Existencia de soluciones para un problema de Bénard-Marangoni

(pp. 1–8)

Existencia de soluciones para un problema de

B´

enard-Marangoni

R. Pardo

, H. Herrero

1 _{Dpto. de Matem´atica Aplicada, Facultad de Ciencias Qu´ımicas, Univ. Complutense de Madrid, 28040}

Madrid, Spain E-mail: rpardo@mat.ucm.es.

2 _{Dpto. de Matem´aticas, Facultad de Ciencias Qu´ımicas, Univ. de Castilla-La Mancha, 13071 Ciudad}

Real, Spain. E-mail: henar.herrero@uclm.es.

Palabras clave: Navier–Stokes, B´enard-Marangoni, bifurcaci´on

Resumen

Demostramos la existencia de soluciones d´ebiles para un problema estacionario de B´enard-Marangoni, son soluciones que bifurcan desde el estado b´asico conductivo.

1.

Introducci´

on

El problema de B´enard-Marangoni es un problema de convecci´on t´ermica en el que se tienen en cuenta los efectos del empuje vertical y la tensi´on superficial [1, 9, 7]. Est´a mode-lizado con un sistema de EDP’s de Navier-Stokes acopladas con la ecuaci´on del calor [2]. Utilizamos la aproximaci´on de Oberbeck–Boussinesq, que supone que la densidad es una funci´on lineal del incremento de temperatura en el t´ermino del empuje vertical, y es constante en los restantes t´erminos. Tambi´en supondremos que la tensi´on superficial es una funci´on lineal del incremento de temperatura y que la superficie libre no est´a deformada. Existen resultados te´oricos de existencia de soluciones para algunos problemas de este tipo [6], pero sin la condici´on de la tensi´on superficial. En dicha condici´on de contorno aparecen derivadas tangenciales del campo de temperatura. Para definir derivadas tangenciales en la frontera, en el sentido de las trazas, necesitaremos derivadas segundas en el interior del dominio. De este modo, el t´ermino en la frontera contiene derivadas del mismo orden que el t´ermino en el interior. Para sortear esta dificultad, consideramos la formulaci´on d´ebil. Mediante el teorema de la divergencia, transformamos la integral de frontera en una integral definida en el interior del dominio. Reformulamos el problema en sentido d´ebil. Nuestra formulaci´on es v´alida para cualquier dominio acotado con frontera plana en su

parte superior. Este resultado es una base para abordar la formulaci´on fuerte del problema completo y el estudio de bifurcaciones locales que se resuelve en la Ref. [8].

Obtenemos un resultado de bifurcaci´on local de soluciones d´ebiles basado en el Teorema de Crandall–Rabinowitz, ver [3], nuestro resultado principal es el teorema 7.

Modelizaci´

on

En las referencias [5, 4] se puede encontrar el modelo estacionario completo para este problema

− Pr ∆~u + Pr ∇p + (~u · ∇)~u = Pr R θ ~e3, in Ω (1)

−∆θ + (~u · ∇)θ = B

1 + Bu3, in Ω (2)

div ~u = 0, in Ω (3)

donde ~u es el campo de velocidades del fluido, θ su temperatura y p la presi´on. Los par´ametros del problema vienen representados por Pr, que es el n´umero de Prandtl, R el n´umero de Rayleigh y B, el n´umero de Biot. El n´umero de Prandtl resume las caracter´ısti-cas del fluido y el n´umero de Rayleigh representa el efecto del empuje vertical. El n´umero de Biot es proporcional al coeficiente de intercambio de calor de la superficie del fluido con la atm´osfera. Ω es un dominio acotado de R3 _{con fronteras planas en la direcci´on vertical.} Descomponemos la frontera ∂Ω en dos subdominios

Γ₁ := ∂Ω ∩ {x₃ = 1}, Γ₀ = ∂Ω\Γ₁. (4)

Consideraremos las siguientes condiciones de contorno

ui|Γ0 = 0, i = 1, 2, u3|∂Ω= 0, (5) ∂u_i ∂n + M ∂θ ∂xi = 0 on Γ1, i = 1, 2, (6) ∂θ ∂n ¯ ¯ ¯ ¯ Γ0\{x3=0} = 0, µ ∂θ ∂n + Bθ ¶¯_¯ ¯ ¯ Γ1 = 0, θ |_{x3=0}= 0. (7)

donde n es el vector normal exterior y M es el n´umero de Marangoni, proporcional al cociente entre fuerzas de tensi´on superficial (t´ermicas) y fuerzas viscosas.

Definiciones y notaci´

on

con el producto escalar y la norma inducida dados por

h~u, ~viX := 3 X i=1 Z Ω

para ~u = (u₁, u₂, u₃), ~v = (v₁, v₂, v₃) ∈ X. Consideramos el subespacio de X

X0 := {~u ∈ X : div ~u = 0}. (10)

Definimos an´alogamente el espacio de Hilbert Y := H1

0, {x3=0}(Ω) con el producto escalar y la norma siguientes hθ, ϑiY := Z Ω ∇θ · ∇ϑ + B Z Γ1 θϑ, kθkY := (hθ, θiY)1/2, (11)

Definimos ahora el espacio de Hilbert X := {u = (~u, θ) ∈ X × Y }, con el producto escalar y la norma dados por

hu, vi_X:= Prh~u, ~vi_X+ hθ, ϑi_Y, kuk_X :=¡Pr k~uk2_X + kθk2_Y¢1/2, (12) donde v := (~v, ϑ). Sea ahora X0 := X0× Y , X0 es un subespacio cerrado de X.

Denotaremos por X₀∗ el espacio dual de X0, obviamente X∗0 = X0∗× Y∗ donde X0∗, Y∗ denotan los espacios duales de X₀ e Y respectivamente. Dado f = ( ~f , g) ∈ X∗

0 × Y∗, el producto de dualidad vendr´a dado por

hf , viX∗

0,X0 := h ~f , ~viX0∗,X0 + hg, ϑiY∗,Y, ∀v = (~v, ϑ) ∈ X0× Y, (13) donde h ~f , ~vi_X∗

0,X0 denota el producto de dualidad de X0∗ a X0 y hg, ϑiY∗,Y el producto de dualidad Y∗ a Y. Se define la norma kf kX∗ 0 := sup © hf , viX∗ 0,X0 | v ∈ X0, kvkX0 ≤ 1 ª (14)

Formulaci´

on d´

ebil del problema lineal no-homog´

eneo

asocia-do

Consideremos en primer lugar el problema linear no-homog´eneo asociado. Vamos a desacoplar en este caso el problema en velocidad del problema en temperatura. El resultado principal es la proposici´on 5 en la que demostramos la existencia de soluciones.

Dada f = ( ~f , g) ∈ X∗

0buscamos funciones ~u, θ, p definidas en Ω que verifican el siguiente problema en sentido d´ebil

−∆~u + ∇p = f , en Ω,~ (15)

−∆θ = g , en Ω, (16)

div ~u = 0, en Ω, (17)

con las condiciones de contorno (5)-(7).

Esta ecuaci´on lineal puede desacoplarse del siguiente modo. En primer lugar resolve-mos la ecuaci´on para la temperatura: dado g calcular θ, que resuelve (16) junto con las condiciones de contorno mixtas (7). En segundo lugar calculamos la velocidad ~u resolvien-do el problema de Stokes (15), (17) junto con las condiciones de contorno mixtas de tipo

Dirichlet (5) y Neumann no-homog´eneas (6), donde la temperatura se introduce como un dato de frontera.

Primer paso: resolvemos la ecuaci´on de la temperatura. Dado g ∈ Y∗_{, diremos que θ}

es una soluci´on d´ebil de (16) con condiciones de frontera mixtas (7) si y s´olo si tenemos Z Ω ∇θ · ∇ϑ + B Z Γ1 θϑ = hg, ϑiY∗_,Y ∀ϑ ∈ H_{0, {x}1 3=0}(Ω). (18)

El Lema de Lax-Milgram y la definici´on de la norma en H1

0, {x3=0}(Ω), ver (11), implica la existencia de una soluci´on d´ebil.

Lema 1. Dado cualquier g ∈ Y∗ _{(dual de Y}

0), existe una ´unica θ ∈ H_{0, {x}1 _3=0}(Ω) que resuelve la formulaci´on d´ebil (18), y

||θ||_H1

0, {x3=0}(Ω)≤ ||g||Y∗. (19)

Segundo paso: resolvemos la ecuaci´on de la velocidad, introduciendo la temperatura como un dato de frontera conocido.

La temperatura ser´ıa la soluci´on d´ebil que nos proporciona el Lema 1. Para definir derivadas tangenciales en la frontera, en el sentido de las trazas, necesitar´ıamos derivadas segundas en el interior del dominio. El Lema 1 garantiza que la temperatura tiene derivadas primeras de cuadrado integrable, pero esto no es suficiente y se plantea un conflicto de reg-ularidad. Recurrimos al teorema de la divergencia y transformamos la integral de frontera en una integral definida en el interior del dominio. Reformulamos el problema en sentido d´ebil. Nuestra formulaci´on es v´alida para cualquier dominio acotado con frontera plana en su parte superior.

Lema 2. Sea Ω un dominio acotado con frontera ∂Ω Lipschitz, tal que ∂Ω = Γ0∪ Γ1 con Γ1 ⊂ {x3 = cte}. Si θ ∈ H2(Ω) entonces

Z Γ1 ∂θ ∂x1 v₁+ ∂θ ∂x2 v₂ = Z Ω ∇θ · ∂~v ∂x3 , ∀~v ∈ X₀. (20)

Las funciones Lipschitzianas son diferenciables en todos los puntos de su dominio, excepto en un conjunto de puntos de medida nula. Esto implica que en cada punto de la frontera de un dominio lipschitziano, excepto en un conjunto de medida cero, existe un plano tangente bien definido. Esto permite extender el Teorema de la divergencia a dominios Lipschitzianos Z Ω div ~F dx = Z ∂Ω ~

F · ~n, para todo dominio Lipschitz Ω, (21)

donde ~F ∈ W1,1_{(Ω; R}3_{) es un campo vectorial.}

Observaci´on 3. La demostraci´on del Lema 2 necesita cambiar el orden de las derivadas parciales segundas. El Teorema de Schwartz establece que las derivadas parciales cruzadas conmutan el orden para cualquier funci´on de clase C2_{(Ω). Adem´as, por definici´on de} derivada en sentido d´ebil

Z Ω ∂2θ ∂x3∂x1ψ = Z Ω θ ∂ 2_ψ ∂x3∂x1 = Z Ω θ ∂ 2_ψ ∂x1∂x3 = Z Ω ∂2θ ∂x1∂x3ψ, ∀ψ ∈ C 2 c(Ω)

donde C2

c(Ω) es el conjunto de funciones C2(Ω) con soporte compacto ω ⊂⊂ Ω. Por tanto,

si θ ∈ H2_{(Ω) entonces} ∂2_θ ∂x3∂x1 = ∂2θ ∂x1∂x3 , ∂2θ ∂x3∂x2 = ∂2θ ∂x2∂x3

, para casi todo x ∈ Ω. (22)

En particular, si θ ∈ H2_{(Ω) podemos asegurar que} Z Ω ∂2_θ ∂x3∂x1ψ = Z Ω ∂2_θ ∂x1∂x3ψ, Z Ω ∂2_θ ∂x3∂x2ψ = Z Ω ∂2_θ ∂x2∂x3ψ, ∀ψ ∈ L 2_{(Ω). (23)}

Demostraci´on del Lema 2. Sea ~n = (n₁, n₂, n₃), teniendo en cuenta la definici´on de Γ1, resulta que ~n|Γ1 = ~e3, y entonces

n₁= n₂ = 0, n₃ = 1, on Γ₁. (24)

Ahora, teniendo en cuenta (24) y el hecho de que ∂Ω = Γ0∪ Γ1 podemos escribir Z Γ1 ∂θ ∂x1 φ = Z Γ1 ∂θ ∂x1 φ n₃ = Z ∂Ω ∂θ ∂x1 φ n₃, ∀ φ ∈ H_{0, Γ}1 ₀(Ω). (25)

Adem´as, gracias al Teorema de la divergencia, tenemos que Z ∂Ω ∂θ ∂x1 φ n3 = Z Ω ∂ ∂x3 µ ∂θ ∂x1 φ ¶ = Z Ω ∂2_θ ∂x3∂x1 φ + ∂θ ∂x1 ∂φ ∂x3, (26) para cualquier φ ∈ H1_(Ω).

Teniendo en cuenta el Teorema de la divergencia, y la definici´on de vector normal en Γ1, ver (24), resulta que

Z Ω ∂ ∂x1 µ ∂θ ∂x3 φ ¶ = Z ∂Ω ∂θ ∂x3 φ n1 = Z Γ0 ∂θ ∂x3 φ n1+ Z Γ1 ∂θ ∂x3φ n1= 0, (27) para cualquier φ ∈ H_{0, Γ}1 ₀(Ω). Adem´as, Z Ω ∂ ∂x1 µ ∂θ ∂x3φ ¶ = Z Ω ∂2_θ ∂x1∂x3 φ + ∂θ ∂x3 ∂φ ∂x1, ∀ φ ∈ H 1_{(Ω), (28)}

en concecuencia, de (27) y (28), podemos escribir Z Ω ∂2_θ ∂x1∂x3 φ = − Z Ω ∂θ ∂x3 ∂φ ∂x1 , ∀ φ ∈ H_{0, Γ}1 ₀(Ω). (29)

De (25)-(26), recordando la igualdad de Schwarz de las derivadas segundas cruzadas, ver (22), y la ecuaci´on (29), deducimos, como primera conclusi´on, que

Z Γ1 ∂θ ∂x₁φ = Z Ω ∂θ ∂x₁ ∂φ ∂x₃ − ∂θ ∂x₃ ∂φ ∂x₁, ∀ φ ∈ H 1 0, Γ0(Ω). (30)

An´alogamente, sustituyendo x₁ por x₂ en (25)-(29) consecutivamente, obtenemos que es posible sustituir x1 por x2 en (30), y como segunda conclusion, tenemos

Z Γ1 ∂θ ∂x2 φ = Z Ω ∂θ ∂x2 ∂φ ∂x3 − ∂θ ∂x3 ∂φ ∂x2 , ∀ φ ∈ H_{0, Γ}1 ₀(Ω). (31)

Por la definici´on de X0, ver (10) y (8), para cualquier ~v ∈ X0, sus componentes v1, v2∈

H_{0, Γ}1 ₀(Ω). Eligiendo por tanto v₁ y v₂ como funciones test en (30) y (31) respectivamente, obtenemos que Z Γ1 ∂θ ∂x1v1+ ∂θ ∂x2v2= Z Ω ∂θ ∂x1 ∂v1 ∂x3 + ∂θ ∂x2 ∂v2 ∂x3 − ∂θ ∂x3 µ ∂v1 ∂x1 + ∂v2 ∂x2 ¶ , ∀~v ∈ X0,

y debido a que div ~v = 0, se concluye la demostraci´on.

Definimos la forma bilineal a : X0×X0 → R del siguiente modo, para ~u = (u1, u2, u3), ~v = (v1, v2, v3) ∈ X0, a(~u, ~v) := Pr 3 X i=1 Z Ω ∇ui· ∇vi (32)

y, dado ~f ∈ X₀∗ y θ ∈ H_{0, {x}1 _3=0}(Ω), buscamos ~u = (u1, u2, u3) ∈ X0 tal que

a(~u, ~v) = h ~f , ~v iX∗ 0,X− M Pr Z Ω ∇θ · ∂~v ∂x3, ∀~v ∈ X0. (33) El Lema de Lax-Milgram y la definici´on de norma en X0, ver (9), implican la existencia de una soluci´on d´ebil de nuestro problema de Stokes con condiciones de contorno mixtas de tipo Dirichlet y Neumann no–homog´eneas.

Lema 4. Dado ~f ∈ X∗

0 y θ ∈ H0, {x1 3=0}(Ω), existe un ´unico ~u = (u1, u2, u3) ∈ X0 que resuelve (33), y

||~u||_X ≤ 1

Pr|| ~f ||X0∗+ M ||θ||H_{0, x3=0}1 (Ω). (34)

Definimos a continuaci´on la forma bilineal a : X0× X0 → R del siguiente modo, para u = (~u, θ), v = (~v, ϑ) ∈ X0, a(u, v) := Pr 3 X i=1 Z Ω ∇ui· ∇vi+ Z Ω ∇θ · ∇ϑ + B Z Γ1 θϑ + M Pr Z Ω ∇θ · ∂~v ∂x3. (35)

Diremos que u = (~u, θ) ∈ X0 es una soluci´on d´ebil de las ecuaciones (15)–(17) junto con las condiciones de contorno (5)–(7) si

a(u, v) = h ~f , ~vi_X∗

Asociado a la forma bilineal a, definimos un operador lineal y continuo A : X₀→ X∗

0 del siguiente modo

hAu, vi := a(u, v), ∀v ∈ X0 (37)

donde X∗₀ es el espacio dual.

Gracias a los lemas 2 y 4, podemos deducir la siguiente proposici´on.

Proposici´on 5. Dada f = ( ~f , g) ∈ X∗₀, existe una ´unica soluci´on d´ebil u = (~u, θ) ∈ X0 de las ecuaciones (15)–(17) junto con las condiciones de contorno (5)–(7). Adem´as existe una constante C = C(Ω, Γ1, Pr, B, M ) tal que

kukX0 ≤ Ckf kX∗0. (38)

Observaci´on 6. La Propositci´on anterior establece que el operador inverso A−1 _:

X∗

0 → X0, definido c´omo A−1 f = u, con f = ( ~f , g) y d´onde u = (~u, θ) es la soluci´on d´ebil de (15)-(17), (5)-(7), est´a bien definido y es continuo. Por las inmersiones compactas

X0 × Y ,→ L2(Ω)3 × L2(Ω) podemos restringir el operador A−1 a L2(Ω)3 × L2(Ω) y considerar A−1_{: L}2_(Ω)3_{× L}2_{(Ω) → L}2_(Ω)3_{× L}2_{(Ω), que es un operador compacto.}

Bifurcaci´

on local en el problema estacionario de B´

enard-Marangoni

Consideremos finalmente la formulaci´on d´ebil del problema de BM Sea b : X0× X0× X0→ R una forma trilineal dada por

b(u, v, w) := 3 X i,j=1 Z Ω ui ∂v_j ∂xiwj+ 3 X i=1 Z Ω ui ∂ϑ ∂xiΘ (39)

donde w = ( ~w, Θ). Se puede demostrar que la forma trilineal b es continua, i.e.

|b(u, v, w)| ≤ Ckuk_Xkvk_Xkwk_X, ∀u, v, w ∈ X₀ (40)

Diremos que u = (~u, θ) ∈ X₀ es una soluci´on d´ebil del problema de Benard-Marangoni (1)–(3) con las condiciones de contorno (5)–(7) si

a(u, v) + b(u, u, v) = Pr R Z Ω θv3+ _{1 + B}B Z Ω u3ϑ, ∀v = (~v, ϑ) ∈ X0× Y. (41)

Consideraremos que R es el par´ametro de bifurcaci´on, fijamos los restantes par´ametros. En teor´ıa de la bifurcaci´on buscamos un valor del par´ametro R = R0 tal que la ecuaci´on linealizada en u = 0 tenga un cero no trival. Gracias a que b es continua, u0 = (~u0, θ0) ∈

X₀× Y est´a en el n´ucleo de la ecuaci´on linealizada siempre que

a(u0, v) − Pr R0 Z Ω0 θ0v3−_{1 + B}B Z Ω u30ϑ = 0, ∀v ∈ X0. (42)

Diremos que L0(u0) = 0, siempre que u0 verifique la ecuaci´on (42). El operador L0 : X0 → X∗0, gracias a la Observaci´on 6 podemos considerar que el operador A−1L0 es una perturbaci´on compacta de la identidad. Dado un cierto operador L, denotaremos por

N (L) al n´ucleo del operador, de este modo N (L₀) representar´a al n´ucleo de la ecuaci´on linealizada.

La multiplicidad algebraica de R0 es la dimension de ∪∞j=1N

³ (L0)j

´

. Diremos que R0 es un autovalor simple generalizado si su multiplicidad algebraica es uno, en particular

N (L0) = span [u0]. Sea L∗0 el operador adjunto, gracias a la alternativa de Fredholm, dimN (L∗

0) = 1.

Teorema 7. Supongamos que R0 es un autovalor simple generalizado. Sea u0∗ = (~u∗

0, θ∗0) tal que N (L∗0) = span [u0∗]. Supongamos tambi´en que

h~u∗₀, ~u₀i 6= 0. (43)

Entonces, existe una curva de clase C1 _{de soluciones d´ebiles del problema de BM que} atraviesa (R0, 0),

{(R(s), u(s)) : |s| < ²} ⊂ R × X0 tal que

(R(0), u(0)) = (R0, 0), y u(s)_s −→ us→0 0.

Adem´as, hay un entorno de (R0, 0) en el conjunto R × X0 para el que son las ´unicas soluciones no triviales del problema de BM dado por (41).

Esquema de la demostraci´on: Basta comprobar que se cumplen todas las condi-ciones del teorema de Crandall y Rabinowitz [3].

En particular, la condici´on conocida como condici´on de transversalidad se verifica gracias a la hip´otesis (43). Para abordar los detalles, referimos a la Ref. [8].

Agradecimientos

Henar Herrero est´a parcialmente financiada por el MCYT, MTM2006-14843-C02-01 y CCYT (Junta de Comunidades de Castilla-La Mancha) PAC-05-005 y PAI08-0269-1261, que incluye FEDER. Rosa Pardo est´a parcialmente financiada por el MCYT, MTM2006-08262 (Ministerio de Educaci´on y Ciencia, Spain), y GR74/07, Grupo 920894 (Comunidad de Madrid - UCM, Spain).

Secci´on en el CEDYA 2009: EDP

Referencias

[1] B´enard H 1900 Rev. Gen. Sci. Pure Appli. 11, 1261

[2] Benguria, R.D. y Depassier, M.C. On the linear stability theory de B´enard-Marangoni convection. Phys. Fluids A 1(7), 1989.

[3] M.G. Crandall y P.H. Rabinowitz, “Bifurcation from simple eigenvalues”, J. Functional Anal., Vol. 8, 321-340 (1971).

[4] Dauby P C y Lebon G 1996 J. Fluid Mech. 329, 25

[5] S. Hoyas, H. Herrero y A.M. Mancho. Thermal convection in a cylindrical annulus heated laterally. J. Phys. A: Math. Gen. 35, 4067-4083, 2002.

[6] Lorca, S.A. y Boldrini, J.L. Stationary solutions for generalized Boussinesq models, J. Differential Equations 124 (1996), 389-406.

[7] D.A. Nield, “Surface tension and buoyancy effects in cellular convection”, J. Fluid Mech., 19, (1964), 341.

[8] Pardo R., Herrero H. y Hoyas S. ”Theoretical study de bifurcations in a Rayleigh-B´enard problem”. Preprint.