METODOS NUMERICOS Y COMPUTACION-MA-FIIS LIC. MAT. JUAN C. CURI GAMARRA ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS Y PARCIALES
1. Resuelva en forma analítica el problema de valores iniciales siguientes en el intervalo de x= 0 a 2: dy yx2 1.1y
dx , donde y(0)=1. Grafique la solución.
2. Utilice el método de Euler con h=0.5 y 0.25, para resolver el problema anterior. Grafique los resultados en la misma grafica para comparar en forma visual la exactitud de los dos tamaños de paso.
3. Emplee el método de Heun con h=0.5 para resolver el problema 1. Itere el corrector hasta que
s
1%
4. Use el método de RK clásico de cuarto orden con h=0.5 para resolver el problema 1 5. Repita los problemas 1 ,2,3, 4, pero para el problema de valores iniciales siguiente, en el
intervalo de x=0 a 1, dy
1 2x
y , y
0 1dx
6. Utilice los métodos de a) Euler, b) Heun (sin iteración) para resolver: 2 2 0.5 0 d y t y dt ,donde y(0)=2 y ’ (0)=0
Resuelva de x= 0 a 4, con h= 0.1. Compare los métodos por medio de graficar las soluciones.
7. Resuelva el problema siguiente con el método de RK de cuarto orden: 2 2 0.6 8 0 d y dy y dx
dx .Donde y(0) = 4 y y´(0) = 0. Resuelva de x = 0 a 5 con h = 0.5. Grafique sus resultados.
8. Resuelva la ecuación que se presenta a continuación, de t = 0 a 3, con h = 0.1, con los métodos de a) Heun (sin corrector), b) RK de cuarto orden: dy ysen t3
,y 0 1dt
9. Solucione numéricamente el problema de t = 0 a 3, dy y t2 y
0 1dt
Utilice el método RK de cuarto orden, con un tamaño de paso de 0.5 10. Use los métodos de a) Euler y b) RK de cuarto orden para resolver:
2
2
4
3
xdy
y
e
dx
dz
yz
dx
En el rango de x= 0 a 1, con un tamaño de paso de 0,2, con y(0) = 2, y z(0) = 4
11. Investigue sobre el enfoque de RK – Fehlberg para llevar a cabo el mismo cálculo del ejemplo 25.12, de x= 0 a 1, con h= 1.
12. Haga un programa amistoso para el usuario para el método de Heun con corrector iterativo. Pruébelo para el problema 8
METODOS NUMERICOS Y COMPUTACION-MA-FIIS LIC. MAT. JUAN C. CURI GAMARRA 13. Desarrolle un programa de computadora para el usuario para el método clásico de RK
de cuarto orden. Pruebe el problema 9.
14. Realice un programa de computadora para el usuario para sistema de ecuaciones, con el empleo del método RK de cuarto orden. Use este programa en el problema 10.
15. El movimiento de un sistema acoplado masa resorte (véase la figura) esta descrito por la ecuación diferencial ordinaria que sigue:
2
2
0
d x
dx
m
c
kx
dt
dt
Donde x = desplazamiento desde la posición de equilibrio (m) , t = tiempo (s), m = 20 kg masa, y c = coeficiente de amortiguación (N.s/m). El coeficiente de amortiguamiento c adopta tres valores, 5 (subamortiguado), 40 (amortiguamiento critico), y 200 (sobreamortiguado). La constante del resorte es k = 20 N/m. La velocidad inicial es de cero y el desplazamiento inicial es x = 1 m. Resuelva esta ecuación con el uso de un método numérico durante el periodo de tiempo 0< t < 15 . Grafique el desplazamiento versus el tiempo para cada uno de los tres valores del coeficiente de amortiguamiento sobre la misma curva.
16. Si se drena agua desde un tanque cilíndrico vertical por medio de abrir una válvula en la base, el líquido fluirá rápido cuando el tanque este lleno y despacio conforme se drene. Como se ve, la tasa a la que el nivel del agua disminuye es:
dy
k y
dt
, donde k es una constante que depende de la forma del agujero y delárea de la sección transversal del tanque y agujero drenaje. La profundidad del agua y se mide en metros y el tiempo en minutos. Si k = 0.06, determine cuanto tiempo se requiere para vaciar el tanque si el nivel del fluido se encuentra en un inicio a 3m. Resuelva con la aplicación de la ecuación de Euler y escriba un programa de computadora en Excel. Utilice un paso de 0.5 minutos.
METODOS NUMERICOS Y COMPUTACION-MA-FIIS LIC. MAT. JUAN C. CURI GAMARRA
2 25
7
0
d x
dx
x
x
sen
t
dt
dt
Donde:
0
1.5
0
6
dx
y
x
dt
Observe que
1
. Descomponga la ecuación en dos ecuaciones diferenciales de primer orden. Después de la descomposición. Resuelva el sistema de t = 0 a 15, y grafique sus resultados.18. Si se supone que el arrastre es proporcional al cuadrado de la velocidad, se puede modelar la velocidad de un objeto que cae, como un paracaidista, por medio de la ecuación diferencial siguiente:
2 d
c
dv
g
v
dt
m
Donde v es la velocidad (m/s), t = tiempo (s), g es la aceleración de la gravedad (9.81m/s2), cd = coeficiente de arrastre de segundo orden (kg/m), y m= masa (kg). Resuelva para la velocidad y distancia que recorre un objeto de 90 kg con coeficiente de arrastre de 0.225 kg/m. Si la altura inicial es de 1 km, determine en que momento choca con el suelo. Obtenga la solución con a) el método de Euler, y b) el método de RK de cuarto orden.
19. Un tanque esférico tiene un orificio circular en el fondo a través del cual fluye líquido (véase la figura ). La tasa de flujo a través del agujero se calcula como:
2
sal
Q
CA
gH
Donde
Q
sal= flujo de salida (m3/s), C = coeficiente obtenido en forma empírica, A = área del orificio (m2), g = constante gravitacional (=9,81 m/s2) y H = profundidad del líquido dentro del tanque. Emplee alguno métodos numéricos a fin de determinar cuánto tiempo tomaría que el agua fluyera por completo de un tanque de 3m de diámetro con altura inicial de 2.75 m. Observe que el orificio tiene un diámetro de 3 cm y C= 0.55.METODOS NUMERICOS Y COMPUTACION-MA-FIIS LIC. MAT. JUAN C. CURI GAMARRA 20. Para simular una población se utiliza el modelo logístico:
1
/
max
gm
dp
k
p p
p
dt
Donde p= población, kgm = tasa máxima de crecimiento en condiciones ilimitadas, y pmax es la capacidad de carga. Simule la población mundial entre 1950 y 2000, con el empleo de algún método numérico.
21. El balance de calor de estado estacionario de una barra se representa como:
2
2
0.15
0
d T
T
dx
Investigue una solución analítica para una barra de 10 m con T(0) = 240 y T(10) = 150 22. Use el enfoque de diferencias finitas con
x
1
para resolver el problema 2123. Emplee el método de diferencias finitas para resolver:
2
2
7
d y
2
dy
y
x
0
dx
dx
Con las condiciones de frontera y(0) = 5 y y(20) = 8,
x
2
24. Utilice el método de diferencias finitas para solucionar
2 4 7 21 10
273
4 150
0
d T
x
T
T
dx
…….. (*)Obtenga una solución para las condiciones de frontera T(0) = 200 y T(0.5)= 100
0.01
x
25. Es frecuente que las ecuaciones diferenciales como la del ejercicio 24 se puedan simplificar si se linealizan los términos no lineales. Por ejemplo, para linealizar el término a la cuarta potencia de la ecuación (* , ejercicio 24), se puede usar una expansión en series de Taylor de primer orden; así:
4
4
3
7 7 7
1 10
x
T
273
1 10
x
T
b
273
4 10
x
T
b
273
T
T
bDonde Tb es la temperatura base acerca de la que se linealiza el término. Sustituya esta relación en la ecuación (* ejercicio 24) y luego resuelva la ecuación lineal resultante con el enfoque de diferencias finitas. Emplee
T
b
150
y
x
0.01
para obtener su solución.26. a) Use menores para expandir el determinante de:
2 8 10 8 4 5 10 5 7
b) Investigue y emplee el método de potencias para determinar el valor propio más alto y el vector propio correspondiente, para el inciso a)
METODOS NUMERICOS Y COMPUTACION-MA-FIIS LIC. MAT. JUAN C. CURI GAMARRA 27. Investigue y emplee el método de potencias para determinar el valor propio más bajo y
el vector propio correspondiente para el problema 26.
28. Desarrolle un programa de computadora amigable para el usuario para implantar el enfoque de diferencias finitas para resolver una EDO lineal de segundo orden. Pruébelo con la duplicación del ejercicio 24.
29. Desarrolle un programa amistoso para el usuario para encontrar el valor propio más alto con el método de la potencia. Pruébelo con la duplicación del ejercicio 26.
30. Desarrolle un programa amistoso para el usuario a fin de resolver el valor propio más pequeño con el método de la potencia. Pruébelo con la duplicación del ejemplo 27 31. Emplee la herramienta Solver de Excel para solucionar directamente (es decir, sin
linealizacion) el problema 27.6 con el uso del enfoque de diferencias finitas. Emplee 0.1
x
para obtener su solución.
32. Use MATLAB para integrar el par siguiente de EDO, de t= 0 a 100
1 2 1 1 2 1 2 2 0.35 1.6 0.04 0.15 dy dy y y y y y y dt dt
Donde y1 = 1 y y2 = 0.05 en t= 0. Desarrolle una gráfica de espacio estacionario (y1 versus y2) de sus resultados.
33. La ecuación diferencial que sigue se utiliza para analizar la vibración de un amortiguador de un auto: 2 6 7 9 2
1.2(10 )
d x
10
dx
1.5(10 )
x
0
dt
dt
Transforme esta ecuación en un par EDO. a) use Matlab para resolver las ecuaciones, de t=0 a 0.4, para el caso en que x=0.5, y dx/dt = 0 en t = 0. b) Emplee Matlab para determinar los valores y vectores propios para el sistema.
34. Use algún código de Matlab para integrar:
a) dx ax bxy dt dy cy dxy dt
Donde a = 1.5, b = 0.7, c = 0.9 y d = 0.4. Emplee las condiciones iniciales de x = 2 y y = 1 e integre de t = 0 a 30 b) dx x y dt dy rx y xz dt dz bz xy dt
Donde
10 , b = 2.666667 y r = 28. Utilice las condiciones iniciales de x = y = z = 5 e integre de t = 0 a 20.METODOS NUMERICOS Y COMPUTACION-MA-FIIS LIC. MAT. JUAN C. CURI GAMARRA 35. Utilice diferencias finitas para resolver la ecuación diferencial ordinaria con valores en la
frontera : 2 2
6
2
d u
du
u
dx
dx
Con condiciones de frontera u(0) = 10 y u(2) = 1. Grafique los resultados u versus x. Utilice x 0.1
36. Resuelva para la EDO no dimensionada, por medio del método de diferencias finitas, que describa la distribución de la temperatura en una barra circular con fuente interna de calor S. 2 2
1
0
d T
dT
S
dr
r dr
En el rango 0< r < 1, con las condiciones de frontera
1
1 r 0 0dT T r
dr
Para S = 1, 10 y 20 k/m2. Grafique la temperatura versus el radio
37. Obtenga el conjunto de ecuaciones diferenciales para un sistema de cuatro resortes y tres masas (figura inferior) que describa su movimiento en el tiempo. Escriba las tres ecuaciones diferenciales en forma matricial.
vector de aceleración
matriz k m vector de desplazamiento/
0Observe que cada ecuación ha sido dividida entre la masa. Resuelva para los valores propios y frecuencias naturales para los valores siguientes de masa y constantes de los resortes: k1 = k4 = 15N/m, k2 = k3 = 35 N/m, y m1 = m2 = m3 = 1.5 kg
38. Considere el sistema masa – resorte que se ilustra en la figura de la parte inferior. Las frecuencias para las vibraciones de la masa se determinan con la solución para los valores propios y con la aplicación de Mx kx 0, que da como resultado:
1 1 1 2 2 2 3 3 3 0 0 2 0 0 0 2 0 0 0 2 0 m x k k k x m x k k k x m x k k k x
Al elegir xx e0 m como solución se obtiene la matriz siguiente: 2 1 01 2 2 02 2 3 03
2
0
2
0
2
0
mk
m
k
k
x
k
k
m
k
x
e
k
k
k
m
x
METODOS NUMERICOS Y COMPUTACION-MA-FIIS LIC. MAT. JUAN C. CURI GAMARRA 39. Hombeck (1975) propuso la siguiente EDO parásita no lineal:
2
1 1 5 dy y t dt Si la condición inicial es y1(0)0.08, obtenga una solución de t=0 a t=5: a) Analítica
b) Con RK-4 con tamaño de paso constante de 0.03125
c) Investigue el uso de la función ODE45 de Matlab y aplíquelo al problema
40. Un balance de masa para un producto químico completamente mezclado en un reactor se escribe así
2 dc
V F Qc kVc
dt
Donde V = volumen (12m3), c = concentración (g/m3), F = tasa de alimentación (175 g/min), Q = tasa de flujo (1 m3/min), y k = tasa de reacción de segundo orden (0.15 m3/g/min). Si c(0) = 0. Resuelva la EDO hasta que la concentración alcance un nivel estable. Use el método de Euler (h = 0.5) y grafique sus resultados.
Pregunta adicional: Si se ignora el hecho de que las concentraciones iniciales deben ser positivas, encuentre un rango de condiciones iniciales de modo que se obtenga una trayectoria muy diferente de la que se obtuvo con c(0) = 0. Relacione sus resultados con las soluciones de estado estable.
41. Sí cen cb
1e0.12t
; calcule la concentración en el flujo de salida de una sustancia conservativa (no reactiva) para un reactor único mezclado completamente, como función del tiempo. Use el método de Heun (sin iteración) para efectuar el cálculo. Emplee valores de cb 40mg m/ 3, Q = 6 m3/min, V = 100 m3, y c
0 = 20 mg/m3. Haga el cálculo de t = 0 a 100 min con h = 2. Grafique sus resultados junto con la concentración del flujo de entrada versus tiempo
42. Se bombea agua de mar con una concentración de 8000 g/m3 hacia un tanque bien mezclado, a una tasa de 0.6 m3/h. Debido al diseño defectuoso, el agua se evapora del tanque a una tasa de 0.025 m3/h. La solución salina abandona el tanque a una tasa de 0.6 m3/h.
a) Si originalmente el tanque contiene 1 m3 de la solución que entra, ¿cuánto tiempo después de que se enciende la bomba de salida quedara seco el tanque?
METODOS NUMERICOS Y COMPUTACION-MA-FIIS LIC. MAT. JUAN C. CURI GAMARRA b) Use métodos numéricos para determinar la concentración de sal en el tanque como función del tiempo.
43. Un cubo de hielo esférico (una “esfera de hielo”) que mide 6 cm de diámetro es retirada de un congelador a 0oC y colocada en una pantalla de malla a temperatura ambiente To = 20oC. ¿Cuál será el diámetro del cubo de hielo como función del tiempo fuera del congelador (si se supone que toda el agua que se funde gotea de inmediato a través de la pantalla)?. El coeficiente de transferencia de calor h para una esfera en un cuarto tranquilo es alrededor de 3 W/(m2.K). El flujo calorífico de la esfera de hielo al aire está dado por:
o
q Flujo h T T A Donde q = calor y A = área superficial de la esfera. Use un método numérico para hacer el cálculo. Observe que el calor latente de la fusión es de 333 kJ/kg, y la densidad del hielo es aproximadamente de 0.917 kg/m3.
44. Las ecuaciones siguientes definen la concentración de tres reactivos:
10
10
10
2
a a c b b a c b c a c b cdc
c c
c
dt
dc
c c
c
dt
dc
c c
c
c
dt
Si las condiciones iniciales son de ca = 50, cb = 0 y cc = 40, encuentre las concentraciones para los tiempos de 0 a 3 s.
45. El compuesto A se difunde a través de un tubo de 4 cm de largo y reacciona conforme se difunde. La ecuación que gobierna la difusión con la reacción es:
2
2
0
d A
D
kA
dx
En un extremo del tubo se encuentra una fuente grande de A con concentración de 0.1 M. En el otro extremo del tubo esta un material que absorbe con rapidez cualquier A y hace que la concentración sea 0 M. Si D = 1.5x10-6 cm2/s y k=5x10-6s-1, ¿Cuál es la concentración de A como función de distancia en el tubo?
46. En la investigación de un homicidio o de una muerte accidental, con frecuencia es importante estimar el tiempo que ha transcurrido desde la muerte. De observaciones experimentales, se sabe que la temperatura superficial de un objeto cambia con una tasa proporcional a la diferencia entre la temperatura del objeto y la del ambiente circundante, o temperatura ambiente. Esto se conoce como ley de Newton del enfriamiento. Así, si T(t) es la temperatura del objeto al tiempo t, y Ta es la temperatura ambiente constante:
METODOS NUMERICOS Y COMPUTACION-MA-FIIS LIC. MAT. JUAN C. CURI GAMARRA
a
dT
k T T dt
Donde k>0 es una constante de proporcionalidad. Suponga que en el momento t = 0 se descubre un cuerpo y se mide su temperatura, To se supone que en el momento de la muerte, la temperatura del cuerpo Ta, era el valor normal de 37oC. Suponga que la temperatura del cuerpo al ser descubierto era de 29.5 oC, y que dos horas después era de 23.5oC. La temperatura ambiente es de 20oC.
a) determine k y el tiempo de la muerte
b) Resuelva la EDO en forma numérica y grafique los resultados.
47. La reacción AB tiene lugar en dos reactores en serie. Los reactores están bien mezclados pero no en estado estable. El balance de masa de estado no estable para cada tanque de agitado de los reactores es el siguiente.
1 0 1 1 1 1 1 2 1 2 2 2 1 2 2 1 1 1 1 dCA CA CA kCA dt dCB CB kCA dt dCA CA CA kCA dt dCB CB CB kCA dt
Donde CAo = concentración de A en la entrada del primer reactor, CA1 = concentración de A a la salida del primer reactor (y en la entrada del segundo), CA2 = concentración de A en la salida del segundo reactor. CB1 = concentración de B en la salida del primer reactor (y en la entrada del segundo), CB2 = concentración de B en el segundo reactor,
= tiempo de residencia de cada reactor, y k = tasa constante para la reacción de A para producir B. Si CAo = 20, encuentre las concentraciones de A y B en ambos reactores durante sus primeros 10 minutos de operación. Utilice k = 0.12 /min y
= 5 min, y suponga que las condiciones iniciales de todas las variables dependientes son cero.48. Un reactor de procesamiento por lotes no isotérmico esta descrito por las ecuaciones siguientes:
10 / 273 10 / 273 1000 10 20 T T dC e C dt dT e C T dt Donde C es la concentración del reactante y T es la temperatura del reactor. Inicialmente, el reactor se encuentra a 15oC y tiene una concentración de reactante C de 1.0 g.mol/L. Encuentre la concentración y temperatura del reactor como función del tiempo.
METODOS NUMERICOS Y COMPUTACION-MA-FIIS LIC. MAT. JUAN C. CURI GAMARRA 49. El sistema siguiente es un ejemplo clásico de EDO rígidas que ocurre en la solución de
una reacción química cinética: 1 1 1 3 2 2 3 3 1 1 3 2 3
0.013
1000
2500
0.013
1000
2500
dc
c
c c
dt
dc
c c
dt
dc
c
c c
c c
dt
Resuelva las ecuaciones de t = 0 a 50, con condiciones iniciales c1(0) = c2(0) = 1, y c3(0) = 0. Si usted tiene acceso al software de MATLAB, INVESTIGUE sobre el uso tanto la función estándar (por ejemplo, ode 45) como la rígida (por ejemplo, ode 23s) para obtener sus soluciones.
50. Los modelos depredador presa se desarrollaron de manera independiente en la primera parte del siglo XX, gracias al trabajo del matemático Vito Volterra y del biólogo norteamericano Alfred Lotka. El ejemplo más simple es el siguiente sistema EDO:
dx ax bxy dt dy cy dxy dt
Donde x,y =numero de presas y depredadores, respectivamente, a=razón de crecimiento de la presa, c=razón de muerte del depredador, b y d= razón que caracteriza el efecto de la interacción depredador presa sobre la muerte de la presa y el crecimiento del depredador , respectivamente. Los términos que se multiplican (es decir, los que involucran xy) hacen que las ecuaciones sean no lineales.
Resolver el sistema de Lotka-Volterra pero utilice el método de a) Euler , b) Heun (sin iterar el corrector), c) RK de cuarto orden, y d) la función ode 45 de MATLAB. En todos los casos use variables de precisión sencilla, tamaño de paso de 0.1, y simule de t = 0 a 20. Elabore graficas de estado-espacio para todos los casos.(a=1.2, b=0.6, c=0.8, d=0.3) , condiciones iniciales x=2, y=1 en t=0
51. Un modelo sencillo basado en las dinámicas del fluido atmosférico son las ecuaciones de Lorenz:
dx
x
y
dt
dy
rx
y
xz
dt
dz
bz
xy
dt
Lorenz desarrolló estas ecuaciones para relacionar la intensidad del movimiento de fluido atmosférico, x, con las variaciones de temperatura, “y” “z” en las direcciones
METODOS NUMERICOS Y COMPUTACION-MA-FIIS LIC. MAT. JUAN C. CURI GAMARRA horizontal y vertical, respectivamente. Analizar el sistema con
10,b2.6667,r 28. Emplee como condiciones inicialesx
y
z
5
, en t=0Resuelva las ecuaciones de Lorenz usando el método de a) Euler, b) Heun (sin iterar el corrector), c) RK de cuarto orden, y d) la función ode 45 de MATLAB. En todos los casos emplee variables de precisión sencilla y un tamaño de paso de 0.1 y simule de t = 0 a 20. Para todos los casos desarrolle graficas de estado – espacio.
52. La ecuación siguiente se utiliza para modelar la deflexión de mástil de un bote sujeto a la fuerza del viento :
2 2 2
2
d y
f
L
z
dz
EI
Donde f = fuerza del viento, E = módulo de elasticidad, L = longitud del mástil, e I = momento de inercia. Calcule la deflexión si y = 0 y dy/dz = 0 en z = 0. Para su cálculo utilice valores de parámetro de f = 60, L = 30, E = 1.25 x 108, e I = 0.05.
53. Efectúe el mismo calculo que en el problema 52, pero en vez de usar una fuerza del viento constante, emplee una fuerza que varié con la altura de acuerdo con la ecuación
200 2 / 30 5 z z f z e z 54. Un ingeniero ambiental está interesado en estimar la mezcla que ocurre entre un lago estratificado y una bahía adyacente (véase la figura inferior). Un trazador conservativo se mezcla instantáneamente con el agua de la bahía y después se monitorea la concentración del trazador durante el periodo que se muestra a continuación en los tres segmentos. Los valores son:
t 0 2 4 6 8 12 16 20
c1 0 15 11 7 6 3 2 1
c2 0 3 5 7 7 6 4 2
c3 100 48 26 16 10 4 3 2
Con el empleo de balances de masa, el sistema puede modelarse con las EDO simultáneas siguientes:
1 1 1 12 2 1 3 3 1 2 2 2 1 2 3 3 3 1 3 i i idc
V
Qc
E
c
c
E
c
c
dt
dc
V
E
c
c
dt
dc
V
E
c
c
dt
Donde V1 = volumen del segmento i, Q = flujo y Eij = la tasa de mezcla difusiva entre los segmentos i y j. utilice los datos y las ecuaciones diferenciales para estimar las E si V1 = 1 x 107, V2 = 8 x 106, V3 = 5 x 106 y Q = 4 x 106. Para su análisis, emplee el método de Euler con tamaño de paso de 0.1.
METODOS NUMERICOS Y COMPUTACION-MA-FIIS LIC. MAT. JUAN C. CURI GAMARRA 55. Las dinámicas del crecimiento de la población son importantes en varios estudios de
planeación tales como el transporte y la ingeniería de los recursos hidráulicos. Uno de los modelos más simples de dicho crecimiento incorpora la suposición de que la tasa de cambio de la población p es proporcional a la que existe en cualquier momento r.
dp Gp
dt ……….(55.1)
Donde G = tasa de crecimiento (anual). Este modelo tiene sentido intuitivo porque entre mayor sea la población más grande será el número de padres potenciales. Al tiempo t = 0, una isla tiene una población de 6000 personas. Si G = 0.075 por año, emplee el método de Heun (sin iteración) para predecir la población en t = 20 años, con el uso de un tamaño de paso de 0.5 años. Grafique p versus t, en papel estándar y semilogarítmico. Determine la pendiente de la línea sobre la gráfica semilogarítmica. Analice sus resultados.
56. Aunque el modelo del problema anterior funciona en forma adecuada cuando el crecimiento de la población es ilimitado, falla ante la existencia de factores tales como falta de comida, contaminación y falta de espacio, los cuales inhiben el crecimiento. En tales casos, la tasa de crecimiento se considera que es inversamente proporcional a la población. Un modelo de esta relación es:
max
´
G
G p
p
……….(56.1)Donde G´ = tasa de crecimiento dependiente de la población (por persona-año) y pmax = población máxima sostenible. Así cuando la población es pequeña (p<<pmax), la tasa de crecimiento será elevada y constante de G´pmax. En tales casos, el crecimiento es ilimitado y la ecuación (56.1) es esencia es idéntica a la (55.1). Sin embargo, conforme la población crece (es decir conforme p se aproxima a pmax), G disminuye hasta que p = pmax es cero. Así, el modelo predice que, cuando la población alcanza el nivel máximo sostenible, el crecimiento es inexistente y el sistema se encontrará en estado estable. Al sustituir la ecuación (56.1) en la (55.1) se llega a :
max
´ dp
G p p p
dt
Para la misma isla que se estudió en el problema 56, emplee el método de Heun (sin iteración) para predecir la población en t = 20 años, con el uso de un tamaño de paso de
METODOS NUMERICOS Y COMPUTACION-MA-FIIS LIC. MAT. JUAN C. CURI GAMARRA 0.5 años. Emplee valores de G = 10-5 por persona-año y pmax = 20000 personas. Al tiempo t = 0, la isla tiene una población de 6000 personas. Grafique p versus t e interprete la forma de la curva.
57. El parque nacional Isla Royal es un archipiélago de 210 millas cuadradas compuesto de una sola isla grande y muchas pequeñas, en el lago Superior. Alrededor de 1900 llegaron alces y hacia 1930, su población se acercaba a 3000, por lo que devastaban la vegetación. En 1949, los lobos cruzaron un puente de hielo desde Ontario. Desde finales de la década de 1950, se registran los números de alces y lobos, como se muestra a continuación. (Un guion indica que no hay datos).
Año Alces Lobos Año Alces Lobos
1960 700 22 1972 836 23 1961 - 22 1973 802 24 1962 - 23 1974 815 30 1963 - 20 1975 778 41 1964 - 25 1976 641 43 1965 - 28 1977 507 33 1966 881 24 1978 543 40 1967 - 22 1979 675 42 1968 1000 22 1980 577 50 1969 1150 17 1981 570 30 1970 966 18 1982 590 13 1971 674 20 1983 811 23
a) Integre las ecuaciones de Lotka-Volterra de 1960 a 2020, determine los valores de los coeficientes que arrojan un ajuste óptimo. Compare su simulación con los datos que usan un enfoque de series de tiempo y comente los resultados.
b) Grafique la simulación de a) pero emplee un enfoque de estado-espacio.
c) Después de 1993, suponga que los administradores de la vida silvestre atrapan un lobo por año y lo llevan fuera de la isla. Pronostique cómo evolucionaría tanto la población de lobos como de alces hacia el año 2020. Presente sus resultados tanto como una serie de tiempo como una gráfica de estado-espacio. Para este caso, así como para el inciso d) use los coeficientes que siguen: a = 0.3, b = 0.01111, c = 0.2106, d = 0.0002632.
58. Un cable cuelga de dos apoyos en A y B (véase la figura inferior). El cable sostiene una carga distribuida cuya magnitud varía con x según la ecuación.
1 2 o A x w w sen l
METODOS NUMERICOS Y COMPUTACION-MA-FIIS LIC. MAT. JUAN C. CURI GAMARRA Donde wo = 1000 lbs/ft. La pendiente del cable (dy/dx) = 0 en x = 0, que es el punto más bajo del cable. También es el punto donde la tensión del cable alcanza un mínimo de To. La ecuación diferencial que gobierna el cable es:
2 2 1 2 o o A w d y x sen dx T l
Resuelva esta ecuación con el uso de un método numérico y grafique la forma del cable (y versus x). Para la solución numérica se desconoce el valor de To, por lo que la solución debe utilizar una técnica iterativa, similar al método del disparo, para converger en un valor correcto de hA para distintos valores de To
59. La ecuación diferencial básica de la curva elástica para una viga volada (véase la figura en la parte inferior) está dada por:
2 2d y
El
P L
x
dx
Donde E = módulo de elasticidad e I = momento de inercia. Resuelva para la deflexión de la viga con el empleo de un método numérico. Se aplican los valores siguientes de parámetro: E = 30000 ksi, I = 800 in4, P = 1 kip, L = 10ft. Compare sus resultados numéricos con la solución analítica.
2 3
2
6
PLx
Px
y
EI
EI
60. La ecuación diferencial básica de la curva elástica para una viga con carga uniforme (véase la figura en parte inferior) está dada por:
METODOS NUMERICOS Y COMPUTACION-MA-FIIS LIC. MAT. JUAN C. CURI GAMARRA 2 2 2
2
2
d y
wLx
wx
EI
dx
Donde E = módulo de elasticidad e I = momento de inercia. Resuelva para la deflexión de la viga con los métodos de a) diferencias finitas (
x
2
ft
), y b) Investigue en qué consiste el método del disparo y aplíquelo en este caso. Aplique los siguientes valores de parámetros: E = 30000 ksi, I = 800 in4, w = 1 kip/in, L = 10 in. Compare sus resultados numéricos con la solución analítica.3 4 3
12
24
24
wLx
wx
wL x
y
EI
EI
EI
61. Un estanque se drena a través de un tubo como se observa en la figura inferior. Con suposiciones simplificadoras, la ecuación diferencial siguiente describe cómo cambia la profundidad con el tiempo:
2 2 4 dh d g h e dt A h
Donde h = profundidad (m), t = tiempo (s), d = diámetro del tubo (m), A(h) = área de la superficie del estanque como función de la profundidad (m2), g = constante gravitacional (= 9.81 m/s2) y e = profundidad de la salida del tubo por debajo del fondo del estanque (m). Con base en la tabla siguiente de área-profundidad, resuelva esta ecuación diferencial para determinar cuánto tiempo tomaría que el estanque se vaciara dado que h(0) = 6 m, d = 0.25 m, e = 1 m.
h, m 6 5 4 3 2 1 0
METODOS NUMERICOS Y COMPUTACION-MA-FIIS LIC. MAT. JUAN C. CURI GAMARRA 62. Los ingenieros y científicos utilizan modelos masa-resorte para entender la dinámica
de las estructuras sujetas a la influencia de disturbios, tales como terremotos. En la figura de la parte inferior se ilustra una representación como estas para un edificio de tres plantas. En este caso, el análisis se limita al movimiento horizontal de la estructura. Los balances de fuerza que se desarrollan para este sistema son los siguientes. 2 1 2 2 1 2 1 1 2 2 3 3 2 1 2 3 2 2 2 2 3 3 2 3 3 3 0 0 0 k k k w X X m m k k k k X w X X m m m k k X w X m m
Determine los valores y vectores propios y represente en forma gráfica los modos de vibración de la estructura por medio de dibujar las amplitudes versus la altura para cada uno de los vectores propios. Normalice las amplitudes de modo que el desplazamiento del tercer piso sea igual a uno.
.63. Son comunes los circuitos eléctricos en los que la corriente varia con el tiempo, en lugar de permanecer constante. Cuando se cierra súbitamente el interruptor, se
METODOS NUMERICOS Y COMPUTACION-MA-FIIS LIC. MAT. JUAN C. CURI GAMARRA establece una corriente transitoria en el lado derecho del circuito que se muestra en la figura inferior.
Las ecuaciones que describen el comportamiento transitorio del circuito de la figura , se basa en las leyes Kirchohoff, que establecen que la suma algebraica de las caídas de tensión alrededor de un ciclo cerrado es cero. Asi: Ldi Ri q E t( ) 0
dt c , (63.1)donde Ldi
dt es la caída de voltaje a través del inductor , L=inductancia, R=resistencia, q= carga del capacitor, C=capacitancia, E(t)= fuente de voltaje variable en el tiempo , además i dq
dt
(63.2).
Las ecuaciones (63.1) y (63.2) son un sistema de ecuaciones diferenciales lineales de primer orden que se pueden resolver analíticamente, por ejemplo si
0
( ) , 0
E t E sen t
R , la solucion exacta es:
2 0 2
2 0 2 ( ) ( ) E E q t sen pt sen t p L p L p
Donde p1 / LC, los valores de q y dq/dt son cero para t=0. Use un procedimiento numérico para resolver las ecuaciones (63.1) y (63.2) y compare los resultados con la solución analítica, suponga que L=1, E0=1, C=0.25 ,
2 3.5
Resuelva el sistema anterior de t = 0 a 0.5, si q = 0.1 e i = -3.281515 en t = 0. Utilice un valor de R = 50 y los mismos parámetros indicados.
64. Para un circuito sencillo RL, la ley de Kirchoff del voltaje requiere que (si se cumple la ley de ohm).
0 di
L Ri
dt
Donde i = corriente, L = inductancia y R = resistencia. Resuelva para i, si L = 1, R = 1.5 e i(0) = 0.5. Resuelva este problema en forma analítica y con algún método numérico. Presente sus resultados en forma gráfica.
65. En contraste con el problema 64, las resistencias reales no siempre siguen la ley de ohm. Por ejemplo, la caída del voltaje quizá sea no lineal y la dinámica del circuito quede descrita por una relación como la siguiente.
3 0 di i i L R dt I I
Donde todos los demás parámetros se definen como el problema 64 e I es una corriente conocida de referencia e igual a 1. Resuelva para i como función del tiempo en las mismas condiciones que se especifican para el problema 64.
METODOS NUMERICOS Y COMPUTACION-MA-FIIS LIC. MAT. JUAN C. CURI GAMARRA 66. Los ingenieros mecánicos a menudo presentan problemas relacionados con el
movimiento periódico de los cuerpos libres. Para abordar tales problemas se requiere conocer la posición y velocidad de un cuerpo en función del tiempo. Tales funciones son invariablemente la solución de EDOs y se basan en el movimiento de Newton. Considere el péndulo simple cuyo peso W está suspendido de un cable sin peso de longitud “
l
”. Las únicas fuerzas que actúan sobre esta partícula son su peso y la tensión “R” en el cable. La posición de la partícula en cualquier instante está completamente especificada en términos del ángulo
y “l
” . El diagrama del cuerpolibre muestra las fuerzas que actúan sobre la partícula y la aceleración. Es conveniente aplicar las leyes del movimiento de Newton en la dirección “x”, tangente a la trayectoria de la partícula:
W
F
Wsen
a
g
donde: g= constante gravitacional (32.2 ft/s2) y a=aceleración en la dirección “x” . La aceleración angular de la particula ( ) es: a
l
. En coordenadas polares:
2 2
/ d dt
: 2 2 2 2 0 W l W l d d g Wsen ó sen g g dt dt l
Esta ecuación es no lineal de segundo orden. En general, es difícil o imposible resolverla analíticamente. Se tienen dos opciones para resolverla: reducirla a una forma donde sea posible resolverla analíticamente o aplicar una técnica de aproximación numérica para resolverla directamente.
Solución analítica: Usando expansión en serie de potencias para
sen
, se tiene:3 5 7
...
3!
5!
7!
sen
Para desplazamientos angulares pequeños
sen
cuando se expresa en radianes , por tanto, para desplazamientos pequeños la ecuación se convierte en:2 2
0
d
g
l
dt
que es una ecuación diferencial lineal de segundo orden. Esta aproximación es muy importante pues es fácil de resolver analíticamente. La solución analítica tiene la
forma: ( )t 0 cos g t
l
METODOS NUMERICOS Y COMPUTACION-MA-FIIS LIC. MAT. JUAN C. CURI GAMARRA donde
0 es el desplazamiento en t=0, y se supone la velocidad (v ddt
) es cero en t=0. Al tiempo requerido por el péndulo para un ciclo completo de oscilación se le llama “periodo” y esta dado por: T 2 lg
Solución numérica: Las suposiciones hechas en la solución analítica de la EDO, nos llevan a concluir que no es una solución exacta, para alcanzar la exactitud debemos usar un método numérico. Para resolverla se puede usar el método de Euler o RK-4 previamente convirtiendo la ecuación en un sistema EDO:
d v dt dv g sen dt l
Resuelva el sistema EDO con 0 24 l ft
para un péndulo de 1 m de longitud yluego compare con la solucion numérica del problema lineal con las mismas condiciones iniciales usando el método RK-4 y Euler, t 0.2
67. En la sección 8.4 se presenta una ecuación diferencial de segundo orden que se utiliza para analizar las oscilaciones no forzadas de un amortiguador de auto. Dado que m = 1.2 x 106 g, c = 1 x 10 7 g/s, y k = 1.25 x 109 g/s2, use algún método numérico para resolver cual es el caso en que x(0) = 0.4 y dx (0)/dt = 0.0. Resuelva para ambos desplazamientos y la velocidad de t = 0 a 0.5 s
68. La tasa de enfriamiento de un cuerpo se expresa como :
a
dT
k T T dt
Donde T = temperatura del cuerpo (oC), Ta = temperatura del medio circundante (oC) y k = constante de proporcionalidad (min-1). Así, esta ecuación especifica que la tasa de enfriamiento es proporcional a la diferencia de la temperatura del cuerpo y del ambiente circundante. Si una bola de metal se calienta a 90 oC y se sumerge en agua que se mantiene a un valor constante de Ta = 20oC, utilice un método numérico para calcular el tiempo que toma que la bola se enfrié a 40 oC, si k = 0.25 min-1. 69. La tasa de flujo calorífico (conducción) entre dos puntos de un cilindro calentado por
un extremo está dada por:
dQ dT
A dt
dxDonde
= una constante, A = área de la sección transversal del cilindro, Q = flujo calorífico, T = temperatura, t = tiempo, y x = distancia a partir del extremo calentado. Debido a que la ecuación involucra dos derivadas, la ecuación se simplificara haciendo queMETODOS NUMERICOS Y COMPUTACION-MA-FIIS LIC. MAT. JUAN C. CURI GAMARRA
100
20
100
L
x
t
dT
dx
xt
Donde L es la longitud de la barra. Combine las dos ecuaciones y calcule el flujo de calor de t = 0 a 25 s. La condición inicial es Q(0) = 0 y los parámetros son
0.5 cal.cm/s, A = 12 cm2, L = 20 cm, y x = 2.5 cm. Grafique sus resultados.70. La ecuación diferencial ordinaria siguiente describe el movimiento de un sistema amortiguado resorte – masa (véase la figura en la parte inferior):
2 3 2
0
d x
dx dx
m
a
bx
dt
dt dt
Donde x = desplazamiento a partir de la posición de equilibrio, t = tiempo, m = 1 kg masa, y a = 5N/(m/s)2. El término de amortiguamiento es no lineal y representa el amortiguamiento del aire.
El resorte es un resorte cubico y también es no lineal con b = 5 N/m3. Las condiciones iniciales son:
Velocidad inicial dx 0.5 dt m/s Desplazamiento inicial x1 m
Resuelva esta ecuación con algún método para el periodo de tiempo o < t < 8 s. Grafique el desplazamiento y la velocidad versus el tiempo, y grafique el retrato fase – plano (velocidad versus desplazamiento) para todos los casos siguientes.
a) Ecuación lineal similar 2
2
2
5
0
d x
dx
m
x
dt
dt
b) La ecuación no lineal con solo un término de resorte no lineal 2 3 2
2
0
d x
dx
bx
dt
dt
c) La ecuación no lineal con solo un término de amortiguamiento no lineal 2
2
5
0
d x
dx dx
m
a
x
dt
dt dt
d) La ecuación por completo no lineal en la que tanto el término de amortiguamiento como el de resorte son no lineales.
2 3 2
0
d x
dx dx
m
a
bx
dt
dt dt
METODOS NUMERICOS Y COMPUTACION-MA-FIIS LIC. MAT. JUAN C. CURI GAMARRA 71. Un sistema amortiguado y forzado resorte-masa (véase la figura en la parte inferior)
tiene la ecuación diferencial ordinaria siguiente para su movimiento:
2 2 od x
dx dx
m
a
kx
F sen
t
dt
dt dt
Donde x = desplazamiento a partir de la posición de equilibrio, t = tiempo, m = 2 kg masa, a = 5 N/(m/s)2 y k = 6 N/m. El término de amortiguamiento es no lineal y representa el amortiguamiento del aire. La función de la fuerza Fosen(wt) tiene valores de Fo = 2.5 N y w = 0.5 rad/s. Las condiciones iniciales son
Velocidad inicial dx 0
dt m/s Desplazamiento inicial x1m
Resuelva esta ecuación con el empleo de algún método numérico durante el periodo de tiempo 0 < t < 15 s. Grafique el desplazamiento y la velocidad versus el tiempo, y grafique la función de fuerza sobre la misma curva. Asimismo, desarrolle una gráfica separada de la velocidad versus el desplazamiento.
72. La distribución de temperatura en una aleta de enfriamiento cónica y ahusada (véase la figura en la parte inferior) esta descrita por la ecuación diferencial siguiente, que a sido no dimensionada. 2 2
2
0
d u
du
pu
dx
x
dx
METODOS NUMERICOS Y COMPUTACION-MA-FIIS LIC. MAT. JUAN C. CURI GAMARRA Donde u = temperatura (0 < u < 1), x = distancia axial (0 < x < 1), y p es un parámetro no dimensional que describe la transferencia de calor y la geometría.
2
4
1
2
hL
p
k
m
Donde h = coeficiente de transferencia de calor, k = conductividad térmica, L = longitud o altura de cono, y m = pendiente de la pared del cono. La ecuación tiene las condiciones de frontera siguientes.
0
0
1
1
u x
u x
Resuelva esta ecuación para la distribución de temperatura con el empleo de métodos de diferencias finitas. Para las derivadas utilice diferencias finitas exactas de segundo orden análogas, escriba un programa de computadora para obtener la solución y grafique la temperatura versus la distancia axial para distintos valores de p = 10, 20, 50 y 100.
73. Las dinámicas de un sistema forzado resorte – masa – amortiguador se representa con la EDO de segundo orden siguiente:
2 1 3 3 2cos
d x
dx
m
c
k x
k x
P
wt
dt
dt
Donde m = 1 kg, c = 0.4 N. s/m, P = 0.5 N, y w = 0.5/s. Utilice un método numérico para resolver cual es el desplazamiento (x) y la velocidad (v = dx/dt) como función del tiempo del tiempo con condiciones iniciales x = v = 0. Exprese sus resultados en forma gráfica como graficas de series de tiempo (x y v versus t) y grafica de plano-fase (v versus x). Haga simulaciones para un resorte a) lineal (k1 = 1; k3 = 0) y b) no lineal (k1 = 1; k3 = 0.5).
74. La ecuación diferencial para la velocidad de alguien que practica el salto de Bungee es diferente según si el saltador ha caído una distancia en la que la cuerda está
METODOS NUMERICOS Y COMPUTACION-MA-FIIS LIC. MAT. JUAN C. CURI GAMARRA extendida por completo y comienza a encogerse. Así, si la distancia recorrida es menor que la longitud de la cuerda, el saltador solo está sujeto a las fuerzas gravitacionales y de arrastre. Una vez que la cuerda comience a encogerse, también deben incluirse las fuerzas del resorte y del amortiguamiento de la cuerda. Estas dos condiciones se expresan con las ecuaciones siguientes:
cd 2 dv g sign v v x L dt m
cd 2
dv k g sign v v x L v x L dt m m m
Donde v = velocidad (m/s), t = tiempo (s), g = constante gravitacional (= 9.81 m/s2), signo (x) = función que devuelve -1, 0 y 1, para x negativa, cero y positiva, cero y positiva, respectivamente, cd =coeficiente de arrastre de segundo orden (kg/m), m = masa (kg), k = constante de resorte de la cuerda (N/m),
= coeficiente de amortiguamiento de la cuerda (N.s/m), y L = longitud de la cuerda (m). Determine la posición y velocidad del saltador dadas por los parámetros siguientes: L = 30 m, m = 68.1 kg, cd = 0.25 kg/m, k = N/m, y
= 8 kg/s. haga el cálculo de t = 0 a 50 s y suponga que las condiciones iniciales son x(0) = v(0) = 075. En los problemas 1 – 5, resuelva la ecuación diferencial usando el método de Heun. a) Tome h = 0.1 y de 20 pasos con el programa 9.2. Luego tome h = 0.05 y de 40
pasos con el programa 9.2
b) Compare la solución exacta y(2) con las dos aproximaciones obtenidas en el apartado (a).
c) ¿Se comporta el error global final de las aproximaciones obtenidas en el apartado (a). como se espera cuando h se divide entre dos?
d) Dibuje las aproximaciones y la solución exacta en una misma gráfica. 1.
y
´
t
2y con y
0
1,
y t
e
t
t
22
t
2
2. ´ 3 3
0 1,
4 3 1 3 3 t y y t con y y t e t 3. ´
0 1,
t2/ 2 y ty con y y t e 4. ´ 2 2
0 1 ,
1 2 2 10 10 t t t ye y con y y t e te 5. y´ 2 ty2 con y
0 1, y t
1/ 1
t2
76. Consideremos un proyectil que dispara hacia arriba y luego cae siguiendo una trayectoria rectilínea. Si la resistencia del aire es proporcional a la velocidad, entonces el problema de valor inicial para la velocidad v(t) es:
0´ 10 K 0
v v con v v
M
METODOS NUMERICOS Y COMPUTACION-MA-FIIS LIC. MAT. JUAN C. CURI GAMARRA Siendo vo la velocidad inicial, M la masa y K el coeficiente de resistencia del aire. Supongamos que vo = 40 m/s y K/M = 0.1. Use el método de Heun con h = 0.5 para resolver el problema de valor inicial
´
10 0.1
0, 4
0
40
v
v
en
con
v
Dibuje su solución y la solución exacta
v t
140
e
t/10
100
en una misma gráfica. (Observe que la velocidad límite es -100 m/s)77. En psicología, la ley de estímulo-respuesta de Wever-Fechner establece que la tasa de variación dR/dE de la reacción R ante un estímulo E es inversamente proporcional al estímulo. Si llamamos valor umbral al mínimo nivel de estímulo So que es posible detectar, entonces el problema de valor inicial que modela esta situación es:
´ k o 0
R con R S
S
Supongamos que
S
o
0.1
y queR
0.1
0
. Use el método de Heun con h0.1para resolver
R´ 1 en
0.1, 5.1
con R
0.1 0.1 S
78. y pruebe que cuando se utiliza el Investigue sobre el método de Taylor de orden N para resolver EDOs método de Taylor de orden N con tamaños de paso h y h/2, entonces el error global final se reduce, aproximadamente, en un factor de
2
N79. Investigue sobre el método de Taylor para EDOs y pruebe que el método de Taylor falla cuando queremos aproximar la solución
y t
t
3/ 2 del problema de valor inicial
1/ 3
´
,
1.5
0
0
y
f t y
y
con
y
. Justifique su respuesta. ¿Cuál es el problema? 80. a) Verifique que la solución del problema de valor inicialy
´
y
2,
y
0
1
en elintervalo
0,1
esy t
1/ 1
t
.b) Verifique la solución del problema de valor inicial
y
´ 1
y
2,
y
0
1
en el intervalo
0, / 4
esy t
tan
t
/ 4
c) Use los resultados de los apartados (a) y (b) para deducir que la solución del problema de valor inicial
y
´
t
2y
2,
y
0
1
tiene una asíntota vertical entre/ 4
y
1
(localizada cerca de t0.96981)81. Consideremos el problema de valor inicial
y
´ 1
y
2,
y
0
1
. a) determine las expresiones dey
2
t
,
y
3
t
e y
4
t
.b) Evalué las derivadas en t 0 y úselas para calcular los cinco primeros términos del desarrollo de Maclaurin de
tan t
.METODOS NUMERICOS Y COMPUTACION-MA-FIIS LIC. MAT. JUAN C. CURI GAMARRA 82. En los problemas 1 – 5, resuelva la ecuación diferencial usando el método de Taylor.
a) Tome h = 0.1 y de 20 pasos con el programa 9.3. Luego tome h = 0.05 y de 40 pasos con el programa 9.3
b) Compare la solución exacta y(2) de las aproximaciones obtenidas en el item (a). c) ¿Se comporta el error global final de las aproximaciones obtenidas en el apartado
(a). Como se espera cuando h se divide entre dos?
d) Dibuje las aproximaciones y la solución exacta en una misma gráfica. 1.
y
´
t
2y con y
0
1,
y t
e
t
t
22
t
2
2. ´ 3 3
0 1,
4 3 1 3 3 t y y t con y y t e t 3.y´ ty con y
0 1, y t
et2/ 2 4. ´ 2 2
0 1 ,
1 2 2 10 10 t t t ye y con y y t e te 5.y´ 2 ty2 con y
0 1, y t
1/ 1
t2
83. En los ejercicios 1 a 5 resuelva la ecuación diferencial usando el método de Runge – Kutta de orden N=4.
a) Tome h = 2 y dé dos pasos calculando los valores a mano. Luego, tome h = 0.1 y dé cuatro pasos calculando los valores a mano.
b) Compare la solución exacta y(0.4) con las dos aproximaciones calculadas en el apartado (a).
c) ¿Se comporta el error global final de las aproximaciones obtenidas en el apartado a) como se espera cuando h se divide entre dos?
1.
y
´
t
2y con y
0
1,
y t
e
t
t
22
t
2
2. ´ 3 3
0 1,
4 3 1 3 3 t y y t con y y t e t 3.y´ ty con y
0 1, y t
et2/ 2 4. ´ 2 2
0 1 ,
1 2 2 10 10 t t t ye y con y y t e te 5.y´ 2 ty2 con y
0 1, y t
1/ 1
t2
84. Pruebe que cuando se usa el método de Runge - Kutta de orden N = 4 para resolver el problema de valor inicial
y
´
f t
en
a b
,
cony a
0
el resultado es:
1
1/ 2 1 0 4 , 6 M k k k k h y b f t f t f t
85. Resuelva el sistema
x
´ 2
x
3 ,
y
y
´ 2
x
y
con la condición inicial
0
2.7
0
2.8
METODOS NUMERICOS Y COMPUTACION-MA-FIIS LIC. MAT. JUAN C. CURI GAMARRA las coordenadas de la solución numérica cuya grafica se ve en la parte inferior puede compararse con la solución exacta.
69 3 4
69 1 425 50 25 25
t t t t
x t e e e y t e e
86. Resuelva el sistema
x
´ 3
x
y
,
y
´ 4
x
y
con la condición inicial
0
0.2
0
0.5
x
e
y
en el intervalo 0 t 2. La curva poligonal formada por las coordenadas de la solución numérica obtenida se muestra en la figura inferior y puede compararse con la solución exacta
1 1
1 15 10 2 5
t t t t
x t e te e y t e te
87. Resuelva el sistema
x
´
x
4 ,
y
y
´
x
y
, con la condición inicial
0
2
0
3
x
e
y
en el intervalo o t 2. La curva poligonal formada por las coordenadas de la solución numérica obtenida se muestra en la figura y puede compararse con la solución exacta.
2 2 2 4 cos 12 cos 3 6 cos 2 cos t t t t t t x t e e t e t sen t y t e e t e t sen t METODOS NUMERICOS Y COMPUTACION-MA-FIIS LIC. MAT. JUAN C. CURI GAMARRA
88. Resuelva el sistema
x
´
y
4 ,
x
y
´
x
y
con la condición inicialx
0
1
e
y
0
1
en el intervalo 0 t 1.2usando como tamaño de paso h0.05. La curva poligonal formada por las coordenadas de la solución numérica obtenida se muestra en la figura y puede compararse con la solución exacta
29 / 2 29 / 2 29 / 2 29 / 2 3 / 2 3 / 2 29 / 2 29 / 2 29 / 2 29 / 2 3 / 2 3 / 2 3 3 2 2 29 7 7 2 2 29 t t t t t t t t t t t t e e e e x t e e e e e e y t e e 89. En los ejercicios siguientes:
a) Compruebe que la función x(t) es la solución
b) Reformule la ecuación diferencial de segundo orden como un sistema de dos ecuaciones de primer orden
c) Use el método de Euler con tamaño de paso h = 0.1 para calcular a mano
x y x
1 2d) Use el método de Runge – Kutta con tamaño de paso h = 0.05 para calcular a mano 1
