Calcular el mínimo diámetro de un árbol de acero que sometido a un momento
Calcular el mínimo diámetro de un árbol de acero que sometido a un momento
L= 6 m L= 6 m
ΘΘ
= 0,05236 rad = 0,05236 rad G = G =8383
10 10
99
N/N/
22
T= T=1414
10 10
33
N. N.mm
En el árbol macizoEn el árbol macizo de acero establecemos un eje de acero establecemos un eje de referencia matemático (xyz).de referencia matemático (xyz). El par de fuerzas o momento ocasiona una deformación angular como se observa El par de fuerzas o momento ocasiona una deformación angular como se observa en una gráfica tridimensional del eje.
en una gráfica tridimensional del eje.
Observamos el área transversal del eje macizo
Observamos el área transversal del eje macizo de acero (árbol) y de acero (árbol) y establecemosestablecemos el diámetro, el esfuerzo cortante máximo y la deformación angular que provoca el diámetro, el esfuerzo cortante máximo y la deformación angular que provoca el par de fuerzas, como se observa en
el par de fuerzas, como se observa en la siguiente gráfica:la siguiente gráfica: 304.
304.
torsionante de 14KN.m, no debe experimentar una deformación angular superior a
torsionante de 14KN.m, no debe experimentar una deformación angular superior a
3 ͦ
3 ͦ
en una longitud de 6m. ¿Cuál es entonces el esfuerzo cortante máximo que
en una longitud de 6m. ¿Cuál es entonces el esfuerzo cortante máximo que
aparecerá en él? Use G= 83GN/
aparecerá en él? Use G= 83GN/
.
.
Datos: Datos:
Árbol de acero macizo Árbol de acero macizo
1616
Para realizar el ejercicio de torsión se debe tener en cuenta las siguientes Para realizar el ejercicio de torsión se debe tener en cuenta las siguientes hipótesis para poder aplicar las condiciones de rigidez y las condiciones de hipótesis para poder aplicar las condiciones de rigidez y las condiciones de equilibrio estático.
equilibrio estático.
Las secciones circulares permanecen circulares después de la torsión. Las secciones circulares permanecen circulares después de la torsión.
Las secciones planas permanecen planas y no se alabean después de la Las secciones planas permanecen planas y no se alabean después de la torsión.
torsión.
La proyección sobre una sección transversal de una línea radial de una La proyección sobre una sección transversal de una línea radial de una sección permanece radial después de la torsión.
sección permanece radial después de la torsión. El árbol está sometido a la acción
El árbol está sometido a la acción de pares torsionantes que actúan en planosde pares torsionantes que actúan en planos perpendiculares a su eje.
perpendiculares a su eje. Los
Los esfesfueruerzos zos no no sobsobrere asaasan n el el límlímite ite de de roro orcorcionaionalidlidad.ad.
Primero usaremos la condicion de resistencia en donde existe el esfuerzo Primero usaremos la condicion de resistencia en donde existe el esfuerzo cortante máximo para un eje macizo (
cortante máximo para un eje macizo (el árbol de acero es un el árbol de acero es un eje macizo).eje macizo). Al analizar la fórmula notamos que
Al analizar la fórmula notamos que existen dos variables el diámetro y el existen dos variables el diámetro y el esfuerzoesfuerzo cortante por lo que no
cortante por lo que no se puede resolver esa ecuación.se puede resolver esa ecuación. a.a. b. b. c.c. d. d. e.e.
1616
Para realizar el ejercicio de torsión se debe tener en cuenta las siguientes Para realizar el ejercicio de torsión se debe tener en cuenta las siguientes hipótesis para poder aplicar las condiciones de rigidez y las condiciones de hipótesis para poder aplicar las condiciones de rigidez y las condiciones de equilibrio estático.
equilibrio estático.
Las secciones circulares permanecen circulares después de la torsión. Las secciones circulares permanecen circulares después de la torsión.
Las secciones planas permanecen planas y no se alabean después de la Las secciones planas permanecen planas y no se alabean después de la torsión.
torsión.
La proyección sobre una sección transversal de una línea radial de una La proyección sobre una sección transversal de una línea radial de una sección permanece radial después de la torsión.
sección permanece radial después de la torsión. El árbol está sometido a la acción
El árbol está sometido a la acción de pares torsionantes que actúan en planosde pares torsionantes que actúan en planos perpendiculares a su eje.
perpendiculares a su eje. Los
Los esfesfueruerzos zos no no sobsobrere asaasan n el el límlímite ite de de roro orcorcionaionalidlidad.ad.
Primero usaremos la condicion de resistencia en donde existe el esfuerzo Primero usaremos la condicion de resistencia en donde existe el esfuerzo cortante máximo para un eje macizo (
cortante máximo para un eje macizo (el árbol de acero es un el árbol de acero es un eje macizo).eje macizo). Al analizar la fórmula notamos que
Al analizar la fórmula notamos que existen dos variables el diámetro y el existen dos variables el diámetro y el esfuerzoesfuerzo cortante por lo que no
cortante por lo que no se puede resolver esa ecuación.se puede resolver esa ecuación. a.a. b. b. c.c. d. d. e.e.
θθ∗∗
∗∗
θθ ∗∗
∗∗∗∗3232
==
*32*32
14 10
0.05236rad 83 10
0.05236rad 83 10
14 10
N.m6m
N.m6m
N/N/
∗∗3232
√ √
√ √ 196,88 10
196,88 10
−−
1616
1166∗∗114 14 100
0.1185
0.1185
N.m
N.m
.
.
/
/
²
²
Entonces debemos recurrir a la fórmula de condicion de rigidez viene dada por Entonces debemos recurrir a la fórmula de condicion de rigidez viene dada por la ecuación:
la ecuación:
J que es el momento polar de inercia para un eje macizo, lo expresamos según J que es el momento polar de inercia para un eje macizo, lo expresamos según su fórmula:
su fórmula:
3232
Remplazamos J en la fórmula de condicion de rigidez obteniendo la siguiente Remplazamos J en la fórmula de condicion de rigidez obteniendo la siguiente ecuación:
ecuación:
Obsérvese la fórmula y nótese que se tienen todos los datos excepto por el Obsérvese la fórmula y nótese que se tienen todos los datos excepto por el diámetro que es lo que buscamos. Entonces despejamos el diámetro de la diámetro que es lo que buscamos. Entonces despejamos el diámetro de la fórmula quedando como única incógnita.
fórmula quedando como única incógnita.
Con el diámetro del eje de acero (árbol) volvemos a usar la ecuación de condicion Con el diámetro del eje de acero (árbol) volvemos a usar la ecuación de condicion de resistencia y establecemos el esfuerzo cortante máximo que soportará el eje de resistencia y establecemos el esfuerzo cortante máximo que soportará el eje de acero sin romperse.
de acero sin romperse.
Esfuerzo cortante Esfuerzo cortante máximo máximo d= 0,1185 m d= 0,1185 m
L= 5 m
Θ
= 4° = 0,06981 rad G =83
10
9
N/
2
T=14
10
3
N.m
20 /
60
10
3
N/
2
Mediante la lectura se sabe que te tiene un árbol macizo de acero en el cual debemos establecer un eje de referencia matemático (xyz). El par de fuerzas o momento que ocasiona una deformación angular expresada en radianes como se observa en una gráfica tridimensional del eje.
305.
En un árbol macizo de 5m de longitud, en el que el ángulo total de torsión es de
4 ͦ, el esfuerzo cortante máximo es de 60MPa. Si G83GPa,
calcular su diámetro. Qué potencia podrá transmitir a 20 r/s?Datos:
(árbol) y establecemos el diámetro, el esfuerzo cortante máximo y la deformación angular que provoca el par de fuerzas al que está expuesto el eje macizo; como se observa en la siguiente gráfica:
Se debe tener en cuenta las siguientes hipótesis para poder aplicar las condiciones de rigidez y las condiciones de equilibrio estático, las cuales bajo ciertas circunstancias pueden llegar a convertirse en afirmaciones.
Las secciones planas permanecen planas y no se alabean después de la torsión.
Las secciones circulares permanecen circulares después de la torsión.
La proyección sobre una sección transversal de una línea radial de una sección permanece radial después de la torsión.
El árbol está sometido a la acción de pares torsionantes que actúan en planos perpendiculares a su eje.
Los esfuerzos no sobrepasan el límite de proporcionalidad.
Primero se planteó las ecuaciones de torsión que son la condicion de resistencia y la condicion de rigidez para analizarlas.
Observamos el área transversal del eje macizo de acero
a. b. c. d. e.
θ
∗32
Ecuación 1
á
Ecuación 2Θ
∗32
á
á
16
θ
32
á
16
0,06981
83 10
N/
32 5
60 10
16
113769440
= 11780972,45
.
De las dos ecuaciones tenemos como incógnita el diámetro del eje macizo y el momento torsor. Se conoce datos como el esfuerzo provocado y claramente se nota que el momento torsor tiene que ser uno solo que provoque dicho esfuerzo.
Por lo tanto despejamos T de las dos ecuaciones e igualamos porque este momento torsor debe ser igual, para que la única variable desconocida sea el diámetro.
Igualamos el momento torsor de obtenidos de la condicion de resistencia y de rigidez.
Diámetro del eje macizo
Una vez encontrado el diámetro del eje macizo (d) observamos que como variable desconocida se tiene el momento torsor (T) el cual podemos obtener reemplazando los datos en cualquiera de las dos fórmulas de condicion de resistencia o de rigidez.
τ
á
16Tπd
Tτ
á
16
πd
60 10
0,1035
16
.
∗
∗2
π
P= (13061, 775 N *2π * 20
).
Momento torsor al que está sometido el árbol de aceroLa potencia (P) que necesita el eje para revolucionar o girar se conoce como el producto entre el momento torsor (T) y la velocidad angular (w). En este caso se calculó el valor del momento torsor que es igual T = 13061.775 N y el valor
de la velocidad angular que viene dado por la formula w2πf en donde la f es
la frecuencia con la que gira el eje. Entonces con los datos ya conocidos se usa la siguiente ecuación, y se establece la potencia de giro del eje en watts (W):
Potencia de giro del eje.
torcerse dos vueltas completas sin sobrepasar el esfuerzo cortante admisible de
torcerse dos vueltas completas sin sobrepasar el esfuerzo cortante admisible de
70MPa. Use G=35GNPa.
70MPa. Use G=35GNPa.
00,,00002 2
sometido eje de bronce es de 720° lo cual debe estar expresado en radianes sometido eje de bronce es de 720° lo cual debe estar expresado en radianes como se indica en los
como se indica en los datos del ejercicio; entonces se dice que el eje datos del ejercicio; entonces se dice que el eje se ha torcidose ha torcido 2 vueltas de 360°.
2 vueltas de 360°.
Obsérvese la vista lateral derecha de la
Obsérvese la vista lateral derecha de la varilla de bronce en el varilla de bronce en el cual se establececual se establece el área transversal del el cual tiene un diámetro (d), el esfuerzo cortante el área transversal del el cual tiene un diámetro (d), el esfuerzo cortante máximo (
máximo (
áá
) y la deformación angular () y la deformación angular (
) provocada por el par de fuerzas o) provocada por el par de fuerzas o 306.306. Hallar la longitud de Hallar la longitud de una varilla de bronce de 2mm una varilla de bronce de 2mm de diámetro para que puedade diámetro para que pueda
Datos: Datos:
22
720°12.56637
720°12.56637
áá
770 0 1100
G = G =8383
10 10
99
N/N/
22
Lo primero que debemos saber es que la deformación angular al que esta Lo primero que debemos saber es que la deformación angular al que esta
Varilla de torsión Varilla de torsión
ττ
áá
16∗T
16∗T
ππ∗∗dd
TTττ
áá
1616
πdπd
Se debe tener en cuenta las siguientes hipótesis para poder aplicar las condiciones Se debe tener en cuenta las siguientes hipótesis para poder aplicar las condiciones de rigidez y las condiciones
de rigidez y las condiciones de equilibrio estático, las cuales dicen:de equilibrio estático, las cuales dicen:
Las secciones planas permanecen planas y no se alabean después de la Las secciones planas permanecen planas y no se alabean después de la torsión.
torsión.
Las secciones circulares permanecen circulares después de la torsión. Las secciones circulares permanecen circulares después de la torsión.
La proyección sobre una sección transversal de una línea radial de una La proyección sobre una sección transversal de una línea radial de una sección permanece radial después de la torsión.
sección permanece radial después de la torsión. El árbol está sometido a
El árbol está sometido a la acción de pares torsionantes que la acción de pares torsionantes que actúan en planosactúan en planos perpendiculares a su eje.
perpendiculares a su eje. Los
Los esfesfueruerzos zos no no sobrsobree asaasan n el el límlímite ite de de roro orcorcionionalialidadad.d.
Ahora lo primero que debemos hacer es plantear las ecuaciones de torsión. En Ahora lo primero que debemos hacer es plantear las ecuaciones de torsión. En este caso usaremos la ecuación de condicion de resistencia para determinar el este caso usaremos la ecuación de condicion de resistencia para determinar el momento torsor al que está sometido
momento torsor al que está sometido la varilla de broncela varilla de bronce a.a. b. b. c.c. d. d. e.e.
T= T=
70 10
70 10
66
N/N/
22
1616
∗∗ 0,002
∗∗ 0,002
33
.. ..
ΘΘ
∗∗32 32
∗∗
∗∗
3322∗ ∗
44
12.56637
12.56637
0,1099N.m32
0,1099N.m32
0.002
0.002
35 10
35 10
N/N/
.
.
Momento torsor al Momento torsor al que está sometido que está sometido la varilla de bronce la varilla de bronceLuego se hace uso de la ecuación de condicion de rigidez en donde como una Luego se hace uso de la ecuación de condicion de rigidez en donde como una variable desconocida la longitud de la varilla de cobre. Por lo tanto despejo la variable desconocida la longitud de la varilla de cobre. Por lo tanto despejo la longitud L y reemplazo datos:
longitud L y reemplazo datos:
Longitud de la varilla Longitud de la varilla
en metros (m) en metros (m)
Un gran árbol de transmisión para la hélice de un barco tiene que transmitir 4,5M W a 3 r/s sin que el esfuerzo cortante exceda de 50 MN/
y sin que el ángulo de torsión sea superior a un grado en una longitud de 25 diámetros. Determinar el diámetro más apropiado si G=83G N/
.0.0174
tridimensional en el cual se establece un sistema de referencia matemático (xyz). Obsérvese el par de fuerzas o momento que ocasiona una deformación angular expresada en radianes y la longitud (L).
Obsérvese la vista lateral derecha de la varilla de bronce en el cual se establece el área transversal del el cual tiene un diámetro (d), el esfuerzo cortante 307. Datos:
25
1°
á
50 10
G =83
10
9
N/
2
3/
P =4.5
10
6
W
2πf
4,5 10
2π3r/s
W
.
θ
Al pedir un diámetro apropiado se refiere a escoger el que soportará las condiciones que nos da, ambas condiciones (resistencia y rigidez), por lo que se obtendrá un diámetro que soportará características de rigidez y uno que soportará ruptura (resistencia). Y después de un análisis de verificará cual es el adecuado.
Para resolver y encontrar el diámetro necesitamos del momento torsor al que está sometido el árbol de transmisión (T). En este caso se cuenta con la potencia y la frecuencia de giro del árbol con lo que para determinar el momento torsor se hara uso de la siguiente fórmula:
Momento torsor al que está sometido el árbol
Con el momento torsor establecido procedemos a determinar el diámetro del árbol de transmisión para ello se hara uso de la condicion de rigidez y resistencia respectivamente y así determinar el diámetro en cada uno de los casos.
Condicion de rigidez
=
∗
32
4
0,0174 rad
238,73210
3
N.m
83 10
25
9
N/
2
∗32
4
=0,0421 d
4
0,0421
√
3
√0,0421
,
m Condicion de resistencia
16
16
16238,73210
N.m
5010
N/
=0,024317
.
Diámetro (d) con la condicion de resistencia.De las respuestas obtenidas comparo el diámetro (d) obtenido con la condicion de rigidez y de resistencia respectivamente:
-
Por lo tanto el “
d” no rigidez.- El diámetro de rigidez soporta rigidez y como es mayor también soporta ruptura por lo tanto la respuesta es:
Diámetro en condicion de resistencia
.
Diámetro en condicion de rigidez
,
la mitad del exterior, tiene una resistencia a la torsión que es igual a tiene un árbol macizo del mismo diámetro exterior.
En este caso se tiene un árbol de forma cilíndrica macizo y hueca en donde el diámetro interior del cilindro hueco es la mitad del diámetro exterior del mismo o el diámetro del diámetro del eje macizo como apreciamos en la siguiente fi ura:
308. Demostrar que un árbol hueco de sección circular, cuyo diámetro interior sea
de la que Datos:
=
.
.
ÁRBOL CILÍNDRICO MACIZO Vista tridimensional
En este caso se conoce que el diámetro d es igual tanto para el eje macizo como el eje hueco. Entonces se usara la relación dada es en función de esfuerzos por lo que buscaremos estos valores tanto del árbol hueco como del macizo para después relacionarlos.
CONDICIÓN DE RESISTENCIA PARA UN CILINDRO HUECO
.
16
CONDICIÓN DE RESISTENCIA PARA UN CILINDRO MACIZO
.
16∗
Par el caso del eje hueco se sabe que el diámetro interior es la mitad del diámetro ÁRBOL CILÍNDRICO HUECO.
Vista tridimensional
.
=
−
.
=
−/
.
=
−
/
.
=
/
=
.
.
=
/
∗
=
=
=
=
.
.
Luego usamos la relación establecida en los datos que viene dado por:
=
.
.
Y comprobamos si esta hipótesis es correcta o incorrecta.
Hipótesis de relación de esfuerzos falsa
Entonces la relación de esfuerzos entre el eje hueco y el eje macizo establecido es falso ya que mediante cálculos de establecer que la relación correcta seria:
Relación de esfuerzos correcta
309. Un árbol de acero de diámetro constante e igual a 60mm está cargado mediante pares aplicados a engranes montados sobre él, según se muestra en la figura P-309. Usando un módulo G=83GN/
, calcular el ángulo de torsión del engrane D con respecto al A.D=60mm = 0,06 m
G=
83 /
83 10
N/
Ángulo de torsión del engrane D con respecto al A.
Para realizar la demostración tenemos que tener en cuenta las siguientes hipótesis para poder aplicar las condiciones de rigidez y las condiciones de equilibrio estático.
2m 3m 3m 800 N.m 1000 N.m 1200 N.m 1000 N.m Figura P-309 Datos: Calcular: Solución:
Tras haber comprendido las hipótesis realizamos los respectivos cálculos teniendo en cuenta los siguientes pasos a elaborar:
1. Dibujar el diagrama de cuerpo libre representando las cargas exteriores.
Conociendo que:
800 .
(Sentido horario respecto de A)
1000 .
(Sentido antihorario respecto de A)
1200 .
(Sentido horario respecto de A)
1000 .
(Sentido antihorario respecto de A) 2. Aplicar las ecuaciones de equilibrio estático.0
Para
Las secciones circulares permanecen circulares después de la torsión
Las secciones planas permanecen planas y no se alabean después de la torsión. La proyección sobre una sección transversal de una línea radial de una sección permanece radial después de la torsión.
El árbol está sometido a la acción de pares torsores o torsionantes que actúan en planos perpendiculares a su eje.
Los esfuerzos no sobrepasan el límite de proporcionalidad.
2m 3m 3m 800 N.m 1000 N.m 1200 N.m 1000 N.m con respecto a f. g. h. i. j.
= -800N.m (sentido horario) Para
= (-800+1000) N.m
=200N.m (sentido antihorario) Para
= (-800+1000-1200) N.m
= -1000N.m (sentido horario)3. Obtener ecuaciones mediante relaciones geométricas entre las deformaciones elásticas producidas por las cargas y por las fuerzas desconocidas (Ecuaciones de compatibilidad). De tal manera que para calcular el ángulo en toda la longitud es necesario buscarlo en cada sección, el ángulo pedido será la suma del resultado obtenido en cada sección.
Como se necesita hallar el momento polar de inercia se procede a reemplazar el diámetro en la fórmula de J.
0.06
32
El torque en la sección
reemplazo valores en la ecuación.
Partimos de la fórmula de condición de rigidez y reemplazando los datos que se nos han proporcionado, sabiendo para cada sección variará L y T pero J y G son constantes. Además de que J es el momento polar de inercia lo expresamos según su fórmula: J=
/32.BC con respecto a CD con respecto a
J=1,27
−
=
=,
−
/
El torque en la sección en sentido antihorario por lo tanto reemplazo valores en la ecuación.
=
=,
/
El torque en la sección
reemplazo valores en la ecuación.
=
=,
−
/
Con los ángulos hallados de cada sección se procede a sumar los mismos obtenidos en las tres secciones, de tal manera:
=
- 0, 01518 rad + 0, 00569 rad - 0, 02846 rad
=
,
Se puede dejar el ángulo en función de grados realizando la siguiente transformación para su mejor interpretación:
=0, 03795 rad (
°
)
,°
Ángulo de torsión del engrane D con
res ecto al A.
= - 0, 01518 rad BC es 200 N.m
= 0,00569 rad
CD es -1000 N.m en sentido horario por lo tanto = -0, 02846 rad
310. Determinar el máximo momento torsionante que puede soportar un árbol hueco de sección 100mm y 70mm de diámetro exterior e interior respectivamente, sin que sobrepase un esfuerzo cortante de 60
10
N/
y sin que la deformación sea superior a medio grado por metro de longitud. Use G=83GN/
.
L= 1 m
Θ
=0, 5° =8,72 10
−
=60 10
N/
G=83 /
83 10
N/
D=100 0,1
d=70 0,07
El máximo momento torsionante que puede soportar el árbol hueco. Para poder visualizar de mejor manera el árbol hueco, graficamos en 3D:
Para realizar la demostración tenemos que tener en cuenta las siguientes hipótesis para poder aplicar las condiciones de rigidez, condiciones de resistencia y las condiciones de equilibrio estático.
1m
Datos:
Calcular: Solución:
Tras haber comprendido las hipótesis realizamos los respectivos cálculos teniendo en cuenta los siguientes pasos a elaborar:
1. Dibujar el diagrama de cuerpo libre representando las cargas exteriores.
2. Reemplazar los datos obtenidos, aplicando las condiciones de resistencia y rigidez.
Al solicitar el momento torsionante notamos que tendremos dos momentos distintos uno que provoque ruptura y uno de rigidez. El máximo momento a. Las secciones circulares permanecen circulares después de la torsión
b. Las secciones planas permanecen planas y no se alabean después de la torsión. c. La proyección sobre una sección transversal de una línea radial de una sección
permanece radial después de la torsión.
d. El árbol está sometido a la acción de pares torsores o torsionantes que actúan en planos perpendiculares a su eje.
e. Los esfuerzos no sobrepasan el límite de proporcionalidad.
τ
Radial(+) Radial(+)
70mm
100mm
Partimos de la fórmula de condición de resistencia y rigidez reemplazando los datos que se nos han proporcionado respectivamente, sabiendo que
siempre debe estar expresado en radianes por lo que0.5°180°8,72 10
−
El momento polar de inercia será constante tanto para resistencia como para rigidez:
32
100∗ 10
−
32
70∗ 10
−
327,599∗10
−
,∗
−
Donde r está dado por:
20,12
0,05
De tal manera que:
60∗10
7,46∗10
0,05
−
, .
Valor máximo a la ruptura Condición de resistencia: Condición de rigidez:Reemplazando los datos tenemos:
8,727∗ 10
−
∗83∗ 10
∗7,46∗ 10
−
, .
En consecuencia el valor máximo de Tmáx es el de la ruptura:
, .
Valor por metro de longitud Máximo momento
torsionante que puede soportar el
311. Un árbol de transmisión de acero consta de una parte hueca de 2m de longitud y diámetros de 100mm y 70mm, y otra parte maciza de 70mm de diámetro 1,5m de longitud. Determinar el máximo momento torsionante que puede soportar sin que el esfuerzo sobrepase el valor de 70MN/
,
ni el angulo total de torsión supere el valor de 2,5° en la longitud total de 3,5m. Use 83GN/
.
L= 1,5 m
Θ
=2, 5° = 43,63 10
−
=70 10
N/
G=83 /
83 10
N/
D=70 0,07
L= 2 mΘ
=2, 5° = 43,63 10
−
=70 10
N/
G=83 /
83 10
N/
d=100 0,1
El máximo momento torsionante que puede soportar el árbol de transmisión.
Para poder visualizar de mejor manera el árbol de transmisión con sus secciones, graficamos en 3D: Datos: Cilindro macizo Cilindro hueco Calcular: Solución:
Para realizar la demostración tenemos que tener en cuenta las siguientes hipótesis para poder aplicar las condiciones de rigidez, condiciones de resistencia y las condiciones de equilibrio estático.
Tras haber comprendido las hipótesis realizamos los respectivos cálculos teniendo en cuenta los siguientes pasos a elaborar:
1. Dibujar el diagrama de cuerpo libre representando las cargas exteriores. f. Las secciones circulares permanecen circulares después de la torsión
g. Las secciones planas permanecen planas y no se alabean después de la torsión. h. La proyección sobre una sección transversal de una línea radial de una sección
permanece radial después de la torsión.
i. El árbol está sometido a la acción de pares torsores o torsionantes que actúan en planos perpendiculares a su eje.
. Los esfuerzos no sobre asan el límite de ro orcionalidad.
2 m Radial(+) Radial(+) 70mm 100mm 1.5m 2.5°
2. Reemplazar los datos obtenidos, aplicando la condición de resistencia.
Para determinar el momento total hay que tener en cuenta que el elemento consta de dos cilindros que tienen cada uno un estudio diferente.
El primero un cilindro hueco que tiene su propio ángulo de torsión, y el segundo un cilindro macizo que tiene también un ángulo de torsión diferente del primero, además son diferentes la longitud y el momento polar de inercia; se obtendrán momentos que actúan tanto en el eje macizo como en el hueco. En el cilindro macizo
Conociendo que para el eje macizo:
16
Reemplazando los datos tenemos:
16
∗∗
7010
N
0,07
16
T=4714,3635 N.m
, .
En el cilindro hueco
Conociendo que para el eje hueco:
Partimos de la fórmula de condición de resistencia reemplazando los datos que se nos han proporcionado respectivamente, sabiendo que
siempre debe estar expresado en radianes por lo que0.5°180°8,72 10
−
16
Reemplazando los datos tenemos:
T=
,
,
−,
, .
θ
J
.
.
J
.
.
.
.
.
.
Despejo T de la ecuación y reemplazo valores. T=
.
.
+
.
.
T=
/
,,
+
,
,
T= 4004, 198 N,
Con los datos obtenidos determinamos que el cilindro macizo está limitando al cilindro hueco, por ende ahora pasamos a encontrar el momento de rigidez de ambos donde el ángulo total es la suma de los ángulos de deformación parciales de cada eje, de la fórmula que relaciona ángulos de torsión también se obtendrá un nuevo valor de T.
Valor ideal para ambos ejes, ya que al elegir
cualquier valor de torsión de la condición de resistencia uno de los
dos ejes fallará.
312. Una transmisión flexible consta de un alambre de acero de 5mm de diámetro encerrado en un tubo guía en el que encaja tan ajustado que produce un par torsor resistente por fricción de 2Nm/m. Determinar la máxima longitud que puede tener si el esfuerzo cortante no debe exceder de 140 MPa. ¿Cuál será el ángulo total de torsión? Use 83GN/
.
R=2 Nm/m=2 N
=140 MPa140 10
N/
d=5 mm = 0,005 mG=
83 /
83 10
N/
Ángulo total de torsiónPara poder visualizar de mejor manera el árbol de transmisión con sus secciones, graficamos en 3D:
Para realizar la demostración tenemos que tener en cuenta las siguientes hipótesis para poder aplicar las condiciones de rigidez y las condiciones de equilibrio estático.
L
Datos: Calcular: Solución:
Tras haber comprendido las hipótesis realizamos los respectivos cálculos teniendo en cuenta los siguientes pasos a elaborar:
1. Dibujar el diagrama de cuerpo libre representando las cargas exteriores.
2. Obtener ecuaciones mediante relaciones geométricas entre las deformaciones elásticas producidas por las cargas y por las fuerzas desconocidas (Ecuaciones de compatibilidad). De tal manera que para calcular el ángulo total será necesario integrar en función de los datos obtenidos.
Las secciones circulares permanecen circulares después de la torsión
Las secciones planas permanecen planas y no se alabean después de la torsión. La proyección sobre una sección transversal de una línea radial de una sección permanece radial después de la torsión.
El árbol está sometido a la acción de pares torsores o torsionantes que actúan en planos perpendiculares a su eje.
Los esfuerzos no sobrepasan el límite de proporcionalidad.
τ
Radial(+) Radial(+) k. l. m. n. o. 5 mmΘ
TCabe destacar que al mencionar fricción, aparece una fuerza adicional al torque en este caso denominada R (Fricción) donde se puede deducir el valor de T(Torque) en función de L, conociendo el valor de R:
T=R L T=2L
Partiendo de la fórmula de condición de resistencia al tener un torque en función de L como única incógnita:
16
162
Despejando L se procede a reemplazar los valores:
,
,
Para el análisis del ángulo total, la longitud L variará, por lo que necesitamos
saber el valor de θ en cada nuevo valor de L, para esto es necesario integrar
o sumar cada una de estas expresiones.
θ
Pero estas variaciones deben ser muy pequeñas por lo que expresamos en términos muy pequeños:
θ
∫dθ∫
Para integrar se reemplaza T por RL del valor del torque por lo que L hace referencia a la longitud. Se procede a integrar sabiendo que J, R y G son constantes.
∫dθ∫
∫dθ ∫
Los límites de L será la longitud del eje desde 0 hasta 1, 718
∫dθ ∫
,
Longitud del árbol de transmisión
θ
|
|
.
θ
,
θ
1,475762
Para el valor de J se considera que se trata de un área llena por ende su momento polar de inercia es:
∗
32
5∗10
32
−
6,1359 ∗10
−
Reemplazando los valores obtenidos a lo largo del ejercicio en la ecuación de
θ
finalmente hallamos su respectivo valor: 21,475762
6,1359 ∗10
−
83∗10
0,5795
Se puede dejar el ángulo en función de grados realizando la siguiente transformación para su mejor interpretación:
0,5795
°
,°
Ángulo total de313. El árbol de la figura P-313 gira a 3r/s absorbiendo 30KW en A y 15KW en B de los 45KW aplicados en C. Si G=83
10
N/
.
Calcular el esfuerzo cortante máximo y el ángulo de torsión de la rueda A respecto de la rueda C. (Material Acero)f=3r/s
=30
=15
=45
G=
83 /
83 10
N/
Esfuerzo cortante máximo y el ángulo de torsión de la rueda A respecto de la rueda C.
Para poder visualizar de mejor manera el árbol de transmisión con sus secciones, graficamos en 3D, considerando los datos expresados anteriormente:
Figura P-313 4 m 2 m 50 mm diam. 75 mm diam. Datos: Calcular: Solución:
Para realizar la demostración tenemos que tener en cuenta las siguientes hipótesis para poder aplicar las condiciones de rigidez y las condiciones de equilibrio estático.
Tras haber comprendido las hipótesis realizamos los respectivos cálculos teniendo en cuenta los siguientes pasos a elaborar:
1. Dibujar el diagrama de cuerpo libre representando las cargas exteriores. a) Las secciones circulares permanecen circulares después de la torsión
b) Las secciones planas permanecen planas y no se alabean después de la torsión. c) La proyección sobre una sección transversal de una línea radial de una sección
permanece radial después de la torsión.
d) El árbol está sometido a la acción de pares torsores o torsionantes que actúan en planos perpendiculares a su eje.
e) Los esfuerzos no sobrepasan el límite de proporcionalidad.
TA
TB
TC
Del grafico se puede observar que elegimos el signo de las cargas de acuerdo a lo que expresa el enunciado como es el termino absorbiendo (pierde, sale, chupa) y el termino aplicados (entra, ingresa, suministra).
50 mm diam. 75 mm diam. P=-30K W
P=-15K W
1. Reemplazar los datos obtenidos, utilizando fórmulas de potencia, condición de resistencia y condición de rigidez acorde a os datos dados:
Con las potencias dadas primero buscaremos el valor de T en cada punto, con la ayuda de estos encontrar T en cada sección.
2
2
Reemplazo los valores en la ecuación:
30∗10
23
1591,55 .
(Sentido horario con respecto a C)
15∗10
23
795.77 .
(Sentido horario con respecto a C)
45∗10
23
4 m 2 m 50 mm diam. 75 mm diam. Radial (+) Longitudinal (+) TB T C TA Para T Para T Para T
2387.324 .
(Sentido antihorario con respecto a C)Con los valores encontrados de T se puede encontrar los esfuerzos en cada sección aplicando la fórmula de condición de resistencia, de estos valores se definirá la mejor solución:
16
162387,32 .
0,075
,∗
/
16
,.
,
64,8455∗10
/
,/
Calculamos el momento polar de inercia de las dos secciones con sus recpectivos radios:
J=
=.
Para el sigo de cada Torque se consideró si la potencia está siendo absorbida o aplicada por se conserva os signos anteriormente establecidos, además de estar respecto al C.
Esfuerzo cortante máximo
Tramo BC: Tramo AB:
3,106310
−
=.
6
,135910
−
Con estos valores se puede reemplazar directamente en la fórmula de condición de rigidez para hallar la deformación angular en cada tramo:
θ
=
,.
/
,
=
,.
/
,
Finalmente para hallar el ángulo total desde C hasta A se tiene la sumatoria de las deformaciones angulares en cada tramo:
=
0,0180,125
θ
0,143519 rad
Se puede dejar el ángulo en función de grados realizando la siguiente transformación para su mejor interpretación:
θ
0,143519rad∗
°
,°
Ángulo de torsión de la rueda A respecto de la Tramo AB: Deformación angular en BC: =0,018519 rad Deformación angular en AB:G= 83G N/m²
60 /²
4°
Vista isométrica de las cargas en el cuerpo
Figura P-314
314. Un árbol de acero se encuentra cargado según se muestra en la figura P-314, usando un módulo G= 83G N/m², calcule el diámetro requerido del árbol si el esfuerzo cortante está limitado a 60M N/m² y el ángulo de rotación en el extremo libre no debe exceder a 4°.
Datos:
Encontrar:
Tras haber comprendido las hipótesis realizamos los respectivos cálculos teniendo en cuenta los siguientes pasos a elaborar:
4. Dibujar el diagrama de cuerpo libre representando las cargas exteriores.
Se puede observar los torques accionantes de color rojo y el que se crea en el extremo A debido al empotramiento de color verde la dirección de este último lo asignamos de forma arbitraria.
Podemos observar en la figura P-314 una de las formas de
la solución se bebe tener en cuenta ciertas hipótesis para poder aplicar las condiciones de rigidez y las condiciones de equilibrio estático.:
Las secciones circulares permanecen circulares después de la torsión Las secciones planas permanecen planas y no se alabean después de la torsión.
La proyección sobre una sección transversal de una línea radial de una sección permanece radial después de la torsión.
El árbol está sometido a la acción de pares torsores o torsionantes que actúan en planos perpendiculares a su eje.
Los esfuerzos no sobrepasan el límite de proporcionalidad. Solución:
expresión de torques en donde la hace referencia a la cola del vector y la circunferencia a la punta del mismo esto para representar en 2D, para continuar con
p. q. r. s. t.
Para representar los torques de forma lineal hacemos lo siguiente: Primero nos ubicamos en un extremo sea A o C de ahí observamos los giros, si el giro es Anti horario es positivo y se horario negativo, para este caso no ubicamos en A:
T (+), 500 [NM] (+), 1000 [NM] (-), estos resultados ubicamos nuevamente en el árbol considerando las direcciones que damos a nuestro sistema de referencia:
5. Aplicar las ecuaciones de equilibrio estático. Para ello considero
0
500 N.m 1000N.m0
500 N.m
6. Sabemos que el esfuerzo es igual a
60 /²
vamos a encontrar un aproximado de diámetro en función de la carga reaccionantes en cada sección de corte AB y BC.Corte AB
0
Por lo tanto, el esfuerzo en la sección AB: Por lo tanto, el esfuerzo en la sección AB:
16 16
6010
6010
161650500 .0 .
1616500 .
6010
6010
500 .
161650500 .0 .
6010
6010
00,,00335 5
Corte BC Corte BC0
0
500
500N.N.mm500 N.m 0
1100000 0 NN..mm
500 N.m 0
Diámetro sugerido Diámetro sugerido por la sección AB por la sección ABEsto quiere decir Esto quiere decir
que tomamos que tomamos equivocadamente la equivocadamente la dirección del vector dirección del vector
Por lo tanto, el esfuerzo en la sección AB: Por lo tanto, el esfuerzo en la sección AB:
16 16
6010
6010
1616101000 .
00 .
1616101000 .
6010
6010
00 .
1616101000 00 ..
6010
6010
00,,00444 4
7.7. Sabiendo del ejercicio que en ángulo de Sabiendo del ejercicio que en ángulo de rotación en el extremo libre no rotación en el extremo libre no debedebe exceder a 4° esto hace referencia a la deformación máxima que debe tener exceder a 4° esto hace referencia a la deformación máxima que debe tener entonces:
entonces:
Al sumar las deformaciones parciales AB y BC obtendremos la deformación total Al sumar las deformaciones parciales AB y BC obtendremos la deformación total debe ser a 4° o
debe ser a 4° o su equivalente en radianes 0,070 rad.su equivalente en radianes 0,070 rad.
44°°00,,00770 0
podemos calcular: podemos calcular:
50500 .0 .3 3
323283x10
83x10
NN
podemos calcular: podemos calcular:
101000 .
323283x10
00 .2 2
83x10
NN
Diámetro sugerido Diámetro sugerido por la sección BC por la sección BCEntonces: Entonces:
500 .
323283x10
500 .3 3
83x10
NN
101000 00 ..2 2
323283x10
83x10
NN
44°°00,,00770 0
50500 .0 .3 3
323283x10
83x10
NN
101000 00 ..2 2
323283x10
83x10
NN
0,070
0,070
151500 00 ..
83x10
83x10
3232 NN
202000 00 ..
83x10
83x10
3232 NN
0,070
0,070
353500 00 ..
83x10
83x10
3232 NN
0,070
0,070
112000 .
112000 .
83x10
83x10
0,070
0,070
112000
112000
83x10
83x10
0,070
0,070
112000
83x10
83x10
112000
0,070
0,070
112000
83x10
83x10
112000
0,070
0,070
00,,00550 0
Ahora debemos escoger uno de los
Ahora debemos escoger uno de los tres diámetros que resultaron en el cálculo:tres diámetros que resultaron en el cálculo:
∅∅1100,,00335 5 335 5
∅∅2200,,00444 4 444 4
∅∅3300,,00550 0 550 0
Sabemos que entre más grueso sea el material más resistente será en base a esto Sabemos que entre más grueso sea el material más resistente será en base a esto concluimos: concluimos:
Diámetro sugerido Diámetro sugerido por la por la deformación de 4° deformación de 4° RESPUESTA RESPUESTASección constante= A L=5 [m]
Frecuencia= 2 [rad/s] G=83G [N/m²]
70K[W] a 2 [m] del extremo izquierdo 20K[W] extremo izquierdo 30K[W] extremo derecho
20K[W] a 1,5[m] del extremo izquierdo a) Calcule A si
b)
creada por motores esta la consideramos a comparación de
mecánico creado por la potencia aplicada entonces esta la consideramos 315. A un eje de sección constante de 5m de longitud que gira a 2 [rad/s] se le aplican 70K [W] a través de un engrane situado a 2m del extremo izquierdo donde se absorben 20K [W]. En el extremo derecho utilizan 30K [W] y a 1,5 [m] de este, los otros 20K [W]. a) Dimensionar el árbol si el esfuerzo cortante no ha de exceder de 60M [N/m²]. b) Si el eje tiene un diámetro de 100 [mm], determinar el ángulo total de torsión de un extremo al otro. Use 83G [N/m²].
Datos:
POTENCIA APLICADA POTENCIA ABSORBIDA Determinar:
Ʈ
=60M [N/m²]Si ∅ 10 mm determine
θ de torsiónFigura P-315
Solución:
Nota: decimos de potencia aplicada cuando esta genera movimiento mayormente
positiva potencia
absorbida la que gasta el movimiento utilizado para mover algún elemento negativa.
1. Transformar de Potencia a Torques.
Podemos observar en la figura P-315 no está representado por torques si no por potencia aplicada en dicho punto, sin embargo, se representa de esta forma sabiendo muy bien que la potencia en este caso genera movimiento circular, las direcciones son tomadas aleatoriamente solo se debe
precautelar que a la a
la
se bebe tener en cuenta ciertas hipótesis para poder aplicar las condiciones de rigidez y las condiciones de equilibrio estático.
a) Las secciones circulares permanecen circulares después de la torsión
b) Las secciones planas permanecen planas y no se alabean después de la torsión.
c) La proyección sobre una sección transversal de una línea radial de una sección permanece radial después de la torsión.
d) El árbol está sometido a la acción de pares torsores o torsionantes que actúan en planos perpendiculares a su eje.
e) Los esfuerzos no sobrepasan el límite de proporcionalidad. Para ello aplicamos la fórmula:
2πf
Donde:
T= torque [Nm] P= potencia [W] f= frecuencia [rad/s]
potencia aplicada debemos asignarla una dirección y potencia absorbida una dirección opuesta, para continuar con la solución
Los signos se establecen por positivo si la potencia es aplicada y si es absorbida se considera negativa
2πf
20.10
2π2r/s
2πf
70.10
2π2r/s
2πf
20.10
2π2r/s
2πf
30.10
2π2r/s
En base a esto podemos diagramar el DCL para el árbol o eje. Punto A: TA= -1591,55 [N m] Punto B: TB= 5570,42 [N m] Punto C: TC= -1591,55 [N m] Punto D: TD= -2387,32 [N m]
2. Dibujamos el DCL
Las direcciones de los torques se pueden establecer de manera aleatoria, pero con la diferencia que el resultante de la potencia aplicada debe ser opuesta a los que resultaron de la potencia absorbida
3. Seccionamos al eje en desde una carga inicial hasta el último punto en donde esta misma carga sigue siendo constante:
0
2387,32 Nm 0
2387,32 Nm
0
1591,55N.m2387,32 Nm 0
3978,87 Nm
0
1591,55Nm5570,42Nm2387,32 N m0
1591,55Nm
Corte BC Corte AB4. Con la ayuda de la fórmula del esfuerzo cortante podemos encontrar el diámetro y dimensionar el eje en función de este y en cada sección o corte
16
3
16
3
16
1591,55 Nm
6010
6
2
16
6010
1591,55 Nm
0,0513
51,31
16
3
16
3
16
3978,87 Nm
6010
6
2
16
6010
3978,87 Nm
0,0696
69,64
Diámetro sugerido por AB Diámetro sugerido por BC LITERAL A). Corte AB Corte BC
16
3
16
3
16
2387,32 Nm
6010
6
2
16
6010
2387,32 Nm
0,0587
58,73
Ahora para escoger el diámetro debemos tener en cuenta que entre más denso y
“gordo” sea el material más resistente será, sabiendo esto escogemos el diámetro
máximo encontrado:
, ≅
Diámetro sugerido por CD RESPUESTA Corte CD5. El pide calcular el ángulo de torsión con los mismos datos, pero con un diámetro de 100 [mm] del eje.
Sabemos que el ángulo de torsión o deformación angular por torsión se calcula mediante la fórmula:
Donde:
= ángulo de torsión en [rad] T= torque reaccionante [Nm] L= Longitud del ejeJ= Momento polar de inercia de ejes macizos =
G= Coeficiente de rigidez para la torsiónSabemos que cada corte o cada sección produce una pequeña parte de deformación entonces la deformación total será igual a la sumatoria de las deformaciones infinitesimales del eje:
Entonces:
/
/
/
Sabemos que tanto el momento polar rigidez de torsión son constantes para cada sección sacamos como factor común: