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ALGEBRA, TRIGONOMETRIA Y GEOMETRIA ANALITICA TRABAJO COLABORATIVO, MOMENTO 4

PRESENTADO A: MARIO JULIAN DIAZ.

INTEGRANTES:

JOHN ENEIDER ANACONA. 108170322 EDWIN FERNANDO DIAGO.10302156 CARLOS ALFREDO IMBAQUIN. 1085260650

JUAN CARLOS RAMIREZ. 6 105724 DAMARIS YULIET SILVA. 1086549128

GRUPO: 301301_399

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA “UNAD” COLOMBIA

INTRODUCCIÓN

En el presente trabajo analizaremos y desarrollaremos los temas de la unidad 2 del módulo de algebra cada integrante del grupo de trabajo aporto sus conocimientos de los procedimientos que se deben tener en cuenta y puntos de vista para el desarrollo de los problemas planteados, describiendo e interpretando analítica y críticamente los diversos tipos de funciones, trigonométricas e hipernometricas, atreves del estudio teórico y análisis de casos modelos con los cuales podemos utilizarlos como herramientas matemáticas en la solución a posibles situaciones en el campos socia y académico.

Identificaremos los conceptos y los fundamentos de las funciones de trigonometría e hipernometría, así mismo explicaremos y analizaremos estos fundamentos y conceptos.

EJERCICIO 1 𝐹(𝑋) =√4𝑋 − 3 𝑋2_{− 4} 4𝑋 − 3 ≥ 0 4𝑋 ≥ 3 𝑋 ≥3 4 𝐷𝐹: 𝑋 ∈ [3 4, ∞) 𝑋2_{− 4 ≠ 0} 𝑋2 _{≠ 4} 𝑋 ≠ √4 𝑋 ≠ 2 DF: X lR − {2} DF: X ∈ [3 4, 2) ∪ [2, ∞)

Comprobación Geógebra

𝐹(𝑋) =√4𝑋 − 3 𝑋2_{− 4}

Ejercicio 2

2) determinar el rango de la función 𝑓(𝑥) = X + 6 √X − 5 Como f(x)=y Y = X+6 √X−5 Y* √X − 5 = X+6 [Y* √X − 5]2 = [X+6]2 (A+B) = 𝐴2+ 2𝐴𝐵 − 𝐵2 𝑌2* √X − 5 = 𝑋2+ 12𝑋 + 36

𝑌2_{* (X-5) = 𝑋}2_{+ 12𝑋 + 36} 𝑌2_{X -5𝑌}2 _{= 𝑋}2 _{+ 12𝑋 + 36} 0=𝑋2_{+ 12𝑋 + 36−𝑌}2_{X +5𝑌}2 0=𝑋2_{+ 12𝑋−𝑌}2_{X + 36 +5𝑌}2 𝑋2 _{+ 12𝑋−𝑌}2_{X + 36 +5𝑌}2 _{= 0} 𝑋2_{+ (12 − 𝑌}2_{)𝑋 + (36 + 5𝑌}2_{) = 0} A𝑋2 _{+ BX+C =0} A=1 B=12-𝑌2 C=36 + 5𝑌2 𝑥 =−𝑏 ± √𝑏 2_{− 4𝑎𝑐} 2𝑎 𝑥 =−(12 − 𝑌 2_{) ± √(12 − 𝑌}2₎2_{− 4(1)(36 + 5𝑌}2₎ 2(1) 𝑥 =−12 + 𝑌 2 _{± √144 − 24𝑌}2_{+ 𝑌}4 _{− 144 − 20𝑌}2₎ 2 𝑥 =−12 + 𝑌 2_{± √𝑌}4_{− 44𝑌}2 2 𝑥 =−12 + 𝑌 2_{± √𝑌}2(_𝑌2_{− 44)} 2 𝑥 =−12 + 𝑌 2_{± Y√𝑌}2_{− 44} 2 𝑌2− 44 ≥ 0 𝑌2− √442 ≥ 0 √44 = √22 _{∗ 11 = 2√11} 𝑌2− (2√11)2 ≥ 0 (𝑌 − 2√11)(𝑌 + 2√11) ≥ 0 y − 2√11 > 0

y > 2√11 0 2√11 y + 2√11 > 0 Y > −2√11 −2√11 0 2√11 (Y-2√11 )(Y+2√11) −2√11 0 2√11 S=(−∞, −2√11]𝑈 [2√11 , +∞) Rg= (−∞, −2√11]𝑈 [2√11 , +∞) Comprobación Geógebra

3 EJERCICIO 𝑓(𝑥) =2𝑥 − 1 2 ; 𝑔(𝑥) = 𝑥 2_{+ 2} a) (𝑓 + 𝑔)(2) (𝑓 + 𝑔)(𝑥) =2𝑥 − 1 2 + 2 (𝑓 + 𝑔)(2) =2(2) − 1 2 = +2 2_{+ 2 =}4 − 1 2 + 4 + 2 = 3 2+ 6 = 12 + 3 2 = 15 2 Comprobación Geógebra b) (𝑓 − 𝑔)(2) (𝑓 − 𝑔)(𝑥) =2𝑥 − 2 2 − (−𝑥 2_{+ 2)} (𝑓 − 𝑔)(𝑥) =2𝑥 − 1 2 − 𝑥 2_{− 2} (𝑓 − 𝑔)(2) =2(2) − 1 2 = −(2) 2_{− 2 =}4 − 1 2 − 4 − 2 = 3 2− 6 = 3 − 12 2 = − − 9 2

Comprobación Geógebra C) (𝑓 ∗ 𝑔)(3) (𝑓 ∗ 𝑔)(𝑥) = (2𝑥 − 1 2 ) (𝑥 2_{+ 2)} (𝑓 ∗ 𝑔)(3) = (2(3) − 1 2 ) (3 2_{+ 2) = (}6 − 1 2 ) (9 + 2) = ( 5 2) (11) = 55 2 Comprobación Geógebra

d) (𝑓 𝑔) (−3) (𝑓 𝑔) (𝑥) = 2𝑥 − 1 2 𝑥2_{+ 2} (𝑓 𝑔) (−3) = 2(−3) − 1 2 −32_{+ 2} = −6 − 1 2 9 + 2 = −7 2 11 = −7 22 = − 7 22 Comprobación Geógebra EJERCICIO 4 𝑓(𝑥) = √𝑥 + 2 𝑔(𝑥) = 𝑥2 − 1 a) (𝑓 𝑜 𝑔)(𝑥) (𝑓 𝑜 𝑔 )(𝑥) = 𝑓(𝑔(𝑥)) = √ 𝑔(𝑥 + 2) = √𝑥2_{− 1 + 2 = √𝑥}2 _{+ 1}

Comprobación en Geogebra

b) (𝑔 𝑜 𝑓)(𝑥)

(𝑔 𝑜 𝑓)(𝑥) = 𝑔(𝑓(𝑥)) = (𝑓(𝑥))2_{− 1 = (√𝑥 + 2)}2_{− 1 = 𝑥 + 2 − 1 = 𝑥 + 1} Comprobación en Geogebra

c) (f+g)(x) (f +g)(x)= 𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑥) = √𝑥 + 2 + 𝑥2− 1 Comprobación en Geogebra d) (f- g)(x) (f-g)(x) = 𝑓(𝑥) − 𝑔(𝑥) = √𝑥 + 2 − (𝑥2− 1) = √𝑥 + 2 − 𝑥2− 1 Comprobación en Geogebra

EJERCICIO 5

2𝑠𝑒𝑛𝑥𝑐𝑜𝑠𝑥 − 𝑐𝑜𝑠𝑥

1 − 𝑠𝑒𝑛𝑥 + 𝑠𝑒𝑛

2

_{𝑥 − 𝑐𝑜𝑠}

2

_𝑥

= 𝑐𝑜𝑡𝑥

2𝑠𝑒𝑛𝑥𝑐𝑜𝑠𝑥 − 𝑐𝑜𝑠𝑥

1 − 𝑠𝑒𝑛𝑥 + 𝑠𝑒𝑛

2

_{𝑥 − 𝑐𝑜𝑠}

2

_𝑥

=

𝑐𝑜𝑠𝑥(2𝑠𝑒𝑛𝑥 − 1)

1 − 𝑠𝑒𝑛𝑥 + 𝑠𝑒𝑛

2

_{− (1 − 𝑠𝑒𝑛}

2

_𝑥)

=

𝑐𝑜𝑠𝑥(2𝑠𝑒𝑛𝑥 − 1)

1 − 𝑠𝑒𝑛𝑥 + 𝑠𝑒𝑛

2

_{− 1𝑠𝑒𝑛}

2

_𝑥

=

𝑐𝑜𝑠𝑥(2𝑠𝑒𝑛𝑥 − 1)

2𝑠𝑒𝑛

2

_{𝑥 − 𝑠𝑒𝑛𝑥}

=

𝑐𝑜𝑠𝑥(2𝑠𝑒𝑛𝑥 − 1)

𝑠𝑒𝑛𝑥(2𝑠𝑒𝑛𝑥 − 1

=

𝑐𝑜𝑠𝑥

𝑠𝑒𝑛𝑥

= 𝑐𝑜𝑡𝑥

Solución:

𝑐𝑜𝑡𝑥

Ejercicio 6

Demuestre la siguiente identidad, usando las funciones de las diversas identidades hiperbólicas fundamentales. 𝑡𝑎𝑛ℎ𝑥 1−𝑡𝑎𝑛ℎ2𝑥

= 𝑠𝑒𝑛ℎ

2

_𝑥

= 𝑡𝑎𝑛ℎ𝑥 1 − (𝑡𝑎𝑛ℎ𝑥)2= 𝑠𝑒𝑛ℎ 2_𝑥 𝑠𝑒𝑛ℎ𝑥 𝑐𝑜𝑠ℎ𝑥 1− 𝑠𝑒𝑛ℎ𝑥2 𝑐𝑜𝑠ℎ𝑥2

= 𝑠𝑒𝑛ℎ

2

𝑥

𝑠𝑒𝑛ℎ𝑥 𝑐𝑜𝑠ℎ𝑥 𝑐𝑜𝑠ℎ2𝑥− 𝑠𝑒𝑛ℎ2 𝑥 𝑐𝑜𝑠ℎ2 𝑥

= 𝑠𝑒𝑛ℎ

2

𝑥

𝑐𝑜𝑠ℎ2𝑥 − 𝑠𝑒𝑛ℎ2 𝑥 = 1 𝑠𝑒𝑛ℎ𝑥 𝑐𝑜𝑠ℎ𝑥 1 𝑐𝑜𝑠ℎ2 𝑥

= 𝑠𝑒𝑛ℎ

2

𝑥

senhx∗𝑐𝑜𝑠ℎ2𝑥 coshx

= 𝑠𝑒𝑛ℎ

2

_𝑥

𝑠𝑒𝑛ℎ𝑥 ∗ 𝑐𝑜𝑠ℎ𝑥 ≠ 𝑠𝑒𝑛ℎ2_𝑥

Se utilizaron las definiciones de las identidades hiperbólicas fundamentales pero no se cumple ninguna igualdad.

Ejercicio 7

Un avión que pasa 60 metros sobre la azotea de un edificio de 40 metros de altura, desciende 200 metros hasta tocar tierra en un lugar A. ¿Con que ángulo descendió? ¿Qué distancia hay entre la base del edificio y el lugar A?

¿Con que ángulo descendió?

Avión 60mts Azotea 40mts θ? 200mts 30ᵒ A? X 60° por que. Solución 𝑐𝑜𝑠𝑥 =100 200= 1 2 𝑥 = 𝑐𝑜𝑠−1(1 2) = 60° Respuesta: desciende con un Angulo de 60°

Solución pregunta 2

√(200)2₍₁₀₀₎2 _{= √30000𝑚}2 _{= 100√3 = 173𝑚}

A C B

Ejercicio 8

Desde lo alto de un globo se observa una ciudad A con un ángulo de 50°, y otra ciudad B, situada al otro lado y en línea recta, con un ángulo de 60°. Sabiendo que el globo se encuentra a una distancia de 6 kilómetros de la ciudad A y a 4 kilómetros de la ciudad B. Determine la distancia entre las ciudades A y B.

𝐶𝑂𝑆 60° =𝑋1 4 𝑋₁= 4 . 𝐶𝑂𝑆 60° 𝑋₁ = 2 Km 𝐶𝑂𝑆 50° =𝑋2 6 𝑋₂ = 6 . 𝐶𝑂𝑆 50° 𝑋₂ = 3,85 Km 𝑋₁+ 𝑋₂ = 2 Km + 3,85 Km X = 5,85 Km

Ejercicio 9 2𝑐𝑜𝑠2_{x + √3 senx = −1} Como: 𝑠𝑒𝑛2x + 𝑐𝑜𝑠2x = 1 𝑐𝑜𝑠2x = 1 − 𝑠𝑒𝑛2x Entonces: 2[1-𝑠𝑒𝑛2_{x]+ √3 𝑠𝑒𝑛𝑥 = −1} 2-2𝑠𝑒𝑛2x+ √3 𝑠𝑒𝑛𝑥 + 1 = 0 -2𝑠𝑒𝑛2x+ √3 𝑠𝑒𝑛𝑥 + 3 = 0 -2𝑠𝑒𝑛2_{x+ √3 𝑠𝑒𝑛𝑥 + 3 = 0} 𝑎𝑥2_{+bx+c=0 sea X=senx} A=-2 b=√3 c=3 𝑥 =−𝑏 ± √𝑏 2_{− 4𝑎𝑐} 2𝑎 𝑥 =−√3 ± √(√3) 2 − 4(−2)(3) 2(−2) 𝑥 =−√3 ± √3 + 24 −4 𝑥 =−√3 ± √27 −4 𝑥 =−√3 ± 3√3 −4 𝑥 =−√3 + 3√3 −4 𝑥 =2√3 −4 𝑥1 = − √3 2

𝑥 =−√3 − 3√3 −4 𝑥 =−4√3 −4 𝑥2 = √3 COMO X = sen x Sen x = − √3 2 sen x = √3 X = 𝑠𝑒𝑛−1 (− √3

2 ) sen x = 1.73 no tiene solución porque el 1,73 se sale del rango den

senx que es [−1,1] X = −600

X=180+600 _{v 𝑥 = 360}0_{− 60}0 X=2400 _{v x =300}0

CONCLUCIONES.

Al finalizar nuestro trabajo nos damos cuenta de que como estudiantes podremos interpretar analítica y críticamente los diversos tipos de funciones, trigonometría e hipermetropía, a través del estudio teórico y el análisis de casos modelos, estos nos permitieron prepararnos para poder enfrentar futuros relacionadas con esta área y poder resolverlos por medio de los conocimientos adquiridos

El software GeoGebra es una herramienta q con el conocimiento adecuado nos ayuda a entender y analizar mejor este tipo de problemas ya que nos grafica las funciones y nos da un concepto más amplio y claro de las funciones trigonometría y hipernometria

Se diferencia y se identifican conceptos sobre dominio y rango e identidades así como también trigonometría y hipernometria.

BLIBLIOGRAFIA

Geogebra. Herramienta online para graficar y comprobar ecuaciones y funciones. Recuperado el 3 de abril de 2015 de:

https://login.geogebra.org/user/signin/caller/web?clientinfo=startup&url=http://web.geogebra.o rg/chromeapp/

Objeto de información: funciones. Recuperado el 28 de marzo de 2015 de:

http://datateca.unad.edu.co/contenidos/301301/AVA_-_301301/funciones_presentacion.ppt Objeto de información: trigonometría. Recuperado el 28 de marzo de 2015 de:

http://datateca.unad.edu.co/contenidos/301301/AVA_-_301301/funciones_presentacion.ppt Tangente hiperbólica. Recuperado el 28 de marzo de 2015 de:

https://www.youtube.com/watch?v=IIU2DlBrqQg

Dominio de funciones. Recuperado el 28 de marzo de 2015 de: :https://www.youtube.com/watch?v=qOCMPXoxJyg

Clases de funciones. Recuperado el 28 de marzo de 2015 de https://www.youtube.com/watch?v=oo-OlMQI7nI

Funciones exponenciales Recuperado el 28 de marzo de 2015 de https://www.youtube.com/watch?v=8IU7RKr80gI

Rango de una función racional. Recuperado el 28 de marzo de 2015 de https://www.youtube.com/watch?v=0lMR7K5GOlo

Dominio y rango de una función racional con radical en el denominador. Recuperado el 28 de marzo de 2015 dehttps://www.youtube.com/watch?v=XPDYguWEBdM