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ESTUDIO SOCIOEPISTEMOLÓGICO DE LA RAZÓN TRIGONOMÉTRICA. ELEMENTOS PARA LA CONSTRUCCIÓN DE SU NATURALEZA PROPORCIONAL
Gonzálo Jácome Cortés, Gisela Montiel Espinosa TELEBACHILLERATO DE VERACRUZ, CICATA‐IPN
gonzalojac321@yahoo.com.mx, gmontiel@ipn.mx
Resumen. El fenómeno didáctico que nos ocupa es aquel relacionado con la razón trigonométrica, en tanto su enseñanza juega un papel importante en la currícula escolar de los niveles secundaria y medio superior. La investigación en Matemática Educativa ha dado evidencia de las dificultades en el aprendizaje que muestran los estudiantes al manipular, interpretar y significar a las razones, ecuaciones, identidades y funciones vinculadas a las relaciones trigonométricas. Consideramos que el origen de las dificultades reportadas puede situarse en las razones trigonométricas, como el momento donde debe construirse la cantidad trigonométrica. En este sentido, se busca articular los elementos didácticos, cognitivos y socioepistemológicos para el diseño de una secuencia didáctica donde la razón trigonométrica se construya a partir de un significado proporcional. Palabras Clave: Razón trigonométrica, proporcionalidad, medición, Telebachillerato. Introducción El fenómeno didáctico que nos ocupa es aquel relacionado con la razón trigonométrica, en tanto su enseñanza juega un papel importante en la currícula escolar en nivel secundaria, pues se convierte en la base (al menos en la tradición escolar) de nociones importantes en los niveles medio y superior (función, ecuación, identidad y series trigonométricas).
La investigación en Matemática Educativa ha dado evidencia de las dificultades en el aprendizaje que muestran los estudiantes de distintos niveles escolares al manipular, interpretar y significar a las razones, ecuaciones, identidades y funciones vinculadas a las relaciones trigonométricas. Por ejemplo, De Moura (2000) reporta en su análisis didáctico,
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incorrecciones en el uso de la notación y en la aplicación de leyes que no son válidas para las razones y funciones trigonométricas; De Kee, Mura y Dionne (1996) reportan que el estado de comprensión de las nociones seno y coseno no están bien asentadas en los estudiantes, reportando que generalizan las propiedades de los triángulos rectángulos a cualquier tipo de triángulo, o aseguran un cambio de escala en el seno y el coseno al cambiar de escala un triángulo rectángulo. Por su parte, el análisis didáctico de Maldonado (2005) muestra que los estudiantes no logran profundizar el concepto de función trigonométrica, al tratar por igual a los grados y a los reales. Pero el problema no sólo se relaciona con factores cognitivos. Cavey y Berenson (2005) realizan una investigación didáctico‐cognitiva, donde evidencian la poca instrucción colegiada de los maestros de matemáticas en la enseñanza de esta noción.
El estudio de estos documentos mostró también aspectos para evitar las operaciones mecanizadas desprovistas de significado. Así, en el trabajo didáctico‐cognitivo de Kendal y Stacey (1996) se sugiere que para el estudio de la trigonometría introductoria se privilegie la enseñanza del método de la razón (trigonométrica) sobre la enseñanza del método del círculo unitario; De Moura (2000) propone que los estudiantes construyan los conceptos básicos de trigonometría a partir de secuencias didácticas de enseñanza simple y contextualizada y Zeman (2005) realiza una ingeniería didáctica para construir una tabla trigonométrica tomando como referencia base los escritos matemáticos de la Grecia clásica. Bajo un enfoque socioepistemológico, Montiel (2005) considera a la naturaleza de la noción en juego como pieza primordial del fenómeno didáctico, generando un modelo para la construcción social de la función trigonométrica. Dicho modelo está basado en actividades, prácticas de referencia y prácticas sociales ligadas a dicha construcción. Así, observa a la función trigonométrica desde su origen en razones, su evolución en funciones y su conformación en series.
El estudio de estas investigaciones nos permite percibir su intencionalidad en torno a las razones trigonométricas, otorgándonos una visión más amplia de la problemática a abordar. Hacemos la consideración de que el origen de dichas dificultades puede situarse en
Mérida, Yucatán. 2007 ‐ 421 ‐ las razones trigonométricas, específicamente en el momento donde se construye la cantidad trigonométrica. Observamos que De Kee, Mura y Dionne (1996) y Maldonado (2005) han dado evidencia de las dificultades y concepciones más clásicas del estudiante en este tema, mientras que Montiel (2005) ha considerado la naturaleza de la noción matemática como parte fundamental del fenómeno didáctico. En este sentido, nuestra propuesta articula los elementos didácticos, cognitivos y socioepistemológicos de estas investigaciones para en un diseño posterior, proveer de evidencia empírica sobre la construcción de significados alrededor de la razón trigonométrica, haciendo que dicha noción tenga un acercamiento a su naturaleza proporcional, para dotarle de sentido al momento de construcción de la cantidad trascendente trigonométrica.
La razón trigonométrica en el discurso escolar del nivel secundaria
Dado que la noción de razón trigonométrica está inserta en la educación básica, especialmente en la secundaria, y en el nivel medio superior, llámese bachillerato, hacemos la revisión de sus planes y programas de estudio. Dichos niveles (la secundaria y el bachillerato) han entrado recientemente en un proceso de Reforma Curricular, por lo cual creímos conveniente analizar los planes y programas del “viejo” y el “nuevo” currículo. Analizamos los planes y programas de Matemáticas para la Educación Secundaria, plan 1993 y plan 2006; mientras que la currícula matemática analizada para el Bachillerato fue de la Dirección General de Telebachillerato de Veracruz, considerando los planes y programas de estudio del 1987 y del 2006. De esta forma, inferimos sobre la presencia de la noción de razón trigonométrica en el sistema escolar. En dichos programas, profundizamos el estudio de sus bases junto con su consecuente lógico, es decir, analizamos (si es que son tratados) los temas referentes a la proporcionalidad, a las razones trigonométricas y a las funciones trigonométricas.
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Análisis de los programas de estudio de Secundaria. Plan 1993
Los temas del programa están distribuidos en cinco áreas, que son Aritmética; Álgebra;
Geometría; Presentación y Tratamiento de la Información y; Nociones de Probabilidad. Dado
que la distribución de dichas áreas se da durante todo el transcurso de la educación secundaria, que son tres años, el análisis del programa de estudios fue integral, de tal manera que se observe el proceso mediante el cual se gesta la noción de razón trigonométrica.
En el análisis a los programas de estudio de Secundaria, plan 1993, pudimos apreciar que la noción de razón trigonométrica es presentada después de una serie de conceptos que sirven de andamiaje, como lo son el concepto de proporcionalidad, el de medición de ángulos, el de congruencia y el de semejanza. Sin embargo, si bien es cierto que la medición de ángulos y la noción de proporcionalidad se encuentran a lo largo de los tres años, y los conceptos de congruencia y semejanza en el tercer año, el programa no marca a estos elementos como antecedentes necesarios para su estudio, al mencionar que “El programa no está concebido como una sucesión de temas que deben agotarse uno a continuación del otro. Sus contenidos podrán organizarse en la forma que el maestro considere más conveniente para su aprendizaje.”40 De igual manera, al presentar el tema de razones trigonométricas, no se hace referencia al uso y manejo de la proporcionalidad como elemento fundamental. De esta forma, creemos que existe una ruptura entre ambas nociones. Análisis de los programas de estudio de Secundaria. Plan 2006 La organización de los contenidos curriculares ya no es por áreas, sino por ejes temáticos. Con el propósito de hacer énfasis en los aspectos que interesa estudiar y aprender, se
40 Tomado de Plan y Programas de Estudio de Educación Secundaria 1993
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establecen líneas de estudio y se constituyen vínculos entre contenidos de las diversas ramas de las matemáticas.
Los tres ejes temáticos incluidos en los planes y programas de estudio 2006 son Sentido
numérico y pensamiento algebraico; Forma, espacio y medida y; Manejo de la información.
Los ejes se desglosan en temas, a su vez en subtemas y estos en conocimientos y habilidades. Cada uno de estos apartados trae orientaciones didácticas donde se fundamenta la necesidad de estudiar los aspectos citados y se dan ejemplos de situaciones que se pueden plantear para organizar el estudio. Por último, los contenidos de cada grado se organizan en cinco bloques, de manera tal que se establezcan metas parciales y se garantice el estudio simultáneo de los tres ejes temáticos durante el curso.
Dado que la distribución de dichos ejes temáticos se da durante todo el transcurso de la educación secundaria, que son tres años, se procedió a analizar el programa de estudios de manera integral, para así observar el trayecto por el cual se genera la noción de razón trigonométrica.
En el análisis de los programas de estudios de Matemáticas, plan 2006, pudimos percibir que la noción de razón trigonométrica se enseña en el último grado de educación secundaria, una vez presentados elementos que la cimientan. Se muestra el concepto de ángulo, su medida y su uso. Se expresan situaciones donde es necesario utilizar las relaciones proporcionales y transitar por sus diferentes representaciones. Se enfatizan las propiedades de los triángulos. Se construyen las nociones de homotecia, congruencia y semejanza. Se determinan mediante construcciones los teoremas de Tales y Pitágoras. Todos estos elementos tienen la intención de que el alumno conozca y maneje la noción de proporcionalidad, especialmente enfocada en triángulos rectángulos, previo al estudio de las razones trigonométricas.
Para tratar el tema de razones trigonométricas, se pide abordarlo vía el reconocimiento y determinación de dichas nociones en familias de triángulos rectángulos semejantes como cocientes entre las medidas de los lados. Se sugiere empezar planteando situaciones donde se ocupe la proporcionalidad de los triángulos, hacer notar su utilidad en el cálculo de
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distancias y en la medida de ángulos, para finalizar con la institucionalización del saber por medio de las definiciones formales de las razones trigonométricas.
De esta manera deducimos que el programa de Matemáticas para Secundaria, plan 2006, reconcilia la noción de razón trigonométrica con su naturaleza proporcional. Situación que desde nuestro punto de vista, hará percibir claramente el significado de las razones trigonométricas, ya que se atiende ampliamente el momento de construcción de la cantidad trascendente trigonométrica.
Análisis global de los programas de estudio de Secundaria.
Existen similitudes y diferencias entre los programas de estudio de ambos planes. Las semejanzas entre ellos se dan en la estructuración de los temas. Ambos llevan de manera secuencial y lógica el tratamiento de varios conceptos, como el de medición de ángulos, proporcionalidad, semejanza y congruencia. En el tercer grado de secundaria, casi al finalizar el curso, los programas de estudio de ambos planes presentan las razones trigonométricas.
Por otra parte, existen diferencias sustanciales entre un plan y otro. Los programas del plan 1993 están diseñados por objetivos, mientras que los programas del plan 2006 están planteados para desarrollar conocimientos y habilidades. También, la manera de abordar la noción de razón trigonométrica es distinta. En los programas del plan 1993 se pide se defina el concepto, se den ejemplos y se apliquen ejercicios para que el alumno, a través de la repetición, aprenda la noción. En los programas del plan 2006 se introduce al tema por medio de una situación problema, de manera que la noción de razón trigonométrica surja naturalmente de la manipulación de triángulos semejantes y como la necesidad de medir ángulos o distancias inaccesibles; de esta forma, la intención es que el alumno construya la noción.
Basados en este análisis, concluimos que los enfoques dados a la noción de razón trigonométrica en los planes y programas de estudio de Matemáticas para Secundaria son distintos. Por un lado, en los programas del plan 1993 prevalece un enfoque tradicional, al
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presentar el concepto, seguido de ejemplos y ejercicios, mientras que en los programas del plan 2006 el enfoque dado a la noción en cuestión es constructivista, debido a que el alumno se apropiará de la noción de razón trigonométrica a partir de situaciones de medición de una realidad macro no manipulable. Análisis de los programas de estudio de Telebachillerato. Plan 1987 El Telebachillerato es una modalidad de la Educación Media Superior que utiliza los medios audiovisuales para brindar un servicio educativo de calidad, dirigida a jóvenes de diversas zonas geográficas. Esta modalidad nace en 1980 en el estado de Veracruz con el objetivo de llevar la educación al ámbito rural y a las zonas marginadas del estado. A lo largo de los años el sistema se ha extendido a otros estados de la República y Países.
Los programas en el Telebachillerato, plan 1987 están distribuidos por asignaturas, donde se abarcan temáticas específicas. Para el estudio de las Matemáticas, las asignaturas se distribuyen a lo largo de seis semestres, observando que los temas relacionados con la noción de razón trigonométrica se encuentran en las asignaturas de Matemáticas I y V. El único referente previo en la asignatura de Matemáticas I primer semestre, para la noción en estudio es el tema de ángulos, grados y radianes. Nuestra noción aparece bajo el título de
funciones trigonométricas de ángulos agudos, seguida del tema funciones trigonométricas en
el círculo unitario. A continuación se pide el estudio de valores de ángulos notables, manejo de tablas trigonométricas, Teorema de Tales, Teorema de Pitágoras y problemas de aplicación, en ese orden. Para finalizar, se abordan los temas de identidades trigonométricas elementales, ley de los senos, ley de los cosenos y sus aplicaciones.
Se retoma la noción de razón trigonométrica en la asignatura de Matemáticas V para quinto semestre, donde se definen las funciones trigonométricas por medio del cociente de los lados de un triángulo rectángulo, pero no se pide demostrarlas ni aplicarlas. Posteriormente, se utiliza el método del círculo unitario para redefinirlas en términos de ángulos de cualquier magnitud. Se continúa con la presentación de su lugar geométrico,
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identidades trigonométricas, ángulos doble, mitad y múltiplos, para concluir con funciones trigonométricas inversas.
Con este análisis, percibimos que existe una total desvinculación entre la noción de razón trigonométrica con su naturaleza proporcional, al percatarnos que se induce a su estudio sin referentes previos. En este sentido, se observa que las razones trigonométricas se introducen como concepto conocido y se utilizan como base para desarrollar otras nociones. Análisis de los programas de estudio de Telebachillerato. Plan 2006 Para el plan 2006, se redistribuyen las asignaturas y los temas en los programas. En el caso de la noción de razón trigonométrica, queda inserta en la asignatura de Matemáticas II para segundo semestre. Pudimos percatarnos que nuestra noción se presenta una vez analizados los conceptos de clasificación y medición de ángulos, definición y clasificación de triángulos, congruencia, semejanza, Teorema de Pitágoras, circunferencia y círculo. Ésta se muestra bajo el título
funciones trigonométricas para ángulos agudos. Se pide se presente por medio de
aplicaciones prácticas, utilizando métodos de resolución de triángulos rectángulos. Posterior al tratamiento de razón trigonométrica como función trigonométrica para ángulos agudos, se construyen nociones de función trigonométrica para ángulos de cualquier magnitud en el plano coordenado y en el círculo unitario, gráficas, ángulos notables, signos e identidades, finalizando con la presentación y aplicación de las leyes de los senos y los cosenos.
Debido al tratamiento propuesto y dado que el programa menciona que a través de las razones trigonométricas, la resolución de triángulos y sus aplicaciones, el estudiante adquirirá nuevas herramientas al conjuntarse con conceptos geométricos, como el de semejanza, concluimos que el programa intenta reconciliar a la noción de razón trigonométrica con su naturaleza proporcional.
Mérida, Yucatán. 2007 ‐ 427 ‐ Análisis global de los programas de estudio de Telebachillerato En el caso de los programas de estudio del Telebachillerato, plan 1987 y 2006, se aprecian también diferencias y similitudes. Una semejanza se encuentra en la estructuración general de los programas, ya que estos abarcan asignaturas con tópicos generales que tratar. Para el caso de la noción de razón trigonométrica, observamos que en ambos programas es tratada como función trigonométrica para ángulos agudos, y sirve de base para tratar conceptos como funciones trigonométricas, identidades y leyes de los senos y los cosenos.
Sin embargo, existe una gran diferencia entre la forma de abordar a la razón trigonométrica. En el plan 1987, se marca como único antecedente la medición de ángulos en grados y reales En cambio, para el plan 2006, la razón trigonométrica se plantea una vez vistos temas como medición de ángulos, clasificación de triángulos, congruencia, semejanza y Teorema de Pitágoras. En ese sentido, sentimos que el enfoque dado a los programas del plan 1987 es conductista, mientras que en el plan 2006 se percibe como constructivista.
La naturaleza del saber en juego
A partir del trabajo de Montiel (2005) consideramos la naturaleza proporcional de la razón trigonométrica como eje fundamental para el diseño de secuencias didácticas que nos permitan analizar la actividad del estudiante frente a una situación problema particular. La siguiente reflexión histórica muestra la primera (más no la única) forma en que elementos geométricos son utilizados como instrumentos trigonométricos.
Una reflexión histórica sobre la naturaleza proporcional de las relaciones trigonométricas
Con Aristarco (310 – 230 A. C.) se tiene la primera muestra existente de la geometría pura utilizada con un objeto trigonométrico. Aristarco sostenía que la media luna tenía que ser el vértice de un ángulo recto (90°) formado por las líneas Sol ‐ Luna y Luna ‐ Tierra. Aristarco, como todos sus contemporáneos, suponía que la órbita de la Luna era un círculo en cuyo
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centro está la Tierra y que la Luna lo recorría siempre a la misma velocidad. Si el sol se encuentra a una distancia infinita los cuartos de la Luna ocurrirían cuando el ángulo Sol – Tierra ‐ Luna es recto, es decir, el lapso entre Cuarto creciente‐Luna llena, Luna llena‐Cuarto menguante, Cuarto menguante‐Luna nueva y Luna nueva‐Cuarto creciente, serían iguales. En cambio si el Sol se encuentra a una distancia finita, sus rayos divergen formando un ángulo (Fig. 1). El lapso entre la Luna nueva y el cuarto creciente es menor que el lapso entre éste último y la luna llena. Por la misma razón el intervalo entre la luna llena y el cuarto menguante es mayor que el intervalo entre éste y la siguiente luna nueva.
Aristarco encontró que el ángulo α, que forman los rayos del Sol que abarcan la órbita de la Luna, tiene que ser igual a la diferencia angular entre la posición de la media luna. Si llamamos A la distancia de la Tierra a la Luna y B a la distancia de la Luna al sol, resulta que hay una sencilla razón entre A, B y el ángulo α, que hoy conocemos como tangente: B A = α tan , 90° Cuarto creciente Cuarto menguante Luna nueva Luna llena Sol a una distancia finita 90° α α α α Fig. 1
Mérida, Yucatán. 2007 ‐ 429 ‐ En otras palabras, determinando α se puede calcular qué tanto más lejos está el Sol de la Luna que la Luna de la Tierra. Si para Aristarco la Luna se movía en una órbita circular y con velocidad constante alrededor de la tierra, debía medir cuánto tarda la luna en darle una vuelta completa a la Tierra, para lo cual bastaba con medir el tiempo que transcurre, por ejemplo, entre dos Lunas nuevas. Una vez determinado ese lapso, y si el sol estuviera a una distancia infinita, hay que dividirlo entre cuatro para obtener el tiempo que debería transcurrir entre cada fase de la luna. Entonces, la secuencia de las fases de la Luna estaría dividida en cuatro intervalos iguales. Empleando números concretos, si el periodo de la luna es 29 días y medio, o 708 horas y las fases sucedieran a intervalos perfectamente regulares, entre cualquier fase y la siguiente transcurrirían 177 horas (708 ÷ 4). Aristarco observó que el cuarto creciente ocurría seis horas antes de lo esperado, si el sol estuviera a una distancia infinita. El ángulo α de nuestra figura correspondía, por lo tanto, a seis horas de movimiento de la Luna. De aquí, Aristarco deduce que, puesto que la Luna recorría su órbita con velocidad constante, el ángulo α que se busca determinar debería estar en la misma proporción a una vuelta completa (360°) y que las seis horas de discrepancia al periodo completo de 708 horas: 708 6 360°= a de donde ° = 360 708 6 α .
Aristarco expresó la relación entre las distancias
Sol Luna
Luna Tierra
−
− , que hoy día es
05 . 0 3 tan °= , cómo “la distancia del Sol a la Luna es veinte veces la distancia de la Luna a la Tierra”. Este 90° A Sol B α α Fig. 2 Tierra Luna
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cálculo es erróneo, pero no por el método, sino por los datos numéricos. El método geométrico es perfectamente válido, el problema estriba en que la discrepancia entre el lapso Luna nueva – Cuarto creciente con el sol a una distancia infinita y el mismo lapso con el sol a la distancia infinita que se encuentra no es de seis horas sino de cerca de 18 minutos (Ruiz y de Regules, 2002). Con esta cifra y el razonamiento anterior se obtiene la cifra correcta: el sol esta 400 veces más lejos de la Luna que la Luna de la Tierra.
Elementos para el diseño de la secuencia
A partir de un análisis sistémico de los elementos didácticos, cognitivos y socioepistemológicos referentes a la noción de razón trigonométrica, la intención es proveer evidencia empírica sobre la construcción de significados alrededor de la noción a tratar. En este sentido, con base en las implicaciones didácticas reportadas en su trabajo, Montiel (2007) construye una secuencia para el nivel secundaria, donde busca que el estudiante enfrente situaciones de medición, de una realidad macro no manipulable. La intencionalidad de la secuencia es darle a la razón trigonométrica un sentido proporcional, con base en nociones geométricas conocidas por el estudiante (triángulo semejante, triángulo rectángulo y teorema de Pitágoras), a través la manipulación de materiales como cinta métrica, tubo de cartón, regla y transportador para medir distancias inaccesibles por medio de la triangulación. También mostrar regularidades al sobreponer los triángulos construidos en el transcurso de la actividad, de tal forma que de la medición se construya un modelo geométrico donde las nociones de semejanza y proporcionalidad sirvan de andamiaje para la aparición y apropiación de la noción de razón trigonométrica.
Nuestro diseño, en una siguiente etapa, retomará esta secuencia y la adaptará al escenario particular del Telebachillerato, como consecuencia del análisis a sus planes y programas de estudio.
La intención es proveer evidencia sobre el tratamiento de la noción de razón trigonométrica. Se pretende mostrar una alternativa para que el alumno no solamente aprenda la noción de razón trigonométrica, sino que la construya y la aplique en casos
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reales, invitándolo a comprender que su estudio se debe a una necesidad social de conocer distancias y medir ángulos, y no a un ente que debe ser aprendido porque esta anclado en un programa. De esta forma, se pretende incidir en el discurso matemático escolar del Telebachillerato.
Bibliografía
Cavey, L. y Berenson, S. (2005). Learning to teach high school mathematics: Patterns of growth in understanding right triangle trigonometry during lesson plan study. Journal of mathematical behavior 24, 171 – 190. De Kee, S., Mura, R. y Dionne J. (1996). La comprensión des notions de sinus et de cosinus chez des élèves du secondaire. For the Learning of Mathematics 16 (2), 19 – 22. De Moura, L. (2000). Construindo os conceitos básicos da trigonometria no triângulo retângulo: uma proposta a partir da manipulação de modelos. Tesis de Maestría no publicada. PUC‐SP, Brasil. Dirección General de Bachillerato (1987). Programa de estudios. Matemáticas I. Primer semestre. México. Dirección General de Bachillerato (1987). Programa de estudios. Matemáticas V. Quinto semestre. México. Dirección General de Telebachillerato (2006). Documento Base de la Reforma Curricular. México. Dirección General de Telebachillerato (2006). Programa de estudios. Matemáticas II. Segundo semestre. México. Fiol, M. y Fortuny, J. (1990). Proporcionalidad directa. La forma y el número. Madrid, España: Síntesis. Kendal, M. y Stacey, K. (1996). Trigonometry: Comparing ratio and unit circle methods.
Maldonado, E. (2005). Un análisis didáctico de la función trigonométrica. Tesis de Maestría no publicada. Cinvestav‐IPN, México.
Montiel, G. (2005). Estudio Socioepistemológico de la Función Trigonométrica. Tesis de doctorado no publicada. CICATA‐IPN, México.
Montiel, G. (2007). Proporcionalidad y Anticipación, un nuevo enfoque para la didáctica de la Trigonometría. En C. Crespo, C. Oropeza, C Ochoviet, P. Lestón (Eds.) Acta Latinoamericana de Investigación en Matemática
Educativa (Vol. 20, en prensa). Comité Latinoamericano de Matemática Educativa.
Secretaría de Educación Pública (2006). Educación básica. Secundaria. Matemáticas. Programas de estudio
2006. México, DF: Comisión Nacional de Libros de Texto Gratuitos.
Secretaría de Educación Pública (2006). Reforma de la Educación Secundaria. Fundamentación Curricular.
Mérida, Yucatán. 2007 ‐ 432 ‐ Secretaría de Educación Pública. Plan y Programas de Estudio de Educación Secundaria, Matemáticas http://www.sep.gob.mx/wb2/sep/sep_514_matematicas Zeman, A. (2005). Uma seqüência de ensino para a construção de uma tabela trigonométrica. Tesis de Maestría no publicada. PUC‐SP, Brasil.