Ecuación e Inecuación

44 

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(1)

AUTOR:

(2)

Índi e General 1. E ua iones e ine ua iones 3 E ua iones . . . 3 E ua iones lineales . . . 3 E ua iones uadráti as: . . . 4 E ua iones Ra ionales: . . . 6

Método de fa toriza ión por RUFFINI: . . . 7

Ine ua iones: . . . 10

Ine ua iones lineales: . . . 11

Ine ua iones Cuadráti as: . . . 12

Ine ua iones polinómi as y ra ionales . . . 13

E ua iones e ine ua iones on

·

. . . 18 E ua iones on

·

. . . 18 Ine ua iones on

·

. . . 20

E ua iones e ine ua iones on

| · |

. . . 20

E ua iones on

| · |

. . . 21

Ine ua ión on

| · |

. . . 22

E ua iones e ine ua iones on

J·K

. . . 27

E ua iones on

J·K

. . . 27 Ine ua iones on

J·K

. . . 28 E ua iones e ine ua iones

e

(·)

. . . 30 E ua iones

e

(·)

. . . 30 In ua iones

e

(·)

. . . 32

E ua iones e ine ua iones

log

b

(·)

. . . 33

E ua iones

log

b

(·)

. . . 34

Ine ua iones

log

b

(·)

. . . 36

Ejer i ios de e ua iones . . . 38

Bibliografía 44

(3)

Cap´ıtulo

1

E ua iones e ine ua iones

E ua iones

Toda e ua ión son fun iones proposi ionales que tienen la forma

P (x) = 0

o en el aso mas general sería

P

1

(x) + P

2

(x) + . . . + P

n

(x)

Q

1

(x) + Q

2

(x) + . . . + Q

m

(x)

= 0

.

Con este temase pretende en ontraralgunos

x

R

talque lasfun iones proposi ionales sean verdaderas.

E ua iones lineales

Para poder resolver las e ua iones lineales es ne esario re ordar el

teorema:

Teorema: Si

a, b

R

, on

a

6= 0

, enton es la e ua ión

ax = b

tiene una solu ión úni a

x = a

−1

b

.

Ejemplo 1.0.1. En uentre las solu iones de las siguientes e ua iones

lineales 1.

4(x

− 10) = −6(2 − x) − 6x

2.

2(x + 1)

− 3(x − 2) = x + 6

3.

x

− 1

4

x

− 5

36

=

x + 5

9

4.

6



x + 1

8

2x

− 3

16



= 3



3

4

x

1

4



3

8

(3x

− 2)

(4)

5.

3x + 1

7

2

− 4x

3

=

−5x − 4

14

+

7x

6

6.

2

3



x



1

x

− 2

3



+ 1 = x

E ua iones uadráti as:

Sean

a, b, c

R

y

a

6= 0

, enton es la e ua ión

ax

2

+ bx + c = 0

se

llama e ua ión uadráti a.

Para resolver las e ua iones uadráti as, se tiene lossiguientesmétodos.

1. Método de fa toriza ión: En primer lugarla e ua ión

uadráti- a se tiene que fa torizar. Luego, utiliza el teorema

ab = 0

⇔ a = 0 ∨ b = 0

Ejemplo: Hallar las solu iones de las e ua ión uadráti a, por el

método de fa toriza ión. a)

4x

2

− 4x − 3 = 0

b)

3x

2

−5x−12 = 0

)

x

2

− x = 2

d)

x

2

+ 4x

− 5 = 0

e)

2x

2

− x − 10 = 0

f)

5z

2

+13z +6 = 0

g)

x

2

− 4x − 21 = 0

h)

3x

2

−11x+6 = 0

i)

x

3

+ x

2

− 2x = 0

2. Método de ompletar uadrados: Sea la e ua ión uadráti a

ax

2

+ bx + c = 0

el método de ompletar uadrados onsiste en llevar a una forma omo

(x + d)

2

= e

2

, donde

d, e

son onstantes por determinar. Luego, se utiliza teorema:

a

2

= b

⇔ a = −

b

∨ a =

b.

Ejemplo: Hallar las solu iones de las e ua ión uadráti a por el

método de ompletar uadrados.

a)

x

2

− 5x − 36 = 0

b)

x

2

− 8x + 15 = 0

)

3x

2

+ 4x

− 1 = 0

d)

x

2

+ 4x

− 5 = 0

e)

x

2

+ 6x + 7 = 0

f)

5x

2

+ 3x =

−2

g)

3x

2

− 11x = −6

h)

x

2

+ 54x =

−79

i)

5x

2

+ 3x = 2

3. Método de la fórmula general: en este método se utiliza la

siguiente fórmula.

x

1,2

=

−b ±

p

b

2

− 4ab

2a

.

R

(5)

Obs: A la expresión

= b

2

− 4ac

, los llamaremos dis riminante.

Veamos que su ede on las solu iones de la e ua ión uadráti a.

a) Si

> 0

, enton es la e ua ión uadráti a tiene dos solu iones distintas.

b) Si

= 0

,enton es lae ua ión uadráti a tieneuna úni a solu- ión.

) Si

< 0

, enton es la e ua ión uadráti a no tiene ninguna solu ión real.

x

0

x

1

x

2

= 0

> 0

< 0

a

b

c

Notemos que las solu iones de la e ua ión uadráti a son los

pun-tos de interse ión del eje

X

y la parábola (Ver teoría de fun ión). Cuando la dis riminante

< 0

la parábola no se interse ta on el eje

X

es por esoque laexpresión

ax

2

+ bx + c

on

a > 0

es siempre positiva; esto es,

ax

2

+ bx + c > 0

para ualquier

x

R

.

Ejemplo: Hallar las solu iones de las e ua ión uadráti as (si

ex-isten) utilizando las fórmula general.

a)

3x

2

− 2x − 1 = 0

b)

2x

2

− 5x + 4 = 0

)

9x

2

+12x+4 = 0

d)

4x

2

− 6x + 2 = 0

e)

x

2

7

6

x +

1

3

= 0

f)

6x

2

− 5x + 1 = 0

g)

9x

2

− 6x + 1 = 0

h)

2x

2

−x = x

2

+

x

i)

x

2

+ 2x + 1 = 0

R

(6)

Teorema Si la e ua ión uadráti a

ax

2

+ bx + c = 0

,

a

6= 0

, admite solu iones

r

y

s

en

R

, enton es se umple:

1.

S = r + s =

b

a

2.

P = rs =

c

a

3.

D =

|r − s| =

p

b

2

− 4ac

a

Demostra ión Sólo se apli a la fórmula general.

E ua iones Ra ionales:

Una e ua ión ra ional es una igualdad ondi ional que redu ida a su

massimple expresión tiene la forma

P (x)

Q(X)

= 0

, donde

P (x)

y

Q(x)

son monomios, binomios polinomios no nulos on oe ientes reales.

Observa ión: Un Polinomio es una expresión algebrai a de la forma:

a

n

x

n

+a

n

−1

x

n

−1

+a

n

−2

x

n

−2

+

· · ·+a

1

x+a

0

donde

n

esunentero positivo y los oe ientes

a

n

, a

n

−1

· · · a

0

son números reales arbitrarios. 1. Si la e ua ión ra ional tiene la forma:

ax + b

cx + d

= 0

, sabemos por el teoremadelo números reales que:

a

b

= 0

⇒ a = 0∧b 6= 0

,enton es la e ua ión tiene omo solu ión a

x =

b

a

2. Si la e ua ión tiene la forma

ax

2

+ bx + c

ex

2

+ f x + g

= 0

,

a) Para laresolu ióndeestase ua ionesprimerono onsideramos

los valores donde el denominador se ha e ero (esto es

ex

2

+

f x + g = 0

)

b) Luego hallamos e ua ión uadráti a del numerador (es de ir

ax

2

+ bx + c = 0

) y estas serán las respuestas de la e ua ión. Ojo: notemos que algunos de las solu iones del numerador no

debe anular al denominador, si fuese así sólo extremos (o

anu-lamos) el número del resultado.

(7)

3. Si la e ua ión ra ional tiene la forma

P (x)

Q(X)

= 0

, son polinomios no nulos de grado mayor que dos. Para la solu ión se ha e

a) Primero no onsideramos los valores donde el denominador se

ha e ero (esto es

Q(x) = 0

)

b) Luego hallamos las solu iones del numerador (es de ir

P (x) =

0

) y estas serán las respuestas de la e ua ión ra ional.

Ojo: Notemos que si algunos de las solu iones del numerador

P (x)

, no debe anular al denominador

Q(X)

,si fuese así sólo extraemos (o anulamos) el número del resultado.

x

1

x

2

Método de fa toriza ión por RUFFINI:

Antes de ha er los ejer i ios de las e ua iones ra ionales re ordemos

el método de fa toriza ión por RUFFINI:

Ejemplo 1.0.2. Fa torizar el polinomio

x

4

+ 6x

3

− 5x

2

− 42x + 40

utilizando en método de RUFFINI.

Solu ión: Para fa torizar on este método se ha e

1. Se extrae todos los divisores de la variable donde no esta

multipli- ado on

x

o sea el número 40 (Para esto utilizamos em MCM.)

x =

±1, ±2, ±4, ±5, ±8, ±10, ±20, ±40

. on estos son los posibles fa tores omunes.

(8)

2. Luego, ordenamos los oe ientes en una tabla de mayor a menor

grado. De esta forma.

1 6

−5 −42

40

1

↓ 1

7

2

−40

1 7

2

−40

0

2

↓ 2 18

40

1 9 20

0

Las e hasque tienesentidoha ia abajo, nos di equeelnúmero

de arriba (1) debe ser olo ado abajo.

Luego ese número (1) lo multipli amos por el número que esta

a laizquierda de lalinea verti al(1) y eseresultado es olo ado

al ostado dere ho de la e ha.

Después el número olo ado (1) se suma on el número que

se en uentra en ima de di ho número y ese resultado lo

olo- amos debajo de la linea horizontal (7)

Se ha e los mismos pasos hasta terminar.

Ojo: si el ultimo número es ero (0), la fa toriza ión estará

bien si no es ero (0), bus amos otro número hasta que salga

el número ero (0).

Para la siguiente fa toriza ión se pro ede de la misma forma

y así su esivamente (hasta terminar).

3. Luego los que esta a la izquierda de la linea son ambiados de signo

o ordenamos de la siguientes forma

(x

− 1)(x − 2)(x

2

+ 9x + 20)

que esta es la fa toriza ión:

Ejemplo 1.0.3. 1. Hallar las solu ión de

2x + 3

− 3 = 3x +

5

2

2. Hallas las raí es realesde la e ua ión:

8(x

−3)

4

−38(x−3)

2

+9 = 0

Solu ión: fa torizando la expresión y ha iendo

m = (x

− 3)

2

, se tiene

(x

− 3)

2

=

1

4

∨ (x − 3)

2

=

9

2

4x

2

− 24x + 35 = 0 ∨ 2x

2

− 12x + 9 = 0

(2x

− 5)(2x − 7) = 0 ∨ x

1,2

=

12

±

72

4

x =

5

2

∨ x =

7

2

∨ x

1,2

=

6

± 3

2

2

R

(9)

3. Hallar las raí esreales de lae ua ión:



x

1 + x



2

+



1 + x

x



2

=

17

4

Solu ión: Ha iendo

y =



x

1 + x



2

tenemos la siguiente

fa tor-iza ión



x

1 + x



2

1

4

= 0



x

1 + x



2

− 4 = 0

x

1 + x

=

1

2

x

1 + x

=

1

2

x

1 + x

= 2

x

1 + x

=

−2

x = 1

∨ x = −

1

3

∨ x = −2 ∨ x = −

2

3

4. Hallar las raí es reales de:



x + 1 +

6

x

 

x

− 1 +

6

x



= 24

Solu ión:Basta ha er:

w = x+

6

x

y utilizar

a

2

−b

2

= (a

−b)(a+b)

.

5. Hallar las raí es reales de:

(x

2

+ 3x + 2)

2

− 8(x

2

+ 3x) = 4

Solu ión: Basta ha er:

w = x

2

+ 3x

y utilizar

(a + b)

2

= a

2

+

2ab + b

2

.

6. Hallar las raí es reales de:



x

3

x



2

− 4x +

12

x

= 12

Solu ión:Basta ha er:

w = x

3

x

yutilizar

(a

−b)

2

= a

2

−2ab+b

2

7. Hallar las raí es reales de:

x

2

− x + 3

p

2x

2

− 3x + 2 =

x

2

+ 7

Ejemplo 1.0.4. 1. Hallar los valoresde

x

para que umplalae ua ión:

x

5

− 4x

4

+ 3x

3

+ 3x

2

− 4x + 1 = 0

Solu ión: Fa torizando on Runi la e ua ión en ontramos.

(x

− 1)

2

(x + 1)(x

2

− 3x + 1) = 0

, enton es la solu iones de la

e ua ión es

x =

−1, 1,

3

±

5

2

2. Hallar los valores de

x

para que satisfa e la e ua ión

2x

3

+ 7x

2

+

7x + 2 = 0

. Solu ión: Ha iendo

x =

1

x

en ontramos,

2x

3

+ 7x

2

+ 7x + 2 = 0

y fa torizando on Runi se tiene



x +

1

2



(x + 2)(x + 1) = 0

, por lo tanto en ontramos los valores de

x =

1

2

,

−2, −1

.

(10)

3. Hallar los valores de

x

para que satisfa e la e ua ión

4x

4

− 17x

3

+

17x

− 4 = 0

.

Solu ión: Fa torizando on Runi la e ua ión en ontramos.

(x

− 1)(x + 1)(4x − 1)(x − 4) = 0

, por lo tanto en ontramos los valores

x =

−1, 1, 4,

1

4

.

4. Hallar el onjunto solu ión de

a)

x

3

− 10x

2

+ 11x + 70 = 0

Solu ión: Fa torizando on Runi la e ua ión en ontramos.

(x

− 7)(x + 2)(x − 5) = 0

enton es la solu ión es

x =

−7, 2, 5

b) Hallar los valores de

x

para que satisfa e la e ua ión:

4x

3

x

2

− 16x + 4 = 0

.

Solu ión: Fa torizando on Runi la e ua ión en ontramos.

(x

−2)(x+2)(4x−1) = 0

, por lo tanto en ontramos los valores es

x =

−2, 2,

1

4

.

) Hallar los valores de

x

para que satisfa e la e ua ión:

2

x + 1

+

2x

x

2

− 5x + 4

=

2x

2

(x + 1)(x

2

− 5x + 4)

. Solu ión: operando tenemos

x

2

− 4x + 4 = 0

, enton es la solu ión

x = 2

. d)

3x

− 6 = 2 +

36

3x + 4

Ine ua iones:

Una ine ua ión es toda desigualdad que ontiene una o mas

anti-dades des ono idas, llamadas variables, y que sólo es verdadera para

algunos

x

en los números reales.

Lasine ua ionesdeunavariablesonfun ionesproposi ionalesquetienen

la forma

P (x) > 0

o en el aso mas general sería;

P

1

(x) + P

2

(x) + . . . + P

n

(x)

Q

1

(x) + Q

2

(x) + . . . + Q

m

(x)

> 0

también son on los signos

<

,

,

, on este tema se pretende que las fun iones proposi ionales sean verdaderas para intervalos que son

sub onjuntos de

R

.

(11)

Observa ión 1.0.1. Cuando nos piden la solu ión de una ine ua ión

se debe entender que nos están pidiendo un onjunto de valores de

x

para que umpla tal ondi ión, en otras palabras se debe onsiderar las

siguientes equivalen ias

a < x < b

≡ x ∈ (a, b)

a

≤ x ≤ b ≡ x ∈ [a, b]

x < a

≡ x ∈ (−∞, a)

. et

Ine ua iones lineales:

Una ine ua ión lineal de una variable

x

es una desigualdad de la forma:

ax + b > 0

,

ax + b < 0

,

ax + b

≤ 0

y

ax + b

≥ 0

. Y la solu ión de la ine ua ión es de la forma.

ax + b > 0

⇒ ax + b − b > −b

⇒ ax > −b

⇒ x > −

b

a

⇒ x ∈ (−

b

a

,

∞)

Ejemplo 1.0.5. Hallar el onjunto solu ión de las siguientes

ine ua- iones 1.

x

4

− 4 ≥

5x

3

1

6

2.

5x

− 2

3

x

− 8

4

>

x + 14

2

− 2

3.

x

2

− x

5

4x + 1

3

x

− 5

15

4.

2(x + 2)

3

< 2x

5.

3(2

− x)

2

16

3

< x

x + 1

5

6.

3x + 1

4

1

3

2

15

(x + 3) +

4(1

− x)

3

R

(12)

Ine ua iones Cuadráti as:

Una ine ua ión uadráti a es una desigualdad ondi ional que,

re-du ida a una simple expresión, tiene la forma:

ax

2

+ bx + c > 0

,

ax

2

+ bx + c < 0

,

ax

2

+ bx + c

≤ 0

y

ax

2

+ bx + c

≥ 0

. donde

a

6= 0

y

a, b, c

son números reales.

existen dos métodos para resolves las ine ua iones uadráti as y son:

1. Método de fa toriza ión: Se redu e uando el trinomio

ax

2

+

bx + c

es fa torizable y su resolu ión se basa en apli ar el teorema a)

ab > 0

⇔ [(a > 0 ∧ b > 0) ∨ (a < 0 ∧ b < 0)]

b)

ab < 0

⇔ [(a < 0 ∧ b > 0) ∨ (a > 0 ∧ b < 0)]

Ejemplo: Hallar el onjunto solu ión de las ine ua iones

uadráti- as, por el método de fa toriza ión.

a)

4x

2

− 4x − 3 < 0

b)

3x

2

−5x−12 > 0

)

x

2

− x ≤ 2

d)

x

2

+ 4x

− 5 > 0

e)

2x

2

− x − 10 > 0

f)

5z

2

+13z +6 < 0

g)

x

2

− 4x − 21 < 0

h)

3x

2

−11x+6 ≥ 0

i)

x

3

+ x

2

− 2x > 0

2. Método de ompletar uadrados: Elmétodo onsisteen

trans-formar el trinomio

ax

2

+ bx + c

a una forma omo

a(x +

b

2a

)

2

= k

donde

k

esta por determinar. Y se ha e uso del teorema. a) Si

b

≥ 0 → a

2

> b

⇔ [a >

b

∨ a < −

b]

b) Si

b > 0

→ a

2

> b

⇔ [−

b < a <

b]

Ejemplo:Hallar el onjuntosolu ióndelasino ula iones

uadráti- as, por el método de ompletar uadrados.

a)

x

2

− 5x − 36 ≤ 0

b)

x

2

− 8x + 15 ≤ 0

)

3x

2

+ 4x

− 1 ≥ 0

d)

x

2

+ 4x

− 5 < 0

e)

x

2

+ 6x + 7 > 0

f)

5x

2

+ 3x >

−2

g)

3x

2

− 11x < −6

h)

x

2

+ 54x <

−79

i)

5x

2

+ 3x < 2

R

(13)

x

0

+

+

x

1

x

2

+

+

< 0

= 0

< 0

Ine ua iones polinómi as y ra ionales

Una ine ua ión ra ionales una desigualdad ondi ional que redu ida

a su massimple expresióntiene laforma

P (x)

Q(X)

> 0

,

P (x)

Q(x)

< 0

,

P (x)

Q(x)

0

y

P (x)

Q(x)

≥ 0

, donde

P (x)

y

Q(x)

son monomios, binomios polinomios no nulos on oe ientes reales.

Observa ión: Un Polinomio es una expresión algebrai a de la forma:

a

n

x

n

+a

n

−1

x

n

−1

+a

n

−2

x

n

−2

+

· · ·+a

1

x+a

0

donde

n

esunentero positivo y los oe ientes

a

n

, a

n

−1

· · · a

0

son números reales arbitrarios.

1. Si la ine ua ión ra ional tiene la forma:

ax + b

cx + d

> 0

,

ax + b

cx + d

< 0

,

ax + b

cx + d

≤ 0

y

ax + b

cx + d

≥ 0

, y sabemos por un teorema que a)

a < 0

⇒ a

−1

< 0

b)

a > 0

⇒ a

−1

> 0

enton eslaine ua iónsepuedeexpresar omo:

(ax+b)(cx+d) > 0

,

(14)

(ax + b)(cx + d) < 0

,

(ax + b)(cx + d)

≤ 0

y

(ax + b)(cx + d)

≥ 0

y se apli a el teorema

a)

ab > 0

⇔ [(a > 0 ∧ b > 0) ∨ (a < 0 ∧ b < 0)]

b)

ab < 0

⇔ [(a < 0 ∧ b > 0) ∨ (a > 0 ∧ b < 0)]

2. Si la ine ua íon tiene la forma

ax

2

+ bx + c

ex

2

+ f x + g

> 0

,

ax

2

+ bx + c

ex

2

+ f x + g

<

0

,

ax

2

+ bx + c

ex

2

+ f x + g

≤ 0

y

ax

2

+ bx + c

ex

2

+ f x + g

≥ 0

a) Si una de los dos trinomios no tiene solu iones reales o tiene

una raíz doble, es de ir

b

2

− 4ac < 0

o

b

2

− 4ac = 0

, enton es

ax

2

+ bx + c

o

ex

2

+ f x + g

tiene signo jo y es positivo para

ualquier

x

R

.

b) Si ambos trinomios tiene raí es reales y distintos enton es la

ine ua ión se transforma en una ine ua ión polinómi a.

3. La ine ua ión ra ional tiene la forma

P (x)

Q(X)

> 0

,

P (x)

Q(x)

< 0

,

P (x)

Q(x)

≤ 0

y

P (x)

Q(x)

≥ 0

, donde

P (x)

y

Q(x)

son polinomios no nulos de grado mayor que dos.

Método para resolver ine ua iones polinómi as y

ine ua- iones ra ionales

1. Fa torizarlos polinomios

P (x)

enfa toreslineales (enel asoquesi se pudieran fa torizar aso ontrario sólo dejar elfa tores

uadráti- as),

Re omenda ión:Para fa torizarsere omiendautilizarelmétodo

de Runi.

2. Seresuelve los raí es de ada fa torlineal, a la ual ada raíz lineal

se le llamará punto ríti o.

3. Lospuntos ríti os se olo a enla re taReal,dependiendodelvalor

numéri o.

4. Se olo a entre estos valores los signos

(+)

y

(

−)

alternadamente, empezando por la dere ha on el signo

(+)

y luego on el sig-no

(

−)

así su esivamente. Si existe entre estos puntos ríti os val-ores igualesque ontados llegan ha er pares enton es el signo de la

(15)

izquierdadel punto le orresponde elmismosigno dela dere ha del

mismo punto.

R

+

a

b

+

c

d

+

Puntos ríti os distintos.

R

a

+

b

c

d

+

El punto ríti os

c

es una raíz doble.

5. Ellos indi aran que la expresión original del problema es:

a) Si

P (x) > 0

enton es la solu ión son todos los intervalos que tiene los signos positivos

(+)

b) Si

P (x) < 0

enton es la solu ión son todos los intervalos que tiene los signos negativos

(

−)

Ejemplo: Hallar el onjunto solu ión de las ine ua iones

uadráti- as, utilizando el método de los puntos ríti os.

a)

−4x

2

+ 4x >

−3

b)

3x

2

−5x−12 < 0

)

x

2

− x ≥ 2

d)

x

2

− 5x + 6 < 0

e)

2x

2

− x − 10 > 0

f)

3x

2

− 7x + 6 < 0

g)

x

2

− 3x − 4 > 0

h)

3x

2

− 7x + 4 ≤ 0

i)

x

2

− 4x + 5 ≥ 0

x

2

x

3

+

+

P (x) > 0

P (x) < 0

+

+ x

1

x

2

Ejemplo 1.0.6. Resuelva las siguientes ine ua iones, utilizando las

propiedades del sistema de los números reales.

(16)

1.

x +

2

x

>

−3

Solu ión:

x +

2

x

>

−3 ⇔

x

2

+ 3x + 2

x

> 0

(x + 2)(x + 1)

x

> 0

⇔ x ∈ (0, ∞) ∪ (−2, −1)

2.

(x

− 1)(2x

2

− 12x + 19) < 0

Solu ión:

(x

− 1)(2x

2

− 12x + 19) < 0 ⇔ (x − 1) < 0

⇔ x ∈ (∞, 1)

3.

2

2x + 3



1

4

, 2



Solu ión:

1

4

<

2

2x + 3

≤ 2 ⇔

1

8

<

1

2x + 3

≤ 1

⇔ −2 ≤ 2x < 5

⇔ x ∈



−1,

5

2



4.

(x

2

+ 7)(x

2

+ 25)(x

2

− 4)(x

2

+ 3) > 0

Solu ión:

(x

2

+ 7)(x

2

+ 25)(x

2

− 4)(x

2

+ 3) > 0

⇔ (x − 2)(x + 2) > 0

⇔ x ∈ (−∞, −2) ∪ (2, ∞)

5.

x + 2

x + 4

x

2

+ 2

x

2

Solu ión:

x + 2

x + 4

x

2

+ 2

x

2

x + 2

x + 4

x

2

+ 2

x

2

≥ 0

x

3

+ 2x

2

− x

3

− 2x − 4x

2

− 8

x

2

(x + 4)

≥ 0

x

2

+ x + 4

x

2

(x + 4)

≤ 0

1

x

2

(x + 4)

≤ 0

⇔ x ∈ (−∞, −4]

R

(17)

6.

2x

x + 1

x

x

− 1

x

− 1

x

Solu ión:

2x

x + 1

x

x

− 1

x

− 1

x

≥ 0 ⇔

2x

2

− x + 1

x(x

− 1)(x + 1)

≤ 0

1

x(x

− 1)(x + 1)

≤ 0

⇔ x ∈ (−∞, −1) ∪ (0, 1)

7.

x + 1

x

2

+ 2x + 3

≥ 0

8. Halle el onjunto de valores de

k

para que la e ua ión

x

2

+ kx = 2

tenga dos raí es, una de las uales es 1.

Solu ión:apli andolafórmula generaltenemos que

x

1,2

=

−k ±

k

2

+ 8

2

,

vemos que

k

2

+ 8 > 0

, enton es hallemos una raíz de la e ua ión

uadráti a,

−k ±

k

2

+ 8

2

= 1

⇔ ±

k

2

+ 8 = 2 + k

⇔ k

2

+ 8 = 4 + 4k + k

2

⇔ 1 = k

Por lo tanto el onjunto solu ión es

{1}

.

9. Halle el onjunto de valores de

k

para los que

x

tome valores reales en la e ua ión

x

2

+ 3x + 1 = (k + 2)x

.

Solu ión: para que tenga solu iones reales basta que la

dis rimi-nante sea mayor que ero

(3k + 6)

2

− 4 ≥ 0 ⇔ (3k + 4)(3k + 8) ≥ 0



k +

4

3

 

k +

8

3



≥ 0

⇔ x ∈



−∞, −

8

3





4

3

,



10. Halle el onjunto de valores de

m

para que la siguiente e ua ión no tenga solu iones reales:

(m + 5)x

2

+ 3mx

− 4(m − 5) = 0

(18)

Solu ión: Basta ver que la dis riminante sea menor que ero (0).

9m

2

+ 16(m

2

− 25) < 0 ⇔ m

2

− 16 < 0

⇔ (m − 4)(m + 4) < 0

⇔ m ∈ (−4, 4)

E ua iones e ine ua iones on

·

Las fun iones proposi ionales que tienen la forma

q

P (x) ⋆ 0

, donde

≡=, <, >, ≤, ≥

, o en el aso mas general sería

q

P

1

(x) +

q

P

2

(x) + . . . + P

n

(x)

q

Q

1

(x) + Q

2

(x) + . . . +

q

Q

m

(x)

⋆ 0

,

on este tema se pretende que las fun iones preposi ionales sean

ver-daderas para intervalos que son sub onjuntos de

R

.

E ua iones on

·

Para resolver este tipo de e ua iones se utiliza el siguiente teorema:

Teorema: Sean

a, b

R

, enton es.

a = b

⇔ [b ≥ 0 ∧ a = b

2

]

. Nota: A la raíz positiva se le denotará omo

a

y si queremos denotar a la raíz negativa se lo hará por

a

. Enton es no se onfunda ha er esto

4 = 2

pero no es ierto que

4 =

−2

. Teorema Sean

a, b

R

, enton es.

a +

b = 0

⇔ [b = 0 ∧ a = 0]

. Demostra ión:

0

a

a +

b = 0

b =

a +

b = 0

Teorema Sean

a, b, c

R

, enton es.

a +

b = c

⇔ c ≤ 0[(

a +

b)

2

= c

2

]

.

Teorema Sean

a, b, c

R

, enton es.

a

b = c

⇔ c ≤ 0[

a

2

=

(

b + c)

2

]

.

Observa ión: Si una e ua ión tiene mu hos radi ales (esto es,

q

P (x)

q

Q(x)

q

R(x)

+

q

S(x) = 0

) enton es primero tenemos que extraer el universo

U

que es la interse ión de los valores que ha e que exista las radi ales. (esto es

U =

{x ∈

R

/P (x)

≥ 0 ∧ Q(x) ≥ 0 ∧ R(x) ≥

(19)

0

∧ S(x) ≥ 0}

)

OJO: Para resolver las e ua iones on radi ales, primero se tiene que

extraer el onjunto universo

U

,Para poder onseguir el onjunto univer-so es pre iso poner las ondi iones ne esaria y su iente de la e ua ión

original (del mismo problema), no uando ya se ha he ho opera iones.

Con esto quiero de ir que: Eluniverso dela e ua iones

q

P (x)Q(x) = 0

esta denido por

U

1

=

{x ∈

R

/P (x)Q(x)

≥ 0}

, pero el universo de la e ua ión

q

P (x)

q

Q(x) = 0

esta denido por

U

2

=

{x ∈

R

/P (x)

0

∧ Q(x) ≥ 0}

enton es podemos ver que los universos

U

1

y

U

2

son dis-tintos, porque la propiedad de radi ales

ab =

a

b

es válida uando

a, b

R

+

0

pero no es ierto uando

a, b

R

Ejemplo 1.0.7. Resuelva ada uno de las e ua iones on radi ales.

1.

q

(2x

− 1)(3x + 1) = x + 1

Solu ión: El universo es

U =

{x ∈

R

/(2x

−1)(3x+1) ≥ 0}

luego ha emos la e ua ión omo

x + 1

≥ 0 ∧ (2x − 1)(3x + 1) = (x + 1)

2

∧ U

x

≥ −1 ∧ 6x

2

− x − 1 = x

2

+ 2x + 1

∧ U

x

≥ −1 ∧ 5x

2

− 3x − 2 = 0 ∧ U

x

≥ −1 ∧ (5x + 2)(x − 1) = 0 ∧ U

2.

x

− 1

10x + 5 = x + 3

Solu ión:El universo es

U =

{x ∈

R

/(x

−1) ≥ 0∧(10x+5) ≥ 0}

luego ha emos la e ua ión omo

x + 3

≥ 0 ∧ (x − 1)(10x + 5) = (x + 3)

2

3.

p

x

2

− 21x + 90 −

p

x

2

+ 3x

− 54 = x − 6

Solu ión: fa torizando tenemos:

q

(x

− 15)(x − 6) −

q

(x + 9)(x

− 6) = x − 6

enton es el universo es

U =

{x ∈

R

/(x

− 15)(x − 6) ≥ 0 ∧ (x + 9)(x − 6) ≥ 0}

luego ha emos la e ua ión:

q

(x

− 15)(x − 6) =

q

(x + 9)(x

− 6) + (x − 6)

elevando al uadrado, se tiene

2

q

(x + 9)(x

− 6) = −(x+18)

para

x

6= 6

apli ando el teorema.

(20)

x

≤ −18 ∧ 4(x + 9)(x − 6) = (x + 18)

2

, enton es en ontramos

. Por lo tanto la solu ión es

x = 6

.

Ine ua iones on

·

Para resolver este tipo deine ua ionesse utilizael siguienteteorema:

Teorema: Si

a, b

R

enton es

0

a

b

⇒ 0 ≤ a ≤ b

. Teorema: Si

a, b

R

enton es 1.

a < b

⇔ a ≥ 0 ∧ [b > 0 ∧ a < b

2

]

2.

a > b

⇔ a ≥ 0 ∧ [b < 0 ∨ (b ≥ 0 ∧ a > b

2

)]

Ejemplo 1.0.8. 1.

x + 1 +

x + 2 < 3

Solu ión: se apli a el teorema dos ve es.

2.

q

1 +

p

x

4

− x

2

> x

− 1

Solu ión: el onjunto universo es

U =

{x ∈

R

/x

4

− x

2

≥ 0}

apli ando el teorema, se tiene

x

− 1 < 0 ∨ [x − 1 ≥ 0 ∧

p

x

4

− x

2

> (x

− 2)x]

Veamos primero las radi ales

p

x

4

− x

2

> (x

− 2)x

, enton es

(x

− 2)x < 0 ∨ [(x − 2)x ≥ 0 ∧ x

2

(4x

− 5) > 0]

luego, se tiene

x

∈ [1, ∞)

. reemplazando a la e ua ión se tiene:

U = (

−∞, −1] ∪ {1} ∪ [1, ∞)

3.

6x + 1

≥ 2x − 3

Solu ión: el onjunto universo es

U =

{x ∈

R

/6x + 1

≥ 0}

apli ando el teorema, se tiene

2x

− 3 < 0 ∧ [2x − 3 ≥ 0 ∧ 6x + 1 ≥ (2x − 3)

2

]

E ua iones e ine ua iones on

| · |

Toda fun ionesproposi ionalesque tienenla forma.

|P (x)| ⋆ 0

,donde

≡=, <, >, ≤, ≥

,o en el aso mas general sería;

|P

1

(x)

| + |P

2

(x)

| + . . . + |P

n

(x)

|

|Q

1

(x)

| + |Q

2

(x)

| + . . . + |Q

m

(x)

|

⋆ 0

,

on este tema se pretende que las fun iones proposi ionales sean

ver-daderas para algunos

x

que están en

R

.

(21)

E ua iones on

| · |

En las e ua iones on valor absoluto se utiliza el siguiente teorema:

Teorema

1.

|x| = b ⇔ b ≥ 0 ∧ [x = b ∨ x = −b]

Demostra ión:

⇒)

Como

|x| ≥ 0

y

|x| = b

enton es

b

≥ 0

, además por deni ión de valor absoluto

x = b

∨ x = −b

.

→)

Sabiendo que

b

≥ 0

1) Si

x = b

y omo

b

≥ 0

enton es

|x| = b

2) Si

x =

−b

y omo

b

≥ 0

enton es

x

≺ 0

enton es

|x| =

−x = b

2.

|x| = |b| ⇔ [x = b ∨ x = −b]

Demostra ión: Sabemos que

|x| = |b| ⇔ |x|

2

=

|b|

2

⇔ x

2

=

b

2

⇔ x = ±b

Ejemplo 1.0.9. 1.

|3x − 1| = |5x − 15|

Solu ión: Apli ando el teorema se tiene.

|3x − 1| = |5x − 15| ⇔ 3x − 1 = 5x − 15 ∨ 3x − 1 = −5x + 15

⇔ 7 = x ∨ x = 2

2.

|6x + 3| = |18 + x|

Solu ión: Apli ando el teorema se tiene.

|6x + 3| = |18 + x| ⇔ 6x + 3 = 18 + x ∨ 6x + 3 = −18 − x

⇔ x = 3 ∨ x = −3

3.

(x

− 4)

2

− 2|x − 4| − 15 = 0

Solu ión: La e ua ión es equivalente a

|x−4|

2

−2|x−4|−15 = 0

,

fa torizando tenemos que

|x − 4| + 3 = 0 ∨ |x − 4| − 5 = 0

enton es

x = 9

∨ x = −1

.

(22)

Ine ua ión on

| · |

Para las ine ua iones on valor absoluto se utiliza los siguientes

teo-remas.

Teorema: Sean

x, a

R

, entones

1.

|x| ≤ a ⇔ [(a ≥ 0) ∧ (−a ≤ x ≤ a)]

Demostra ión:

⇒)

Como

a

≥ |x|

y

|x| ≥ 0

enton es

a

≥ 0

, y

|x|

2

≤ a

2

enton es

x

2

≤ a

2

luego tenemos

−a ≤ x ≤ a

⇐)

Como

x

≤ a

y

−x ≤ a

enton es

|x| ≤ a

2.

|x| ≥ a ⇔ [(x ≥ a) ∨ (x ≤ −a)]

Demostra ión:

⇒) ∀x ∈

R

:

x

≥ 0

ó

x < 0

, en donde

-) Si

x

≥ 0

:

|x| = x

y omo se umple

|x| ≥ a

enton es

x

≥ a

. -)Si

x < 0

:

|x| = x

y omose umple

|x| ≥ a

enton es

−x ≥ a

, nalmente

x

≤ −a

⇐)

Como

x

≥ a

y

−x ≥ a

enton es

|x| ≥ a

y el teorema

Teorema: Sean

b, a

R

, enton es 1.

|a| ≤ |b| ⇔ (a + b)(a − b) ≤ 0

2.

|a| ≥ |b| ⇔ (a + b)(a − b) ≥ 0

Observa ión: En esta observa ión haremos un método mas sen illo

para poder hallar las ine ua iones on valor absoluto. Supongamos que

tenemos una ine ua ión de la forma:

|P (x)| + |Q(x)|

|R(x)|

=

|H(x)|

se solu iona de la siguientes manera.

1. Apli amos la deni ión de valor absoluto, en ada aso.

|P (x)| =

(

P (x) ; P (x)

≥ 0

Resolviendo

x

≥ a

−P (x) ; P (x) < 0

Resolviendo

x < a

(23)

|Q(x)| =

(

Q(x) ; Q(x)

≥ 0

Resolviendo

x

≥ b

−Q(x) ; Q(x) < 0

Resolviendo

x < b

|R(x)| =

(

R(x) ; R(x)

≥ 0

Resolviendo

x

≥ c

−R(x) ; R(x) < 0

Resolviendo

x < c

y

|H(x)| =

(

H(x) ; H(x)

≥ 0

Resolviendo

x

≥ d

−H(x) ; H(x) < 0

Resolviendo

x < d

2. Ahora supongamos que

a < b < c < d

y lo representamos estos puntos en:

R

|P (x)|

|Q(x)|

|R(x)|

|H(x)|

a b d

−P (x)

−Q(x)

−R(x)

−H(x)

P (x)

−Q(x)

−R(x)

−H(x)

P (x)

Q(x)

−R(x)

−H(x)

P (x)

Q(x)

R(x)

−H(x)

P (x)

Q(x)

R(x)

H(x)

3. Luego trabajamos en ada uno de los intervalos.

a) Si

x < a

enton es:

|P (x)| + |Q(x)|

|R(x)|

=

|H(x)| ⇔

−P (x) − Q(x)

−R(x)

=

−H(x)

De esto tendremos un onjunto solu ión que lo denotaremos

por

A

b) Si

a

≤ x < b

enton es:

|P (x)| + |Q(x)|

|R(x)|

=

|H(x)| ⇔

P (x)

− Q(x)

−R(x)

=

−H(x)

De esto tendremos un onjunto solu ión que lo denotaremos

por

B

(24)

) Si

b

≤ x < c

enton es:

|P (x)| + |Q(x)|

|R(x)|

=

|H(x)| ⇔

P (x) + Q(x)

−R(x)

=

−H(x)

De esto tendremos un onjunto solu ión que lo denotaremos

por

C

d) Si

c

≤ x < d

enton es:

|P (x)| + |Q(x)|

|R(x)|

=

|H(x)| ⇔

P (x) + Q(x)

R(x)

=

−H(x)

De esto tendremos un onjunto solu ión que lo denotaremos

por

D

e) Si

d

≤ x

enton es:

|P (x)| + |Q(x)|

|R(x)|

=

|H(x)| ⇔

P (x) + Q(x)

R(x)

= H(x)

De esto tendremos un onjunto solu ión que lo denotaremos

por

E

Nota: Cada onjunto solu ión es la solu ión de la ine ua ión

in-terse tando on el intervalo donde pertene e nuestro

x

. 4. Finalmente el onjuntos solu iones

A

∪ B ∪ C ∪ D ∪ E

Ejemplo 1.0.10. Resolver

1.

|4x − x

2

| − 5

1

x

2

≥ 0

Solu ión: veamos la ine ua ión.

|4x − x

2

| − 5

1

x

2

=

|x||4 − x| − 5

1

− |x|

≥ 0

apli ando la deni ión de valor absoluto se tendría

|x| =

(

x ; x

≥ 0

−x ; x < 0

y

|x − 4| =

(

x

− 4 ; x ≥ 4

−(x − 4) ; x < 4

R

(25)

ahora pongamos los signos en la re ta real.

R

|x|

|x − 4|

0 4 a) -b) + - ) + +

Trabajemos en ada uno de los intervalos.

1.

x

∈ (−∞, 0)

enton es

|x| = −x

y

|x − 4| = −x + 4

|x||4 − x| − 5

1

− |x

2

|

≥ 0 ⇒

−x(4 − x) − 5

1 + x

≥ 0

resolviendo tenemos

x

∈ (5, ∞)

enton es

x

∈ (5, ∞)∩(−∞, 0) = ∅

2.

x

∈ [0, 4)

enton es

|x| = x

y

|x − 4| = −x + 4

|x||4 − x| − 5

1

− |x

2

|

≥ 0 ⇒

x(4

− x) − 5

1

− x

≥ 0

resolviendo tenemos

x

∈ (1, ∞)

enton es

x

∈ (1, ∞)∩[0, 4) = [1, 4)

3.

x

∈ [4, ∞)

enton es

|x| = x

y

|x − 4| = x − 4

|x||4 − x| − 5

1

− |x

2

|

≥ 0 ⇒

x(x

− 4) − 5

1

− x

≥ 0

resolviendo tenemos

x

∈ (−∞, −1)∪(1, 5)

enton es

x

∈ {(−∞, −1)∪

(1, 5)

} ∩ [4, ∞) = (4, 5)

nalmente tenemos el onjunto solu ión

(4, 5)

∪ [0, 5)

.

2.

q

|x + 2| − 3 +

q

5

− |4 − x| > 0

Solu ión: Re ordemos que

a +

b > 0

⇔ [a ≥ 0 ∧ b > 0] ∨ [a >

0

∧ b ≥ 0]

veamos la ine ua ión, apli ando el resultado anterior, se tendría.

[

|x + 2| ≥ 3 ∧ 5 > |4 − x|]

[

|x + 2| > 3 ∧ 5 ≥ |4 − x|]

x

∈ [1, 9)

x

∈ (1, 9]

x

∈ [1, 9]

(26)

3.

q

|2x − 1| + x − 5 > x − 1

Solu ión: Hallando el universo

U =

{x ∈

R

/

|2x − 1| ≥ 5 − x}

=

R

− (−4, 2)

Ahora resolvamos la ine ua ión.

q

|2x − 1| + x − 5 > x − 1

. Apli ando un resultado anterior.

x

R

− (−4, 2) ∧ [x − 1 < 0 ∨ (x − 1 ≥ 0 ∧

q

|2x − 1| + x − 5 > x − 1)]

x

R

− (−4, 2) ∧ [x − 1 < 0 ∨ (x ≥ 1 ∧ |2x − 1| > x

2

− 3x + 6)]

x

R

− (−4, 2) ∧ [x − 1 < 0 ∨ (x ≥ 1 ∧ (−7 > x

2

− 5x ∨ 5 < −x

2

+ x))]

x

R

− (−4, 2) ∧ [x − 1 < 0 ∨ (x ≥ 1 ∧ (x ∈ ∅ ∨ x ∈ ∅))]

x

R

− (−4, 2) ∧ [x ∈ (−∞, 1) ∨ (x ∈ [1∞) ∧ (x ∈ ∅ ∨ x ∈ ∅))]

x

∈ (−∞, −4]

4.

q

|x| + 3 <

q

|x| + 1 −

q

6

− |x|

Solu ión: Hallando el universo

U =

{x ∈

R

/

|x| + 3 ≥ 0 ∧ |x| + 1 ≥ 0 ∧ 6 − |x| ≥ 0}

=

{x ∈

R

/x

∈ (−∞, −3] ∪ [3, ∞) ∧ x ∈

R

∧ x ∈ [−6, 6]}

= [

−6, −3] ∪ [3, 6]

Ahora veamos la desigualdad, primero elevaremos al uadrado.

q

|x| + 3 <

q

|x| + 1 −

q

6

− |x|

q

|x| + 3 +

q

6

− |x| <

q

|x| + 1

q

(

|x| + 3)(6 − |x|) <

1

2

(

|x| + 2)

apli ado las propiedades

(27)

1

2

(

|x| + 2) ≥ 0 ∧ (|x| + 3)(6 − |x|) <



1

2

(

|x| + 2)



2

1

2

(

|x| + 2) ≥ 0 ∧ 0 < 5|x|

2

− 40|x| + 76

1

2

(

|x| + 2) ≥ 0 ∧ 0 < 5|x|

2

− 40|x| + 76

x

R

− [−2, 2] ∧ |x| ∈

R



4

2

5

, 4 +

2

5



x

R

− [−2, 2] ∧ x ∈

R



−4 −

2

5

, 4 +

2

5





−4 +

2

5

, 4

2

5



inter eptando on el universo es:



−6, −4 −

2

5





−4 +

2

5

,

−3





3, 4

2

5





4 +

2

5

, 6



E ua iones e ine ua iones on

J·K

Toda fun iones proposi ionales que tienen la forma.

P (x) ⋆ 0

, donde

≡=, <, >, ≤, ≥

, o en el aso mas general sería

JP

1

(x)K + JP

2

(x)K + . . . + JP

n

(x)K

JQ

1

(x)K + JQ

2

(x)K + . . . + JQ

m

(x)K

⋆ 0

,

on este tema se pretende que las fun iones proposi ionales sean

ver-daderas para algunos

x

que están en

R

.

E ua iones on

J·K

Para resolver las e ua iones on máximo entero se utiliza el teorema

Teorema:

∀x ∈

R

y

n

N, umple

JxK = n ⇔ n ≤ x < n + 1

, y las propiedades de máximo entero.

Ejemplo 1.0.11. 1.

J2x − 1K = −1

Solu ión: sabemos por propiedad de máximo entero que:

J2x − 1K = −1 ⇔ −1 ≤ 2x − 1 < 0

⇔ 0 ≤ x <

1

2

⇔ x ∈ [0,

1

2

)

R

(28)

2.

s

3x + 1

3

− 2x

{

= 2

Solu ión: sabemos por propiedad de máximo entero que:

s

3x + 1

3

− 2x

{

= 2

⇔ 2 ≤

3x + 1

3

− 2x

< 3

⇔ 2 ≤

3x + 1

3

− 2x

3x + 1

3

− 2x

< 3

⇔ 0 ≤

7x

− 5

3

− 2x

9x

− 8

3

− 2x

< 0

⇔ 0 ≥

7x

− 5

2x

− 3

9x

− 8

2x

− 3

> 0

⇔ x ∈



5

7

,

3

2



∧ x ∈



−∞,

8

9





3

2

,



⇔ x ∈



5

7

,

8

9



3.

J3xK = 2x + 2

(sug

2x + 2

Z

)

Solu ión: sabemos por propiedad de máximo entero que:

J3xK = 2x + 2 ⇔ 2x + 2 ≤ 3x < 2x + 3

⇔ 2 ≤ x < 3

⇔ x ∈ [2, 3)

⇔ x = 2

Ine ua iones on

J·K

Pararesolverlasine ua iones onmáximoenteroseutilizaelteorema

Teorema: Para todo

n

Z

umple 1.

JxK < n ⇔ x < n

2.

JxK ≥ n ⇔ x ≥ n

Primero veamos algo muy interesante.

Si

x = 1,2

→ JxK > 0 ⇒ x ≥ JxK ≥ 1

Si

x = 5,3

→ JxK > 4 ⇒ x ≥ JxK ≥ 5

Si

x = 5,0

→ JxK > 4 ⇒ x ≥ JxK ≥ 5

Si

x = 1,9

→ JxK > 0 ⇒ x ≥ JxK ≥ 1

(29)

o también podemos ver que

Si

x = 1,2

→ JxK ≤ 1 ⇒ 2 > x ≥ JxK

Si

x = 5,3

→ JxK ≤ 5 ⇒ 6 > x ≥ JxK

Si

x = 5,0

→ JxK ≤ 5 ⇒ 6 > x ≥ JxK

Si

x = 1,9

→ JxK ≤ 1 ⇒ 2 > x ≥ JxK

de estas observa iones, tenemos el siguiente orolario.

Corolario: Para todo

n

Z

umple 1.

JxK > n ⇔ x ≥ n + 1

2.

JxK ≤ n ⇔ x < n + 1

Ejemplo 1.0.12. Resolver 1.

s

3x + 2

x

− 1

{

13

3

Solu ión: Como

13

3

< 5

, enton es se tiene

s

3x + 2

x

− 1

{

≤ 5 ⇔

3x + 2

x

− 1

< 6

3x

− 8

x

− 1

> 0

⇔ x ∈ (−∞, 1) ∪



8

3

,



2.

q

4

− |x|

Jx

2

− 2x − 7K

> 0

Solu ión: Hallando el onjunto universo.

U =

{x ∈

R

/4

− |x| ≥ 0} = [−4, 4]

, ahora veamos la ine ua ión.

q

4

− |x|

Jx

2

− 2x − 7K

> 0

q

4

− |x| > 0 ∧ Jx

2

− 2x − 7K > 0 ∧ x ∈ [−4, 4]

⇔ 4 − |x| > 0 ∧ J(x − 1)

2

− 8K ≥ 1 ∧ x ∈ [−4, 4]

⇔ x ∈ (−4, 4) ∧ (x − 1)

2

− 8 ≥ 1 ∧ x ∈ [−4, 4]

⇔ x ∈ (−4, 4) ∧ (x − 4)(x + 2) ≥ 0 ∧ x ∈ [−4, 4]

⇔ x ∈ (−4, 4) ∧ x ∈ (−∞, −2] ∪ [4, ∞) ∧ x ∈ [−4, 4]

⇔ x ∈ (−4, −2]

R

(30)

3.

2Jx + 1K

2

− 11JxK ≤ 4

Solu ión: Sabemos por propiedad de máximo entero que

Jx + 1K = JxK + 1

, enton es

2Jx + 1K

2

− 11JxK ≤ 4 ⇔ 2(JxK

2

+ 2JxK + 1) − 11JxK ≤ 4

⇔ (2JxK − 3)(JxK − 2) ≤ 0

⇔ JxK ∈



3

2

, 2



omo

JxK ∈

Z

enton es

x

∈ [2, 3)

. E ua iones e ine ua iones

e

(·)

Toda fun iones proposi ionales que tienen la forma.

P (x) ⋆ 0

, donde

≡=, <, >, ≤, ≥

, o en el aso mas general sería

e

P

1

(x)

+ e

P

2

(x)

+ . . . + e

P

n

(x)

e

Q

1

(x)

+ e

Q

2

(x)

+ . . . + e

Q

m

(x)

⋆ 0

,

on este tema se pretende que las fun iones proposi ionales sean

ver-daderas para algunos

x

que están en

R

.

E ua iones

e

(·)

Sea

a < 0

un número real positivo arbitrario, y sean

P (x)

y

q(x)

fun iones arbitrarias de la variable real

x

, enton es llamaremos una e ua ión exponen ialaunae ua ióndeunadelasdosformas:

a

P

(x)

=

1

ó

a

P

(x)

= a

Q(x)

.

Y para resolver este tipo de e ua iones se utiliza los dos teoremas

sigu-ientes.

Teorema: Sea

a > 0

. Si

x

es una variable real, enton es la expresión

a

x

es siempre positiva, para todo

x

R

Teorema: Sea

a > 0

,

a

6= 1

, enton es

1.

a

P

(x)

= a

Q(x)

⇔ P (x) = Q(x)

2.

a

P

(x)

= 1

⇔ P (x) = 0

3.

1

P(x)

= 1

, para toda expresión

P (x)

.

Ejemplo1.0.13. Hallar el onjuntodonde umpleigualdad entérminos

de

y

(31)

1.

3

2x+5

− 28(3

x+1

− 2) = 55

siendo

x =

s

2y + 3

y + 2

{

Solu ión: la e ua ión para resolver es

243.(3

2x

)

− 84(3

x

) + 1 = 0

,

enton es resolviendo la e ua ión uadráti a (

p = 3

x

) en ontramos

3

x

= 3

−1

o

3

x

= 3

−4

enton es de esto se tiene

x =

−1

o

x =

−4

y omo

x =

s

2y + 3

y + 2

{

enton es

s

2y + 3

y + 2

{

=

−1 ∨

s

2y + 3

y + 2

{

=

−4

−1 ≤

2y + 3

y + 2

< 0

∨ −4 ≤

2y + 3

y + 2

<

−3

y



5

3

,

3

2



∨ y ∈



11

6

,

9

5



Por lo tanto el onjunto solu ión es:



5

3

,

3

2





11

6

,

9

5



2.

3

x+2

+ 3

x+1

+ 3

x

+ 3

x

−1

= 120

donde

x =

s

y

2

+ 7y

− 2

y + 2

Solu ión:

3

x+2

+ 3

x+1

+ 3

x

+ 3

x

−1

= 120

⇔ (27 + 9 + 3 + 1)3

x

= 360

⇔ 3

x

= 9

⇔ x = 2 =

s

y

2

+ 7y

− 2

y + 2

⇔ y = −5, 2

3.

3

2(x+1)

− (18)3

x

+ 9 = 0

donde

x =

p

y

4

− 4

Solu ión:

3

2(x+1)

− 183

x

+ 9 = 0

⇔ (9)3

2x

− (18)3

x

+ 9 = 0

⇔ 3

x

= 1

∧ 3

x

= 1

⇔ x = 0 =

p

y

4

− 4

⇔ y = ±

2

R

(32)

In ua iones

e

(·)

Las ine ua ionesexponen iales sondelaforma

a

P

(x)

> a

Q(x)

,

a

P

(x)

>

a

Q(x)

,

a

P

(x)

≤ a

Q(x)

y

a

P

(x)

≥ a

Q(x)

.

Para hallar estos tipos de ine ua iones se utiliza el siguiente teorema,

pero antes debemos re ordar que

a < b

⇔ b > a

. Teorema: Sea

a > 0

, 1. Si

a > 1

, enton es a)

a

P

(x)

> a

Q(x)

⇔ P (x) > Q(x)

b)

a

P

(x)

≥ a

Q(x)

⇔ P (x) ≥ Q(x)

2. Si

0 < a < 1

, enton es a)

a

P

(x)

> a

Q(x)

⇔ P (x) < Q(x)

b)

a

P

(x)

≥ a

Q(x)

⇔ P (x) ≤ Q(x)

Y el teorema.

Teorema: Sean

a > 0

,

b > 0

y

α

R

, enton es 1. Si

α > 0

, a)

a

α

< b

α

⇔ a < b

b)

a

α

≤ b

α

⇔ a ≤ b

2. Si

α = 0

enton es

a

α

= b

α

= 1

3. Si

α < 0

, a)

a

α

< b

α

⇔ a > b

b)

a

α

≤ b

α

⇔ a ≥ b

Ejemplo1.0.14. Hallar el onjuntodonde umpleigualdad entérminos

de

m

1.

(0,3)

x+9

> (0,3)

x

2

−3x+4

donde

x =

|m

2

− 4| + 2m − 4

Solu ión: sabemos que

(0,3)

x+9

> (0,3)

x

2

−3x+4

⇒ x + 9 < x

2

− 3x + 4

⇒ 0 < (x − 5)(x + 1)

⇒ x ∈ (−∞, −1) ∪ (5, ∞)

(33)

Como

x =

|m

2

− 4| + 2m − 4

enton es

|m

2

−4|+2m−4 ∈ (−∞, −1)∪(5, ∞)

resolviendo la ine ua iones

se tiene omo solu ión

(1

− 2

2, 1

2)

2.

x−1

q

3

3

3x+1

>

2x+5

9

x+5

donde

||m + 4| + (m + 5)| = x

Solu ión:

3

3(x−1)

3x+1

> 3

2x+10

5x+5

3x + 1

3(x

− 1)

>

2x + 10

5x + 5

7(x + 5)

3(x

− 1)(5x + 5)

> 0

⇒ x ∈



−5,

−5

2



∪ (1, ∞)

omo

||m + 4| + (m + 5)| = x

enton es

||m+4|+(m+5)| ∈



−5,

−5

2



∪(1, ∞)

,luego

||m+4|+(m+5)| > 1

enton es

|m + 4| > −m − 4 ∨ |m + 4| < −m − 6

m > 0

∨ ∅ ∨ ∅ ∧ m ∈ (−∞, −1)

enton es el onjunto solu ión es

m

∈ (0, ∞)

.

E ua iones e ine ua iones

log

b

(·)

Toda fun iones propisi ionales que tienen la forma.

P (x) ⋆ 0

, donde

≡=, <, >, ≤, ≥

, o en el aso mas general sería

log

H

(x)

P

1

(x) + log

H

(x)

P

2

(x) + . . . + log

H

(x)

P

n

(x)

log

H

(x)

Q

1

(x) + log

H(x)

Q

2

(x) + . . . + log

H

(x)

Q

m

(x)

⋆ 0

,

on este tema se pretende que las fun iones proposi ionales sean

ver-daderas para algunos

x

que están en

R

.

Cuando se resuelve una e ua ión o una ine ua ión logarítmi a en

primer instan ia hay que extraer el universo, y este es:

1. A la expresión

log

Q(x)

P (x)

, le obliga automáti amente a resolver la ine ua ión

P (x) > 0

.

2. A la expresión

log

Q(x)

P (x)

, le obliga automáti amente a resolver la ine ua ión

(Q(x) > 0)

∧ (Q(x) 6= 1)

.

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