AUTOR:
Índi e General 1. E ua iones e ine ua iones 3 E ua iones . . . 3 E ua iones lineales . . . 3 E ua iones uadráti as: . . . 4 E ua iones Ra ionales: . . . 6
Método de fa toriza ión por RUFFINI: . . . 7
Ine ua iones: . . . 10
Ine ua iones lineales: . . . 11
Ine ua iones Cuadráti as: . . . 12
Ine ua iones polinómi as y ra ionales . . . 13
E ua iones e ine ua iones on
√
·
. . . 18 E ua iones on√
·
. . . 18 Ine ua iones on√
·
. . . 20E ua iones e ine ua iones on
| · |
. . . 20E ua iones on
| · |
. . . 21Ine ua ión on
| · |
. . . 22E ua iones e ine ua iones on
J·K
. . . 27E ua iones on
J·K
. . . 27 Ine ua iones onJ·K
. . . 28 E ua iones e ine ua ionese
(·)
. . . 30 E ua ionese
(·)
. . . 30 In ua ionese
(·)
. . . 32E ua iones e ine ua iones
log
b
(·)
. . . 33E ua iones
log
b
(·)
. . . 34Ine ua iones
log
b
(·)
. . . 36Ejer i ios de e ua iones . . . 38
Bibliografía 44
Cap´ıtulo
1
E ua iones e ine ua iones
E ua iones
Toda e ua ión son fun iones proposi ionales que tienen la forma
P (x) = 0
o en el aso mas general seríaP
1
(x) + P
2
(x) + . . . + P
n
(x)
Q
1
(x) + Q
2
(x) + . . . + Q
m
(x)
= 0
.Con este temase pretende en ontraralgunos
x
∈
R
talque lasfun iones proposi ionales sean verdaderas.E ua iones lineales
Para poder resolver las e ua iones lineales es ne esario re ordar el
teorema:
Teorema: Si
a, b
∈
R
, ona
6= 0
, enton es la e ua iónax = b
tiene una solu ión úni ax = a
−1
b
.
Ejemplo 1.0.1. En uentre las solu iones de las siguientes e ua iones
lineales 1.
4(x
− 10) = −6(2 − x) − 6x
2.2(x + 1)
− 3(x − 2) = x + 6
3.x
− 1
4
−
x
− 5
36
=
x + 5
9
4.6
x + 1
8
−
2x
− 3
16
= 3
3
4
x
−
1
4
−
3
8
(3x
− 2)
5.
3x + 1
7
−
2
− 4x
3
=
−5x − 4
14
+
7x
6
6.2
3
x
−
1
−
x
− 2
3
+ 1 = x
E ua iones uadráti as:Sean
a, b, c
∈
R
ya
6= 0
, enton es la e ua iónax
2
+ bx + c = 0
se
llama e ua ión uadráti a.
Para resolver las e ua iones uadráti as, se tiene lossiguientesmétodos.
1. Método de fa toriza ión: En primer lugarla e ua ión
uadráti- a se tiene que fa torizar. Luego, utiliza el teorema
ab = 0
⇔ a = 0 ∨ b = 0
Ejemplo: Hallar las solu iones de las e ua ión uadráti a, por el
método de fa toriza ión. a)
4x
2
− 4x − 3 = 0
b)3x
2
−5x−12 = 0
)x
2
− x = 2
d)x
2
+ 4x
− 5 = 0
e)2x
2
− x − 10 = 0
f)5z
2
+13z +6 = 0
g)x
2
− 4x − 21 = 0
h)3x
2
−11x+6 = 0
i)x
3
+ x
2
− 2x = 0
2. Método de ompletar uadrados: Sea la e ua ión uadráti a
ax
2
+ bx + c = 0
el método de ompletar uadrados onsiste en llevar a una forma omo(x + d)
2
= e
2
, donde
d, e
son onstantes por determinar. Luego, se utiliza teorema:a
2
= b
⇔ a = −
√
b
∨ a =
√
b.
Ejemplo: Hallar las solu iones de las e ua ión uadráti a por el
método de ompletar uadrados.
a)
x
2
− 5x − 36 = 0
b)x
2
− 8x + 15 = 0
)3x
2
+ 4x
− 1 = 0
d)x
2
+ 4x
− 5 = 0
e)x
2
+ 6x + 7 = 0
f)5x
2
+ 3x =
−2
g)3x
2
− 11x = −6
h)x
2
+ 54x =
−79
i)5x
2
+ 3x = 2
3. Método de la fórmula general: en este método se utiliza la
siguiente fórmula.
x
1,2
=
−b ±
p
b
2
− 4ab
2a
.
R
Obs: A la expresión
△
= b
2
− 4ac
, los llamaremos dis riminante.
Veamos que su ede on las solu iones de la e ua ión uadráti a.
a) Si
△
> 0
, enton es la e ua ión uadráti a tiene dos solu iones distintas.b) Si
△
= 0
,enton es lae ua ión uadráti a tieneuna úni a solu- ión.) Si
△
< 0
, enton es la e ua ión uadráti a no tiene ninguna solu ión real.x
0
x
1
x
2
△
= 0
△
> 0
△
< 0
a
b
c
Notemos que las solu iones de la e ua ión uadráti a son los
pun-tos de interse ión del eje
X
y la parábola (Ver teoría de fun ión). Cuando la dis riminante△
< 0
la parábola no se interse ta on el ejeX
es por esoque laexpresiónax
2
+ bx + c
on
a > 0
es siempre positiva; esto es,ax
2
+ bx + c > 0
para ualquier
x
∈
R
.Ejemplo: Hallar las solu iones de las e ua ión uadráti as (si
ex-isten) utilizando las fórmula general.
a)
3x
2
− 2x − 1 = 0
b)2x
2
− 5x + 4 = 0
)9x
2
+12x+4 = 0
d)4x
2
− 6x + 2 = 0
e)x
2
−
7
6
x +
1
3
= 0
f)6x
2
− 5x + 1 = 0
g)9x
2
− 6x + 1 = 0
h)√
2x
2
−x = x
2
+
x
i)x
2
+ 2x + 1 = 0
R
Teorema Si la e ua ión uadráti a
ax
2
+ bx + c = 0
,
a
6= 0
, admite solu ionesr
ys
enR
, enton es se umple:1.
S = r + s =
−
b
a
2.P = rs =
c
a
3.D =
|r − s| =
p
b
2
− 4ac
a
Demostra ión Sólo se apli a la fórmula general.
E ua iones Ra ionales:
Una e ua ión ra ional es una igualdad ondi ional que redu ida a su
massimple expresión tiene la forma
P (x)
Q(X)
= 0
, dondeP (x)
yQ(x)
son monomios, binomios polinomios no nulos on oe ientes reales.Observa ión: Un Polinomio es una expresión algebrai a de la forma:
a
n
x
n
+a
n
−1
x
n
−1
+a
n
−2
x
n
−2
+
· · ·+a
1
x+a
0
donden
esunentero positivo y los oe ientesa
n
, a
n
−1
· · · a
0
son números reales arbitrarios. 1. Si la e ua ión ra ional tiene la forma:ax + b
cx + d
= 0
, sabemos por el teoremadelo números reales que:a
b
= 0
⇒ a = 0∧b 6= 0
,enton es la e ua ión tiene omo solu ión ax =
−
b
a
2. Si la e ua ión tiene la forma
ax
2
+ bx + c
ex
2
+ f x + g
= 0
,a) Para laresolu ióndeestase ua ionesprimerono onsideramos
los valores donde el denominador se ha e ero (esto es
ex
2
+
f x + g = 0
)b) Luego hallamos e ua ión uadráti a del numerador (es de ir
ax
2
+ bx + c = 0
) y estas serán las respuestas de la e ua ión. Ojo: notemos que algunos de las solu iones del numerador nodebe anular al denominador, si fuese así sólo extremos (o
anu-lamos) el número del resultado.
3. Si la e ua ión ra ional tiene la forma
P (x)
Q(X)
= 0
, son polinomios no nulos de grado mayor que dos. Para la solu ión se ha ea) Primero no onsideramos los valores donde el denominador se
ha e ero (esto es
Q(x) = 0
)b) Luego hallamos las solu iones del numerador (es de ir
P (x) =
0
) y estas serán las respuestas de la e ua ión ra ional.Ojo: Notemos que si algunos de las solu iones del numerador
P (x)
, no debe anular al denominadorQ(X)
,si fuese así sólo extraemos (o anulamos) el número del resultado.x
1
x
2
Método de fa toriza ión por RUFFINI:
Antes de ha er los ejer i ios de las e ua iones ra ionales re ordemos
el método de fa toriza ión por RUFFINI:
Ejemplo 1.0.2. Fa torizar el polinomio
x
4
+ 6x
3
− 5x
2
− 42x + 40
utilizando en método de RUFFINI.
Solu ión: Para fa torizar on este método se ha e
1. Se extrae todos los divisores de la variable donde no esta
multipli- ado on
x
o sea el número 40 (Para esto utilizamos em MCM.)x =
±1, ±2, ±4, ±5, ±8, ±10, ±20, ±40
. on estos son los posibles fa tores omunes.2. Luego, ordenamos los oe ientes en una tabla de mayor a menor
grado. De esta forma.
1 6
−5 −42
40
1
↓ 1
7
2
−40
1 7
2
−40
0
2
↓ 2 18
40
1 9 20
0
Las e hasque tienesentidoha ia abajo, nos di equeelnúmero
de arriba (1) debe ser olo ado abajo.
Luego ese número (1) lo multipli amos por el número que esta
a laizquierda de lalinea verti al(1) y eseresultado es olo ado
al ostado dere ho de la e ha.
Después el número olo ado (1) se suma on el número que
se en uentra en ima de di ho número y ese resultado lo
olo- amos debajo de la linea horizontal (7)
Se ha e los mismos pasos hasta terminar.
Ojo: si el ultimo número es ero (0), la fa toriza ión estará
bien si no es ero (0), bus amos otro número hasta que salga
el número ero (0).
Para la siguiente fa toriza ión se pro ede de la misma forma
y así su esivamente (hasta terminar).
3. Luego los que esta a la izquierda de la linea son ambiados de signo
o ordenamos de la siguientes forma
(x
− 1)(x − 2)(x
2
+ 9x + 20)
que esta es la fa toriza ión:
Ejemplo 1.0.3. 1. Hallar las solu ión de
√
2x + 3
− 3 = 3x +
5
2
2. Hallas las raí es realesde la e ua ión:
8(x
−3)
4
−38(x−3)
2
+9 = 0
Solu ión: fa torizando la expresión y ha iendo
m = (x
− 3)
2
, se tiene(x
− 3)
2
=
1
4
∨ (x − 3)
2
=
9
2
4x
2
− 24x + 35 = 0 ∨ 2x
2
− 12x + 9 = 0
(2x
− 5)(2x − 7) = 0 ∨ x
1,2
=
12
±
√
72
4
x =
5
2
∨ x =
7
2
∨ x
1,2
=
6
± 3
√
2
2
R
3. Hallar las raí esreales de lae ua ión:
x
1 + x
2
+
1 + x
x
2
=
17
4
Solu ión: Ha iendoy =
x
1 + x
2
tenemos la siguiente
fa tor-iza ión
x
1 + x
2
−
1
4
= 0
∨
x
1 + x
2
− 4 = 0
x
1 + x
=
1
2
∨
x
1 + x
=
−
1
2
∨
x
1 + x
= 2
∨
x
1 + x
=
−2
x = 1
∨ x = −
1
3
∨ x = −2 ∨ x = −
2
3
4. Hallar las raí es reales de:
x + 1 +
6
x
x
− 1 +
6
x
= 24
Solu ión:Basta ha er:
w = x+
6
x
y utilizara
2
−b
2
= (a
−b)(a+b)
.
5. Hallar las raí es reales de:
(x
2
+ 3x + 2)
2
− 8(x
2
+ 3x) = 4
Solu ión: Basta ha er:
w = x
2
+ 3x
y utilizar
(a + b)
2
= a
2
+
2ab + b
2
.6. Hallar las raí es reales de:
x
−
3
x
2
− 4x +
12
x
= 12
Solu ión:Basta ha er:
w = x
−
3
x
yutilizar(a
−b)
2
= a
2
−2ab+b
2
7. Hallar las raí es reales de:
x
2
− x + 3
p
2x
2
− 3x + 2 =
x
2
+ 7
Ejemplo 1.0.4. 1. Hallar los valoresde
x
para que umplalae ua ión:x
5
− 4x
4
+ 3x
3
+ 3x
2
− 4x + 1 = 0
Solu ión: Fa torizando on Runi la e ua ión en ontramos.
(x
− 1)
2
(x + 1)(x
2
− 3x + 1) = 0
, enton es la solu iones de la
e ua ión es
x =
−1, 1,
3
±
√
5
2
2. Hallar los valores de
x
para que satisfa e la e ua ión2x
3
+ 7x
2
+
7x + 2 = 0
. Solu ión: Ha iendox =
1
x
en ontramos,2x
3
+ 7x
2
+ 7x + 2 = 0
y fa torizando on Runi se tiene
x +
1
2
(x + 2)(x + 1) = 0
, por lo tanto en ontramos los valores dex =
−
1
2
,
−2, −1
.3. Hallar los valores de
x
para que satisfa e la e ua ión4x
4
− 17x
3
+
17x
− 4 = 0
.Solu ión: Fa torizando on Runi la e ua ión en ontramos.
(x
− 1)(x + 1)(4x − 1)(x − 4) = 0
, por lo tanto en ontramos los valoresx =
−1, 1, 4,
1
4
.4. Hallar el onjunto solu ión de
a)
x
3
− 10x
2
+ 11x + 70 = 0
Solu ión: Fa torizando on Runi la e ua ión en ontramos.
(x
− 7)(x + 2)(x − 5) = 0
enton es la solu ión esx =
−7, 2, 5
b) Hallar los valores dex
para que satisfa e la e ua ión:4x
3
−
x
2
− 16x + 4 = 0
.Solu ión: Fa torizando on Runi la e ua ión en ontramos.
(x
−2)(x+2)(4x−1) = 0
, por lo tanto en ontramos los valores esx =
−2, 2,
1
4
.) Hallar los valores de
x
para que satisfa e la e ua ión:2
x + 1
+
2x
x
2
− 5x + 4
=
2x
2
(x + 1)(x
2
− 5x + 4)
. Solu ión: operando tenemosx
2
− 4x + 4 = 0
, enton es la solu iónx = 2
. d)3x
− 6 = 2 +
36
3x + 4
Ine ua iones:Una ine ua ión es toda desigualdad que ontiene una o mas
anti-dades des ono idas, llamadas variables, y que sólo es verdadera para
algunos
x
en los números reales.Lasine ua ionesdeunavariablesonfun ionesproposi ionalesquetienen
la forma
P (x) > 0
o en el aso mas general sería;P
1
(x) + P
2
(x) + . . . + P
n
(x)
Q
1
(x) + Q
2
(x) + . . . + Q
m
(x)
> 0
también son on los signos
<
,≤
,≥
, on este tema se pretende que las fun iones proposi ionales sean verdaderas para intervalos que sonsub onjuntos de
R
.Observa ión 1.0.1. Cuando nos piden la solu ión de una ine ua ión
se debe entender que nos están pidiendo un onjunto de valores de
x
para que umpla tal ondi ión, en otras palabras se debe onsiderar lassiguientes equivalen ias
a < x < b
≡ x ∈ (a, b)
a
≤ x ≤ b ≡ x ∈ [a, b]
x < a
≡ x ∈ (−∞, a)
. etIne ua iones lineales:
Una ine ua ión lineal de una variable
x
es una desigualdad de la forma:ax + b > 0
,ax + b < 0
,ax + b
≤ 0
yax + b
≥ 0
. Y la solu ión de la ine ua ión es de la forma.ax + b > 0
⇒ ax + b − b > −b
⇒ ax > −b
⇒ x > −
b
a
⇒ x ∈ (−
b
a
,
∞)
Ejemplo 1.0.5. Hallar el onjunto solu ión de las siguientes
ine ua- iones 1.
−
x
4
− 4 ≥
5x
3
−
1
6
2.5x
− 2
3
−
x
− 8
4
>
x + 14
2
− 2
3.x
−
2
− x
5
≤
4x + 1
3
−
x
− 5
15
4.2(x + 2)
3
< 2x
5.3(2
− x)
2
−
16
3
< x
−
x + 1
5
6.3x + 1
4
−
1
3
≤
2
15
(x + 3) +
4(1
− x)
3
R
Ine ua iones Cuadráti as:
Una ine ua ión uadráti a es una desigualdad ondi ional que,
re-du ida a una simple expresión, tiene la forma:
ax
2
+ bx + c > 0
,ax
2
+ bx + c < 0
,ax
2
+ bx + c
≤ 0
yax
2
+ bx + c
≥ 0
. dondea
6= 0
ya, b, c
son números reales.existen dos métodos para resolves las ine ua iones uadráti as y son:
1. Método de fa toriza ión: Se redu e uando el trinomio
ax
2
+
bx + c
es fa torizable y su resolu ión se basa en apli ar el teorema a)ab > 0
⇔ [(a > 0 ∧ b > 0) ∨ (a < 0 ∧ b < 0)]
b)
ab < 0
⇔ [(a < 0 ∧ b > 0) ∨ (a > 0 ∧ b < 0)]
Ejemplo: Hallar el onjunto solu ión de las ine ua iones
uadráti- as, por el método de fa toriza ión.
a)
4x
2
− 4x − 3 < 0
b)3x
2
−5x−12 > 0
)x
2
− x ≤ 2
d)x
2
+ 4x
− 5 > 0
e)2x
2
− x − 10 > 0
f)5z
2
+13z +6 < 0
g)x
2
− 4x − 21 < 0
h)3x
2
−11x+6 ≥ 0
i)x
3
+ x
2
− 2x > 0
2. Método de ompletar uadrados: Elmétodo onsisteen
trans-formar el trinomio
ax
2
+ bx + c
a una forma omo
a(x +
b
2a
)
2
= k
donde
k
esta por determinar. Y se ha e uso del teorema. a) Sib
≥ 0 → a
2
> b
⇔ [a >
√
b
∨ a < −
√
b]
b) Si
b > 0
→ a
2
> b
⇔ [−
√
b < a <
√
b]
Ejemplo:Hallar el onjuntosolu ióndelasino ula iones
uadráti- as, por el método de ompletar uadrados.
a)
x
2
− 5x − 36 ≤ 0
b)x
2
− 8x + 15 ≤ 0
)3x
2
+ 4x
− 1 ≥ 0
d)x
2
+ 4x
− 5 < 0
e)x
2
+ 6x + 7 > 0
f)5x
2
+ 3x >
−2
g)3x
2
− 11x < −6
h)x
2
+ 54x <
−79
i)5x
2
+ 3x < 2
R
x
0
+
+
x
1
x
2
+
+
−
△
< 0
△
= 0
△
< 0
Ine ua iones polinómi as y ra ionales
Una ine ua ión ra ionales una desigualdad ondi ional que redu ida
a su massimple expresióntiene laforma
P (x)
Q(X)
> 0
,P (x)
Q(x)
< 0
,P (x)
Q(x)
≤
0
yP (x)
Q(x)
≥ 0
, dondeP (x)
yQ(x)
son monomios, binomios polinomios no nulos on oe ientes reales.Observa ión: Un Polinomio es una expresión algebrai a de la forma:
a
n
x
n
+a
n
−1
x
n
−1
+a
n
−2
x
n
−2
+
· · ·+a
1
x+a
0
donden
esunentero positivo y los oe ientesa
n
, a
n
−1
· · · a
0
son números reales arbitrarios.1. Si la ine ua ión ra ional tiene la forma:
ax + b
cx + d
> 0
,ax + b
cx + d
< 0
,ax + b
cx + d
≤ 0
yax + b
cx + d
≥ 0
, y sabemos por un teorema que a)a < 0
⇒ a
−1
< 0
b)
a > 0
⇒ a
−1
> 0
enton eslaine ua iónsepuedeexpresar omo:
(ax+b)(cx+d) > 0
,(ax + b)(cx + d) < 0
,(ax + b)(cx + d)
≤ 0
y(ax + b)(cx + d)
≥ 0
y se apli a el teoremaa)
ab > 0
⇔ [(a > 0 ∧ b > 0) ∨ (a < 0 ∧ b < 0)]
b)ab < 0
⇔ [(a < 0 ∧ b > 0) ∨ (a > 0 ∧ b < 0)]
2. Si la ine ua íon tiene la forma
ax
2
+ bx + c
ex
2
+ f x + g
> 0
,ax
2
+ bx + c
ex
2
+ f x + g
<
0
,ax
2
+ bx + c
ex
2
+ f x + g
≤ 0
yax
2
+ bx + c
ex
2
+ f x + g
≥ 0
a) Si una de los dos trinomios no tiene solu iones reales o tiene
una raíz doble, es de ir
b
2
− 4ac < 0
ob
2
− 4ac = 0
, enton esax
2
+ bx + c
oex
2
+ f x + g
tiene signo jo y es positivo para
ualquier
x
∈
R
.b) Si ambos trinomios tiene raí es reales y distintos enton es la
ine ua ión se transforma en una ine ua ión polinómi a.
3. La ine ua ión ra ional tiene la forma
P (x)
Q(X)
> 0
,P (x)
Q(x)
< 0
,P (x)
Q(x)
≤ 0
yP (x)
Q(x)
≥ 0
, dondeP (x)
yQ(x)
son polinomios no nulos de grado mayor que dos.Método para resolver ine ua iones polinómi as y
ine ua- iones ra ionales
1. Fa torizarlos polinomios
P (x)
enfa toreslineales (enel asoquesi se pudieran fa torizar aso ontrario sólo dejar elfa toresuadráti- as),
Re omenda ión:Para fa torizarsere omiendautilizarelmétodo
de Runi.
2. Seresuelve los raí es de ada fa torlineal, a la ual ada raíz lineal
se le llamará punto ríti o.
3. Lospuntos ríti os se olo a enla re taReal,dependiendodelvalor
numéri o.
4. Se olo a entre estos valores los signos
(+)
y(
−)
alternadamente, empezando por la dere ha on el signo(+)
y luego on el sig-no(
−)
así su esivamente. Si existe entre estos puntos ríti os val-ores igualesque ontados llegan ha er pares enton es el signo de laizquierdadel punto le orresponde elmismosigno dela dere ha del
mismo punto.
R
+
a
−
b
+
c
−
d
+
Puntos ríti os distintos.
R
−
a
+
b
−
c
−
d
+
El punto ríti os
c
es una raíz doble.5. Ellos indi aran que la expresión original del problema es:
a) Si
P (x) > 0
enton es la solu ión son todos los intervalos que tiene los signos positivos(+)
b) Si
P (x) < 0
enton es la solu ión son todos los intervalos que tiene los signos negativos(
−)
Ejemplo: Hallar el onjunto solu ión de las ine ua iones
uadráti- as, utilizando el método de los puntos ríti os.
a)
−4x
2
+ 4x >
−3
b)3x
2
−5x−12 < 0
)x
2
− x ≥ 2
d)x
2
− 5x + 6 < 0
e)2x
2
− x − 10 > 0
f)3x
2
− 7x + 6 < 0
g)x
2
− 3x − 4 > 0
h)3x
2
− 7x + 4 ≤ 0
i)x
2
− 4x + 5 ≥ 0
x
2
x
3
+
−
+
P (x) > 0
P (x) < 0
+
−
+ x
1
x
2
Ejemplo 1.0.6. Resuelva las siguientes ine ua iones, utilizando las
propiedades del sistema de los números reales.
1.
x +
2
x
>
−3
Solu ión:x +
2
x
>
−3 ⇔
x
2
+ 3x + 2
x
> 0
⇔
(x + 2)(x + 1)
x
> 0
⇔ x ∈ (0, ∞) ∪ (−2, −1)
2.(x
− 1)(2x
2
− 12x + 19) < 0
Solu ión:(x
− 1)(2x
2
− 12x + 19) < 0 ⇔ (x − 1) < 0
⇔ x ∈ (∞, 1)
3.2
2x + 3
∈
1
4
, 2
Solu ión:1
4
<
2
2x + 3
≤ 2 ⇔
1
8
<
1
2x + 3
≤ 1
⇔ −2 ≤ 2x < 5
⇔ x ∈
−1,
5
2
4.(x
2
+ 7)(x
2
+ 25)(x
2
− 4)(x
2
+ 3) > 0
Solu ión:(x
2
+ 7)(x
2
+ 25)(x
2
− 4)(x
2
+ 3) > 0
⇔ (x − 2)(x + 2) > 0
⇔ x ∈ (−∞, −2) ∪ (2, ∞)
5.x + 2
x + 4
≥
x
2
+ 2
x
2
Solu ión:x + 2
x + 4
≥
x
2
+ 2
x
2
⇔
x + 2
x + 4
−
x
2
+ 2
x
2
≥ 0
⇔
x
3
+ 2x
2
− x
3
− 2x − 4x
2
− 8
x
2
(x + 4)
≥ 0
⇔
x
2
+ x + 4
x
2
(x + 4)
≤ 0
⇔
1
x
2
(x + 4)
≤ 0
⇔ x ∈ (−∞, −4]
R
6.
2x
x + 1
−
x
x
− 1
≥
x
− 1
x
Solu ión:2x
x + 1
−
x
x
− 1
−
x
− 1
x
≥ 0 ⇔
2x
2
− x + 1
x(x
− 1)(x + 1)
≤ 0
⇔
1
x(x
− 1)(x + 1)
≤ 0
⇔ x ∈ (−∞, −1) ∪ (0, 1)
7.x + 1
x
2
+ 2x + 3
≥ 0
8. Halle el onjunto de valores de
k
para que la e ua iónx
2
+ kx = 2
tenga dos raí es, una de las uales es 1.
Solu ión:apli andolafórmula generaltenemos que
x
1,2
=
−k ±
√
k
2
+ 8
2
,vemos que
k
2
+ 8 > 0
, enton es hallemos una raíz de la e ua ión
uadráti a,
−k ±
√
k
2
+ 8
2
= 1
⇔ ±
√
k
2
+ 8 = 2 + k
⇔ k
2
+ 8 = 4 + 4k + k
2
⇔ 1 = k
Por lo tanto el onjunto solu ión es
{1}
.9. Halle el onjunto de valores de
k
para los quex
tome valores reales en la e ua iónx
2
+ 3x + 1 = (k + 2)x
.
Solu ión: para que tenga solu iones reales basta que la
dis rimi-nante sea mayor que ero
(3k + 6)
2
− 4 ≥ 0 ⇔ (3k + 4)(3k + 8) ≥ 0
⇔
k +
4
3
k +
8
3
≥ 0
⇔ x ∈
−∞, −
8
3
∪
−
4
3
,
∞
10. Halle el onjunto de valores de
m
para que la siguiente e ua ión no tenga solu iones reales:(m + 5)x
2
+ 3mx
− 4(m − 5) = 0
Solu ión: Basta ver que la dis riminante sea menor que ero (0).
9m
2
+ 16(m
2
− 25) < 0 ⇔ m
2
− 16 < 0
⇔ (m − 4)(m + 4) < 0
⇔ m ∈ (−4, 4)
E ua iones e ine ua iones on
√
·
Las fun iones proposi ionales que tienen la forma
q
P (x) ⋆ 0
, donde⋆
≡=, <, >, ≤, ≥
, o en el aso mas general seríaq
P
1
(x) +
q
P
2
(x) + . . . + P
n
(x)
q
Q
1
(x) + Q
2
(x) + . . . +
q
Q
m
(x)
⋆ 0
,on este tema se pretende que las fun iones preposi ionales sean
ver-daderas para intervalos que son sub onjuntos de
R
.E ua iones on
√
·
Para resolver este tipo de e ua iones se utiliza el siguiente teorema:
Teorema: Sean
a, b
∈
R
, enton es.√
a = b
⇔ [b ≥ 0 ∧ a = b
2
]
. Nota: A la raíz positiva se le denotará omo√
a
y si queremos denotar a la raíz negativa se lo hará por−
√
a
. Enton es no se onfunda ha er esto√
4 = 2
pero no es ierto que√
4 =
−2
. Teorema Seana, b
∈
R
, enton es.√
a +
√
b = 0
⇔ [b = 0 ∧ a = 0]
. Demostra ión:0
≤
√
a
≤
√
a +
√
b = 0
√
b =
√
a +
√
b = 0
Teorema Sean
a, b, c
∈
R
, enton es.√
a +
√
b = c
⇔ c ≤ 0[(
√
a +
√
b)
2
= c
2
]
.Teorema Sean
a, b, c
∈
R
, enton es.√
a
−
√
b = c
⇔ c ≤ 0[
√
a
2
=
(
√
b + c)
2
]
.Observa ión: Si una e ua ión tiene mu hos radi ales (esto es,
q
P (x)
q
Q(x)
q
R(x)
+
q
S(x) = 0
) enton es primero tenemos que extraer el universoU
que es la interse ión de los valores que ha e que exista las radi ales. (esto esU =
{x ∈
R
/P (x)
≥ 0 ∧ Q(x) ≥ 0 ∧ R(x) ≥
0
∧ S(x) ≥ 0}
)OJO: Para resolver las e ua iones on radi ales, primero se tiene que
extraer el onjunto universo
U
,Para poder onseguir el onjunto univer-so es pre iso poner las ondi iones ne esaria y su iente de la e ua iónoriginal (del mismo problema), no uando ya se ha he ho opera iones.
Con esto quiero de ir que: Eluniverso dela e ua iones
q
P (x)Q(x) = 0
esta denido por
U
1
=
{x ∈
R
/P (x)Q(x)
≥ 0}
, pero el universo de la e ua iónq
P (x)
q
Q(x) = 0
esta denido porU
2
=
{x ∈
R
/P (x)
≥
0
∧ Q(x) ≥ 0}
enton es podemos ver que los universosU
1
yU
2
son dis-tintos, porque la propiedad de radi ales√
ab =
√
a
√
b
es válida uandoa, b
∈
R
+
0
pero no es ierto uandoa, b
∈
R
−
Ejemplo 1.0.7. Resuelva ada uno de las e ua iones on radi ales.
1.
q
(2x
− 1)(3x + 1) = x + 1
Solu ión: El universo es
U =
{x ∈
R
/(2x
−1)(3x+1) ≥ 0}
luego ha emos la e ua ión omox + 1
≥ 0 ∧ (2x − 1)(3x + 1) = (x + 1)
2
∧ U
x
≥ −1 ∧ 6x
2
− x − 1 = x
2
+ 2x + 1
∧ U
x
≥ −1 ∧ 5x
2
− 3x − 2 = 0 ∧ U
x
≥ −1 ∧ (5x + 2)(x − 1) = 0 ∧ U
2.√
x
− 1
√
10x + 5 = x + 3
Solu ión:El universo esU =
{x ∈
R
/(x
−1) ≥ 0∧(10x+5) ≥ 0}
luego ha emos la e ua ión omox + 3
≥ 0 ∧ (x − 1)(10x + 5) = (x + 3)
2
3.
p
x
2
− 21x + 90 −
p
x
2
+ 3x
− 54 = x − 6
Solu ión: fa torizando tenemos:
q
(x
− 15)(x − 6) −
q
(x + 9)(x
− 6) = x − 6
enton es el universo esU =
{x ∈
R
/(x
− 15)(x − 6) ≥ 0 ∧ (x + 9)(x − 6) ≥ 0}
luego ha emos la e ua ión:
q
(x
− 15)(x − 6) =
q
(x + 9)(x
− 6) + (x − 6)
elevando al uadrado, se tiene
2
q
(x + 9)(x
− 6) = −(x+18)
parax
6= 6
apli ando el teorema.x
≤ −18 ∧ 4(x + 9)(x − 6) = (x + 18)
2
, enton es en ontramos
∅
. Por lo tanto la solu ión esx = 6
.Ine ua iones on
√
·
Para resolver este tipo deine ua ionesse utilizael siguienteteorema:
Teorema: Si
a, b
∈
R
enton es0
≤
√
a
≤
√
b
⇒ 0 ≤ a ≤ b
. Teorema: Sia, b
∈
R
enton es 1.√
a < b
⇔ a ≥ 0 ∧ [b > 0 ∧ a < b
2
]
2.√
a > b
⇔ a ≥ 0 ∧ [b < 0 ∨ (b ≥ 0 ∧ a > b
2
)]
Ejemplo 1.0.8. 1.√
x + 1 +
√
x + 2 < 3
Solu ión: se apli a el teorema dos ve es.
2.
q
1 +
p
x
4
− x
2
> x
− 1
Solu ión: el onjunto universo es
U =
{x ∈
R
/x
4
− x
2
≥ 0}
apli ando el teorema, se tiene
x
− 1 < 0 ∨ [x − 1 ≥ 0 ∧
p
x
4
− x
2
> (x
− 2)x]
Veamos primero las radi ales
p
x
4
− x
2
> (x
− 2)x
, enton es
(x
− 2)x < 0 ∨ [(x − 2)x ≥ 0 ∧ x
2
(4x
− 5) > 0]
luego, se tiene
x
∈ [1, ∞)
. reemplazando a la e ua ión se tiene:U = (
−∞, −1] ∪ {1} ∪ [1, ∞)
3.
√
6x + 1
≥ 2x − 3
Solu ión: el onjunto universo es
U =
{x ∈
R
/6x + 1
≥ 0}
apli ando el teorema, se tiene2x
− 3 < 0 ∧ [2x − 3 ≥ 0 ∧ 6x + 1 ≥ (2x − 3)
2
]
E ua iones e ine ua iones on
| · |
Toda fun ionesproposi ionalesque tienenla forma.
|P (x)| ⋆ 0
,donde⋆
≡=, <, >, ≤, ≥
,o en el aso mas general sería;|P
1
(x)
| + |P
2
(x)
| + . . . + |P
n
(x)
|
|Q
1
(x)
| + |Q
2
(x)
| + . . . + |Q
m
(x)
|
⋆ 0
,on este tema se pretende que las fun iones proposi ionales sean
ver-daderas para algunos
x
que están enR
.E ua iones on
| · |
En las e ua iones on valor absoluto se utiliza el siguiente teorema:
Teorema
1.
|x| = b ⇔ b ≥ 0 ∧ [x = b ∨ x = −b]
Demostra ión:⇒)
Como|x| ≥ 0
y|x| = b
enton esb
≥ 0
, además por deni ión de valor absolutox = b
∨ x = −b
.→)
Sabiendo queb
≥ 0
1) Si
x = b
y omob
≥ 0
enton es|x| = b
2) Si
x =
−b
y omob
≥ 0
enton esx
≺ 0
enton es|x| =
−x = b
2.
|x| = |b| ⇔ [x = b ∨ x = −b]
Demostra ión: Sabemos que
|x| = |b| ⇔ |x|
2
=
|b|
2
⇔ x
2
=
b
2
⇔ x = ±b
Ejemplo 1.0.9. 1.
|3x − 1| = |5x − 15|
Solu ión: Apli ando el teorema se tiene.|3x − 1| = |5x − 15| ⇔ 3x − 1 = 5x − 15 ∨ 3x − 1 = −5x + 15
⇔ 7 = x ∨ x = 2
2.
|6x + 3| = |18 + x|
Solu ión: Apli ando el teorema se tiene.
|6x + 3| = |18 + x| ⇔ 6x + 3 = 18 + x ∨ 6x + 3 = −18 − x
⇔ x = 3 ∨ x = −3
3.
(x
− 4)
2
− 2|x − 4| − 15 = 0
Solu ión: La e ua ión es equivalente a
|x−4|
2
−2|x−4|−15 = 0
,
fa torizando tenemos que
|x − 4| + 3 = 0 ∨ |x − 4| − 5 = 0
enton esx = 9
∨ x = −1
.Ine ua ión on
| · |
Para las ine ua iones on valor absoluto se utiliza los siguientes
teo-remas.
Teorema: Sean
x, a
∈
R
, entones1.
|x| ≤ a ⇔ [(a ≥ 0) ∧ (−a ≤ x ≤ a)]
Demostra ión:⇒)
Comoa
≥ |x|
y|x| ≥ 0
enton esa
≥ 0
, y|x|
2
≤ a
2
enton es
x
2
≤ a
2
luego tenemos
−a ≤ x ≤ a
⇐)
Comox
≤ a
y−x ≤ a
enton es|x| ≤ a
2.|x| ≥ a ⇔ [(x ≥ a) ∨ (x ≤ −a)]
Demostra ión:
⇒) ∀x ∈
R
:x
≥ 0
óx < 0
, en donde-) Si
x
≥ 0
:|x| = x
y omo se umple|x| ≥ a
enton esx
≥ a
. -)Six < 0
:|x| = x
y omose umple|x| ≥ a
enton es−x ≥ a
, nalmentex
≤ −a
⇐)
Comox
≥ a
y−x ≥ a
enton es|x| ≥ a
y el teoremaTeorema: Sean
b, a
∈
R
, enton es 1.|a| ≤ |b| ⇔ (a + b)(a − b) ≤ 0
2.|a| ≥ |b| ⇔ (a + b)(a − b) ≥ 0
Observa ión: En esta observa ión haremos un método mas sen illo
para poder hallar las ine ua iones on valor absoluto. Supongamos que
tenemos una ine ua ión de la forma:
|P (x)| + |Q(x)|
|R(x)|
=
|H(x)|
se solu iona de la siguientes manera.
1. Apli amos la deni ión de valor absoluto, en ada aso.
|P (x)| =
(
P (x) ; P (x)
≥ 0
Resolviendox
≥ a
−P (x) ; P (x) < 0
Resolviendox < a
|Q(x)| =
(
Q(x) ; Q(x)
≥ 0
Resolviendox
≥ b
−Q(x) ; Q(x) < 0
Resolviendox < b
|R(x)| =
(
R(x) ; R(x)
≥ 0
Resolviendox
≥ c
−R(x) ; R(x) < 0
Resolviendox < c
y|H(x)| =
(
H(x) ; H(x)
≥ 0
Resolviendox
≥ d
−H(x) ; H(x) < 0
Resolviendox < d
2. Ahora supongamos que
a < b < c < d
y lo representamos estos puntos en:R
|P (x)|
|Q(x)|
|R(x)|
|H(x)|
a b d−P (x)
−Q(x)
−R(x)
−H(x)
P (x)
−Q(x)
−R(x)
−H(x)
P (x)
Q(x)
−R(x)
−H(x)
P (x)
Q(x)
R(x)
−H(x)
P (x)
Q(x)
R(x)
H(x)
3. Luego trabajamos en ada uno de los intervalos.
a) Si
x < a
enton es:|P (x)| + |Q(x)|
|R(x)|
=
|H(x)| ⇔
−P (x) − Q(x)
−R(x)
=
−H(x)
De esto tendremos un onjunto solu ión que lo denotaremos
por
A
b) Sia
≤ x < b
enton es:|P (x)| + |Q(x)|
|R(x)|
=
|H(x)| ⇔
P (x)
− Q(x)
−R(x)
=
−H(x)
De esto tendremos un onjunto solu ión que lo denotaremos
por
B
) Si
b
≤ x < c
enton es:|P (x)| + |Q(x)|
|R(x)|
=
|H(x)| ⇔
P (x) + Q(x)
−R(x)
=
−H(x)
De esto tendremos un onjunto solu ión que lo denotaremos
por
C
d) Sic
≤ x < d
enton es:|P (x)| + |Q(x)|
|R(x)|
=
|H(x)| ⇔
P (x) + Q(x)
R(x)
=
−H(x)
De esto tendremos un onjunto solu ión que lo denotaremos
por
D
e) Sid
≤ x
enton es:|P (x)| + |Q(x)|
|R(x)|
=
|H(x)| ⇔
P (x) + Q(x)
R(x)
= H(x)
De esto tendremos un onjunto solu ión que lo denotaremos
por
E
Nota: Cada onjunto solu ión es la solu ión de la ine ua ión
in-terse tando on el intervalo donde pertene e nuestro
x
. 4. Finalmente el onjuntos solu ionesA
∪ B ∪ C ∪ D ∪ E
Ejemplo 1.0.10. Resolver1.
|4x − x
2
| − 5
1
−
√
x
2
≥ 0
Solu ión: veamos la ine ua ión.
|4x − x
2
| − 5
1
−
√
x
2
=
|x||4 − x| − 5
1
− |x|
≥ 0
apli ando la deni ión de valor absoluto se tendría
|x| =
(
x ; x
≥ 0
−x ; x < 0
y|x − 4| =
(
x
− 4 ; x ≥ 4
−(x − 4) ; x < 4
R
ahora pongamos los signos en la re ta real.
R
|x|
|x − 4|
0 4 a) -b) + - ) + +Trabajemos en ada uno de los intervalos.
1.
x
∈ (−∞, 0)
enton es|x| = −x
y|x − 4| = −x + 4
|x||4 − x| − 5
1
− |x
2
|
≥ 0 ⇒
−x(4 − x) − 5
1 + x
≥ 0
resolviendo tenemos
x
∈ (5, ∞)
enton esx
∈ (5, ∞)∩(−∞, 0) = ∅
2.x
∈ [0, 4)
enton es|x| = x
y|x − 4| = −x + 4
|x||4 − x| − 5
1
− |x
2
|
≥ 0 ⇒
x(4
− x) − 5
1
− x
≥ 0
resolviendo tenemos
x
∈ (1, ∞)
enton esx
∈ (1, ∞)∩[0, 4) = [1, 4)
3.x
∈ [4, ∞)
enton es|x| = x
y|x − 4| = x − 4
|x||4 − x| − 5
1
− |x
2
|
≥ 0 ⇒
x(x
− 4) − 5
1
− x
≥ 0
resolviendo tenemos
x
∈ (−∞, −1)∪(1, 5)
enton esx
∈ {(−∞, −1)∪
(1, 5)
} ∩ [4, ∞) = (4, 5)
nalmente tenemos el onjunto solu ión
(4, 5)
∪ [0, 5)
.2.
q
|x + 2| − 3 +
q
5
− |4 − x| > 0
Solu ión: Re ordemos que
√
a +
√
b > 0
⇔ [a ≥ 0 ∧ b > 0] ∨ [a >
0
∧ b ≥ 0]
veamos la ine ua ión, apli ando el resultado anterior, se tendría.[
|x + 2| ≥ 3 ∧ 5 > |4 − x|]
∨
[
|x + 2| > 3 ∧ 5 ≥ |4 − x|]
x
∈ [1, 9)
∨
x
∈ (1, 9]
x
∈ [1, 9]
3.
q
|2x − 1| + x − 5 > x − 1
Solu ión: Hallando el universo
U =
{x ∈
R
/
|2x − 1| ≥ 5 − x}
=
R
− (−4, 2)
Ahora resolvamos la ine ua ión.
q
|2x − 1| + x − 5 > x − 1
. Apli ando un resultado anterior.x
∈
R
− (−4, 2) ∧ [x − 1 < 0 ∨ (x − 1 ≥ 0 ∧
q
|2x − 1| + x − 5 > x − 1)]
x
∈
R
− (−4, 2) ∧ [x − 1 < 0 ∨ (x ≥ 1 ∧ |2x − 1| > x
2
− 3x + 6)]
x
∈
R
− (−4, 2) ∧ [x − 1 < 0 ∨ (x ≥ 1 ∧ (−7 > x
2
− 5x ∨ 5 < −x
2
+ x))]
x
∈
R
− (−4, 2) ∧ [x − 1 < 0 ∨ (x ≥ 1 ∧ (x ∈ ∅ ∨ x ∈ ∅))]
x
∈
R
− (−4, 2) ∧ [x ∈ (−∞, 1) ∨ (x ∈ [1∞) ∧ (x ∈ ∅ ∨ x ∈ ∅))]
x
∈ (−∞, −4]
4.q
|x| + 3 <
q
|x| + 1 −
q
6
− |x|
Solu ión: Hallando el universo
U =
{x ∈
R
/
|x| + 3 ≥ 0 ∧ |x| + 1 ≥ 0 ∧ 6 − |x| ≥ 0}
=
{x ∈
R
/x
∈ (−∞, −3] ∪ [3, ∞) ∧ x ∈
R
∧ x ∈ [−6, 6]}
= [
−6, −3] ∪ [3, 6]
Ahora veamos la desigualdad, primero elevaremos al uadrado.
q
|x| + 3 <
q
|x| + 1 −
q
6
− |x|
q
|x| + 3 +
q
6
− |x| <
q
|x| + 1
q
(
|x| + 3)(6 − |x|) <
1
2
(
|x| + 2)
apli ado las propiedades
1
2
(
|x| + 2) ≥ 0 ∧ (|x| + 3)(6 − |x|) <
1
2
(
|x| + 2)
2
1
2
(
|x| + 2) ≥ 0 ∧ 0 < 5|x|
2
− 40|x| + 76
1
2
(
|x| + 2) ≥ 0 ∧ 0 < 5|x|
2
− 40|x| + 76
x
∈
R
− [−2, 2] ∧ |x| ∈
R
−
4
−
√
2
5
, 4 +
2
√
5
x
∈
R
− [−2, 2] ∧ x ∈
R
−
−4 −
√
2
5
, 4 +
2
√
5
∪
−4 +
√
2
5
, 4
−
2
√
5
inter eptando on el universo es:
−6, −4 −
√
2
5
∪
−4 +
√
2
5
,
−3
∪
3, 4
−
√
2
5
∪
4 +
√
2
5
, 6
E ua iones e ine ua iones on
J·K
Toda fun iones proposi ionales que tienen la forma.
P (x) ⋆ 0
, donde⋆
≡=, <, >, ≤, ≥
, o en el aso mas general seríaJP
1
(x)K + JP
2
(x)K + . . . + JP
n
(x)K
JQ
1
(x)K + JQ
2
(x)K + . . . + JQ
m
(x)K
⋆ 0
,on este tema se pretende que las fun iones proposi ionales sean
ver-daderas para algunos
x
que están enR
.E ua iones on
J·K
Para resolver las e ua iones on máximo entero se utiliza el teorema
Teorema:
∀x ∈
R
yn
∈
N, umpleJxK = n ⇔ n ≤ x < n + 1
, y las propiedades de máximo entero.Ejemplo 1.0.11. 1.
J2x − 1K = −1
Solu ión: sabemos por propiedad de máximo entero que:
J2x − 1K = −1 ⇔ −1 ≤ 2x − 1 < 0
⇔ 0 ≤ x <
1
2
⇔ x ∈ [0,
1
2
)
R
2.
s
3x + 1
3
− 2x
{
= 2
Solu ión: sabemos por propiedad de máximo entero que:
s
3x + 1
3
− 2x
{
= 2
⇔ 2 ≤
3x + 1
3
− 2x
< 3
⇔ 2 ≤
3x + 1
3
− 2x
∧
3x + 1
3
− 2x
< 3
⇔ 0 ≤
7x
− 5
3
− 2x
∧
9x
− 8
3
− 2x
< 0
⇔ 0 ≥
7x
− 5
2x
− 3
∧
9x
− 8
2x
− 3
> 0
⇔ x ∈
5
7
,
3
2
∧ x ∈
−∞,
8
9
∪
3
2
,
∞
⇔ x ∈
5
7
,
8
9
3.J3xK = 2x + 2
(sug2x + 2
∈
Z
)Solu ión: sabemos por propiedad de máximo entero que:
J3xK = 2x + 2 ⇔ 2x + 2 ≤ 3x < 2x + 3
⇔ 2 ≤ x < 3
⇔ x ∈ [2, 3)
⇔ x = 2
Ine ua iones on
J·K
Pararesolverlasine ua iones onmáximoenteroseutilizaelteorema
Teorema: Para todo
n
∈
Z
umple 1.JxK < n ⇔ x < n
2.
JxK ≥ n ⇔ x ≥ n
Primero veamos algo muy interesante.
Si
x = 1,2
→ JxK > 0 ⇒ x ≥ JxK ≥ 1
Six = 5,3
→ JxK > 4 ⇒ x ≥ JxK ≥ 5
Six = 5,0
→ JxK > 4 ⇒ x ≥ JxK ≥ 5
Six = 1,9
→ JxK > 0 ⇒ x ≥ JxK ≥ 1
o también podemos ver que
Si
x = 1,2
→ JxK ≤ 1 ⇒ 2 > x ≥ JxK
Six = 5,3
→ JxK ≤ 5 ⇒ 6 > x ≥ JxK
Six = 5,0
→ JxK ≤ 5 ⇒ 6 > x ≥ JxK
Six = 1,9
→ JxK ≤ 1 ⇒ 2 > x ≥ JxK
de estas observa iones, tenemos el siguiente orolario.Corolario: Para todo
n
∈
Z
umple 1.JxK > n ⇔ x ≥ n + 1
2.JxK ≤ n ⇔ x < n + 1
Ejemplo 1.0.12. Resolver 1.s
3x + 2
x
− 1
{
≤
13
3
Solu ión: Como13
3
< 5
, enton es se tienes
3x + 2
x
− 1
{
≤ 5 ⇔
3x + 2
x
− 1
< 6
⇔
3x
− 8
x
− 1
> 0
⇔ x ∈ (−∞, 1) ∪
8
3
,
∞
2.q
4
− |x|
Jx
2
− 2x − 7K
> 0
Solu ión: Hallando el onjunto universo.
U =
{x ∈
R
/4
− |x| ≥ 0} = [−4, 4]
, ahora veamos la ine ua ión.q
4
− |x|
Jx
2
− 2x − 7K
> 0
⇔
q
4
− |x| > 0 ∧ Jx
2
− 2x − 7K > 0 ∧ x ∈ [−4, 4]
⇔ 4 − |x| > 0 ∧ J(x − 1)
2
− 8K ≥ 1 ∧ x ∈ [−4, 4]
⇔ x ∈ (−4, 4) ∧ (x − 1)
2
− 8 ≥ 1 ∧ x ∈ [−4, 4]
⇔ x ∈ (−4, 4) ∧ (x − 4)(x + 2) ≥ 0 ∧ x ∈ [−4, 4]
⇔ x ∈ (−4, 4) ∧ x ∈ (−∞, −2] ∪ [4, ∞) ∧ x ∈ [−4, 4]
⇔ x ∈ (−4, −2]
R
3.
2Jx + 1K
2
− 11JxK ≤ 4
Solu ión: Sabemos por propiedad de máximo entero que
Jx + 1K = JxK + 1
, enton es2Jx + 1K
2
− 11JxK ≤ 4 ⇔ 2(JxK
2
+ 2JxK + 1) − 11JxK ≤ 4
⇔ (2JxK − 3)(JxK − 2) ≤ 0
⇔ JxK ∈
3
2
, 2
omoJxK ∈
Z
enton esx
∈ [2, 3)
. E ua iones e ine ua ionese
(·)
Toda fun iones proposi ionales que tienen la forma.
P (x) ⋆ 0
, donde⋆
≡=, <, >, ≤, ≥
, o en el aso mas general seríae
P
1
(x)
+ e
P
2
(x)
+ . . . + e
P
n
(x)
e
Q
1
(x)
+ e
Q
2
(x)
+ . . . + e
Q
m
(x)
⋆ 0
,
on este tema se pretende que las fun iones proposi ionales sean
ver-daderas para algunos
x
que están enR
.E ua iones
e
(·)
Sea
a < 0
un número real positivo arbitrario, y seanP (x)
yq(x)
fun iones arbitrarias de la variable realx
, enton es llamaremos una e ua ión exponen ialaunae ua ióndeunadelasdosformas:a
P
(x)
=
1
óa
P
(x)
= a
Q(x)
.
Y para resolver este tipo de e ua iones se utiliza los dos teoremas
sigu-ientes.
Teorema: Sea
a > 0
. Six
es una variable real, enton es la expresióna
x
es siempre positiva, para todo
x
∈
R
Teorema: Seaa > 0
,a
6= 1
, enton es1.
a
P
(x)
= a
Q(x)
⇔ P (x) = Q(x)
2.a
P
(x)
= 1
⇔ P (x) = 0
3.1
P(x)
= 1
, para toda expresión
P (x)
.Ejemplo1.0.13. Hallar el onjuntodonde umpleigualdad entérminos
de
y
1.
3
2x+5
− 28(3
x+1
− 2) = 55
siendox =
s
2y + 3
y + 2
{
Solu ión: la e ua ión para resolver es
243.(3
2x
)
− 84(3
x
) + 1 = 0
,
enton es resolviendo la e ua ión uadráti a (
p = 3
x
) en ontramos
3
x
= 3
−1
o
3
x
= 3
−4
enton es de esto se tiene
x =
−1
ox =
−4
y omox =
s
2y + 3
y + 2
{
enton ess
2y + 3
y + 2
{
=
−1 ∨
s
2y + 3
y + 2
{
=
−4
−1 ≤
2y + 3
y + 2
< 0
∨ −4 ≤
2y + 3
y + 2
<
−3
y
∈
−
5
3
,
−
3
2
∨ y ∈
−
11
6
,
−
9
5
Por lo tanto el onjunto solu ión es:
−
5
3
,
−
3
2
∪
−
11
6
,
−
9
5
2.3
x+2
+ 3
x+1
+ 3
x
+ 3
x
−1
= 120
dondex =
s
y
2
+ 7y
− 2
y + 2
Solu ión:3
x+2
+ 3
x+1
+ 3
x
+ 3
x
−1
= 120
⇔ (27 + 9 + 3 + 1)3
x
= 360
⇔ 3
x
= 9
⇔ x = 2 =
s
y
2
+ 7y
− 2
y + 2
⇔ y = −5, 2
3.3
2(x+1)
− (18)3
x
+ 9 = 0
dondex =
p
y
4
− 4
Solu ión:3
2(x+1)
− 183
x
+ 9 = 0
⇔ (9)3
2x
− (18)3
x
+ 9 = 0
⇔ 3
x
= 1
∧ 3
x
= 1
⇔ x = 0 =
p
y
4
− 4
⇔ y = ±
√
2
R
In ua iones
e
(·)
Las ine ua ionesexponen iales sondelaforma
a
P
(x)
> a
Q(x)
,a
P
(x)
>
a
Q(x)
,a
P
(x)
≤ a
Q(x)
ya
P
(x)
≥ a
Q(x)
.Para hallar estos tipos de ine ua iones se utiliza el siguiente teorema,
pero antes debemos re ordar que
a < b
⇔ b > a
. Teorema: Seaa > 0
, 1. Sia > 1
, enton es a)a
P
(x)
> a
Q(x)
⇔ P (x) > Q(x)
b)a
P
(x)
≥ a
Q(x)
⇔ P (x) ≥ Q(x)
2. Si0 < a < 1
, enton es a)a
P
(x)
> a
Q(x)
⇔ P (x) < Q(x)
b)a
P
(x)
≥ a
Q(x)
⇔ P (x) ≤ Q(x)
Y el teorema.Teorema: Sean
a > 0
,b > 0
yα
∈
R
, enton es 1. Siα > 0
, a)a
α
< b
α
⇔ a < b
b)a
α
≤ b
α
⇔ a ≤ b
2. Siα = 0
enton esa
α
= b
α
= 1
3. Siα < 0
, a)a
α
< b
α
⇔ a > b
b)a
α
≤ b
α
⇔ a ≥ b
Ejemplo1.0.14. Hallar el onjuntodonde umpleigualdad entérminos
de
m
1.(0,3)
x+9
> (0,3)
x
2
−3x+4
donde
x =
|m
2
− 4| + 2m − 4
Solu ión: sabemos que
(0,3)
x+9
> (0,3)
x
2
−3x+4
⇒ x + 9 < x
2
− 3x + 4
⇒ 0 < (x − 5)(x + 1)
⇒ x ∈ (−∞, −1) ∪ (5, ∞)
Como
x =
|m
2
− 4| + 2m − 4
enton es
|m
2
−4|+2m−4 ∈ (−∞, −1)∪(5, ∞)
resolviendo la ine ua iones
se tiene omo solu ión
(1
− 2
√
2, 1
−
√
2)
2.x−1
q
3
√
3
3x+1
>
2x+5
√
9
x+5
donde||m + 4| + (m + 5)| = x
Solu ión:3
3(x−1)
3x+1
> 3
2x+10
5x+5
⇒
3x + 1
3(x
− 1)
>
2x + 10
5x + 5
⇒
7(x + 5)
3(x
− 1)(5x + 5)
> 0
⇒ x ∈
−5,
−5
2
∪ (1, ∞)
omo||m + 4| + (m + 5)| = x
enton es||m+4|+(m+5)| ∈
−5,
−5
2
∪(1, ∞)
,luego||m+4|+(m+5)| > 1
enton es|m + 4| > −m − 4 ∨ |m + 4| < −m − 6
m > 0
∨ ∅ ∨ ∅ ∧ m ∈ (−∞, −1)
enton es el onjunto solu ión es
m
∈ (0, ∞)
.E ua iones e ine ua iones
log
b
(·)
Toda fun iones propisi ionales que tienen la forma.
P (x) ⋆ 0
, donde⋆
≡=, <, >, ≤, ≥
, o en el aso mas general seríalog
H
(x)
P
1
(x) + log
H
(x)
P
2
(x) + . . . + log
H
(x)
P
n
(x)
log
H
(x)
Q
1
(x) + log
H(x)
Q
2
(x) + . . . + log
H
(x)
Q
m
(x)
⋆ 0
,on este tema se pretende que las fun iones proposi ionales sean
ver-daderas para algunos
x
que están enR
.Cuando se resuelve una e ua ión o una ine ua ión logarítmi a en
primer instan ia hay que extraer el universo, y este es:
1. A la expresión
log
Q(x)
P (x)
, le obliga automáti amente a resolver la ine ua iónP (x) > 0
.2. A la expresión