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(1)

LA PA

LA PARÁBO

RÁBOLA

LA

Una parábola es un conjunto de

Una parábola es un conjunto de puntos del plano que están a puntos del plano que están a igual distancia de un puntoigual distancia de un punto fijo llamado foco y de una recta fija

fijo llamado foco y de una recta fija llamada directriz.llamada directriz.

CONSTRUCC!N "# $% &%R'(O$% CONSTRUCC!N "# $% &%R'(O$%

Se trazan paralelas a la recta ) *que es la directriz+ a distancias con,enientes y Se trazan paralelas a la recta ) *que es la directriz+ a distancias con,enientes y arbitrarias - / 0 y 1 desde el foco 2 se trazan arcos con radio igual a la distancia de arbitrarias - / 0 y 1 desde el foco 2 se trazan arcos con radio igual a la distancia de separaci3n desde el punto % 4asta - / 0 1 que se encuentran a las paralelas trazadas separaci3n desde el punto % 4asta - / 0 1 que se encuentran a las paralelas trazadas anteriormente en los puntos -5 /5 05 15 -6 /6 06 y 16. %l unir estos puntos con una anteriormente en los puntos -5 /5 05 15 -6 /6 06 y 16. %l unir estos puntos con una cur,a continua queda construida la

cur,a continua queda construida la parábola.parábola.

#

#CCUU%%CC!!N N ""# # $$% % &&%%RR''((OO$$% % ""# # 7788RRTTCC# # ##N N ##$ $ OORR99##N N ""## COOR"#N%"%S : #;# CONC"#NT# CON #$ #;# <

COOR"#N%"%S : #;# CONC"#NT# CON #$ #;# < #n el gráfico se representa una

#n el gráfico se representa una  parábola con ,

 parábola con ,=rtice en el origen=rtice en el origen de coordenadas con eje en el eje > de coordenadas con eje en el eje > directriz la recta >? @a y

directriz la recta >? @a y foco el punto 2*a A+foco el punto 2*a A+ la e>centricidad de la parábola es

la e>centricidad de la parábola es igualigual a - por lo tantoB

a - por lo tantoB

$a figura es una

$a figura es una parábola deparábola de ,=rtice 7 en el origen de ,=rtice 7 en el origen de coordenadas. coordenadas. $a recta ) es la directriz de la $a recta ) es la directriz de la  parábola y el pu

 parábola y el punto 2 es elnto 2 es el foco. #l

foco. #l segmento ((5 es unasegmento ((5 es una cuerda CC5 es la cuerda focal cuerda CC5 es la cuerda focal $$5 es el lado recto y &2 es el $$5 es el lado recto y &2 es el radio ,ector.

(2)

/ / / / ++ ** BB .. CC - y  y a a  x  x a a  x  x  Entonces  Entonces  P  PAA  PF   PF   PA  PA  PF   PF  + + − − = = + + = = ⇒ ⇒ = =

eliminando la raDz cuadradaB eliminando la raDz cuadradaB

/ / / / / / ++ ** ++ ** x x++aa ==  x x−−aa ++ yy

resol,amos las operaciones indicadas

resol,amos las operaciones indicadas y transpongamosBy transpongamosB ax ax  y  y  y  y  x  x ax ax  x  x a a ax ax  x  x 1 1 / / / / / / / / / / / / / / / / = = + + + + − − = = + + + +

que es la ecuaci3n can3nica de la parábola de ,=rtice el origen con eje sobre el eje < y que es la ecuaci3n can3nica de la parábola de ,=rtice el origen con eje sobre el eje < y el foco a una distancia Ea6 del ,=rtice.

el foco a una distancia Ea6 del ,=rtice. "e la ecuaci3n y

"e la ecuaci3n y// ? 1a> despejando el ,alor de : se obtieneB ? 1a> despejando el ,alor de : se obtieneB  y y// == ±±// axax para que y para que y sea real a y > deben ser de igual signo.

sea real a y > deben ser de igual signo.

Si a F A entonces > F A la cur,a se abre 4acia la derec4a Si a F A entonces > F A la cur,a se abre 4acia la derec4a Si a G A entonces > G A

Si a G A entonces > G A la cur,a se abre 4acia la izquierdala cur,a se abre 4acia la izquierda

#

#CCUU%%CC!!N N ""# # $$% % &&%%RR''((OO$$% % ""# # 7788RRTTCC# # ##N N ##$ $ OORR99##N N ""## COOR"#N%"%S : #;# CONC"#NT# CON #$ #;# :

COOR"#N%"%S : #;# CONC"#NT# CON #$ #;# : $a e>centricidad de la parábola es

$a e>centricidad de la parábola es

Mgs. Mario O. Suárez I.

(3)

% % gual a - por lo tantoB

gual a - por lo tantoB

/ / / / ++ ** ++ A A ** BB .. CC -a a  y  y  x  x a a  y  y  Entonces  Entonces  P  PAA  PF   PF   P  PAA  PF   PF  − − + + − − = = + + = = ⇒ ⇒ = =

eliminando la raDz cuadradaB eliminando la raDz cuadradaB

/ / / / / / ++ ** ++ A A ** ++

** y y ++aa ==  x x−− ++  y y−−aa

resol,amos las operaciones indicadas

resol,amos las operaciones indicadas y transpongamosBy transpongamosB

ay ay  x  x a a ay ay  y  y  x  x a a ay ay  y  y 1 1 / / / / / / / / / / / / / / / / = = + + − − + + = = + + + +

Hue es la ecuaci3n can3nica de la parábola con ,=rtice en el origen eje sobre el eje : Hue es la ecuaci3n can3nica de la parábola con ,=rtice en el origen eje sobre el eje : foco a un

foco a una distancia a a distancia a del ,=rtice.del ,=rtice. Si a F A entonces y F A

Si a F A entonces y F A la cur,a se abre 4acia la arribala cur,a se abre 4acia la arriba Si a G A entonces y G A la cur,a se abre 4acia la abajo. Si a G A entonces y G A la cur,a se abre 4acia la abajo. $a longitud del lado recto a latus rectum *$R+ es

$a longitud del lado recto a latus rectum *$R+ es igual a 1 aigual a 1 a $R ? 1a

$R ? 1a

#CU%C!N "# $% &%R'(O$% "# 78RTC# *4I+ #;# &%R%$#$O %$ #;# < #CU%C!N "# $% &%R'(O$% "# 78RTC# *4I+ #;# &%R%$#$O %$ #;# <

Considere la gráfica de una parábola Considere la gráfica de una parábola cuyocuyo eje es una recta paralela al eje <. #l ,=rtice eje es una recta paralela al eje <. #l ,=rtice de la parábola está a una distancia 4 de : de la parábola está a una distancia 4 de : y a una distancia I de <. #l

y a una distancia I de <. #l ,=rtice por lo,=rtice por lo tanto tiene coordenadas 7*4 I+.

(4)

/ / / / ++ ** J+ J+ KK ** x x hh aa  y y k k  a a h h  x  x  PF   PF   PA  PA − − + + + + − − = = + + − − = =

#liminando la raDz cuadradaB #liminando la raDz cuadradaB

/ / / / / / ++ ** J+ J+ KK ** ++ ** x x−−hh++aa ==  x x −− hh++aa ++  y y −−k k 

Resol,amos las operaciones indicadas

Resol,amos las operaciones indicadas y transpongamosBy transpongamosB

++ **

1 1 ++

** y y −−k k  // == aa  x x−−hh #cuaci3n #cuaci3n OrdinariaOrdinaria

#fe

#fectuctuanando do opeoperacracioniones es e e iguigualaalando ndo a a cecero ro se obtiese obtiene la ne la ecuecuaciaci3n gener3n general al de de unun  parábola con e

 parábola con eje paralelo al eje < je paralelo al eje < la misma que esla misma que esBB

A A / / = = + + + + +

+ Ex Ex  Dy Dy F F 

 y

 y #cuaci3n #cuaci3n 9eneral9eneral

#CU%C!N

#CU%C!N "# $% &"# $% &%R'(O$% "# 78R%R'(O$% "# 78RTC# TC# *4 I+ #;*4 I+ #;# &%# &%R%$#$O %$ #;# :R%$#$O %$ #;# : &or definici3nB &or definici3nB / / / / J+ J+ KK ** ++ ** x x hh  y y k k  aa a a k  k   y  y  PF   PF   PA  PA + + − − + + − − = = + + − − = = resol,iendo las

resol,iendo las operacionesoperacionesBB

++ ** 1 1 ++ ** x x −−hh // == aa  y y −−k k  #cuaci3n Ordinaria #cuaci3n Ordinaria

#fectuando las operaciones en la #fectuando las operaciones en la #cuaci3n ordinaria e igualando a #cuaci3n ordinaria e igualando a Cero se obtieneB Cero se obtieneB A A 1 1 1 1 / / A A 1 1 1 1 / / / / / / / / / / = = + + + + − − − − = = + + − − + + − − ak  ak  h h ay ay hx hx  x  x ak  ak  ay ay h h hx hx  x  x A A / / = = + + + + + + Dx Dx  Ey Ey F F   x

 x #cuaci3n #cuaci3n 9eneral9eneral

en donde B " ? @/ 4  # ? @1 a  2 ? 4

en donde B " ? @/ 4  # ? @1 a  2 ? 4 // L L 1 a 1 a I I  EJERCICIOS EJERCICIOS

-+ Mallar la ecuaci3n de la parábola cuyo ,=rtice esta en el origen de coordenadas -+ Mallar la ecuaci3n de la parábola cuyo ,=rtice esta en el origen de coordenadas sabiendo queB

sabiendo queB

a+ $a parábola está situ

a+ $a parábola está situada en el semiplanada en el semiplano derec4oo derec4o es  es sim=sim=trica con respetrica con respecto al cto al ejeeje O< y su distancia focal es 0/

O< y su distancia focal es 0/

 x  x  y  y  R  RBB // ==OO  b+

 b+ $a $a parábola está parábola está situada en situada en el el semiplano izquierdo semiplano izquierdo es es sim=trica sim=trica con respecto con respecto al al ejeeje O< y su distancia focal es -/

O< y su distancia focal es -/

 x  x  y  y  R  RBB // == −−// Mgs. Mario O. Suárez I. Mgs. Mario O. Suárez I. 11

(5)

c+ $a parábola está situada

c+ $a parábola está situada en el semiplano superior es sim=trica con respecto al eje en el semiplano superior es sim=trica con respecto al eje O:O: y su distancia focal es -P y su distancia focal es -P  y  y  x  x  R  R / / -BB // ==

d+ $a parábola está situada en el semiplano inferior es sim=trica con respecto al eje A: d+ $a parábola está situada en el semiplano inferior es sim=trica con respecto al eje A: y su distancia focal es 0/ y su distancia focal es 0/  y  y  x  x  R  RBB // == −−OO

/+ Mallar la ecuaci3n de la parábola cuyo ,=rtice está en el origen de coordenadas /+ Mallar la ecuaci3n de la parábola cuyo ,=rtice está en el origen de coordenadas sabiendo queB

sabiendo queB a+ $a parábola es

a+ $a parábola es sim=trica con respecto al eje A< sim=trica con respecto al eje A< y pasa por el y pasa por el punto %*Q+punto %*Q+

 x  x  y  y  R  RBB // ==11  b+ $a parábola e

 b+ $a parábola es sim=trica con ress sim=trica con respecto al eje A< pecto al eje A< y pasa por el puy pasa por el punto ( *@- 0+nto ( *@- 0+

 x  x  y  y  R  RBB // ==−−QQ

c+ $a parábola es sim=trica con respecto al eje A: y pasa por el punto C *--+ c+ $a parábola es sim=trica con respecto al eje A: y pasa por el punto C *--+

 y  y  x  x  R  RBB // ==−−//

d+ $a parábola es sim=trica con respecto al eje A: y pasa por el punto "*1@P+ d+ $a parábola es sim=trica con respecto al eje A: y pasa por el punto "*1@P+

 y  y  x  x  R  RBB // ==−−//

0+ Mallar las coordenadas del foco la longitud del latus rectum y la ecuaci3n de la 0+ Mallar las coordenadas del foco la longitud del latus rectum y la ecuaci3n de la directriz de

directriz de las parábolas siguientes. Representarlas gráficamente.las parábolas siguientes. Representarlas gráficamente. a+ y

a+ y//?> ?> RB RB 2*0/ 2*0/ A+ A+ $R $R ? ?   "irectrizB "irectrizB > > L L 0/ 0/ ? ? AA  b+ >

 b+ >// ? ? Py Py RB RB 2*A/+ 2*A/+ $R $R ? ? P "ireP "irectriz ctriz B B y y L/ L/ ? ? AA c+ 0y

c+ 0y// ? ? @1> @1> RB RB 2*@-0A+ 2*@-0A+ $R $R ? ? 10 "irectriz 10 "irectriz B B >@-0 >@-0 ? ? AA 1+ Calcular el radio focal del punto  de la parábola y

1+ Calcular el radio focal del punto  de la parábola y// ? /A ? /A> > si la abssi la abscisa del pcisa del punto unto  es igual a 

es igual a 

R ? -/ R ? -/ + Calcular el radio focal del punto  de la parábola y

+ Calcular el radio focal del punto  de la parábola y// ?-/>  ?-/> si la osi la ordenada rdenada del puntodel punto  es igual a 

 es igual a 

R? R? + Mallar en la parábola y

(6)

RB

RB &*Q-/+ &*Q-/+ &5*Q &5*Q -/+-/+ + Mallar la ecuaci3n de la parábola de ,=rtice en el origen y directriz la recta >L?A. + Mallar la ecuaci3n de la parábola de ,=rtice en el origen y directriz la recta >L?A. Mállese la longitud de su lado recto

Mállese la longitud de su lado recto

 x  x  y  y  R  RBB // ==/A/A   $R ? /A  $R ? /A

P+ Una cuerda de la parábola y

P+ Una cuerda de la parábola y// @ 1> ? A es un segmento de la recta >@/yL0?A 4allar su @ 1> ? A es un segmento de la recta >@/yL0?A 4allar su longitud longitud T T 1 1 BB  R  R

Q+ Mallar la ecuaci3n de lugar geom=trico de los puntos cuya distancia al punto fijo Q+ Mallar la ecuaci3n de lugar geom=trico de los puntos cuya distancia al punto fijo *@/ 0+ sea igual a su distancia a la

*@/ 0+ sea igual a su distancia a la recta >L ?Arecta >L ?A

A A /0 /0 P P O O BB y y// −−  x x−− xx−− ==  R  R

-A+ "adas las parábolas siguientes calcular las coordenadas del ,=rtice foco longitud -A+ "adas las parábolas siguientes calcular las coordenadas del ,=rtice foco longitud del latus rectum y la ecuaci3n de la directriz.

del latus rectum y la ecuaci3n de la directriz.

A A -0 -0 O O 1 1 ++ A A / / T T Q Q 0 0 ++ A A P P O O 1 1 ++ / / / / / / = = + + − − − − = = − − − − − − = = − − + + − −  x  x  y  y  y  y c c  y  y  x  x  x  x b b  x  x  y  y  y  y a a

--+ Mallar la ecuaci3n de una parábola cuyo eje sea paralelo al eje E>6 y que por los --+ Mallar la ecuaci3n de una parábola cuyo eje sea paralelo al eje E>6 y que por los  puntos %  puntos %*00+ (*+ y C*@0+*00+ (*+ y C*@0+ A A Q Q 1 1 / /

BB y y// −−  y y−− xx++ ==

 R  R

-/+ Mallar la ecuaci3n de una parábola de eje ,ertical y que pase por los puntos %*1+ -/+ Mallar la ecuaci3n de una parábola de eje ,ertical y que pase por los puntos %*1+ (*@/--+ y C*@1/-+ (*@/--+ y C*@1/-+ A A -A -A / / 1 1 BB x x// −−  x x−− yy++ ==  R  R

-0+ Mallar la ecuaci3n de la parábola cuyo ,=rtice este sobre la recta /y@0>?A que su eje -0+ Mallar la ecuaci3n de la parábola cuyo ,=rtice este sobre la recta /y@0>?A que su eje sea paralelo al de coordenadas > y que pase por los puntos *0+ y *@-+.

sea paralelo al de coordenadas > y que pase por los puntos *0+ y *@-+.

A A T0Q T0Q -AP -AP QP QP --A A -S -S 1 1 O O BB / / / / = = + + − − − − = = + + − − − −  x  x  y  y  y  y  x  x  y  y  y  y  R  R

-1+ #ncontrar la ecuaci3n de la parábola de ,=rtice 7*-+ distancia focal 0 y se abre -1+ #ncontrar la ecuaci3n de la parábola de ,=rtice 7*-+ distancia focal 0 y se abre 4acia la derec4a. 4acia la derec4a. A A S0 S0 -/ -/ / /

BB y y// −−  y y−− xx++ ==

 R  R

Mgs. Mario O. Suárez I.

Mgs. Mario O. Suárez I. 

RB 7*//+ 2*-/

RB 7*//+ 2*-/ /+  $R?  /+  $R?   "irecB >@/?A"irecB >@/?A RB7*0/

RB7*0/ @1+ 2*0/@10@1+ 2*0/@10+ + $R? $R? 00 RB7*0//+ 2*0

(7)

-+ #ncontrar la ecuaci3n de la parábola de 7*@/0+ distancia focal 0 y se abre a la -+ #ncontrar la ecuaci3n de la parábola de 7*@/0+ distancia focal 0 y se abre a la derec4a. derec4a. A A -T -T -/ -/ O O

BB y y// −−  y y−− xx −− ==

 R  R

-+ #ncontrar la ecuaci3n de la parábola de 7*@-/@-+ distancia focal 0/ y se abre a -+ #ncontrar la ecuaci3n de la parábola de 7*@-/@-+ distancia focal 0/ y se abre a la izquierda. la izquierda. A A 1 1 O O / /

BB y y// ++  y y ++ xx++ ==

 R  R

-+ Mallar la ecuaci3n de la parábola de 7*0@-+ y su directriz es la

-+ Mallar la ecuaci3n de la parábola de 7*0@-+ y su directriz es la recta y ? /recta y ? /

A A /--/ -/ O O BB x x//−−  x x++ yy++ ==  R  R

-P+ Mallar la ecuaci3n de la parábola de foco 2*@/@-+ y cuyo latus rectum es el -P+ Mallar la ecuaci3n de la parábola de foco 2*@/@-+ y cuyo latus rectum es el segmento entre los puntos *@//+ y *@/@1+

segmento entre los puntos *@//+ y *@/@1+

-Q+ -Q+ Mallar la ecuaci3n de la parábola de foco 2*01+ y directriz >@-?A

Mallar la ecuaci3n de la parábola de foco 2*01+ y directriz >@-?A

A A /1 /1 1 1 P P

BB y y// −−  y y−− xx++ ==

 R  R

/A+ Mallar la ecuaci3n de la parábola de 2*@--+ y directriz >

/A+ Mallar la ecuaci3n de la parábola de 2*@--+ y directriz > Ly   ? ALy   ? A

A A /-O O 1 1 / /

BB x x// ++ y y// −−  xy xy++  x x++ yy −− ==

 R  R A A 1 1 O O / / A A /A /A O O / / BB / / / / = = + + + + + + = = − − − − + +  x  x  y  y  y  y  x  x  y  y  y  y  R  R

Figure

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