F
1y
o
x
q
=?
F
2Suma de DOS vectores angulares o concurrentes
Ley de los Senos
Ley de los
Cosenos
Triángulo oblicuo:
aquel que no tiene
ningún ángulo recto
y
F
1o
x
q
=?
F
2FR
=
?a
senA
b
senB
c
senC
y
A=?
60 N
40N
x
x´
y´
Suma de MÁS DE DOS vectores angulares o concurrentes
MÉTODO DEL POLÍGONO
d
1d
2d
3Diagrama de cuerpo libre
y
y´
x
x´
d3=120 km d2=60 km d1=100 km d3=120 kmθ
E O N S E E O O S N N d2=60 km d1=100 kmd
R=?
Método analítico:
1. Descomponer cada vector en sus componentes rectangulares
2. Calcular para cada vector la magnitud de la componente en X (usando la
función coseno) y la componente Y (usando la función seno).
3. Al conocer las magnitudes de todas las componentes en X y en Y para cada
vector, hacer la suma de las componentes en X y en Y, de tal forma que el
sistema original de vectores se reduzca a dos vectores perpendiculares; uno,
representando la resultante de todas las componentes X, y otro,
representando la resultante de todas las componentes Y.
4. Encontrar la magnitud resultante de los dos vectores perpendiculares
utilizando el teorema de Pitágoras.
5. Calcular el ángulo que forma la resultante con la horizontal, por medio de la
MÉTODO DEL TRIÁNGULO:
SE UTILIZA PARA SUMAR DOS VECTORES
SUPONGAMOS LOS SIGUIENTES VECTORES:
A
B
SERÍA:B
A
A
B
B
A
PROCEDIMIENTO:SE DIBUJA EL PRIMER VECTOR Y LUEGO, DESDE LA PUNTA DEL PRIMER VECTOR SE DIBUJA EL SEGUNDO VECTOR (PUNTA DEL
PRIMERO CON ORIGEN DEL SEGUNDO)
EL VECTOR SUMA SE DIBUJA DESDE EL ORIGEN DEL PRIMERO HASTA LA PUNTA DEL
ES UNA SUMA DE VECTORES, ENTRE EL PRIMER VECTOR Y EL OPUESTO DEL SEGUNDO VECTOR
A
B
ENTONCES, EL VECTOR RESTA SERÍA:
A
B
SUPONGAMOS LOS SIGUIENTES VECTORES:
APLICAREMOS EL MÉTODO DEL TRIÁNGULO PARA RESTARLOS
B
A
B
A
B
A
RESTA DE VECTORES
PRODUCTO ESCALAR
EL PRODUCTO ESCALAR DE DOS VECTORES A Y B, SE DENOTA
CONOCIDO TAMBIÉN COMO PRODUCTO PUNTO
• PRODUCTO – POR SER UNA MULTIPLICACIÓN
PARA DEFINIRLO SE DIBUJAN LOS VECTORES A MULTIPLICAR,
CON SUS ORIGENES JUNTOS EL RESULTADO DEL PRODUCTO ESCALAR DE DOS VECTORES,
ES UNA CANTIDAD ESCALAR, DE ALLÍ SU NOMBRE:
B
A
• ESCALAR – PORQUE EL RESULTADO ES UN ESCALAR
A
B
EL ÁNGULO
φ
ES EL MÁS PEQUEÑO FORMADO PÒR AMBOS VECTORESLUEGO, SE PROYECTA UNO DE LOS VECTORES SOBRE EL OTRO (SE DEBE FORMAR UN ÁNGULO DE 90º)
EN ESTE CASO PROYECTAMOS EL VECTOR B SOBRE EL VECTOR A
B∙cos f es la magnitud de la componente Bx
SE DEFINE AL PRODUCTO ESCALAR COMO LA MAGNITUD DEL VECTOR
A, MULTIPLICADA POR LA PROYECCIÓN DE B SOBRE A; ES DECIR,
Cos
B
A
B
A
A
B
90
º
Cos
B
PROYECCIÓN DE B SOBRE AEL PRODUCTO ESCALAR ES CONMUTATIVO:
A
B
B
PRODUCTO ESCALAR
PRODUCTO ESCALAR DE LOS VECTORES UNITARIOS CARTESIANOS
A
i
A
j
A
k
B
i
B
j
B
k
B
A
X Y Z X Y Z
SI CONOCEMOS LAS COMPONENTES DE LOS VECTORES A MULTIPLICAR:
1
º
0
1
1
i
j
j
k
k
Cos
i
0
º
90
1
1
j
j
k
i
k
Cos
i
PRODUCTO ESCALAR DE DOS VECTORES
k
A
j
A
i
A
A
X
Y
Z
k
B
j
B
i
B
B
X
Y
Z
PRODUCTO ESCALAR
k
k
B
A
j
k
B
A
i
k
B
A
k
j
B
A
j
j
B
A
i
j
B
A
k
i
B
A
j
i
B
A
i
i
B
A
B
A
Z Z Y Z X Z Z Y Y Y X Y Z X Y X X X
Z Z Y Y X XB
A
B
A
B
A
B
A
APLICANDO PROPIEDAD DISTRIBUTIVA:
A
i
A
j
A
k
B
i
B
j
B
k
B
A
X Y Z X Y Z
APLICANDO LO QUE OBTUVIMOS EN EL PRODUCTO ESCALAR DE LOS
PRODUCTO VECTORIAL
EL PRODUCTO VECTORIAL DE DOS VECTORES A Y B, SE DENOTA
(CONOCIDO TAMBIÉN COMO PRODUCTO CRUZ)
• PRODUCTO – POR SER UNA MULTIPLICACIÓN
YA QUE EL RESULTADO ES UN VECTOR, TIENE LAS TRES CARACTERÍSTICAS DE UN VECTOR:
EL RESULTADO DEL PRODUCTO VECTORIAL DE DOS VECTORES, ES UNA CANTIDAD VECTORIAL, DE ALLÍ SU NOMBRE:
B
A
• VECTORIAL – PORQUE EL RESULTADO ES UN VECTOR
MAGNITUD, O MODULO, DIRECCIÓN, Y
PRODUCTO VECTORIAL
PARA DEFINIRLO SE DIBUJAN LOS VECTORES A MULTIPLICAR, CON SUS ORIGENES JUNTOS
B
A
C
A
B
EL ÁNGULOφ
ES EL MÁS PEQUEÑO FORMADO PÒR AMBOS VECTORESSUPONGAMOS QUE EL VECTOR RESULTANTE DEL PRODUCTO VECTORIAL ES:
MAGNITUD, O MODULO, DE
C
ESTÁ DETERMINADA POR:
C
A
B
Sen
A
B
ÁREA=A·B·Sen φESTA MAGNITUD ES NUMÉRICAMENTE IGUAL AL ÁREA DEL PARALELOGRAMO
PRODUCTO VECTORIAL
DIRECCIÓN DEC
EL VECTOR RESULTANTE ES PERPENDICULAR AL PLANO FORMADO POR LOS VECTORES QUE SE MULTIPLICAN
SENTIDO DE
C
EJEMPLO:PARA OBTENER EL SENTIDO DEL VECTOR RESULTANTE DEL PRODUCTO VECTORIAL, SE
APLICA LA REGLA DE LA MANO DERECHA
SUPONGA QUE EL PLANO FORMADO POR LOS DOS VECTORES ESTÁ SOBRE ESTA DIAPOSITIVA
ENTONCES, EL VECTOR RESULTANTE SALDRÍA O ENTRARÍA A ESTA DIAPOSITIVA
¿REGLA DE LA MANO DERECHA?
PRODUCTO VECTORIAL
LA REGLA DE LA MANO DERECHA ESTABLECE LO SIGUIENTE:
1) SE UNEN CUATRO DEDOS DE LA MANO DERECHA (EXCEPTO EL PULGAR), Y SE APUNTAN SUS EXTREMOS HACIA DONDE APUNTE EL PRIMER VECTOR A MULTIPLICAR; EN ESTE CASO, HACIA EL VECTOR A
B
A
C
2) SE ESTIRA EL DEDO PULGAR, HASTA FORMAR UN ÁNGULO DE 90º CON LOS CUATRO DEDOS RESTANTES DE LA MANO DERECHA
3) SE CIERRA LA MANO (LOS CUATRO PRIMEROS DEDOS), HACIA EL SEGUNDO VECTOR A MULTIPLICAR; EN ESTE CASO, HACIA EL VECTOR B
4) EL SENTIDO DEL VECTOR RESULTANTE, C, SERÁ HACIA DONDE APUNTE EL DEDO PULGAR DE LA MANO DERECHA
