Resistencia de Materiales Total

CURSO RESISTENCIA DE

MATERIALES

INTRODUCCIÓN

• El objetivo principal de la Resistencia de

materiales es preparar al futuro ingeniero

para analizar y diseñar las diversas

estructuras y máquinas portadoras de

cargas.

• Tanto el análisis como el diseño de una

estructura dada involucra la determinación

INTRODUCCIÓN

• La

Resistencia de Materiales

, es la

disciplina que estudia las solicitaciones

internas y las deformaciones que se

producen en el cuerpo sometido a cargas

exteriores.

• La finalidad de esta disciplina es elaborar

métodos simples de cálculo, aceptables

desde el punto de vista práctico, de los

elementos típicos más frecuentes de las

estructuras, empleando para ello diversos

procedimientos aproximados.

INTRODUCCIÓN

• Se evaluarán diversas situaciones para

analizar el comportamiento de:

– Barras cargadas axialmente – Ejes

– Vigas y columnas – estructuras.

• Se determinarán los esfuerzos y las

OTRA DEFINICIÓN

• La resistencia de

materiales es el estudio

de las propiedades de los cuerpos sólidos que les permite resistir la acción de las fuerzas externas, el estudio de las fuerzas internas en los cuerpos y de las deformaciones

ocasionadas por las fuerzas externas.

• A diferencia de la Estática, que trata del estudio de las fuerzas que se inducen en las diferentes componentes de un sistema, analizándolo como cuerpo rígido, la

Resistencia de Materiales se ocupa del estudio de los efectos causados por la

acción de las cargas

externas que actúan sobre un sistema deformable.

CONCEPTOS DE RESISTENCIA

CONCEPTOS DE RESISTENCIA

DE MATERIALES

CONCEPTOS

• Los cuerpos rígidos e

indeformables no existen en la realidad. Sin embargo, las

deformaciones de los cuerpos, por la acción de cargas, son pequeñas y en general se detectan solamente con instrumentos especiales. • Las deformaciones muy

pequeñas no influyen

sensiblemente sobre las leyes del equilibrio y del movimiento del sólido, por ello la mecánica teórica prescinde de ellas.

• Sin el estudio de estas deformaciones, sería imposible resolver un problema de gran

importancia práctica, como es determinar las condiciones en las cuales puede fallar una pieza, o aquellas en las que ésta puede servir sin riesgo.

CONCEPTOS

Las construcciones que encuentra el ingeniero en su práctica, tienen en la mayoría de los casos, configuraciones bastante complejas. Sin embargo, los diversos elementos de estas se reducen a los siguientes tipos simples: B a r r a d e e j e c u r v o B a r r a d e e j e r e c t o P l a c a P r o p e l l a c o m p u e s t a p o r : C i l i n d r o s d e e j e r e c t o B o v e d a s

CONCEPTOS

• En la Resistencia de Materiales se estudian principalmente los

casos de barras que tienen sección

constante y eje recto. • La falla de una

estructura o de parte de la misma es la rotura, o sin llegar a ello, es la existencia de un estado inadecuado.

• Esto último puede ocurrir por varios motivos: – Deformaciones demasiado grandes – Falta de estabilidad de los materiales – Fisuraciones

– Pérdida del equilibrio estático por pandeo, abollamiento o vuelco, etc.

CONCEPTOS

Los problemas a resolver

haciendo uso de esta ciencia son de dos tipos:

– Dimensionamiento – Verificación

En el primer caso se trata de encontrar el material, las

formas y dimensiones más adecuadas de una pieza, de manera tal que ésta pueda cumplir su cometido:

– Con seguridad

– En perfecto estado – Con el menor costo

El segundo caso se presenta, cuando las dimensiones ya han sido prefijadas y es necesario conocer si son las adecuadas para resistir las solicitaciones a que va a ser sometido.

Hipótesis Fundamentales

a. El material se considera macizo.

(continuo)

El comportamiento real de los materiales cumple con esta hipótesis, aun cuando pueda detectarse la

presencia de poros o se considere la discontinuidad de la estructura de la materia, compuesta por átomos que no están en contacto rígido entre sí, ya que

existen espacios entre ellos y fuerzas que los

mantienen vinculados, formando una red ordenada. Esta hipótesis es la que permite considerar al material dentro del campo de las funciones continuas.

Hipótesis Fundamentales

b. El material de la pieza es homogéneo.

(idénticas propiedades en todos los

puntos)

El acero es un material altamente homogéneo; en cambio, la madera, el hormigón y la piedra son bastante heterogéneos. Sin embargo, los experimentos demuestran que los cálculos

basados en esta hipótesis son satisfactorios.

b. El material de la pieza es isótropo

Esto significa que admitimos que el material

mantiene idénticas propiedades en todas las

d. Las fuerzas interiores, originales, que

preceden a las cargas, son nulas

Las fuerzas interiores entre las partículas del material, cuyas distancias varían, se oponen al cambio de forma y dimensiones del cuerpo sometido a cargas. Al hablar de fuerzas interiores no consideramos las fuerzas

moleculares que existen en sólidos no sometidos a cargas.

Esta hipótesis no se cumple prácticamente en ninguno de los materiales. En piezas de acero se originan estas fuerzas debido al enfriamiento, en la madera por el

secamiento y en el hormigón durante el fraguado. Si estos efectos son importantes deben hacerse estudios especiales.

Hipótesis Fundamentales

e. Es válido el principio de superposición de efectos

Cuando se trata de sólidos deformables, este principio es válido cuando:

• Los desplazamientos de los puntos de aplicación de las

fuerzas son pequeños en comparación con las dimensiones del sólido.

• Los desplazamientos que acompañan a las deformaciones del sólido dependen linealmente de las cargas. Estos sólidos se denominan “sólidos linealmente deformables”

Como las deformaciones son pequeñas, las

ecuaciones de equilibrio correspondientes a un cuerpo cargado pueden plantearse sobre su configuración

inicial, es decir, sin deformaciones.

Lo anunciado en este último párrafo es válido en la

mayoría de los caso, no obstante, cuando se analice el problema del pandeo de una barra elástica se verá que este criterio no puede ser aplicado

Hipótesis Fundamentales

d. Es aplicable el principio de Saint –

Venant

– Este principio establece que el valor de las fuerzas interiores en los puntos de un

sólido, situado suficientemente lejos de los lugares de aplicación de las cargas,

depende muy poco del modo concreto de aplicación de las mismas

– Por este principio en muchos casos

podemos sustituir un sistema de fuerzas por otro estáticamente equivalente, lo que

puede conducir a la simplificación del cálculo.

d. Las cargas son estáticas o cuasi-estáticas

– Las cargas se dicen que son estáticas cuando demoran un tiempo infinito en

aplicarse, mientras que se denominan cuasi-estáticas cuando el tiempo de aplicación es suficientemente prolongado.

– Las cargas que se aplican en un tiempo muy reducido se denominan dinámicas y las

solicitaciones internas que producen son sensiblemente mayores que si fuesen

estáticas o cuasi-estáticas

MÉTODO

Al estudiar un objeto o sistema real se

debe comenzar por la

elección de un

esquema de cálculo.

Para realizar el cálculo de una estructura

es necesario separar lo importante de lo

que poco importante. Es decir, hay que

esquematizar la estructura prescindiendo

de todos aquellos factores que no influyen

significativamente sobre el

MÉTODO

Supongamos que se desea calcular la

resistencia del cable de un ascensor.

Debemos considerar ante todo el peso de la

cabina, su aceleración, y en el caso de que

se eleve a gran altura, el peso del cable. Así

mismo, podemos dejar de lado algunos

factores de poca importancia como la

resistencia aerodinámica que ofrece el

ascensor, la presión barométrica a distintas

alturas, la variación de la temperatura con la

altura, etc.

MÉTODO

Un mismo cuerpo puede tener esquemas de cálculo diferentes, según la

exactitud pretendida y según el aspecto del fenómeno que interesa analizar. A un mismo esquema de cálculo pueden corresponderle muchos objetos reales. Al escoger el esquema de cálculo se introducen ciertas simplificaciones en:

– La geometría del objeto. Un sólido muy alargado se

puede idealizar como una barra

– Los vínculos. Usualmente se consideran ideales

– Los sistema de fuerzas aplicados.

– Las propiedades de los materiales

MÉTODO

• El paso siguiente a la elaboración del esquema de cálculo corresponde a la resolución numérica del problema, para lo cual, las bases

fundamentales de la resistencia de materiales se apoyan en la estática.

• Y aunque ahí parecería que el trabajo ha concluido con la resolución matemática, es

necesario tener claro que lo que se ha resuelto no es el sistema real, sino un modelo

matemático. Esto significa que los resultados deben ser adecuadamente interpretados, y

eventualmente corregidos para cercarse lo más posible a la solución real.

Problema

En la figura, se esquematiza una barra cilíndrica de 3,5 m de largo y 10 kgf de peso (aplicada en un punto medio), está apoyada en

uno de sus extremos. Se le aplica la fuerza F₁ = 48 kgf en el otro

extremo y la fuerza F₂ = 15 kgf a 2,7 m del apoyo. ¿A qué

distancia debe aplicarse la fuerza F₃ = 50 kgf (con sentido igual a

F₂), para que la barra esté en equilibrio?

Leyes de Newton

• Primera Ley:

– Cuando un cuerpo está en reposo, o moviéndose con

velocidad constante sobre una trayectoria rectilínea, la

resultante de todas las

fuerzas ejercidas sobre él es nula.

• Segunda Ley:

– La aceleración de un cuerpo es proporcional a la fuerza resultante ejercida sobre el cuerpo, inversamente

proporcional a la masa del mismo y tiene la mima

dirección y sentido que la fuerza resultante.

• Tercera Ley:

– Si un cuerpo ejerce una fuerza sobre otro, el

segundo ejerce siempre sobre el primero otra fuerza de la misma intensidad, pero de sentido opuesto.

– A toda acción se opone una reacción

a m

Composición de Fuerzas

1 0 k g X k g 5 k g 3 0 ° E n u n a l f i l e r c l a v a d o e n u n t a b l e r o s e c o l o c a u n a p e q u e ñ a a n i l l a , a l a q u e e s t á n a t a d a s t r e s c u e r d a s . D o s d e l a s c u e r d a s p a s a n s o b r e p o l e a s , c o m o e s t a i n d i c a d o e n l a f i g u r a . C u a n d o s e s u s p e n d e n d e l a s c u e r d a s p e s o s d e 1 0 , 5 y X k g , l a c u e r d a q u e s o p o r t a e l p e s o d e 1 0 k g f o r m a u n á n g u l o d e 3 0 ° c o n l a h o r i z o n t a l . S e e n c o n t r a r á q u e p u e d e q u i t a r s e e l a l f i l e r y l a a n i l l a p e r m a n e c e r á e n r e p o s o b a j o l a a c c i ó n c o n j u n t a d e l a s t r a c c i o n e s d e l a s t r e s c u e r d a s . ¿ c u á n t o e s e l v a l o r X ?

Diagrama de Cuerpo libre

4 5 ° 8 0 k g X Y T T s e n 4 5 ° T c o s 4 5 ° 8 0 k g C U n t ip o c o r r ie n t e d e e s t r u c t u r a e n e l q u e in t e r v ie n e n c o m p r e s io n e s , a d e m á s d e t e n s io n e s C a l c u l a r l a t e n s i ó n d e l a c u e r d a y e l e m p u j e d i r i g i d o h a c i a a f u e r a d e l p u n t a l .

¿Qué entendemos por interacción?

En la imagen, se presenta para cada situación, cuáles son los cuerpos que interactúan y en qué consiste la interacción. La fuerza es una magnitud

física que sirve para explicar las interacciones entre cuerpos.

Los efectos de las interacciones son muchos. Nos centraremos inicialmente en definir la

capacidad de las fuerzas para crear deformaciones...

Interacción es la acción mutua entre dos o más objetos.

Esfuerzo y Deformación

• Los conceptos de

esfuerzo y deformación

pueden verse de manera elemental considerando el alargamiento de una barra prismática. Este

elemento es una barra de sección recta constante en toda su longitud y de eje recto.

• La barra esta cargada en sus extremos por fuerzas axiales P que producen un alargamiento uniforme por tracción de la barra

Esfuerzo y Deformación

• Haciendo un corte

imaginario (mm) en la barra,

perpendicularmente a su eje, se puede aislar parte de ella como un cuerpo libre.

• En el extremo derecho esta aplicada la fuerza de tracción P, y en el otro

extremo hay fuerzas que representan la acción de la parte separada de la barra sobre la porción considerada.

Esfuerzo y Deformación

• Las fuerzas están distribuidas

continuamente en la sección recta, en forma análoga a la distribución continua de la presión hidrostática sobre una superficie sumergida. • La intensidad de la

fuerza, o sea la fuerza por unidad de área se llama esfuerzo y

generalmente se designa por la letra griega σ

Deformación Unitaria

• La deformación se refiere a la variación relativa de la forma o dimensiones de un cuerpo cuando está sometido a esfuerzos.

UNIDADES

• Las unidades del sistema SI en estos análisis, con

P expresada en newtons (N) y A en m2, el esfuerzo

σ se expresará en N/m2.

Esta unidad se denomina

pascal (Pa). Sin embargo

esta es una unida muy pequeña, así que en la práctica se emplea es el

kilopascal (kPa), el

megapascal (Mpa), y el gigapascal (Gpa)

• En Estados Unidos las unidades empleadas son: Fuerza en libras y área en pulgadas cuadradas (in2). • Algunas conversiones básicas aproximadas: – 1MPa = 10 kgf/cm2 – 1.000 psi = 70 kgf/cm2 – 1 kgf = 10 N – 1 kgf/cm2 _{= 100 kPa}

ESFUERZO DE TRACCIÓN

• Consideremos una barra sólida, sometida a la acción de dos fuerzas iguales y opuestas,

además colineales. Ambas estarán en equilibrio, por lo que el sólido no puede

desplazarse y se verifica la ecuación de equilibrio: P + (-P) = 0

- P P

- P_i F_i - F_i P_i

• Tomemos un sector de la barra y aumentemos su tamaño hasta ver sus moléculas. Veremos pequeñas fuerzas tirando de cada molécula, que tratan de alejarlas de sus vecinas. Sin embargo la atracción entre

moléculas opone resistencia con una fuerza igual y contraria, lo que finalmente impide que las moléculas se alejen entre si.

Si tomamos un par de ellas veremos:

ESFUERZO DE TRACCIÓN

• Siendo Pi la acción sobre cada molécula generada por las fuerzas “P” y “Fi“ las

reacciones que opone el material generada por la atracción molecular (o Atómica). Si se

aumenta “P” por algún medio, aumenta la reacción Fi, que podrá crecer hasta un

determinado límite, más allá del cual las

moléculas se separan irremediablemente, y como consecuencia la barra aumentará su longitud en forma permanente.

Problema

60 0 m m 8 0 0 m m 5 0 m m 3 0 k N d = 2 0 m m B C A 5 0 m m 3 0 m m B A C C _x C _y A _x A_y 3 0 k N 0 , 8 m 0,6 m ( ) ( )( ) kN kN kN kN m kN m C A C A F A C C A F A A M y y y y y x x x x x x x c 30 0 30 : 0 40 0 : 0 40 0 8 . 0 30 6 . 0 : 0 = + = − + = ↑ + − = − = = + = → + + = = − = ↑ + ∑ ∑ ∑ Diagrama de cuerpo libre de la estructura B A A x Ay 3 0 k N 0 , 8 m B y B x Diagrama de cuerpo libre de AB ( ) ↑ = ← = → = = ⇒ = − = ↑ + ∑ 30kN , 40kN , kN 40 C C Ax x y 0 0 8 . 0 0 _{A A} M B y m y

Problema

60 0 m m 8 0 0 m m 5 0 m m 3 0 k N d = 2 0 m m B C A 5 0 m m 3 0 m m • La fuerza sobre el perno B son las fuerzas representadas en el triangulo de fuerzas: F B C F A B 3 0 k N 3 .0 4 . 0 5 .0 F _{A B} F _{B C} 3 0 k N kN kN

F

F

AB = 40 BC = 50

PROBLEMA

• Las fuerzas F’_AB y F’_BC que el perno B ejerce sobre, respectivamente, el

elemento AB y sobre la varilla BC son iguales y opuestas a F_AB y F_BC.

• Como los elementos están sometidos a dos fuerzas y ellas van a lo largo del eje, se dice que los elementos están

sometidos a carga axial

B A B C F _{B C} F A B F 'A B F '_{B C} C F B C F 'B C D A F A B _E F '_{A B} E D D compresión ten sió_n

PROBLEMA

• Si la varilla BC es de un acero que presenta un esfuerzo máximo permisible de σ_perm=165 MPa,

¿Puede soportar la varilla la carga a la que se le someterá?

(

)

MPa 159 + = × + = × × + = = × = × =       = = × + = + = = − − − Pa m N A P m m mm r A N kN F P _BC 6 2 6 3 2 6 2 3 2 2 3 10 159 10 314 10 50 10 314 10 10 2 20 10 50 50 σ π π π

PROBLEMA

• Para que el análisis de la estructura sea

completo, deberá incluirse la determinación del esfuerzo de compresión en el elemento AB, así como una investigación de los esfuerzos

producidos en los pasadores y en sus soportes. • También es necesario determinar si las

deformaciones producidas por la carga dada son aceptables

• Una consideración adicional, requerida por los elementos bajo compresión, involucra la

estabilidad del elemento, es decir, su capacidad para soportar una carga dada sin experimentar un cambio súbito de configuración.

PROBLEMA

• El papel del ingeniero no se restringe al análisis de las estructuras y las máquinas. Un asunto de mayor importancia para ellos es el diseño de

estructuras y máquinas nuevas, es decir, la

selección de los componentes apropiados para desempeñar una tarea dada.

• Como nuevo ejemplo tomemos la misma

estructura anterior y observemos que le ocurre si empleamos en ella aluminio con un esfuerzo permisible σ_perm = 100 Mpa.

PROBLEMA

• Debido a que la fuerza en la varilla BC = 50 kN bajo la carga dada, entonces:

• Se concluye que una varilla de aluminio de 26 mm. o de diámetro mayor, será adecuada.

mm d mm m A r r A como y m Pa N P A permisible 14 , 25 62 , 12 10 62 , 12 10 500 10 500 10 100 10 50 3 9 2 2 9 6 3 = = × = × = = ⇒ = × = × × = = − − − π π π σ

Propiedades mecánicas de los

materiales

• Cuando una fuerza actúa sobre un cuerpo, se

presentan fuerzas resistentes en las fibras del cuerpo que llamaremos fuerzas internas. Fuerza interna es la resistencia interior de un cuerpo a una fuerza externa. • El Esfuerzo significa la relación de la fuerza por

unidad de área.

• La Resistencia de un material, es la capacidad que tiene para resistir la acción de las fuerzas.

• Los esfuerzos básicos son: compresión, tensión y

cortante. Al hablar de la resistencia de un material hay

Propiedades

mecánicas

de los

materiales

• Rigidez: La propiedad que tiene un material para resistir

deformaciones se llama rigidez. Si, por ejemplo, dos bloques de igual tamaño, uno de acero y otro de madera están sujetos a cargas de compresión, el bloque de madera se acortara más que el de acero. La deformación de la madera es cerca de 30 veces mayor que la del acero, y se dice que éste último es, por lo tanto, más rígido.

• Elasticidad: es la habilidad de un material para recuperar sus dimensiones originales al retirar el esfuerzo aplicado.

• Plasticidad: es la capacidad de un material para

deformarse bajo la acción de un esfuerzo y retener dicha acción de deformación al retirarlo.

• Ductilidad: es la habilidad de un material para deformarse antes de fracturarse. Es una característica muy importante en el diseño estructural,

puesto que un material dúctil es usualmente muy resistente a cargas de impacto. Tiene además la ventaja de “avisar” cuando va a ocurrir la fractura, al hacerse visible su gran

Propiedades mecánicas de los

materiales

• Fragilidad: es lo opuesto a la ductilidad. Cuando un material es frágil no tiene resistencia a cargas de impacto y se fractura aún en carga estática sin previo aviso. • Límite de proporcionalidad: es

el punto de la curva en la gráfica de esfuerzo-deformación, hasta donde la deformación unitaria es proporcional al esfuerzo aplicado. • Punto de Cedencia (Límite de

Elasticidad): es el punto en

donde la deformación del material se produce sin incremento

sensible en el esfuerzo.

• Resistencia última: es el esfuerzo máximo basado en la sección transversal original, que puede resistir un material.

• Resistencia a la ruptura: es el esfuerzo basado en la sección original, que produce la fractura del material. Su importancia en el diseño estructural es relativa ya que al pasar el esfuerzo último se produce un fenómeno de

Propiedades mecánicas de los

materiales

• Módulo de elasticidad: es la pendiente de la parte recta del diagrama esfuerzo - deformación y por consiguiente, la constante de

proporcionalidad entre el esfuerzo y la deformación unitaria.

• Se denomina con la letra Ε y su valor para el acero es de 2,100,000 kg/cm2, la madera varía

entre 77,300 y 1,237,500 kg/cm2, y del concreto

es de 10,000 f’c, en donde f’c es la resistencia del concreto en kg/cm2.

DEFORMACIÓN SIMPLE

• Hemos visto hasta el momento la relación entre la fuerza (carga), la superficie y el esfuerzo.

• Ahora empezaremos a estudiar otro campo de la resistencia de materiales, los cambios de

forma, las deformaciones que acompañan un determinado estado de fuerzas.

• Aunque se limita al caso de barras cargadas axialmente, los principios y métodos que se

desarrollan son aplicables también a los casos más complejos de torsión y de flexión.

DIAGRAMA ESFUERZO - DEFORMACIÓN

• La resistencia de un material no es el

único criterio que debe utilizarse al

diseñar estructuras.

• Frecuentemente, la rigidez suele tener la

misma o mayor importancia.

• En menor grado otras propiedades tales

como la dureza, la tenacidad y la

ductilidad también influyen en la elección

de un material.

DIAGRAMA ESFUERZO - DEFORMACIÓN

• Todas estas propiedades se determinan

mediante pruebas, comparando los

resultados obtenidos con patrones

establecidos.

• Aunque la descripción completa de estas

pruebas corresponde al “ensayo de

materiales”, examinaremos una de ellas,

la prueba de tensión en el acero, dada su

importancia y la inapreciable ayuda que

proporciona en la introducción de otros

conceptos básicos.

DIAGRAMA ESFUERZO - DEFORMACIÓN

• Consideremos una probeta de acero

sujeta entre las mordazas de una

máquina de pruebas de tensión y

observemos simultáneamente la carga y

el alargamiento de una determinada

longitud de la misma.

• Los resultados se acostumbran a

presentar en un gráfico en el que en las

ordenadas se llevan las cargas y en

abscisas los correspondientes

alargamientos.

DIAGRAMA ESFUERZO – DEFORMACIÓN Esfuerzos límites L δ ε = A P = σ L im it e d e p r o p o r c io n a lid a d L í m it e d e e la s t ic id a d P u n t o d e f lu e n c ia ( o c e d e n c ia ) E s f u e r z o ú lt im o o lí m it e d e r e s is t e n c ia P u n t o d e r u p t u r a a p a r e n t e x x x x x Ley de Hooke: σ = Ε ε

Esfuerzo más allá del cual, el material no recupera totalmente su forma original al ser descargado. Queda con una deformación permanente

Tiene un considerable alargamiento sin que haya aumento de carga

Esfuerzo y Deformación reales,

comparados con la curva normal de

Esfuerzo - deformación

S

σ

Punto de cedencia en un acero templado

de bajo contenido de carbono.

Determinación del límite de

proporcionalidad al 0.2 %

L í m i t e a p a r e n t e d e p r o p o r c i o n a l i d a d D e f o r m a c ió n E sf ue rz o 0 . 2 % ( D e s p la z a m ie n t o )

Se aplica este concepto En aquellos materiales que No tienen un punto de

Fluencia bien definido, o que Carecen de él, mediante un procedimiento de equiparación con los que si lo tienen.

ESFUERZO DE TRABAJO Y FACTOR DE

SEGURIDAD

• El esfuerzo de trabajo es el esfuerzo real que soporta el material bajo la acción de unas

cargas, y no debe sobrepasar el esfuerzo

admisible, que es el máximo al que puede ser

sometido el material, con un cierto grado de seguridad en la estructura o elemento que se considere.

• En un diseño real, el esfuerzo admisible

σ

_wha de ser inferior al límite de proporcionalidad, con objeto de que pueda aplicarse en todo momento la ley de Hooke.

ESFUERZO DE TRABAJO Y FACTOR DE

SEGURIDAD

• Sin embargo, como es difícil determinar

exactamente el límite de proporcionalidad, se

acostumbra tomar como base para fijar el esfuerzo admisible el límite de

fluencia (σ_yp) o en su

defecto, el esfuerzo último dividiéndolos entre un

número N,

convenientemente elegido, que se llama factor o

coeficiente de seguridad.

N

N

ult ult w yp yp w

σ

o bien σ

σ

σ = , =

LEY DE HOOKE: Deformación Axial -

Distorsión

• En el diagrama esfuerzo deformación la

parte rectilínea se representa por la

pendiente de la recta que es la relación

entre el esfuerzo y la deformación. A esto

se le denomina módulo de elasticidad y

se representa por la letra E. Así:

ε σ ε σ E escribir a tumbra a se que E n deformació esfuerzo línea la de Pendiente = = = − : cos

LEY DE HOOKE: Deformación Axial -

Distorsión

• Fue Thomas Young, en el año de 1807,

quien introdujo la anterior expresión

matemática con una constante de

proporcionalidad que se llama módulo de

Young o módulo de elasticidad.

• Aunque da la impresión de que se trata de

una medida de las propiedades elásticas

del material, es una medida de su rigidez.

LEY DE HOOKE: Deformación Axial -

Distorsión

• Las unidades del

módulo de elasticidad son idénticas a las

unidades para el esfuerzo σ, puesto que la deformación ε es una cantidad adimensional. • Otra forma de expresión de la ley de Hooke, muy conveniente a veces, es la siguiente: E L E A L P igual es que lo o L E A P entonces L y A P pero E σ δ δ δ ε σ ε σ = = = = = = , : :

LEY DE HOOKE: Deformación Axial -

Distorsión

• La validez de estas ecuaciones debe

tener en cuenta las hipótesis siguientes:

– La carga ha de ser axial

– La barra debe ser homogénea y de sección constante

– El esfuerzo no debe sobrepasar el límite de proporcionalidad

Deformación Angular o por Cortante -

Distorsión

• Las fuerzas cortantes

producen una deformación angular o distorsión, de la

misma manera que las fuerzas axiales originan deformaciones longitudinales, pero con una diferencia fundamental.

• Un elemento sometido a tensión experimenta un

alargamiento, mientras que un elemento sometido a una

fuerza cortante no varía la longitud de sus lados,

manifestándose por el

contrario un cambio de forma, de rectángulo a paralelogramo como se observa en la figura.

P s

P _s

δs

L

Deformación Angular o por Cortante -

Distorsión

• El proceso puede imaginarse como producido por el desplazamiento

infinitesimal que origina una deformación transversal total δ_s,en una longitud L. • Por lo tanto: • Como _γ siempre es muy pequeño, entonces: P s P s δs L γ

L

s

δ

γ

=

tan

γ

γ

≈

tan

Así que: L

s

δ

Deformación Angular o por Cortante -

Distorsión

• Para ser más precisos, la distorsión es la variación experimentada por el

ángulo entre dos caras perpendiculares de un elemento diferencial.

• Sí suponemos que la ley de

Hook es válida en el

cortante, existe una relación lineal entre al distorsión y el esfuerzo cortante dada por:

γ

τ

=

G

En donde G es el módulo

de elasticidad al cortante

llamado a veces módulo de rigidez. La relación entre la deformación tangencial total y las fuerzas cortantes

aplicadas es:

G

A

VL

S s =

δ

donde V representa la

fuerza cortante que actúa sobre la sección de área A que la soporta

PROBLEMA

• Dos barras de acero AB y BC soportan una carga P = 30 kN, como se indica en al figura. La sección de AB es 300 mm2, y la de BC es

500 mm2. Si E = 200 GPa, determine el

desplazamiento horizontal y vertical del punto B. 4 . 0 m 3 .0 m L = 5 . 0 m A B θ C P = 3 0 k N A B θ _C B " B ' δA B _δ B C

PROBLEMA

• Empecemos por determinar las deformaciones totales producidas en cada barra por la acción de P. Del equilibrio se obtiene que: P_AB = 50 kN

a tensión y P_BC = 40 kN a compresión. Las

deformaciones correspondientes son:

to acortamien mm amiento al mm BC AB , 60 . 1 ) 10 200 ( ) 10 500 ( ) 4000 ( ) 10 40 ( arg , 17 . 4 ) 10 200 ( ) 10 300 ( ) 5000 ( ) 10 50 ( 9 6 3 9 6 3 = × × × = = × × × = − − δ δ E A L P =

δ

PROBLEMA

• Para analizar el efecto de estas deformaciones en el movimiento de B, imaginemos que se

desconectan entra si las barras AB y BC de manera que puedan

acortarse y alargarse, tal como se indica exageradamente en la

figura. Para reunir sus extremos B hay que girarlas alrededor de A y de C hasta que se encuentren en B”. Los arcos engendrados por

estas rotaciones son tan pequeños que se pueden reemplazar, sin

error apreciable, por rectas

perpendiculares a AB y BC; estas rectas que, se cortan en B’,

determinan la posición final de B

θ θ _y x δ δ A B = 4. 1 7 m m δ _{B C = 1 . 6 0 m m} B’ B

Problema

• En la figura se representa, a mayor escala, las

deformaciones δ_AB y δ_BC.El

desplazamiento total de B es el vector BB’ o δ dirigido como se indica.

• En la figura se observa que el desplazamiento horizontal de B o componente horizontal de δ , es: derecha la hacia mm BC h = δ =1,60 , δ θ θ _y x δ δ A B = 4. 17 m m _B δ B C = 1 . 6 0 m m B’

Problema θ θ _y x δ δ A B = 4. 1 7 m m δ B C = 1 . 6 0 m m l a b l = a + b b = 1 . 6 m m a = 4 . 1 7 c o s θ l = x s e n θ x s e n θ = 4 . 1 7 c o s θ + 1 . 6 x = ( 4 . 1 7 ( 4 / 5 ) + 1 . 6 ) / ( 3 / 5 ) x = 8 . 2 3 m m y = 9 . 0 9 m m L a m a g n it u d d e lo s á n g u lo s q u e g ir a n la s b a r r a s A B y B C s o n :   130 . 0 10 27 . 2 4000 09 . 9 0945 . 0 10 65 . 1 5000 23 . 8 3 3 = × = = = = × = = = − − rad L y rad L x BC BC AB AB α α

PROBLEMA A

Un tubo de aluminio esta rígidamente sujeto entre una barra de bronce y una de acero, según se

muestra en la figura. Las cargas axiales se

aplican en las posiciones indicadas. Determine el esfuerzo en cada material.

5 0 0 m m 6 0 0 m m 7 0 0 m m 2 0 k N 1 0 k N 1 5 k N 1 5 k N A = 7 0 0 m m 2 A = 1 0 0 0 m m 2 A = 8 0 0 m m 2 B r o n c e A l u m i n i o A c e r o

SOLUCIÓN PROBLEMA A

Para calcular el esfuerzo en cada sección, hay que determinar primero la

carga axial en cada una de estas. Los diagramas adecuados de cuerpo libre se muestran en la diapositiva siguiente. En cada sección la carga axial es: P_b = 20 kN (compresión) P_Al = 5 kN (compresión) P_a = 10 kN (tensión) 5 0 0 m m 6 0 0 m m 7 0 0 m m 2 0 k N 1 0 k N 1 5 k N 1 5 k N A = 7 0 0 m m 2 A = 1 0 0 0 m m 2 A = 8 0 0 m m 2 B r o n c e A l u m i n i o A c e r o 2 0 k N Pb 2 0 k N _{1 5 k N} PA l 2 0 k N 1 5 k N 1 5 k N P_a

SOLUCIÓN PROBLEMA A

Los esfuerzos en cada sección son:

MPa MPa MPa m N m N mm kN a Al b 5 . 12 5 6 . 28 10 6 . 28 10 700 10 20 700 20 2 6 2 6 3 2 = = = × = × × = = ₋ σ σ σ 5 0 0 m m 6 0 0 m m 7 0 0 m m 2 0 k N 1 0 k N 1 5 k N 1 5 k N A = 7 0 0 m m 2 A = 1 0 0 0 m m 2 A = 8 0 0 m m 2 B r o n c e A l u m i n i o A c e r o 2 0 k N Pb 2 0 k N _{1 5 k N} PA l 2 0 k N 1 5 k N 1 5 k N Pa

PROBLEMA B

• La probeta mostrada en la figura está compuesta por una varilla cilíndrica de acero de 1 in de diámetro y por dos manguitos de 1.5 in de diámetro exterior unidos a la varilla. Sabiendo que E = 29 x 106 psi, determine:

– La carga P tal que la deformación total sea de 0.002 in – La deformación correspondiente a la porción central BC.

2 in 2 in P P ' A B C D 1 . 5 " θ 1" θ 1 . 5 "θ 3 in

SOLUCIÓN PROBLEMA B

E A L P E A L P E A L P CD CD CD BC BC BC AB AB AB TOTAL = + + δ A B C D P P ' CD BC AB TOTAL δ δ δ δ = + + P P ' ' ' P P ' ' P P ' CD BC AB ' P P P P a similares son internas fuerzas Las P P Además, = = = E A L P = δ

SOLUCIÓN PROBLEMA B

( )

( )

( )

in in lb in in lb : es BC porción la de n deformació La kips lb P P P P P P BC AB AB AB 001255 . 0 10 29 4 1 3 529 . 9 53 , 9 529 . 9 78 . 4 4 10 29 002 . 0 1 3 25 . 2 4 10 29 4 002 . 0 10 29 4 5 . 1 2 10 29 4 0 . 1 3 10 29 4 5 . 1 2 002 . 0 2 6 2 6 6 6 2 6 2 6 2 = × ∗ ∗ × = = = ∗ × ∗ ∗ =       ₊ × ∗ = × ∗ ∗ ∗ + × ∗ ∗ ∗ + × ∗ ∗ ∗ = π δ π π π π π

Problema C

Se aplican dos fuerzas a la ménsula BCD como se

muestra en la figura.

a) Sabiendo que la varilla de control AB será de acero con un esfuerzo normal último de 600 MPa,

determine el diámetro de la varilla utilizando un factor de seguridad de 3.3.

b) El perno en C será de un acero con un esfuerzo

último al corte de 350 Mpa. Encuentre el diámetro del perno tomando en cuenta que el factor de seguridad será de 3.3.

c) Halle el espesor requerido de los soportes de la

ménsula en C sabiendo que el esfuerzo permisible de apoyo del acero empleado es de 300 Mpa. B D A 5,8 1c m m 3 0 c m 5 0 k N 1 5 k N P C d _{A B} 3 0 c m

Solución Problema C

Cuerpo libre ménsula

entera.

La reacción en C está representada por sus

componentes C_x y C_y. kN C kN kN C F kN C P C F kN P m kN m kN m P M y y y x x x c 65 0 15 50 0 40 0 0 40 0 ) 6 . 0 )( 15 ( ) 3 . 0 )( 50 ( ) 6 . 0 ( 0 = = − − = Σ = = − = Σ = = − − = Σ ↑ + Sí C_x y C_y son los componentes de la fuerza en el punto C, necesariamente la fuerza C es la hipotenusa

generada por estos dos vectores de fuerzas. Y corresponde a la fuerza de corte del perno. C = 76.3 kN B C D A 0.6 m _{5 0 k N 1 5 k N} P C x C y 3 0 c m 3 0 c m

Solución Problema C

a) Varilla de control AB

Como el factor de seguridad debe ser 3.3, el esfuerzo permisible será: mm d d m MPa kN P A kN P MPa MPa S F AB perm req v perno AB 74 . 16 4 10 220 8 . 181 40 : es ansversal sección tr la por requerida área el 40 Para 8 . 181 3 . 3 600 . . 2 2 6 = = × = = = = = = = − π σ σ σ

Solución Problema C

b) Corte en el perno C

Para un factor de seguridad de 3.3, se tiene:

. 4 . 21 360 4 360 1 . 106 2 3 . 76 2 doble cortante en encuentra se perno el Como 1 . 106 3 . 3 350 . . 2 2 2 mm mm d A mm MPa kN C A MPa MPa S F C req perm req perm = = = = = = = = = π τ τ τ ϑ d _C C F ₁ F ₂

Solución Problema C

c) Cojinete en C

Utilizando d = 22 mm., el área nominal de apoyo para cada ménsula es de 22 x t. Como la fuerza que soporta cada ménsula es de C/2 y el esfuerzo permisible de apoyo es de 300 MPa, se escribe

. 78 . 5 2 . 127 22 : tanto lo Por 2 . 127 300 2 ) 3 . 76 ( 2 2 mm t t mm MPa kN C A perm req = = = = = σ

Problema D

Se quiere punzonar una placa que tiene un

esfuerzo cortante último de 300 MPa., tal como se indica en la figura.

– Si el esfuerzo de

compresión admisible en el punto es de 400 MPa,

determine el máximo

espesor de la placa para punzonar un orificio de 100 mm de diámetro.

– Si la placa tiene un espesor de 10 mm, calcule el

máximo diámetro que puede punzonarse.

Solución

Problema

D

cm d d cm d P d P d P cm d V e d V mm e b cm d d e V d P a d A e d A A P A V máx punz corte punz adm corte último 3 4 4000 1 3000 V como 4 4000 4 1 3000 punzonarse puede que 10 ) 33 , 3 3000 4 4000 4 4000 ) 4 2 2 2 . 2 2 2 . . = × × = × × × ⇒ = × × = ⇒ × = × × × = ⇒ × × = = = × × × × = = × × = × = × × = = = π π π π σ π π τ φ π π π π π σ τ

Problema 5

Una varilla de acero de 2.2 m de longitud no debe estirarse más de 1.2 mm cuando de le aplica una carga de 8.5 kN. Sabiendo que E = 200 Gpa. Determinar el diámetro mínimo de la varilla y el esfuerzo normal correspondiente causado por la carga. L= 2.2 m = 0.0012 m P = 8.5 kN = 0.0085 N = 0.00085 kgf E = 200 Gpa = 0.2 Mpa = 2kgf/cm2 2 2 2 2 2 91 . 10 779 . 0 5 . 8 Además, varilla. la de diámetro mínimo el Es 996 . 0 4 779 0 2 0012 . 0 2 . 2 00085 . 0 : formula la Con cm kN cm kN A P σ cm d d A cm . A cm kgf m m kgf A E PL A AE PL = = = = ⇒ = = × × = = ⇒ = π δ δ

Quiz 1 (valor 6.7%)

Determine el máximo peso W que pueden soportar los cables

mostrados en la figura. Los esfuerzos en los

cables AB y AC no deben exceder 100 MPa y 50 MPa, respectivamente. Las áreas transversales de ambos son: 400 mm2 para AB y 200 mm2 para AC. 4 5 º 3 0 º W A B C

Cargas Repetidas. Fatiga

• Hasta el momento hemos considerado el

comportamiento de una probeta sujeta a

carga axial. En ella si el esfuerzo máximo

en una probeta no excede el límite

elástico del material, la probeta regresa a

sus condiciones iniciales cuando se retira

la carga.

• Podría concluirse que una carga dada

puede repetirse muchas veces, siempre y

cuando los esfuerzos permanezcan

Cargas Repetidas. Fatiga

• Esta conclusión es correcta para cargas

que se repiten unas cuantas docenas y

aun un centenar de veces. Sin embargo,

no es correcta cuando las cargas se

repiten millares o millones de veces.

• En tales casos, la fractura ocurrirá aun

cuando el esfuerzo sea mucho más bajo

que la resistencia estática a la fractura.

• Este fenómeno se conoce como FATIGA.

• Una falla de fatiga es de naturaleza frágil,

Cargas Repetidas. Fatiga

• La fatiga debe ser considerada en el

diseño de todos los elementos

estructurales y de máquinas que se

encuentran sujetos a cargas repetitivas o

fluctuantes.

• El número de ciclos de carga que puede

esperarse durante la vida útil del

componente varía mucho.

RELACIÓN DE POISSON

• Otro tipo de deformación elástica es la variación de las dimensiones transversales que acompañan a toda tensión o compresión axial

• Es fácil comprobar que si una barra se alarga por una tensión axial, sufre una reducción de sus dimensiones

transversales.

• POISSON comprobó que la relación entre las

deformaciones unitarias en estas direcciones es constante y se ha dado su nombre a esta relación

σy = 0

σx= P/A

RELACIÓN DE POISSON

• En todos los casos se supone que todos los materiales

considerados son

homogénos e

isotrópicos, es decir,

se supondrá que sus propiedades

mecánicas son

independientes tanto de la posición como lo de la dirección

• Esto significa que la deformación unitaria debe tener el mismo valor para cualquier dirección transversal. • Por lo tanto, debe

tenerse que:

ε

_y =

ε

_z

• Este valor se conoce como deformación lateral.

RELACIÓN DE POISSON

• En todos los materiales de ingeniería, la elongación que produce una fuerza axial de tensión P en la dirección de la fuerza se acompaña de una contracción en cualquier dirección transversal.

P P’

RELACIÓN DE POISSON

( )

axial

unitaria

n

deformació

lateral

unitaria

n

deformació

nu

=

ν

x z x y

ε

ε

ε

ε

ν

=

−

=

−

O

E

E

x z y x x

υσ

ε

ε

σ

ε

=

;

=

=

−

RELACIÓN DE POISSON

• La relación de Poisson permite generalizar la aplicación de la ley de Hooke al caso de

esfuerzos biaxiales.

• Por ejemplo, si un elemento está sometido

simultáneamente a esfuerzos de tensión según los ejes X y Y, la deformación en la dirección X debida σ_x es σ_x/E pero, al mismo tiempo, el

esfuerzo σ_y producirá una contracción lateral en la dirección X de valor υ∗σ_y/E, por lo que la

deformación resultante en la dirección X estará dada por:

RELACIÓN DE POISSON

)

2

(

)

1

(

E

E

E

E

x y y y x x

σ

υ

σ

ε

σ

υ

σ

ε

−

=

−

=

2 2

₁

)

(

;

1

)

(

υ

υε

ε

σ

υ

υε

ε

σ

−

+

=

−

+

=

E

y x

E

y y x x

PROBLEMA DEL BALANCÍN

Una tabla uniforme de 40N de peso soporta dos niños con un peso de 500N y

350N, respectivamente, como se muestra en la figura. Si el soporte se

encuentra bajo el centro de gravedad de la tabla y si el niño de 500N está a 1.5 m del centro, determine la fuerza N ejercida por el

soporte sobre la tabla. 4 0 N

N

1 , 5 m x m

3 5 0 N 5 0 0 N

PROBLEMA DEL BALANCÍN

Obsérvese que además de

N, las fuerzas externas que

actúan sobre la tabla son los pesos de los niños y el peso de la tabla, todo

actuando hacia abajo. Es posible suponer que el centro de gravedad de la tabla esta en el centro

geométrico, ya que la tabla es uniforme. Como el

sistema está en equilibrio, la fuerza hacia arriba N debe equilibrar a todas las

fuerzas hacia abajo.

m x x m o N N F_y 14 . 2 0 N 350 5 . 1 N 500 N 890 0 N 40 N 350 N 500 0 = = × − × = ∑ = = − − − = ∑ τ

Esfuerzos de Origen Térmico

• Consideremos una varilla homogénea AB con sección transversal uniforme, que descansa sobre una

superficie lisa. La

temperatura de la varilla se eleva en ∆T, se observa

que la varilla se alarga por una cantidad δτ,_, que es proporcional tanto al cambio de temperatura como a la longitud de la varilla.

( )

T L ∆ = α δ_τ • En donde α es el coeficiente de dilatación lineal, que se expresa en m/m º_{C, o simplemente} (ºC)-1, L es la longitud y ∆Τ es la variación de temperatura en ºC. • Los cambios de temperatura generan en los cuerpos dilataciones o contracciones, de manera que la deformación lineal

Esfuerzos de Origen Térmico

• Con la deformación δ_τ debe asociarse una deformación ε_τ= δ_τ /L. La ecuación:

( )

T

L

∆

=

α

δ

_τ

puede transformarse en:

T

∆

=

α

ε

_τ

La deformación ε_τ se conoce como deformación

unitaria térmica, pues es causada por el cambio de temperatura en un cuerpo. Aquí no hay esfuerzo asociado con la deformación.

Esfuerzos de Origen Térmico

• Ahora supongamos que la misma varilla

anterior se coloca entre dos soportes fijos

a una distancia L uno del otro.

Nuevamente no existe esfuerzo ni

deformación en esta condición inicial. Si

se eleva la temperatura en

∆

T, la varilla

no puede alargarse por las restricciones

en sus extremos. La elongación de la

varilla

δ

_τ

es por lo tanto 0. La deformación

en cualquier punto

ε

_τ

=

δ

_τ

/L

es también 0.

Esfuerzos de Origen Térmico

• Sin embargo los soporte ejercerán

fuerzas P y P’ iguales y opuestas sobre la varilla después que se haya elevado la temperatura para evitar su elongación. Se crea así, un estado de esfuerzo en la varilla. A B L A B L δτ L P P ' A B A B

Esfuerzos de Origen Térmico

• En la preparación para determinar el esfuerzo

σ originado por el cambio de temperatura ∆T, se

observa que el problema por resolver es

estáticamente indeterminado.

• Por lo tanto, primero debe calcularse la magnitud P de las reacciones en los

soportes a partir de que la varilla tiene una

deformación 0 L A _B A B A _B L P δτ δP

Esfuerzos de Origen Térmico

• Utilizando el método de superposición, se libera la varilla de su apoyo B y se le permite alargarse libremente mientras sufre el cambio de temperatura ∆T. • Como: L A _B A B A _B L P δ_τ δP

( )

T

L

∆

=

α

δ

_τ

Esfuerzos de Origen Térmico

• Aplicando ahora al extremo B la fuerza P que representa la reacción redundante y empleando la fórmula: L A _B A B A _B L P δ_τ δP E A L P P = δ • Expresando que la deformación total debe ser 0, se tiene:

Esfuerzos de Origen Térmico

L A _B A B A _B L P δτ δP

( )

( )

( )

T E A P T AE P AE PL L T P T ∆ − = = ∆ − = = + ∆ = + = α σ α α δ δ δ : es a temperatur de cambio al debido varilla la en esfuerzo el que y : que concluye se donde de 0

Problema Ilustrativo

• Una varilla de acero de 2.50 m de longitud está firmemente sujeta entre dos muros. Sí el

esfuerzo en la varilla es nulo a 20 ºC, determine el esfuerzo que aparecerá al descender la

temperatura hasta – 20 ºC. La sección es de

1200 mm2, α = 11.7 µm/(m.ºC), y E = 200 GN/m2.

Resolver el problema en los dos casos

siguientes: (a) muros completamente rígidos e indeformables, y (b) muros que ceden

ligeramente, acortándose su distancia en 0.5 mm al descender la temperatura de la barra.

Problema Ilustrativo

Caso a) Imaginemos que se

suelta la varilla del muro derecho. En estas

condiciones puede

producirse libremente la deformación térmica. El descenso de temperatura origina una contracción, representada por δ_T en la figura.

Para volver a unir la varilla al muro, se necesita aplicar a la varilla una fuerza de

tensión P que produzca una deformación por carga δ.

P

δτ

δP Del esquema de

deformaciones se deduce en este caso que δ_T = δ_P, esto es:

( )

T L ∆ = α δ_τ

_{( )}

( )

(

)(

)

( )

2 2 6 6 9 MN/m 6 . 93 N/m 10 6 . 93 40 10 7 . 11 10 200 = × = × × = ∆ = ∆ = = = − σ σ α σ α σ δ T E L T E L E A L P P

Problema Ilustrativo. Caso b)

P δ τ δ P A c e r c a m i e n t o δ _τ = δ _P + A c e r c a m i e n t o

( )

(

)

( )( )

( )

(

)

2 3 9 6 -MN/m 6 . 53 10 5 . 0 10 200 5 . 2 40 5 . 2 10 7 . 11 to Acercamien = × + × = × + = ∆ − σ σ σ α E L T L

Problema

Determine los valores del esfuerzo en las porciones AC y CB de la barra de acero mostrada, cuando la temperatura de la

barra es de -50 ºF,

sabiendo que existe un buen ajuste en ambos soportes rígidos cuando la temperatura es de +75 ºF. Utilice los valores de

E = 29x106 psi y α =

6.5x10-6/ºF para el acero

A C B

1 2 i n 1 2 i n

Problema

Primero se determinan las reacciones en los soportes. Como el problema es estáticamente indeterminado, se desprende la barra de su apoyo en b y se le deja pasar por el cambio de temperatura F º -125 F) º 75 ( F) º 50 (− = = ∆T -A C B A C B A C B 1 2 1 2 L ₁ L ₂ δ T δR ( )

(

)

( )( ) in 10 50 . 19 in 24 F º 125 F /º 10 5 . 6 3 6 − − × − = − × = ∆ = T T T L δ α δ R _B

Problema

Aplicando ahora la fuerza desconocida R_B en el extremo B, se aplica la ecuación siguiente para expresar la deformación correspondiente δ_R:

B R B R B R lb in in in in in psi R E A L P E A L P psi E R P P in A in A in L L ) 10 0345 . 1 ( 2 . 1 12 6 . 0 12 10 29 10 29 2 . 1 6 . 0 12 6 2 2 6 2 2 2 1 1 1 6 2 1 2 2 2 1 2 1 − × =     ₊ × = + = × = = = = = = = δ δ

Problema

Expresando que la deformación total de la barra debe ser cero como resultado de las restricciones impuestas, se escribe:

(

)

ksi A P ksi A P P P kips lb R R lb in in B B R T 71 . 15 42 . 31 : es barra, la de CB y AC porciones las en esfuerzo de valores Los kips. 85 . 18 son barra la de porciones dos las en fuerzas las que Note opuesta. y igual es A en reacción La 85 . 18 10 85 . 18 0 . 10 0345 . 1 . 10 50 . 19 0 2 2 2 1 1 1 2 1 3 6 3 = = = = = = = × = = × + × − = = + = − − σ σ δ δ δ δ

Problema

• No puede enfatizarse demasiado el hecho

de que, a pesar de que la deformación

total de la barra debe ser cero, ya que las

deformaciones de las porciones AC y CB

no son cero. Una solución para el

problema basada en la suposición de que

estas deformaciones son cero sería

equivocada.

• Tampoco puede suponerse que los

valores de la deformación unitaria en AC o

en CB sean iguales a cero.

Problema

Para ampliar este

punto, determinemos la deformación ε_AC en la porción AC de la

barra. La deformación

ε_AC puede dividirse en dos partes, una es la deformación térmica ε_T producida en la barra sin restricciones por el cambio de temperatura ∆_Τ .

(

)

(

)

in in T T T 6 6 10 5 . 812 F º 125 F /º 10 5 . 6 − − × − = − × = ∆ = ε α ε

Problema

La otra componente de ε_AC se asocia con el

esfuerzo σ₁ debido a la fuerza R_B aplicada a la barra. De la ley de Hooke, se expresa esta componente de la deformación como:

in in E in in psi psi E T 6 1 ac 6 6 3 1 10 271 : obtiene se AC, en n deformació la de s componente dos las Sumando 10 4 . 1083 10 29 10 42 . 31 − − × = + = × = × × =

σ

ε

ε

σ