SUCESIONES Y SERIES SUCESIONES

SUCESIONES Y SERIES

SUCESIONES

La convergencia en una sucesión tiene como fundamento la tendencia de la misma y básicamente se refiere a la existencia de un valor al cual se acercan los términos de la sucesión;

             divergente es sucesión la que establecer podemos entonces , existe no o L si e convergent es sucesión la que establecer podemos entonces , negativo o positivo sea ya numérico valor un es m donde , m L si a lim _n n

Para comprender mejor el concepto de sucesión, analizaremos un ejercicio sencillo, pero altamente didáctico; 1 de valor un a acercan se os min tér sus y e convergent es sucesión la , to tan lo por 1 n 1 1 1 lim n 1n 1 1 n n lim 1 n n lim 1 n n lim a lim 1 n n ,..., 9 8 , 8 7 , 7 6 , 6 5 , 4 3 , 3 2 , 2 1 1 n n n n n n n n 1 n                                        

L a lim _n

n 

Ejemplo de Repaso

Determine si la sucesión planteada converge o diverge:

 

 

 

 

   

 

 







 



 

n 0 ln n 1 n 3 1 lim H ' L n n ln ln n 3 ln lim n n ln n 3 ln lim n ln n 3 ln n 1 lim 1 e e e lim n ln n 3 lim n ln n 3 lim n ln n 3 lim a lim n ln n 3 n n n n 0 n ln n 3 ln n 1 lim n ln n 3 ln n 1 n n 1 n 0 n 1 n n 1 n n n 2 n n 1 n        _                                                                                                                                                      

SERIES

n 1 n n a ... 5 4 3 2 1 a       



 

La convergencia en una serie tiene como fundamento la existencia del acercamiento a una sumatoria definida por parte de todos los términos que la conforman.

Los criterios de convergencia que se estudiaran a continuación, únicamente cumplen la función de indicarnos si la serie posee una sumatoria específica (convergente) o no posee dicha sumatoria específica (divergente), pero el material no incluye determinar el valor de la sumatoria, excepto en los casos donde la serie estudiada se encuentre dentro de las series típicas (geométricas, telescópicas, entre otras.)

Procedimiento Recomendado sobre la aplicación de Criterios de Convergencia para Series de Términos Positivos

1.-) Criterio del n-ésimo Término para la Divergencia

0 a lim _n n  NO SERIE DIVERGENTE SI

2.-) Utilizar Criterios de Series Conocidas

2.1.-) Serie geométrica 2.2.-) Serie armónica 2.3.-) Serie telescópica

2.4.-) Serie – p o

3.-) Utilizar Criterio de la Integral

o

4.-) Criterio de la Comparación Ordinaria

o

5.-) Criterio de la Comparación Límite

o

6.-) Utilizar Criterio de la Raíz

o

7.-) Utilizar Criterio del Cociente

1.-) Criterio del n-ésimo Término para la Divergencia

Teoremas Importantes

1.1.-) si





1

n n

a converge, entonces lim a_n 0

n  1.2.-) si lim a_n 0

n  ó nliman no existe, entonces



 1 n n a diverge. Ejemplo: a divergenci de o min tér ésimo n del criterio por divergente es n 2 n 3 n to tan lo por ; 0 3 1 n 2 3 1 lim n 1n 1 n 2 n 3 n lim n 2 n 3 n lim n 2 n 3 n lim n 2 n 3 n 1 n 3 2 3 n 3 3 2 3 3 n 2 3 3 n 2 3 3 n 1 n 3 2 3                        





           

2.-) Criterios de Series Conocidas

2.1.-) Serie Geométrica Una serie del tipo





  1 n 1 n

ar converge si y solo si, r 1 donde “r” se denomina razón y por lo tanto dicha serie tiene una suma S =

r 1

a  2.2.-) Serie Armónica

Una serie del tipo





      1 n n 1 ... 3 1 2 1 1 n 1

se denomina armónica y por definición o demostración matemática, esta serie es divergente.

Cabe mencionar que ésta serie es especial, ya que representa una excepción al criterio del n-ésimo término para la divergencia, tal como se muestra a continuación:





    1 n n 0 n 1 lim n 1

Bajo este resultado y de acuerdo a la estructura de trabajo predeterminado para las series de términos positivos, como el límite del n-ésimo termino nos brinda una respuesta de cero, entonces deberíamos continuar con el proceso matemático destinado para probar su convergencia o divergencia, esto a través de los criterios, pero en este caso no es necesario ya que la serie armónica ha sido definida como divergente.

2.3.-) Serie Telescópica

Una serie del tipo









 



1

n n n 1

b

b se denomina telescópica o colapsante y su estructura básicamente consiste en el término n-ésimo menos el término siguiente.

2.3.1.-)









   1 n n n 1 b b converge si lim S_n L n  , 2.3.2.-)









   1 n n n 1 b b diverge sí _n

nlimS , no existe o brinda como resultado infinito.

Donde Sn se denomina suma parcial y es un término que será creado a partir de la generación de los

primeros términos de la serie y observación/análisis de su comportamiento. Ejemplo:













 

_

_

_

 

_n n 1 n n n 1 n n 1 n S parcial suma su de límite el existe porque e convergent es 3 n 2 n 1 to tan lo por ; 3 1 3 n 1 3 1 lim S lim 3 n 1 2 n 1 2 n 1 1 n 1 ... 6 1 5 1 5 1 4 1 4 1 3 1 3 n 1 2 n 1 S entonces ; 3 n 1 2 n 1 ... 3 n B 2 n A 3 n 2 n 1 parciales fracciones aplicamos , a telescópic serie una de formato el buscando 3 n 2 n 1







                                                                                         

2.4.-) Serie – p Una serie del tipo

p p p 1 n p n 1 ... 3 1 2 1 1 n 1 _{     }     



  , se denomina serie – p. 2.4.1.-) una serie



        1 n np 1 converge si y solo si p 1. 2.4.2.-) una serie



        1 n np 1

diverge si y solo si p1. (si p=1 es una serie armónica)

3.-) Criterio de la Integral

Sea f(x) una función de





1

n n

a donde f(x) es continua, positiva y decreciente durante todo el intervalo donde la serie está definida ([1,+oo[ para éste caso de explicación), entonces:

3.1.-) si





 

1 f x dx diverge, entonces



 1 n n a diverge. 3.2.-) si





 

1 f x dx converge, entonces



 1 n n a converge. Ejemplo:

 

 

 

 

_{ }









 

 



 





 





 



 

 

 



 



 

nln

 

n también es divergente 1 entonces , divergente es dx x ln x 1 como x ln ln w ln w dw x dx dw x ln w dx x ln x 1 2 ln ln lim u ln ln lim x ln ln lim dx x ln x 1 lim dx x ln x 1 egral int la de criterio el aplicar podemos to tan lo por y , 2 ervalo int el en derivada era 1 signos de tabla e decrecient y positiva , continua es x ln x 1 x f entonces , estudiada serie la de función una x ln x 1 x f sea n ln n 1 2 n 2 u u u 2 u u 2 u 2 2 n















                                            

4.-) Criterio de la Comparación Ordinaria

Éste criterio consiste en comparar la serie requerida en un ejercicio contra una serie conocida (geométrica, armónica o serie–p), que por lo general es extraída apoyándonos en los elementos que conforman el ejercicio a ser resuelto y como la serie comparativa es una serie típica que ya posee una estructura definida por los postulados matemáticos pertenecientes a éste tema, entonces conoceríamos también si la misma es convergente o divergente.

4.1.-) Si decidimos comparar el ejercicio contra una serie conocida divergente, entonces debemos verificar el cumplimiento de la siguiente desigualdad:

n n 1 n n 1 n n _{b a} divergente conocida serie b ejercicio serie a           





   

Luego procedemos a simplificar algebraicamente esa desigualdad y si obtenemos como resultado que la misma se cumple, entonces la “serie ejercicio” será declarada “divergente” porque fue comparada con una “divergente conocida”;

Caso contrario, NO podemos establecer que la “serie ejercicio” es convergente, únicamente basados en el incumplimiento de la desigualdad; motivo por el cual se facilitan dos recomendaciones de procedimiento en los casos donde la desigualdad no se cumple:

 Seleccionar y probar con otra serie conocida divergente ó

 Seleccionar y probar con otro criterio de convergencia para series positivas Ejemplo:

 

 

 

 

 





 

                           







      ordinaria n comparació de criterio del través a divergente conocida serie una con comparada ser al divergente es n ln n 1 serie la entonces , cumple se d desigualda la como verdadero 0 n ln n n n ln n n ln n n ln n 1 n 1 ; definición por divergente y armónica la es que n 1 serie la con entar int podemos , ión recomendac dicha de vista en y ejercicio el en propuesta serie la de elementos los referencia como tomando conocida a comparativ serie la extraemos n ln n 1 1 n 1 n 1 n

4.2.-) Si decidimos comparar el ejercicio contra una serie conocida convergente, entonces debemos verificar el cumplimiento de la siguiente desigualdad:

n n 1 n n 1 n n _{a b} e convergent conocida serie b ejercicio serie a           





   

Luego procedemos a simplificar algebraicamente esa desigualdad y si obtenemos como resultado que la misma se cumple, entonces la “serie ejercicio” será declarada “convergente” porque fue comparada con una “convergente conocida”;

Caso contrario, NO podemos establecer que la “serie ejercicio” es divergente, únicamente basados en el incumplimiento de la desigualdad; motivo por el cual se facilitan dos recomendaciones de procedimiento en los casos donde la desigualdad no se cumple:

 Seleccionar y probar con otra serie conocida convergente ó

 Seleccionar y probar con otro criterio de convergencia para series positivas

5.-) Criterio de la Comparación en el Límite

Éste criterio consiste en comparar la serie requerida en un ejercicio contra una serie conocida (geométrica, armónica o serie–p), que por lo general es extraída apoyándonos en los elementos que conforman el ejercicio a ser resuelto y como la serie comparativa es una serie típica que ya posee una estructura definida por los postulados matemáticos pertenecientes a éste tema, entonces conoceríamos también si la misma es convergente o divergente.

Sean



 1 n n a (serie ejercicio) y



 1 n n

b (serie conocida convergente o divergente) series con términos positivos, entonces:                             

















                  . diverge a entonces , diverge b & L si ) . 3 . 5 . converge a entonces , converge b & 0 L si ) . 2 . 5 diverge b si diverge a y converge b si converge a entonces ; 0 L si ) . 1 . 5 L b a lim 1 n n 1 n n 1 n n 1 n n 1 n n 1 n n 1 n n 1 n n n n n

Luego de resolver el límite, debemos comprobar la respuesta contra el esquema mostrado anteriormente;

Si en dado caso, no es posible establecer una coincidencia con ninguno de los parámetros predeterminados, entonces NO se puede concluir una respuesta puntual/definitiva sobre la convergencia/divergencia en relación a la serie estudiada en el ejercicio; motivo por el cual se facilitan dos recomendaciones de procedimiento en los casos donde no existe coincidencia:

 Seleccionar y probar con otra serie conocida convergente/divergente ó  Seleccionar y probar con otro criterio de convergencia para series positivas Ejemplo:









límite el en n comparació de criterio por e convergent es 11 n 2 n 2 n 3 serie la , 0 3 L como finalmente y 3 n 11 n 2 1 n 2 3 lim n 1n 1 11 n 2 n n 2 n 3 lim 11 n 2 n 2 n 3 n lim n 1n 11 2 n 2 n 3 lim b a lim 1 2 p porque e convergent p serie una es que n 1 serie la con entar int podemos , anterior lo de vista en que asi n 1 n n n 11 n 2 1 n n 2 n n 11 n 2 n 2 n 3 inito inf al límites trabajar de momento al l diferencia cálculo en estudiada ebraica lg a a herramient una aplicando , ejercicio el en propuesta serie la de elementos los referencia como tomando conocida a comparativ serie la extraemos 11 n 2 n 2 n 3 1 n 3 2 3 n 3 3 2 3 2 3 n 2 3 2 n 2 2 3 n n n n 1 n 2 2 3 3 3 2 3 1 n 3 2







                                                                                                      _{ }        

6.-) Criterio de la Raíz

Sea





1

n n

a la serie a estudiar, el criterio de la raíz consiste en aplicar el siguiente procedimiento:

                   





      . e concluyent es no raíz la de prueba la ; 1 L si ) . 3 . 6 . divergente es a serie la entonces ; L ó 1 L si ) . 2 . 6 . e convergent nte absolutame es a serie la entonces ; 1 L si ) . 1 . 6 L a lim 1 n n 1 n n n _n n

Cuando la prueba de raíz no es concluyente, lamentablemente éste criterio no ayuda a determinar la convergencia o divergencia de la serie estudiada, motivo por el cual debemos probar con otro criterio. Ejemplo: . raíz de criterio por e convergent es 2 n 3 3 n 2 entonces , 1 3 2 L como 3 2 n 2 3 n 3 2 lim n 1n 1 2 n 3 3 n 2 lim 2 n 3 3 n 2 lim 2 n 3 3 n 2 lim 2 n 3 3 n 2 lim a lim 2 n 3 3 n 2 1 n n n n n n n n n n n n n n _n n 1 n n





                                                                           

7.-) Criterio del Cociente

Sea





1

n n

a la serie a estudiar, el criterio del cociente consiste en aplicar el siguiente procedimiento:

                   





       . e concluyent es no cociente del prueba la ; 1 L si ) . 3 . 7 . divergente es a serie la entonces ; L ó 1 L si ) . 2 . 7 . e convergent nte absolutame es a serie la entonces ; 1 L si ) . 1 . 7 L a a lim 1 n n 1 n n n 1 n n

Cuando la prueba del cociente no es concluyente, lamentablemente éste criterio no ayuda a determinar la convergencia o divergencia de la serie estudiada, motivo por el cual debemos probar con otro criterio. Ejemplo:



























 













 

 





n 1

 

! n 1



n



n 1

 

n 2

 

n 3



... 3 2 1



n 1



n! 1 2 3 ... 3 n 2 n 1 n n ! n e 1 n n lim & e n 1 n lim s matemática es Definicion . cociente de criterio por divergente es ! n n entonces , 1 e L como e n 1 1 lim n 1 n lim n 1 n lim n ! n 1 n ! n 1 n 1 n lim n ! 1 n ! n 1 n lim ! n n ! 1 n 1 n lim ! n n ! 1 n 1 n lim a a lim ! n n 1 n n n n 1 n n n n n n n n n n 1 n n n 1 n n n 1 n n n 1 n n n 1 n n 1 n n                                                                                                                                                              





Bibliografía Utilizada para la Conformación Teórico/Práctica del Contenido Propuesto 1. Purcell, E. (2009). Cálculo 1, 1ª ed. México. Pearson Educación.

2. Sánchez, G.; Castro, J. (2001). Cálculo Integral (Ejercicios y Problemas), 1ª ed. Instituto Tecnológico y de Estudios Superiores de Monterrey (ITESM). México. Thomson Editores

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