• No se han encontrado resultados

Capítulo 1. Campo eléctrico, potencial eléctrico y energía potencial eléctrica (distribuciones discretas y continuas)

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2021

Share "Capítulo 1. Campo eléctrico, potencial eléctrico y energía potencial eléctrica (distribuciones discretas y continuas)"

Copied!
15
0
0

Texto completo

(1)

1

Capítulo 1. Campo eléctrico, potencial eléctrico y energía

potencial eléctrica (distribuciones discretas y continuas)

En estos apuntes se presenta un resumen de los contenidos tractados en más detalle en el libro: “Física para la Ciencia y la Tecnología” (Volum 2)

Autors P. A. Tipler i E. Mosca Editorial Reverté (5a Ed) 2005

En particular, consultad los siguientes capítulos y secciones: Capítulo 21

Capítulo 22 (Sección 22.1)

Capítulo 23 (Secciones 23.1, 23.2 i 23.3) Capítulo 24 (Sección 24.1)

Os recomendamos que utilicéis estos apuntes como guía de los contenidos tratados en las clases. Sin embargo, es importante que consultéis las fuentes originales para profundizar en los conceptos trabajados en el aula. En aquellos apartados en que se sigan otras fuentes os proporcionaremos las referencias apropiadas.

1.1 Introducción

La electricidad está presente en nuestras vidas cotidianas. Basta pensar en desarrollos tecnológicos como la red de alumbrado eléctrico o los electrodomésticos, o en fenómenos meteorológicos como los rayos. Además, muchos fenómenos químicos y biológicos son fundamentalmente debidos a interacciones electromagnéticas. En este curso sentaremos las bases para el estudio de campos electromagnéticos y propagación de ondas electromagnéticas. Se estudiarán los aspectos básicos de las interacciones eléctricas y magnéticas y de los campos electromagnéticos estáticos y dependientes del tiempo.

1.2 Carga eléctrica

Aunque el desarrollo tecnológico asociado al uso de fenómenos electromagnéticos se ha dado principalmente a lo largo del siglo XX, las primeras observaciones de fenómenos de atracción eléctrica las realizaron los antiguos griegos. En este tema se definirá el campo eléctrico, qué lo produce (cargas), y cómo predecir lo que sucede cuando varias cargas interactúan (leyes). Antes de definir qué es un campo eléctrico se analizará qué lo produce.

Ya en el siglo XIX, se sabía gracias a los experimentos que se habían llevado a cabo que existían unas magnitudes escalares llamadas cargas y que poseían las siguientes propiedades:

1. La carga se conserva. La ley o principio de conservación de la carga es una ley fundamental de la naturaleza. La carga total de los objetos que componen un sistema no cambia. Puede transferirse carga de unos objetos a otros e incluso pueden generarse

(2)

2

nuevas cargas siempre y cuando la cantidad de cargas negativas y positivas producidas sean iguales.

2. La carga está cuantizada, es decir, una carga Q cualquiera puede expresarse como N veces (N N) la carga del electrón e, Q = ± e·N (e = 1,6·10-19

C). La unidad del sistema internacional (SI) de carga es el culombio C. No es habitual observar la cuantización de la carga porque N es normalmente un número grande.

3. La fuerza entre dos cargas puntuales varía de modo inversamente proporcional al cuadrado de la distancia entre ellas.

1.3. Ley de Coulomb

Charles Coulomb (1736-1806) estudió la fuerza ejercida por una carga sobre otra. Como es común en física, dada una serie de fenómenos, experimentos u observaciones, se formulan leyes que los expliquen. Los resultados de los experimentos de Coulomb dieron lugar a la ley de

Coulomb:

La fuerza ejercida por una carga puntual sobre otra está dirigida a lo largo de la línea

que las une. Es repulsiva si las cargas tienen el mismo signo y atractiva si las cargas

tienen signos opuestos. La fuerza varía inversamente con el cuadrado de la distancia

que separa las cargas y es proporcional al valor de cada una de ellas.

La ley de Coulomb especifica cómo se relacionan dos cargas y qué efecto tiene una sobre la otra. Su expresión matemática es:

2 2 1 12

r

q

q

k

F

e

donde q1 y q2 son las cargas puntuales, r es el módulo del vector que une ambas cargas, es el vector unitario en la dirección de la línea que une ambas cargas y ke es la constante de Coulomb.

Típicamente se considera el valor ke = 8,99·10

9

Nm2 / C2, aunque es necesario destacar que su valor depende del medio material en el que se considera la interacción y el valor mencionado corresponde al vacío. Como se puede observar, la ley de Coulomb muestra claras similitudes con la ley de Gravitación Universal.

Gravedad Electricidad

Propiedad fundamental Masa M Carga q (±)

CAMPO

g 2 rˆ r M G    2 ˆ e q k rE r

FUERZA

Fgm g F E   0 q E

En primer lugar, existen dos constantes en ambas leyes G y ke ( 6.67259·10

-11

N m2/kg2 y 8,99·109 Nm2 / C2 , respectivamente). Además, también existen dos magnitudes escalares que cumplen el mismo papel: masa (M) y la carga (q). Así pues, para averiguar la fuerza (magnitud vectorial) existe una misma ecuación que relaciona la masa y la carga (magnitudes escalares) con otras magnitudes vectoriales que reciben el nombre de campos: campo gravitatorio

g

y campo eléctrico

E

. Ambos campos son directamente proporcionales a las magnitudes escalares (masa o carga) e inversamente proporcionales al cuadrado de la distancia a la que consideramos el campo.

Sin embargo, también existen diferencias entre ambas interacciones. Cabe destacar que la masa sólo admite magnitudes con signo positivo mientras que las cargas admiten magnitudes con

(3)

3

signo positivo y negativo. Como consecuencia, el campo gravitatorio siempre tendrá un sentido dado, mientras que el signo del campo eléctrico dependerá del signo de las cargas.

1.4. Campo eléctrico y fuerza eléctrica

Del mismo modo que al estudiar el campo gravitatorio, en el estudio de la fuerza eléctrica se introduce el campo eléctrico para evitar los problemas conceptuales que genera la acción a distancia. Así pues, el campo eléctrico debido a una carga puntual qi se define de igual manera

que el campo gravitatorio generado por una masa mi, cambiando la masa por la carga. Por tanto,

una carga crea un campo eléctrico

E

en todo el espacio y este campo ejerce una fuerza sobre la otra carga, o dicho de otro modo, en aquella región del espacio en la que al colocar una carga eléctrica ésta experimente una fuerza, existe un campo eléctrico.

E FEq0 2 ˆ e q k rE r

Si se tiene una serie de cargas puntuales qi en diversos puntos del espacio y se coloca una carga

testigo q0 en un punto determinado P, la fuerza sobre dicha carga es la suma vectorial de las

fuerzas ejercidas por las cargas individuales. Puesto que cada una de estas fuerzas es proporcional a la carga q0, la fuerza resultante es también proporcional a q0. El campo eléctrico

E

en el punto P se define como el valor de esta fuerza dividido por q0. Cuando existe más de

una carga, el campo eléctrico producido por un sistema de cargas se obtiene sumando las contribuciones (vectores!) de los campos creados por cada una de las cargas. Esto se conoce como el Principio de Superposición y su expresión matemática es:

i i i i i i

r

kq

r

E

E

ˆ

2

(a) (b)

Figura 1: Ilustración del concepto de campo eléctrico – (a) Campo eléctrico en distintos puntos del espacio creado por una carga eléctrica positiva, y (b) superposición de campos eléctricos debidos a cargas q1, q2 y q3 en la posición

(4)

4

1.5. Líneas de campo eléctrico

Las líneas de campo eléctrico (que se llaman también líneas de fuerza) son una representación conveniente del campo eléctrico. El vector campo eléctrico es tangente a las líneas en cada punto e indica la dirección de la fuerza eléctrica experimentada por una carga testigo. Se suele utilizar el siguiente convenio para dibujar las líneas de fuerza eléctrica:

 El número de líneas que abandonan una carga positiva o entran en una carga negativa es proporcional a la carga. Cabe destacar que el número exacto de líneas que se utiliza es arbitrario, pero obedece en términos relativos la proporcionalidad establecida anteriormente.

 Las líneas se dibujan simétricamente saliendo (carga positiva) o entrando (carga negativa) en la carga puntual.

Las líneas empiezan o terminan sólo en las cargas.

 La densidad de líneas (número de ellas por unidad de área perpendicular a las mismas) es proporcional al valor del campo.

 Nunca pueden cortarse dos líneas de campo ya que

E

tiene una dirección única en cualquier punto del espacio (salvo en aquellos puntos ocupados por una carga puntual, donde el campo no puede definirse).

(a) (b)

Figura 2: (a) Esquema de las líneas de campo eléctrico producidas por dos cargas eléctricas, una positiva y otra negativa (dipolo eléctrico), y (b) líneas campo eléctrico de dos cargas puntuales (azul negativa, amarilla positiva) Tal y como puede observarse en la Figura 2, en las proximidades de cada una de las cargas, las líneas de campo están separadas por una misma distancia y convergen (cargas negativas) o divergen (cargas positivas) de ellas según el signo de las cargas.

Es interesante destacar que, a menudo, en puntos alejados de las cargas, la estructura detallada de un sistema discreto de partículas no es importante ya que éste se comporta como una única carga puntual con la carga neta del sistema. Sin embargo, hay casos de importancia notable en física como es el caso de los dipolos eléctricos (dos cargas de igual magnitud y signos contrarios) en que el sistema debe analizarse en mayor detalle ya que la carga neta es nula y no por ello se cancela el campo eléctrico (ver ejemplo 21.8 del P. Tipler y E. Mosca).

(5)

5

1.6. Potencial eléctrico y energía potencial en distribuciones de carga

discretas

a) Trabajo y energía

Cuando sobre un cuerpo que se mueve actúa una fuerza, en general, esta fuerza realiza un trabajo. El trabajo depende de la trayectoria que siga el cuerpo salvo que se trate de fuerzas conservativas. El trabajo que realizan las fuerzas conservativas es independiente de la trayectoria que siga el cuerpo y sólo depende de las posiciones inicial y final del mismo.

El trabajo realizado por una fuerza sobre un cuerpo que sigue una determinada trayectoria es:

0

lim

i i i C i

W

d

 

F

 

F

Este tipo de integrales se conocen como integrales de línea. En el caso de fuerzas conservativas, se verifica que el trabajo que realiza la fuerza si la trayectoria es cerrada (bucle cerrado) es nulo ya que los puntos inicial y final coinciden. Matemáticamente esto se expresa por medio de una integral cerrada:

El trabajo se mide en Joules (1 J = 1 N·m) en el SI.

De igual modo que el concepto de energía potencial es de gran utilidad en el estudio de la mecánica, es posible definir la energía potencial en el caso de campos electrostáticos, así como la función potencial eléctrico. El concepto de energía potencial tiene sentido cuando se trabaja con fuerzas conservativas (como es el caso tanto de la fuerza gravitatoria como eléctrica). En general, los cuerpos sometidos a campos de fuerzas conservativos tienen una propiedad que denominamos energía potencial. La energía potencial cambia de valor cuando el cuerpo cambia de posición. A menudo, se define la variación de la energía potencial cuando un cuerpo se desplaza del punto A al punto B como:

B

B A

A

U

U

U

d

 

 

F

En esta definición se pone énfasis en la disminución de la energía potencial como consecuencia del trabajo realizado por la fuerza conservativa, aspecto que es especialmente intuitivo en el caso de la fuerza gravitatoria (ver Capítulo 6, Vol. 1, P. Tipler y E. Mosca). La energía potencial U de un cuerpo situado en un punto determinado del espacio se define como la variación U que se produciría si el cuerpo se desplazase desde un punto de referencia (que elegimos por conveniencia) hasta el punto en cuestión. Por tanto, si elegimos dos puntos de referencia diferentes, el valor de U varía. Sin embargo, los valores de U que se obtienen cuando se calcula el incremento de energía potencial entre los puntos A y B no varían. Por tanto, es la diferencia de energía potencial U lo que tiene sentido físico.

(6)

6

b) Potencial eléctrico y energía potencial electrostática

Del mismo modo que un cuerpo de masa m en presencia del campo gravitatorio g tiene una energía potencial (gravitatoria), una carga puntual q en presencia de un campo

E

creado por otras cargas también tiene una energía potencial (electrostática). La variación de energía potencial electrostática de una carga puntual que se desplaza del punto A al punto B es el trabajo necesario que se ha de realizar en contra del campo para llevar esta carga del punto A al punto B sin alterar su energía cinética.

La diferencia del potencial eléctrico entre dos puntos A y B se define como:

0 B B B A A A V V V d d q     

F   

E

La diferencia de potencial representa la cantidad de trabajo realizado por unidad de carga para mover una carga de prueba desde A hasta B, sin cambiar su energía cinética. El potencial eléctrico no debe confundirse con la energía potencial electrostática, aunque ambas cantidades están relacionadas por medio de la expresión:

0

·

U

q

V

 

La unidad del Sistema Internacional del potencial eléctrico es el voltio (V): 1volt = 1 joules/coulomb (1 V=1 J/C). Es habitual expresar la energía potencial electrostática en electrón-voltios (eV) cuya relación con los Joules viene dada por la expresión:

1 eV = (1.6·10-19 C)· (1 V) = 1.6·10-19 J

Tal y como se ha visto, el potencial eléctrico está relacionado con el campo eléctrico. En la Figura 3 se ilustra la relación entre la diferencia de potencial y las líneas de campo.

Figura 3: (a) Una carga q la cual se mueve en la dirección de un campo eléctrico homogéneoE. (b) Una masa m que se mueve en la dirección de un campo gravitacional constante g.

(7)

7

En particular, la diferencia de potencial eléctrico en el caso ilustrado en la Fig. 3(a), que corresponde a un campo eléctrico homogéneo, se calcula como:

0

0

B B B A A A

V

V

V

d

d

E d

 

 

E

 

E

   

lo que implica que el punto B está a un potencial más bajo comparado con A. De hecho, las líneas de campo eléctrico siempre apuntan desde el potencial más alto al más bajo. El cambio en la energía potencial es UUBUA qE0d. Como podemos comprobar, si la carga es positiva, la energía potencial disminuye (observad analogía con el caso gravitatorio).

En el caso de que el campo eléctrico

E

y la trayectoria de la partícula no sean paralelos (ver ejemplo en la Figura 4), la diferencia de potencial entre los puntos A y B se puede calcular como:

cos

B B B A A A

V

V

V

d

d

 

 

E

 

E

Figura 4: Diferencia de potencial entre dos puntos debido a una carga puntual Q.

Prestad especial atención al hecho de que en la integral de línea que aparece en la expresión de la diferencia de potencial (del mismo modo que ocurre en la definición general de trabajo) aparece un producto escalar. Si tenemos en cuenta que el campo eléctrico es el creado por una partícula con carga Q, la diferencia de potencial entre dos puntos A y B se calcula a partir de la siguiente expresión:

donde se ha considerado que:

= d ·cos= dr

En particular, el potencial eléctrico asociado a la carga Q en un punto del espacio a una distancia r de la misma, puede expresarse como:

0 ( ) 4 Q V r r



que es equivalente a tomar la distancia A en el infinito, o dicho de otro modo, a definir el origen de potenciales (V=0) a una distancia infinita de la carga.

(8)

8

c) Potencial eléctrico creado por un sistema de cargas puntuales

El mismo criterio de tomar el potencial nulo en el infinito se puede adoptar cuando se estudia un sistema de cargas si éste tiene un tamaño finito. En ese caso, el potencial eléctrico en un punto P, debido a un sistema de cargas puntuales, se calcula como la superposición (escalar) de los potenciales en ese mismo punto, debidos a cada una de las cargas puntuales. Por tanto:

0 1 ( ) 4 i i e i i i i q q V r k r r r



donde ri es la distancia de la carga qi al punto P. La Figura 5 muestra las superficies

equipotenciales, es decir, superficies que tienen el mismo valor del potencial en cada punto de esa superficie y que se distribuyen alrededor de cargas eléctricas. Las líneas de campo eléctrico son en todos los puntos perpendiculares a las superficies equipotenciales. En secciones posteriores se analizará el significado de estas superficies de modo más detallado.

(a) (b)

Figura 5: (a) Superficies equipotenciales de una carga puntual q, y (b) superficies equipotenciales de dos cargas puntuales.

En la Figura 6 se muestra un ejemplo de campo eléctrico y superficies equipotenciales en un sistema formado por varias cargas.

(a) (b)

Figura 6: (a) Líneas de fuerza en un sistema de cargas puntuales (azules negativas), y (b) superficies equipotenciales de un sistema de cargas puntuales (azules negativas)

(9)

9

d) Energía potencial de un sistema de cargas puntuales

La energía potencial (electrostática) del sistema formado por un conjunto de cargas puntuales es igual al trabajo necesario para transportar las cargas desde una separación infinita a sus posiciones finales y es independiente del orden con que las cargas son transportadas a tales posiciones. A distancias suficientemente grandes, cualquier distribución de carga presenta un comportamiento equivalente al de una carga puntual con la carga neta q de la distribución. Basándonos en la definición de energía potencial a partir del trabajo realizado en presencia de un campo electrostático, vamos a derivar la expresión de la energía potencial de un sistema de cargas eléctricas. Para ello, se considera el trabajo realizado por un agente externo para traer la carga q2 desde el infinito a P dado el campo asociado a q1, cuya expresión es W2 = q2V1. Debe destacarse que no es necesario realizar trabajo para llevar la primera carga W1 = 0 cuando el resto de cargas se encuentran originalmente a distancia infinita. Como q1 es una carga puntual, tenemos: 12 0 1 1

4

r

q

V



, de modo que la energía potencial viene dada por:

1 2 12 2 0 12 4 q q U W r



  

Si aumentamos el número de cargas, tal y como se indica en la siguiente ilustración, el trabajo necesario para añadir una tercera carga es:

3 1 2 2 3 1 2 0 13 23

(

)

4

q

q

q

W

q

V

V

r

r



 

La energía potencial de la configuración de 3 cargas, es entonces:

1 3 2 3 1 2 2 3 12 13 23 0 12 13 23

1

4

q q

q q

q q

U W

W

U

U

U

r

r

r



Para un sistema de N cargas, la expresión generalizada de la energía potencial es:

1 1 0

1

4

N N i j i j ij j i

q q

U

r



  



(10)

10

1.7 Campo eléctrico en distribuciones de carga continuas

Hasta ahora sólo hemos calculado el campo eléctrico y la fuerza eléctrica cuando el sistema está formado por cargas puntuales. En los siguientes apartados vamos a trabajar con distribuciones de carga continuas. Para ello seguiremos utilizando la Ley de Coulomb, pero debe prestarse especial atención a cómo representar las cargas continuas.

Figura 7: Distribución de carga continua

En primer lugar es necesario explicar qué se entiende por una distribución de carga continua. La

Figura 7 ilustra un ejemplo de una distribución de carga continua confinada en el objeto azul. La distribución de carga se caracteriza a partir de incrementos o “pequeños trocitos” de carga que se simbolizan con Δq. Al igual que en el caso de las cargas puntuales, nos interesa calcular el campo eléctrico creado por esta distribución de carga. De este modo, debe calcularse la contribución al campo eléctrico de cada elemento de carga Δq sobre un punto P. Si se suman todos los incrementos de carga se obtiene la carga total. En general, si se trata de una distribución continua, se utiliza una integral para sumar los incrementos de carga (en general sería un volumen), que si son lo suficientemente pequeños se representan por medio de diferenciales (dq).

i i

Q

q

V

dq

Para calcular el campo eléctrico creado por una distribución continua de carga se tienen en cuenta la contribución al campo de todos los incrementos de carga Δq y se aplica el principio de superposición. De modo que con la anterior equivalencia:

2 ˆ e q k r   E r

E

E

d

E

2 ˆ e dq d k rEr a) Densidad de carga

Las distribuciones de carga pueden disponerse formando líneas, superficies o volúmenes. Es habitual definir en tales casos los conceptos de densidad lineal de carga (), densidad superficial de carga (), y densidad volúmica (o volumétrica) de carga (

), de modo que el elemento diferencial de carga se define como:

dl

dq

dS

dq

dV

dq

(11)

11

Ejemplo 1. Cálculo del campo eléctrico en el eje x de un anillo uniforme de carga

Si realizamos una representación esquemática del problema, tenemos la siguiente ilustración. Supongamos que tenemos un anillo con una carga uniformemente distribuida, caracterizada por una densidad lineal homogénea de carga :

Figura 8: Esquema del anillo cargado de radio a e ilustración de las componentes del campo eléctrico sobre el eje x. En primer lugar, es importante destacar que todas las componentes perpendiculares del campo eléctrico se cancelan porque el anillo tiene un elemento simétrico para cada dq. De manera que se obtiene por simetría:

0

E

Se asume que el anillo es una distribución lineal de carga, con lo cual cada diferencial de carga se puede expresar como el producto de la densidad lineal de carga por el diferencial de longitud. De este modo, el diferencial de carga puede expresarse en función del radio del anillo (a) y del diferencial del ángulo (

d

). La distancia entre el diferencial de carga y el punto donde se calcula el campo eléctrico viene dada por r, y se calcula por medio del teorema de Pitágoras aplicado al triángulo formado por el radio a y la distancia del punto P hasta el centro del anillo x.



dl

a

d

dq

(

2 2 x a r  

La ecuación que caracteriza el campo eléctrico para el diferencial de carga es:

3 2 ˆ r dq k r dq k d e e r r E    

Recordemos que no hace falta calcular el diferencial del campo eléctrico en ambos ejes ya que por simetría sólo es necesario calcularlo sobre el eje x.

3 E r x dq k d xe

De otro modo, se puede sustituir el vector desplazamiento

r

por x, que resulta de calcular la proyección en el eje x. Como puede comprobarse, el resultado es el mismo en ambos casos. 3 2 1 cos E r x dq k r r x dq k θ d d xE  e   e

(12)

12

Finalmente, para encontrar el campo eléctrico total debemos sumar (integrar) las contribuciones de todos los campos eléctricos sobre el eje x. Dado que tanto x como

r

son constantes en la integral, sólo es necesario integrar los diferenciales de carga. En el caso que nos ocupa, éste es un paso que se puede obviar ya que la carga total es un dato del problema-

    dq r x k r x dq k dE Ex x e 3 e 3 Q a d a ad dq

 

 

  2 2 2 0

Sustituyendo el valor obtenido en la expresión del campo eléctrico en un punto del eje x, se obtiene:

i

E

2 3 2 2 2 3 2 2 3

E

x

a

x

Q

k

x

a

x

Q

k

r

x

Q

k

e e e x

Del mismo modo que al resolver el problema de cargas puntuales se indicó la necesidad de interpretar geométricamente los resultados es, en general, muy útil analizar los resultados obtenidos de la resolución de problemas en los límites. Puesto que estas situaciones describen normalmente problemas más sencillos (para los que se conoce el resultado), la verificación de los resultados obtenidos de este modo indirecto es una forma de validar los cálculos. En particular, en este ejemplo, en el caso en el que a tiende a cero se obtiene el campo creado por una carga puntual.

 

2 2 3 2 0 E lim x Q k x x Q k e e x a   

(13)

13

Ejemplo 2. Cálculo del campo eléctrico sobre la mediatriz a una carga lineal uniforme

Las siguientes ilustraciones muestran cómo será el campo eléctrico creado sobre la mediatriz a una carga uniforme (densidad de carga lineal homogénea )

(a) (b)

Figura 9: (a) Geometría para el cálculo del campo eléctrico generado por una distribución lineal de carga, y (b) las líneas de campo eléctrico producidas sobre un punto situado dentro del eje de simetría de la distribución lineal.

La magnitud del campo producido por el elemento de carga

dq

dx

viene dada por la expresión: 2 2 r dx k r dq k

dE  ee  , además según la geometría del problema se tiene 2

2

x y r  

De forma similar al caso de la distribución del anillo, si se considera el campo eléctrico sobre la mediatriz de la distribución lineal finita de longitud L, la componente dEx del campo eléctrico se

cancela por simetría. Por tanto, sólo debe calcularse la contribución de cada diferencial de carga a la componente perpendicular del campo dEy, que tal y como puede verse a partir del esquema

mostrado en la Figura 9(a), es

θ r

dx k

dEye2 cos

Por tanto, el campo total Ey se obtiene por integración de todos los elementos de carga de la

distribución, es decir, tomando como límites de la integral x = -½ L y x = ½ L, o, recurriendo de nuevo a la simetría del problema, integrando desde x = 0 a x = ½ L y multiplicando por dos los resultados.

         x L x e L x x y L x L x y y θ r dx k d d ½ 0 2 ½ 0 ½ ½ - E 2 E 2 cos E

(14)

14

Puesto que cosvaría para queda diferencia de carga, y por tanto es una función de x, es necesario establecer una relación entre ambas variables para poder calcular la integral. Como puede derivarse de la geometría del problema,

tgθ= xy x ytgθ y se verifica que

θ

d

y

r

dx

y

r

y

θ

y

θ

y

θ

d

dx





2 2 2 2

cos

sec

de modo que la integral para el cálculo del campo eléctrico queda:

2 2 2 2 2 2 ½ 0 2

)

2

/

(

)

2

/

(

2

/

2

sin

2

cos

2

cos

2

cos

2

E

½ 0 ½ 0 ½ 0

L

y

y

Q

k

L

y

L

y

k

θ

y

k

θ

d

y

θ

k

θ

r

θ

d

y

r

k

θ

r

dx

k

e e θ θ e θ θ e θ θ e L x x e y L x x L x x L x x

     

 ya que θx=0 = 0.

En notación vectorial, el campo puede expresarse como:

j E  2 2 ) 2 / (L y y Q ke  

Si se analiza este resultado en el límite en que y >> L, se puede observar que

2 2 E lim y Q k y L ke e y L y    

Por el contrario, si y << L, el ángulo θx=½ L ≈ 2

y por tanto el campo eléctrico queda:

y ke y L y    2 E lim

(15)

15

Recursos de interés

Clases magistrales (¡en todos los sentidos!) del curso de electromagnetismo impartido por el Prof. Walter Lewin del MIT. Los siguientes enlaces os permiten visualizar las clases completas. En cada uno de ellos se ilustran los conceptos clave trabajados en las clases de teoría.

 Fuerza electrostática y campo eléctrico

http://ocw.mit.edu/courses/physics/8-02-electricity-and-magnetism-spring-2002/video-lectures/lecture-1-what-holds-our-world-together/

 Potencial eléctrico y energía potencial electrostática

http://ocw.mit.edu/courses/physics/8-02-electricity-and-magnetism-spring-2002/video-lectures/lecture-4-electrostatic-potential-and-electric-energy/

Applets

Referencias

Documento similar

El análisis del consumo de energía eléctrica residencial y su relación con la renta es un elemento clave en el estudio del sector eléctrico, ya que su conocimiento permite

Pensando en todo ésto; nuestro proyecto se basa en producir energía (limpia) Solar Fotovoltaica a medina escala, con un Potencial Impacto en el

Figura 5.8: Gráficas con los consumos la semana de invierno si atrasamos 12 horas el funcionamiento del calentador de agua

• Según la Hipótesis 4.1 se demostró que, aunque los preescolares españoles presentaban mejores resultados que los inmigrantes en la mayoría de las variables conductuales,

El operador del sistema es Red Eléctrica de España y como tal ha de garantizar el equilibrio entre la producción y el consumo de energía, asegurando la calidad del suministro

Potential energy energía potencial Power plant Central eléctrica Power supply Suministro eléctrico (electrical) Plug Enchufe (lo que.. enchufamos, al final de un cable)

• El cambio de energía (J) por por unidad de carga (C) para mover una carga, debida a diferencias del potencial eléctrico. • La unidad de diferencia de potencial ΔV en

En la energía potencial gravitatoria, vimos que el (nivel cero de energía potencial) se encontraba en el centro de la Tierra, que es el punto donde la fuerza