Apuntes de Clase de Concreto Armado i

UNIVERSIDAD NACIONAL DE HUANCAVELICA

FACULTAD DE INGENIERÍA MINAS CIVIL

ESCUELA ACADÉMICA PROFESIONAL DE INGENIERÍA CIVIL

DISEÑO DE ESCALERAS DE UN EDIFICIO DE 5 NIVELES DE

CONCRETO ARMADO PARA UNA CENTRAL TELEFONICA

PRESENTADO POR:

BOZA HUAYA AMERICO

CODIGO :

2009152049

CATEDRA :

CONCRETO ARMADO I

CATEDRATICO :

ING. URIEL NEIRA CALSIN

CICLO : IX

LIRCAY - PERU JULIO – 2014

A MIS PADRES, HERMANAS Y HERMANOS POR TODO EL APOYO Y COMPRENSION QUE ME BRINDAN DURANTE TODOS ESTOS AÑOS

INDICE

CAPITULO 1 : INTRODUCCION

Objetivos del presente trabajo………4

Arquitectura del proyecto ………..4

Normas y cragas de diseño ………..5

CAPITULO 2 : ESTRUCTURACION Criterios de Estructuración ……….…….…. 6

Estructuración del edificio ……….……8

CAPITULO 3 : PREDIMENSIONAMIENTO Losas aligeradas ……….10 Losas macizas ………...13 Vigas principales ………..15 Vigas chatas ……….19 Columnas ………..…19

Resumen general de todas las columnas ………..35

Elementos estructurales predimencionados ………..….…...36

CONCLUSIONES ……….37

SUGERENCIAS ………..……….……38

CONCRETO ARMADO I

I. PREDIMENSIONAMIENTO DE LOSA ALIGERADA  Losa aligerada con una viga “T”

PREDIMENSIONAMIENTO DE LOSA MACIZA

 Considerar el sentido dela losa a menor luz EJEMPLO:

LOSA MACIZA: LOSA ALIGERADA:

ℎ = 𝐿 25~ 𝐿 30  ℎ = 5 25= 0.20  ℎ = 5 30= 0.17

ℎ =

𝐿

20

~

𝐿

25

ℎ = 𝐿 25~ 𝐿 30 ℎ = 𝐿 20~ 𝐿 25  ℎ = 5 20= 0.25  ℎ = 5 25= 0.20  Usar h=0.20

II. PREDIMENSIONAMIENTO DE VIGAS

LOSAS ALIGERADAS h según ACI

30X30Xh h Luces < 4m h = 12cm Luces 4.50 – 5.50 h = 15cm Luces 5.50 – 6.50 h = 20cm Luces 6.50 – 7.50 h = 30cm PREDIMENSIONAMIENTO DE VIGAS: a) VIGAS SIMPLEMENTE APOYADAS:

ℎ =

𝐿

16

b) VIGAS CONTINUA EN UN EXTREMO:

ℎ =

𝐿

18.5

c) VIGAS CONTINUA EN AMBOS EXTREMOS:

ℎ =

𝐿 25 d) VIGAS EN VOLADIZO:

ℎ =

𝐿 8 RECOMENDACIÓN PRÁCTICO: Dónde:  d = peralte efectivo  b= base de la viga

 h=altura de la viga o peralte ℎ = 𝐿

1. PARA ANCHOS INTERIORES:

Dónde:

 B = ancho tributario

2. PARA ANCHOS PERIMETRAL:

Dónde:  B = ancho tributario 𝑏 = 𝐵 20 𝑏 = 𝐵 20𝑥 1.20  ℎ = 4 12= 0.33  ℎ =4.5 12 = 0.38 Usar h=0.40 m ℎ = 𝑑 +∅ 2+ 𝑟

III. PREDIMENSIONAMIENTO Y METRADOS DE CARGAS

EJEMPLO: 01

A. EDIFICIO DE DE CONCRETO ARMADO DE 5 NIVELES

 Tabiquería : 120 kg/m2  Acabados : 100kg/m2  s/c de piso típico : 350  sobrecarga de techo:150  f´c= 210kg/cm2  fy = 4200 kg/cm2

 ubicación del lugar : lima

 uso de la edificación: importante  suelos. Flexibles

B. DIMENSIONES DE LAS COLUMNAS

1. COLUMNA EN ESQUINA 2. COLUMNA EN CENTRAL b x h = 1.1 x PG 0.30 x f'c 3. COLUMNA EN LATERAL DONDE: A= area tributaria

W= carga de servicio de todos los niveles sobre la columna b x h = 1.5x PG

0.20 x f'c

b x h = 1.125 x PG

C. PREDIMENSIONAMIENTO DE COLUMNA MÉTODO (ACI)

QUINTO NIVEL ESQUINA C-1

Aportante L (m) A (m) H (m) Nº veces W (kg) Peso (kg)

Losa 2.35 2.85 1 300 2009.25 viga en X 2.35 0.3 0.45 1 2400 761.4 viga en Y 2.85 0.3 0.5 1 2400 1026 Acabados 2.65 3.15 1 100 834.75 Tabiqueria 2.65 3.15 1 120 1001.7 S/Carga 2.65 3.15 1 150 1252.125 Σ Total: 6885.225 b x h = 1.5 x PG 0.2 x f'c

bxh = 245.9008929 cm² NO CUMPLE CON R.N.E

bxh = 625 cm²

bxh = 30 x 30 ¡ mínimo !

QUINTO NIVEL LATERAL C-2

Aportante L (m) B (m) H (m) Nº veces W (kg) Peso (kg)

Losa 2.35 2.85 2 300 4018.5 viga en X 2.35 30 0.45 2 2400 152280 viga en Y 2.85 30 0.5 1 2400 102600 Acabados 3.00 5 1 100 1500 Tabiqueria 3.00 5 1 120 1800 S/Carga 3.00 5 1 150 2250 Σ Total: 264448.5 b x d = 1.25 x PG 0.25 x f'c bxh = 6296.39 cm² SI CUMPLE bxh = 30 x 40 ¡ mínimo !

QUINTO NIVEL LATERAL C-3

Aportante L (m) B (m) H (m) Nº veces W (kg) Peso (kg)

Losa 2.85 2.35 2 300 4018.5 viga en X 2.35 30 0.45 1 2400 76140 viga en Y 2.85 30 0.5 2 2400 205200 Acabados 2.65 6 1 100 1590 Tabiqueria 2.65 6 1 120 1908 S/Carga 2.65 6 1 150 2385 Σ Total: 291241.5 b x d = 1.25 x PG 0.30 x f'c bxh = 6934.32 cm² SI CUMPLE bxh = 0.3 x 0.4 ¡ mínimo !

QUINTO NIVEL CENTRAL C-4

Aportante L (m) B (m) H (m) Nº veces W (kg) Peso (kg)

Losa 2.85 2.35 4 300 8037 viga en X 2.35 30 0.45 2 2400 152280 viga en Y 2.85 30 0.5 2 2400 205200 Acabados 5 6 1 100 3000 Tabiqueria 5 6 1 120 3600 S/Carga 5 6 1 150 4500 Σ Total: 376617 b x d = 1.10 x PG 0.30 x f'c bxh = 8967.07 cm² SI CUMPLE bxh = 0.4 x 0.4 ¡ mínimo !

 CALCULANDO EL PESO DE LA ESTRUCTURA

Aportante PESO AREA LONGITUD Peso (kg)

Losa 300 107.16 32148 viga en X 2400 0.41 9.4 9249.6 viga en Y 2400 0.45 11.4 12312 COLUMNA 2400 1 2.8 6720 Acabados 100 126.69 12669 Tabiqueria 120 126.69 15202.8 S/Carga 50% 75 126.69 9501.75 Σ Total: 97803.15 kg Σ Total: 97.80 tn  Por lo tanto las secciones de las columnas serán los siguientes:

COLUMNA SECCION A SECCION B N° CE COLUMNAS AREA

C-1 0.30 0.30 4 0.36

C-2 0.30 0.40 2 0.24

C-3 0.30 0.40 2 0.24

C-4 0.40 0.40 1 0.16

CALCULO DE FUERZAS LATERALES POR CARGAS ESTÁTICAS EQUIVALENTES Y EL CORTE VASAL

Dónde:

* V = Cortante Basal. * Z = Factor de Zona.

* U = Factor de Uso e Importancia. * S = Factor de Suelo.

* C = Coeficiente de Amplificación Sísmica.

* R = Coeficiente de Reducción de Solicitación Sísmica. * P = Peso Total de Edificación.

* C = Coeficiente de Amplificación sísmica.

* Tp = Periodo que define la Plataforma del Espectro de Suelo. * T = Periodo Fundamental de la Estructura.

* hn = Altura Total de la Edificación en Metros.

* Ct = Coeficiente para Estimar el Periodo de un Edificio.

EJEMPLO 02

Calcular la cortante vasal de una estructura de 5 niveles con los siguientes datos  Uso : biblioteca

 Suelo: flexible

 Sistema estructural: pórtico de concreto armado Datos: PESO TOTAL = 1339.77 Z = 0.4 U = 1.3 S = 1.4 R = 8 hn = 15 Ct = 35 Tp = 0.9

:Porticos de Concreto Armado :Suelo Intermedios (S2)

:Peso de toda la Estructura. :Zona 3

:Edificacion importancia A :flexible

:Coeficiente de reduccion de Solicitaciones Sismicas. :Altura total de Edificio

𝑉 =𝑍.𝑈.𝑆.𝐶 𝑅 xP

𝑇 =

ℎ𝑛

𝐶𝑡

𝐶 = 2.5𝑥 [

𝑇𝑝

𝑇

]

1.25

SOLUCIÓN:  calculando el periodo 𝑇 =ℎ𝑡 𝐶𝑡 𝑇 = 15 35= 0.43 ≥ 0.7𝑠𝑒𝑔 Donde C máx. ≤ 2.5 𝑐 = 2.5 (𝑇𝑃 𝑇 ) ≤ 2.5 𝑐 = 2.5( 0.9 0.43) ≤ 2.5 𝑐 = 5.23 No cumple

Por lo que se considera: 𝑐 = 2.5 Ok  Calculando la cortante vasal

Peso total de la edificación

𝑃 = 88.6 + 98.6 + 99.5 + 102.5 + 102.5 = 𝟒𝟗𝟏. 𝟕𝟎 𝑻𝑵 Remplazando todo los datos se calcula la cortante vasal total

𝑉 =

𝑍. 𝑈. 𝑆. 𝐶

𝑉 =0.4𝑥1.3𝑥1.4𝑥2.5

8 𝑥491.70 𝑉 = 111.86

Si el periodo fundamental es ≥ 0.7seg se aplica la siguiente formula:

Por tanto:

 calculando la cortante vasal por pisos

NIVEL

Pi

Hi

PixHi

PixHi/∑PixHi

Fi

5 NIVEL

88.60

15

1329

0.3069

34.331

4 NIVEL

98.60

12

1183.2

0.2732

30.565

3 NIVEL

99.50

9

895.5

0.2068

23.133

2 NIVEL

102.50

6

615

0.1420

15.887

1 NIVEL

102.50

3

307.5

0.0710

7.944

∑=

P=491.70

4330.20

V=111.860

𝐹𝑖 =

𝑃𝑖𝑥ℎ𝑖

∑

𝑛_𝑖=1

𝑃𝑖𝑥ℎ𝑖

𝑥(𝑣 − 𝑓𝑎) 𝑓𝑎 = 0

𝐹𝑖 =

_∑ 𝑃𝑖𝑥ℎ𝑖 𝑃𝑖𝑥ℎ𝑖 𝑛 𝑖=1

𝑥(𝑣)

IV. PREDIMENSIONAMIENTO PARA VIGAS

a) PERALTE EFECTIVO

Dónde:

 a1 = ancho tributario  ∅ = coeficiente de flexión  F´c = factor del concreto

 b = base de la viga o ancho de la viga  M = (0.6,……….0.7) mo

b) MOMENTO DE LA LA VIGA SIMPLEMENTE APOYADA

c) PREDIMENSIONAMIENTO PARA UNA LOSA MACIZA

PERALTE EFECTIVO

Donde

 B = 1m

 ∅ = coeficiente de flexión  F´c= factor del concreto  M = (0.6,……….0.7)mo

d) MOMENTO DE LA VIGA SIMPLEMENTE APOYADA

𝑏 =

𝑎1 20

𝑑 = 2𝑥(√

𝑀 ∅𝑥𝑜.85𝑥𝑓´𝑐𝑥𝑏

)

𝑚𝑜 =

𝑤𝑙2 8

𝑑 = 2.7𝑥(√

_{∅𝑥𝑜.85𝑥𝑓´𝑐𝑥𝑏}𝑀

)

𝑚𝑜 =

𝑤𝑙2 8

PREDIMENSIONAMIENTO PARA COLUMNAS

a) PREDIMENSIONAMIENTO PARA COLUMNAS RECTANGULARES

b) PREDIMENSIONAMIENTO PARA COLUMNAS CUADRADA

ℎ = (

𝑉𝑠𝑥𝐻𝑖2 𝑛𝑐 𝑥 𝑛𝑥 𝐸𝑐

)

1 3

ℎ = (

𝑉𝑠𝑥𝐻𝑖2 𝑛𝑐 𝑥 𝑛𝑥 𝐸𝑐

)

1 4 Dónde:

 Ec = módulo de elasticidad del concreto  Ec= 15000x√𝑓´𝑐

 Vs = esfuerzo cortante  Hi = altura de la columna  Nc = número de columnas

 n = factor de despalzamiento permisible

Dónde:

 Ec = módulo de elasticidad del concreto  Ec= 15000x√(f´c)

 Vs = esfuerzo cortante  Hi = altura de la columna  Nc = número de columnas

c) PREDIMENSIONAMIENTO PARA PLACAS O MUROS DE CORTE

 Si no hay empuje del suelo se considera mínimo el ancho de la placa 10 cm

𝑙 = (

𝑉𝑠𝑥𝐻𝑖2

𝑛𝑐 𝑥 𝑛𝑥 𝐸𝑐𝑥𝑇

)

1 3

Dónde:

 Ec = módulo de elasticidad del concreto  Ec= 15000x√(f´c)

 Vs = esfuerzo cortante  Hi = altura de la columna  Nc = número de columnas

 n = factor de desplazamiento permisible  T = ancho de la placa

EJEMPLO 01

Se tiene la siguiente estructura de 4 niveles de uso central de telecomunicaciones proyecto ubicado en lima, de concreto armado, suelo intermedio, carga muerta de 500 kg/m2, carga viva de 400kg/m2, área techada de 215.25 m2/nivel , f´c= 210kg/cm2, pre dimensionar los elementos estructurales.

SOLUCION

a) PREDIMENSIONAMIENTO PARA UNA LOSA MACIZA  peralte efectivo

 calculando carga ultima

Wμ = 1.4x500 + 1.7x400 Wμ = 1380  momento de la viga simplemente apoyada

𝑑 = 2.7𝑥(√

_{∅𝑥𝑜.85𝑥𝑓´𝑐𝑥𝑏}𝑀

)

𝑚𝑜 = 1380𝑥6 2 8 = 6210 𝑘𝑔 M = (0.6,……….0.7)mo M= 0.7x6210 = 4347 kg Remplazando en la formula 𝑑 = 2.7𝑥(√ 4347𝑥100 0.9𝑥𝑜. 85𝑥210𝑥100)

Peralte efectivo será: 𝑑 = 14.04 𝑐𝑚 ≅ 15𝑐𝑚  Calculando h

Para losas el recubrimiento es de 2 cm ℎ = 14.04 +1.27 2 + 2 → ℎ = 17.31 𝑐𝑚 ≅ 18 𝑐𝑚} b) PREDIMENSIONAMIENTO DE VIGAS 𝑏 =5.25 20 = 26.25 𝐶𝑀 𝑏 = 26.25 𝐶𝑀 ≈ 30 𝐶𝑀

𝑚𝑜 =

𝑤𝑙2 8

𝑑 = 2.7𝑥(√

𝑀 ∅𝑥𝑜.85𝑥𝑓´𝑐𝑥𝑏

)

ℎ = 𝑑 +

∅ 2

+ 𝑟

𝑏 =

𝑎1 20

 Peralte efectivo  carga ultima  Para (6.00x5.50) 𝑊𝐷 = 500𝑥5.50 2 (1 − 5.50 2𝑥6) = 744.79 𝐾𝐺/𝑀 𝑊𝐿 = 400𝑥5.50 2 (1 − 5.50 2𝑥6) = 595.83 𝐾𝐺/𝑀  Para (6.00x5.00) 𝑊𝐷 = 500𝑥5.00 2 (1 − 5.00 2𝑥6) = 729.17 𝐾𝐺/𝑀 𝑊𝐿 = 400𝑥5.00 2 (1 − 5.00 2𝑥6) = 583.33 𝐾𝐺/𝑀  Sumatoria de la carga viva y carga muerta ∑ 𝑾𝑫 𝒕𝒐𝒕𝒂𝒍 = 744.79 + 729.17 = 1473.96 𝐾𝐺/𝑀

∑ 𝑾𝑳 𝒕𝒐𝒕𝒂𝒍 = 595.83 + 583.33 = 1179.16 𝐾𝐺/𝑀  calculando carga ultima

Wμ = 1.4x1473.96 + 1.7x1179.16 Wμ = 4068.116 𝐾𝐺/𝑀  calculando el momento 𝑚𝑜 =4068.116 𝑥6 2 8 = 18306.52 𝑘𝑔. 𝑀 𝑀 = 0.7𝑥 18306.52 𝑘𝑔. 𝑀 𝑀 = 12814.565 𝑘𝑔. 𝑀

𝑑 = 2𝑥(√

_{∅𝑥𝑜.85𝑥𝑓´𝑐𝑥𝑏}𝑀

)

𝑊 = 𝑞𝑥

𝑙2 2

(1 −

𝑙2 2𝑥𝑙1

)

Calculando el peralte efectivo

Pre dimensionamiento de columnas

𝑇 = 16 35= 0.43 ≥ 0.7𝑠𝑒𝑔 Donde C max ≤ 2.5 𝑐 = 2.5 (𝑇𝑃 𝑇 ) ≤ 2.5 → 𝑐 = 2.5( 0.9 0.43) ≤ 2.5 𝑐 = 3.5 ≤ 2.5 No cumple por lo que se toma a: 𝑐 = 2.5 ok

 Calculando le peso total de la edificación 𝑃𝑒 = 4𝑥215.25 = 861 𝑡𝑛/𝑚 Vs 25% más para columnas 𝑉𝑠 = 0.4𝑥1.5𝑥1.2𝑥2.5𝑥861 → 𝑉𝑠 = 1549.8 𝑡𝑛/𝑚  Calculando h ℎ = ( 1549.8𝑥25%𝑥4 2 15𝑥0.007𝑥15000√210) 1 3 ℎ = 0.65𝑚

 Pre dimensionamiento para placas o muros de corte Vs para placas 125%, t=15 cm como mínimo

𝑙 = ( 125%𝑥1549.8𝑥4 2 6 𝑥 0.007𝑥 15000√210)

1 3

VARILLAS CORRUGADAS Y SUS CARACTERISTICAS  Esfuerzo de influencia del acero fy

 Resistencia mínima a la tracción de rotura fs

fy (kg/cm29 fs (kg/cm29

grado 40 2300 4900

grado 75 5300 7000

V. DISEÑO DE VIGAS SIMPLEMENTE REFORZADAS EN CONCRETO ARMADO

 𝑻 = AS. Fy → tension del acero

 𝑪 = 𝟎. 𝟖𝟓𝒇´𝒄𝒙𝒂. 𝒃 → tension del acero  𝑴 = 𝑻𝒊𝒋 = 𝑪𝒊𝒋

 Columna flexo comprensión cuando tiene una carga lateral  Viga mayor esfuerzo en tensión y poco en comprensión  𝒂

𝒄= 𝑩 → 𝒄𝒐𝒆𝒇𝒊𝒄𝒊𝒆𝒏𝒕𝒆 𝒅𝒆 𝒓𝒆𝒄𝒖𝒄𝒄𝒊𝒐𝒏 𝒅𝒆𝒍 𝒄𝒐𝒏𝒄𝒓𝒆𝒕𝒐 𝐵1 = 0.85, ≤ 280 𝑘𝑔

𝑐𝑚2+ 70 𝐵1 = 0.85 − 0.005

a) FALLA EN TENSION O FALLA DUCTIL

𝑴 = 𝑻𝒊𝒋 = 𝑪𝒊𝒋 𝑀 = 𝐴′𝑠 ∗ 𝑓′𝑦(𝑑 − 0.5𝑎) 𝑀 = 0.85′𝑓′𝑐 𝑥 𝑎𝑥𝑏(𝑑 − 0.5𝑎) 𝑀 = 𝐴𝑠𝑥𝑓𝑦′_{(𝑑 − 0.5𝑥} 𝐴𝑠𝑥𝑓𝑦 0.85𝑓𝑐 ∗ 𝑏) 𝑀 = 𝐴𝑠𝑥𝑓𝑦′(𝑑 − 0.59𝑥𝐴𝑠𝑥𝑓𝑦 𝑓𝑐 ∗ 𝑏) 𝑀 = 𝜌. 𝑏𝑑𝑥𝑓𝑦′_{(𝑑 − 0.59𝑥}𝜌𝑥𝑏𝑑𝑥𝑓𝑦 𝑏𝑑 )  Cuantía * 𝜌𝑚𝑎𝑥 = 0.75 𝜌𝑏 → 𝑐𝑢𝑎𝑛𝑡𝑖𝑎 𝑏𝑎𝑙𝑎𝑛𝑐𝑒𝑎𝑑𝑎 * 𝜌𝑚𝑎𝑥 = 0.50 𝜌𝑏 → 𝑠𝑖𝑠𝑚𝑜𝑠 * 𝜌𝑚𝑖𝑛 = 14

* 𝜌𝑚𝑖𝑛 = 0.8√𝑓´𝑐_𝑓𝑦 b) FALLA BALANCEADA

𝑐𝑏 =

0.003𝑑 𝐸𝑠+0.003

𝑐𝑏 =

0.003𝑑 𝑓𝑦 𝐸𝑠+0.003 𝑐𝑏 = 0.003𝑑𝑥𝐸𝑠 0.003𝐸𝑎 + 𝑓𝑦 → 𝑐𝑏 = 0.003𝑑𝑥𝐸𝑠 0.003𝐸𝑎 + 𝑓𝑦 𝑇 = 𝐶 𝐴𝑠. 𝑓𝑦 = 0.85𝑓´𝑐𝑥𝑎𝑏𝑥𝑏 𝜌 = 𝐴𝑠 𝑏. 𝑑 𝐴𝑠 = 𝜌𝑏𝑥𝑏𝑑 𝜌𝑏𝑥𝑏𝑑𝑥𝑓𝑦 = 0.85𝑓´𝑐𝑥𝑎𝑏𝑥𝑏 𝜌𝑏 =0.85𝑓´𝑐𝑥𝑎𝑏 𝑓𝑦𝑥𝑑 → 𝜌𝑏 = 0.85𝑓´𝑐 𝑓𝑦𝑥𝑑 𝑥 0.003𝑑𝑥𝐸𝑠 0.003𝐸𝑎 + 𝑓𝑦 𝜌𝑏 =0.85𝑓´𝑐 𝑓𝑦 𝑥 0.003𝑥𝐸𝑠 0.003𝐸𝑎 + 𝑓𝑦  cuantía balanceada:

c) FALLA POR COMPRENSION (FS>FY)

𝐸𝑠 0.003= 𝑑 − 𝑐 𝑐 → 𝐸𝑠 = 0.003(𝑑 − 𝑐) 𝑐

𝑓𝑠 =

0.003(𝑑−𝑐)𝑥𝐸𝑠 𝑐 …1 𝐸𝑠𝑥𝐶 = 0.003𝑑 − 0.003𝑐 → 𝐸𝑠𝑥𝐶 + 0.003𝑐 = 0.003𝑑 𝐶 = 0.003𝑑 𝐸𝑠 + 0.003 Por lo tanto

𝐵1 =𝑎 𝑐 → 𝐶 = 𝑎 𝐵1… … 2 𝑎 𝐵1= 0.003𝑑𝑥𝐸𝑠 𝑓𝑦 + 0.003𝑥𝐸𝑠 𝑓𝑠 = 0.003𝑑 𝑓𝑠 = 0.003𝑑𝑥𝐸𝑠𝑥𝐵1 − 0.003𝐸 Remplazando la ecuación 2 en 1

𝑓𝑠 =

0.003(𝑑−𝑐)𝑥𝐸𝑠 𝑐

𝑓𝑠 =

0.003(𝑑−𝑐)𝑥𝐸𝑠 𝑎 𝐵1 𝑓𝑠 =0.003(𝑑𝑥𝐵1 − 𝑎)𝑥𝐸𝑠 𝑎 Igualando la ecuación T y C 𝑇 = 𝑐 𝐴𝑠. 𝑓𝑦 = 0.85𝑓´𝑐𝑥𝑎𝑏 𝜌𝑏𝑥𝑏𝑑𝑥0.003(𝑑𝑥𝐵1 − 𝑎)𝑥𝐸𝑠 𝑎 = 0.85𝑓´𝑐𝑥𝑎𝑏 𝜌𝑏𝑥𝑏𝑑𝑥0.003(𝑑𝑥𝐵1 − 𝑎)𝑥𝐸𝑠 𝑎 = 0.85𝑓´𝑐𝑥𝑎𝑏 Resolviendo la ecuación se obtienes lo siguiente:

 EJERCICIO 01

Una viga de sección rectangular simplemente reforzada b=25 de peralte de 45cm y f´c=210kg/cm2, Es=2x10^6/cm2, fy=2800kg/cm2, calcular la resistencia teórica de tensión del acero para los siguientes áreas de acero.

a) 25.8cm2 b) 51.6cm2

c) Falla balanceada SOLUCIÓN

a) PARA ÁREA DE ACERO DE 25.8 CM2

𝜌𝑏 =0.85𝑋210 2800 𝑥 0.003𝑥2𝑥106 0.003𝑥2𝑥106_{+ 2800} 𝜌𝑏 = 0.037 𝜌 = 𝐴𝑠 𝑏. 𝑑 = 25.8 25𝑥45= 0.023  Calculo del momento

𝑀 = 𝐴𝑠𝑥𝑓𝑦 (𝑑 −𝑎 2) 𝑎 = 𝐴𝑠𝑥𝑓𝑦 0.85𝑥𝑓´𝑐𝑥𝑏 Remplazando “a” en M Por lo tanto 𝑀 = 25.8𝑥2800(45 − 0.59𝑥25.8𝑥2800 210𝑥25 ) 𝑀 = 26.6 𝑡𝑛 − 𝑚

b) PARA ÁREA DE ACERO DE 51.6 CM2 𝜌 = 𝐴𝑠

𝑏. 𝑑 = 51.6

0.85𝑥𝑓´𝑐 0.003𝑥𝐸𝑠𝑥𝜌𝑥𝑎 2_{+ 𝑑𝑎 − 𝐵1𝑥𝑑}2 _{= 0} 0.85𝑥210 0.003𝑥2𝑥106_𝑥0.046𝑥𝑎2+ 45𝑎 − 85𝑥452 = 0 𝑥 =−𝑏 ± √𝑏 2_{− 4𝑎𝑐} 2𝑎 𝑝𝑜𝑟 𝑙𝑜 𝑡𝑎𝑛𝑡𝑜 𝑎 = 27.41 Remplazando en el momento 𝑀 = 0.85𝑥210𝑥17.41 = 37.18 𝑡𝑛 − 𝑚 c) CALCULANDO FALLA BALANCEADA

𝜌𝑏 =0.85𝑓´𝑐 𝑓𝑦 𝑥 0.003𝑥𝐸𝑠 0.003𝐸𝑎 + 𝑓𝑦 → 𝜌𝑏 =0.85𝑋210 2800 𝑥 0.003𝑥2𝑥106 0.003𝑥2𝑥106 _{+ 2800} 𝜌𝑏 = 0.037 → 𝜌𝑏 = 𝜌 Remplazando en momentos 𝑀 = 𝜌𝑥𝑏𝑥𝑑2_{(1 − 0.59𝑥}𝜌𝑥𝑓𝑦 𝑓´𝑐 ) → 𝑀 = 0.037𝑥25𝑥452(1 − 0.59𝑥0.037𝑥2800 210 ) 𝑀 = 37.182 𝑡𝑛 − 𝑚 𝐴𝑠 = 𝜌𝑥𝑏𝑥𝑑 → 𝐴𝑠 = 0.037𝑥25𝑥45 𝐴𝑠 = 41.625 𝑐𝑚2

 EJERCICIO 02

Calcular el momento modular de la viga que se muestra en la figura fy=4200kg/cm2, para f´c son lo siguiente:

a) F´c=210kg/cm2 b) F´c=350kg/cm2 c) F´c=630kg/cm2

SOLUCIÓN

a) PARA F´C=210KG/CM2

 Calculo del área del acero

𝐴𝑠 = 4𝑥5.1 = 20.8  Calculo del Peralte efectivo

𝑑 = 40 −2.54 2 − 0.952 − 4 𝑑 = 33.37  Calculo de la cuantía 𝜌 = 𝐴𝑠 𝑏. 𝑑 = 20.8 30𝑥33.37= 0.023  Calculo de la cuantía balanceada

𝑩𝟏 = 𝟎. 𝟖𝟓 − 𝟎. 𝟎𝟎𝟓𝒙[𝟐𝟖𝟎 − 𝟐𝟖𝟎] 𝟕𝟎 = 𝟎. 𝟖𝟓 𝜌𝑏 =0.85𝑓´𝑐 𝑓𝑦 𝑥𝐵1𝑥 0.003𝑥𝐸𝑠 0.003𝐸𝑎 + 𝑓𝑦 𝜌𝑏 =0.85210 4200 𝑥0.85𝑥 0.003𝑥2𝑥106 0.003𝑥2𝑥106_{+ 4200} 𝜌𝑏 = 0.021

𝜌 < 𝜌𝑏 𝑒𝑠 𝑓𝑎𝑙𝑙𝑎 𝑑𝑢𝑐𝑡𝑖𝑙  Calculo de momento 𝑎 = 𝐴𝑠𝑥𝑓𝑦 0.85𝑥𝑓´𝑐𝑥𝑏 = 20.8𝑥4200 0.85𝑥210𝑥30 = 15.91 𝑀 = 20.8𝑥4200 (33.78 −15.91 2 ) = 22 𝑡𝑛 − 𝑚  Calculo de las Cuantías

* 𝜌𝑚𝑎𝑥 = 0.75 𝜌𝑏 → 𝑐𝑢𝑎𝑛𝑡𝑖𝑎 𝑏𝑎𝑙𝑎𝑛𝑐𝑒𝑎𝑑𝑎 * 𝜌𝑚𝑎𝑥 = 0.75 0.021 = 0.016 * 𝜌𝑚𝑖𝑛 =14_𝑓𝑦 * 𝜌𝑚𝑖𝑛 =₄₂₀₀14 = 0.003 * 𝜌𝑚𝑖𝑛 = 0.8√𝑓´𝑐_𝑓𝑦 * 𝜌𝑚𝑖𝑛 = 0.8√210 4200= 0.0028 𝜌 > 𝜌 min 𝑜𝑘 𝑒𝑠 𝑐𝑜𝑟𝑟𝑒𝑐𝑡𝑜 𝜌 > 𝜌 max 𝑛𝑜 𝑒𝑠 𝑐𝑜𝑟𝑟𝑒𝑐𝑡𝑜 b) PARA F´C=350KG/CM2

Calculo del área del acero

𝐴𝑠 = 4𝑥5.1 = 20.8 Calculo del Peralte efectivo

𝑑 = 40 −2.54 2 − 0.952 − 4 𝑑 = 33.37 Calculo de la cuantia 𝑩𝟏 = 𝟎. 𝟖𝟓 − 𝟎. 𝟎𝟎𝟓𝒙[𝟑𝟓𝟎 − 𝟐𝟖𝟎] 𝟕𝟎 = 𝟎. 𝟖 𝜌 = 𝐴𝑠 𝑏. 𝑑 = 20.8 30𝑥33.37 = 0.023

𝜌𝑏 =0.85𝑓´𝑐 𝑓𝑦 𝑥𝐵1𝑥 0.003𝑥𝐸𝑠 0.003𝐸𝑎 + 𝑓𝑦 𝜌𝑏 =0.85𝑥350 4200 𝑥0.8𝑥 0.003𝑥2𝑥106 0.003𝑥2𝑥106_{+ 4200} 𝜌𝑏 = 0.033 𝜌 < 𝜌𝑏 𝑒𝑠 𝑓𝑎𝑙𝑙𝑎 𝑑𝑢𝑐𝑡𝑖𝑙 Calculo de momento 𝑎 = 𝐴𝑠𝑥𝑓𝑦 0.85𝑥𝑓´𝑐𝑥𝑏 = 20.8𝑥4200 0.85𝑥350𝑥30 = 9.54 𝑀 = 20.8𝑥4200 (33.78 −9.54 2 ) = 24.70 𝑡𝑛 − 𝑚  calculo de las Cuantías

* 𝜌𝑚𝑎𝑥 = 0.75 𝜌𝑏 → 𝑐𝑢𝑎𝑛𝑡𝑖𝑎 𝑏𝑎𝑙𝑎𝑛𝑐𝑒𝑎𝑑𝑎 * 𝜌𝑚𝑎𝑥 = 0.75 0.033 = 0.025 * 𝜌𝑚𝑖𝑛 =_𝑓𝑦14 * 𝜌𝑚𝑖𝑛 =₄₂₀₀14 = 0.003 * 𝜌𝑚𝑖𝑛 = 0.8√𝑓´𝑐 𝑓𝑦 * 𝜌𝑚𝑖𝑛 = 0.8√350 4200= 0.004 𝜌 > 𝜌 min 𝑜𝑘 𝑒𝑠 𝑐𝑜𝑟𝑟𝑒𝑐𝑡𝑜 𝜌 > 𝜌 max 𝑛𝑜 𝑒𝑠 𝑐𝑜𝑟𝑟𝑒𝑐𝑡𝑜 c) PARA F´C=630KG/CM2

 Calculo del área del acero

𝐴𝑠 = 4𝑥5.1 = 20.8  Calculo del Peralte efectivo

𝑑 = 40 −2.54 2 − 0.952 − 4 𝑑 = 33.37  Calculo de la cuantía 𝑩𝟏 = 𝟎. 𝟖𝟓 − 𝟎. 𝟎𝟎𝟓𝒙[𝟔𝟑𝟎 − 𝟐𝟖𝟎] 𝟕𝟎 = 𝟎. 𝟔𝟎 𝜌 = 𝐴𝑠 𝑏. 𝑑 = 20.8 30𝑥33.37= 0.023  Calculo de la cuantía balanceada

𝜌𝑏 =0.85𝑓´𝑐 𝑓𝑦 𝑥𝐵1 0.003𝑥𝐸𝑠 0.003𝐸𝑎 + 𝑓𝑦 𝜌𝑏 =0.85𝑥630 4200 𝑥0.60𝑥 0.003𝑥2𝑥106 0.003𝑥2𝑥106_{+ 4200} 𝜌𝑏 = 0.255 𝜌 > 𝜌𝑏 𝑒𝑠 𝑓𝑎𝑙𝑙𝑎 𝑐𝑜𝑚𝑝𝑟𝑒𝑛𝑠𝑖𝑜𝑛  Calculo de momento 𝑎 = 𝐴𝑠𝑥𝑓𝑦 0.85𝑥𝑓´𝑐𝑥𝑏 = 20.8𝑥4200 0.85𝑥630𝑥30 = 5.438 𝑀 = 20.8𝑥4200 (33.78 −5.438 2 ) = 27.13 𝑡𝑛 − 𝑚  calculo de las Cuantías

* 𝜌𝑚𝑎𝑥 = 0.75 𝜌𝑏 → 𝑐𝑢𝑎𝑛𝑡𝑖𝑎 𝑏𝑎𝑙𝑎𝑛𝑐𝑒𝑎𝑑𝑎 * 𝜌𝑚𝑎𝑥 = 0.75 0.255 = 0.191 * 𝜌𝑚𝑖𝑛 =_𝑓𝑦14 * 𝜌𝑚𝑖𝑛 =₄₂₀₀14 = 0.003 * 𝜌𝑚𝑖𝑛 = 0.8√𝑓´𝑐_𝑓𝑦 √630

𝜌 > 𝜌 min 𝑜𝑘 𝑒𝑠 𝑐𝑜𝑟𝑟𝑒𝑐𝑡𝑜

𝜌 > 𝜌 max 𝑛𝑜 𝑒𝑠 𝑐𝑜𝑟𝑟𝑒𝑐𝑡𝑜  EJERCICIO 03

Diseñar la viga mostrada en la figura fy=4200kg/cm2, f´c=210 kg/cm2 𝑊𝐷 = 4𝑡𝑛

𝑚 𝑊𝐿 = 2𝑡𝑛 𝑚

SOLUCION

 Calculo de la carga unitaria

𝑊𝜇 = 1.4𝑥𝑊𝐷 + 1.7𝑋𝑊𝐿 → 𝑊𝜇 = 1.4𝑥4 + 1.7𝑋2 𝑊𝜇 = 9 𝑡𝑛/𝑚

 Calculo del momento

𝑀 =𝑤𝑙 2 8 =

9𝑥52

8 = 28.125 𝑡𝑛 − 𝑚  Calculo de la cuantía balanceada

𝜌𝑏 =0.85𝑓´𝑐 𝑓𝑦 𝑥𝐵1 0.003𝑥𝐸𝑠 0.003𝐸𝑎 + 𝑓𝑦 𝜌𝑏 =0.85𝑥210 4200 𝑥0.85𝑥 0.003𝑥2𝑥106 0.003𝑥2𝑥106_{+ 4200} 𝜌𝑏 = 0.021 * 𝜌𝑚𝑎𝑥 = 0.75 𝜌𝑏 → 𝑐𝑢𝑎𝑛𝑡𝑖𝑎 𝑏𝑎𝑙𝑎𝑛𝑐𝑒𝑎𝑑𝑎 * 𝜌𝑚𝑎𝑥 = 0.75 0.021 = 0.016 * 𝜌𝑚𝑖𝑛 =_𝑓𝑦14 * 𝜌𝑚𝑖𝑛 =₄₂₀₀14 = 0.003 * 𝜌𝑚𝑖𝑛 = 0.8√𝑓´𝑐_𝑓𝑦

* 𝜌𝑚𝑖𝑛 = 0.8√210₄₂₀₀= 0.0028

 Calculo de la base “d”

* Usar la cuantia máxima para la sección de dimensiones máximas

28.125 = 0.9𝑥0.016𝑥25𝑑2_{𝑥4200(1 − 0.59𝑥}0.016𝑥4200 210 ) 𝑑 = 47.89 𝑐𝑚

 Calculando el área del acero requerido

𝐴𝑠 = 𝜌. 𝑏. 𝑑 → 𝐴𝑠 = 0.016𝑥25𝑥47.89=19.156cm2

Por lo tanto se requieres las siguientes cantidades de acero con la cuantía máxima 6 ∅ 3/4" + 1 ∅5/8"

* Usar la cuantía mínima para la sección de dimensiones máximas

28.125 = 0.9𝑥0.0033𝑥25𝑑2_{𝑥4200(1 − 0.59𝑥}0.0033𝑥4200 210 ) 𝑑 = 96.87 𝑐𝑚

 Calculando el área del acero requerido

𝐴𝑠 = 𝜌. 𝑏. 𝑑 → 𝐴𝑠 = 0.0033𝑥25𝑥96.87=7.99cm2

Por lo tanto se requieres las siguientes cantidades de acero con la cuantía máxima 2 ∅ 3/4" + 1 ∅1"

47 ≤ 𝑑 ≤ 96.87 𝑑 = 60𝑐𝑚 Por pre dimensionamiento será lo siguiente: ℎ = 𝐿

16= 5

16= 0.31𝐶𝑀 ≈ 35𝐶𝑀 →

DISEÑO DE LOSAS EN CONCRETO ARMADO:

PREDIMENCIONAMIENTO LOSA MACIZA:  Losa simplemente apoyada

ℎ = 𝑙 20  Losa continua a un extremo

ℎ = 𝑙 24  Losa continua ambos extremos

ℎ = 𝑙 28  Losa voladizo

ℎ = 𝑙 10 Valores de momentos y cortantes según el ACI:

1) Debe tener dos luces como mínimo.

2) La luz mayor no debe exceder en 20% la luz menor. 𝐿1

𝐿2⩽ 1.20 3) Las cargas deben ser uniformemente distribuidas. 4) La carga viva no debe exceder 3 veces la carga muerta. 5) Los elementos deben ser prismáticos.

V2 V3 V4 V1

V=1.15(WLn)/2

MOMENTO POSITIVO Luces Exteriores:

- Si el extremo discontinuo no está restringido. 𝑀 = 1

11𝑊𝐿𝑛 2

- Si el extremo discontinuo se constituye en forma integral con el soporte 𝑀 = 1 14𝑊𝐿𝑛 2 Luces Interiores: 𝑀 = 1 16𝑊𝐿𝑛 2 MOMENTO NEGATIVO

En las caras exteriores del primer apoyo interior: - Dos luces 𝑀 =1 9𝑊𝐿𝑛 2 - Más de dos luces 𝑀 = 1 10𝑊𝐿𝑛 2

- Momentos negativos en otras caras de apoyos interiores 𝑀 = 1

11𝑊𝐿𝑛 2

Momento negativo en las caras interiores de los apoyos exteriores para elementos construidos íntegramente con sus soportes.

- Cuando el soporte es viga de borde o viga principal el coeficiente es:

𝑀 = 1 24𝑊𝐿𝑛

2

- Cuando el soporte es una columna: 𝑀 = 1

16𝑊𝐿𝑛 2

- Cortante en los elementos finales en el primer apoyo interior

𝑉 = 1.15𝑊𝐿𝑛 2

- Cortante en todos los demás apoyos: 𝑉 =𝑊𝐿𝑛 2 no restringido=1/11 1/16 1/16 1/11 1/10 1/11 1/10 1/16 1/24 Columna=1/16 Viga=1/24 restringido=1/14 V2 V3 V4 V1 V=1.15(WLn)/2

FORMULAS 𝐴𝑠 = 𝑀𝑢 ⌀𝑓𝑦(𝑑 −𝑎₂₎ 𝑎 = 𝐴𝑠 ∗ 𝐹𝑦 0.85𝑓′_{𝑐 ∗ 𝑏} 𝑀𝑢 = ⌀ƥ𝑏𝑑2∗ 𝑓𝑦(1 − 0.59 𝑓𝑦 𝑓′_𝑐) 𝑑 = √ 𝑀𝑢 ⌀ƥ𝑏 ∗ 𝑓𝑦(1 − 0.59𝑓𝑦 ∗ ƥ_𝑓′_{𝑐 )} 𝑆 ≤ 3ℎ 𝑆 ≤ 45 𝑐𝑚 𝐴𝑠 𝑡𝑒𝑚𝑝𝑒𝑟𝑎𝑡𝑢𝑟𝑎 = 0.0018𝑏𝑑 EJERCICIOS:

1. Diseñar la losa maciza de una sola dirección considerar: Piso terminado=120kg/m2 Tabiquería=100 kg/m2 S/C= 500 kg/m2 f'c = 210kg/cm2 fy = 4200 kg/cm2 Es = 2 ∗ 106𝑘𝑔/𝑐𝑚2 4.50 0.25 4.50 4.50 4.50 0.25 0.25 0.25 0.25 1 2 3 4 5 SOLUCION:

1/16 1/16 1/14 1/10 1/11 1/10 1/24 1/14 1/24 Calculando el Peralte: ℎ = 𝑙𝑛 28= 4.50 28 = 16.07 𝑐𝑚 Tomaremos h=16 cm.

REALIZANDO EL METRADO DE CARGAS: Peso propio: 0.16x1x2400= 384 Piso terminado: 120x1= 120 Tabiquería: 100x1= 100 --- WD= 604 WL= 500 Wu= 1.4WD + 1.7 WL = 1.4X604 + 1.7X500 = 1695.60 𝑀1 = 1 24𝑊𝐿 2 ₌ 1 24(1695.60)4.5 2 _{= 1430.66} 𝑀1 − 2 = 1 14𝑊𝐿 2 ₌ 1 14(1695.60)4.5 2 _{= 2452.56} 𝑀2 − 1 = 1 10𝑊𝐿 2 ₌ 1 10(1695.60)4.5 2 _{= 3433.51} 𝑀2 − 3 = 1 16𝑊𝐿 2 ₌ 1 16(1695.60)4.5 2 _{= 2145.99} 𝑀3 − 2 = 1 11𝑊𝐿 2 ₌ 1 11(1695.60)4.5 2 _{= 3121.45} VERRIFICANDO EL PERALTE “d”: 𝑑 = √ 𝑀𝑢 ⌀ƥ𝑏 ∗ 𝑓𝑦(1 − 0.59𝑓𝑦 ∗ ƥ_{𝑓′𝑐 )}

𝑑 = √ 3433.51𝑥100 0.9𝑥0.0158𝑥100𝑥4200(1 − 0.590.0158𝑥4200₂₁₀ ) = 8.4 𝑐𝑚 ƥ max = 0.50 ƥ ƥ max = 0.75 ƥ 𝑝𝑒𝑟𝑎𝑙𝑡𝑒 𝑚𝑖𝑛𝑖𝑚𝑜 ƥ𝑏 =0.85𝑓 ′_𝑐 𝑓𝑦 𝑥𝐵1𝑥 0.003𝐸𝑠 0.003𝐸𝑠 + 𝑓𝑦= 0.021 ƥ max = 0.75 ƥ = 0.75𝑥0.021 = 0.0158 𝑑 = 16 − 2 −1.27 2 = 13.37𝑐𝑚 CALCULANDO EL AREA DE ACERO

𝐴𝑠 = 𝑀𝑢 ⌀𝑓𝑦(𝑑 −𝑎₂₎= 1430.66𝑥100 0.9𝑥4200(13.37 −13.37_{10 )} = 3.14𝑐𝑚2 𝑎 = 𝐴𝑠 ∗ 𝐹𝑦 0.85𝑓′_{𝑐 ∗ 𝑏} = 5.54 𝐴𝑠 = 3.57𝑐𝑚2 𝐕𝐞𝐫𝐢𝐟𝐢𝐜𝐚𝐧𝐝𝐨 𝐞𝐥 𝐚𝐫𝐞𝐚 𝐝𝐞 𝐚𝐜𝐞𝐫𝐨 𝐦𝐢𝐧𝐢𝐦𝐨 𝐴𝑠𝑚𝑖𝑛 =14𝑏𝑑 𝑓𝑦 = 14𝑥100𝑥13.37 4200 = 4.46 Usar acero mínimo

𝑆 =1.29 4.46= 0.29 ∅ 1" 2 @0.29 𝑆 =0.71 0.4 = 0.30 ∅ 3" 8 @0.29

2. Diseñar la losa aligerada en una sola dirección considerar los siguientes datos

Acabado=120kg/m2 Tabiquería=100 kg/m2 S/C= 300 kg/m2 f'c = 210kg/cm2 fy = 4200 kg/cm2 6.20 0.25 6.00 0.25 0.25 A B C 0.10 0.30 0.100.10 0.30 0.100.15 0.25 0.15 0.40 SOLUCION:

1. Tiene dos luces como mínimo.

2. La luz mayor no debe exceder en 20% la luz menor. 𝐿1

𝐿2⩽ 1.20 3. Las cargas deben ser uniformemente distribuidas. 4. La carga viva no debe exceder 3 veces la carga muerta. 5. Los elementos deben ser prismáticos.

REALIZANDO EL METRADO DE CARGAS:

Peso propio: 300= 300 acabado: 120x1= 120 Tabiquería: 100x1= 100 --- WD= 520 kg/m2 WL= 300 kg/m2

Wu= 1.4WD + 1.7 WL = 1238.00= 1238 2.5 = 495.2 𝑀𝐴 = 1 24𝑊𝐿 2 _{= 793.145} 𝑀𝐴𝐵 = 1 14𝑊𝐿 2 _{= 1359.678} 𝑀𝐵 =1 9𝑊𝐿 2 _{= 2047.28} 𝑀𝐵 − 𝐶 = 1 14𝑊𝐿 2 _{= 1273.371} 𝑀𝐶 = 1 24𝑊𝐿 2 _{= 742.80} Calculando la cortante: V=1.5(WLn/2) V=WLn/2 V=2302.68 Suponer C= 5 cm 𝑎 = 𝐶𝑥𝐵1 = 0.05𝑥 0.85 = 0.043

Comprobando en la ecuación de Flexión

𝐴𝑠 = 𝑀𝑢 ⌀𝑓𝑦(𝑑 −𝑎₂₎= 2.69 𝑐𝑚2 𝑎 = 𝐴𝑠 ∗ 𝐹𝑦 0.85𝑓′_{𝑐 ∗ 𝑏} = 1.47 𝑐𝑚 ℎ = 𝐿 20− 𝐿 25= 0.31 − 0.25 = 𝒉 = 𝟎. 𝟐𝟓 𝑑 = 0.25 − 2 −1.27 2 = 22.37

𝐴𝑠 = 𝑀𝑢

⌀𝑓𝑦(𝑑 −𝑎₂) = 2.5 𝑐𝑚2

Calculando el área de acero con el momento mínimo:

𝐴𝑠 = 𝑀𝑢

⌀𝑓𝑦(𝑑 −𝑎₂₎= 1.757 𝑐𝑚2 Verificando por cortante:

La cortante que toma el concreto no debe ser mayor que: 𝑉𝑐 = ∅1.1𝑥0.53√𝑓′𝑐 𝑥 𝑏𝑑

𝑉𝑐 = 0.85𝑥1.1𝑥0.53√210𝑥10𝑥22.37 = 1606.435 𝑉𝑑𝑖𝑠𝑒ñ𝑜 = 𝑣 − 𝑤𝑢𝑑

𝑉𝑑𝑖𝑠𝑒ñ𝑜 = 2302.68 − 495.20𝑥22.37 = 2191.9

𝑉𝑐 < 𝑉𝑑 𝑠𝑒 𝑑𝑎 𝑎 𝑙𝑎 𝑐𝑝𝑛𝑐𝑙𝑢𝑠𝑖𝑜𝑛 𝑑𝑒 𝑞𝑢𝑒 𝑒𝑠 𝑛𝑒𝑐𝑒𝑠𝑎𝑟𝑖𝑜 𝑒𝑙 𝑒𝑛𝑠𝑎𝑛𝑐ℎ𝑒 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑣𝑖𝑔𝑢𝑒𝑡𝑎. 3. Diseñar la Siguiente losa aligerada considerar los siguientes datos.

Acabado=120kg/m2 Tabiquería=100 kg/m2 S/C= 200 kg/m2 f'c = 210kg/cm2 fy = 4200 kg/cm2

Peso del ladrillo= 8𝑘𝑔/𝑢𝑛𝑑

4.50 0.30 6.50 0.30 0.30 ℎ = 𝐿 20− 𝐿 25= 𝒉 = 𝟎. 𝟑𝟎𝒄𝒎

REALIZANDO EL METRADO DE CARGAS: Losa: 0.05x0.40x1x2400 = 48

Vigueta: 0.10x1x2400x0.25 = 60 Tabiquería: 3.33x8 = 100 --- WD= 134.66 Por un metro cuadrado:

Losa: 134.66x2.5 = 336.65 Vigueta: = 100 Tabiquería: = 100 --- WD= 536.65 Wu= 1.4WD + 1.7 WL = 1091.32 Por vigueta: 1091_2.5 = 436.56 4.50 6.50 w=436.56 1 4.50 6.50 w=436.56 4.50 6.50 w=436.56 Wu2=(1.4WD)/2.5 Wu2=(1.4WD)/2.5 2 3

Calculando los momentos por el método de Cross: Calculando “K”:

𝐾𝐴𝐵 = 𝐾𝐵𝐴 = 𝐼

4.50= 0.22 𝐾𝐵𝐶 = 𝐾𝐶𝐵 = 𝐼

6.50 = 0.15

Calculando el coeficiente de distribución: 𝐷𝐵𝐴 = 0.60 DBC= 0.40 DAB=1 DCB=1 Calculando el “ MEP” MAB=-0.737 Tn-m MBA=0.737 Tn-m MBC=-1.54 Tn-m

MCB=1.54 Tn-m CASO 1: AB BA BC CB 1 0.6 0.4 1 -0.0737 0.737 -1.54 1.54 -0.373 0.369 -0.77 -1.54 0 0.722 0.482 0 0 1.828 -1.828 0 CASO 2: AB BA BC CB 1 0.6 0.4 1 -0.0737 0.737 -1.06 1.06 0.737 0.369 -0.53 -1.06 0 -0.29 -0.19 0 0 1.369 -1.369 0 CASO 3: AB BA BC CB 1 0.6 0.4 1 -0.51 0.51 -1.54 1.54 0.51 0.255 -0.77 -1.54 0 0.927 0.618 0 0 1.692 -1.692 0 Calculando el acero: As temperatura=0.0018bd = 0.0018x100x5=0.900 𝑆 =0.635 0.900= 0.71 ∅1/4" 𝑆 ≤ 𝑆ℎ𝑓 𝑆 = 5𝑥5 = 25 𝑐𝑚 𝑢𝑠𝑎𝑟 ∅ 1/2" @ 0.25

DISEÑO DE ESCALERAS EN CONCRETO ARMADO

i) PREDIMENSIONAMIENTO

El pre dimensionamiento en escaleras es igual que en lozas macizas

DONDE: Modelo estructural 𝐿𝑡 25 < t < Lt 20 Lt = L1 + L2

Cuando se colocan las escaleras

ii) METRADO DE CARGAS - ZONA DE PELDAÑOS (W1) - SONA DE DESCANSO (W2) DONDE: t𝑝= tn+ CP 2 t𝑛= t Cos (𝛼) t𝑛= t . √CP2_{+ P}2 P C𝑜𝑐 (𝛼) = P √CP2_{+ P}2 Wu = 1.4 x WD + 1.7 x WL WD = W1 , en z. peldaños _{WD = W2 , en z. peldaños} WL = S/C

.

CALCULO DEL MOMENTO MAXIMO CUANDO LA FUERZA CORTANTE ES CERO M_𝑚𝑎𝑥 , cuando V_𝑋=0 ∑MB = 0 0 = RA − W1 . X X = R_A W1 M_max= R_A. X − W1. X 2 2 CALCULO DE MOMENTO DE DISEÑO POSITIVO

+

M

_DISEÑO

= α M

_max

= 𝛼 . R

_A

. X (−

W

1

. X

2

2

)

Donde: 𝛼 = 1, 0.9 𝑦 0.8 (según el tipo de apoyo) 1.0 : LADRILLO, cuando el tipo de apoyo es muro de ladrillo 0.9 : VIGA, cuando esta apoyada en viga chata, losa y viga simple.

0.8 : VIGA PERALTADA, cuando el tipo de apoyo es viga peraltada, muro de corte o placa (rígido)

CALCULO DE MOMENTO DE DISEÑO NEGATIVO

−M_DISEÑO = 1 3

+_M

DISEÑO =

1

2( α Mmax) , apoyo rigido

−_M DISEÑO = 1 2 +_M DISEÑO = 1

2( α Mmax), apoyo semi rigido flexible

iii) CALCULO DEL ACERO

Wu2 = 1.4 x W2 + 1.7 x WL

𝐀𝐬 =

𝐌

𝐃𝐈𝐒𝐄Ñ𝐎

∅. 𝐟𝐲. (𝐝 −

_𝟐)

𝐚

𝐚 =

𝐀𝐬. 𝐟𝐲

𝟎. 𝟖𝟓. 𝐟

′

_{𝐜. 𝐛}

𝐀𝐬

𝐓𝐄𝐌𝐏𝐄𝐑𝐀𝐓𝐔𝐑𝐀

= 𝟎. 𝟎𝟎𝟏𝟖 𝐛. 𝐝

EJERCICIO Nº 01

Diseñar la escalera con las siguientes características: F’c = 210 Kg/cm2

Fy = 4200 Kg/cm2 S/C = 400 Kg/m2 Acabados = 100 Kg/m2

I. PREDIMENSIONAMIENTO 𝐭 = 𝐋𝟏 + 𝐋𝟐 𝟐𝟓 ~ 𝐋𝟏 + 𝐋𝟐 𝟐𝟎 𝐭 = 𝟑. 𝟓𝟎 𝟐𝟓 ~ 𝟑. 𝟓𝟎 𝟐𝟎 𝐭 = 𝟎. 𝟏𝟖 ~ 𝟎. 𝟏𝟒 𝐭 = 𝟏𝟓 𝒄𝒎

II. METRADO DE CARGAS t_𝑝 = t_n+CP 2 t𝑛 = 15 . √17.52_{+ 25}2 25 t𝑛 = 18.31 t𝑝 = 18.31 + 17.5 2 t𝑝 = 27.06 𝑐𝑚 a) ZONA DE PELDAÑOS 𝐏. 𝐏 . = 𝐭_𝐩 . 𝐛 . 𝜸_𝐜 = 𝟎. 𝟐𝟕𝟏 𝒙 𝟏. 𝟎𝟎 𝒙 𝟐𝟒𝟎𝟎 = 𝟔𝟓𝟎. 𝟒𝐊𝐠/𝒎𝟐 𝐀𝐜𝐚𝐛𝐚𝐝𝐨𝐬 = (𝐏𝐞𝐬𝐨 𝐦𝟐 ). 𝐛 = 𝟏𝟎𝟎 𝐱 𝟏. 𝟎𝟎 = 𝟏𝟎𝟎 𝐊𝐠/𝒎𝟐 𝐖_𝑫 = 𝟕𝟓𝟎. 𝟒 𝐊𝐠/𝒎𝟐 𝐖𝑳 = 𝟒𝟎𝟎 𝐊𝐠/𝒎𝟐 𝐖_𝒖𝟏 = 𝟏. 𝟒 𝐱 𝐖_𝑫 + 𝟏. 𝟕 𝒙 𝐖_𝐋 = 𝟏. 𝟒𝒙𝟕𝟓𝟎. 𝟒 + 𝟏. 𝟕𝒙𝟒𝟎𝟎 = 𝟏𝟕𝟑𝟎. 𝟓𝟔𝐊𝐠/𝒎𝟐

b) ZONA DE DESCANSO 𝐏. 𝐏 . = 𝐭 . 𝐛 . 𝜸𝐜 = 𝟎. 𝟏𝟓 𝒙 𝟏. 𝟎𝟎 𝒙 𝟐𝟒𝟎𝟎 = 𝟑𝟔𝟎𝐊𝐠/𝒎𝟐 𝐀𝐜𝐚𝐛𝐚𝐝𝐨𝐬 = (𝐏𝐞𝐬𝐨 𝐦𝟐 ). 𝐛 = 𝟏𝟎𝟎 𝐱 𝟏. 𝟎𝟎 = 𝟏𝟎𝟎 𝐊𝐠/𝒎𝟐 𝐖𝑫 = 𝟒𝟔𝟎 𝐊𝐠/𝒎𝟐 𝐖_𝑳 = 𝟒𝟎𝟎 𝐊𝐠/𝒎𝟐 𝐖_𝒖𝟐 = 𝟏. 𝟒 𝐱 𝐖_𝑫 + 𝟏. 𝟕 𝒙 𝐖_𝐋 = 𝟏. 𝟒𝒙𝟒𝟔𝟎 + 𝟏. 𝟕𝒙𝟒𝟎𝟎 = 𝟏𝟑𝟐𝟒 𝐊𝐠/𝒎𝟐

III. CALCULO DEL MOMENTO MAXIMO Y MOMENTOS DE DISEÑO POSITIVO Y NEGATIVO

Calculo de la reacción en el nudo A

∑M_B= 0

0 = RA𝑥(3.50) − 1730.56𝑥2.50𝑥(0.50𝑥2.50 + 1.00) − 1324.0𝑥0.50𝑥1.002 R_A = 2970.40 Kg

Calculo del momento máximo

M_𝑚𝑎𝑥 , cuando V_𝑋=0 0 = RA − W1 . X 0 = 2970.40 − 1730.56 . 𝑋 X = 2970.40 1730.56 = 1.2 M_max = R_A. X − W1. X 2 2 = 2970.40𝑥1.2 − 1730.56 𝑥 1.22 2 = 2549.25 𝐾𝑔/𝑚2 +_{𝐌 = 𝛂 𝐌 = 𝟏 𝒙 (𝟐𝟓𝟒𝟗. 𝟐𝟓) = 𝟐𝟓𝟒𝟗. 𝟐𝟓 𝐊𝐠 − 𝐦}

−_𝐌 𝐃𝐈𝐒𝐄Ñ𝐎 = 𝟏 𝟐 +_𝐌 𝐃𝐈𝐒𝐄Ñ𝐎= 𝟏 𝟐( 𝟏 𝐱 𝟐𝟓𝟒𝟗. 𝟐𝟓) = 𝟏𝟐𝟕𝟒. 𝟔𝟑 𝐊𝐠 − 𝐦 𝐦𝐚𝐱

IV. CALCULO DE ACERO NEGATIVO Y POSITIVO 𝐝 = 𝐭 − 𝟐 −𝐀𝐬 ∅𝟏/𝟐"

𝟐 = 𝟏𝟓 − 𝟐 − 𝟏. 𝟐𝟕

𝟐 = 𝟏𝟐. 𝟑𝟕 𝐜𝐦 Calculo del acero positivo: tanteando con la ecuación se obtiene

𝐀𝐬

+

=

+

_M

DISEÑO

∅. 𝐟𝐲. (𝐝 −

_𝟐)

𝐚

𝐚 =

𝐀𝐬. 𝐟𝐲

𝟎. 𝟖𝟓. 𝐟

′

_{𝐜. 𝐛}

As

+

=

+

_M

DISEÑO

∅. fy. (d −

₂₎

a

=

2549.25

0.9𝑥4200𝑥(

12.37

−

1.40

₂

)

= 6.058 𝑐𝑚

2

a =

As. fy

0.85. f

′

_{c. b}

=

6.058x4200

0.85x210x1.00

= 1.425𝑐𝑐𝑚

Por lo tanto cumple con lo supuesto

∅ 𝟏/𝟐" @ 𝟐𝟏 𝒄𝒎

Calculo del acero negativo:

𝐀𝐬

−

=

− M_DISEÑO

∅. 𝐟𝐲. (𝐝 −

_𝟐)

𝐚

𝐚 =

𝐀𝐬. 𝐟𝐲

𝟎. 𝟖𝟓. 𝐟

′

_{𝐜. 𝐛}

As

−

=

−

_M

DISEÑO

∅. fy. (d −

₂₎

a

=

1274.63

0.9𝑥4200𝑥(

12.37

−

2.37

_{2 )}

= 3.02 𝑐𝑚

2

a =

As. fy

0.85. f

′

_{c. b}

=

3.02x4200

0.85x210x1.00

= 2.3 𝑐𝑚

Por lo tanto cumple con lo supuesto

∅ 𝟑/𝟖" @ 𝟐𝟑. 𝟓 𝒄𝒎

Calculo del acero de temperatura:

∅ 𝟑/𝟖" @ 𝟑𝟎 𝒄𝒎

V. DISTRIBUCION DEL ACERO

EJERCICIO Nº 02

Diseñar la escalera de tipo alfombra con las siguientes características: F’c = 210 Kg/cm2

Fy = 4200 Kg/cm2

S/C = 300 Kg/m2 Acabados = 100 Kg/m2

A. PREDIMENSIONAMIENTO 𝐭 = 𝐋𝟏 + 𝐋𝟐 𝟐𝟓 ~ 𝐋𝟏 + 𝐋𝟐 𝟐𝟎 𝐭 = 𝟑. 𝟐𝟓 𝟐𝟓 ~ 𝟑. 𝟐𝟓 𝟐𝟎 𝐭 = 𝟎. 𝟏𝟒 ~ 𝟎. 𝟏𝟕 𝐭 = 𝟏𝟓 𝒄𝒎 B. METRADO DE CARGAS 𝐴 = 15 𝑥 25 + 18 𝑥 25 = 0.065 𝒄𝒎𝟐 i. ZONA DE PELDAÑOS 𝐏. 𝐏 . = 𝟒 𝐱 (𝟎. 𝟎𝟔𝟓) 𝒙 𝟏. 𝟎𝟎 𝒙 𝟐𝟒𝟎𝟎 = 𝟔𝟐𝟒 𝐊𝐠/𝒎𝟐 𝐀𝐜𝐚𝐛𝐚𝐝𝐨𝐬 = 𝟏𝟎𝟎 𝐱 𝟏. 𝟎𝟎 = 𝟏𝟎𝟎 𝐊𝐠/𝒎𝟐 𝐖𝑫 = 𝟔𝟐𝟒 𝐊𝐠/𝒎𝟐 𝐖_𝑳 = 𝟑𝟎𝟎 𝐊𝐠/𝒎𝟐 𝐖_𝒖𝟏 = 𝟏. 𝟒 𝐱 𝐖_𝑫 + 𝟏. 𝟕 𝒙 𝐖_𝐋 = 𝟏. 𝟒𝒙𝟔𝟐𝟒 + 𝟏. 𝟕𝒙𝟑𝟎𝟎 = 𝟏𝟓𝟐𝟑. 𝟔𝟎𝐊𝐠/𝒎𝟐

ii. ZONA DE DESCANSO

𝐀𝐜𝐚𝐛𝐚𝐝𝐨𝐬 = (𝐏𝐞𝐬𝐨 𝐦𝟐 ). 𝐛 = 𝟏𝟎𝟎 𝐱 𝟏. 𝟎𝟎 = 𝟏𝟎𝟎 𝐊𝐠/𝒎𝟐 𝐖_𝑫 = 𝟒𝟔𝟎 𝐊𝐠/𝒎𝟐 𝐖𝑳 = 𝟑𝟎𝟎 𝐊𝐠/𝒎𝟐

𝐖_𝒖𝟐 = 𝟏. 𝟒 𝐱 𝐖_𝑫 + 𝟏. 𝟕 𝒙 𝐖_𝐋 = 𝟏. 𝟒𝒙𝟒𝟔𝟎 + 𝟏. 𝟕𝒙𝟑𝟎𝟎 = 𝟏𝟏𝟓𝟒 𝐊𝐠/𝒎𝟐

C. CALCULO DEL MOMENTO MAXIMO Y MOMENTOS DE DISEÑO POSITIVO Y NEGATIVO

Calculo de la reacción en el nudo A

∑MB= 0

0 = RA𝑥(3.45) − 1523.6𝑥2.25𝑥(0.50𝑥2.25 + 1.20) − 1154.0𝑥0.50𝑥1.202 RA = 2551.08 Kg

Calculo del momento máximo

M𝑚𝑎𝑥 , cuando V𝑋=0 0 = RA − W1 . X 0 = 2551.08 − 1523.60 . 𝑋 X = 2551.08 1523.6 = 1.67 M_max= R_A. X − W1. X 2 2 = 2551.08𝑥1.67 − 1523.6 𝑥 1.672 2 = 2135.72 𝐾𝑔/𝑚2

+

𝐌

_{𝐃𝐈𝐒𝐄Ñ𝐎}

= 𝛂 𝐌

_𝐦𝐚𝐱

= 𝟎. 𝟗𝒙 (𝟐𝟏𝟑𝟓. 𝟕𝟐) = 𝟏𝟗𝟐𝟐. 𝟏𝟓 𝐊𝐠 − 𝐦

−𝐌𝐃𝐈𝐒𝐄Ñ𝐎 = 𝟏 𝟑 +_𝐌 𝐃𝐈𝐒𝐄Ñ𝐎 = 𝟏 𝟑(𝟏𝟗𝟐𝟐. 𝟏𝟓) = 𝟔𝟒𝟎. 𝟕𝟐 𝐊𝐠 − 𝐦 𝐦𝐚𝐱

𝐝 = 𝐭 − 𝟐 −𝐀𝐬 ∅𝟎. 𝟗𝟓𝟐

𝟐 = 𝟏𝟓 − 𝟐 −

𝟎. 𝟗𝟓𝟐

𝟐 = 𝟏𝟐. 𝟓𝟑 𝐜𝐦 Calculo del acero positivo: tanteando con la ecuación se obtiene

𝐀𝐬

+

=

+

_𝐌

𝐃𝐈𝐒𝐄Ñ𝐎

∅. 𝐟𝐲. (𝐝 −

_𝟐)

𝐚

𝐚 =

𝐀𝐬. 𝐟𝐲

𝟎. 𝟖𝟓. 𝐟

′

_{𝐜. 𝐛}

As

+

=

+

_M

DISEÑO

∅. fy. (d −

₂₎

a

=

1922.15

0.9𝑥4200𝑥(

12.53

−

0.99

_{2 )}

= 4.23 𝑐𝑚

2

a =

As. fy

0.85. f

′

_{c. b}

=

4.23x4200

0.85x210x1.00

= 0.99 𝑐𝑐𝑚

Por lo tanto cumple con lo supuesto

∅ 𝟑/𝟖" @ 𝟏𝟔 𝒄𝒎

Calculo del acero negativo:

𝐀𝐬

−

=

− M_DISEÑO

∅. 𝐟𝐲. (𝐝 −

_𝟐)

𝐚

𝐚 =

𝐀𝐬. 𝐟𝐲

𝟎. 𝟖𝟓. 𝐟

′

_{𝐜. 𝐛}

𝐀𝐬

−

=

−

_M

DISEÑO

∅. 𝐟𝐲. (𝐝 −

𝐚

_𝟐)

=

640.72

0.9𝑥4200𝑥(

12.53

−

0.322

_{2 )}

= 1.37 𝑐𝑚

2

a =

As. fy

0.85. f

′

_{c. b}

=

1.37x4200

0.85x210x1.00

= 0.322𝑐𝑚

Por lo tanto cumple con lo supuesto

∅ 𝟑/𝟖" @ 𝟒𝟓 𝒄𝒎

Calculo del acero de temperatura:

𝐀𝐬

_{𝐓𝐄𝐌𝐏𝐄𝐑𝐀𝐓𝐔𝐑𝐀}

= 𝟎. 𝟎𝟎𝟏𝟖 𝐛. 𝐝 = 𝟎. 𝟎𝟎𝟏𝟖𝐱 𝟏𝟎𝟎𝐱𝟏𝟐. 𝟓𝟑 = 𝟐. 𝟐𝟔𝒄𝒎

𝟐

E. DISTRIBUCION DEL ACERO

 La estructura está estructurado en base a pórticos de concreto armado, se colocaron las columnas y vigas de manera adecuada para garantizar un comportamiento a las cargas de manera adecuada.

 Para el predimensionamiento de elementos estructurales se basa mayormente en el Reglamento Nacional de Edificaciones porque en ello nos da ciertos parámetros que debemos obedecer en todo el territorio Peruano para que nuestro trabajo esté garantizado.  Para el predimensionamiento de columnas es de vital importancia el metrado de cargas de todos los elementos estructurales, y para ello debe estar se basó en el Reglamento Nacional de Edificaciones.

 Los criterios que se tomó para pre dimensionar los diferentes elementos estructurales generalmente está basado en el método realizado en el Aula y otros como son los criterios encontrados en el libro de Ing. Antonio Blanco Blasto, Genaro Delgado Contreras y otros.

 Recomiendo a los estudiantes de la Escuela Académica Profesional de Ingeniería Civil realizar trabajos de investigación en el área de Concreto Armado para entender de manera eficaz los temas muy complicados que se presentan en dicho área.

 A los estudiantes que se inclinan a esta rama de la ingeniería para su mejor entendimiento de manera más sencilla y con palabras técnicas repasar y estudiar los cursos que precedieron a esta asignatura.

 A los estudiantes e ingenieros para realizar la estructuración recabar algunas experiencias dadas por muchos ingenieros en nuestro país o en otros para poder garantizar un trabajo eficaz.

 A los estudiantes e ingenieros tener presente siempre el Reglamento Nacional de Edificaciones (R.N.E.), para realizar el predimensionamiento de elementos estructurales de nuestra edificación.

 Reglamento Nacional de Edificaciones

Reglamento Nacional de Edificaciones E.020 Cargas.

Reglamento Nacional de Edificaciones E.030 Diseño Sismorresistente. Reglamento Nacional de Edificaciones E.060 Concreto Armado.  Blanco Blasto, Antonio

Estructura ración y diseño de edificios de concreto armado. 1995  San Bartolome, Angel

Analisis de Edificios, Fondo Editorial PUCP – 1998  T. Harmsen