Metodo Directo de La Rigidez i

CÁLCULO MATRICIAL DE ESTRUCTURAS.

MÉTODO DIRECTO DE RIGIDEZ

INTRODUCCIÓN

CONCEPTO DE DISCRETIZACIÓN

MATRIZ DE RIGIDEZ Y MATRIZ DE FLEXIBILIDAD

PROPIEDADES DE LAS MATRICES DE RIGIDEZ Y FLEXIBILIDAD EJEMPLO

SISTEMAS DE COORDENADAS

MATRIZ DE RIGIDEZ DEL ELEMENTO EN EL SISTEMA LOCAL TRANSFORMACIÓN DE COORDENADAS

MATRIZ DE RIGIDEZ DEL ELEMENTO EN EL SISTEMA GLOBAL SÍNTESIS DE LA MATRIZ DE RIGIDEZ DE LA ESTRUCTURA CÁLCULO DE LOS DESPLAZAMIENTOS Y LAS REACCIONES CÁLCULO DE LOS ESFUERZOS

ESQUEMA BÁSICO GENERAL DE UN PROGRAMA DE CÁLCULO MATRICIAL

1 INTRODUCCIÓN

Las ideas fundamentales del cálculo de estructuras ya estaban totalmente desarrolladas en el siglo XIX, conociéndose perfectamente las relaciones de equilibrio y compatibilidad que se dan en una estructura así como el comportamiento de la barra prismática.

Dado que los cálculos debían realizarse de forma manual, el número de operaciones resulta un condicionante importante. Con el fin de disminuirlas se desarrollaron métodos (analíticos y gráficos) que aprovechaban al máximo las características de cada tipo de estructura  el campo de aplicación de cada método particular resultaba muy limitado. Un método es bueno si, proporcionando resultados suficientemente aceptables, requiere pocas operaciones. Estos métodos fueron ampliamente utilizados hasta que, en la década de 1.950, aparecen las computadoras.

A partir de entonces el número de operaciones a realizar deja de ser un condicionante, ahora se prefiere un método general que permita tratar el mayor número de problemas posibles aunque ello requiera gran número de cálculos numéricos. Dado que las operaciones las realizará una computadora, un método es bueno si es fácilmente sistematizable. A este grupo de métodos pertenecen los métodos matriciales. Que los cálculos los realice una computadora no significa que del técnico que la utiliza se requiera menor conocimiento del comportamiento estructural de un sistema. Los programas de cálculo de estructuras por ordenador son una herramienta muy poderosa para el buen técnico, pero también muy peligrosa en manos de quien no conoce suficientemente los fundamentos, lo que puede llevarle a realizar modelos inadecuados, contemplar hipótesis incorrectas, interpretar deficientemente de los resultados, etc.

2

CONCEPTO DE DISCRETIZACIÓN

Para introducir este concepto vamos a calcular el área de un círculo de radio R. Los pasos a seguir son los siguientes:

1. División del dominio bajo estudio (en nuestro caso el círculo) en trozos a los que llamaremos

elementos. En principio los elementos pueden tener cualquier forma, en la figura se muestran posibles

discretizaciones de mismo círculo.

Las discretizaciones pueden definir el dominio por defecto o por exceso, pueden utilizarse un solo tipo de elemento o varios, etc.

2. Definición de las ecuaciones que definen el problema en cada elemento. Aplicado a nuestro caso equivale a definir el área de cada uno de los elementos en que hemos dividido el círculo. Si optamos por una discretización del tipo de la izquierda, con n elementos iguales cada uno de área:

n

R

A

_i

sen

2



2

1

2



3. Ensamblaje de las ecuaciones de los elementos para obtener las ecuaciones del conjunto. En nuestro caso se trata simplemente de sumar las áreas de los elementos, que será la aproximación del área del círculo:







n i i T

A

A

1

4. Resolución. Lo que permite obtener una solución aproximada al problema planteado.

n

R

n

A

A

n i i T



2

sen

2

1

2 1









5. Estudios sobre la convergencia y la estimación del error. Se dice que un proceso es convergente si aumentado el número de elementos la solución aproximada se acerca a la real.

2 0 2 2 2

sen

lím

2

2

sen

lím

2

sen

2

1

lím

lím

R

R

n

n

R

n

R

n

A

n n T n















_





















































      

Que es el área del círculo de radio R  el proceso es convergente. La diferencia entre solución exacta y aproximada es el

error cometido. En el proceso expuesto hay dos posibles fuentes de error (una vez formulado correctamente el problema): el propio proceso de división en elementos puede no definir correctamente el dominio (como ocurre al dividir el círculo en triángulos), y por otro lado las ecuaciones de los elementos pueden ser aproximadas (en el caso presentado no es así).











 







n

n

R

n

R

n

R









sen

2

2

2

sen

2

Error

2 2 2

El proceso de discretización aplicado a una estructura es análogo al anteriormente descrito. En principio, en una estructura pueden definirse muchas discretizaciones distintas. Lo más adecuado es utilizar

discretizaciones como la de la derecha, en la cual todos los elementos son cualitativamente iguales, no requiriendo estudios particulares para cada uno de ellos. De esta manera, una estructura de barras será discretizada en elementos (barras) que se conectarán en una serie de puntos a los que llamaremos nudos. Así, cada elemento tendrá dos nudos, uno en cada extremo. Nosotros nos centraremos en el elemento barra recto, aunque no existe ninguna dificultad conceptual en desarrollar elementos curvos.

Es importante notar que el proceso de discretización de una estructura tiene como consecuencia inmediata el pasar de un sistema con  grados de libertad (todos los desplazamientos posibles de los  puntos que forman la estructura) a un sistema con un número finito de grados de libertad (los desplazamientos posibles de los n nodos que se han definido al discretizar la estructura). En un caso plano cada nudo tiene tres grados de libertad (dos traslaciones y un giro), la estructura tendrá 3n grados de libertad, en el caso espacial cada nudos tiene seis grados de libertad  la estructura tendrá 6n grados de libertad.

3

MATRIZ DE RIGIDEZ Y MATRIZ DE FLEXIBILIDAD

Error debido al proceso de división del dominio

El problema de sólido deformable más simple es el de un muelle, con un extremo empotrado y el otro libre. Se trata de un sistema de un grado de libertad, el desplazamiento del extremo libre. Al aplicar al muelle una carga P, se deforma alargándose una cierta cantidad que origina un desplazamiento del extremo libre.

Alargamiento y carga se relacionan a través de la constante de rigidez, k, del muelle:



k L k P  

aP

P

k

L









1



La constante a recibe el nombre de constante de flexibilidad.

Un sistema más complicado es el de un voladizo. Se trata de una barra empotrada en un extremo y libre en el otro. En el caso plano este sistema tiene tres grados de libertad: desplazamiento

longitudinal, desplazamiento transversal y el giro del extremo libre. Nos planteamos el problema de encontrar las ecuaciones que permiten obtener los desplazamientos conocidas las cargas y viceversa. Para ello vamos a resolver en primer lugar los problemas siguientes:

Es fácil comprobar que las soluciones de estos problemas son las siguientes:

Problema 1: _x

F

_x

EA

L

u



u

_y



0



_z 0 Problema 2:

u

_x



0

_y

F

_y

EI

L

u

3

3



_z

F

_y

EI

L

2

2





Problema 3:

u

_x



0

_y

M

_z

EI

L

u

2

2



_z

M

_z

EI

L





Dado que es de aplicación el principio de superposición, la expresión general de los desplazamientos será:

x x

F

EA

L

u



_{y y}

M

_z

EI

L

F

EI

L

u

2

3

2 3





_{z y}

M

_z

EI

L

F

EI

L

_



2

2



que en forma matricial queda:

P  1 2 3 Fx problema 1 Fy problema 2 Mz problema 3



















































































z y x z y x

M

F

F

EI

L

EI

L

EI

L

EI

L

EA

L

u

u

2

0

2

3

0

0

0

2 2 3



 uAF

La matriz A recibe el nombre de matriz de flexibilidad de la estructura.

Para calcular la relación inversa podemos invertir las ecuaciones anteriores o resolver los problemas:

De manera similar a los problemas previos, puede obtenerse fácilmente:























































































z y x z y x

u

u

L

EI

L

EI

L

EI

L

EI

L

EA

M

F

F



4

6

0

6

12

0

0

0

2 2 3 

F



K

u

Siendo K la matriz de rigidez del sistema.

4

PROPIEDADES DE LAS MATRICES DE RIGIDEZ Y DE FLEXIBILIDAD

La primera propiedad de las matrices de rigidez y flexibilidad está relacionada con el significado físico de cada uno de sus términos. Supongamos la relación de rigidez de una estructura con n grados de libertad, y escojamos la ecuación i, que vendrá dada por:

n n j ij i i i i

K

u

K

u

K

u

K

u

K

u

F



_{1 1}



_{2 2}



_{3 3}



_





_



Si aplicamos un desplazamiento unidad en el grado de libertad j (

u

_j



1

) y nulo en el resto de grados de libertad (

u

_k



0

con k  j): Fi = Kij  El término de la fila i columna j de K (Kij) es la carga que se aplica en el grado de libertad i cuando se produce un desplazamiento unidad en el grado de libertad j y nulo en el resto de los grados de libertad.

Análogamente, el término de la fila i columna j de A (Aij) es el desplazamiento que se produce en el grado de libertad i cuando se aplica una carga unidad en el grado de libertad j y nulo en el resto de los grados de libertad. z problema 3 ux problema 1 uy problema 2

Utilizando la propiedad anterior, una columna genérica, j, de la matriz K puede ser obtenida aplicando un desplazamiento unidad en el correspondiente grado de libertad, j, y nulo en el resto y calculando las cargas que aparecen en los diferentes grados de libertad. De forma análoga una columna genérica, j, de la matriz A puede ser obtenida aplicando una carga unidad en el correspondiente grado de libertad, j, y nula en el resto y calculando los desplazamientos que aparecen en los diferentes grados de libertad.

Las matrices K y A son simétricas. Para demostrar esta propiedad vamos a enunciar y demostrar previamente el teorema de reciprocidad.

Teorema de reciprocidad:1 Supongamos dos problemas definidos sobre una misma estructura:  las cargas, Fa

, los esfuerzos, Na, Va, Ma, las deformaciones, en

a , ev a , em a , y los desplazamientos, ua.  las cargas, Fb

, los esfuerzos, Nb, Vb, Mb, las deformaciones, en

b , ev b , em b , y los desplazamientos, ub. entonces: el trabajo que realizan las cargas del primer sistema, Fa, con los desplazamientos del segundo,

ub

, es igual al trabajo que realizan las cargas del segundo sistema, Fb, con los desplazamientos del primero, ua.

Demostración: para ello utilizaremos el Teorema de los Trabajos Virtuales:









































barras b a b a b a barras b a b a b a nudos b a

EI

M

M

GA

V

V

EA

N

N

e

M

e

V

e

N

u

F

_j j c j j j j mj j vj j nj j i i











_





























nudos a b barras a b a b a b barras a b a b a b i i mj j vj j nj j j j c j j j j

N

e

V

e

M

e

F

u

EI

M

M

GA

V

V

EA

N

N

Utilizando este resultado es fácil comprobar la simetría de las matrices K y A:

lk kl l k lk i j ij i i k l kl i j ij i i K K u u K u u K u F u u K u u K u F             













nudos a b nudos a b nudos a b nudos b a nudos b a nudos b a

Análogamente se probaría para la matriz de flexibilidad, A.

Todos los términos de la diagonal principal son positivos. Para demostrarlo supongamos que la estructura la sometemos a una carga en sentido positivo en el grado de libertad i, siendo nulas las cargas en el resto

de grados de libertad. Es claro que la estructura se deforma y absorbe energía  el trabajo realizado por las cargas externas debe ser positivo (dicho trabajo es la energía que se almacena como energía de

1

Aunque puede demostrarse para el caso general, el enunciado y demostración aquí expuestos se restringe al caso de cargas puntuales.

deformación en la estructura)  el desplazamiento en el grado de liberta i debe ser en el mismo sentido en que se aplica la carga, positivo  Aii > 0. Análogamente se probaría para la matriz K.

5

EJEMPLO

Sea la estructura de la figura en la cual se desprecian las deformaciones debidas a los esfuerzos axil y cortante. Se trata de obtener las matrices de rigidez y flexibilidad que definen el comportamiento de la misma.

Lo primero que debemos hacer es identificar los grados de libertad del sistema. En principio, al tratarse de una figura plana cada nudo tiene tres grados de libertad, pero:

 el nudo A tiene impedidos los tres movimientos  no tiene ningún grado de libertad

 si en0  la barra AB ni se alarga ni se acorta  el desplazamiento vertical del nudo B es nulo  el nudo B tiene dos grados de libertad (el desplazamiento horizontal y el giro)

 si en0  la barra BC ni se alarga ni se acorta  el desplazamiento horizontal del nudo C es igual que el

desplazamiento horizontal del nudo B  el nudo C tiene dos grados de libertad (el desplazamiento vertical y el giro)

En definitiva, el sistema tiene cuatro grados de libertad  las matrices de rigidez y flexibilidad serán cuadradas de orden 44. Los vectores de desplazamientos y cargas serán:



1 2 3 4



T _{ } u u  u T



_{1 2 3 4}



M F M F  F

Vamos a calcular en primer lugar los términos de la matriz de flexibilidad. Para calcular los de la primera columna aplicaremos una carga unidad en el grado de libertad 1 y nula en el resto. Obtenemos así:

L L E, Iv E , Ip A C B A C B 1 2 3 4 A C B F1=1 A C B L u1 2 u3 4 A C B

11 p 3 1

3

EI

A

L

u





₂₁ p 2 2

2

EI

A

L









₃₁ p 3 3

2

EI

A

L

u







₄₁ p 2 4

2

EI

A

L









Para la segunda columna resolvemos el problema:

12 p 2 1

2

EI

A

L

u







₂₂ p 2

A

EI

L 





₃₂ p 2 3

A

EI

L

u





₄₂ p 4

A

EI

L 





Para la tercera columna:

13 p 3 1

2

EI

A

L

u







₂₃ p 2 2

A

EI

L

_





₃₃ v 3 p 3 3

3

EI

A

L

EI

L

u







₄₂ v 2 p 2 4

2

EI

A

L

EI

L

_

_





Finalmente, para la cuarta columna: A C B M2=1 A C B 1 A C B u1 _ 2 u3 4

14 p 2 1

2

EI

A

L

u







₂₄ p 2

A

EI

L 





₃₄ v 2 p 2 3

2

EI

A

L

EI

L

u







₄₄ v 2 p 2 4

A

EI

L

EI

L

_

_





La matriz de flexibilidad de la estructura en cuestión resulta ser:











































































p p v 2 p 2 p p 2 v 2 p 2 v 3 p 3 p 2 p 3 p p 2 p p 2 p 2 p 3 p 2 p 3

2

2

2

3

2

2

2

2

2

3

EI

L

EI

L

EI

L

EI

L

EI

L

EI

L

EI

L

EI

L

EI

L

EI

L

EI

L

EI

L

EI

L

EI

L

EI

L

EI

L

EI

L

EI

L

EI

L

EI

L

A

 u = A F

La matriz de rigidez se obtiene de forma similar, dando desplazamientos unidad en un grado de libertad y nulos en el resto y calculando las cargas necesarias, estas son los términos de la columna de K correspondiente a dicho grado de libertad.

Otra posibilidad, una vez calculada la matriz de flexibilidad es invertirla:

A1 u = A1 A F  F = A1 u  K = A1

Para el problema asociado a la primera columna es claro que las cargas en los grados de libertad 3 y 4 son nulas (F3 = 0, M4 = 0). Para calcular las cargas necesarias en los grados de libertad 1 y 2 aplicamos las

condiciones de equilibrio y compatibilidadcomportamiento a la barra AB.

1

2

3

_p 2 2 p 3 1 1







EI

L

M

EI

L

F

u

0

2

_p 2 p 2 1 2









EI

L

M

EI

L

F



Ecuaciones de las que se despejan F1 y M2:

3 p 1

12

L

EI

F



2 p 2

6

L

EI

M



A C B u1=1 F1 M2 F3 M4 A C B 2=1 F1 M2 F3 M4

Con la segunda columna:

0

2

2

2

3

_p 2 4 p 3 3 p 2 2 p 3 1 1











EI

L

M

EI

L

F

EI

L

M

EI

L

F

u

1

2

_p 4 p 2 3 p 2 p 2 1 2













EI

L

M

EI

L

F

EI

L

M

EI

L

F



0

2

3

2

_v 4 2 p 2 3 v 3 p 3 p 2 2 p 3 1 3

















































M

EI

L

EI

L

F

EI

L

EI

L

EI

L

M

EI

L

F

u

0

2

2

_v 3 _{p v} 4 2 p 2 p 2 p 2 1 4

















































M

EI

L

EI

L

F

EI

L

EI

L

EI

L

M

EI

L

F



Que una vez resuelto proporciona los valores:

2 p 1

6

L

EI

F







L

EI

EI

M

₂



4

p



v 2 v 3

6

L

EI

F





L EI M₄ 2 v

Para la tercera columna en el sistema de ecuaciones anterior imponiendo: u1 = 0, 2 = 0, u3 = 1, 4 = 0,

obteniendo: 0 1  F 2 v 2

6

L

EI

M





3 v 3

12

L

EI

F



2 v 4

6

L

EI

M





Y finalmente la cuarta columna se obtiene con: u1 = 0, 2 = 0, u3 = 0, 4 = 1:

0 1  F L EI M₂ 2 v 2 v 3

6

L

EI

F





L EI M₄  4 v

La matriz de rigidez resultante es: A C B u3=1 F1 M2 F3 M4 A C B 4=1 F1 M2 F3 M4





























































L

EI

L

EI

L

EI

L

EI

L

EI

L

EI

L

EI

L

EI

L

EI

EI

L

EI

L

EI

L

EI

v 2 v v 2 v 3 v 2 v v 2 v v p 2 p 2 p 3 p

4

6

2

0

6

12

6

0

2

6

4

6

0

0

6

12

K

 F = K u

6

SISTEMAS DE COORDENADAS

Para sistematizar el proceso que vamos a seguir, conviene definir los siguientes sistemas de coordenadas:  Sistema de referencia. Será un sistema, en general cartesiano, fijo. Es el utilizado habitualmente para

definir la geometría de la estructura, es decir la posición de todos los nudos.

 Sistema global. Esta formado por todos los grados de libertad definidos en el sistema de referencia de la estructura. Está establecido en cada nudo según los grados de libertad del mismo.

 Sistema nodal. En general coincide con el sistema global, salvo en aquellos nudos en los que, por algún motivo especial, interesa definir los grados de libertad en otras direcciones. En este sistema se suelen definir las cargas externas en nudos, las reacciones y los desplazamientos de los nudos.

 Sistema local. Está definido para cada elemento. En él se plantean las ecuaciones generales del elemento independientemente de la orientación de éste. En este sistema se suelen definir las cargas en barra.

Para mayor claridad, en la figura se muestra una estructura y los sistemas de coordenadas definidos anteriormente.

Sistema global Sistema nodal Sistema local

Sistema de referencia

7

MATRIZ DE RIGIDEZ DEL ELEMENTO EN EL SISTEMA LOCAL

En el apartado anterior se han estudiado las matrices de rigidez y flexibilidad de una estructura, en este apartado se trata de obtener estas matrices para el elemento barra que estemos considerando.

Una barra de celosía tiene dos grados de libertad en el sistema local (los desplazamientos de los extremos en la dirección de la barra), es fácil comprobar que la matriz de rigidez de dicho elemento es:

             L EA L EA L EA L EA ' k  P'k'd'

siendo E el módulo de elasticidad del material, A el área del perfil y L la longitud de la barra. 'P es un

vector que agrupa a las cargas en los grados de libertad del elemento, y 'd un vector que agrupa a los desplazamientos en los diferentes grados de libertad del elemento.

Para el caso de una barra plana de nudos rígidos, que tiene 6 grados de libertad (dos traslaciones y un giro en cada uno de sus extremos), trabajando con las ecuaciones desarrolladas en capítulos anteriores, es fácil comprobar que la matriz de rigidez de dicho elemento es:

                                         L EI L EI L EI L EI L EI L EI L EI L EI L EA L EA L EI L EI L EI L EI L EI L EI L EI L EI L EA L EA 4 6 0 2 6 0 6 12 0 6 12 0 0 0 0 0 2 6 0 4 6 0 6 12 0 6 12 0 0 0 0 0 ' 2 2 2 3 2 3 2 2 2 3 2 3 k  P'k'd'

siendo E el módulo de elasticidad del material, A el área del perfil, I la inercia según el eje de flexión y L la longitud de la barra. 'P es un vector que agrupa a las cargas en los grados de libertad del elemento, y

'

d un vector que agrupa a los desplazamientos en los diferentes grados de libertad del elemento.

Comparando con las fases del proceso de discretización antes descrito, en este momento nos encontramos en la fase 2a: definición de la ecuación del elemento.

1 2 3 4 5 6 1 ₂

8

TRANSFORMACIÓN DE COORDENADAS

Trata este apartado de las operaciones de cambio de sistema de referencia, es decir, dadas las variables estáticas o cinemáticas de un nudo expresadas en un sistema de coordenadas cómo se cambia de sistema de coordenadas.

Centrándonos en el caso plano, un nudo tiene tres grados de libertad. Agrupando las variables cinemáticas y estáticas en sendos vectores, para el nudo n, en el sistema de coordenadas xyz:

            z y x n M F F F P              z y x n u u



u d δ

Si definimos en el nudo otro sistema de coordenadas, que forma un ángulo  con el sistema inicial, es claro que:

  sen cos ' x y x F F F   u_x' u_x cosu_y sen   cos sen ' x y y F F F   u_y' u_xsenu_y cos z z M M _'  _z' _z

Expresado en forma matricial tenemos:

                                z y x z y x M F F M F F 1 0 0 0 cos sen 0 sen cos ' ' '                                     z y x z y x u u u u       0 0 1 0 cos sen 0 sen cos ' ' '

Vamos a definir la matriz de cambio de base:

            1 0 0 0 cos 0 cos









sen sen T D L , Por tanto,                        3 2 1 3 2 1 3 2 1 1 0 0 0 cos 0 cos n n n m m m l l l sen sen D









L

Es la matriz cuyas columnas son los cosenos directores de los vectores unitarios en la dirección de los ejes locales.

Al premultiplicar un vector expresado en el sistema de coordenadas xyz por la matriz

L

T_D , obtengo las coordenadas de dicho vector en el sistema x´y´z´. Se dice que

L

T_D es la matriz de cambio de base del sistema xyz (coordenadas globales) a x´y´z´ (coordenadas locales).

x y

x´ y´

Si lo deseado fuera la operación contraria, es decir pasar del sistema x´y´z´ al xyz, es fácil comprobar que la matriz de cambio de base sería la traspuesta de L_D.#

9

MATRIZ DE RIGIDEZ DEL ELEMENTO EN EL SISTEMA GLOBAL

Se trata de expresar en el sistema global de coordenadas la relación de rigidez de un elemento barra. Dicha relación la conocemos en el sistema local:

' ' ' k d

P 

En el apartado anterior hemos visto cómo se cambia de sistema. Sea  el ángulo que forma el eje x´ del sistema local de coordenadas definido en los nudos con el eje x del sistema global  la matriz de cambio de base del sistema global al local en cada nudo será:

            1 0 0 0 cos 0 cos









sen sen T D L

Dado que 'P y 'd agrupan las variables del elemento, es decir de sus dos nudos tendremos:

                                                                             6 5 4 3 2 1 2 2 2 3 2 3 2 2 2 3 2 3 6 5 4 3 2 1 ' ' ' ' ' ' 4 6 0 2 6 0 6 12 0 6 12 0 0 0 0 0 2 6 0 4 6 0 6 12 0 6 12 0 0 0 0 0 ' ' ' ' ' ' d d d d d d L EI L EI L EI L EI L EI L EI L EI L EI L EA L EA L EI L EI L EI L EI L EI L EI L EI L EI L EA L EA P P P P P P  P'k'd'

Si procedemos ahora a aplicar un cambio de base:

                                                         6 5 4 3 2 1 6 5 4 3 2 1 1 0 0 0 0 0 0 cos sen 0 0 0 0 sen cos 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 cos sen 0 0 0 0 sen cos ' ' ' ' ' ' P P P P P P P P P P P P         

P



L

T

P

'

#

                                                         6 5 4 3 2 1 6 5 4 3 2 1 1 0 0 0 0 0 0 cos sen 0 0 0 0 sen cos 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 cos sen 0 0 0 0 sen cos ' ' ' ' ' ' d d d d d d d d d d d d         

d



L

T

d

'

siendo:        _T D T D T L 0 0 L L

La operación inversa (cambio de la base local a la global) vendrá dada por:

'

LP

P



dLd'

Sustituyendo en la expresión de rigidez del elemento: ' ' ' k d P  

L

T

P

k

L

T

d

'



Premultiplicando por L, y teniendo en cuenta (ver nota a pie en la página anterior) que: L1=LT:

d

L

Lk

P

T

'





_k

_Lk

_L

T

'



siendo k la matriz de rigidez en globales.

Para el caso de una barra plana de nudos rígidos, el resultado obtenido tras realizar las operaciones es:

                                                       _{ }              _{ }            _{ }               _{ }             I L Ic L Is I L Ic L Is L Ic L Ic As L I A sc L Ic L Ic As L I A sc L Is L I A sc L Is Ac L Is L I A sc L Is Ac I L Ic L Is I L Ic L Is L Ic L Ic As L I A sc L Ic L Ic As L I A sc L Is L I A sc L Is Ac L Is L I A sc L Is Ac L E 4 6 6 2 6 6 6 12 12 6 12 12 6 12 12 6 12 12 2 6 6 4 6 6 6 12 12 6 12 12 6 12 12 6 12 12 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 k

siendo s=sen y c=cos.

El cambio inverso, es decir de globales a locales, sería:

kL

L

k



T

'

Podrían darse casos en los que el ángulo girado en los nudos no sea el mismo (sistema nodal distinto del global). Ello no supone ninguna dificultad, basta definir una matriz Ln distinta para cada nudo y operar con la matriz L formada con ellas:





























































1

0

0

0

0

0

0

cos

0

0

0

0

cos

0

0

0

0

0

0

1

0

0

0

0

0

0

cos

0

0

0

0

cos

2 2 2 2 1 1 1 1 2 1

















sen

sen

sen

sen

n n T T T

L

0

0

L

L

Tras lo realizado en este apartado tenemos las ecuaciones de los elementos preparadas para pasar a la tercera fase del proceso de discretización.

10

SÍNTESIS DE LA MATRIZ DE RIGIDEZ DE LA ESTRUCTURA

Equivale a la tercera fase del proceso de discretización consistente en obtener la ecuación del dominio acoplando las ecuaciones de los elementos. En este apartado vamos a obtener la matriz de rigidez de la estructura acoplando las matrices de rigidez de cada una de los elementos barra.

La forma en la que se produce el acoplamiento es, claro está, aplicando las ecuaciones de equilibrio y compatibilidad en los nudos. Sea un nudo cualquiera de la estructura, I, en el que concurren, por ejemplo, 3 barras, IJ, IK e IL. Las ecuaciones que definen el comportamiento de cada una de las barras, expresadas en el sistema global: IJ IJ IJ d k P  IK IK IK d k P  IL IL IL d k P  que podemos dividir de la forma:

                         IJ J IJ I IJ JJ IJ JI IJ IJ IJ II IJ J IJ I d d k k k k P P                          IK K IK I IK KK IK KI IK IK IK II IK K IK I d d k k k k P P                          IL L IL I IL LL IL LI IL IL IL II IL L IL I d d k k k k P P

Si d_IIJ , d_IIK , d_IIL son los desplazamientos en el sistema global del nudo I como perteneciente a la barra IJ, a la barra IK y a la barra IL respectivamente y u los desplazamientos en el sistema global del _I nudo I de la estructura, las condiciones de compatibilidad en el nudo I exigen que:

I IL I IK I IJ I d d u d   

De forma similar si P_IIJ , P_IIK , P_IIL son las cargas en extremo de barra en el sistema global en el nudo I de la barra IJ, de la barra IK y de la barra IL respectivamente y F son las cargas externas _I aplicadas en el nudo I de la estructura, las condiciones de equilibrio en el nudo I (ver figura) exigen que:

IL I IK I IJ I I P P P F   

Sustituyendo en esta ecuación el valor de cada PI en función de los desplazamientos de los extremos de

cada barra tenemos:

IL L IL IL IL I IL II IK K IK IK IK I IK II IJ J IJ IJ IJ I IJ II I k d k d k d k d k d k d F      

Aplicando ahora la condición de compatibilidad:

L IL IL K IK IK J IJ IJ I IL II IK II IJ II I k k k u k u k u k u F          _{ } 

Aplicando las ecuaciones anteriores a cada nudo de la estructura obtenemos el sistema:

Ku F

teniendo la matriz K la siguiente composición:



 I nudo el en es concurrent barras barra II II k K K_IJ k_IJIJ (IJ)

El montaje de la matriz K se puede realizar por nudo (ecuaciones) o por elementos. Desde el punto de vista de programación es más conveniente lo segundo pues permite ir directamente elemento a elemento, obteniendo al final del proceso el sistema completo. Realizar el montaje por nudos obliga a ir nudo a nudo y para cada nudo elemento a elemento, ello permite ir obteniendo las ecuaciones de equilibrio sucesivamente.

A modo de ejemplo, la matriz de rigidez de la estructura de la figura sería: I J K L Fx(I) Fy(I) Mz(I) i Fx(I) Fy(I) Mz(I) IL I P IJ I P IK I P 1 2 3 4 L

                   34 44 34 43 34 34 34 33 23 33 23 32 23 23 23 22 12 22 12 21 12 12 12 11 k k 0 0 k k k k 0 0 k k k k 0 0 k k K

Nótese que la matriz K es singular. Ello es claro pues, por el momento, el sistema F = Ku no tiene impuesta ninguna condición de los apoyos  es un mecanismo  tiene  soluciones posibles.

Como puede apreciarse en el ejemplo anterior K es una matriz en banda (eligiendo razonablemente la numeración de los nudos) y simétrica.

11

CÁLCULO DE LOS DESPLAZAMIENTOS Y REACCIONES

Nos planteamos ahora la resolución del sistema de ecuaciones obtenido (fase 4 del proceso de discretización). Para ello imponemos las condiciones de los apoyos.

Dividamos el vector de cargas F y el vector de desplazamientos u de la forma:

       r l F F F        r l u u u

indicando el subíndice r que se trata de variables asociadas a una condición de apoyo y el subíndice l lo contrario. En el ejemplo anterior:



2 2 2 3 3 3



T _{F F M F F M} y x y x l  F T



_{F 1 F 1 M1 F 4 F 4 M4}



y x y x r  F



2 2 2 3 3 3



T _{ } y x y x l  u u u u u T



_{1 1 1 4 4 4}



y x y x r  u u u u u

De esta forma el sistema de ecuaciones se expresaría como:

                   r l rr rl lr ll r l u u K K K K F F  r rr l rl r r lr l ll l u K u K F u K u K F    

En las ecuaciones anteriores las incógnitas son: ul y Fr. Operando con el primer grupo de ecuaciones podemos calcular ul: l ll r lr l K u K u F    u_l K_ll1



F_l K_lru_r



Lo habitual es que ur=0, aunque, como acabamos de ver, no existe ninguna dificultad conceptual si ur 0. Calculadas las ul basta sustituir en el segundo grupo de ecuaciones para obtener las reacciones.

12

CÁLCULO DE LOS ESFUERZOS

Para calcular los esfuerzos o más propiamente dicho las cargas en los extremos de las barras, P´, debemos previamente calcular los desplazamientos d´. Para ello, aplicando compatibilidad en los dos nudos de cada barra (el desplazamiento del extremo de la barra y del nudo son iguales):

                J I IJ J IJ I u u d d d

Pasando ahora al sistema local de coordenadas:

d

L

d



T

'

siendo L la matriz de cambio de base descrita anteriormente.

Basta sustituir en la ecuación que define el comportamiento del elemento para obtener: '

' ' k d

P 

Como por el momento sólo estamos considerando cargas en nudos  los esfuerzos a lo largo de las barras son lineales, conocidos los valores en los extremos es inmediato representar los diagramas.

13

ESQUEMA BÁSICO GENERAL DE UN PROGRAMA DE CÁLCULO

MATRICIAL

1. Definición de la estructura: nudos, elementos, materiales, etc. 2. Cálculo de la matriz de rigidez de los elementos en locales: P'k'd' 3. Giro de la matriz de rigidez del elemento al sistema nodal: Pkd 4. Síntesis de la matriz de rigidez de la estructura: K

5. Cálculo del vector de cargas: F

6. Aplicación de las condiciones de contorno 7. Resolución del sistema  u

8. Cálculo de reacciones

9. Cálculo de esfuerzos en elementos

10. Una vez obtenidos los esfuerzos en todos los elementos, podría comprobarse el equilibrio de los nudos de la estructura, lo que nos daría idea del error (numérico) que se ha cometido. Esta comprobación sería lo equivalente a la última fase del proceso de discretización.