FISICA I

Academia SERUNA ₁

MAGNITUDES FÍSICAS

Es todo aquello que se puede expresar cuantitativamente, dicho en otras palabras es susceptible a ser medido.

CLASIFICACIÓN DE LAS MAGNITUDES FÍSICAS Por su origen

A. Magnitudes Fundamentales

Son aquellas que sirven de base para escribir las demás magnitudes, en mecánica tres magnitudes fundamentales son suficientes: Longitud (L), masa (M) y tiempo (T).

Las magnitudes fundamentales son:

N° MAGNITUD UNIDAD

NOMBRE SIMBOLO NOMBRE SIMBOLO

1 LONGITUD L metro m

2 MASA M kilogramo kg

3 TIEMPO T segundo s

4 TEMPERATURA θ kelvin K

5 INTENSIDAD DE _CORRIENTE I ampere A 6 INTENSIDAD _LUMINOSA J candela cd 7 CANTIDAD DE _SUSTANCIA N mol mol

B. Magnitudes Derivadas

Son aquellas magnitudes que están expresadas en función de las magnitudes fundamentales. Ejemplos:

Velocidad Fuerza Superficie(Área) Presión Aceleración Trabajo Densidad Potencia,etc.

¿Para qué sirven las magnitudes físicas? Sirven para traducir en números los

resultados de las observaciones; así el lenguaje que se utiliza en la Física será claro, preciso y terminante.

Academia SERUNA 2

C. Magnitudes Suplementarias

(Son dos), realmente no son ni magnitudes fundamentales ni derivadas. Sin embargo se les considera como magnitudes fundamentales.

Magnitud Suplementaria Unidad Símbolo Ángulo plano ( )ϕ Ángulo sólido ( )Ω radian estereorradián rad sr POR SU NATURALEZA A. Magnitudes Escalares

Son aquellas magnitudes que están perfectamente determinadas con solo conocer su valor numérico y su respectiva unidad. Ejemplos: Volumen, temperatura, tiempo, etc.

B. Magnitudes Vectoriales

Son aquellas magnitudes que además de conocerse su valor numérico y su unidad, se necesitan su dirección y su sentido para que dicha magnitud quede perfectamente determinada. Ejemplos: Velocidad, aceleración, fuerza, peso, impulso, campo eléctrico, etc.

ANÁLISIS DIMENSIONAL

Es la parte de la Física que estudia la forma cómo se relacionan las magnitudes derivadas con las fundamentales.

FINALIDADES DEL ANÁLISIS DIMENSIONAL:

1. Sirve para expresar las magnitudes derivadas en términos de las fundamentales

2. Sirven para comprobar la veracidad de las fórmulas físicas haciendo uso del Principio del Homogeneidad Dimensional.

3. Sirven para deducir fórmulas a partir de datos experimentales.

ECUACIONES DIMENSIONALES:

Son expresiones matemáticas que relacionan las magnitudes fundamentales, utilizando para ello las reglas básicas del álgebra, excepto las de suma y resta. Estas ecuaciones se diferencian de las algebraicas porque sólo operan en las magnitudes. Una ecuación dimensional se denota por: [ ] Ejemplo:[ ]A : se lee ecuación dimensional de A.

PRINCIPIO DE HOMOGENEIDAD

Si una expresión es correcta en una fórmula, se debe cumplir que todos sus miembros deben ser dimensionalmente homogéneos. Así:

A B C E+ − = ⇒ [ ] [ ]A = B =[ ] [ ]C = E

Propiedades:

1. En el análisis dimensional se cumplen las leyes del álgebra a excepción de la adición y diferencia. 2. La ecuación dimensional de todo número es la unidad, llamadas también magnitudes

adimensionales.

3. En toda ecuación dimensionalmente correcta, los términos de su ecuación deberán de ser iguales (principio de homogeneidad).

ECUACIONES ALGEBRAICAS ECUACIONES DIMENSIONALES 4M 3M 7M+ = 4M 3M+ =M 3L 3L− =0 3L 3L− =L 1 1 1 LT− +5LT− =6LT− LT−1+5LT−1=LT−1 1 sen30º 2 = [sen30º]=1 log 2 0,301030=

[

log 2

]

=1 2 3e+ +π ln b _{3e+ +π ln b}2_=1

FÓRMULAS DIMENSIONALES BÁSICAS

MAGNITUD

DERIVADA FÓRMULA

FÓRMULA DIMENSIONAL

ÁREA A (longitud)= 2 _L2

VOLUMEN Vol. (longitud)= 3 _L3

VELOCIDAD LINEAL V longitud

tiempo

= _LT−1

ACELERACIÓN LINEAL a velocidad

tiempo ∆

= _LT−2

VELOCIDAD ANGULAR ángulo

tiempo ω = _T−1 ACELERACIÓN ANGULAR f o tiempo ω ω α= − _T−2

FUERZA F masa aceleración= × _LMT−2

TORQUE M fuerza distancia= × _{L MT}2 −2

TRABAJO, ENERGÍA Y CALOR W fuerza distancia= × _{L MT}2 −2

POTENCIA P trabajo

tiempo

= _{L MT}2 −3

CANTIDAD DE MOVIMIENTO P=masa velocidad× _LMT−1

IMPULSO I fuerza tiempo= × _LMT−1

DENSIDAD masa

volumen

ρ = _{L M}−3

PESO ESPECÍFICO peso

volumen

γ = _{L MT}−2 −2

PRESIÓN P fuerza

área

= _{L MT}−1 −2

PERIODO T=_{# de vueltas}tiempo T

FRECUENCIA f 1 periodo = _T−1 COEFICIENTE DE DILATACIÓN 1 temperatura α = _θ−1

CAPACIDAD CALORÍFICA C calor

temperatura ∆ = _{L MT}2 2 1 θ − − CAPACIDAD CALORÍFICA ESPECÍFICA calor Ce masa ∆T = × L T2 −2θ−1 CARGA ELÉCTRICA Q I t= × TI INTENSIDAD DE CAMPO ELÉCTRICO fuerza E carga = _{LMT I}− −3 1

POTENCIAL ELÉCTRICO V trabajo

carga

= _{L MT I}2 − −3 1

CAPACIDAD ELÉCTRICA C C arg a

Voltaje = _{L M T I}2 −1 4 2 RESISTENCIA ELÉCTRICA _{L MT I}2 − −3 2 INDUCCIÓN MAGNÉTICA _{MT I}− −2 1 FLUJO MAGNÉTICO _{L MT I}2 − −2 1 ILUMINACIÓN _{L J}−2 FÓRMULAS EMPÍRICAS:

Si la magnitud “P” depende de las magnitudes a, b y c, entonces se deberá verificar la siguiente relación:

x y z

P k a b c=

Siendo “k” la constante numérica de proporcionalidad, y los valores de los exponentes x, y, z deberán satisfacer el principio de homogeneidad.

Academia SERUNA ₅

PROBLEMA 01

El período de un péndulo simple está dado por la siguiente ecuación: = a b T KL g En donde: K: constante numérica L: longitud; g: aceleración de la gravedad a y b: exponentes Hallar el valor de “a b+ ”

Resolución:

Usando las ecuaciones dimensionales:

[ ]_{T =}_{KL g}a b_ [ ][ ]

_{[ ]}

= a b T K L g ( )

(

−

)

= a 2 b T 1 .L . LT + − = a b 2b T L T

Dando forma y comparando exponentes:

+ − = 0 a b 2b L T L T ⇒  + = − =  a b 0 2b 1 De las ecuaciones: a=1 2 y = − 1 b 2 ∴a b 0+ = PROBLEMA 02

La velocidad de una onda transversal en una cuerda elástica se establece con:

µ = x y

V F

F: Tensión en la cuerda (fuerza) µ: Densidad lineal de la cuerda (kg/m) Hallar la fórmula física.

Resolución:

La densidad lineal (µ) es el cociente entre la masa y la longitud µ =m L

[ ]

µ =[ ]_{[ ]}m =L M−1 L La velocidad será: [ ] [ ]V = F x

_{[ ]}

µ y

(

) (

)

−1₌ −2 x −1 y LT LMT L M − ₌ − + − 0 1 x y x y 2x LM T L M T Igualando exponentes: −2x= −1 ⇒ x=1 2 + = x y 0 ⇒ y= −1 2 La fórmula de la velocidad será:

µ− = 1 1 2 2 V F ⇒ V F µ = PROBLEMA 03

Si en la ecuación, las dimensiones están correctamente expresadas, hallar “α”

α _α − = 3_A2 _B3 _ABcos _tan

Resolución:

Elevando al cubo: α _α − = 2 3 3 3 cos 3 A B A B tan

Por el principio de homogeneidad:

[ ]2₌[ ]3₌[ _α] [ ] [ ]3 3 3 cosα A B tan A B [ ]A 2=[ ]B 3 ⇒ [ ] [ ]= 3 2 A B … (1) [ ]3₌[ _α] [ ] [ ]3 3 3 cosα B tan A B [ ] [ ][ ]_{B = A B} cosα _{… (2)} Reemplazando (1) en (2): [ ] [ ] [ ]₌ α 3 2 _cos B B B [ ] [ ] 3 _cos 2 B B α + ⇒ = Igualando exponentes: α = +3 1 cos 2 α = −1 cos 2 ⇒ α =120º

ANÁLISIS DIMENSIONAL

_{Problemas Resueltos}

Academia SERUNA 6

PROBLEMA 04

Si la ecuación es homogénea y contiene volúmenes (V , V ), masa (M), trabajos 1 2

(W , W ) y aceleración (a) encuentre _{1 2}

[ ]

y .

(

1− 2

)

=

(

1− 2

)

V V M

W W a

y log x

Resolución:

Por la ley de homogeneidad:

[

W1−W2

]

=

[

Trabajo

]

=[ ]W

[

V1−V2

]

=[Volumen] [ ]= V La ecuación se reduce a: VM Wa y log x = ⇒ [ ][ ] [ ]

[ ][

]

= V M W a y log x

(

)(

)

[ ]

( ) − − ₌ 3 2 2 2 L M L MT LT y 1 ∴

[ ]

y = T 4 PROBLEMA 05

Si la ecuación es homogénea y contiene volúmenes (V , V ), masa (M), trabajos _{1 2} (W , W ) y aceleración (a) encuentre 1 2

[ ]

y .

(

W1−W a2

)

=

(

V1_{y log x}−V M2

)

Resolución:

Por la ley de homogeneidad:

[

W1−W2

]

=

[

Trabajo

]

=[ ]W

[

V1−V2

]

=[Volumen] [ ]= V La ecuación se reduce a: VM Wa y log x = ⇒ [ ][ ] [ ]

[ ][

]

= V M W a y log x

(

)(

)

[ ]

( ) − − ₌ 3 2 2 2 L M L MT LT y 1 ∴

[ ]

y = T 4 PROBLEMA 06

La ley de Ohm establece que: = V IR

Encontrar la ecuación dimensional de la resistencia eléctrica “R” si se sabe que:

I: intensidad de corriente

V: diferencia de potencial; equivale al trabajo por unidad de carga.

Resolución:

La diferencia de potencial es entonces:

= W V Q ⇒ [ ] [ ]=

[ ]

W V Q … (1) La carga se deduce de:

=Q I t ⇒

[ ]

Q =IT … (2) Reemplazando (2) en (1): [ ]V = L MT2 −2 IT ⇒ [ ]= − − 2 3 1 V L MT I … (3) En la Ley de Ohm: = V IR [ ] [ ][ ]V = I R … (4) Reemplazando (3) en (4) [ ] 2 3 1 I R =L MT I− − ⇒ R[ ]=L MT I 2 − −3 2 PROBLEMA 07

El efecto Joule establece que si por una resistencia eléctrica “R” circula una corriente “I” durante un tiempo “t”, el calor desprendido de la resistencia se puede expresar como energía. Hallar la fórmula que nos permite confirmar dicha afirmación.

Resolución:

Del enunciado se deduce que el calor tiene la siguiente fórmula:

= x y z Q I R t Recuerde del problema 6:

[ ]_{R =L MT I}2 − −3 2

Aplicando ecuaciones dimensionales:

[ ]

Q =

[

Energía

]

=[ ] [ ] [ ]I x R y t z

(

)

− ₌ − − y 2 2 x 2 3 2 z L MT I L MT I T − ₌ − − 2 2 0 2y y z 3y x 2y L MT I L .M .T I = 2y 2 ⇒ y 1= − = − z 3y 2 ⇒ z 1 = = x 2y ⇒ x=2

La fórmula para expresar el efecto Joule es:

2

Q= I Rt

PROBLEMA 08

En un proceso termodinámico isotérmico, le trabajo de expansión de un gas ideal se calcula con la fórmula:   =     1 2 V W nRT ln V En donde: n: número de moles T: temperatura ln: logaritmo neperiano 1 V y V : volúmenes ₁

Hallar la ecuación dimensional de la constante universal de los gases [ ]R .

Resolución:

Aplicando ecuaciones dimensionales:

[ ] [ ][ ][ ] 2 1 V W n R T ln V    =         … (1) n: cantidad de sustancia ⇒ [ ]n =N T: Temperatura ⇒ [ ]T =θ 2 1 V ln 1 V    =         Reemplazando en (1): [ ]θ − ₌ 2 2 L MT N R (1) ∴ R[ ]=L MT2 −2θ−1N −1 PROBLEMA 09

Roció, una enfermera, ha observado que la potencia (P) con que aplica una inyección depende de la densidad (d) del líquido encerrado,

de la velocidad (v) del émbolo al expulsar el líquido y el tiempo de aplicación de la inyección (t). Un ingeniero de la UNA le ha conseguido una formula con datos que ella le ha proporcionado. Si d=0,8g/cm3_{, v=5cm/s y t=2s, entonces} P=0,9watts. ¿Cuál será la formula descubierta?

Resolución:

De acuerdo al problema:

(

)

P f d,v,t= x y z P kd v t ⇒ ₌ ………. (Fórmula empírica) Cálculo de los exponentes:

[

_Potencia

] [ ]

_{= P =L MT}2 −3

[

_Densidad

] [ ]

_{= d =ML}−3

[

_Velocidad

] [ ]

_{= v =LT}−1

Remplazando en la ecuación anterior:

[ ] [ ] [ ] [ ]

x y z P =k d v t

[ ]

x y

[ ]

z 2 3 3 1 L MT− = k ML_ −  _{ }LT− _ T 2 3 x 3x y y z L MT− =(1)M .L− .L T . T− 2 3 y 3x x z y L MT− =L − M T − De donde: x=1; y=5; z=2 5 2 P kdv t ∴ =

Calculo de “k” según los datos numéricos:

( )

(

3

)

(

) ( )

5 2

0,9W= k 0,8 g cm 5 cm s 2s Homogenizando unidades (SI) tenemos:

k=900 Finalmente se tiene:

5 2

P 900dv t=

PROBLEMA 10

Hallar la ecuación dimensional de A, si se cumple la relación. 2 2 A D C F V × = ×

Donde: C=velocidad, D=densidad, F=fuerza y V=volumen.

Resolución:

Despejando A2 de la ecuación: 2 2 2 C FV A D =

Aplicando ecuaciones dimensionales:

[ ]

( ) (

)( )

2 2 1 2 3 2 3 LT MLT L A ML − − − =

[ ]

_A2_{=L T}12 −4 ∴ A

[ ]

=L T 6 −2 PROBLEMA 11

Si las siguientes expresiones son dimensional-mente homogéneas P A B

x

= + ; Q Ay B= + , determine las dimensiones de

[ ] [ ]

B y

Considere P presión= ; A=trabajo.

Resolución:

Por el principio de Homogeneidad se tiene:

[ ]

_P A

[ ]

_B

[ ]

_{B ML T}1 2 x − −   =_{ }= ⇒ ₌  

[ ] [ ]

_{Ay = B ⇒ML T}2 −2

[ ]

_{y =ML T}−1 −2

[ ]

_{y L}−3 ∴ = Piden:

[ ]

[ ]

1 2 3 B ML T y L − − − = ⇒

[ ]

[ ]

By =ML T 2 −2 PROBLEMA 12

La potencia que requiere la hélice de un helicóptero viene dada por:

a b c

P kR W D=

donde k es un número, R el radio de la hélice, W es la velocidad angular, y D es la densidad del aire. Determine el valor de ab c suponiendo que la ecuación es dimensionalmente correcta.

Resolución:

Cálculo de los exponentes:

[

_Potencia

] [ ]

_{= P =ML T}2 −3

[

Radio

]

=L

[

_{Velocida angular}

] [ ]

_{= W =T}−1

[

_Densidad

] [ ]

_{= D =ML}−3 Remplazando datos:

[ ] [ ]

P = k

[ ] [ ] [ ]

a b c 1 R W D

( )

a

( ) ( )

b c 2 3 1 3 ML T− = L T− ML− 2 3 c a 3c b ML T− =M L− T− Comparando se tiene: a 5= ; b 3= y c 1= ∴ ab 15 c = PROBLEMA 13

La ecuación V Asen Bt= ( )+Ctsen30º es dimensionalmente homogénea, en donde V=velocidad y t=tiempo. Determine la expresión dimensional de AB

C .

Resolución:

Aplicando el principio de Homogeneidad se tiene:

[ ] [ ]

( )

_{[ ]}

sen30º 1 V ₌ A sen Bt_ _= Ct

[ ] [ ]

1 2 1 1 2 LT− = A = C T

[ ]

_{A =LT}−1 _{y C}

[ ]

_=LT−3 2 Además:

[ ][ ]

_{B t =1⇒}

[ ]

_{B =T}−1 Reemplazando en lo pedido:

[ ][ ]

[ ]

( )( )

1 1 3 2 LT T A B C LT − − − = ∴

[ ][ ]

A B

_{[ ]}

T 1 2 C − =

Academia SERUNA ₉ 01.En la siguiente fórmula física, encontrar las

dimensiones de “P”

( )

2 C Tan t P A B log ω π = Donde: A aceleración= B densidad= C velocidad= A)L M 3 B)MLT−2 C)L M4 −1 D)ML−3 E)LT−4

02.En la expresión mostrada, determine el valor de: “x y z+ + ”

F K A B C=

x

y

z

Siendo:

F=fuerza, K=número, A=densidad, B=velocidad y C=área.

A) 1 B) 2 C) 3

D) 4 E) 5

03.Si la siguiente expresión es dimensionalmente homogénea, determine la ecuación dimensional de “E” 2 2 K X Y E K Y X − = − Siendo: X=velocidad A)LT−1 B)L C) 1 D)T E) LT

04.Si la siguiente expresión es dimensionalmente homogénea, halle la ecuación dimensional de “P”. Siendo: m=masa, V=velocidad

2 2 1 3 5 P kx Tg yz mv 2 4 θ 4 = + + A)MLT−1 B)ML T2 −1 C)MLT D)M LT2 E)ML T2 −2

05.En la siguiente fórmula física, calcular

[ ]

Q C

P Q H B − =

+

Donde:B fuerza;= C=aceleración.

A)M B)M−1 C)M−2 D)M2 E)M3 06.En la ecuación homogénea:

(

)

2 sen37º BK CK W D EK F    ₋  =  −    

Hallar

[ ]

F , si B=altura, C=masa, E=fuerza. A)LT B)L T2 −2 C)LT−2

D)L T−2 E)LT−1

07.La ecuación: P=k v +0,2m g v +k 3 es 1 2 n

dimensionalmente correcta, además P=potencia, V=velocidad, m=masa y g=aceleración de la gravedad.

Hallar: _2n k .k1 3_

A)M L T2 2 −2 B)MLT−2 C)M L T2 2 −4 D)M L T2 4 −4 E)M L T2 2 −4

08.Determine la medida de " "θ para que la expresión mostrada sea dimensionalmente correcta, sen sen L f g θ θ π −   =    

f=frecuencia, L=longitud y g=gravedad A) 37º B) 53º C) 60º D) 45º E) 30º

09.Halle

[ ]

K en la ecuación homogénea

(

_{C A}

)

(

_{A B}2

)

K PS P log x sen 2 ρ π π + + + =

Donde: ρ =densidad; P=potencia A)L T−5 3 B)L T−3 −5 C)L T−3 D)L T−3 8 E)L−3/2T−5/2

ANÁLISIS DIMENSIONAL

_{Problemas Propuestos}

Academia SERUNA 10

10.Determinar [ ]E si la ecuación es dimensionalmente correcta: Si C=potencia.

( )2 N A E P D D C + = + + + A)ML T2 −3 B)M L T2 4 −6 C)M L T3 4 −5 D)MLT−1 E)M L T2 −3 2 11.En la siguiente expresión: 2 3R 2F Tg MT β α θ= +

Donde: R=radio; T=tiempo; F=fuerza y M=masa.

Hallar las dimensiones de

[

α β.

]

A)ML T4 5 B)ML T−2 6 C)M L T2 −2 2 D)ML T−3 4 E)MLT−5

12.Hallar la ecuación dimensional de [DARK . ] Si la siguiente expresión es homogénea

2 2

A D K

B

D + = B +aR Donde:

a=aceleración, D=masa, R=longitud. A)M LT3 −1 B)M L T6 2 −2 C)M L T6 2 −1 D)M L T4 6 −3 E)MLT−4

13.En el efecto Joule se establece que si por una resistencia eléctrica “R” circula una corriente “I” durante un tiempo “T” el calor desprendido está dado por:

x_. y_. z

Q I R T= Hallar: " x y z "+ +

A) 2 B) 3 C) 4

D) 5 E) 6

14.En la siguiente ecuación física:

2 2 2 C 3mv 2A 4g Tan A   − =    

Donde: m : masa; v : velocidad. Establecer la fórmula dimensional de “C” en el sistema internacional.

A)LM1/2T−1 B)L−1/2M−1/2T C)LMT−2 D)L M T−1 −1 2 E)L MT1/2 −1

15.Determinar las dimensiones de P y N para que la siguiente expresión sea dimensionalmente correcta R=radio.

(

)

1/2

(

2 2

)

3 4m / s A 5m / s Q PQ N R − − = + A)L−1/2 2T ; L T1/2 3/2 B)L1/2T ; T C)L−3/2T ; L T1/2 3/2 D)L−3/2T ; LT E)L−3/2T ; L T3/2

16.En la ecuación dimensionalmente correcta, halle [ ]B : 3kB 2 2 1 1 2 C 2 vt (a a ) 2g(p p )₌w _{1 6} a Sen Bt 4 xπ π θ   − ₋ − _{ − } 1 2 a, a , a =aceleraciones 1 2 p , p =presiones v velocidad= w=trabajo t=tiempo g : aceleración de la gravedad A)MLT−2 B)L T3 −1 C)ML D)MLT E)T L3 −1 17.Hallar: “x y z+ + ”, si:

(

_0,25

)

107_ergios=x−1 _{A B C.} y_. z

Donde se conoce que:

A: aceleración, B: masa, C: velocidad.

A) 2 B) –1 C) –2

D) 0 E) 4

18.Hallar las dimensiones de “x” en la ecuación dada, si ésta es correcta dimensionalmente.

(

)

kx y 5 3cm 2 A Sen 2 ky + + = π π

A)L B)L2 C)L3

D)L−1 E) ABSURDO

19.La fuerza F de repulsión, entre dos cargas eléctricas del mismo signo, es directamente proporcional al producto de las cargas (q y 1

2

de las distancia “d”, como indica la siguiente fórmula: 1 2 2 q .q F K d = . Determine la dimensión de K (constante de Coulomb) A)L T I3 − −4 2 B)ML T I3 − −4 2 C)ML T I4 − −4 2 D)ML T I3 − −4 1 E)I−2 20.Si la siguiente es dimensionalmente homogénea, determine la dimensión de “x”

x w.A cos(w.t= + δ) Donde: A=longitud; t=tiempo. A)LT−2 B)L T3 −1 C)ML D)LT−1 E)T L3 −1

21.En la siguiente fórmula física, determinar la unidad de “B”:

0,5 sen30

A .h °=B.cos 60° Donde: A=aceleración; h=altura A) m B) m/s C) s D) Hz E) m/s2

22.En la siguiente formula física, indicar las dimensiones “a.b”:

bw

a A.e .sen(wt)=

Donde: A=longitud; t=tiempo; e=constante numérica.

A) LT−2 B) L T3 −1 C) LT D) LT−1 E) T L3 −1

23.En la siguiente fórmula física:

x y z

P D .Q .h .g=

Donde: P=potencia; D=densidad; h=altura; Q=caudal (m3_{/s); g=aceleración de la} gravedad. Hallar “x+y+z”.

A) 1 B) 2 C) 4 D) 3 E) 3

24.En la siguiente fórmula física:

3 .Q

K m

γ =

Donde: γ=tensión superficial(N/m) Q=caudal (m3_/s)

¿Qué magnitud representa K?

A) tiempo B) área C) masa D) caudal E) velocidad

25.Dimensionalmente, la siguiente expresión es correcta y su respectiva ecuación dimensional es la unidad:

UNI

UNA 1

 ₌

 

Donde: U=m.c2_{; m=masa de un fotón;} c=velocidad de la luz; I=radio de la Tierra. Hallar la dimensión de “N”

A)M L T−1 −3 2 B)M L T−3 2 C)M L T−2 −3 D)M L T3 2 E) NA

26.Determinar las unidades de h en el sistema internacional: h.f=m.c2 donde: m=masa; f=frecuencia; c=velocidad de la luz.

A)kg.m .s2 −1 B)kg.m.s−1 C)kg .m.s4 −1 D)kg.m .s4 −1 E) kg.m.s

27.La frecuencia de oscilación (f) en s−1de un péndulo simple depende de su longitud “l” y de la aceleración de la gravedad “g”. Determinar una fórmula empírica para la frecuencia. A) l g B) 1 l k g C) k lg D)k l g E) g k l

28.En un experimento de física se comprobó que la relación: pF (FAV)= UNA es dimensionalmente correcta, siendo p=presión, F=fuerza, A=área, V=volumen y U=energía ¿Cuáles son las dimensiones de N?

A)L .M .T−4 −1 −2 B)L .M .T−4 −1 2 C)L .M.T−4 −2 D)L .M .T−1 −2 E) L .M.T

29.La relación de Louis de Broglie para la interpretación física de la dualidad onda-partícula establece que cualquier masa o partícula que se mueve a cierta velocidad

tiene asociada una onda electromagnética cuya longitud de onda (λ) depende de la constante de Planck (h:) y su cantidad de movimiento (P), donde h se mide en m .kg2 ;

s tal que: λ =h P .x y hallar “x+y” A) 0 B) 1 C)−1 D) 2 E) 4

30.De la siguiente ecuación dimensionalmente correcta, hallar: (z y) E (x p)= − − , Si:

(

) (

)

(

) (

)

x y n n n 1 n 1 z p n n n 1 n 1 R .cos R .cos 3 I .m R .cos R .cos − − − −  _{θ − θ}    =   π _{ θ − θ} _ Siendo:

I=momento de inercia (kg.m2_{), m=masa;}

n n 1

R ,R ₋ =radios; θ θn, n 1− =ángulos A) 1 2 B) 1 3 C) 1 8 D) 1 4 E) 1 16

31.De las siguientes proposiciones, indicar verdadero (V) o falso (F); I.

[

densidad

]

=L M−3 II.

[

presión

]

=L MT−1 −3 III.

[

caudal

]

=L T3 −1 A) VVF B) FVV C) VFF D) VVV E) VFV

32.De las siguientes proposiciones, indicar verdadero (V) o falso (F);

La cantidad de calor y el trabajo tienen la misma fórmula dimensional.

La velocidad de la luz y la velocidad del sonido tienen diferente fórmula dimensional.

La dimensión de un número es igual a cero.

A) VVF B) FVV C) VFF D) VVV E) VFV

33.En la siguiente ecuación dimensionalmente correcta. Halle la ecuación dimensional de “x”.

E= Mvx+ Mvx+ Mvx ...+ ∞ Donde; M: masa; v: velocidad

A)MLT B)M L T− −1 1 C)M LT2 D)ML T3 4 E) NA

34.La energía en el S.I., se mide en Joules (J). Si la energía cinética (Ec) de un cuerpo está definida mediante: E_C =0,5m×v2. Donde m es masa y v es el módulo de la velocidad. ¿Cuál de los siguientes grupos de unidades equivale al Joule?

A)kg.m s2 1− B) kg.m s C)kg.m s2 D)kg.m s2 2− E)kg m s3 2−

35.El número de Reynolds es un valor adimensional el cual nos indica si un flujo es turbulento o laminar, dentro de un tubo. El número de Reynolds “R”, se calcula mediante la siguiente ecuación:

R= ρVd η

Donde “ρ” es la densidad, “V” la rapidez promedio y “d” el diámetro del tubo. Determinar las dimensiones de la viscosidad “η”.

A)M L T2 −1 −1 B)M L T3 −1 −1 C)ML T−1 −1 D)ML T−2 −1 E)M L T−1 −2

36.La frecuencia de un péndulo está dado por: 1 2mgh

F

2 A

= π

Donde: m=masa; h=altura; g=aceleración. Determinar las dimensiones de “A”

A) ML B)ML−4 C)ML 2 D)MLT−2 E)ML−3

37.Si se cumple que:

K= 2x.P.V.cosα

Donde: P: presión; V: volumen y α =x 3

Determinar las dimensiones de “K” A)ML T2 −2 B)ML T2 −3 C)M LT2 −3 D)M LT−2 E)ML T−1 −2

Academia SERUNA ₁₃ 38.Para determinar la energía cinética de una

molécula de gas monoatómico ideal se usa: 3

Ec KT

2 =

Donde: T=temperatura; K=constante de Boltzan. Hallar [K]

A) 1 B)MLT− −2θ 1 C)MLT−2θ D)MLT2θ E)L MT2 − −2θ 1

39.En la ecuación correcta, ¿Qué magnitud representa “x”? 2 m.v x x.P.C W=

W=trabajo; P=periodo; v=velocidad; m=masa; C=frecuencia

A) Presión B) Trabajo C) Densidad D) Aceleración E) NA

40.La velocidad crítica V a la cual el flujo de un liquido a través de un tubo se convierte en turbulento, depende de la viscosidad η, de la densidad del fluidoδ, del diámetro D del tubo y de la contante adimensional R. halle la formula empírica para calcular la velocidad en función deη δ, ,D y R. A)R D ηδ _B) R D ηδ C) R Dη δ D)R D η δ E) R Dηδ 41.Dada la expresión:

(

)

2

( )

Fx 2mb+ = Tg30 Rto − +wLn cZ Dimensionalmente correcta, Donde:

x=longitud; m=masa; F=fuerza; c=velocidad y t=tiempo.

Hallar las dimensiones del producto

[

b.R.z

]

A)M L T2 3 −1 B)M LT2 −1 C)ML T3 −2 D)ML T2 −2 E)ML T3 −1

42.Si la ecuación es dimensionalmente correcta, hallar los valores de “x” e “y”.

(

)

(

)

y 3 Tg A h −h =Log P – P xh 1 2 1 2 Donde: h1,h2, h3, =alturas y p1, p2 =presiones A) 0 y 1 B)−1 y 1 C) 0 y 0 D)−2 y 2 E) 1 2− y 1 2−

43.Cuál debe ser las dimensiones de “A” para que la expresión sea dimensionalmente correcta

2 o

A v 2gx 2

I= + + ,5Ft

Si: I=impulso; F=fuerza; t=tiempo; g=aceleración; Vo=velocidad. A) MT B)M2 C) M D)MT−1 _{E) N.A} 44.Dada la expresión: o sen60 o 2 3 F Xva (tan 30 ) Ln PA A W   +   =  

Dimensionalmente correcta, donde:

F=fuerza; A=superficie; a=aceleración; W=velocidad angular; p=presión y V=velocidad. Hallar la dimensión de “X” A)L2 B)LT−3 C)L T2 −3 D)T−3 _E)LT−2

45.En la siguiente ecuación dimensionalmente homogénea : 2 t 2 x y A sen J K π π   =  +    Donde:

A es la amplitud (en metros) t es el tiempo (en segundos) x es la posición (en metros) Determine la dimension de y

JK

A)T0 B)L T2 C)T2 D)ML−2 _E)T−1

46.Experimentalmente se ha determinado que la fuerza de sustentación que actúa sobre el ala del avión depende del área S del ala, de la densidad D del aire y de la velocidad del avión. Determine el exponente de la velocidad en la fórmula empírica.

A)1 2 B) 2 C) 1 D)3 E) 1−

Academia SERUNA 14

47.La presión “P” que ejerce el flujo de agua sobre una pared vertical viene dada por la siguiente formula empírica:

x y z

P= λ.Q .d .A Donde:

Q=caudal (m3_/s) d=densidad del agua A=área de la placa λ=constante adimensional. Halle: x y z+ + A)1 2 B) 2 C) 1 D)3 E)−1

48.La ecuación que permite calcular el gasto o caudal que circula por un orificio de un deposito es:

Q C.A 2.g.h= Halle la dimensión de “C” siendo: g=aceleración de la gravedad Q=caudal (litros/segundos) A=área h=altura A) L B)L−1 C)L T3 −1 D)L T3 _{E) 1}

49.En un experimento de física, un cachimbo desea encontrar la velocidad del aire “V” que genera un ventilador mecánico, la cual depende de la fuerza “F” del aire, la potencia “P” desarrollada por la persona que acciona el ventilador y la fuerza de rozamiento “K”, encontrando la siguiente ecuación: V= αFP BK+ ¿qué dimensiones tiene la expresión ₂ B α _? A)L T−2 2 B)LT−1 C)LT−2 D)L T2 −1 E)L T3 −2 50.Si la ecuación 2 x B p A e h − = − es

dimensionalmente correcta, si p es presión y h es longitud, halle la dimensión de B

Ap A) 7 3 3 8 4 2 M L T− − B) 7 3 3 8 4 2 M L T− C) 7 3 5 8 2 4 M L T D) 2 3 3 3 4 2 M L T E) 2 3 3 3 4 8 M L T

51.En una feria de Física un estudiante hace rotar un disco sobre un eje horizontal con velocidad angular ω(rad/s) y lo suelta en la base de un plano inclinado como se muestra en la figura. El centro del disco sube una altura “h”, la cual puede ser expresada por:

2 1 I h , 2 mg ω   = 

  donde “m” es la masa del disco, “g” es la aceleración de la gravedad e “I” es una propiedad del disco llamada momento de inercia. Entonces la expresión dimensional para el momento de inercia es: A)M L2 3

B)ML T2 −1 C)ML T2

D)ML T2 −2 E)ML2

52.La magnitud del torque (τ) de un acoplamiento hidráulico varia con las revoluciones por minuto (H) del eje de entrada, la densidad (ρ) del fluido hidráulico y del diámetro (D) del acoplamiento, si k es una constante adimensional. Determine una fórmula para el torque (τ).

A)k HDρ 3 B)k H Dρ 2 3 C)k H Dρ 2 5 D)k HDρ2 4 E)k H Dρ2 2 5

53.La energía potencial elástica Ep _e almacenada por un resorte depende de la rigidez del resorte “k” (N/m) y la deformación del resorte “x”. ¿Cuál de las expresiones sería la formula empírica que la define:

:

α constante numérica A)Ep_e= αkx B)Ep_e= αk x2

h ω

C)Ep_e= αkx2 D)Ep_e= αk x2 2 E)Epe= αk x−1 2

54.La fuerza con que un chorro de agua presiona una pared depende del diámetro del tubo “D”, de la velocidad “V” del chorro y la densidad ( )ρ del líquido. Si cuando D, V y ρ tienen un valor unitario en el S.I. la fuerza aplicada es π 4 . Determine la fórmula que relaciona dicha fuerza (F).

A)F V3 4 π = ρ B)F D₂ 4 V π = ρ C)F V2₂ 4 D π = ρ D) 2 F DV 4 π = ρ E)F D V2 2 4 π = ρ

55.La potencia utilizada por una bomba centrífuga para elevar una cantidad de líquido hasta cierta altura; depende del peso específico del liquido ( )γ ; del caudal efectivo (Q: en m s ) y de la altura efectiva (H) a la 3 cual se eleva el líquido. ¿Cuál sería la fórmula empírica de la potencia?

k : constante numérica A)k Q Hγ 2 B) k QHγ C)k QHγ2 D)k QHγ 2 E) k Q Hγ

56.La velocidad cuadrática media de las moléculas depende de la temperatura absoluta (T), de la masa molar (M: kg/mol) y de la constante universal de los gases ( R : J mol K× ). La fórmula empírica para dicha velocidad será:

k : constante numérica A)V k RT₂ M = B)V k RT M = C)V k M RT = D)V k R T2 M = E)V k RT2 M =

57.Cuando un electrón ingresa a un campo magnético uniforme, describe una circunferencia de radio “R”. La ecuación que calcula el radio de giro depende de la masa del electrón (m); de su carga eléctrica (q); de la velocidad (V) y de la inducción magnética (B). La fórmula empírica que describe dicha ecuación es: k : constante numérica A)R kmV2 qB = B)R kmV₂ qB = C)R kmV B = D)R kmV qB = E) F.D.

58.La inducción magnética creada por una carga eléctrica (q) en movimiento cuando tienen velocidad (V), a una distancia (r) se expresa como: a b c o B q V r sen 4 µ = × × × × θ π Luego: a b c+ + será: A) 1 B) 2 C) –1 D) –2 E) 0

59.La energía (E) disipada por una lámpara eléctrica depende directamente de la intensidad de corriente (I) y de la resistencia eléctrica (R). Según esto la fórmula empírica tendrá la forma:

k : constante numérica

A)E kIR= B)E kI R= 2 C)E kIR= 2 D)E=kI R2 2 E)E kI R= 2 2

60.Una de las formas de escribir la ecuación de Van der Waals para los gases ideales es:

3 Rt 2 a ab V b V V 0 p p p     − +  +  − =    

Donde (V) es el volumen/mol, (p) la presión del gas. (t) la temperatura absoluta y (R) la constante de los gases ideales. ¿Cuáles son las dimensiones de a b ? 2

A)_{ML T}−1 −2 _{B)M LT}−1 2 _{C)M L T}2 −2 −1

D)_{M L T}−2 2 _E)MLT

61.En ensayos experimentales en un túnel de viento, se ha encontrado que la fuerza sustentadora (F) sobre el ala de un avión depende de la densidad (ρ) del aire, de la superficie (A) del ala, de la velocidad (V) del viento y del coeficiente k (adimensional) de sustentación. Una expresión adecuada para F es:

A)F k AV= ρ 2 B)F k AV= ρ2 2 C)F k A V= ρ 2 2 D)F k A V= ρ2 2 2 E) F k AV= ρ

62.La fuerza resistiva sobre un glóbulo rojo (esférico) en la sangre depende del radio R, de la velocidad V y de la viscosidad η. Experimentalmente se ha obtenido que si:

R= µ2 m 7 V 7 10 m s= × − 3 1 1 3 10 kgm s− − − η = ×

La fuerza resistiva es 252π ×10−16N. Luego la expresión para denotar la fuerza resistiva es:

A)6 R Vπ 2 η B)6 RVπ 2η C)3 RVπ η2 D) 6 RVπ η E) 4 RVπ η

63.Se ha encontrado que el periodo de revolución (T) de un satélite alrededor de la Tierra depende del radio de su trayectoria circular, de la constante de gravitación universal (G) y de la masa M de la tierra; encuentre una expresión para T si se sabe que:

[ ]

_{G =L M T}3 −1 −2 A)T k GM R = B)T k GR M = C)T k R2 GM = D)T k R GM = E)T k R3 GM =

64.Desde la parte superior de un tobogán sin fricción se suelta una esfera. Deducir la formula empírica para calcular la velocidad en la parte inferior del tobogán, si depende de la altura donde se dejó caer y la influencia de la gravedad. k : constante numérica A) k gh B) kgh C)k g h D)k h g E) k g h+

65.Rolando, un obrero de construcción civil ha observado que la potencia (P) de su carretilla depende de su fuerza (F) aplicada sobre ella y la velocidad (V) que le comunica. Además de ser obrero tiene nociones de física y ha observado que: F=400N; P=64watts y V 0,8 m s= . Con estos datos ¿Cuál fue la formula deducida? A) P 5FV= B) P 2FV= C) P=0,2FV D) P 8FV= E) P 10FV= 01. A 02. B 03. C 04. C 05. C 06. C 07. C 08. C 09. C 10. C 11. C 12. C 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20. 21. 22. 23. 24. 25. 26. 27. 28. 29. 30. 31. 32. 33. 34. 35. 36. 37. 38. 39. 40. 41. 42. 43. 44. 45. 46. 47. 48. 49. 50. 51. 52. 53. 54. 55. 56. 57. 58. 59. 60. 61. 62. 63. 64. 65

Academia SERUNA ₁₇

VECTOR

Es un ente matemático que sirve para representar a las magnitudes de carácter vectorial.

Ejemplos:

Desplazamiento, velocidad, fuerza, impulso, aceleración, campo eléctrico, etc.

ELEMENTOS DE UN VECTOR

• MÓDULO: Llamado también NORMA o TAMAÑO, es la medida de la longitud del vector, el módulo se representará mediante la notación: A : se lee “Módulo de A ”; si un vector no aparece con flecha encima se sobreentiende que se refiere al módulo, es decir: A= A

• DIRECCIÓN: Es el ángulo que forma el vector con respecto a un sistema de coordenadas cartesianas (por lo general se toma la orientación con respecto al semieje positivo de las abscisas).

• SENTIDO: Representado por la flecha del vector.

• LÍNEA DE ACCIÓN: Es aquella línea donde se encuentra contenido el vector a través de la cual puede deslizarse.

CLASIFICACIÓN DE LOS VECTORES

•

1. VECTORES COLINEALES

Son aquellos que se encuentran contenidos en una misma línea de acción.

2. VECTORES IGUALES

Dos vectores serán iguales cuando tienen la misma dirección, módulo y sentido. L // L . _{1 2}

3. VECTORES PARALELOS

Son aquellos que tienen sus líneas de acción paralelas entre sí.

En la figura: θ α β= =

4. VECTOR UNITARIO

Es aquel cuyo módulo es la unidad y tiene por misión indicar la dirección y sentido de un determinado vector. A= A u ⇒ u A A = Direción θ = sentido final módulo origen A B C A B // // 1 L 2 L θ A 1 L α B 2 L β C 3 L

CAPÍTULO II

Academia SERUNA 18

VECTORES UNITARIOS CARTESIANOS

Son aquellos vectores que tienen como módulo la unidad de medida y las direcciones coinciden con los ejes cartesianos.

Los vectores cartesianos son: iɵ : tiene dirección del eje X positivo.

iɵ

− : tiene dirección del eje X negativo. jɵ : tiene dirección del eje Y positivo

jɵ

− : tiene dirección del eje Y negativo

OPERACIONES CON VECTORES

ADICIÓN

Al vector “suma” también se le llama resultante. La resultante produce el mismo efecto que los sumandos.

1. MÉTODO DEL PARALELOGRAMO

Pasos a seguir:

1. La suma ( S ) o resultante (R) es la diagonal del paralelogramo formado.

2. La suma o resultante se denota: A B R + = Analíticamente:

θ

2 2

R= A +B +2AB cos Ley del paralelogramo

CASOS PARTICULARES

1. Cuando α= °0 y los vectores A y B son paralelos y del mismo sentido.

= +

máx

R A B

2. Cuando α=180° y los vectores A y B son paralelos y de sentidos opuestos.

= −

mín

R A B

3. Cuando α =90 , los vectores A y B son ° perpendiculares.

= 2+ 2

R A B

4. Cuando dos vectores tienen el mismo módulo y forman 60°. A =m y B =m jɵ jɵ − iɵ − iɵ x y A B θ // // R A B R R A =m ° 60 R =m 3 B =m A B A R A B= + B A B A R A B= − B

Academia SERUNA ₁₉ 5. Cuando dos vectores tienen el mismo módulo

y forman 120°. A =m y B =m

6. Cuando dos vectores tienen el mismo módulo y forman 90°. A =m y B =m

2. MÉTODO DEL TRIÁNGULO

Este método es válido sólo para dos vectores coplanares y concurrentes

Pasos a seguir:

• Se forma el triángulo, cuando son “SÓLO” 2 vectores

• Para hallar el valor de R se aplica la Ley de Lamy o de senos:

R a b

senβ= senγ =senα

3. MÉTODO DEL POLÍGONO

Se usa generalmente para sumar más de dos vectores. Se colocan uno a continuación del otro,

manteniendo constante su VALOR, DIRECCIÓN y SENTIDO. La resultante es el vector que parte del origen del primero y llega al extremo del último.

Ejemplo:

Construyendo el polígono:

NOTA:

En un sistema de vectores ordenados que forman un polígono cerrado se cumple que la resultante es cero

DIFERENCIA ( D )

La diferencia de vectores es llamada también resultante diferencia. Ley de cosenos: α 2 2 D= A +B −2AB cos a R a b S= + = b γ α β 1 ₂ 3 4 a b c d A B C F D E R 0= 1 2 3 R a b c d 4 R a b c d= + + + a D a b= − b α A =m R =m 120° B =m A=m B=m R R =m 2 Academia SERUNA 20 DESCOMPOSICIÓN RECTANGULAR Expresión vectorial de A :

A=A(cos i sen j) (A cos ; sen )θ + θ = θ A θ COMPONENTES RECTANGULARES DE UN VECTOR EN EL PLANO

Las componentes rectangulares están dadas por:

x y A A cos A=_A =_=Asenθθ ⇒  2 2 x y A = A +A

DIRECCIÓN DEL VECTOR A RESPECTO AL EJE X: θ y x A tan A = VECTORES EN EL ESPACIO

Análogamente a los puntos del plano cartesiano que están representados por un par ordenado, los puntos del espacio se representan mediante ternas de números o coordenadas espaciales.

EXPRESIÓN VECTORIAL DE UN VECTOR EN R3 Un vector A (a , a , a ) , se puede escribir = 1 2 3

como combinación lineal de sus vectores unitarios canónicos, así:

= 1+ 2 + 3

A a i a j a k DONDE:

iɵ, jɵ y ɵk son los vectores unitarios en las direcciones de los ejes X, Y y Z respectivamente. Dados dos puntos en el espacio, se puede hallar el vector que dichos puntos determinan, aplicando:

final inicial

V P= −P

MÓDULO DE UN VECTOR EN R3

El módulo de un vector A a i a j a k= ₁ + ₂ + ₃ ; está dado por:

= 12+ 22+ 32

A a a a

DIRECCIÓN DE UN VECTOR EN R3:

La dirección de un vector en R3, está dada por sus ángulos de orientación con respecto a los 3 ejes coordenados.

A los cosenos de dichos ángulos se denominan cosenos directores.

COSENOS DIRECTORES:

Las direcciones del vector con respecto a los ejes coordenados están dados por:

X Y O Z A 2 a 3 a 1 a A X Y θ x A =Acosθ y A =Asenθ X Y O Z 1 2 3 A(a ,a ,a ) A 1 a 2 a 3 a 3 Componentes de un vector en R

Academia SERUNA ₂₁

α:ángulo de inclinación con respecto al eje X

β:ángulo de inclinación con respecto al eje Y

γ: ángulo de inclinación con respecto al eje Z Dirección con el eje X: _cosα =a1

A Dirección con el eje Y: _cosβ =a2

A Dirección con el eje Z: _cosγ =a3

A

Propiedad: cos2α+cos2β+cos2γ=1 SUMA Y DIFERENCIA DE VECTORES EN R3 Dados dos vectores:

1 2 3

A a i a j a k= + + y B b i b j b k= ₁+ ₂ + ₃ Se define como vectores suma y diferencia, respectivamente:

1 1 2 2 3 3

S (a= +b )i (a+ +b )j (a+ +b )k

1 1 2 2 3 3

D (a= −b )i (a+ −b )j (a+ −b )k

MULTIPLICACIÓN DE UN VECTOR POR ESCALAR Dado el vector: A a i a j a k= ₁ + ₂ + ₃ y un escalar “r” se define como producto por escalar a la operación:

1 2 3 1 2 3

rA r(a i a j a k) ra i ra j ra k = + + = + + Donde el vector rA, es múltiplo y necesariamente paralelo al vector A .

PROPIEDADES DE LA MULTIPLICACIÓN POR ESCALAR:

Dado los vectores A y B R∈ 3y los escalares r, s R∈ , se cumple:

1. rA // A

2. (r s)A rA sA+ = + 3. r(A B) rA rB+ = + 4. r(sA) s(rA) (rs)A= =

PRODUCTO INTERNO O PRODUCTO PUNTO

Dados dos vectores: A a i a j a k= ₁ + ₂ + ₃ y

1 2 3

B b i b j b k= + +

Se define como producto interno A Bi de vectores a la expresión dada por:

• = _{1 1}+ _{2 2}+ _{3 3} A B a b a b a b Observe que: En _R2_{, para un vector} 1 2 A a i a j= + ; se cumple que: 2 2 2 1 2 A A a• = +a =A En 3 R , para un vector A a i a j a k= ₁ + ₂ + ₃ ; se cumple que: 2 2 2 2 1 2 3 A A a• = +a +a =A Z X O β_α A γ 1 a 2 a 3 a Y Cosenos directores 2 a cos A β = 1 a cos A α = 3 a cos A γ = Academia SERUNA 22 Otra definición:

Es posible también definir el producto interno mediante la relación:

θ

• =

A B AB cos Donde:

A : módulo del vector A B : módulo del vector B

θ: ángulo formado por los vectores A y B

PRODUCTO VECTORIAL O PRODUCTO CRUZ

Dados dos vectores: A a i a j a k= ₁ + ₂ + ₃ y

1 2 3

B b i b j b k= + + ; se define como producto vectorial A B× , a la expresión definida por el determinante: 1 2 3 1 2 3 i j k A B a a a b b b × = 2 3 3 2 1 3 3 1 1 2 2 1 A B (a b a b )i (a b a b )j (a b a b )k × = − − − + − PROPIEDAD:

El módulo del vector A B× esta dado por la siguiente relación:

A B× =ABsen θ Donde:

A : módulo del vector A B : módulo del vector B

θ: ángulo formado por los vectores A y B

Regla de la mano derecha:

Sirve para determinar la dirección del vector A B×

¡Observe!

INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA DEL VECTOR A×B

El vector A B× , está representado por un vector perpendicular, tanto al vector A como al vector B. Su módulo es igual al área del paralelogramo formado. Observe: A▱=bh; Además b A h Bsen= θ   =  Para el paralelogramo: A▱= A B× =ABsen bh ABsen θ = θ Para el triángulo: 1 1 A A B ABsen 2 2 θ = × = △ Representación gráfica del

producto vectorial B A A B× θ A × A B B B A θ × A B 1 A B 2 × h b O Triángulo

Academia SERUNA ₂₃ PROBLEMA 01

Determine el módulo de la resultante de los vectores mostrados. A) 15 B) 13 C) 14 D) 17 E) N.A.

Resolución

Para determinar el módulo de la resultante, emplearemos el método del paralelogramo.

Por ley de cosenos:

2 2 R= A +B +2AB cosθ 2 2 R= 1 +3 +2(1)(3)cos 60° 2 2 1 R 1 3 2(1)(3) 2   = + +     2 2 1 R 1 3 2(1)(3) 2   = + +     ⇒ R= 13 PROBLEMA 02

¿Qué ángulo deben formar dos fuerzas de 27N y 45N para que actúen sobre un cuerpo como solo una fuerza de 63N.

A) 45° B) 30° C) 60°

D) 16° E) 37°

Resolución

Graficamos según el enunciado:

Método del paralelogramo:

2 2 2 R =A +B +2AB cosθ 2 2 2 63 =27 +45 +2(27)(45)cosθ Resolviendo se obtiene: 1 cos 2= θ⇒ θ =60° PROBLEMA 03

Dos vectores tienen una resultante máxima cuyo módulo es 14u y una resultante mínima cuyo módulo es 2u. Determine el módulo de la resultante de los vectores cuando estos forman un ángulo de 90°.

A) 12u B) 14u C) 20u

D) 10u E) 15u

Resolución

Supongamos que sean dos vectores A y B , entonces según lo afirmado en el problema.

máx

R = + =A B 14; R_mín = − =A B 2 Resolvemos y encontramos los módulos de los vectores A y B .

A =8u y B =6u

Calculamos el módulo de los vectores A y B usando la fórmula [1], cuando los vectores son perpendiculares (θ = 90°).

VECTORES I

Problemas Resueltos

1N 3N 60° R 60° 1N 3N 45N θ 27N R=63N Cuerpo Academia SERUNA 24 2 2 A B+ = 8 +6 +2(8)(6) Cos 90° A B+ =10 u PROBLEMA 04

Determine el módulo de la resultante de los vectores A , B y C . Considere: ( A =4 6, B =4u y C =4u. A) 12 u B) 14 u C) 24 u D) 13 u E) 15 u

Resolución

Sumamos los vectores B y C , usando el método del paralelogramo:

Calculamos el módulo de B C+ usando la ley de cosenos:

2 2

B C+ = 4 +4 +2(4)(4)Cos60° =4 3u Un análisis geométrico adicional nos lleva a la conclusión de que el vector B C+ biseca al ángulo de 60°, esto es porque los vectores que se han sumado tienen igual módulo. Por lo tanto el ángulo que forman entre si el vector A y B C+ es 90°.

Sumamos ahora A y B C+ con el método del paralelogramo.

Calculamos el módulo de R A B C= + + usando el teorema de Pitágoras: 2 2 R = A + +B C 2 2 R = (4 6) +(4 3) ⇒ R =12u PROBLEMA 05

Dos vectores A y B tienen módulos de 10u y 6u respectivamente. Determinar en qué intervalo se encuentra el módulo de la resultante que se pueden obtener con estos dos vectores.

A) 0u≤ A B+ ≤16u B) 0u≤ A B+ ≤4u C) 6u≤ A B+ ≤16u D) 6u≤ A B+ ≤10u E) 4u≤ A B+ ≤16u

Resolución

Calculamos el módulo de la resultante máxima y mínima de estos dos vectores

A + B =16u ; A − B =4u El intervalo entre los cuales se encontrará la resultante de estos vectores de acuerdo al ángulo que formen entre si será:

4u≤ A B+ ≤16u A B C 60° 60° A B C 60° 60° B C+ B C+ R A B C= + + A

Academia SERUNA ₂₅

01.Halle el modulo del vector resultante de los vectores de 15 N y 7 N que forman entre si un ángulo de 53°

A) 20N B) 10N C) 15N D) 8N E) 5N

02.Dos fuerzas coplanares dan una resultante máxima de 8N y una resultante mínima de 2N, calcular el módulo de la fuerza resultante de dichas fuerzas cuando sus orígenes coinciden y forman entre si 60°.

A) 9 B) 11 C) 7

D) 8 E) 6

03.Si el módulo de la resultante máxima y mínima de dos vectores son de 14 y 2 unidades, ¿qué ángulo deben formar para que la resultante tenga un módulo de 10 unidades?

A) 30° B) 37° C) 53°

D) 60° E) 90°

04.Dos vectores coplanares y concurrentes tienen una resultante que mide 74 unidades y su correspondiente vector diferencia mide 37 unidades ¿Qué ángulo forman dichos vectores, si se sabe además que sus módulos son iguales?

A) 30° B) 53° C) 37° D) 16° E) 60°

05.Se tiene dos vectores A y B que forman entre si un ángulo de 53°, si A=75cm y el módulo de la resultante es de 300 cm. Hallar el seno del ángulo formado entre el vector B

y la resultante.

A) 0,4 B) 1,0 C) 0,1 D) 0,2 E) 0,3

06.Se tiene dos vectores de módulo constante dispuestos sobre un plano, se sabe que el mayor y el menor valor de su resultante es 32u y 6u, respectivamente. ¿Qué módulo tiene A B− , cuando A y B forman 60º?

A)2 38 u B)3 76 u C)1,5 76 u D)1,5 76 u E) 283 u

07.Dados dos vectores A y B que forman entre si 60°, donde A=10u y el módulo del vector diferencia tiene su menor valor. Determine el módulo del vector resultante entre A y B . A) 6u B) 5 7u C) 9u D) 9 2u E) 12u

08.¿Para qué valor del ángulo " "α , el módulo de la resultante es 5F? A) 30º B) 37º C) 45º D) 53º E) 60º

09.Hallar el módulo del vector 3A 2B− , si A =4u, B =5u. A) 13 B) 2 13 C) 4 D) 7 E) N.A.

10.Dos vectores coplanares A y B tienen el mismo módulo y se verifica que:

1

A B A B

2

+ = −

Luego, el ángulo que forman dichos vectores será:

A) 120° B) 127° C) 90° D) 60° E) 37°

VECTORES I

Practicando lo aprendido

α α 2F 2,5F 2,5F 37° A B Academia SERUNA 26

11.Se desea extraer un clavo de una madera mediante la acción de dos fuerzas de 30N y 50N que forma entre sí un ángulo de 127°. Hallar el efecto neto que producen las 2 fuerzas actuando sobre el clavo.

A) 20N B) 30N C) 40N

D) 50N E) 60N

12.Dos vectores forman un ángulo de 120º, el de mayor módulo mide 80 y la resultante es perpendicular al menor. Calcular el módulo de dicha resultante.

A) 20 B) 40 C) 40 3 D) 80 E) 15

13.De la siguiente figura mostrada, determinar:

2 1 V −V , si V1 = V2 =V A) V 2 B) 2V C) V D) 13V E) N.A.

14.Si la resultante de los tres vectores coplanarios mostrados es cero, halle el módulo del vector

b, sabiendo que A 7;= C 5= ; α=60◦. A) 2 B) 4 C) 5 D) 3 E) 6

15.Calcular el módulo del vector A , para que la resultante del sistema sea cero.

A) 2cm B) 4cm C) 6cm D) 8cm E) 10cm

16.Halle el ángulo θ conociéndose que la resultante debe tener valor mínimo.

A) 37° B) 45° C) 60° D) 53° E) 15°

17.Si la resultante de los 3 vectores coplanares mostrados en cero, hallar el módulo del vector “Q” sabiendo que, P=7 , R=5, α=60° A) 2

B) 3 C) 4 D) 5 E) 6

18.Dos vectores de igual módulo formando un ángulo de 74º entre sí, dan una resultante de módulo 8 unidades. Si los vectores forman un ángulo de 106º entre sí, ¿Cuál es el módulo de la resultante?

A) 6 B) 3 C) 4

D) 2 E) 15

19.Dados dos vectores A y B de igual magnitud forman un ángulo θ. ¿En qué relación están los módulos de los vectores

A B+ y A B− ? A)cot2 2 θ       B) 2 tan 2 θ       C)sen 2 θ       D)cos 2 θ       E) 2 cos 2 θ      

20.Dos vectores forman un ángulo de 113°, uno de ellos tiene 180 unidades de longitud y hace un ángulo de 53° con el vector suma de ambos. Encontrar la magnitud del segundo vector. α B C A 3 4 A θ x y α Q P R 30° 30° 1 V V2 A 8cm 6cm

Academia SERUNA ₂₇

A) 2 3 B) 84 C) 156

D) 96 3 E) 48 2

21.En la figura, calcular el módulo de la resultante del sistema de vectores:

A) 6 2 B) 6 5 C) 6 7 D) 6 13 E) 6 14

22.Se tiene dos vectores a =5N, b =3N; Calcular: a 2b− . A) 4 N B) 5 N C) 6 N D) 7 N E) 8 N

23.Calcular el módulo del vector 2A B+ , siendo |A|=4cm y |B|=7 cm A) 10 cm B) 11 cm C) 12 cm D) 13 cm E) 15 cm

24.Dados los vectores mostrados, determinar P 2Q− , considere: (P=5 y Q=3) A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 E) 8

25.Calcular el módulo de la diferencia A B− de los vectores mostrados si se sabe que A=16 y B=12 A) 40 B) 24 C) 10 D) 20 E) 12

26.Calcular el valor de la resultante de los vectores mostrados. A) 3a 2 B) 2a 2 C) a 2 D) 3a E) 5a

27.Determinar el módulo del vector resultante de los vectores mostrados si: A=10 y D=6. A) 30 B) 28 C) 26 D) 14 E) 7 01. A 02. C 03. E 04. B 05. D 06. E 07. D 08. B 09. D 10. C 11. D 12. D 13. A 14. D 15. E 16. D 17. 18. 19. 20. 21. 22. 23 24. 25. 26. B 27. B 60º C B=16u A=12u a b 63° 10° P Q 68° 15° A B 67º 53º A B 16° 106° a 2 3a 3a A B C D 60° Academia SERUNA 28 PROBLEMA 01

Hallar el módulo de la resultante. A) 100 B) 120 C) 150 D) 160 E) 180

Resolución

Descomponemos rectangularmnente cada vector:

* Hallamos “RX” RX = 120cos 53º – 90cos 37º X 3 4 R 120 90 5 5     =  −       RX = 0 * Hallamos “RY” RY = 90sen 37º + 120sen 53º Y 3 4 R 90 120 5 5     =  +       RY = 150

* Luego la resultante total se obtiene así:

2 2 X Y R= R +R 2 2 R= 0 +150 ∴ R 150= PROBLEMA 02

Halle la medida del ángulo “θ” para que la resultante se encuentre en el eje “x”

A) 45° B) 53° C) 37° D) 74° E) 90°

Resolución

Descomponemos rectangularmnente cada vector:

Como la resultante está ubicada sobre el eje “x”, entonces en el eje vertical, la resultante debe ser igual a cero: Luego: Ry = 0 10sen θ – 16cos 60º = 0 5senθ = 8cos60º 1 5sen 8 2 θ=     4 sen 5 θ = ∴ θ =53°

VECTORES II

Problemas Resueltos

53° 37° 120 90 53° 37° 120sen53° 90sen37° 120 cos 53° 90 cos 37° θ 60° 10 16 6 θ 60° 10 16 6 16sen60° 16 cos 60° 10senθ 10 cosθ

Academia SERUNA ₂₉ PROBLEMA 03

Los vectores A , B y C están ubicados en el sistema ortogonal, tal como se muestra en la figura. Determine el módulo y la direccion de la resultante. (A=10u, B= 8 2u y C=10u)

A) 4u; ∠ 7º B) 1u; ∠ 8 º C) 4u; ∠ 0 º D) 1u; ∠ 0 º E) 1u; ∠ 10 º

Resolución

Los ángulos mostrados no corresponden a triángulos notables. Si los vectores son girados 7° en sentido horario, obtenemos que los vectores forman ángulos notables.

A 10 cos 53 i 10sen53 j= ° +ɵ °_ɵ A 6 i 8 j= ɵ+ _ɵ B 8 2 cos 45 i 8 2sen45 j= ° −ɵ °_ɵ B 8 i 8 j= ɵ− _ɵ C= −10 iɵ Calculamos la resultante R= + +A B C R (6 i 8 j) (8 i 8 j) ( 10 i)= ɵ+ ɵ+ ɵ− ɵ + − _ɵ R 4 i= ɵ

El módulo de la resultante es: R =4u, girando el vector 7° en sentido antihorario (para restituir el

ángulo anteriormente girado), la dirección y el sentido del vector resultante será: 7° con respecto al eje +x.

PROBLEMA 04

En el siguiente sistema de vectores, determine el modulo del vector resultante.

A) 12 B) 20 C) 15 D) 14 E) 10

Resolución

Como los ángulos no son notables, giramos el sistema 19° en sentido horario.

Hallando la resultante en cada eje:

X

R =26i 4i 16iɵ− −ɵ ɵ= +6i ( )ɵ →

Y

R =4j 12jɵ− ɵ= −8j ( )ɵ ↓

Calculamos el módulo de la resultante

2 2 X Y R= R +R 2 2 R= (6) + −( 8) =10 ∴ R 10= 60° 38° A B C 83° 53° 45° A B C 19° 34° 26 20 4 2 64° 4 53° 26 20 4 2 45° 4 12 16 Academia SERUNA 30

01.Hallar la dirección del vector resultante. A) 30°

B) 37° C) 45° D) 53° E) 60°

02.Si la fuerza resultante del siguiente grupo de vectores es horizontal. Halla “F”.

A) 10 B) 20 C) 30 D) 40 E) 20 3

03.Dado el conjunto de vectores, halla el módulo de la resultante. A) 2 B) 2 2 C) 2 D) 1 E) 5

04.Calcula el módulo de la resultante. A) 8 10

B) 18 10 C) 54 D) 56 E) 46

05.Si en el siguiente grupo de fuerzas, la resultante es vertical. Halla “θ”.

A) 37° B) 53° C) 60° D) 30° E) 45°

06.Determinar el módulo de la resultante de los tres vectores mostrados.

A) 2 B) 4 C) 6 D) 2 2 E) NA

07.Determinar el módulo del vector resultante del sistema: A) 8 B) 20 C) 13 D) 21 E) 0 08.Si el radio de la semicircunferencia es 25. Hallar el modulo del vector resultante. A) 9 10 B) 2 10 C) 6 D) 4 E) 0 6 8 4 10 30º 53º 9 F 14 30º 53º 10 u 10 u 3º 50º 48º 4 2 u 50 50 10º 11º 10 10 2 45º 60º θ 25 10 10 4 2 135º 82º 42º 21º 60° 52° 83° 18 10 2 25

Academia SERUNA ₃₁ 09.En el siguiente sistema de vectores, el módulo

de la resultante es 30 2 unidades y tiene una dirección de 45°. Calcule la medida del ángulo α, sabiendo que a =70u y

10 . = b u A) 45° B) 53° C) 37° D) 16° E) 30°

10.Dados 3 vectores en el plano, halle el ángulo θ, de manera que la suma de estos sea cero. A) 37°

B) 45° C) 33° D) 25° E) 22°

11.Se muestra tres vectores A , B y C que verifican 2 A =2 B = C . Si la resultante de los tres vectores toma su menor valor, determine el valor del ángulo " "α y el valor de la resultante. A) 16º y 24 B) 14º y 25 C) 14º y 20 D) 16º y 25 E) 14º y 50

12.Calcular el ángulo θ y el módulo de la fuerza resultante sabiendo que tiene la misma dirección que el vector de 40 unidades.

A) 17°; 23 B) 13°; 25 C) 13°; 33 D) 15°; 24 E) 17°; 22

13.La resultante del sistema tiene un módulo igual a 10 y forma +37º con el eje +x. Determinar la expresión vectorial cartesiana de m . A) 10 2ɵi+ ɵ j B)ɵi+3ɵ j C) 13jɵ D) 18 13ɵi+ ɵ j E) 18iɵ+3ɵ j

14.Si el vector resultante de los vectores mostrados es nulo, halle θ.

A) 53° B) 26,5° C) 45° D) 73,5° E) 37°

15.Calcular α si la resultante del sistema se encuentra sobre la línea de acción 27N. A) 10° B) 20° C) 36° D) 37° E) 8° (24;7) B 44º A C αO 73° 73° α 25N 15N 27N 45° 2 5i j − −ɵ ɵ 8 2 m θ 27° 10° 11 A 5 10 8 C 75° 15° θ x y 20° 20° θ 40 24 30 α 37° 53° c b a Academia SERUNA 32

16.Hallar el módulo de la resultante del conjunto de vectores mostrados en la figura.

A) 10 B) 12 C) 14 D) 16 E) 8

17.La figura muestra a tres vectores coplanares, si la resultante de estos vectores tiene un módulo de 25u y una dirección de 53°, determine tan .θ A) 3 4 B) 9 13 C) 3 2 D) 13 9 E) 4 3 18.En la figura mostrada a b+ = −( 3; 3). Si = a m y b =n, determine el valor de . + m n A) 1+ 2 B) 2+ 2 C) 1+ 3 D) 3+ 3 E) 2+ 3

19.En la figura mostrada se sabe que: 0 + + + = a b c d Siendo: b =3, c =5 3 y d =8.

Calcule el módulo del vector a y la medida del ángulo .θ A) 4; 30° B) 1; 60° C) 2, 30° D) 6; 60° E) 4, 60°

20.En el sistema mostrado, hallar el módulo del vector resultante, sabiendo que la circunferencia tiene un radio de 25 5 cm. A) 12cm

B) 15cm C) 10cm D) 20cm E) 15cm

21.La siguiente figura muestra tres vectores concurrentes en el plano XY, halle el módulo del vector resultante.

A) 3u B) 5u C) 10u D) 15u E) 20u 01. A 02. C 03. E 04. B 05. D 06. E 07. D 08. B 09. D 10. C 11. D 12. D 13. A 14. D 15. E 16. D 17. 18. 19. 20. 21. 22. 23 24. (1;9) x y (4; 1)− ( 5;5)− ( 6; 5)− − a 67° 46° b a c b 10 5 θ 37° a b 60° 30° a b c d α 30° 25u 20u _20u 22° 15° 68°

Academia SERUNA ₃₃ PROBLEMA 01

Sobre la cuadricula mostrada se ubican a tres vectores, ¿qué vector se debe añadir para obtener una resultante nula?

A) (−6;1) B) (1;6) C) (−6;−1) D) (6;1) E) (−5;−2)

Resolución

Sean A, B y C los vectores que se indican:

A (2; 3)= − B (4;2)= C (0;2)=

Nos piden determinar un cuarto vector D para que la resultante sea nula.

R A B C D= + + + (0;0) (2; 3) (4;2) (0,2) D= − + + +

D ( 6, 1)= − −

NOTA:

Los vectores también se pueden expresar como pares ordenados:

A (a ; b) a i b j= = ɵ+ ɵ i:

ɵ Vector unitario en la dirección del eje x j:

ɵ Vector unitario en la dirección del eje x

PROBLEMA 02

Si en los vectores que se hallan contenidos en el rectángulo se cumple que: x na mb= + . Halle m+n. A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5

Resolución:

Sea c un vector auxiliar:

Usando el método del triángulo se tiene: x a c= + c x a= − …….(1) b a 4c= + ……….(2) Reemplazando (1) en (2): b a 4(x a)= + − b a 4x 4a= + − 3 1 x a b 4 4 = + =na mb+ De donde: n 3 4 = y m 1 4 = ∴ m n 1+ =

VECTORES III

Problemas Resueltos

1 1 1 1 A B C x a _b x a _b c c c c Academia SERUNA 34

01.Del conjunto de vectores mostrados. Halle el módulo del vector:

2 4 2 R= A− +B C− D A) 1m B) 2m C) 3m D) 4m E) 6m

02.En la figura, los vectores dados están relacionados entre sí por: C=mA nB+ . Donde m y n son números reales. Determine m + n. A) 10 11− B) 8 11− C) 14 15− D) 22 15− E) 11 120−

03.La figura muestra una cuadrícula formada por doce cuadrados iguales de 1cm de lado cada uno, calcule el módulo del vector resultante de los vectores a , b y −c. A) 3cm B) 10cm C) 3cm D) 5cm E) 4cm

04.Escriba x como combinación lineal de los vectores a y b . Dar como respuesta el producto de los coeficientes.

A) −20/49 B) 1/4 C) 1 D) 20/49 E) −1

05.Expresar A en función de los vectores P y Q, o sea A=mP+nQ. Dar como respuesta los valores de “m” y “n”. A) 5 y –6 B) 3 y –3 C) 4 y –1 D) 3 y –2 E) 5 y –6 06.En la figura mostrada: = + P r A nB

Hallar los valores de r y n. Cada cuadrado es de lado 1cm de lado. A) 3 11; 9 11 B) –2; 3 C) –7; 11 D) 3 11 − ;22 13 E) 3 11 − ; 13 11 −

07.Dado el siguiente conjunto de vectores determine el vector R= −A 2B−3C+D. Si cada lado del cuadrado mide “a”

VECTORES III

¡Practicando lo aprendido!

A B C D 1m 1m C A B x b a P A Q P A B a c b

Academia SERUNA ₃₅ A) ai 3aj− +ɵ _{ɵ B) 6ai 3aj}ɵ_{− ɵ C) 3ai aj}ɵ_{+ ɵ}

D) 4ai ajɵ− _{ɵ E) 4ai 2aj}ɵ_{− ɵ}

08.Sobre la cuadrícula mostrada se ubican tres vectores, si se cumple que x=ma+nb. Halle m + n. A) 1 B) 0 C) −1 D) 2 E) −2

09.Halle el vector resultante de los vectores mostrados en la figura. A) 5 2ɵ_i+ ɵ_j B) 3 2− +ɵ_i ɵ_j C) 5 2− +ɵ_i ɵ_j D) 3 3ɵ_i+ ɵ_j E) 3 2− −ɵ_i ɵ_j

10.Si se cumple que: A+ + =B C O, determine el vector unitario del vector C.

A)(i 3j) 5ɵ+ ɵ B) (i 3j) 10 + − ɵ ɵ C)(i j) 2ɵ ɵ+ D)(2i 3j) 5 + ɵ ɵ E)ɵi 2 2 j+ _ɵ

11.Determine el vector resultante del conjunto de vectores mostrados y el vector F que sumado con los vectores dados resulta cero.

A) 2bi 2ajɵ+ _{ɵ ; 2bi 2aj−} ɵ_{− ɵ} B) bi ajɵ+ _{ɵ ; bi aj− −}ɵ _ɵ C) bi ajɵ− _{ɵ ; bi aj− +}ɵ _ɵ D) 2bi 3aj− ɵ+ _{ɵ ; 2bi 3aj}ɵ_{− ɵ} E) 4bi 3ajɵ− _{ɵ ; 4bi 3aj−} ɵ_{+ ɵ}

12.La figura está conformada por pequeños cuadrados de lado igual a 1cm. Calcular el módulo de la resultante de los vectores mostrados. A) 2 10 B) 4 10 C) 6 10 D) 8 10 E) 10 10 01. A 02. C 03. E 04. B 05. D 06. E 07. D 08. B 09. D 10. C 11. D 12. D x a b A B C D A B B A D C a b a c b Academia SERUNA 36 PROBLEMA 01

Dado el siguiente conjunto de vectores, se pide encontrar el módulo de la resultante, si se sabe que: AM=MC=4 y MB=5. A) 12 B) 10 C) 14 D) 15 E) 20

Resolución

Descomponiendo los vectores poligonalmente.

De la figura es fácil darse cuenta que los vectores horizontales se anulan, y en consecuencia, la resultante del conjunto de vectores es: R=5+5.

∴ R 10=

PROBLEMA 02

En el gráfico adjunto, halle la resultante de los vectores mostrados. A) F B) 2F C) 3F D) F− E) 2F−

Resolución

Agrupando los vectores convenientemente, usando el método del polígono.

Sea: R A B C D E F= + + + + + ….. (I) De la figura notamos: A B C F+ + = ( )α D E F+ = ( )β Luego ( )α y ( )β en (I) R F F F= + + ∴ R 3F= PROBLEMA 03

En el sistema vectorial mostrado, determinar el módulo del vector R A B C D E= + − − + . Si

A =3 y B =8. A) 12 B) 10 C) 14 D) 15 E) 20

Resolución

Haciendo uso del método del polígono cerrado. Resultante igual a cero:

VECTORES IV

Problemas Resueltos

A C B M A C B 5 5 A B C E D A B C+ + D E+ F A B C E D F B A _C E D