dinamica-movimientocoordenadascilindricas.docx

1. El juego mecánico que se muestra en la figura 12-32a consiste en una silla que gira en una trayectoria circular horizontal de radio r, de modo que la velocidad angular y la aceleración angular del brazo OB son ´θ

y

´θ

,

respectivamente. Determine las componentes radial y transversal de la velocidad y aceleración del pasajero, cuya estatura no se toma en cuenta en el cálculo.

r=r ´r=0 ´r=0

v_r=´r=0 v_θ=r ´θ

ar=´r −r ´θ2=r ´θ2 a_θ=r ´θ+2 ´r ´θ=r ´θ

2. La barra OA en la figura 12-33a gira en el plano horizontal de modo que ´θ=(t3) rad. Al mismo tiempo, el collar B se desliza hacia fuera a lo largo de OA de modo que

r=(100 t2_{) mm. Si en ambos casos t está en segundos, determine la velocidad y} aceleración del collar cuando t =1 s.

v =´r ur+´r uθ´θ v =200ur+100 (3)uθ=

[

200 ur+300 uθ

]

mm/ s La magnitud de v es: v =

√

(200)2+(300)2=361 mm/s

(

300 200

)

=¿56.3 ° δ=tan−1¿ δ+57.3°

Como se muestra en la figura 12-33(c):

La magnitud de a es:

a=

√

(700 )2+(1800)2=1930 mm/s2

φ=tan−1

(

1800

3. El faro buscador en la figura 12-34a emite un rayo de luz a lo largo de un muro situado a 100 m. Determine las magnitudes de la velocidad y aceleración a las cuales el rayo de luz parece viajar a través del muro en el instante θ=¿ 45°. El faro buscador gira a una velocidad constante de ´θ=4rad/ s

r=100 /cos θ=100 secθ Velocidad y aceleración ´ r=100 (sec θ tan θ)´θ ´

r=100 ( secθ tanθ ) ´θ+ 100 sec θ

(

sec θ2

)

´θ

(

´θ

)

+100 sec θ tan θ(´θ) ´

r=100 secθ tanθ2(´θ)2+100 secθ3(θ)2+100(sec θ tan θ)´θ

Remplazamos ´θ=4rad/ s : r=100 sec(45 °)=141.4 ´

r=100 ( sec 45 ° tan 45 °)=565.7

´

r=1600

(

sec 45 ° tan245 °+sec345 °

)

=6788.2

v =´r u_r+r ´θ u_θ

v =(565.7 ur+565.7uθ)m/s v =

√

(565.7)2_+(565.7)2_{=800 m/s}

Como se muestra en la figura 12-34c

a=

(

´r−r ´θ2

)

ur+

(

rθ−2 ´r ´θ´ 2

₎

uθ a=

[

6788.2−141.4 (4)2

]

ur+

[

141.4 ( 0)+2(4525.5) 2

_]

uθ a=

√

(4525.5)2+(4525.5)2=6400m/ s2

4. Debido a la rotación de la barra ahorquillada, la bola en la figura 12-35a se mueve alrededor de una trayectoria ranurada, una parte de la cual tiene la forma de un cardioide, r=0.5(1−cos θ) pies, donde θ _{está en radianes. Si la} velocidad de la bola es v=4 pies/s y su aceleración es a=30 pies/ s2 en el instante θ=¿ 180°, determine la velocidad angular. ´θ y la aceleración angular. ´θ de la horquilla.

Velocidad y aceleración: r=0.5(1−cos θ) ´ r=0.5(sin θ)´θ ´ r=0.5(cos θ) ´θ

(

´θ

)

+0.5(sin θ) Evaluando cuando θ=180 °

r=1 pie ´r=0 _´r=−0.5´θ2

Como v =4 pies/ s reemplazamos:

v =

√

( ´r )2+(r ´θ)2 4=

√

(0)2+(1 ´θ)2 ´θ=4rad/ s

Del mismo modo, ´θ se determina con la ecuación 12-30 a=

√

(´r−r ´θ2 )2+(r ´θ+2 ´r ´θ)2 30=

√

(−0.5( 4)2−1 (4 )2)2+(1 ´θ+2(0 )( 4))2 −24 ¿ ¿ (30)2=¿ ´θ=18 rad /s2

5. El brazo OA ranurado gira hacia la izquierda sobre O con una velocidad angular constante de ´θ .El movimiento de pin B está restringido de tal manera que se mueve en la circular fija de la superficie y a lo largo de la ranura en la OA. Determinar las magnitudes de la velocidad y la aceleración del pasador B como una función de θ .

Derivados del tiempo: r=2 a cos θ

´

r=−2 a sin θ ´θ

´

r=−2 a

[

cos θ ´θ ´θ+sin θ ´θ

]

=−2 a

[

cos θ ´θ2+sin θ ´θ

]

Si ´θ es constante, ´θ=0.entones ´ r=−2 a cos θ ´θ2 Velocidad: v_r=´r=−2 a sin θ ´θ v_θ=´r θ=2 a cos θ ´θ v =

√

v_r2 +v_θ2

=

√

(−2a sin θ ´θ)2_{+(2 a cosθ ´θ)}2

=

√

4 a2_θ2_(sin2_{θ +cos}2_{θ)=2 a ´θ}

Aceleracion:

ar=´r −r ´θ2=−2a cos θ ´θ2−2 a cos ´θ2θ=−4 a cos θ ´θ2 a_θ=r ´θ+2 ´r ´θ=2

(

−2 a sin θ ´θ

)

´θ=−4 a sin θ ´θ2

6. Un coche se desplaza a lo largo de la curva circular de radio r=400 pies con una

velocidad constante de v =30 pies/ s . Determinar la velocidad angular de rotación de la

línea radial R y la magnitud de la aceleración del automóvil.

r=400 ´r=0 ´r=0 vr=r=0 vθ=rθ=400(θ) θ 400 ´¿ ¿ ¿2 ¿ (0)2 +¿ v=√¿ θ=0.075rad /s ´θ=0 ar=´r −r ´θ 2 =0−400 (0.075)2=−2.25 pies/s2 aθ=rθ+2 ´r θ=400 (0)+2 (0)( 0,075)=0 a=

√

(−2.25)2+(0)2=2.25 pies /s2

7. Partiendo del reposo , el niño corre hacia el exterior en el dirección radial desde el centro de la plataforma con una aceleración constante de 0.5 m/s2 . Si la plataforma está girando a una velocidad constante ´θ=0.2rad /s , determine loscomponentes radial y transversales de la velocidad y la aceleración de el niño cuando t = 3 s . Descuidar su tamaño

Velocidad: t=3 s ,posicion del niño s=

(

s0

)

r+

(

v0

)

rt+ 1 2

(

ac

)

rt 2 r=0+0+1₂(0.5) (9)=2.25 m

El componente radial de velocidad esta dada por :

vr=

(

v0

)

r+

(

ac

)

rt=0+0.5 (3)=1.5 m/ s

El componente velocidad transverso del niño :

v_θ=r ´θ=2.25 (0.2)=0.45 m/ s Aceleracion : ar=´r −r ´θ 2 =0.5−2.25(0.2)2=0.41 m/ s2 aθ=rθ+2 ´r θ=2.25 (0 )+2 (1.5) (0.2)=0.6 m/ s2 .

8. Si la leva gira en sentido horario a una velocidad angular constante de ´θ=¿ 5 rad/s, determine las magnitudes de la velocidad y aceleración del seguidor AB en el instante θ=¿ 30°. La superficie de la leva tiene la forma de limaçon definida por

r=(200+100 cos θ) ´r=

(

−100 sin ´θ θ

)

mm/ s2 ´r=−100(sin θ´θ+cosθ ´θ2) Cuando θ=30 ° r=(200+100cos 30°)=286.6 mm ´r=

(

−100 sin 30 °(5 )

)

=−250 mm/s ´r=−100

[

sin 30° (6 )+cos 30° (25)

]

=−2465.1 mm Velocidad : vr=´r=−250 mm /s Aceleracion : ar=´r −r ´θ 2 =−2465.1−286.6 (25)=−9630 mm /s2

9. El automóvil desciende de un estacionamiento por una rampa espiral cilíndrica a una rapidez constante de v=1.5 m/s. Si la rampa desciende una distancia de 12 m por cada revolución completa, θ=2 π rad , determine la magnitud de la aceleración del automóvil a medida que desciende por la rampa, r=10 m. Sugerencia: para una parte de la solución, observe que la tangente a la rampa en cualquier punto forma un ángulo β=tan−1(

_[

_{2 π (10)}12

_]

)=10.81° con la horizontal. Utilícelo para determinar las

componentes de velocidad vθ y vz , que a su vez se utilizan para determinar ´θ y ´z v_r=0 v_θ=1.5cos 10.81°=1.473 m/s v_z=−1.5 sin 10.81°=−0.2814 m/ s Si : r=10 ´r=0 ´r=0 vθ=r ´θ=1.473 θ= 1.473 10 =0.1473 Si : θ=0 ar=r −´r θ2=0−10 (0.1473)=0 aθ=´r ´θ+2rθ=10 (0 )+2 (0) (0.1473)=0 az=´z=0 a=

√

(−0.217)2+(0)2+(0)2=0.217 m/s2

10. La caja desciende por una rampa helicoidal definida por r=0.5 m, θ=

(

0.5 t3

)

rad , y z=

(

2−0.2t2

)

_{, donde t está en segundos. Determine las magnitudes de la velocidad}

r=0.5 m ´r=´r=0 ´θ=

(

1.5t2

)

rad /s ´θ=9t rad/s2 z=2−0.2t2 ´_{z=−0.4 t m/ s ´z=−0.4m/s}2 Cuando θ=2 π rad : 2 π =0.5 t3 t=2.325 s Si t=2.325 s : ´θ=

[

1.5 (2.325)2

]

=8.108 rad /s ´θ=9(2.325 )=6.975 rad/s2 ´z=−0.4 t=−0.4 (2.325)=−0.92996 m/s v =

√

vr 2 +v_θ2+v_z2=

√

(0)2+(4.05385)2+(−0.92996)2=4.16 m/s Aceleracion : ar=´r −r ´θ 2 =0−0.5 (5.108)2=−32.867 m/s2 aθ=r ´θ+2 ´r ´θ=0.5 (6.975)+2 (0)(8.108 ) 2 =3.487 m/s2 az=´z=−0.4 m/s2 a=

√

ar 2 +a_θ2 +a_z2 =

√

(−32.867)2_+(3,487)2_+(−0.4)2_=33.2 Ejercisios propuestos

1. El pasador B de 100 g se desliza a lo largo de la ranura en elbrazo rotatorio OC y a lo largo de la ranura DE, la cual se cortó en una placa horizontal fija. Si se ignora la fricción y se sabe que el brazo OC gira a una razón constante ´θ0=¿ 12 rad/s, determine para cualquier valor dado de .ϴ

a) las componentes radial y transversal de la fuerza resultante F que se ejerce sobre el pasador B, b) las fuerzas P y Q ejercidas sobre el pasador B por el brazo OC y la pared de la ranura DE, respectivamente.

2. El deslizador C tiene un peso de 0.5 lb y puede

moverse por

una ranura cortada en un brazo AB, el cual gira a razón constante ´θ0=¿ 10 rad/s en un plano

horizontal. El deslizador se encuentra unido a un resorte con razón constante k =2.5lb/ ft _{que se encuentra sin estirar cuando} r=0 _{.Si el deslizador se} suelta desde el reposo sin velocidad radial en la posición r=18∈. y no se toma en cuenta la fricción,

determine para la posición r=12∈. _{, a) las} componentes radial y

transversal de la velocidad del

deslizador, b) las

componentes radial y

transversal de su aceleración, c) la fuerza horizontal ejercida sobre el deslizador por el brazo AB.

3.

Un collarín de

3 lb

puede deslizarse sobre una varilla horizontal la

cual gira libremente alrededor de un eje vertical. El collarín se

sostiene inicialmente en A mediante una cuerda unida al eje y

comprime un resorte con una constante de 2 lb/ft, el cual está sin

deformar cuando el collarín se localiza en A. Cuando el eje gira a la

tasa

´θ=16 rad/s

, la cuerda se corta y el collarín se mueve hacia

fuera a lo largo de la varilla. Si se desprecia la fricción y la masa de la

varilla, determine a) las componentes radial y transversal de la

aceleración del collarín en A, b) la aceleración del collarín relativa a la

varilla en A, c) la componente transversal de la velocidad del collarín

en B.

4. Un avion vuela hacia el oeste con una velocidad consante de 480 km/h a una altitud constante de 1500 m. La proyeccion sobre el suelo de la trayectoria del avion pasa 900m al norte de un radar seguidor.Determinar la celeridades y aceleraciones de rotacion ´θ ,Ӫ ´ϕ , ´yϕ que hay que dar a la antena para seguir al avion cuando éste esté 1800 m al este de la estacion del radar.

5. La grúa gira en torno al eje CD a la razón constante de 3 rad/min. Al mismo tiempo, el aguilón AB de 20 m de largo va descendiendo a la razón constante de de 5 rad/min. Calcular la velocidad y aceleración del punto B cuando �=30°.

6. Un avion vuela hacia el oeste con una velocidad consante de 100 m/s a una altitud constante de 1500 m. La proyeccion sobre el suelo de la trayectoria del avion pasa 2km al norte de una estacion de radar .Determinar la celeridades y aceleraciones de rotacion ´θ ,Ӫ ´ϕ , ´yϕ que hay que dar a la antena para seguir al avion cuando éste esté en el mismo meridiano que la estacion del radar .

7. El doble anillo liso de 0.5 kg puede deslizarse libremente sobre el

brazo AB y la barra gu´ıa circular. Si el brazo gira a un velocidad angular constante de ´θ = 3rad /s, determine la fuerza que el brazo ejerce sobre el anillo en el instante θ = 45° . El movimiento ocurre

en el plano horizontal.

8. El cilindro C liso de 2 kg tiene un pasador P a traves de s u

centro el cual pasa por la ranura en el brazo OA. Si se hace que el brazo gire en el plano vertical a una razón constante ´θ = 0.5rad /s,determine la fuerza que ejerce el brazo sobre la clavija en el instante θ = 60°.

9. Una lata C de 0.5 kg de masa se mueve a lo largo de una ranura horizontal. La ranura tiene la forma de una espiral, la cual esta definida por la ecuacion r = (0.1θ)m, donde θ esta en radianes. Si el brazo OA gira a una velocidad constante ´θ=¿

4rad /s en el plano horizontal, determine la fuerza que ejerce en la lata en el instante θ = π rad. Ignore la fricci ´on y el tamano de la lata.