Unidad 1: Matemática 8° básico N° 2
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Estimado estudiante, las actividades que desarrollarás en la siguiente guía te permitirán comprender el concepto de raíz cuadrada a partir de su definición, y a estimarla de manera intuitiva.
PARTE 1
Objetivo de la clase: comprender y estimar raíces cuadradas de números naturales en forma intuitiva.
Actividad N°1 (30 minutos aproximados)
1. Se llama raíz cuadrada de un número al número positivo 𝑎 que, elevado al cuadrado, da como resultado 𝑥. Escribimos
𝑎 = √𝑥 ↔ 𝑎2 = 𝑥 a) Considera los valores de las siguientes potencias:
12= 1 22= 4 32 = 9 42= 16 52= 25 62= 36 ¿Entre qué números naturales se ubicará √18? Explica por qué.
____________________________________________________________________________________ b) Verifica si √18 corresponde al promedio de los números definidos en la respuesta a). En caso de que
no corresponda, ¿de cuál de los números debe estar más cerca su valor?
____________________________________________________________________________________ ____________________________________________________________________________________
a) ¿Cómo puedes continuar el procedimiento para encontrar un valor más cercano a la raíz pedida? Explica y aplícalo en este caso.
2. Observa los siguientes cuadrados de números naturales. 12= 1 112= 121 212= 441 22= 4 122= 144 222= 484 32= 9 132= 169 232= 529 42 = 16 142= 196 242= 576 52 = 25 152= 225 252= 625 62 = 36 162= 256 262= 676 72 = 49 172= 289 272= 729 82 = 64 182= 324 282= 784 92 = 81 192= 361 292= 841 102 = 100 202= 400 302= 900
a) ¿Podrías anticipar en qué dígito terminan 432 y 582? Explica.
__________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________
b) ¿Entre qué múltiplos de 10 se debe ubicar √1296, si se sabe que es un número natural? ¿Por qué? __________________________________________________________________________________ c) Considerando lo anterior, ¿qué números podrían ser la raíz de 1296, considerando que termina en 6?
Explica.
__________________________________________________________________________________ d) ¿Cuál es el valor de √1296? ¿Por qué?
Es _______, ya que, verificando se tiene que ___________________________
Actividad N° 2: Práctica guiada (30 minutos aproximados)
1. Escribe en cada caso dos números naturales consecutivos entre los que se encuentra la raíz cuadrada dada.
a) √130
Paso 1: Vemos que 100 < 130 < 400, por lo que se trata de un número entre _________
Paso 2: Ya que 130 se encuentra más cerca de 100 que de 400, podemos empezar a probar valores desde 10 112=
122= Observamos así que 11 < √130 < 12
b) √562
Paso 1: Vemos que 400 < 562 < 900, por lo que se trata de un número entre 20 y 30
Paso 2: Ya que 562 se encuentra más cerca de 400 que de 900, podemos empezar a probar valores desde 20 212= 441
222= 484
232= 529 242= 572
Observamos así que 23 < √562 < 24
2. Determina, para cada raíz anterior, una aproximación cuyo cuadrado sea diferente del número dado en menos de una décima
a) √130
Paso 1: ya tenemos que 11 < √130 < 12. Analizaremos los decimales respectivos, con una décima, desde 11. 11,12=
11,22=
11,32=
11,42= 11,52=
Paso 2: observamos que 11,4 cumple con la condición pedida, por lo que se trata de una buena aproximación √130 ≈
b) √562
Paso 1: ya tenemos que 23 < √562 < 24. Analizaremos los decimales respectivos, con una décima, desde 24. 23,92=
23,82=
23,72= 23,62=
Paso 2: observamos que 23,7 es la aproximación más cercana, pero nos da un número menor al pedido. Analizaremos agregando un segundo decimal y calculando los cuadrados respectivos
23,712= ____________
Paso 3: obtenemos ahora un número mayor que el pedido, por lo que probamos reduciendo el decimal, una centésima a la vez.
23,7092= _____________ _________ = _____________
Paso 4: observamos que 23,708 cumple con la condición pedida, por lo que se trata de una buena aproximación √562 ≈ ______
Desafío (10 minutos aproximadamente)
¿Cuál de las siguientes afirmaciones respecto de √6𝑝8 es verdadera, si 𝑝 es un número natural? Si 𝑝 es un valor entre 1 y 9.
A. Corresponde a un número natural. B. Se encuentra entre 24 y 27
C. Es mayor que 27 D. Es menor que 25
Actividad N° 3: Práctica independiente (20 minutos aproximados)
1. Calcula el valor de las siguientes raíces cuadradas, sabiendo que se trata de números naturales.
a) √1444 = b) √2209 = c) √2704 = d) √4356 =
2. Anota, en cada caso, la mejor aproximación de la raíz cuadrada dada.
a) √10 3 ______ 3,3 b) √27 _________ 5,3 5,5 c) √210 _________ 14,8 14,9
Actividad de síntesis (10 minutos aproximados)
Un terreno cuadrado tiene un área de 170 𝑚2. ¿Cuál de los siguientes valores representa mejor su perímetro? A. 340 𝑐𝑚
B. 40 𝑐𝑚 C. 52 𝑐𝑚 D. 56 𝑐𝑚
PARTE 2
Objetivo de la clase: comprender y representar raíces cuadradas en la recta numérica.
Actividad N°1 (20 minutos aproximados)
Anteriormente hemos visto que se llama raíz cuadrada de un número 𝑥 al número 𝑎 tal que, al ser elevado al cuadrado, es igual a 𝑥. Escribimos
𝑎 = √𝑥 ↔ 𝑎2 = 𝑥
Además, pudimos ver algunas estrategias para determinar cuándo se trata de un número natural o para aproximarla en caso contrario.
1. Considera √13.
a) ¿Entre qué números naturales se encuentra? ¿Por qué?
____________________________________________________________________________________ ____________________________________________________________________________________ b) Determina una aproximación para √13.
c) Construimos una recta numérica, señalando las décimas en ella.
d) ¿Es correcto ubicar √13 justo en la posición de 3,6? Explica por qué.
___________________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________________
e) Ubica el valor de √13 en la recta numérica. Explica tu procedimiento.
___________________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________________
Actividad N° 2: Práctica guiada (30 minutos aproximados) 1. Ubica en la recta numérica las raíces cuadradas pedidas.
a) √19
Paso 1: Vemos que 42= 16 y 52 = 25, por lo que se trata de un número entre _________
4,12=
4,22= 4,32= 4,42=
Paso 3: Observamos que se trata de un valor entre 4,3 y 4,4; más cercano a 4,4 ya que esta es una mejor aproximación.
Paso 4: construimos una recta numérica, señalando las décimas en ella, y ubicamos el valor pedido entre 4,3 y 4,4; más cerca de este último valor.
b) √53
Paso 1: Vemos que 72= 49 y 82 = 64, por lo que se trata de un número entre ____________
Paso 2: Ya que 53 se encuentra más cerca de 49 que de 64, podemos empezar a probar valores desde 8 7,12=
7,22=
7,32= 7,42=
Paso 3: Observamos que se trata de un valor entre 7,2 y 7,3; más cercano a 7,3 ya que esta es una mejor aproximación.
Paso 4: construimos una recta numérica, señalando las décimas en ella, y ubicamos el valor pedido entre 7,2 y 7,3; más cerca de este último valor.
Chequeo de la comprensión
¿Cuál de las siguientes posiciones representa mejor el valor de √12?
A. A B. B C. C D. D
Actividad N° 3: Práctica independiente (30 minutos aproximados) 1. Ubica en la recta numérica dada la raíz cuadrada pedida.
a) √35
b) √41
c) √59
d) √62
2. En la siguiente recta numérica se han representado las raíces cuadradas de algunos números naturales. Identifica en cada caso a cuál corresponde.
𝐴 = 𝐵 = 𝐶 = 𝐷 =
Desafío (10 minutos aproximados)
Un terreno cuadrado tiene un área de 196 𝑚2. ¿Cuál de los siguientes valores representa mejor su perímetro? A. 340 𝑐𝑚
B. 40 𝑐𝑚 C. 52 𝑐𝑚 D. 56 𝑐𝑚