguientes ecuaciones logarítmicas:

Aplicando la Aplicando la definición de logaritmo. definición de logaritmo. a) a) loglog55 44 x x = = 22 log log55 44 x x = = 22 4 4 x x = = 5522 x x == 4 4 25 25 b)

b) loglog99 (( x x + + 1) 1) ++ loglog99 9 (9 ( x x + 1) = 2+ 1) = 2

log

log99 (( x x + + 1) 1) ++ loglog99 9 (9 ( x x + 1) + 1) = = 22

log log99 9 (9 ( x x + 1)+ 1)22 = = 22 9 ( 9 ( x x + 1)+ 1)22 = = 9922 (( x x + 1)+ 1)22 = = 99 Observemos que... Observemos que... con la solución con la solución x x22==-4-4 obtenemosobtenemos log log99(- 3) =(- 3) = x x

⇔

99 x x = - = - 33

igualdad que no se verifica para igualdad que no se verifica para

ningún valor de ningún valor de x x.. x x + 1 = 3+ 1 = 3

⇒

x x11 = 2= 2



x x + 1+ 1



= = 33 x x + 1 = -3+ 1 = -3

⇒

x x22 = - 4= - 4 Hemos considerado

Hemos considerado z z== loglog22 x. x.

c)

c) 22 loglog x₂₂22 x - 10- 10 loglog22 x x + 8 = 0+ 8 = 0 2

(14)

Atención Atención

No olvides verificar las soluciones No olvides verificar las soluciones y descartar alguna si es necesario. y descartar alguna si es necesario.

cuyas soluciones son

cuyas soluciones son z z11 = 4 = 4 ,, z z22 = 1= 1

log

log22 x x = 4= 4

⇔

x x = 2= 244 = 16= 16

log

log22 x x = 1= 1

⇔

x x = 2= 211 = 2= 2

Necesitamos que todos los Necesitamos que todos los logaritmos involucrados en esta logaritmos involucrados en esta ecuación estén expresados en la ecuación estén expresados en la misma base para poder utilizar las misma base para poder utilizar las propiedades. Expresamos todos los propiedades. Expresamos todos los

logaritmos en base 2. logaritmos en base 2.

d)

d) 33 loglog22 x x - 2- 2 loglog44 x x = = 22

log

log44 x x == y y

⇔

x x = = 44 y y

log

log22 x x == y y loglog22 44

log

log22 x x == y y. 2. 2

y y == 2 2 1 1 log log22 x x Reemplazando en la ecuación obtenemos: Reemplazando en la ecuación obtenemos:

3

3 loglog22 x x -- loglog22 x x = = 22 2 2 loglog22 x x = = 22 log log22 x x = = 11 x x = 2= 2 A

ACTIVIDADES DE APRENDIZAJECTIVIDADES DE APRENDIZAJE

14)

14) Resolver las siguientes ecuaciones logarítmicasResolver las siguientes ecuaciones logarítmicas

a)

a) log log xx = = 33 loglog22 c)

c) 55 log xlog x -- loglog32 32 == loglog

2 2

x x

e)

e) loglog10 = 5 - 310 = 5 - 3 log xlog x

g) g)loglog 210 210 3 3 --21 21 22

++

x x x x = = 22 i) i) ln ln xx -- lnln x x33 = = 88 Ejercicios Complementarios Ejercicios Complementarios b)

b) log xlog x -- loglog3 3 = = 22 d)2

d)2log xlog x == loglog

2 2 x x --5 5 3 3 f) 10

f) 10loglog55 xx - - 55 loglog55 xx + 5 = 0+ 5 = 0 g

g)) loglog33 xx22 ++ loglog33 xx - 6 = 0- 6 = 0 j)

j) loglog2222 xx - 5- 5 loglog22 xx = = 00

15)

15) Calcular el valor deCalcular el valor de x x.. a)

a)loglogaa xx ==loglogaa 9 –9 –loglogaa 44 b)

b)loglogaa xx = 3 (= 3 (loglogaa 5 + 45 + 4loglogaa 2 –2 –loglogaa 3)3) c) c)loglogaa xx == 5 5 4 4 log log 3 3 _a_a

(15)

16)

16) Resolver las siguientes ecuaciones exponencialesResolver las siguientes ecuaciones exponenciales a) a) 4 4 . . 33 x x - 4 = 0- 4 = 0 b) b) 3 3 . . 44 x x + 6 = 0+ 6 = 0 c) c) ee22 x x - - ee x x - 6 = 0- 6 = 0 d) d) 22 x x - 2- 22-2- x x = = 00 e) e) 3322 x x + 9+ 9 x x = 162= 162 Ejercicios complementarios Ejercicios complementarios f) f) 22 x x + 4+ 4 x x = = 7272 g) g) _-- --11 --3 3 .. 10 10 3 3 3 3 3 3 x x x x x x x x

==

++

h) h) 55 x x + 5+ 51-1- x x = = 66 i) i) ee22 x x - 5 (e- 5 (e x x - e) - e- e) - e x x+1+1 = = 00 j) j) x x 33xx++66 -- x x--11 33xx = = 00 17)

17) Una sustancia radiactiva se desintegra de acuerdo a la fórmulaUna sustancia radiactiva se desintegra de acuerdo a la fórmula r r ((t t ) ) == c c ee-7-7 t t dondedonde cc es unaes una constante. ¿En cuánto tiempo habrá exactamente un tercio de la cantidad inicial?.

constante. ¿En cuánto tiempo habrá exactamente un tercio de la cantidad inicial?.

18)

18) Una población de bacterias crece de acuerdo a la fórmulaUna población de bacterias crece de acuerdo a la fórmula B B((t t ) =) = c c eekt kt dondedonde cc yy k k sosonn constantes y

constantes y B B((t t ) ) representa el número de bacterias en función del tirepresenta el número de bacterias en función del tiempo. empo. En el iEn el instantenstante t t = 0= 0 hay 10

hay 1066 bacterias. ¿En bacterias. ¿En cuánto tiempo cuánto tiempo habrá habrá 101077 bacterias, si en 12 minutos hay bacterias, si en 12 minutos hay 2 . 102 . 1066 bacterias?.bacterias?.

19)

19) En 1900 la poblacióEn 1900 la población de una ciudad era dn de una ciudad era de e 50000 habitantes50000 habitantes. En 1950 había 100. En 1950 había 100000 habitantes.000 habitantes. Asumamos que el número de habitantes en función del tiempo se ajusta a la fórmula

Asumamos que el número de habitantes en función del tiempo se ajusta a la fórmula PP((t t ) =) = c c eekt kt

donde

donde cc yy k k son constantes. ¿Cuál fue la son constantes. ¿Cuál fue la población en 1984?. ¿En población en 1984?. ¿En qué año la qué año la población es depoblación es de 200000 habitantes?.

200000 habitantes?.

20)

20) La presión La presión atmosférica como atmosférica como función de función de lla altura está dada a altura está dada por la fórmulapor la fórmula PP((hh) =) = c c eekhkh dondedonde

cc yy k k son constantes,son constantes, hh es la altura yes la altura y PP((hh) ) es la es la presión en función de presión en función de la altura. Si la altura. Si en elen el barómetro se lee 30 al nivel del mar y 24 a los 6000 pies, hallar la lectura barométrica a los 10000 barómetro se lee 30 al nivel del mar y 24 a los 6000 pies, hallar la lectura barométrica a los 10000 pies.

pies.

21)

21) El azúcar se descompone en el agua según la fórmulaEl azúcar se descompone en el agua según la fórmula A A((t t ) ) == c c ee--kt kt dondedonde cc yy k k sosonn constantes.

constantes. Si Si 30 30 kilos kilos de de azúcar azúcar se se reducen reducen a a 10 10 kilos kilos en en 4 h4 horas, oras, ¿cuánto ¿cuánto tardará tardará enen descomponerse el 95% del azúcar?.

descomponerse el 95% del azúcar?.

22)

22) Una Una partpartículícula sa se me mueve con velocidadueve con velocidad SS((t t ) ) == c c ee--kt kt dondedonde cc yy k k son constantes. Si lason constantes. Si la velocidad inicial en

velocidad inicial en t t = 0 = 0 es de 16 unidadees de 16 unidades por minuto, y en 2 ms por minuto, y en 2 minutos se reduce a la inutos se reduce a la mitad, hallarmitad, hallar el valor de

el valor de t t cuando la velocidad es de 10 unidades/minuto.cuando la velocidad es de 10 unidades/minuto. 23)

23) ¿Qué relación debe existir entre¿Qué relación debe existir entre aa yy bb para que se verifique quepara que se verifique que

log a

log a ++ log blog b = 0 ?.= 0 ?. 24)

24) Si el punto (2, 5) pertenece a la gráfica de la función exponencialSi el punto (2, 5) pertenece a la gráfica de la función exponencial y y== p p x x, ¿cuánto vale, ¿cuánto vale p p??

25)

25) SiSiaa yybb son dos números enteros, calcular el valor deson dos números enteros, calcular el valor de loglog1/ 1/ aa aa ++loglogbb

b b

1 1