Muestreo de Funciones y la Transformada Discreta de Fourier

Muestreo de Funciones y la Transformada Discreta de

Fourier

Al implementar simulaciones con la óptica de Fourier en la computadora, es necesario representar funciones con valores de muestradiscretas por matrices , y aplicar transformaciones y métodos de procesamiento diseñados para estas señales discretas, para llegar lo más cerca posible a la simulación de espacio continuo, que sería genial para modelar los elementos físicos con una muestra estipulada. Sin embargo, la memoria de la computadora y las limitaciones del tiempo de ejecución no permiten esto. Por lo tanto, la elaboración de simulaciones prácticas con óptica de Fourier se convierte en un acto de equilibrio con conjunto de muestreo aceptable y recursos informáticos disponibles.

2.1 Toma de muestras y el teorema del muestreo de Shannon-Nyquist Considere la función analítica de dos dimensiones (2D) g (x, y) y supongamos que es muestreada de manera uniforme (Fig. 2.1) en las direcciones x e y, que se indica por

(

,

)

(

,

)

(2.1)

g x y →g m x n y∆ ∆

donde el intervalo de muestreo son ∆x en la dirección x y ∆y en la dirección y, y m y n son índices de valores enteros de las muestras. Las respectivas frecuencias de muestreo son 1 / ∆x y 1 / ∆y. En la práctica, el espacio muestreado es finito y, suponiendo que se compone de M x N muestras en las direcciones x e y, respectivamente, m y n se definen a menudo con los siguientes valores:

,..., 1 , ,..., 1 (2.2)

2 2 2 2

M M M M

m= − − n= − −

Esta es una disposición de índice estándar en la que M y N se supone que son pares. Números pares de muestras se usan en este libro por

razones asociados con la eficiencia de la transformada de Fourier discreta y la disposición de muestras ,

Figure 2.1 Funciones bidimensional: (a) Analítica y (b) versión de muestra. de un área física finita (por ejemplo, unidades de m2_{) es abarcado por}

el espacio de muestra, y esto se da por LX X LY, donde LX es la longitud

a lo largo del lado x del espacio muestreado y LY es la longitud a lo

largo del lado y ( Fig. 2.1). LX y LY se conocen como las longitudes de

los lados. Ellos representan las distancias físicas y están relacionados con los parámetros de muestreo por

, (2.3)

X Y

L =M x∆ L =N y∆

Una preocupación de muestreo obvia es si todos los valores significativos de g (x, y),"Encajan" dentro del área física definida por LX

x LY. El apoyo de g(x, y) se refiere al rango de los valores significativos.

Este concepto se ilustra en la Fig. 2.2 (a) para un eje. Si DX es el soporte

en la dirección x y DY es el soporte en la dirección y, entonces, para que

los valores significativos de g (x, y) estén contenido dentro de la matriz se requiere,

, (2.4)

X X Y Y

Otra preocupación es si los intervalos de la muestra son lo suficientemente pequeños para preservar las características de g (x, y). Para las funciones que son de banda limitada, en el que el contenido espectral de la señal se limita a un rango finito de frecuencias, una función continua puede recuperarse exactamente a partir de las muestras si el intervalo de la muestra es menor que un valor específico. El teorema de muestreo de Shannon-Nyquist, extendido a dos dimensiones, afirma este requisito como

1 1 , (2.5) 2 _X 2 _Y x y B B ∆ < ∆ <

Figure 2.2 Illustration of the (a) support DX and (b) bandwidth BX along

the x axis of g(x, y). Bandwidth is commonly defined as a half-width measure and is illustrated here with a profile of |G(fX, fY)|, the Fourier

transform magnitude of g(x, y).

donde BX es el ancho de banda del espectro de la función continua a lo

largo de la dirección x y BY es el ancho de banda a lo largo de la

dirección y. El ancho de banda se ilustra en la Fig. 2.2 (b). La violación de la ecuación. (2.5) da lugar a error, en el que componentes

submuestreadas de alta frecuencia en la señal se interpretan erróneamente como contenido de baja frecuencia. Un parámetro relacionado es la frecuencia de Nyquist dada por

1 1 , (2.6) 2 2 NX NY f f x y = = ∆ ∆

que es la mitad de la frecuencia de muestreo y corresponde a la frecuencia espacial máxima que puede ser representado adecuadamente, dado el intervalo ∆x o ∆y.

2.2 Ancho de banda Efectivo

Funciones prácticas tales como las definidos en el capítulo 1 no son de banda limitada. De hecho, cualquier función con soporte finito, como la función rectángulo o círculo, no puede ser de banda limitada. A menudo, estas funciones tienen un ancho de banda efectivo que abarca los valores de frecuencia más significativos. A pesar de que los criterios planteados por el teorema de Shannon-Nyquist pueden no estar completamente satisfechos, un intervalo de muestra lo suficientemente pequeño puede ser hallado para proporcionar una representación aceptable de la función analítica, donde los efectos de dispersión sean pequeños.

Por ejemplo, considere una señal cuadrada 2D con la mitad del ancho, w, dada por:

(

,

)

(2.7) 2 2 x y f x y rect rect ω ω     = _{   }    

La analítica transformada de Fourier produce el espectro,

(

)

2

(

)

(

)

, 4 sin 2 sin 2 (2.8)

X Y X Y

Un enfoque para hallar la anchura de banda efectiva ,es encontrar la anchura espectral (o radio) que contiene un alto porcentaje de la potencia total en el espectro. Aplicando el teorema de Parseval en la ecuación. (2.8), la potencia espectral total es,

(

2

)

2 2

(

)

2

(

)

2 2 2 4 sin 2 sin 2 4 (2.9) 2 2 T X Y X Y Y P c f c f df df x x

rect rect dxdy

ω ω ω ω ω ω ∞ −∞ ∞ −∞ =     = _{   } =    

∫ ∫

∫ ∫

Un criterios prácticos para el ancho de banda efectivo (B) es incluir 98% de la potencia espectral total. La conversión a coordenadas polares para permitir un valor de ancho de banda radial B considerado, nos lleva a

(

)

(

)

(

)

2 2 2 2 2 0 0 1

4 sin 2 cos sin 2 0, 98 (2.10)

B T c c sen d d P π ω _ ω ρ θ _ _ ω ρ θ _ρ ρ θ =

∫ ∫

donde fX =ρcosθ y fY =ρsenθ . Las integrales en el lado izquierdo se

pueden evaluar numéricamente para diversos valores de B hasta que la Ec. (2.10) se cumple. Con este enfoque, el ancho de banda efectivo hallado es , 5 (2.11) B w ≈

Figura 2.3 ilustra la porción del espectro que abarca el 98% de la potencia espectral. Sustituyendo la Ec. (2.11) en la ecuación. (2.5) para el ancho de banda da , (2.12) 10 w x ∆ ≤

que dice, se requieren al menos 10 muestras a través de la mitad de la anchura de la función rect (20 a través del ancho completo) para retener el ancho de banda efectivo indicado en la ecuación. (2,11). Es importante darse cuenta que la parte del espectro analítico que se encuentra más allá de la frecuencia de Nyquist no desaparece. Aunque pequeño en potencia, pueden introducir al contenido dispersiones notable de frecuencia que son errónea.

Figura 2.3 (a) Magnitud del espectro de Fourier y (b) espectro de potencia de g (x, y) = rect (x / w) rect (y / w), que comprende 98% de la potencia espectral total.

La Tabla 2.1 muestra los valores de ancho de banda efectivo para la función círculo , cuadrado, y Gaussiana, calculados de la misma manera. Un ancho de banda efectivo más grande puede ser usado si hay una necesidad de incluir más de la potencia espectral.

2.3 Transformada de Fourier Discreta desde la transformada continúa La DFT, por lo general en la forma de su alta eficiencia desciende de la transformada rápida de Fourier (FFT) que es una herramienta fundamental para el modelado de problemas de la óptica de Fourier en la computadora. El objetivo de esta sección es desarrollar la DFT, una implementación discreta de la transformada de Fourier continua. La derivación es útil para entender la escala de las coordenadas espaciales de la muestra y coordenadas de frecuencia, así como también, las constantes multiplicativas que resulta en la transformada discreta. Esta escala es una parte importante para modelar un problema de la óptica Física. Sólo los aspectos de la DFT y FFT que son críticos para los enfoques de simulación cubiertos en este libro se ponen de relieve, por lo que hay muchos más detalles por descubrir (o descubiertos) en otros recursos.

Recordando que la analítica transformada de Fourier de una función g de dos variables x e y se referencia como,

(

_X, _Y

)

g

(

,

)

exp 2

(

_{X Y}

)

(2.13)

G f f x y j π xf yf dxdy

∞ −∞

=

∫ ∫

_− + _

En primer lugar, supongamos que g (x, y) se muestrea tal como se indica en las ecuaciones. (2.1) y (2.2). Para simplificar algunas de las notaciones, la siguiente sustitución puede utilizarse cuando no se muestran explícitamente los intervalos reales de la muestra:

(

)

(

)

g m∆x, n∆y →
g m n, (2.14)

A continuación, las integrales de la ecuación. (2.13) se puede aproximar usando una suma de Riemann:

/2 1 / 2 1 / 2 /2 ... ... (2.15) N M n N m M dxdy x y ∞ ∞ _{− −} =− =− −∞ −∞ →

∑ ∑

∆ ∆

∫ ∫

Debido a que la operación de DFT se lleva a cabo de forma genérica en una matriz discreta de valores sin información específica del intervalo de muestreo, los multiplicadores ∆x∆y en la ecuación. (2.15) no están incluidos en la definición DFT. Sin embargo, estos multiplicadores necesitan ser aplicados posteriormente en la operación de DFT para la escala apropiada de un problema físico.

La convención para el dominio de la frecuencia es dividir este "espacio" continua, indicado por fX y fY, en M y N espaciando uniformemente los

valores de las coordenadas. Esto implica las siguientes sustituciones:

, / 2,..., / 2 1 , q / 2,..., N/ 2 1 , (2.16) X Y p f p M M M x q f N N y → = − − ∆ → = − − ∆

donde p y q son números enteros de múltiples índices para el intervalos de muestreo de frecuencia

1 1 1 1 , . (2.17) X Y X Y f y f M x L N Y L ∆ = = ∆ = = ∆ ∆

De hecho, p y q tomar los mismos valores como m y n, respectivamente, cuando el espacio y las matrices de frecuencia tienen el mismo número de elementos. Tenga en cuenta que los valores máximos absolutos de la frecuencia de las coordenadas en la ecuación. (2.16) son las frecuencias de Nyquist 1 / (2∆x) = fNX y 1 / (2∆y) = fNY .

Incorporando la ecuación. (2.16) en el núcleo de la exponencial compleja en la ecuación (2.13). se obtiene

(

)

exp 2 exp 2 exp 2 (2.18) X Y p q j xf yf j m x n y M x N y pm qn j M N π π π    − + → − ∆ + ∆   _{  }   ∆ ∆        = _− _ + _    

Finalmente, sustituyendo las ecuaciones. (2.14) - (2.18) en la ecuación. (2.13), llegamos a la siguiente forma de la DFT:

(

)

(

)

/2 1 / 2 1 / 2 / 2 G , g , exp 2 , (2.19) M N m M n N pm qn p q m n j M N π − − =− =−    = _− _ + _    

∑ ∑

donde G

(

p q,

)

representa la DFT de g

(

m n,

)

. La inversa transformada de Fourier discreta (DFT-1_{) se deriva de una manera similar y se escribe}

como,

(

)

(

)

/ 2 1 /2 1 / 2 / 2 1 g , G , exp 2 , (2.20) M N p M q N pm qn m n p q j MN π M N − − =− =−    = _− _ + _    

∑ ∑

La aparición del multiplicador 1 / MN en la ecuación. (2.20) requiere una cierta discusión. El factor es igual al producto ∆x∆y∆fX∆fY [ver Ec.

(2.17)], que se produce cuando evaluamos numéricamente la integral inversa de Fourier, operada con la no inversa. Este factor permite con la DFT seguido de la DFT-1_{, devolver los valores de la función original,}

que es consistente con el teorema de la integral de Fourier. La aplicación de 1 / MN varía con las diferentes herramientas de software. Por ejemplo, MATLAB implementa la transformada inversa sobre la base de las definiciones contenidas en las ecuaciones. (2.19) y (2.20), pero algunas aplicaciones, aplican el factor (MN)-½ tanto en la transformada directa como inversa. En algunas situaciones de modelado, vamos a necesitar tener en cuenta este factor.

La inversa y no inversa DFT, no se logran generalmente con una directa ejecución de las Ecs. (2.19) y (2.20), sino que se logran con los algoritmos FFT y FFT-1 _{computacionalmente eficiente. Estos algoritmos}

implementan un esquema que no es de importancia específica aquí, aparte de decir que el resultado es consistente con las ecuaciones. (2.19)

y (2.20). Los algoritmos de FFT son más eficientes cuando M y N tienen una potencia de 2, aunque los tiempos de cálculo pueden ser casi tan rápidos con otros valores. Un problema práctico para la aplicación de FFT se refiere a la disposición y la indexación de los valores de los datos en una matriz. Este problema será discutido a continuación.

2.4 Coordenadas, Indexación, centrado, y desplazamiento

Los muestreo uniforme y rejillas cuadradas, donde ∆y = ∆x, N = M, y LX = LY = L, se utilizan a menudo en la práctica. Este será el caso para

todos los ejemplos presentados en este curso; por lo que para simplificar la presentación, a menudo se discute solamente un conjunto de variables.

Teniendo en cuenta las ecuaciones. (2.1) y (2.2), las coordenadas de las muestras a lo largo de una dimensión puede ser descrita como

: x : x , (2.21)

2 2

L L

x→ −_ ∆ − ∆ _

 

donde la notación anterior es presentada por MATLAB, e indica que las coordenadas van desde -L / 2 a L / 2-∆x en pasos de ∆x. Las coordenadas del eje y se definen de manera similar. Suponiendo una relación FFT entre los dominios espacial y espectral, entonces de las ecuaciones. (2.16) y (2.17) se deriva los siguientes elementos:

1 1 1 1 : : , (2.22) 2 2 X f x L x L   → −_ − _ ∆ ∆  

indicando, que el rango de la coordina espacial de frecuencia va de -1 / (2∆x) a 1 / (2∆x) -1 / L en pasos de ∆fX = 1 / L. Una vez más, las

Las variables de índice entero m y n, así como p y q introducido en las ecuaciones. (2.2) y (2.16) presentan valores negativo, así como positivos. Sin embargo, las aplicaciones de software utilizan valores enteros positivos para la indexación del vector o matriz . En el caso de MATLAB, indexación para un vector unidimensional(1D) comienza en (1). Para fines de presentación es conveniente " centrar" la función de interés en el vector, lo que significa que la coordenada cero corresponderá a el índice(M/ 2 + 1 ) . Sin embargo, la convención para los algoritmos de FFT en 1D ,es que el valor de los datos se coloca en la primera posición de índice ,corresponde al cero de coordenadas. Por lo tanto, un "cambio" de los valores del vector en el centrado es necesaria antes de una operación FFT.

La figura 2.4 ilustra los arreglos de valores e índices de una muestra 1D para una función rect, y su espectro. La disposición en las Figs. 2.4 (a) y (b) es consistente con el desarrollo del análisis en la Sección 2.1, donde los índices abarcan valores negativos y positivos. Las Figuras 2.4 (c) y (d) ilustran la disposición del centrada en el computador con índices positivos, y las Figs. 2.4 (e) y (f) muestran la disposición del desplazamiento, que es necesario antes de una FFT o FFT-1_{. La}

conversión entre los acuerdos del centrado y el desplazamiento, se puede hacer fácilmente con el comando de MATLAB fftshift. La inversa del cambio para volver a la disposición centrada, se realiza con ifftshift.

Figure 2.4 Sampling arrangements for 1D spatial (left column) and frequency (right column) vectors: (a) and (b) analytic; (c) and (d) centered; and (e) and (f) shifted for FFT operations.

Para una matriz 2D, MATLAB comienza indexación en (1,1). Una función centrada tiene valor de coordenada cero [x, y] = [0,0] localizada con el índice (N / 2 + 1, M / 2 + 1). Antes de la FFT en 2D, se necesita un cambio para colocar el valor de la coordenada cero en el índice (1,1). En la figura 2.5 están ilustra los arreglos del centrado y el desplazados, para las matrices 2D. En la Fig. 2.5 se muestra que el

orden de las filas es de arriba hacia abajo, y el orden de las columnas es de izquierda a derecha. El cambio necesario es en realidad un intercambio de cuadrantes de la matriz. Una vez más, fftshift y ifftshift se pueden aplicar para moverse entre las disposiciones del centrado y desplazado.

Un confuso detalle de datos en la matriz 2D es que MATLAB utiliza un esquema de indexación fila-columna, donde i indica la fila y j la columna en (i, j). Esto es en un sentido, un revés de coordenadas estándar de la notación cartesiana, donde x (eje horizontal o "columna") aparece en primer lugar e y (eje vertical o "fila") aparece en segundo lugar. Por lo tanto, los j-índices corresponden a las coordenadas x, y i-índices corresponden a las coordenadas y. Esto explica que la (j, i) listada por (N / 2 + 1, M / 2 + 1) se combina con los valores [x, y] en la Fig. 2.5. Afortunadamente, la utilización de Símbolos con vectores en MATLAB se ha desarrollado para el sistema de coordenadas cartesianas; Por lo tanto, este problema es casi transparente en cuanto a la medida de la programación se refiere. Este arreglo de matriz se convierte realmente en un problema sólo cuando los valores de índice entero se utilizan en los códigos.

Figure 2.5 Sampling arrangements for 2D spatial array: (a) centered and (b) shifted for the 2D FFT.

2.5 Extensión periódica

En términos generales, la totalidad de los teoremas de la transformada de Fourier que figuran en la Tabla 1.1 se pueden aplicar en el dominio discreto. Por ejemplo, una convolución se puede realizar mediante el cálculo de la FFT de dos funciones discretas, multiplicando los resultados (punto a punto) y calculando la FFT-1_{. Sin embargo,}

resultados de transformadas discretas difieren de resultados analíticos en una forma que se caracteriza por un concepto conocido como extensión periódica. A continuación, ofrecemos una ilustración y una breve discusión de esta propiedad. El tema se trata con mayor profundidad en otros recursos, tales como el trabajo por Brigham. Considere la 1D, función analítica f (x) y una versión muestreada dada por

( )

( )

x x (2.23) f x f x comb rect x L      =_{    } ∆      

La función de peine "escoge" los valores de la muestra a intervalos de ∆x y la función rect establece el espacio total muestreada como L. Tomando la transformada de Fourier analítica de la ecuación (2.23) da

(

_X

)

(

_X

)

(

_X

)

sin

(

_X

)

(2.24)

F f =_F f ∗ ∆xcomb ∆xf _∗ c Lf

Este resultado es una función continua en el que el espectro analítico de F(fX) se repite a intervalos de 1 / ∆x. La convolución con la sinc es

un proceso de "suavizado". Sin embargo, la operación FFT en realidad produce un resultado de muestra que se puede modelar mediante la alteración de la ecuación. (2.24) con un término de muestreo

(

)

{

(

)

(

)

sin

(

)

}

(

)

(2.25)

P X X X X X

El nuevo término del peine, define el espacio de la muestra en el dominio de la frecuencia por 1 / L. Esto es consistente con la ecuación. (2,17). Por la transformación inversa de la ecuación (2.25), nos encontramos la función que corresponde al espectro de FP ( fX):

( )

( )

(2.26)

P

x x x

f x f x comb rect comb

x L L        =    ∗   ∆          

Por lo tanto, el concepto de extensión periódica se puede describir de la siguiente manera: a pesar de que empezamos con una versión muestreada de f (x) en el dominio espacial, cuando se realiza la FFT, es como si comenzamos con la función periódica f(x) y produjéramos el espectro periódico FP(fX) .

Para ilustrar, una función analítica rectángulo se muestra en la Fig. 2.6 (línea continua) junto con una versión muestreada (puntos). La versión muestreada está contenida en un vector de longitud 20, donde L = 20 y ∆x = 1. La forma de la función periódica, que se extiende (virtualmente) más allá de la extensión original del vector de la muestra, también se indica (línea discontinua) . La figura 2.6 (b) muestra la magnitud del espectro analítico del rectángulo (sólido), el resultado de la FFT (puntos), y el espectro periódico (de trazos). La Figura 2.6 (b) ilustra las muestras de FFT siguiendo el espectro periódico. La diferencia más obvia entre los espectros analíticos y de la muestra en este caso, es en valores de muestra ligeramente más grande, en los lóbulos de magnitud con frecuencias más altas. Este efecto resulta de la dispersión de frecuencias su muestreadas con el espectro del rectángulo. El concepto de extensión periódica es una forma instructiva para definir este efecto. En la práctica, mediante el muestreo de una función que preserve el ancho de banda-eficaz por ejemplo, a nivel de 98%, sólo una pequeña cantidad de dispersión es introducida.

Figure 2.6 Periodic extension illustration: (a) rect function—analytic (solid), periodic extension (dash) and sampled (dot); and (b) rect spectral magnitude— analytic (solid), periodic extension (dash) and FFT samples (dot).