_421-DI
N
A
MICA
DE L
O
S FLUIDOS
.
C
A
P
I
TULO
:
1
8
.
~
R o
B L E
U A S
1.- Una manguera de jardln que tiene un ó~ámetro interior de 0.019 m (0.75 plg.) se conecta con un aspersor de cesped que consiste simplemente en una caj~ con 24 agujeros cada
uno ce 0.0013 m(0.05 plgl de di~metro. Si el agua en la manguera tiene una velocidad de 0.91 m/seg () pies/segl, ¿A qué velocidad sale de los agujeros del aspersor? ~: 0 . 0.75 plg (diámetro de la manguera).
d • 0.05 plg (diámetro de cada uno de los 24 agu je-ros que hay en el aspersor).
vI • J pies/seg (velocidad del agua en cada agujerol Soluci6n:
Por la ecuaci6n de continuidad tenemos: AIVl - av --- (1) donde:
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Luego:
•
-422-,
.. 2"'0.05 /4•
( 15) 2• - - -
=''--'-
''
28.125 pies/seq. 24 JI: (0.05)2 Rpta: .v - 28.125 pies/seg_2.- A veces se prueban loa modelos de los torpedos por un tubo en el que fluye agu.. en forma muy semejante ~ l~ prueba de modelos de aviones en tdneles de viento_ ConsidArese un tu-bo circular de di&metro interior 10 plg_ y un modelo de torp e-do alineado segan al eje del tubo con un dilmetro de 2 plg_ El to~edo alineado se va a probar con agua pasando a 8 pies/ 5e9. (a) Con qu~ velocidad tendrA que pasar el agua en la pa r-te del tubo no reducida? (b) ¿Cual será la diferencia de pre-siones de la parte del tubo reducida y la no reducida?
SoluciÓn:
(a) La velocidad con qua tendr! que pasar el agua por la parte del tubo no reducida .ara:
Au .. av
u • ¡-av .. (d 2 vl/D 2 .. 2 2 JI: 8/10 2 • 0.32 .. lb) La diferencia de pre.i6n
se obtiene aplicando la
0.32 piea/seg. ecuaci6n de Sernoulli. v O-lO
--+
(p, p,'•
,
,
,
,
L
,
=
-
,
.u,
1,
,
'p • (p, - P2).
-
,
(v -u )p • li9.f. (82 _ 0.322) bp z 52.15 lb/Pie2 Rpta: (a' (b' v .. 0.)2 pies/seg,
bp .. 52.15 lb/pies J).- ¿Cuánto trabajo hace la presi6n al forzar 50 pies de agua por un tubo de 0.5 plq si la dif~rencia d
,
e presi6n entre los dos extremos del tubo es de 15 lb/p1g .~: V .. SO Pies3 (volumen de flurdo que pasa por el tubo) www.librospdf1.blogspot.com www.GRATIS2.com www.1fisica.blogspot.com
d • 'p •
-423-0.5 plg (di&metro del tubo).
2
15 lb/plg (dif~rcncia de presión) .
Soluci6n:
•
El trabajo nelo hecho sobre el sistema viene d~do por:
pero: (P1 v • ~ • 50 P (P1 - P2) .. P2); w --- (1) . ] ples y Ib/plg2. 2,160 1b/Pies2
Reempla~ando valores en (1) tenemos:
w
~ 2.160 x 103 x 50: 1.08 x 105 pies/lb. Rpta: W • 1.08 x 105 pies/lb.4.- El agua que desciende de una altura de 60 pies a ra~ón de 500 pies3/min impulsa una turbina de agua, ¿CuAl es la má-xima potencia que se puede obtener con esta turbina?
SoluciÓn:
El trabajo neto producido por la calda de agua se obtiene de la ecuaciÓn de Bernoulli.
W - mg(h
1 - h2) - Vpgh --- (1)
La potencia que producirá este trabajo en la turbina ser!:
pero: ~ • 500 t
w
Vpqh p •t
·
t - - - (2) pies3/min . 8.33 Pies3/seg. Reemplazando valores en (2) obtenemos:
p - 8.33 x 1.94 x J2 x 60 • 31,040 pie-lb/seg Rpta: p - 31,040 pie-lb/seg.
5.- Aplicando la ecuaciÓn de Bernoulli y la ecuaciÓn de cont! -nuidad a los puntos 1 y 2 de la Fig. 18-6, demostrar que la
velocidad de flujo a la entrada es:
j
2(p' - p)ghv • a 2 2
p(" a ) SoluciÓn:
Aplicando la ecuación de Bernoulli:
1 2 1 2
PI +
2
pVl • P2 +
2
pV2 --- (1)El término que contiene h desaparece si el tubo es hori~ontal.
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'Como el flujo es estable:
AV
I • aV2 ---- (2)
Puesto que v2 ) vI' P2 <. PI
Las presiones en C son igu!
les en ambos ramales de
tu-bo o sea: P • P .. pgh • e 1 Pe • P 2 .. P 'gh -4
24-de las dos ecuaciones obtenemos:
:
,
PI - P2 ., hg(p' - p) - - - (3)
h
de las eC'laciones (I), (2) Y (3J obtenernos:
6.- Un medidor de Venturi tiene un diámetro de tubo de la plg.
y un d14metro en el cuello de 5.0 plg. Si la presi6n del
2
agua en el tubo es de 8.0 lb/plg Y en el cuello de 6.0 lb/
2 3
plg , calcular el gasto del agua en pies /seg (flujo de volu
men). ~~; O • 10 plg (diámetro de tubo) d w ~ plg (di4metro de la garganta, . 2 2 PI - B lb/plg , P2 • 6 lb/plg (ver fig. del problema anterior)
,
.
-3 3 1.94 x 10 slug/pie SoluciOo: Sabemos que el gasto es: O - VA --- (1) pero v • • Luego: O - aA , siendo A Re~~pJazando valores se obtiene: 3 Ú • 13,500 plg /seg ~ Rpta: 3 0.22 m Iseg 3 0 - 0.21 m /5eg.•
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-4
25-7.- Consid~rese el tubo de Venturi de la figura d~l problema S
sin el man6metr<.l. Seil A igual <l Sa. Sup6ngilSf' que la pr~
si6n en A. es 2 atm. Calc(¡lese los valores de v en " }' v' en
a. necesarios par~ que la presi6n p' en a sea igual a cero. Calc61ese el gasto correspondiente si el di~metro en A es 5,0
cm. El fen6meno que ocurn: ",JI z cuar.do p' se reduce casi a ce
ro se llama gravitaci6n. El agua se vapol'iza en pequeii3s bur
-bujas. Este fen6nteno es de gran interés teórico y práctico.
Solución: (a 1 Apl i.cando la ecuaci6n de Bp.cnoull i: n (p p' , ., '2 1 m(v') ,
-
'2 1 mv , p --- (11, pero p' o O 1 p[{v'J2_v']
P2
Por la ecuaci6n de continuidad sabemos:
Av - av' --- (2)
5 a v • av', de donde 5v • v· --- (3)
de la ecuación (3) obtenemos:
v' • 5 x 4.11 - 20.55 m/seg.
,
el valor de v • 4.11 m/seg se obtuvo de la ecuación (2):
1 , P - '2 pv (25 - 1) (b' El v • Cuanao el di,\metro A • 1102/4
.
.(5 x gasto es:j
r'--x--2--X--'-.-O-'-)-X--'-O~S' • -'-"'--'-"--=~lr-"'--'-'-. 4. 11 m/ s eg 24 x 10 en A 2 es S=.
10- 2 )2/4.
1. 96 x 10- 3 m,
1. 96 10- 3 , x - ) ) O ., Av ., x x 4.11 • 10 m /seg. Rpta: { (a) v - 4.11 m/seg, v' • - ) ) 20.55 m/seg. (b) O • 8 x 10 m /seg.8.- En un oleoducto horizontal, de sección transversal consta~
tt!. la presi6n
pies en 5 lb/plg2.
disminuye entre dos puntos separados 1000 ¿CuAl es la pérdida de energía por pie c(¡-bice de petrOleo por unidad de distancia?
Soluci60:
pérdida de energía es igual al trabajo neto que se re~liza. o
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se,,:
pero
-426
-'P1 P2) ~ • W - pérdida de energía
pv p -V -.. W6
e.'!.
L 2 51 lb/plg 1 pieJ L • 1000 pies. w L .. --- (2) 721 lb/Pie2Reemplazando valores en la ecuaci6n (2) tenemos: ~L 720 x 1000 1 _ 0.720 pie-lb pie Rpta: 0.720 pie-lb/pie fl)
•
9.- La Fi9. 18-17 muestra el líquido que está saliendo por un orificio en un 9ran tanque a una profundidad h bajo el nivel del agu/l. (a) Aplique la ecuaciÓn de Bernoul'U a la
u:
-nea da corriente que une lospuntos 1, 2 Y J, Y demuestre que la velocidad de salida es
v _ 12gh.
Esta ecuaciÓn ae conoce como ley de TorrLeelli. (b) Si el orificio estuviera encorvado directa.ente hacia arriba, ¿hasta qu' altura se elevarla la corriente del líquido? (e)
¿CÓ.o afectaría la viscosidad o la turbulencia los resultados del problellh'1
SoluciÓn:
(al Aplicando el teorema de aernoulli /1 un punto 1 que esta en la la superficie y a un punto J que esta «1e1 orificio situado a
una profundidad 1 2
Pl+Ipvl
h bajo el nivel del agua.
1 2
+ pgh l - PJ +
2
pVJ + pqh) pero: PI - PJ • Po (presiÓn atmosf'riealhJ • O Y h l • h
(esto porque tom . . oe como plano de referencia un plano que pa-sa ~or JI.
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. 427
-VI - O . v
J ~ V
Reemplazando estos valores obtenemos: V = 12gh
•
(b) Si el orificio se doblara apuntando directamente hacia arri
ba, el chorro líquido s~ ~levaría hasta un punto 4 en el cual
14 velocidad v
4 m O.
Aplicando el teorema de Bernou11i para los puntos) y 4,
donde:
1 2
+ '2 pv 4 p) • P4 (presión atmosférica).
Reemplazando estos valores en la ecuaciÓn anterior.
h4 • h
Rpta: (a) v - f2gii'
lb) h4 • h
,
10. Sup6ngase que dos tanques, cada uno con una gran abertura
en su parte superior, contienen diferentes líquidos. Se hace un agujero pequeño en la pared de cada tanque a la misma
profundidad h bajo la superficie del líqui~o pero un agujero
tiene una ~rea doble de la del otro (a) ¿Cuil es la relación
de las densidades de los fluídos si se observa que el flujo de
masa es el mismo para ambos agujeros? lb) ¿C6mo es la rapidez
de flujo (~asto) de un agujero comparado con la del otro? (e) ¿Podrían h~cerse iguales los dos gastos? ¿C6mo?
SoluciOo:
(a) Sabemos que 4 111
1 - P1A1v16t
-tr.~ '" P2A2v2tr.t
Igualando (l) y (2) por dato: P1l'l¡v¡ '" P2A2 v 2
.,
-~
Alv 1 (dato)"',
xt
~
"
-
p1A1v 1---
--
(1)-
P2A2v2--
--
-
(2) (3) v=
",
I2gh (demostrado en el problema 9)
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-· 42B-VI ., v
2
reemplazandn estos datos en (3)
PI
---
P,
-PI.
,
-
,
o
..:J.. _ , I:"eemplazando dat.os anterioresO,
Icl Si ajustando las profundidades del líquido en los 2 tanques 11. Un tanque est~ lleno de agua hasta una altura H. Tiene un
orificio en una de sus paredes a una profundidad h bajo la superficie del agua (Fig. lB-lB).
(al Encontrar la distancia x a partir del pie de la pared de
1. cual el chorro llega al pi-so. (b) ¿Podría hacerse un o-rificio a otra profundidad de .anera que este segundo chorro
tuviera el mismo alcance? Si es así, ¿a qué profundidad7 SOluciÓn;
(al por el problema anterior sabemos que la velocidad de sali da del liquido es:
v - v • 12gh , v - O
Xo Yo
Aplicando las ecuaciones del movimiento tenemos:
x " v x t " 12qht
---
" )1 o 2
y
",
qt---
(2)de estas do. ecuaciones obtenemos:
2
4hy, H h
x
-
pero y "-x " 2/(H
-
h)h---
-
-
(3)(b) Elevando al cuadrado la ecuaci6n (31 obtenemos una ecuaci6n que relaciona una altura cualquiera h
l con su alcance x.
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-
429-,
,
IIh 1 x O 141 h ,-
,
..
-
---•
H, / H'
,
h ,-
,
x pero x • 21 (11-
hlhubtenemoc un nuevt) valor de h, (!ue
e.
h - IH-
hl1
Rpta: 1.1 x -
21
(11 h)hlb) h IH
-
h)12. La superficie libre del agua en un tanque se encuentra a
una altura H sobre el piso horizontal. ¿A qué profundidad
habr1a que hacer un pequeño orificio para que el chorro hori
zontal de agua que saliera llegara al suelo a la máxima dista~
cia de la base del tanque? ¿Cuál serta esta distancia máxima?
SoluciOn:
(a) Por el problema anterior sabemos que:
x - 21(11 h)h
la prufuu<.lidad h pal:'lI que el alcance hOl:'i%ontal x Rea ~ximo
sera:
Lueqo: 11 - 2h O
Y dicha pl:'ofundidad sera: h . 11/2 (b) Calculemos el alcance máximo (x
máx) x
m"
- 2/(11 - h)h - 2)e
ll
-13. Calcular ra en un ficie libre la ecuación Rpta: (a) h '" 11/2 l. ve locidad de salida detanque, tomando en cuenta
del de Uquido, Bernoulli,
v
'
o c~o sigue. que 'gh, ,
1 - v /v u (b) x - H mb un la (a)lIquido de una abert~ velocidad de la SUpe!
Demostra.r, mediante
siendo v la velocidad de la superficie libre. (b) Considerar
después el conjunto como si fuera un gran tubo de flujo y o
bte-ner v/v de la ecuación de continuidad, de manera que
o
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v o
-430-siendo A la secci6n tra~sversal del tubo en la :uperficie y A o la sccciOn transversal ~~l tubo en el orificio. (c) Demostrar entonces que s~ el orificio es pequeño comparado con el ~rea
de la superficie,
Soluci6n:
(a) Aplicando la Dcuación Bernoulli a un punto O en la superficie libre del
líquido y a otro punto Q en el orificio, tenemos: p + o 1 + ;: 1 2 • P + '2 pv + pgh -- - - (1) pero: ho • O, p . Po
Reemplazando valores en (1) obtenemos: 2 V o • (b) De la ecuaci6n de Jo,. v - Av 6 o o continuidad: A v =...E. V o A (1)
Reemplazando este valor en (1) y e~trayendo la raíz cuadrada obtenemos:
¡
2gh
/C
1
==lC=~
- (A
o/A,)2
--~--(II)
(c) Si el orificio Ao es pequeño comparado con A podemos des preciar las potencias mayores de (A
o/A)2 de la ecuaci6n (II) tenemos:
• l2gJi
}
-1
-_1 --"
•
l2gJi[
1
-(.1\0/.1\)2
por el binomio de Newton tendremos:
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1 + ;- -431-CA O/Al2 +
~
(AO/A)"•
l29h
[1 +i
lAO/A)2] + ----]•
14. Un tubo de P1tot va montado en el ala de un .v16n para de-terminar l,p '.rplocJdad del aviOn con relación al aire. El tubo contiene alcohol e indica una diferencia de nivel de 0.12 -,
••
,.
?
¿eu!l es la velocidad del av iOn en km/ h con relación al al
•
QA12I: h . 0.12 m. SoluciÓn:
En el problema v es la velo
cidad del avión con relación
al aire. En el tubo de P1tot
la velocidad en b es cero y el
el 9" esta quie~o en e5e pu~
to, En este tubo el aire pa-s. por
l
..
aberturas a queson paralelos a la dirección
b
•
ii::
' . "::
" "del flujo y estln dispuestos de tal manera qu~ la velocidad y
la presiOn fuera de las aberturas tengan el mismo valor que
108 valores de la corriente libre.
Aplicando la ecuación de Bernoulli a los puntos a y b:
p +
•
'2 1 pv 2 En el man6metro tendremos:Pa + dgh - Pb
- - - - -- (1)
- - - (2)
de las ecuaciones (l) y (2) obtenemos
v •
j~
p donde: ) ) ) p' E 0.81 x la x la kg/m (densidad del alcohol). Luego: P • h • 0.12 In. (densidad del aire) v •j~
2
~
X
~
,
~
.
~
'
~
X
~
O
~
.
~1~2C2X~O~
.
~'
~
1
-'
X~l
O
"-
)
- 1. 293 m - - x..
,
l.
'
ka/h
i.
7
.eg
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··432-.138.3 km/h.
Rpta: v . 138.3 km h.
15. El aire fluye horizontalmente al encuentro de una ala de ~
2
viOn de Area ]6 pies que ~sa 540 lb. La velocida~ ~n la
parte superior del ala es de 200 Pies/~eg y bajo la superficie
inferior es de 150 pies/seg ¿CuAl es la fuerza ascensional s
o-bre el ala? ¿La fuerza neta sobre el ala?
SoluciOn:
Aplicando el teorema de
Bernoulli a los puntos
1 y 2, Y considerando. 1 PI ... 2" h O, tenelllOs: 1 2 2 - p ) • - p (v - v ) 2 2 2 1
,
--- (1)La diferencia de presiones (PI - P2) produce una fuerza
ascen-sional por unidad de área.
La fuerza ascensional es; F •
donde: p - 2.51 x 10 -3 sluq/pie 3 (densidad del aire).
v
2 • 200 pies/seg, VI • 150 pies/seq. A - ]6 pies
2
Reemplazando valores en (2) se obtiene,
F _
I
(2.51 x 10-3) (2002 - 1502) (36) - 788 lbsLa fuerza neta será la diferencia entre la fuerza ascensional y el peso del ala.
N - F - W - 788 - 540 - 248 lbs.
Rpta: F _ 788 lbs, N E 248 lbs.
16. Si la velocidad de flujo bajo la superficie inferior de un
ala es de 350 pies/seg. ¿Qué velocidad de flujo sobre la
superficie superior dará und fuerza ascensional de 20 lb/Pie2?
Rpta: v • 372 pies/seg.
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-4]3-17. (a) Consid6rcse el aire imn6vil en el borde front.al de una
')la y @1 air", que p.:)sa sobre la 5uperficie 1c ella con una
v'!!lociddd v. r:ncuéntrcse ,,1 m5.xinlO valor posible df! v para
tlujo ~e r6gimen estable, suponiendo el m5ximo ~a\oL posible
de v.pardo flujo o régimen estable. suponlendc que el aire es incompresible y usando la ecuaci6n de n.trl1cu!lJ., 'r6m .... ~ .... como densidad del aire.
- ) )
1.2 x 10 g/cm Solución:
~al Aplicando la ecuación de Bernoulli a los puntos
1 y 2 tenelllOs:
1 2
... 2'
p vI " P2 ... -- (1)Cuando la presiOn en un punto aumenta la velocidad en él dis_!
nuye, luego cuando VI • O, la presión PI será m!xima e igual a
Po (presión atmosf~rical y para que la velocidad sea m!xima la
presiOn debe anularse, o sea:
v
2 • v y p;¡ .. O
Re~lazando valores la ecuaci6n (11 se reduce a:
1 2 Po 2 2' pv --- (2) donde: p • 1.0lJ o S 2 x 10 nt/,.
p _ 1.2x 10 -J g/cm J .. 1,2 kg/m J (densidad del aire)
Luego: m/seg.
Rpta: v - 410 m/seg.
18. Un tubo hueco tiene un disco DO' fijo a su extremo. Cuando
se sopla aire por el tubo,
el disco atrae a la tarjeta CC'
Sea A el !rea de la tarjeta y
v la velocidad media del aire entre CC'y
OU
(Fig. 18-19); calcular la fuerza resultante que obra sobre CC~ No tomar en cuenta el peso de la tarjeta.~C'
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-SOlyción:
ñplicando la ecuación de 8ernoulli a los puntos 1 y 2 que se
muestran en la figura tene~s: 1 ::>J + 2" pv 2 • 1
P,
1 , + '2 pV2 --- - - - (1) pero: P2 ~ Po y v2 ~ O (aire e6t~tico) .
•
Luego la fuer~a ascensional por unidad de irea ser~:
LA fuerza resultante ascensional seri:
f ~ A(P
o - PI) • A
1 ,
Rpt.a: F .. '2 PV A
19. Antes que ~ewton propusiera su teoría de la gravitación,
estaba en boga un modelo de movimiento planetario p~opues
to por Ren~ Descartes. De acuerdo con el aodelo de Descartes,
los planetas eran retenidos y arrastrados por un remolino de
part!culas de éter centradas en torno del Sol. Newton demos
-trÓ que este mecanismo de vÓrtice era contrario a las o
bserva-ciones, porque: (al La velocidad de una partícula de éter en
el v6rtice varía en ra%On inversa a su distancia al Sol. (b)
El periodo de revoluciÓn de una partícula en eatas condiciones
varia proporcionalmente al cuadrado de su distancia al Sol.
(e) Este resultado es contrario a la tercera ley de Kepler. De
riostrar (a), (b) Y (e).
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-435
-Soluci6o: (A) En efecto la cantidad de movi~iento de una par
-tícula se conserva al acercarse al cp.ntro del
vértice {pues no existe un momento externo en la direcci60 de
la rotaci6f\). rov r • IlP>Ir • C(cx::nst30te); v .. (v r )/r • C/r
: o o o o
(h) Sabemos que el periodo es: T .. 2J1c .. 211r ..
~
v c/r c
(c) La tercera ley de Kepler dice que para 6rbitas circulares: T2 ,,2 3 kr 3 (1) " GH r •
-
---
-
-
-•
l . velocidad v••
deduce de: 211rv
· - -
T 2" .. rk l/ 2 ---(2) donde: k' .. 211/1'kComo se observa (2) y (l) 00 están de acuerdo con (a) y (b).
20. ConBid~rese un tubo uniforme en U, con un diafragma en su
parte inferior y lleno con un líquido & diferentes .lturas e
en cada rama (v~aac la Pig. 18-20) , imagin~se ahora que se
ha-ce un pequeño agujero en el
diafragma de manera que el líquido fluya de izquierda
a derecha. (a) Demostrar
que al aplicar el principio de 5ernoulli a los puntos 1
y ) se llega a una contra
-dicci6n. (b) Explicar por
qué 111
el principio de Beroou
-00 en este
Diafr ...
caso.
es ap.licable
(Sugerencia. ¿Ea el flujo de r~gimen estable?)
SQluci6n:
En pri1ller hi.9ar 00 se puede aplicar el principio Bernoulli a
flu.Idos dii'erentes; ~or consiguiente entre los puntos 1 y J
del gráfico anterior no podemos aplicar Bernoulli.
Además por dato del problema cuando se hace un agujero al dia
-fragma el fluIdo de ambos lados se recombioarán formando una www.librospdf1.blogspot.com www.GRATIS2.com www.1fisica.blogspot.com
-436
-\." 1,1, Y en (~stas condiciones no es aplil.;ablc Bernoulli,
l ' . O ... .J'v,:;trar que la constante en la ecuaci6n de Uernoulli (ee.
18-6\ ~s la misma para
I",'~ ~,'S ¡tucas dO! corrien
t _ ('H ~1 "':<lSO del flujo i
-~ lot .Ie.! .11'1" I de r~9imen esta blc do: la Fig_ 18-11.
~;¿l.~!l:
•
kastará eun demostrar que el flujo es irrotaeionDI porque el
p11neipio de Bernoulli se demuestra eons.iderando una misma u
-ne" de cocl"tente.
POJ le. t.anto: V x y ,. O 51 es irrotacional v • ui + vj + wk k
L
h V xV
•
(l...!.
_
.!.!..
,
¡
+ 11 Y ¡ %pero además se sabe que:
Q x V
•
•
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'y
,
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(~-·,I
+ 11 Y 11 z iyli"" V x V • O w. li...%
' - j + ( ' VlX
- !.!!.
,y 1 k,
'.
(di'dy'"12. (a) Considf!rese una corriente de fluido de densidad j). con
una velocidad vl~ que pasa abruptamente de un tubo cil!n
-drico de secci6n transversal al a un tubo cii!ndrico m!s ancho
de sección transversal al (vf!ase la Fig. 18-21). El chorro se
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-437-se me~clar~ con el fluIdo que lo rodea y, despu6s de mezclarse
seguirá fluyendo casi uniformemente con una velocidad media
.
v,
Sin hacer referencia a los detalles del mezclado, aplicar las
ideas de cantidad de movimiento para demostrar que el aumento
de presi6n debido al mez ciado es aproximadamente P2 - p¡ - pv 2 1v 1 - v 2 )
(b) Demostrar a partir
del teorema de Bernoulli, que en un tubo que va
en-sanchándose qradual~nte
obtendrIaJDOs.
,
,
P2 - PI • 1/2 plv
l - v2)
y expl icar la pérdida de presi6
,
n [la diferencia es1/2 p(v¡ - v
2)
J
debida al ensancha.iento abrupto del tubo.¿Puede usted imaginar una analogía con los choques elAsticos y
los choques inelásticos en la mecánica de las partíCUlas?
Soluci6n.:
Aplicando Bernoulli entre los puntos (1) y (2) del gráfico.
V'
.
-,_+
'
.
P,
yv~
+"'"1g+ z2 --- - (1)
Tomando como lInea de referencia la lInea
(1) y (2); de tal manera que %1 - %2 - O; mas de la ecuaci6n lo siguiente. que une los puntos por lo tanto tendre P, + y P, - P, y
v
:
P,-'"
yv:
.-1...'
.
v
'
+,
'
.
- v
,
,
'
.
P2 - PI=
19
(vI + v21 (vI - v2 ) X . p•
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-
438-P2 - Pl = ~ (vt + v2) IVl - v2)
23. Un campo de fuer?:a
a.
conservativo siP
..
.
dS -
O. El c!rculo en el signo i~tegra1 aighttica que la integraciÓn
de-be hacerse siguiendo una superficie cerrada (una vuelta compl~
tal en el campo. Un flujo es flujo de potencial (y por
consi-guiente, es irrotacional) si
~V.d.
- O para cualquier trayec-toria cerrada que se 8iga en el c~o.
Aplicando elOte criterio, demostrar que 108 campos de las Figs.
18-11 y 18-14 son campos de flujo de potencial.
I
~,
I I
~
e
Flg. l
F19. 2 Fig. 3
SoluciOn: En efecto para la tig. 1 tendremos: integrando
P
v.ds sobre el elemento cerrado abcd.b fV.dS - .[ v.ás - - - (1) porque el vector v es perpendic~ lar al ds. b
f
v.ds-
J
Vdscos O· - vs•
sav.as-5
vdscos1
80
~
"" - vs O Reemplazando estos valores en (1) obtenemos:www.librospdf1.blogspot.com www.GRATIS2.com www.1fisica.blogspot.com
-439
-~v
.dS
"
O
•
(b) Para la figura 2, escogemos una trayectoria circular de ra dio r.
Se tendrá:
pv.
ds ,., 0, porque v e¡¡ pe.L·y",,,cl.i.c¡¡l<lr ;;tI ,.,ect'lr ds en cada instante.(c) Para la figura 3, igualmente que en caso anterior.
pV.dS - 0, porque v es perpendicular a ds luego los campos
son potenciales.
24. En la Fig. 18-22 se muestra el llamado campo de flujo de Poi se Ville. El espaci~
miento de las líneas de co-rriente indica que aun cua~
do el movimiento es rectil!
neo, hay un gradiente de v~
locidad en dirección
trans-versal.
Demostrar que este flujo es rotacional. Solución:
•
1
•
,
•
•
¡
Tomemos una trayectoria cerrada como la mostrada en la figura en dicho campo.
En general en ab habrá una velocidad
v,.
Integrando en la trayectoria
cerrada tenemos:
f
v.as ..J:
V.as +S:
V.OsVI Y en cd una velocidad S a r - ___________ ,b I C>v I , 1 ,
,
: v2<:l I d _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ..IC don'de:S\,.dS
"
S
;'
.
JS
'"
0, porql,;.ev
e~
perpendicular a dS. b d en- .lb:www.librospdf1.blogspot.com www.GRATIS2.com www.1fisica.blogspot.com
-440-Reemplazando valores en (1) obtene~s,
~
v.as
·
vls - v2s - (VI - v 2 )s •
luego, ccmo p~ra cUdlquier trayectoria cerrada:
P
v.ds # O el flujo no serA irrotacional, sino rotacio-nal.
25. En flujos en los cuales hay vueltas cerradas son aprecia
-bles los efectos centrIfugas. Considérese un elemento de fluído que se estA moviendo con velocidad v en una linea de co -rriente de un flujo de gran curvatura en un plano horizontal
IPiq. 18-23).
(a' Demostrar que dp/dr
-ta una cantidad pv2/r por
,
pv
Ir.
de .anera que la prest6n aumenuni
dad de distancia perpendieu -lar a la línea de corriente,
al pasar del lado cÓncavo al
lado convexo de la línea de
corriente.
lb) Entonces apl~que la ecu~ ei6n de Bernoulli y este re -sultado demuestra que vr es
iqual a una constante, de ma-nera que las velocidades au
-mentan hacia el centro de e~ curvatura
vatura. Por consiguiente, las líneas de corri~nte que están u-niformemente espaciadas en una tubería recta estarán más cerra-das hacia la pared interior de una tubería curva y muy espaci
a-das hacia la pared exterior. Este problema debe compararse con
el Probo 17.22, en el cual el movi.iento en curva se produce
al hacer qirar un receptlculo. En aquel caso, la velocidad va-ciaha proporcionalmente a c, pero en este caso, varía en raz6n
inversa.
(e) Demostrar que este flujo es irrotacional.
SoluciOn:
la) Para el ele~ento que se auestra en la fiqura tenemos:
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,
r F r pero:•
m,
r F ,. (p ro
----
-
(1) + dpldzds {dzds)dp ma ,. mv2/ r r siendo m '" pdv • pd:t.dsdL· -4 41·· pdzds Reemplazando en (1) obtenernos. (dzds)dp . p(dzdsdrlvJ./r,...
dr de donde: (b' La ecuación 2 ., p ~ r de Bernoulli 2 es, v c(constanttc'l p + p,-,...
diferenei!ndola dr + donde: dv v.
-
dr rIntegrando tenemos:
Sv
dv .._t
~
'1v
.{.
r
o o In v + In r _ O v o ro v dv O 6 dr • In --..!!..,. O v r o oLuegO ve - voro - constante
p 2 v + r ---Y!... v r r. o
•
dv v di-(e) TOJl'lel'll,.$ una trayectoria cerrada e .. ni 'ir .. o
e b
pero
1
v.ds"Jo
v.da • Oporque v y ds son perpendicul,re"" <'
b
fa
v.ds bS
v . , ,•
·1-:. -. • Reemplazand(') ,'sttl:.. , ¡ ' , t ' ,•
O•
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-44
2-~
v.ds •S
..,e.dS +f:
v.ds+
f.
"
v.ds d •~
v.ds = 0, que es la condici6n para que el flujo sea irrotacional. e/-
'
~d
b , ,,
"
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