SECCIÓN 8.8
SECCIÓN 8.8
Integrales impropias
Integrales impropias
587587En los ejercicios 1 a 8, decidir si la integral es impropia. Explicar
En los ejercicios 1 a 8, decidir si la integral es impropia. Explicar
el razonamiento. el razonamiento. 1. 1. 2.2. 3. 4. 3. 4. 5. 6. 5. 6. 7. 8. 7. 8.
En los ejercicios 9 a 14, explicar por qué la integral es impropia y
En los ejercicios 9 a 14, explicar por qué la integral es impropia y
determinar si es divergente o convergente. Evaluar las que sean
determinar si es divergente o convergente. Evaluar las que sean
convergentes. convergentes. 9. 9.
4 4 0 0 1 1 x x dx dx 10.10.
4 4 3 3 1 1
x x 33
3322dx dx 11. 11.
2 2 0 0 1 1
x x 11
22dx dx 12.12.
2 2 0 0 1 1
x x 11
2233dx dx 13. 13.
0 0 e e x x dx dx 14. 14.
0 0 e e33 x x dx dxRedac
Redac
ción
ción
En los En los ejercicios 15 ejercicios 15 a a 18, explicar 18, explicar por por qué qué la evaluaciónla evaluaciónde la integral es
de la integral es
incorrecta
incorrecta
. Usar la integración en una herramien-. Usar la integración en unaherramien-ta de gra
ta de gracación para intentar evaluar la integral. Determinar sicación para intentar evaluar la integral. Determinar si
la herramienta de gra
la herramienta de gracación da la respuesta correcta.cación da la respuesta correcta.
15. 15.
1 1 11 1 1 x x 22dx dx 22 16.16.
2 2 22 22
x x 11
33dx dx 8 8 9 9 17. 17.
0 0 e e x x dx dx 00 18.18.
0 0 sec sec x x dx dx 00En los ejercicios 19 a 36, determinar si la integral impropia es
En los ejercicios 19 a 36, determinar si la integral impropia es
divergente o convergente. Evaluar la integral si es convergente.
divergente o convergente. Evaluar la integral si es convergente.
19. 20. 19. 20. 21. 22. 21. 22. 23. 23. 24.24. 25. 25. 26.26. 27. 27. 28.28. 29. 29. 30.30. 31. 31. 32.32. 33. 33. 34.34. 35. 35. 36.36.
En los ejercicios 37 a 54, determinar si la integral impropia es
En los ejercicios 37 a 54, determinar si la integral impropia es
divergente o convergente. Evaluar la integral si converge, y ver
divergente o convergente. Evaluar la integral si converge, y veri- i-
car los resultados con los obtenidos usando una herramienta decar los resultados con los obtenidos usando una herramienta de
gra
gracación para hacer la grácación para hacer la gráca.ca.
37. 38. 37. 38. 39. 39. 40.40. 41. 41. 42.42. 43. 43. 44.44. 45. 45. 46.46. 47. 47. 48.48. 49. 49. 50.50.
3 3 1 1 2 2
x x 22
8833dx dx
22 0 0 1 1 3 3 x x 11dx dx
55 0 0 1 1 25 25 x x 22dx dx
44 2 2 1 1 x x 22 44 dx dx
22 0 0 1 1 2525 x x 22dx dx
44 2 2 2 2 x x x x 22 44 dx dx
22 0 0 sec sec d d
22 0 0 tan tan d d
ee 0 0 ln ln x x 22dx dx
11 0 0 x x ln ln x x dx dx
1212 0 0 9 9 1212 x x dx dx
88 0 0 1 1 3 3 88 x x dx dx
55 0 0 10 10 x x dx dx
11 0 0 1 1 x x 22dx dx
0 0 sen sen x x 2 2dx dx
0 0 e e x x 1 1 ee x x dx dx
0 0 x x 33
x x 22 11
22dx dx
1 1 ln ln x x x x dx dx a a >> 00
0 0 eeax ax sen senbx bx dx dx ,,
0 0
x x 11
ee x x dx dx
0 0 xe xe x x 44dx dx
1 1 4 4 4 4 x x dx dx
1 1 3 3 x x 55dx dx
0 0 cos cos x x dx dx
0 0 1 1 e e x x ee x x dx dx
4 4 16 16 x x 22dx dx
4 4 1 1 x x
lnln x x
33dx dx
0 0 e e x x cos cos x x dx dx
0 0 x x 22ee x x dx dx
00 xe xe44 x x dx dx
1 1 3 3 3 3 x x dx dx
1 1 1 1 x x 33dx dxEjercicios
Ejercicios
8.8
8.8
44 x x 22dx dx
22 0 0 e e x x dx dx
11 0 0 2 2 x x 55 x x 2255 x x 66dx dx
11 0 0 dx dx 5 5 x x 33 sen sen x x
44 0 0 csc csc x x dx dx
0 0 cos cos x x dx dx
1 1 ln ln
x x 22
dx dx
22 1 1 dx dx x x 33 x x 1 1 22 44 55 10 10 20 20 40 40 30 30 50 50 y y x x 1 1 1 1 2 2 2 2 4 4 4 4 3 3 3 3 y y x x 2 2 2 2 y y x x 1 1 2 2 2 2 y y y y x x − −11 1 1 y y x x 1 1 1 1588
CAPÍTULO 8
Técnicas de integración, regla de L’Hôpital e integrales impropias
51. 52.
53. 54.
En los ejercicios 55 y 56, determinar todos los valores de
p
para los que la integral impropia es convergente.55.
1 1 x pdx 56.
1 0 1 x pdx57.
Usar la inducción matemática para veri
car que la integral
siguiente converge para todo entero positivo
n.
0
x ne x dx
58.
Prueba de comparación de integrales impropias En algunos
casos, es imposible encontrar el valor preciso de una integral
impropia, aunque es importante determinar si la integral
con-verge o dicon-verge. Suponer que las funciones
fy
gson continuas
y que 0
ƒ(
x)
g(
x) en el intervalo [
a,
). Se puede mostrar
que si
a f
(
x)
dxconverge, entonces
a g(
x)
dxigualmente lo
hace, y si
ag
(
x)
dxdiverge, entonces
a f(
x)
dxtambién diverge.
Esto se conoce como la prueba de comparación de integrales
impropias.
a
) Utilizar la prueba de comparación para determinar si
1 e x2
2
dx
converge o diverge. (
Sugerencia:Utilizar el
hecho de que
e x2
2
e x
para
x1.)
b
) Usar la prueba de comparación para determinar si
1
1
x 5
1dx
converge o diverge. (
Sugerencia:Utilizar
el hecho de que
1x 51
1
x 5
para
x1.)
En los ejercicios 59 a 70, usar los resultados de los eje rcicios 55 a 58 para determinar si la integral impropia converge o diverge.
59. 60. 61. 62. 63. 64. 65. 66. 67. 68. 69. 70.
Desarrollo de conceptos
71.
Describir los diferentes tipos de integrales impropias.
72.Definir las condiciones de
convergenciao
divergenciaal
trabajar con integrales impropias.
Desarrollo de conceptos (
continuación)
73.
Explicar por qué
11 1 x 3dx 0. 74.
Considerar la integral
3 0 10 x 22 x dx .Para determinar la convergencia o divergencia de la integral,
¿cuántas integrales impropias deben analizarse? ¿Qué debe
ser verdadero en cada integral para que la integral dada
converja?
Área
En los ejercicios 75 a 78, encontrar el área no acotada de la región sombreada.75. ye x
,
< x
1
76. yln
x77.
La bruja de Agnesi:
78.La bruja de Agnesi:
Área y volumen
En los ejercicios 79 y 80, considerar la región que satisface las desigualdades.a
) Encontrar el área de la región.b
) Encontrar el volumen del sólido generado al girar la región al-rededor del ejex
.c
) Encontrar el volumen del sólido generado al girar la región alrededor del ejey
.79. y e x , y 0, x 0 80. y 1 y 0, x 1
x 2,
81.
Longitud de arco Dibujar la grá
ca del hipocicloide de cuatro
cúspides
x23 y234 y encontrar su perímetro.
82.
Longitud de arco Encontrar la longitud de arco de la grá
ca
de
y 16 x 2sobre el intervalo [0, 4].
83.
Área de una super
cie La región acotada por (
x2)
2 y2
1 se gira alrededor del eje
ypara formar un toro. Encontrar
el área de la super
cie del toro.
0 4 x
x 6
dx
3 1 x x 2 9dx
1 1 x ln x dx
5 1 x x 2 25dx
1 x 2 dx
1 2e x x dx
2 1 3 x
x 1
dx
1 1 x 2 5dx
1 1 x 5dx
1 0 1 x 5dx 1sen x
2 1 x ln x dx
0 1 e x x dx
1 1 x
x 1
dx
2 1 x 1dx
0 x 4e x dx
1 0 1 5 x dx 1 2 3 4 1 2 3 x y −1 −2 −3 1 1 −1 2 3 y x y x −2 −4 −6 2 4 6 −2 −4 −6 4 6 −1 −2 −3 1 2 3 −1 −2 −3 2 3 y x y 8 x 24 y 1 x 21SECCIÓN 8.8
Integrales impropias
58984.
Área de una super
cie Encontrar el área de la super
cie
formada al girar la grá
ca de
y2e xen el intervalo [0,
)
alrededor del eje
x.
Propulsión
En los ejercicios 85 y 86, usar el peso del cohete para contestar cada pregunta. (Usar 4 000 millas como el radio de la Tierra y no considerar el efecto de la resistencia al aire.)a
) ¿Cuánto trabajo se requiere para propulsar el cohete a una distancia innita fuera de la supercie de la Tierra?b
) ¿Qué tan lejos ha viajado el cohete cuando la mitad del trabajo total ha ocurrido?85.
Cohete de 5 toneladas
86.Cohete de 10 toneladas
Probabilidad
Una función no negativaƒ
se llamafunción de
densidad de probabilidad
si
f
t
dt1.La probabilidad de que
x
quede entrea
yb
está dada porP
a x b
ba
f
t
dt.El valor esperado de
x
está dado porE
x
t f
t
dt.En los ejercicios 87 y 88,
a
) mostrar que la función no negativa es una función de densidad de probabilidad,b
) encontrarP
(0x
4) yc
) encontrarE
(x
). 87. f
t
1 7e t 7, 0, t 0 t < 0 88. f
t
2 5e 2t 5 , 0, t 0 t < 0Costo capitalizado
En los ejercicios 89 y 90, encontrar el costo capitalizadoC
de un recursoa
) paran
5 años,b
) paran
10 años yc
) para siempre. El costo capitalizado está dado porC C 01
n0
c
t
e rt dtdonde
C
0 es la inversión original,t
es el tiempo en años,r
es elinterés compuesto continuo del interés anual y
c
(t
) es el costo anual de mantenimiento.89. C 0
$650 000
90. C 0$650 000
c
(
t)
$25 000
c(
t)
$25 000(1
0.08
t)
r
0.06
r0.06
91.
Teoría electromagnética El potencial magnético
Pen un punto
en el eje de un circuito circular está dado por
P2 NIr k
c 1
r 2 x 2
32dxdonde
N,
I,
r,
ky
cson las constantes. Encontrar
P.
92.
Fuerza gravitacional Una varilla uniforme “semiinfinita”
ocupa el eje
xno negativo. La varilla tiene una densidad lineal
la cual mide un segmento de longitud
dxque tiene una masa
de
dx. Una partícula de masa
Mse localiza en el punto (
a, 0).
La fuerza gravitatoria
Fque la varilla ejerce en la masa está dada
por
F
0
GM
a x
2dx ,donde
Ges la constante gravitatoria.
Encontrar
F.
¿Verdadero o falso?
En los ejercicios 93 a 96, determinar si la armación es verdadera o falsa. Si es falsa, explicar por qué o dar un ejemplo que demuestre que es falso.93.
Si
ƒes continua en [0,
) y
x →
lím f
x
0,entonces
0 f
x
dxconverge.
94.
Si
ƒes continua en [0,
) y
0 f
x
dxdiverge, entonces
x → lím f
x
0. 95.Si
ƒ ′es continua en [0,
) y
x → lím f
x
0,entonces,
0 f
x
dx f
0
.96.
Si la grá
ca de
ƒes simétrica con respecto al origen o al eje
y,
entonces
0 f
x
dxconverge si y sólo si
f
x
dxcon-verge.
97. a) Demostrar que
sen x dxdiverge.
b) Demostrar que
a→
a a límsen
x dx0.
c
) ¿Qué indican los incisos
a) y
b) acerca de la de
nición de
integrales impropias?
98.
Para cada integral, encontrar el número real no negativo
b
que haga que la integral sea impropia. Explicar el
ra-zonamiento.
a
)
b)
c
)
d)
e
)
f)
99. Redacción
a
) Las integrales impropias
1 1 x 2dx
1 1 x dx ydivergen y convergen, respectivamente. Describir las
diferencias esenciales entre los integrandos que son causa
del distinto comportamiento.
b
) Dibujar una grá
ca de la función
y sen
x
xsobre el
intervalo (1,
). Usar el conocimiento de la integral
de
nida para inferir si la integral
1 x dxsen x
converge o no. Dar las razones de la respuesta.
c
) Usar una iteración de integración por partes en la integral
en el inciso
b) para determinar su divergencia o
conver-gencia.
b 0 tan 2 x dx
b 0 x x 2 7 x 12dx
b 0 1 x 2 9dx
b 0 cos x dx
10 b ln x dx
b 0 1 4 x dx 1sen x590
CAPÍTULO 8
Técnicas de integración, regla de L’Hôpital e integrales impropias
100. Exploración
Considerar la integral
20
4
1
tan x
ndxdonde
nes un entero positivo.
a
) ¿La integral es impropia? Explicar.
b
) Usar una para hacer la grá
ca del integrando para
n2,
4, 8 y 12.
c
) Usar las grá
cas para aproximar la integral como
n→.
d
) Usar un sistema algebraico por computadora para evaluar
la integral para los valores de
nen el apartado
b). Hacer
una conjetura sobre el valor de la integral para cualquier
entero positivo
n. Comparar los resultados con la respuesta
en el apartado
c).
101. Función gamma
La función gamma
Γ (n) se dene porn > 0.
n
0 x n1e x dx , a) EncontrarΓ (1),Γ (2) yΓ (3).b) Usar la integración por partes para mostrar queΓ (n 1)
nΓ (n).
c) Escribir Γ (n) usando notación factorial donde n es un
entero positivo. 102. Demostrar que I n
n1 n2
I n1, donde n 1. I n
0 x 2n1 x 21n3dx , Entonces evaluar cada integral.a) b)
c)
Transformada de Laplace Sea ƒ (t ) una función denida para todos los valores positivos de t . La transformada de Laplace de f (t ) se dene por
F s
0
e st f t dt
si la integral impropia existe. Se usa la transformada de Laplace para resolver las ecuaciones diferenciales. En los ejercicios 103 a 110, encontrar la transformada de Laplace de la función.
103. 104.
105. 106.
107. 108.
109. 110.
111. Probabilidad normal La altura media de hombres estadouni-denses entre 20 y 29 años de edad es 70 pulgadas, y la desvia-ción estándar es 3 pulgadas. Un hombre de 20 a 29 años de edad es elegido al azar de entre la población. La probabilidad de que sea de 6 pies de alto o más es
P72 x <
72 1 3 2 e x 70218 dx .(Fuente: National Center for Health Statistics)
a) Usar una herramienta de gracación para representar grácamente el integrando. Usar la herramienta de
gra-cación para vericar que el área entre el eje x y el inte-grando es 1.
b) Usar una herramienta de graficación para aproximar
P(72 x<).
c) Aproximar 0.5P(70 x 72) usando una
herramien-ta de gracación. Usar la gráca en el inciso a) para ex-plicar por qué este resultado es igual a la respuesta del incisob).
112. a) Dibujar el semicírculo y 4 x 2.
b) Explicar por qué
2 2 2 dx 4 x 2
2 2 4 x 2dx sin evaluar cualquier integral. 113. ¿Para qué valor dec la integral converge?
0
1 x 21 c x 1
dxEvaluar la integral para este valor dec. 114. ¿Para qué valor dec la integral converge?
1
cx x 2 2 1 3 x
dxEvaluar la integral para este valor dec.
115. Volumen Encontrar el volumen del sólido generado al girar la región acotada por la gráca deƒ alrededor del eje x.
f x
x ln x ,0,
0 < x 2
x 0
116. Volumen Encontrar el volumen del sólido generado al girar la región no acotada que queda entre y ln x y el eje y
( y 0) alrededor del eje x.
u-Sustitución En los ejercicios 117 y 118, volver a escribir la integral impropia como una integral propia usando la sustitución de u dada. Entonces usar la regla de los trapecios con n 5 para aproximar la integral.
117. 118.
119. a) Usar una herramienta de gracación para representar grácamente la función ye x2.
b) Mostrar que
0 e x 2 dx
1 0 ln y dy. 120. Sea
f x dx convergente y seana yb los números reales dondeab. Mostrar que
a f x dx
a f x dx
b f x dx
b f x dx .
0 x 5 x 216dx
0 x x 2 14dx
0 x 3 x 2 15dx f t cosh at f t cos at f t t 2 f t 1 f t eat f t t f t sen at f t senh at u 1 x
1 0 cos x 1 x dx , u x
1 0 x dx , sen x CAS102 Chapter 7 Integration Techniques, L’Hôpital’s Rule, and Improper Integrals
89. False. L’Hôpital’s Rule does not apply since
lim x→0 x2 x1 x xlim→0
x 1 1 x
1 lim x→0 x 2 x10. 91. True 93. (a) (b) Area of sector: Shaded area: (c) (d) lim →0 cos cos 2 1cos 2 lim→0 sin 2 sin 2 2 sin 2 lim→0 cos 4 cos 2 4 cos 2 3 4 lim →0 R lim →0 sin 1
2sin 2 1
2 sin 2R 1
2 sin 1
2 sin cos1
2 1
2 sin cos sin sin cos sin cos 1 2 AreaOBD 1 2 1 2cos sin 1 2 1 2 sin cos 1 2 Area ABD1 2bh 1 21 cos sin 1 2 sin 1 2 sin cos cos DO ⇒ AD1cos
sin BD
95.
As and hence Thus, lim x→a f x g x 0. y0. x→a, ln y ⇒ , lim x→a g x ln f x ln yg x ln f x y f x g x lim x→a f x g x 97. ut b ⇒ dudt dv f t dt ⇒ v f t f ab a f aab
f t
b a f b f a f ab a
b a f t t b dt f aba
f t t b
b a
b a f t dt
Section 7.8
Improper Integrals
1. Infinite discontinuity at Converges lim b→0
4 2 b
4 lim b→0
2 x
4 b
4 0 1 xdx lim b→0
4 b 1 xdx x0.Section 7.8 Improper Integrals 103 3. Infinite discontinuity at Diverges lim b→1
1 x1
b 0 lim c→1
1 x1
2 c 11 lim b→1
b 0 1 x12 dx lim c→1
2 c 1 x12 dx
2 0 1 x12 dx
1 0 1 x12 dx
2 1 1 x12 dx x1.5. Infinite limit of integration.
Converges lim b→
e x
b 0 011
0 e xdx lim b→
b 0 e xdx 7.because the integrand is not d efined at Diverges x0.
1 1 1 x2 dx 2 9. lim b→
1 x
b 1 1
1 1 x2 dx lim b→
b 1 1 x2 dx 11. Diverges lim b→
9 2 x 23
b 1
1 3 3 xdxblim→
b 1 3 x13 dx 13. (Integration by parts) Diverges lim b→ 1 4
2 x1e 2 x
0 b lim b→ 1 41 2b1e 2b
0 xe2 xdx lim b→
0 b xe2 xdx 15.Since lim by L’Hôpital’s Rule.
b→
b 2 2b2 eb
0
0 x2 e xdx lim b→
b 0 x2 e xdx lim b→
e x x2 2 x2
b 0 lim b→
b 2 2b2 eb 2
2 17. 1 201 1 2
0 e x cos x dx lim b→ 1 2
e xcos xsin x
b 0 21.
0
2
2 0
lim b→
arctan
x 2
0 b lim c→
arctan
x 2
c 0 lim b→
0 b 2 4 x2 dx lim c→
c 0 2 4 x2 dx
2 4 x2 dx
0 2 4 x2 dx
0 2 4 x2 dx 19. 1 2 1 2 ln 22 1 8ln 22 1 2ln b 2 1 2ln 4 2 lim b→
1 2ln x 2
b 4
4 1 xln x3 dx lim b→
b 4 ln x31 x dx104 Chapter 7 Integration Techniques, L’Hôpital’s Rule, and Improper Integrals 23. 2 4 4 lim b→
arctane x
b 0
0 1 e x e x dxblim→
b 0 e x 1e2 x dx 25.Diverges since sin xdoes not approach a limit as x→.
0 cos x dx lim b→
1 sin x
b 0 27. Diverges
1 0 1 x2 dx lim b→0
1 x
1 b 1 29.
8 0 1 3 8 xdx lim b→8
b 0 1 3 8 xdx lim b→8
3 2 8 x 23
b 0 631. since lim by L’Hôpital’s Rule.
b→0b 2 ln b0
1 0 x ln x dx lim b→0
x2 2 ln
x
x2 4
1 b lim b→0
1 4 b2 ln b 2 b2 4
1 4 33. Diverges
2 0 tan d lim b→ 2
ln
sec
b 0 35. 3 0 3 lim b→2
arcsec 2 arcsec
b 2
lim b→2
arcsec
x 2
4 b
4 2 2 x x2 4dxblim→2
4 b 2 x x2 4dx 37. ln
2 3
1.317 ln
4 2 3
ln 2
4 2 1 x2 4 lim b→2
ln
x x2 4
4 b 39. 3 2 3 20 lim b→1
3 2 x1 23
b 0 lim c→1
3 2 x1 23
2 c
2 0 1 3 x1dx
1 0 1 3 x1dx
2 1 1 3 x1dx 41. Let Thus, 8 2 6 2 6 3 .
8 6 arctan
1 6
8 60
8 6 2 8 6 arctan
1 6
0 4 x x6dx lim b→0
8 6 arctan
x 6
1 b lim c→
8 6 arctan
x 6
c 1 8 6 arctan
4 6
C 8 6 arctan
x 6
C
4 x x6 dx
42u du uu268
du u26 u x, u2 x, 2u dudx.
0 4 x x6 dx
1 0 4 x x6 dx
1 4 x x6 dxSection 7.8 Improper Integrals 105
43. If
Diverges. For
This converges to 1 if 1 p < 0 or p > 1.
p1
1 1 x p dxblim→
x1 p 1 p
b 1 lim b→
b1 p 1 p 1 1 p
. p1, p1,
1 1 x dxblim→
b 1 1 x dxblim→ ln x
b 1. 45. For we have (L’Hôpital’s Rule) Assume that converges. Then for we haveby parts Thus, which converges. 0n1
0 xne xdx,
0 xn1 e xdx lim b→
xn1 e x
b 0 n1
0 xne xdx u xn1 , dun1 xndx, dve xdx, v e x.
xn1 e xdx xn1 e xn1
xne xdx n1
0 xne xdx lim b→
b eb 1 eb 1
1 lim b→ ebbeb1 Parts: u x, dve xdx lim b→
e x xe x
b 0
0 xe xdx lim b→
b 0 xe xdx n 1 47. diverges. (See Exercise 44, p3 1.
1 0 1 x3 dx 49. converges. (See Exercise 43, p3.
1 1 x3 dx 1 31 1 251. Since on and converges by Exercise 43,
converges. 1 1 x2 5 dx
1 1 x2 dx 1, 1 x2 5 ≤ 1 x253. Since on and diverges by Exercise 43,
diverges. 2 1 3 x x1dx
2 1 3 x2dx 2, 1 3 x x1 ≥ 1 3 x255. Since on and converges (see Exercise 5),
converges. 0 e x2 dx
0 e xdx 1, e x2 ≤ e x57. Answers will vary. See pages 540, 543. 59.
These two integrals diverge by Exercise 44.
1 1 1 x3 dx
0 1 1 x3 dx
1 0 1 x3 dx 61. F s
0 e st dx lim b→
1 s e st
b 0 1 s, s > 0 f t 1 63. 2 s3, s > 0 F s
0 t 2 e st dx lim b→
1 s3 s 2 t 2 2 st 2e st
b 0 f t t 2106 Chapter 7 Integration Techniques, L’Hôpital’s Rule, and Improper Integrals 65. 0 s s2 a2 s s2 a2, s > 0 lim b→
e st s2a2 s cos at a sin at
b 0 F s
0 e st cos at dt f t cos at 67. 1 2
1 sa 1 sa
s s2 a2, s >
a
lim b→ 1 2
1 sae t sa 1 sae t sa
b 0 0 1 2
1 sa 1 sa
F s
0 e st cosh at dt
0 e st
e at eat 2
dt 1 2
0
et sa et sa
dt f t cosh at 69. (a) lim b→
e x
b 0 011 A
0 e xdx (b) Disk: lim b→
1 2e 2 x
b 0 2 V
0 e x2 dx (c) Shell: lim b→
2
e x x1
b 0
2 V 2
0 xe xdx 71. x −8 −2 2 2 8 8 −8 y (0, 8) (8, 0) (0,−8) (−8, 0) s4
8 0 2 x13 dx lim b→0
8 3 2 x 23
8 b 48 1 y 2
1 y 23 x23
x23 y23 x23
4 x23 2 x1/3 y y 13 x13 2 3 x 132 3 y 13 y 0 x23 y23 475. (a) (c) 077
0 t
1 7e t 7
dt lim b→
tet 7 7et 7
b 0
1 7e t 7 dt
0 1 7e t 7 dt lim b→
et 7
b 0 1 (b)
0.435343.53%
4 0 1 7e t 7 dt
et 7
4 0 et 7 1 77. (a) (b) (c) 650,000 lim b→
25,000 0.06 e 0.06t
b 0
$1,066,666.67 C 650,000
0 25,000e0.06t dt C 650,000
10 0 25,000e0.06t dt
$837,995.15 650,000
25,000 0.06 e 0.06t
5 0
$757,992.41 C 650,000
5 0 25,000 e0.06t dt 79. Let Hence, k a2
1 1 a2 1
k
a 2 11
a2 a2 1 . P k
1 1 a2 x232 dx k a2 lim b→
x a2 x2
b 1 1 a2 sin 1 a2 x a2 x2
1 a2 x232 dx
a sec2 d a3 sec3 1 a2
cosd θ 2 2 x a a +x a2 x2 a sec . dxa sec2 d , xa tan , 73. (a) (b) (c) nn1! u xn, dve xdx n1
0 xne xdx lim b→
xne x
b 0 lim b→n
b 0 xn1 e xdx0 nn 3
0 x2 e xdx lim b→
x2 e x 2 xe x2e x
b 0 2 2
0 xe xdx lim b→
e x x1
b 0 1 1
0 e xdx lim b→
e x
b 0 1 n
0 xn1 e xdx 81.You must analyze three improper integrals, and each must converge in order for the original integral to converge.
3 0 f x dx
1 0 f x dx
2 1 f x dx
3 2 f x dx 10 x2 2 x 10 x x2 ⇒ x0, 2.83. For . For n > 1, (a) (b) (c)
0 x5 x2 16 2 5
0 x3 x2 15 dx 2 5
1 24
1 60
0 x3 x2 15 dx 1 4
0 x x2 14 dx 1 4
1 6
1 24
0 x x2 14 dx lim b→
1 6 x2 13
b 0 1 6 u x2n2 , du2n2 x2n3 dx, dv x x2 1n3 dx, v 1 2n2 x2 1n2 lim b→
x2n2 2n 2 x2 1n 2
b 0 n 1 n 2
0 x2n3 x2 1n2 dx0 n1 n2 I n1 I n
0 x2n1 x2 1n3 dx lim b→
1 6 1 x2 13
b 0 1 6 I 1
0 x x2 14 dx lim b→ 1 2
b 0 x2 14 2 x dx n 1,85. False. is continuous on but Diverges
0 1 x1 dxblim→
ln
x1
b 0. 0,, lim x→ 1 x10, f x1 x1 87. TrueReview Exercises for Chapter 7
1. 1 3 x 2 132 C 1 2 x2 132 32 C
x x2 1 dx1 2
x 2 112 2 x dx 3. 1 2 ln
x 2 1
C
x x2 1 dx 1 2
2 x x2 1 dx 5.
ln2 x x dx ln 2 x2 2 C 7.
16 16 x2 dx16 arcsin
x 4
C108 Chapter 7 Integration Techniques, L’Hôpital’s Rule, and Improper Integrals
9. (1) (2) ue2 x ⇒ du2e2 xdx ue2 x ⇒ du2e2 xdx dvcos 3 x dx ⇒ v 1 3 sin 3 x dvsin 3 x dx ⇒ v 1 3 cos 3 x
