Capítulo 3 Tensión y deformación. Comportamiento elástico.

1

Capítulo 3

Tensión y deformación.

Comportamiento elástico.

Índice general

1. Noción de tensión y deformación. Estados de tensiones: tensión normal, tensión a cortadura y tensión hidrostática

2. Ley de Hooke. Módulo elástico

3. Coeficiente de expansión térmica

4. Generalización de los conceptos de tensión y deformación en un punto:

• Tensión en un punto

• Transformación de las componentes de tensión

• Deformación en un punto

• Transformación de las componentes de deformación

• Tensiones hidrostáticas y deformaciones volumétricas

5. Relaciones tensión-deformación para un material isótropo elástico lineal

3

1. Tensión y deformación

• Estados de tensión: tensión normal, tensión de cortadura y tensión hidrostática

• Tensión normal: la fuerza actúa en dirección perpendicular a la superficie. Puede ser de tracción (positiva) o de compresión (negativa)

L0 L1

1. Tensión y deformación

• Tensión normal: Intensidad de fuerza normal por unidad de

superficie

Unidades: Pa (N/m2_{) (suelen utilizarse los MPa)}

• Deformación normal: respuesta del material a la aplicación de la tensión. Se mide como el cambio relativo de longitud en la dirección de aplicación de la fuerza (lo que se estira o se encoge)

0

A

F

=

σ

0 0 1

L

L

L

−

=

ε

L0 L1

5

1. Tensión y deformación

• Tensión de cortadura: la fuerza actúa en dirección paralela a la superficie. La tensión de cortadura se define como la intensidad de fuerza tangencial por unidad de superficie

Unidades: Pa (N/m2_{) (suelen utilizarse los MPa)}

• Deformación tangencial: mide cuando se distorsiona la forma al

aplicar una la tensión de cortadura (la distorsión que sufre un ángulo que inicialmente era π/2):

(si γ pequeño) 0

A

F

=

τ

γ

γ

γ

=

∆

=

tan

≈

0 0

x

y

1. Tensión y deformación

• Tensión hidrostática: tres fuerzas perpendiculares e iguales entre sí (una presión). La tensión hidrostática se define como la presión a la que está sometido el cuerpo (signo: contrario a la presión)

Unidades: Pa (N/m2_{) (suelen utilizarse los MPa)}

• Deformación volumétrica: mide cuando se distorsiona la forma al

aplicar una la tensión de cortadura:

p

h

=

−

σ

0 0

V

V

V

V

−

=

ε

7

1. Tensión y deformación

• Ejemplos:

2. Deformación elástica. Ley de Hooke

• La deformación inicial de la mayoría de los sólidos es elástica. Eso quiere decir que la deformación es reversible al dejar de aplicar la tensión, es decir, que el sólido recupera su forma inicial.

• En la mayoría de los casos, la relación tensión-deformación en el régimen elástico es lineal, es decir:

(Ley de Hooke) donde

E

: módulo de Young (Unidades: [Pa])

• En el caso de que la tensión aplicada sea de cortadura:

donde

G

: módulo de cortadura (Unidades: [Pa])

ε

σ

= E

⋅

γ

τ

= G

⋅

9

2. Deformación elástica. Ley de Hooke

V

h

K

ε

σ

=

⋅

• Existen otras constantes elásticas importantes:

• Módulo de Poisson

ν

: mide la deformación transversal originada por una deformación normal:

• Módulo de rigidez volumétrica Κ:

n t

υ

ε

ε

=

−

⋅

0 0 0 0

x

x

x

y

y

y

−

₌

₋

_υ

_⋅

−

5

.

0

1

<

<

−

υ

0

>

K

2. Deformación elástica. Ley de Hooke

• No existe una relación fija entre G y E, pero habitualmente G~0.4 E.

• Para un material elásticamente isótropo, sólo son necesarias dos constantes elásticas para definir el comportamiento del material. Es decir, que de las cuatro constantes presentadas E, G, ν y K sólo dos son independientes (como veremos más adelante)

• Sin embargo, el comportamiento de un material elásticamente anisótropo necesita de más constantes elásticas, cómo veremos más adelante

11

2 Deformación elástica

•

Módulo de Young

–

Simbolo:

Ε

–

Unidades: GPa

–

Relación entre la

tensión aplicada a

un material y la

deformación con la

que éste responde

2. Deformación elástica. Ley de Hooke

• E depende del tipo de enlace y de la estructura cristalina. Así, E depende de la T pero es relativamente insensible a la microestructura del material.

13

3. Coeficiente de expansión térmica

• Los materiales se dilatan al aumentar la temperatura y se contraen al disminuirla, ¿por qué?

• La respuesta se puede encontrar en la asimetría del potencial del enlace interatómico. Al aumentar la temperatura, aumente la

separación media entre los átomos, haciendo que el material se dilate. Así, un material con enlace fuerte, tendrá un coeficiente de expansión térmica pequeño.

3. Coeficiente de expansión térmica

• Definición:

)

(

0 1

T

T

K

CTE

T

−

=

−

ε

To To T To To T T

y

y

y

x

x

x

−

₌

−

=

ε

15

3. Coeficiente de expansión térmica

• La forma del potencial interatómico hace que al aumentar la temperatura, aumente la separación media entre los átomos, haciendo que el material se dilate. Así, un material con enlace fuerte, tendrá un coeficiente de expansión térmica pequeño.

4. Tensión y deformación en un punto.

4.1 Tensión en un punto

• Hasta ahora, en los ejemplos que hemos visto, la tensión era uniforme en toda la sección del cuerpo pero eso no es siempre así.

• Supongamos el caso general de un cuerpo de forma arbitraria sometido a esfuerzos (fuerzas de superficie y fuerzas de volumen). Para conocer la tensión en el punto 0 con respecto al plano mn, sustituimos la parte A del cuerpo por un sistema de fuerzas que mantenga a la parte B en la misma posición. Si ∆A es la superficie de una región que rodea al punto 0 y ∆F, la fuerza que actúa en esa región, entonces la tensión σ en el punto 0 con respecto al plano mn viene dada por:

NOTA: Como existen infinitos planos que pasan por 0, existen infinitos valores de la tensión σ en el punto 0. El valor de una tensión siempre está asociado a un plano. Además, como tanto la fuerza como la superficie son magnitudes vectoriales (módulo y dirección), la tensión tiene asociadas dos familias de cosenos directores, por lo que el la tensión es un tensor de 2º orden.

A

F

A

∆

∆

=

→ ∆

lim

0

σ

17

4. Tensión y deformación en un punto.

• Como la fuerza ∆F no tiene por qué ser perpendicular al plano ∆A, la fuerza se descompone en sus componentes normal y tangencial:

• Por lo tanto, σ_ijrepresenta una componente de tensión que actúa sobre el plano i en dirección j:

– Cuando i=j, la tensión es normal: σ_i – Cuando i≠j, la tensión es de cortadura τ_ij

Convención de signos: σ_ij>0 si el sentido de la fuerza en dirección j coincide con el de la normal a la superficie i hacia fuera del volumen; σ_ij < 0 en caso contrario.

xz xz x z A xy xy x y A x xx x x A

A

F

A

F

A

F

x x x

τ

σ

τ

σ

σ

σ

=

=

∆

∆

=

=

∆

∆

=

=

∆

∆

→ ∆ → ∆ → ∆ 0 0 0

lim

lim

lim

4. Tensión y deformación en un punto.

• Tensión en un punto: En un cuerpo sometido a esfuerzos, definimos un sistema ortonormal de coordenadas. Consideramos entonces un elemento infinitesimal de volumen asociado al punto, limitado por caras paralelas a los tres planos ortogonales definidos por el sistema de referencia. Sobre cada cara actúan, en general, tres componentes de fuerza. Podemos, en primera aproximación, definir las tensiones actuantes en ese punto como componentes de “intensidad de fuerza”, o componentes de la fuerza por unidad de superficie que se transmite a través de cada cara:

siendo: i = j tensiones normales i ≠ j tensiones de cortadura

donde Aj es el elemento de superficie perpendicular a la dirección j y Fi la componente de fuerza transmitida a través de Aj en la dirección i.

j i ij

dA

dF

=

σ

19

4. Tensión y deformación en un punto.

• Considerando las 3 direcciones de referencia, resultan 9 componentes de tensión. Consideraciones de equilibrio de fuerzas y momentos, reducen las componentes independientes a 6:

y por tanto, el tensor de tensiones es una matriz simétrica.

• Por ej, si planteamos el equilibrio de momentos en dirección z:

ji ij

τ

τ

=





















=

z zy zx yz y yx xz xy x ij

σ

τ

τ

τ

σ

τ

τ

τ

σ

σ

yx xy

τ

τ

=

4. Tensión y deformación en un punto.

4.2 Transformación de las componentes de tensión

Considerando dos sistemas de referencia ortonormales (x, y, z) y (x´, y´, z´) cuyos cosenos directores son , siendo el ángulo formado por las direcciones i´y j del 2º y 1er_{sistema de referencia respectivamente, la expresión para la transformación}

de las componentes de tensión del 1er_{al 2º sistema de referencia son:}

o en notación matricial: j i j i l_′ =cosθ_′

∑

∑

= =

=

3 1 ´ ´ 3 1 ´ ´ l kl l j k i k j i

l

l

σ

σ

j i′

θ

( ) ( )( )( )

( )





























































=

=

_{′ ′} 33 23 13 32 22 12 31 21 11 33 32 31 23 22 21 13 12 11 ´ ´ ´ ´

l

l

l

l

l

l

l

l

l

l

l

l

l

l

l

l

l

l

l

l

l

z zy zx yz y yx xz xy x y x T j i ij j i j i

σ

τ

τ

τ

σ

τ

τ

σ

σ

σ

σ

21

4. Tensión y deformación en un punto.

Caso de tensión plana

Supongamos que conocemos las componentes de tensión en el punto 0 referidas al sistema de coordenadas {x,y} y que queremos conocer las componentes de tensión referidas al sistema {x’, y’}:

Si definimos el plano AB, a una distanca infinitesimal del punto 0, podemos aplicar el equilibrio de fuerzas en direcciones x’ e y’:

y

cos

sin

y

sin

cos

θ

θ

θ

θ

+

−

=

+

=

′

+

=

+

=

′

′ ′ ′ ′

x

y

l

x

l

y

x

y

l

x

l

x

y y x y y x x x θ σ θ τ θ τ θ σ

σ cos sin cos sin

0⇒ ⋅ = ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ =

∑

Fx′ x′ AB x OB xy OB yx OA y OA θ σ θ θ τ θ σ

σ _{= ⋅cos}2 _{+2 ⋅sin ⋅cos + ⋅sin}2

′ x xy y x θ σ θ τ θ τ θ σ

τ cos sin cos sin

0⇒ _{' '}⋅ = ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ =

∑

Fy′ xy AB y OA xy OA xy OB x OB

(

σ σ

)

θ θ τ

(

θ θ

)

τ 2 2

'= − ⋅sin ⋅cos + ⋅ cos −sin

′y y x xy

x

4. Tensión y deformación en un punto.

Caso de tensión plana (cont´)

Para calcular σ_y’hacemos una operación similar:

θ σ θ θ τ θ σ

σ _{= ⋅cos}2 _{+2 ⋅sin ⋅cos + ⋅sin}2

′ x xy y

x

(

σ σ

)

θ θ τ

(

θ θ

)

τ 2 2

' = − ⋅sin ⋅cos + ⋅ cos −sin

′y y x xy x θ σ θ θ τ θ σ σ 2 2

'= x⋅sin −2 xy⋅sin ⋅cos + y⋅cos

y

Por lo tanto, en un caso de tensión plana, la transformación de las componentes de tensión viene dada por:

θ σ θ θ τ θ σ σ 2 2

' = x⋅sin −2 xy⋅sin ⋅cos + y⋅cos

23

4. Tensión y deformación en un punto.

4.3 Concepto de deformación incremental

• La forma de un material bajo tensión cambia: el material sufre deformaciones. El cambio de forma implica desplazamientos del material, pero no todos los

desplazamientos comportan deformaciones: los puntos de un sólido rígido también pueden sufrir desplazamientos, que pueden descomponerse en rotaciones y traslaciones. Para expresar las deformaciones, debemos eliminar de los desplazamientos totales de los puntos del cuerpo aquella porción que constituye movimiento del sólido rígido, es decir, meramente traslaciones y rotaciones, sin distorsión de forma.

• En un instante dado, la posición de cada punto del cuerpo material respecto a un sistema externo de referencia viene definida por las coordenadas (x, y, z). Bajo un conjunto de esfuerzos y con las restricciones de contorno pertinentes, los puntos del cuerpo habrán experimentado un campo de desplazamientos,

función de las coordenadas iniciales de cada punto.

)

,

,

(

x

y

x

u

u

_i

=

_i

4. Tensión y deformación en un punto.

Deformación plana

• Supongamos el paralelogramo ABCD. Bajo la acción de un campo de fuerzas, el paralelogramo se deforma según A’B’C’D’.

• Suponiendo desplazamientos pequeños, los desplazamientos relativos unitarios (por unidad de longitud) normales vendrán dados por:

x

u

dx

dx

dx

x

u

dx

AD

AD

P

A

AD

AD

D

A

u

x x xx

_∂

∂

=

−

∂

∂

+

=

−

≅

−

=

'

'

'

y

u

dy

dy

dy

y

u

dy

AB

AB

Q

A

AB

AB

B

A

u

y y yy

_∂

∂

=

−

∂

∂

+

=

−

≅

−

=

'

'

'

25

4. Tensión y deformación en un punto.

Deformación plana

• Además del cambio de dimensiones, el paralelogramo cambia de forma, por ej, el ángulo B’A’D’ era inicialmentede 90º.

• Los desplazamientos relativos unitarios tangenciales miden este cambio de forma.

• Así por ej, u_yx mide el giro sufrido por el segmento A’D’, inicialmente paralelo al eje x:

x

u

dx

x

u

dx

dx

x

u

P

A

P

D

P

A

D

ángulo

u

y x y yx

_∂

∂

≅

∂

∂

+

∂

∂

=

=

=

'

'

arctan

'

'

y

u

dy

y

u

dy

dy

y

u

Q

A

Q

B

Q

A

B

ángulo

u

x y x xy

_∂

∂

≅

∂

∂

+

∂

∂

=

=

=

'

'

arctan

'

'

4. Tensión y deformación en un punto.

• Por lo tanto, los desplazamientos relativos unitarios en el caso plano constituyen una matriz :

• Los desplazamientos relativos unitarios no sólo representan deformaciones, si no también rotaciones. Esto se puede deducir fácilmente, descomponiendo la matriz en su parte simétrica y su parte antisimétrica:

            ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ = y u x u y u x u u y y x x ij             ∂ ∂ − ∂ ∂ +             ∂ ∂ + ∂ ∂ ∂ ∂ =       ∂ ∂ ∂ ∂ = 2 1 0 2 1 x u y u x u y u x u y u x u u y x y x x x x

27

4. Tensión y deformación en un punto.

• Veamos un ejemplo sencillo:

      = 0 0 0

γ

ij u           − 0 2 2 0

γ

γ

          0 2 2 0

γ

γ

=

₊

Cortadura pura Cortadura simple Rotación

ij

u

=

ε

ij

+

ω

_ij

=

+

4. Tensión y deformación en un punto.

• Relación con la deformación a cortadura ingenieril De lo anterior es fácil deducir que:

xy x y xy xy y u x u ángulo ángulo ε γ γ 2 B' QA' P' A' D' = ∂ ∂ + ∂ ∂ = + =

29

4. Tensión y deformación en un punto.

• En un caso general, si consideramos el entorno infinitesimal de un punto durante un pequeño incremento de tiempo, se pueden haber producido los 9 desplazamientos relativos por unidad de longitud que constituyen la matriz:





































=

dz

du

dy

du

dx

du

dz

du

dy

du

dx

du

dz

du

dy

du

dx

du

u

z z z y y y z x x ij

4. Tensión y deformación en un punto.

• Descomponiendo la matriz de desplazamientos relativos unitarios en su parte simétrica y su parte antisimétrica:

• De la descomposición se deduce que:

– Los términos no nulos de la matriz antisimétrica representan rotaciones respecto a los ejes del sistema de referencia

– Los términos de la parte simétrica de la matriz de desplazamientos relativos unitarios constituyen las deformaciones.

                          −       −       ₋       ₋       −       − +                           +       +       ₊       ₊       +       + = 0 2 1 2 1 2 1 0 2 1 2 1 2 1 0 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 3 2 2 3 3 1 1 3 2 3 3 2 2 1 1 2 1 3 3 1 1 2 2 1 3 3 3 2 2 3 3 1 1 3 2 3 3 2 2 2 2 1 1 2 1 3 3 1 1 2 2 1 1 1 dx du dx du dx du dx du dx du dx du dx du dx du dx du dx du dx du dx du dx du dx du dx du dx du dx du dx du dx du dx du dx du dx du dx du dx du dx du dx du dx du u_ij

31

4. Tensión y deformación en un punto.

4.4 Transformación de las componentes de deformación:

• Teniendo en cuenta que ε_ij es también un tensor de segundo orden, son válidas también las ecuaciones obtenidas para la transformación de la tensión, es decir, que:

∑

∑

= =

=

3 1 ´ ´ 3 1 ´ ´ l kl l j k i k j i

l

l

ε

ε

( ) ( )( )( )

( )





























































=

=

_{′ ′} 33 23 13 32 22 12 31 21 11 33 32 31 23 22 21 13 12 11 ´ ´ ´ ´

l

l

l

l

l

l

l

l

l

l

l

l

l

l

l

l

l

l

l

l

z zy zx yz y yx xz xy x y x T j i ij j i j i

ε

ε

ε

ε

ε

ε

ε

ε

ε

σ

ε

ε

4. Tensión y deformación en un punto.

4.5 Tensiones hidrostáticas y deformaciones volumétricas

• Las deformaciones producen no sólo un cambio de volumen, si no también un cambio de la forma del cuerpo. Un estado de tensiones, σ_ij, contiene una componente hidrostática σ_h, que se expresa:

• La componente hidrostática de las tensiones produce sólo una deformación volumétrica del cuerpo que vendrá dada por:

(

xx yy zz

)

/

3

h

σ

σ

σ

σ

=

+

+

∑

=

=

+

+

=

3 1 i ii zz yy xx v

ε

ε

ε

ε

ε

33

5. Relaciones tensión-deformación para un

sólido elástico isótropo lineal

• En un caso general, y si el sólido se comporta de forma elástica lineal, serán necesarias 36 constantes elásticas para definir su comportamiento, ya que tenemos que relacionar dos tensores de segundo orden. En forma matricial, se puede expresar como:

donde C_ij son las constantes de rigidez. Alternativamente, se pueden definir las constantes de flexibilidad:

















































































=









































xy xz yz z y x xy xz yz z y x

C

C

C

C

C

C

C

C

C

C

γ

γ

γ

ε

ε

ε

τ

τ

τ

σ

σ

σ

66 61 22 21 16 15 14 13 12 11

...

...

{ } { }{ }

ε

=

S

σ

5. Relaciones tensión-deformación para un

sólido elástico isótropo lineal

• La condición de reversibilidad obliga a que la matriz de rigidez sea simétrica, con lo que el número de constantes se reduce a 21. Este es el número máximo de constantes que hay que conocer para definir el comportamiento elástico lineal de un material totalmente anisótropo.

• Sin embargo, sabemos que por ej un monocristal presenta ciertas simetrías dependiendo de su estructura cristalina, con lo que el número de constantes de rigidez independientes puede reducirse considerablemente.

• Por ej., un cristal cúbico referido a los ejes <100> del cristal:

















12 11 12 12 12 11

0

0

0

0

0

0

S

S

S

S

S

S

35

5. Relaciones tensión-deformación para un

sólido elástico isótropo lineal

•

En un caso isótropo: es independiente de la dirección de

medida.

•

Para hallar las relaciones tensión-deformación, es posible aplicar

el principio de superposición lineal

Estamos considerando un fenómeno reversible regido por una ley

lineal. Dadas varias situaciones de tensiones con sus

correspondientes deformaciones (a nivel de un elemento de

volumen, cada una de ellas es la solución de una caso particular

del sistema lineal general de 6 ecuaciones y 6 incógnitas definido

por las relaciones elásticas tensiones / deformaciones), se puede

aplicar el “principio de superposición lineal”: combinaciones

lineales de soluciones elásticas son a su vez soluciones elásticas

válidas. Este “principio” es muy útil para soluciones problemas

elásticos

5. Relaciones tensión-deformación para un

sólido elástico isótropo lineal

• Así, para un sólido elástico isótropo líneal podemos descomponer el caso general en 6 casos particulares:

E

x x

σ

ε

=

τ

xz

=

G

⋅

γ

xz

E

y y

σ

ε

=

E

z z

σ

ε

=

τ

xy

=

G

⋅

γ

xy

τ

yz

=

G

⋅

γ

yz

E

E

x z x y

σ

υ

ε

σ

υ

ε

−

=

−

=

E

E

y z y x

σ

υ

ε

σ

υ

ε

−

=

−

=

E

E

z y z x

σ

υ

ε

σ

υ

ε

−

=

−

=

37

5. Relaciones tensión-deformación para un

sólido elástico isótropo lineal

• Sumando todas: Y en forma matricial:

G

G

G

E

E

E

E

E

E

E

E

E

xy xy xz xz yz yz z y x z z y x y z y x x

τ

γ

τ

γ

τ

γ

σ

σ

υ

σ

υ

ε

σ

υ

σ

σ

υ

ε

σ

υ

σ

υ

σ

ε

=

=

=

+

−

−

=

−

+

−

=

−

−

=

                                        − − − − − − =                     xy xz yz z y x xy xz yz z y x G G G E E E E E E E E E τ τ τ σ σ σ υ υ υ υ υ υ γ γ γ ε ε ε / 1 0 0 0 0 0 0 / 1 0 0 0 0 0 0 / 1 0 0 0 0 0 0 / 1 / / 0 0 0 / / 1 / 0 0 0 / / / 1

5. Relaciones tensión-deformación para un

sólido elástico isótropo lineal

• Parecería que se requieren tres constantes para caracterizar el comportamiento elástico de un material isótropo lineal. Sin embargo, sólo dos son independientes. Se cumple que:

)

1

(

2

+

υ

=

E

G

• Asimismo, se cumple la siguiente relación:

)

2

1

(

3

−

υ

=

E

K

39

6. Trabajo de deformación elástica

• Se denomina energía de deformación elástica al trabajo realizado por las fuerzas exteriores para deformar elásticamente el material.

• Con la expresión de deformaciones normales y tangenciales, se puede deducir que el incremento de trabajo producido por unidad de volumen en el entorno de un punto en el que se producen los incrementos de deformaciones bajo el estado de tensiones es:

∑

∑

= =

=

+

+

+

+

=

3 1 3 1 23 23 22 22 11 11

...

...

j ij ij i

d

d

d

d

V

dW

_σ

_ε

_σ

_ε

_σ

_γ

_σ

_ε

7. Módulo elástico de materiales compuestos

Fibra vidrio + Poliester Piscina

Fibra vidrio + Poliester Yate

41

7. Módulo elástico de materiales compuestos

Dirección longitudinal: condición de igual deformación

σ

₁

σ

1

σ

_1m

σ

_1f

V

_m

V

_f m m m f f f

E

E

1 1 1 1 1

σ

ε

σ

ε

ε

=

=

=

=

σ

1

=

V

f

σ

1f

+

V

m

σ

1m

E

1

=

V

f

E

f

+

V

m

E

m

7. Módulo elástico de materiales compuestos

Dirección transversal: condición de igual tensión

σ

₂

σ

₂

σ

_2m

σ

_2f

V

_m

V

_f m m m f f f 2

E

2 2 2

E

2 2

σ

ε

σ

ε

σ

=

=

=

=

ε

ε

ε

=

+

43

7. Módulo elástico de materiales compuestos

0 200 400 600 800 1000 1200 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 Vf E ( G Pa ) Dirección longitudinal Dirección transversal

8. Diseño en ingeniería

•

Resistencia de materiales: cálculo ingenieril de las

tensiones y deformaciones

•

Ciencia de Materiales: entender cómo los materiales se

deforman y rompen ⇒ Selección de materiales y

desarrollo de nuevos materiales (por ejemplo, composites)

•

Vamos a ver algunos estados de cargas muy comunes

desde el punto de vista del material:

– Tracción de un cable

– Flexión de una viga

45

Diseño en ingeniería

•Caso 1: Cable a tracción

En muchas aplicaciones, es interesante seleccionar el material más ligero sin perder rigidez a tracción.

Sea un cable de longitud L y sección transversal A, sometido a una fuerza de tracción F. La elongación ∆L vendrá dada por:

Sea ρ la densidad del material, el peso vendrá dado por:

Entonces, para una elongación constante ∆L, eliminando el valor del área A de ambas ecuaciones, obtenemos:

Es decir, que a una rigidez constante (∆L constante), para minimizar el peso es necesario maximizar la relación E/ρ.

E L FL E L FL L Peso ρ ⋅ρ ∆ = ⋅ ∆ = 2 AE FL L L L E A F E ⇒ = ∆ ⇒ ∆ = =

ε

σ

Peso

=

ρ

LA

8. Diseño en ingeniería

• Cable a tracción (cont.). Representación de E versus ρ para distintos materiales:

E/

ρ CONSTANTE

47

Diseño en ingeniería

Investigación y Ciencia, Febrero, 1998 • Cable a tracción (cont.):

– Otro parámetro de diseño importante es su resistencia a tracción.

– La longitud de los puentes colgantes ha aumentado gracias a que se han desarrollado aceros con mayores resistencias a tracción.

8. Diseño en ingeniería

48

8. Diseño en ingeniería

•Caso 2: Flexión de una viga

Supongamos por ejemplo una barra empotrada en un extremo que soporta una carga transversal F en su extremo opuesto. Se puede calcular que la deflexión máxima δ (en el extremo libre) viene dada por:

donde I es el momento de inercia, que depende de la forma de la sección transversal. Para una sección rectangular:

h

b

EI

FL

3

3

=

δ

12

3

bh

I

=

P

L

δ

P

L

δ

Tensiones tractivas Tensiones compresivas Línea neutra

F

49

8. Diseño en ingeniería

•

Flexión de una viga (cont.):

Para aumentar la rigidez de la viga a flexión, es decir,

minimizar la deflexión δ, hay que maximizar el producto EI:

¾Para maximizar E hay que actuar sobre el material

o Por ejemplo, composites

¾Para maximizar I, hay que actuar sobre la forma de la sección transversal (cuanto más área tenga localizada lejos de la línea neutra, mayor será I). De ahí, la forma de muchas vigas

estructurales en forma de I

8. Diseño en ingeniería

•Flexión de una viga (cont.)

En muchas aplicaciones, es interesante seleccionar el material más ligero sin perder rigidez a flexión.

Sea un viga empotrada de longitud L y sección transversal cuadrada de lado b, sometido a una fuerza F en su extremo. Utilizando las ecuaciones de la página 13, tenemos que la deflexión vendrá dada por:

Sea ρ la densidad del material, el peso vendrá dado por:

Entonces, para una deflexión constante δ, eliminando el valor de b entre ambas ecuaciones, obtenemos:

EI

FL

3

3

=

δ

12

4

b

I

=

E

b

FL

4 3

4

=

⇒

δ

2

Lb

Peso

=

ρ

51

Diseño en ingeniería

• Flexión de una viga (cont.). Representación de E versus ρ para distintos materiales:

Nota:

CFRP: Carbon Fibre Reinforced plastic GFRP: Glass Fibre Reinforced plastic KFRP: Kevlar Fibre Reinforced plastic

E/

ρ

1/2

_CONSTANTE

8. Diseño en ingeniería

Ejemplos:

Aleaciones de Al

Composites de fibra de vidrio Composites de fibra de carbono

8. Diseño en ingeniería

Composites de fibra de vidrio Composites de fibra de carbono

53

Ejemplos de fallo de diseño

•

Se suele utilizar un coeficiente de seguridad n de forma que

las tensiones máximas en el material no superen cierto valor

umbral, por ej, σ

_Y

/n.

8. Diseño en ingeniería

Diseño en ingeniería

Ejemplos de fallo de diseño

•

El puente de Tacoma en el estado de Washington

– Se cayó el 7 de noviembre de 1940 debido a vibraciones producidas por

fuertes vientos debido a la insuficiente rigidez del puente a flexión.

55

Ejemplos de fallo de diseño

•

El puente del Milenio (Millenium bridge) sobre el Támesis

– También sufrió problemas de rigidez a flexión.

– Imágenes de la inauguración: 10 Junio 2000

8. Diseño en ingeniería

56 •Caso 3: Depósito cilíndrico a presión

Supongamos un tubo cerrado sometido a presión P. La relación entre la presión y las tensiones en las paredes del tubo se puede derivar, mediante un balance entre las fuerzas ejercidas por la presión y por las tensiones. Para un tubo de pared delgada (t<<R), se obtiene que:

8. Diseño en ingeniería

t

PR

=

θ

σ

t

PR

z

2

=

σ

θ

σ

σ

_θ

P

RL

P

Rt

2

2

=

⋅

⋅

θ

σ

t

P

_2R

L

z

σ

P

2

2

R

t

P

R

z

π

π

σ

⋅

⋅

=

⋅

σ

θ

σ

z

σ

z

σ

57 •Depósito cilíndrico a presión (cont.)

Por eso, es más frecuente que aparezcan grietas en dirección axial que en dirección circunferencial, porque las grietas tienden a crecer en el plano perpendicular a las máximas tensiones tractivas y, en este caso:

8. Diseño en ingeniería

z

σ

σ

_θ

= 2

⋅

t

P

_2R

L

Grieta

θ

σ

θ

σ

•

Tipos de tensiones en el fuselaje de un avión

Un avión está sometido a momentos flectores y a tensiones de presurización:

• Durante el vuelo, las alas sufren momentos flectores, que originan

tensiones compresivas en la superficie de arriba y tensiones tractivas en la de abajo (están tensiones son invertidas durante el aterrizaje)

• La cabina del avión está presurizada a 0.8 atm. A altura de crucero

(30.000-40.000 pies), la presión atmosférica es de 0.2-0.3 atm., por lo que existe una sobrepresión sobre la pared del fuselaje de 0.5-0.6 atm.

• Además, existirán momentos flectores sobre el fuselaje, ya que éste está soportado por las alas, pero la fuerza de la gravedad origina momentos flectores en las partes delantera y trasera.

59

8. Diseño en ingeniería

Ejemplos de fallo de diseño

•

Aterrizaje de un avión

– Se estrelló el 2 de Mayo 1980 en California durante pruebas de aterrizaje porque el piloto bajó demasiado deprisa durante el aterrizaje, generando tensiones en el fuselaje que excedieron su resistencia a flexión.