Interes Compuesto LPG

(1)

C¿píxur*

4 INTERES

COMPUESTO

CJETIVO

El objetivo de este capítulo es enseñar el manejo de los factores

que intervienen en los

cálculos

de interés compuesto

junto con los análisis

matemáticos

que conducen al

desa-rrollo de las fórmulas para el cálculo de montos, tasas

y tiempos. Al terminar el

capítu-lo, será posible reconocet definir y calcular los factores que intervienen en el interés

compuesto,

calcular montos, tasas

nominales,

tasas

efectivas

y tasas

equivalentes.

¡ N T R O D U C C ¡ ó N

En los problemas

de interés simple, el capital que genera los intereses

permanece

cons-tante todo el tiempo de duración del préstamo. Si en cada intervalo de tiempo

conveni-do en una obligación se agregan los intereses

al capital, formando un monto sobre el

cual se calcularán

los intereses

en el siguiente intervalo o periodb de tiempo, y así

suce-sivamente, se dice que los intereses

se capitalizan y que la operación financiera es a

interés compuesto.

En una operación

financiera a interés compuesto,

el capital aumenta en cada final

de periodo, por adición a los intereses

vencidos a la tasa convenida.

Función del üempo Elcrecimiento natural es unavariación proporcional a la cantidad

presente

en todo instante; tal es el caso del crecimiento de los vegetales,

las colonias

de

(2)

MATEMÁNCAS FINANCIERAS

tiempo. En Ia capitalización a interés compuesto, también se produce el crecimiento

continuo; más adelante, en la sección 4.9 se estudiará el monto a interés compuesto

como función conünua del tiempo.

En la sección

_{1.12 se incluyó la gráfica de los valores del monto a interés simple y}

la función Y : 1 + Xl, donde los valores de Y corresponden al monto de un capitál gí,

como función continua del tiempoX. Sin embargo,

para las aplicaciones

comeriiales,

el

tiempo en el eje X se mide en periodos o fracciones

de periodos que no son inferiores a

un día; esto implica que el monto a interés simple comercial esinat'unción discreta

del

tiempo. En estas

_{condiciones,la gráfica de los valores del monto a interés simple, para}

un capital inicial de $1, no es la gráfica de la función continua Y :'J, * Xique formiuna

recta, sino la escalonada

que se muestra en la gráfica (obsérvese

que, para fracciones

de

periodo, la tasa de interés simple es tasa

proparcional;

aéase

elproblema 1 del capítulo 1).

periodos

En el crecimiento

de un capital a interés compuesto,

los intereses

ganados

se

agre-gan al capital en intervalos de tiempo que se estipulan contractualmente;

bajo estas

condiciones,

el monto es función discreta del tiempo.

Gráfica del monto de un capital de $1.000 al interés del1,0% con capitalización

anual. (Véase

ejemplo 4.1).

Periodo de capitalización Es el intervalo convenido en la obligación, para capitalizar

los intereses.

Thsa

de interés compuesto Es el interés fijado por periodo de capitalización.

Valor futuro de un capital a interés compuesto o monto compuesto Es el valor del

capital final, o capital

acumulado,

después

de sucesivas

adiciones

de los intereses.

(3)

I N T E R E S C O M P U E S T O

ffiE[ Se conviene una deuda de $1.000 a 5 años de plazo al interés del 10% con capitalización anual. Esto significa que al final de cada año los intereses deben capitalizarse. A continuación se muestra en el cuadro de desarrollo de la deuda, el capital acumulado al final de cada periodo, que en este caso es anual.

J

Intereses

e n e l

periodo

X periodos

1 )

3 + i

n

N ú m e r o d e periodos

Capital a

principio de

Lreriodo

Capital más

intereses

a final

de periodo

1.000,00

1 . 1 0 0 , 0 0

1.210,00

1 . 3 3 1 , 0 0

7.161,70

1 0 0 , 0 0

1 1 0 , 0 0

121,00

1 3 3 , 1 0

746,47

1 . 1 0 0 , 0 0

1 . 2 1 0 , 0 0

1 . 3 3 1 , 0 0

1 . 4 6 4 , L 0

1,.61,0,51,

Si el préstamo

fuese a interés simple,

su monto al final de los 5 años sería:

S = C(1

* rri) = 1.000

[1 + 5(0,10)]

= 1.000(1

+ 0,50)

: 1.000(1,50)

S : $1.500

(monto

a interés

simple)

F : 1.610,51

(valor

final a interés

compuesto).

M O N T O O V A L O R F U T U R O

A I N T E R E S

C O M P U E S T O

Sea

el capital

P puesto al interés

i por periodo de capitali

zacíón(i

es el tanto por ciento

en el periodo). Calcular el r,alor futuro F al final de rr periodos de capitalizaciín.

{J

(4)

!fl MArEMÁncASFrNANcrERAs

Capital

a principio

Periodos de periodo

Intereses

en el

periodo

Capital más intereses

a final de periodo

1 , P

2 P(l

3 P(l

:.

:.n

+ 0

+ i)'

+ i)u

n

P(1,

+ i)*1

F : p ( l

Pi

P(1,

+ i)i

P ( l + i ) z i

P(1 + i)3t

a

P(1.

+ i)*1i

+ i)'

P + P i = P ( l + i )

P(l + t) + P(1 + i)i = P(l+ i)z

P(1,

+ i)2 + P(1 + i)2i : P(l + i)3

P(1 + t)3 + P(1 + i)3i = P(l+ i)a

:

P ( 1 + 0 * 1 + P ( 1 + i ) * 1 i : P(1 + l),

o sea

_(lea)

F : monto compuesto

P : capital

i : tanto por uno en el periodo

(1 + t), : factor de valor futuro (VF), o factor de interés compuesto y

corresponde

al VF de 1 a interés compuesto en n periodos.

Los valores del'factor de acumulación (1 * i)'pueden hallarse utilizando

calcula-dora, logaritmos o mediante el desarrollo del teorema del binomio. En la práctica se

utilizan calculadoras

o tablas financieras

_{en las que los valores de (1 + i)" están}

calcula-dos hasta con diez decimales, para las tasas

más utilizadas y para valores de n desde 1

hasta 150 periodos. Al final del libro se han incluido, parcialmente,las

tablas

financie-ras Por estudiar a lo largo de éste; ellas permitirán comprender y practicar su manejo.

La tabla I tiene los valores de (1 + i)" para valores de r, desde 1/4% al8/o; para

valores de n desde t hasta 50 periodos. Aproximados hasta 8 decimales.

EIIEEI

Un banco

ofrece

la tasa

del 10%

paralos

depósitos

en cuenta

de ahorros.

Calcular

el monto de un depósito

_{de $1.000}

al cabo

de 10 años

utilizando:

(a) calculadora;

(b)

logaritmos;

(c) tablas.

(a) Para

este

cálculo

se emplea

una calculadora

científica

de bolsillo:

Si la calculadora

no tiene función XY,

podría calcularse

por productos

sucesivos,

así:

l,'l'(l'1) = 1,21;'1,,21(1,21)

= 1,4641;

1,4647

(7,464'l) = 2'1435888;

2,1.435888(1,21)

=

2,593744: (1,1),0

El mundo actual no se puede dar el lujo de desperdiciar

el tiempo

, y para que haya eficiencia

exige

disponer

de instrumentos

adecuados

para cada actividad.

(5)

r E -Utilizando logaritmos:

P(1 + 4,

1 . 0 0 0 ; l : 0 , 1 0 ; n : 1 , 0

1 . 0 0 0 ( 1

+ 0 , 1 0 ) 1 0 :

1 . 0 0 0 ( 1 , 1 ) 1 0 :

92593,74

rNrERÉscoMPUESro

_Ea

t.000(2,5937424)

(b)

r.

_s;

: l;?Tll'..',T'"r;,1

ooo.''""

log 1.000 : 10 log1,1 : 0,041393(10) logF F = 92.593,76 (c) Utilizando tablas:

: 3,000000

: 0,413930

= 3,413930

En la tabla I se busca la intersección de la columna del1,0% con la fila n = 10, v se encuentra el valor 2,59374246

F = 1.000(1 + 0,10)10 = 1..000(2,59374246) F = $2.593,74

Notación estándar Las matemáticas financieras, como todas las ciencias, evolucionan con el tiempo. Los avances tecnológicos y los nuevos sistemas operacionales exigen una revisión de sus conceptos, definiciones, estructura matemática de teoremas y mo-dos de operar En matemáticas financieras se ha diseñado un modelo para representar Ia relación funcional entre los factores que intervienen en un problema financiero, este modelo es la notación estándar.

X : Y ( X / Y , i % o , n ) es el valor que se debe calcular es el valor conocido

es la tasa de interés

es el número de periodos (los economistas lo definen como horizonte)

Con esta notación estánda4

X : Y(X/Y,i%,n), se logran dos importantes ventajas:

1. En el desarrollo de un problema financiero,

evita escribir continuamente

las

estruc-turas algebraicas,

y sólo en las conclusiones,

si es necesario,

se indica la expresión

algebraica.

2. La forma (ñY, i% , n) es la notación estándar

de los factores

utilizados en

matemáti-cas financieras.

Esta forma de expresar

los factores

conduce a definiciones

y

expre-siones más generales

y simples que las tradicionales.

Una propiedad destacable

de la notación estándar es que admite inversa:

X

i n

(6)

MATEMÁTICAS FINANCIERAS

X : Y ( ñ Y , i % , n )

Y = X

Despejando

Y

(XlY,i/",n)

Por definición

Y : X(y/X, i%, n)

Los análisis

matemáticos

_{concluyen en un teorema que se enuncia por medio de}

una relación

funcionaf estas

relaciones

se expresarán

_{de doi formas: notación algebraica}

y notación estándar.

En el estudio de matemáticas

financieras,

para tener una

compren-sión clara de los factores que entran en juego en un problema, Ls necesario

familiirizar-se con los desarrollos

algebraicos

_{y adquirir destreza en su manejo; lo cual permitirá}

comprender con facilidad los temas tratados en los siguientes capítulos. Es indudable

que en las actividades

profesionales,

la notación estándar

y una calculadora

financiera

serán sus óptimos recursos pero, por lo pronto, esta es la etapa de aprendizaje y es

imprescindible adquirir conocimientos

_{en forma gradual y completa. para faciiitar su}

estudio, este material presenta cuidadosamente

los análiéis,

deJarrollos

teóricos v

se-cuencias

de los temas expuestos.

En notación estánda¡,

la fórmula L9a tiene la forma:

4.3 F = P ( F l P , i % , n )

_(1sb)

El factor de acumulaci6n (Ff p,i%,n)es el valor futuro que corresponde al valor

presente de una unidad a la tasa i% por periodo en n periodoi. Arí, poi ejemplo, en:

F = 1.000

(VP , 6%,'1,5)

se pide el valor futuro-F, conocido el valor presente P : 1.000,

la tasa de interés 6% por

periodo y el número de periodos n :

'J.5.

_{El factor (F/p, 6%,15) es el valor futuro F que}

corresponde

_{al valor presente de una unidad acumulado al 6% de interés por periodo}

en 15 periodos.

CONAPARACIóN

ENTRE

INTERÉS

SI'I/IPLE

E INTERÉs

COMPUE5TO

Por su objetividad, la mejor forma de comparar los valores futuros es mediante la

elabora-ción de las gráficas

correspondientes

a una misma tasa,

para el interés simple y el

compues-to., sea,

por ejemplo,la

tasa

_{del20% y un capital de gt.ooo. Los montos -. F : r.oob¡t +}

n(0,20)l

para el interés simple y F : 1.000(1

+ 0,20),

para el interés compuesto.

(7)

rNrERÉscoMPUEsro

_EE

b : Valor futuro de $1.000

al interés compuesto del20%

A línea recta F : 1.000[1

+ n(0,2)]

B función exponencial

F : 1.000(1,2)'

El valor futuro a interés compuesto

crece

en razón geométrica,

y su gráfica

corres-ponde a la de una función exponencial.

Por su parte, el monto a interés simple crece

en

progresión aritmética,

y su gráfica es una línea recta.

.I.4

_{TASA NOMINAL, TASA EFECTIVA}

_{Y TASAS}

_EQUIVATENTES

La tasa convenida para una operación

financiera es su fasa

nominal.Tasa

efectiaade

inte-rés es la que realmente

actúa sobre el capital de la operación

financiera.

La tasa nominal

puede ser igual o distinta de la tasa efectiva y esto sólo depende de las condiciones

convenidas

para la operación.

Por ejemplo, si se presta un capital al8% con

capitaliza-ción trimestral, el8% es la tasa nominal anual, la tasa efectiva queda expresada

por los

intereses

que corresponden

a $100 en un año, en las condiciones

del préstamo. Para el

monto, se tiene entonces:

(8)

MATEMATICAS FINANCI ERAS

F = P(1.+

il"

n = 4; P = tO}; * = //6 detasa efectiva en el periodo ; i = 0,02

F = 100(1+

0,02;= 100(1,02f

=fi0(1.,0824321)

F = $108.?A321

$100 ganan $8,24321,

en un año o sea tasa efectiva : 8,24321.%

Thsas

equivalentes Son aquellas

que, en condiciones

diferentes/

producen la misma

tasa efectiva anual.

En el texto se utilizarán los siguientes

símbolos

para las diferentes tasas,

expresa-das en tanto por ciento:

i : efectiva anual

j : nominal anual

n¿ = número de capitalizaciones

en el año

En Ia tabla I, las columnas se refieren a las tasas

en el periodo de capitalización.

A s í , p a r a 1 2 % c o n c a p i t a l i z a c i ó n

t r i m e s t r a l

s e ti e n e m : 4 ; j : 1 2 ; j / , , : t ' /

_{, : 3 % . E l}

símbolo I en las tablas se refiere al tanto por uno, en el periodo.

Relación entre'la tasa nominal y efecüva El monto de 1 al I efectivo anual es 1 + i. El

monto de L a la tasa

j por uno con m capitalizaciones

_{en el año es (1 + i/ ,,,)"';la}

ecuación

de equivalencia

entre estos dos montos es:

t + ¡ = ( t * 1 ] "

I m l

¡ = ( t * a ) ' - ,

\

m.)

Notación

estándar

¡ =( eP ,*n, r)- r

_{\ . ' m}

)

(20b)

La fórmula 20a permite calcular la tasa efectiva equivalente a una tasa nominal j

capitalizable

mveces en el año.

Despejando

j en la fórmula 20a se tiene:

¡ + t = ( 1 * 1 ) ' '

(9)

INTERÉS COMPUESTO

(1'+i)*

=lt* J-l

\

m )

J _ = ( r + i ) * _ r

, m

¡=^l{t+;)*-r]

Notación

estándar

_{i = *l(rf , ,o, +)- tl}

(21a)

(21b)

Introduciendo los nuevos símbolos,

la fórmula del valor futuro compuesto en n

aiios para la tasa

_{i capitalizable}

,??

veces en el año, queda así:

Número de periodos de capitalización

en el año : mi número de años : n;

nú-mero total de periodos : nm; tasa en el periodo - , - i/,,.

r = n(t* +]"

_\ m )

eZa)

_ ( _ / _ i . ) N o t a c i ó n e s t á n d a r F = P [ F / P , L % , m n )

( 2 2 b )

Para expresar la tasa nominal y el número de periodos de capitalización, se utili-za el símboloJ,,,, gu€ indica la tasa nominal j con m capitaliutili-zaciones en el año.

E @ C a l c u l a r e l v a l o r f u t u r o d e u n c a p i t a l d e $ 6 . 0 0 0 a i n t e r é s c o m p u e s t o e n 8 años, a la tasa del 70% capitalizable semestralmente.

Estándar Algebraica

P : $6.000;

j = 10%;

nt = 2; n = 8

F : 6.000(F/P,s%,"t6)

/

n r n \ 2 r 8 '

F = 6 . 0 0 0 1

t + : l :

_|

= 6 . 0 0 0

( 1 , + 0 , 0 5 ¡ 1 6

\

2 )

En la tabla I, para el 5% en 16 periodos se encuentra el valor 2,18287459

F : 6.000(2,1,82874s9)

F = $L3.097,25

(10)

4 . 5

MATEMÁTICAS FINANCIERAS

Solución con calculadora con función ¡v F = 6.000(1,05)16 (1'05)'6 : 2'1'838746

F : 6.000(2,1.828746) F = 913.097,25

CÁtCULo

DEt vAtoR FUTURo

uTIt¡zANDo TABtAs

PARA

n MAYOR

QUE 50

En los problemas suele ocurrir que el número de periodos resulta mayor que s0, el

máximo de la tabla utilizada en este texto. Afortunadamente en estos casos

se pueden

aprovechar

las propiedades

de los productos de potencias;

de esta forma el exponente

del factor de acumulación se descompone

en sumandos, utilizando tantos sumandos

de 50 unidades como sea necesario

y, así, se calcula el factor de acumulación por

pro-ducto de factores

cuyos valores figuran en la tabla.

( 1 + 0 . + v : ( L + i ) { 1 + ¡v

@lE!p

Calcular

el valor futuro al cabo

de 20 años

para una deuda

de 94.000,

al9% de

interés,

con capitalización

bimensual.

P = 4.000;

j = 0,09;

m = 6; n = 20

F = 4.000(

1+ 0;09

_{)n''" = 4.000(1}

+ 0,015.)',,,

\ 6 . /

1 2 0 = 5 0 + 5 0 + 2 0

F = a.000(1 * 0,015)et*et'zt F = 4.000(1 + 0,015fl (1 + 0,015)il (1+ 0,01,5)t) En la tabla I se encuentran los valores de la column a de 1,/z% parc:

( 1 +

_2,10524242;

_{(1 + iro : 1,34685501}

4.000 (2,1

0524242)

(2,10

s24242)

(1,3

4685501)

s23.877,29

Con una calculadora que tenga la función r.v, se halla:

(l + 0,015)1'?0 = 5,9693229 4.000(5,9693229) : 23.37r,r'

; \ 5 0 -E _ E

(11)

-INTERÉS COMPUESiO

4,6

_{VATOR FUTURO CO'I,IPUESTO}

_{CON PERIODOS}

DE CAPITALIZACIóN FRACCIONARIOS

Las condiciones convenidas, en una operación financiera a interés compuesto, fijan el

periodo de caPitalización

_{con el supuesto de que sean periodos enteros. cuando se}

presentan fracciones

_{de periodos, comercialme^t'" ," u.orümbra calcular el monto}

com-puesto para los periodos enteros de capitalización,

_{y el interés simple r".rtitiru furu tu,}

fracciones

de periodos.

Teóricamente,

_{el interés simple}

-en

las fracciones de periodo es mayor que el

com-puesto a la misma tasa, ya que significa capitalizar los in'tereses

_{en un periodo menor}

que el convenido y, como consecuencia,

_{la iasa efectiva resulta mayo[}

La tabla III contiene los valores de (1+i.¡i =(, t o, in, j)

_{wees el valor futuro de L}

a interés compuesto para fracciones

de periodo.

\

P,

IEEEEEEI

una deuda de $100.000

convenida al6% concapitalización

_{anual se paga a los}

2 años

4 meses.

La costumbre

o regla

comerc¡nl

_{indica cobrar los intereses}

_compuestos

_{para los 2 periodos}

com-pletos

y simples,

para los 4 meses.

r

-P = 100.000;

i = 0,06;

periodos

completos

= 2; fracción

de periodos __

#=+

valor futuro en 2 periodos

= Fr = 100.000(1

+ 0,06)2

: 100.000(1,1236)

F, = $112'300

El monto F, gana intereses

simples

en los 4 meses

y su valor futuro es:

r:r rrz.aoofr.

] ro*i]=

n2.360

(1,,02)

F =$11,4.607,20

Desde el punto de vista teórico, el monto debe calcularse a interés compuesto para el total de periodos, incluida la fracción.

P = 100.000; i = 0,06; " = Z%

F= 100.000(1 _{+0,0q2N = 100.000(1+}_{0,0q2.1+0,0q%} Tablas I y III (1+ 0,06)2 = l,t216; (t + O,OO¡% = 1,,0t9612282 F = 100.000 _{(1 ,'1.236)(1,07961282)}

F = $114.563,69

solución con calculadora que te¡ga tecla de fracciones v función ¡v:

(1+0,0q2%

=1,,145637

(12)

MATEMATICAS FINANCIERAS

Si no tiene tecla de fracciones, la fracción se convierte en una expresión decimal.

En el monto calculado para la fraccirin de periodo, los intereses simples siempre son mayores que el monto a interés compuesto; en el efemplo anterior, la diferencia es de $43,51.

Las calculadoras financieras tienen función para calcular, a voluntad del operador; la fraccitin a interés simple o a interés compuesto, así:

L = P ( F l P , i % , n )

P l ( l ( 1 . ( X ) { ) ; i = ¡ ' l ; r 2 , 3 . 1 3 . 1 ¡ ñ t t s Baio el mandt) compuesto F - 100.000(F/P ,6'/,.,2,3333) = 11'1.563,69

B a j o e l m a n d o s i m p l e

compuesto los 2,3333 anos

¡r = l0().0(X)(I/P, 6i,:1, 2,3333) - 1116()7,20

conlpuesto cn 2 ¡ños y simple en la fraccitin 0,3333 años Err lo que respect¿l al c.rlcukr del intcrós compuesto, comerci¿rlmente e'xisten di-\ ¡ e r s o s m c t n e i o s p a r a e l t r a t . r m i e r r t o d e l o s i n t e r e s c s e n l a s f r a c c i o n e s _{d e Periodo. Ell} ;rlgunas operaciones fin.rncieras, se señalan expresamL'llte l.rs fech¿rs dc capitarlizaci(trr elt el ¿rño, y todo dincrlr colocacilr entrc fechas devengar interés simple, hast¿r Ia fech¿r inici.tl clel 1-re¡io¿r.) siguiente; todo clirrero retir¿rcl() t:ntre icchas g.tll¿1 illterés sirn¡rls, c o n l p r e n d i d o d e s d e ' I a f e c h a te r m i n a l d t ' l p e r i o c l o ¿ u t t ' r i o r . A s í :

IEEE¡EEE! Alguien de¡r1r5i¡.¡ gl.(xx) el 2() de enerr¡ en un¡ cuenta dc ahornrs que ofrece e l 6 ' l l d e i n t c r é s c . i p i t a l i z a b l e t r i n r e s t r ¡ l m e n t e p . i r . r e l . l l d e D l c l r Z r ) , 3 [ ) d e j u n i o , 3 ( ) d e s e p t i e n l -bre v 31 de dicienr-bre. C.rlcular el nronto clue Lrodrá retir¿r el l5 de dicienlbre del .rt1o siguiente.

F - n e 2() Dic 1 5

1 I

I

v _Sinrpl. _Conrpuesto_{en 6 periodos}

l l - l

El capital gana intereses simples, drrr¡nte los 70 días que transcurren en el periodo comprendi-c1o desde el 20 de enero hasta el 31 de marzo, conr,i¡tiéndose en un valor futuro F, que deveng.l intereses compuestos, durante los 6 periodos completos transcurridos entre el 1Q de abril y el 30 de septiembre del año si¡¡uiente, convirtiéndose así en un valor futurtt F. que gana interese: s i m p l e s h a s t a e l 1 5 d e d i c i e m b r e .

r , = 1 0 0 0 [ 1 *

_{^ 1 3 6 t ) l}

i i l r o , o o t . ] =

1 . 0 0 0

( 1 , 0 1 1 6 6 6 6 7 )

,

^ ^ , . É '

F, = F,f 1+

_{- ' \}

(l,L'o

I = n r1,09314326)=

1.000 (7,01166667)(7,09344326)

1 )

S i m p l e Ilne i " Ivf ar. 3 t Ir-rn 30 S"P 3t)

(13)

I N I E R E S C O M P U E S T O Valor final F : V a l o r f i n a l F : f r -E l l e c t o r d e b e | / a I

f r i I r ;;n l{},06,

I

= f z(t,ol25)

t - " " 1

1.000 (1,01

166667)(1,09344326)

(1,012s)

$ 1 . 1 2 0 , 0 3

consult¿rr

las c:ostumbre

s ltlc.rlcs

_{¡lara estos}

cascts

4 . 7

C Á L C U L O D E L A T A S A D E I N T E R E S C O M P U E S T O E n l a f ó r m u l a d e t l m o n t o ¿ r i n t e r é s c t l m p u c s t t l , s i s c c c l n o c e e l v a l o r p r t : s t ' n t c 1 ) ' e l v a l o r f u t u r o I r y e l t i e m p o r t , q u e d a d c t e r r m i n a d o c l v ¿ r l o r d e i ' E n l a p r á c t i c a , c l c á l c u l o a p r o x i m a d o d e i s c h a c e u t i l i z a l r d o l¿ r t ¿ r b l ' l I ' [ : ] l c á l c u l c r m a t e m á t i c o s e c t e c t u a c , ' , n l o g n i i t m o s . [i n c l c i e m p l . q u c s i ¡ ¡ u c , s c i l u s t r ¿ r n ¿ l n b o s Pro-c e d i m i e n t o s .

nEmEEEl Al nrori¡ alguirn cleia a su hija -de 7 arlos rlc ecl¿cl un le gado tte $1(x) (xx) para quc coll s,s rnte*srs compuestos lt st'¡n _{".ir"g.,-1,,,}cu¿tlclo cunrpla los lli si ell'r al cumplir i o , , ¿ o ¿ f i j a c l a r e c i b e $ - l . 1 0 . 0 7 1 ¡ 0 , Z c ¡ u ú i n t e r i ' s c . n c a p i t . l i z a c i t i n a n u ¡ l g a . í r la h e r e n c i ¿ ? ( r ¡ ) c á l c u l o u t i l i z ¡ n t . l o l ¡ t a b l ¿ l . s t b u s c ¿ e l r e s t ¿ t t . r b l a , e n la f i l a q u c c o r r e s p o n d e ¡ r l - l l ' l o s v a l 0 r e s , p o r e x c e s o y p o r d e f c c t o , m á s p r t i x i m o s a l q u e r e s u l t e d c d c s p e i ¿ r ¡ l t ' n l' r f i r r m u l ¿ d e l v a l o r fu t u r o : ' t - t'j(l + i)" ; F - P(l'l I' ,i"l', tt) f -- D0 071,20; 1' = 1(X) (XX); rr = l 1 l e { ) . ( } 7 1 , 2 ( } . l { } { } . { ) ( t ( ) r I r i r r l

I l , i r ' | r ' l ' . " l i t ' l ; 1 t '

= t, s t t t t T t 2

Este valor se encuentra entre l,li9u29tt56 que corresponde al 6'4 v

-l,99915140

que corresponde a l 6 1 / 2 " / , , . E l i n t e r é s b u s c a d o e s m a y o r < 1 u e e l 6 ' / , , y Á " , , , , r q u e e l 6 h i { ' s u v a l t l r a p r o x i m a d o s e encuentra por interpolaciíln lineal'

a 0,065 corresPonde a 0,06 corresPonde 0,005 1,99975740 1,tt9¡r29856 a 0,06 + .r a 0,()6 c o r r e s p o n d e c o r r e s p o n d e 1,90071 200 1,89829856 0"10085284 como 0,005 0.10085284 0,00241344

0,00s10,00241314)

e s a 0,00247344 ,I 0,10085284

(14)

I'

M A T E M A T I C A S F I N A N C I E R A S

x = 0,00012

i = 0,06

+ 0,00012

= 0,6012

tasa

de interés

= 6,012%

(ü) Cálculo

con logaritmos:

790.077,20 = 100.000 (1 + t)"

1o9190.071,20 _{= 1og100.000}_{+ 11log}_{(1+ i)} l o g ( 1 + l ) =log1'90.07 1,20 - logl 00. 000 1 1 lo 9]90.07t,20 = 5,278976 1og100.000 _{= 1000000} log(1 + i) = 0,278976 +17 = 0,025356 l + i = 7 , 0 6 0 1 2 i = 0,06072 tasa de interés : 6,072% (c) Cálculo mediante radicales:

190.077,20 = 100.000(1 + t),, Despejando _{(1 + ¡)"} 190.077.20 100.000 7 , 9 0 0 7 1 2 = ¡ 7 + i ) "

, $ , r m ? n

_{= úr.,1}

1 , g o 0 7 V h = f l + ¡ ¡ t X t 1,9ffi772xl = 1+ i 1,060-1.22443 = 1+ i 7,060722443-1=i 0,060'122M3 = i tasa de interés = 6,012%

(15)

(d) Con calculadora financiera:

F - P(F/P, t"l', n)

P - 100.000; rt -- 71; F :790.071,20 1 9 0 . 0 7 1 - 100.000 ( F / P , { l , 1 1 )

Respuest;t i - 6,012'1,

UN CASO PARADóJICO

En este nivel del estudio propuesto, es necesario aclarar el significado de la tasa de inte'-rés interno o tas¿l interna de retorno (TIR). En la página 35 se explicó que ésta cs lzl alternativa escogida de tasa interna a ia cual se invierten dincros en cicrto juego finan-ciero. El siguiente eje.mplo, que conduce a una situación paradójica, aclara aún más el concepto. Generalmente, el cálculo de i conduce a soluciones de e-cuaciones de gradct superior y estas ecuaciones pueden tener variadas soluciones reales; esto significa que para un mismo problema financie.ro se. tendrían diferentes tasas intcrnas dc interés; pttr ejemplo:

Una persona compra por $109.000 una mercancí¿r que le será entregad.r dentro d e u n a ñ o , p a r a e l l o p a g a h o y $ 4 0 . 0 0 0 c o m p r o m e t i é n d o s e ¿ r p ¿ r g a r e l s a l d o , a l r e c i b i r la mercancía, por medio der un pagaré a un año de plazo. Ocurre que en el instante de recibir la merc¡rncía Ia vende. de inmediato en $106.000. ZQué porcentaje de utilidad obtuvo en este neg,ocio?

P r i m e r o s e o r d e n a n l a s c a n t i d a d e s e n u n d i a g r a m a d e f l u j o d e c a j a y s e p l a n t e a una ecuación de ecluivalencia llevando todos los valores al tiempo 0.

2 años

$40.000

$69.000

40.000 + 69.000(1

+ i)-2

= 106.000(1

+ t)-'

o sea

4 0 ( 1

+ i ) ' z - 1 0 6 ( 1

+ i ) + 6 9 = 0

Resolviendo

esta

ecuación

de segundo

grado se tiene:

$106.000

t

_I

I

(16)

M A T E M Á T I C A S F I N A N C I E R A S

106 r

/ 1 | : \ -\ | f L )

-z(40)

106 t 14

4 . 9

( l + i \ -80 7 + i . = 7 , 5

i, = O,S, tasa interna = 50% 1 + i . = 1 , 1 5 ; t a s a in t e r n a = 7 5 Y "

paracióiicamente, para el mismo negocio se tienen clos tasas internas muy dife-r e n t e s : 1 5 % Y 5 0 % .

En este problema, la tasa interna carece de senticlo y se trata de una solución ma-temática ajena a fo, prir',.rpios financieros.. La interpretaiión de este problema parado-;k";" ;;.;"ntra en el á.eu de Ia evaluación económica de proyectos

financieros; sin la pretensión de incursronar en el área propia de la evaluación de proyectos financieros aqui se presentara ta propuesta¡le tratamiento para dicho problema'

si los $106.000 obtenicios al final del primei año se p,réden invertir all0% (tasa de oportunidad), en estas condiciones al finál clel segundo año se tendrá:

106.00(1,1) - 69'000 : 947 '600 Formando la ecuación de equivalencia:

40.000 (1 + i)'z

: $47'600

( 1 + t ' : L ' 1 9

1 + i : 1 , 0 9 0 9

i : 9 , 0 9 %

En estas

conciiciones

se tiene clue

el negocio

cla una rentabilidad

del9'09%'

El objetivo d.e

este material

es enseñui"l maneio de capitales

en el tiempo utilizando

tasas

internas. Las técnicas

para la evaluación

económica

de proyectos

financieros

co-rresponden

a otro nlvel de ástudio,

que exige

el conocimiento

previo de matemáticas

financieras.

Resultaría

erróneo

a su vez en-señar

las técnicas

para evaluación

de

pro-y e c t o s a q u i e n e s t e n g a n C o n o c i m i e n t o s s u p e r f i c i a l e s d e m a t e m á t i c a s f i n a n c i e r a s .

cÁtCULO DEL TIEMPO

E n f o r m a a n á l o g a , e l c á l c u l o d e l , e l t i e m p o , o s e a e l v a l o r d e r l , p u e d e c a l c u l a r s e u t i l i

(17)

¡ffififtfffit

iEn qué tiempo un clepósito

de $1.000

se convertirá

en $1.500

ai 6i

con capitalización semestral?

, i r " ( i ) f = 1 , 1 l + , 1 ; F = P l F l P , L % , n u r l I l r ] l m ) F = 1.50(); P - 1.(X)0; i = 0,06; nt - 2 1.500 = l.(XX) l1 + 0.03)r"

i, {0'1,

_llllll=''

lrn l¡ tabla I se busc¿rr cn la celumn¡ del 37,, krs v¿lores -Lror exceso y por defecto- más prtixi-n r ¡ s a l , 5 . E s t e v a l 6 r s e e prtixi-n c u e prtixi-n t r a e prtixi-n t r e l , 4 6 f l 5 3 3 7 l q u e c o r r e s p o prtixi-n d e a l 3 p c r i o d o s y 1 , 5 1 2 5 8 9 7 2 que correspor-rde a l4 periodos. Interpolando conlo en el caso ¿rnterior, se tlene:

14 corrcspontle 1,51258972 c o r r e s p o n d e l3 corresponde 1,46853371 0,0'1405601 como (),03 146629 l _ . . 445601 3146629 3146629 440560 I x - 0,7742337 2tt = 73 + 0,7142337 = 13,7742337 rl 6,tl57l ¡ño:

Medi¡rrte calculadora con funcitin logaritnlo:

( 1 , 0 3 ) r " = 1 , 5 2 r r l o g ( 1 , 0 3 ) - l o g ( 1 , 5 ) ^ l o g ( 1 , 5 ) ¿ r 1 = - =

1,50(xx)ux)

1,46853371 l o g ( 1 , 0 3 ) 2tt = 73,7172 r¡ = 6.85U6 años 0,776rJ91 0,072837

En estos problemas, la respuesta es aproximada, por tanto, es correcto decir que .l tiempo aproximado es d,e 7 años y que el valor futuro será liSeramente superior .ll e:f t -rado. Si ia capitalización es por Periodos completos y la fracción se calcula 'l rfltt::: simple, el proietlimiento consiste en calcular el monto en el número de perio.io< lr

(18)

r-:-M A T E r-:-M A T I C A S F I N A N C I E R A S

diatamente

inferior y,para la diferencia,

se calcula el tiempo a interés simple. En el

ejemplo

citado,

se calcula

así:

F en 13 periodos

= 1.000(1

+ 0,03)'3

: 1.000(1,46853371)

F en 13 periodos

= 7.468,53

Diferencia

con el monto propuesto

: 1.500

- 7.468,53

: 37,47

Para$.37,47

se calcula

el tiempo a interés

simple sobre

$1.468,53

(1

I = C n i

I = 37,47

; C = 7.468,53

; i = 0,06

37,47

= 7.468,53(n

) (0,06

) = 89,1119r,t,

37,47

,, =

ffi=

0,35716

años - 4 meses

9 días

En este

caso,

la respuesta

sería

6 años 10 meses

9 días.

4 . 1 0 C R E C I M I E N T O N A T U R A T E I N T E R É S C O M P U E S T O

En este capítulo es conveniente incluir algunas palabras sobre el crecimiento natural o exponencial y la deducción de la fórmula del monto a interés compuesto a partir de las leyes del crecimiento natural o exponencial.

Esto será importante para comprender muchos aspectos teóricos de interés com-puesto; en particula¡, será útil para quienes deseen profundizar sus estudios en esta área.

Si la razón de cambio de una cantidad con respecto al tiempo es proporcional a la cantidad presente en el tiempo f, se dice que el crecimiento es natural. Esto es, si Y es la cantidad presente en el tiempo f, entonces:

dY

d t

= k Y ; l Y = F(t);funcion

d e f ]

d"A,

.,la raz6n de variación instantánea de Y con respecto a t; k es un número constan-te que depende de las condiciones de cada problema. Su valor se deconstan-termina en condi-ciones experimentales o simplemente impuestas, como en el caso del crecimiento del dinero o los planes de desarrollo industrial.

d Y - = K A t

Integrando, se tiene InY = kt + a (a : constante de integración): Y = e k t * o = e k t e o

(19)

remplazando d = A:

Y = Aekt

[ftffi&!fl En un cultivo, el número de bacterias crece proporcionalmente al número pre-sente de ellas. Si en determinado instante hay 1.000 bacterias y una hora después 2.000, calcula¡ la cantidad 3 horas después.

P a r a f : 0 ; Y : 1 . 0 0 0 : Y = Ae*' 1.000 = Aeok = Aeo -- A A = 1.000 P a r a I : 1 ; Y : 2 . 0 0 0 : 2.000 = 1.000ek k = l n 2

Es deci{, que el número presente de bacterias en un tiempo f es: Y = 1.0001"'r = 1.000e"'"

Sea ln2t : b; entonces, por definición e' : 2'; Remplazando b, se tiene etnzt - 2t, de donde:

Para

Y : 1.000 (2')

f : 3 horas, la cantidad presente de bacterias será: Y : 1.000 (23)

Y : 8.000 bacterias al cabo de 3 horas.

Deducción de la fórmula del valor futuro a interés compuesto Si la cantidad presente es dinero, es posible imponer la condición de que en un periodo de tiempo f tenga un crecimiento natural, por adición de sus intereses i en cada Periodo.

En el instante t : 0; Sustituyendo en se tiene (1) o sea (2) Y : P ( c a p i t a l i n i c i a l ) Y = Aekt D - A . N _ A

Y : Prrr

(20)

" ,

J - E ¡ . ¡ A T I C A S F I N A N C I E R A S

.\l final del primer intervalo t = 7; Y = P(7 + i); i :

o sea

P(1 + i; : Ps"

c r : ( 1 + l )

k : h ¡ ( 1 + ¡ )

S u s t i t u y e n c l o

e n ( 2 ) ,

Y - P c t i ' . \ \

* ' ) : Pcr¡lr

* ' 1 '

C o m o , , 1 ' r r r + r t ¡ : ( 1 + i ) r , e n t o n c e s Y : P ( 1 + l ) ' S u s t i t u y e n d o la c a n t i d a c l p r c s e n t e Y p o r F , e l d e p e r i o d o s , o s e a , e s ig u a l a r l , e n t o n c e s s e t i t : n e :

tanto por uno en el periodo f.

valor de f corresponde al número

I r : P ( 1 + i ) '

Tasa instantánea Si en j,,,,, se supolle que nl crece sin límite (nr --> -), entonces, el periodo de capitalizacicin ós un intervalo de tiempo más pequeño que cualquier canti-clad arbitrariame.nte escogida. [n estc c¿rso, se dice que la capitalización es c<lntlnua v l a t a s a e s i n s t a n t ¿ i n e a .

L a t a s a in s t a n t á n e a a c o s t u m b r a a d e s i g n a r s e c o n I a l e ' t r a g r i e g a d e l t a ( 6 ) . P o r d e f i n i c i ó n :

u = i,,,,,,,--. . simplemente 6 = lt-,,'

De acuerdo con lo estudiado en tasas equivalentes:

c o m o

(aéanse

pá9s.75

y

K. Stein, edición McGraw-Hill, 197 4).

I i \ " ' ( t l + i = l l + , I = l l + -\ , n / [ " , ' I t r : ¿ l I

t i m ll,*ll'l

= 1 ,

r r + - l l ^ _{r 4 l I}

L \

t )

I

78 del cálculo Sherman

=iÍ*l[,.+)']

(21)

I N T E R E S C O M P U E S T O de donde

5

-e ' , d o n d -e i = i . = 6 J ( - )

I n ( \ + i )

1 + i :

1 ! ;

-El valor de 6 se conoce con el nombre de t'uerzn del interés, y es la tasa continua de crecimiento de una unidad de capital en una operación financiera; en tanto que la tasa efectiva es el interés por unidad de capital en un periodo.

fiftffi&!fln Hallar el valor de la fuerza de interés que corresponda al interés compuesto d e l 8 % .

6 : l n ( l + i ) : ¡ r 1 1 + 0 , 0 8 ) : / n 1 , 0 u 6 : 0,07695; 7,695%'

[ f t f f i [ E l l f l H a l l a r e l v a l o r f u t u r o d e 9 5 . 0 0 0 e n l 0 a ñ o s : ( a ) a l a t a s a e f e c t i v a d e l 6 % , ( b ) a l a tasa del 6% con capitalización mensual, (c) a la tasa continua del 6%.

\ a ) (b) F : 5.000(1 + 0,06)"'] = 5.000(1,7908477) - $8.9s4,24 / 0.06 \''' F : 5 . 0 0 0 _[t * , _J = s . 0 0 0 ( 1 , 8 1 e 3 e 6 7 3 ) = $ e . 0 e 6 , e 8 ( c ) D e : 1 + i - c 6 , i : e 6 - 1

Sustituyendo en F : 5.000(1 + i)", se tiene: ¡ = 5.000(e6)" : 5.000e'ó Remplazando los valores de n y 6, se tiene:

f : 5.69¡.tr¡0,{h) - 5.000et),6 Calculando etr6 por medio de logaritmos, se tiene:

F = $ 9 . 1 1 0 , 6 0

4.I I

PROBTEMAS

RESUELTOS

1. ZQué

banco es aconsejable

para depositar

dineros en cuenta corriente:

A que ofrece

el

7% con capitalización

trimestral, o B que ofrece el 7/n% con capitalización

semestral?

(22)

Banco

A:

Utilizando calculadora: i : ( 1 + 0 , 0 7 7 s ) 1 _ 7 t : 7,07185903 - 1 : 0,07185903 Tasa efectiva - 7,785903% B a n c o B : i j : 0 , 0 7 2 5 ; m : 2 , L : 0,03625 _{q u e c o r r e s p o n d e a l 3 f %} Valor que no figura en la tabla I de este libro.

M e d i a n t e c a l c u l a d o r a :

1 + l : ( 1 + 0 , 0 3 6 2 5 ) r 1 + i : 1 , 0 7 3 8 7 4

i : 0,073874 Tasa efectiva : 7,38%

Respuesta: es mejor la oferta del banco Il.

C a l c u l a r e l v a l o r f u t u r o d e $6.000 depositados al 9,X, de interrés compuesto, capitalizable semestralmente _{durante 14 años 6 meses.}

i = ( r + *)'' -,

i

j : 0,07;

m = 4;

i

:0,0175 que corresponde

al 1j%

/ i ) " " '

Alg,ebraica

F = Plr*

i,, 1

E s t á n d a r r = p ( r i p ,

j

% , , , , r , )

\ , n )

P: $6.000;

_{i: 0,09}

perioclos

cle

capitalizaciiin

: ttt : 2; L: O,O+5,(+

jn);

t ¡ |

t t : I 4 j a ñ o s ; t t u t : 2 9

(23)

Utilizando tabla I o calculadora:

F : 6.000(3,58403649)

F :921.s04,22

una persona obtiene un préstamo de $30.000

a 5 años, con un interés del g%

capitalizable

semestralmente.

Calcular

_{el valor futuro que debe pagar en la fecha}

de vencimiento.

4. Calcular

_{el valor futuro de $5.000}

_{al 6%, con capitalización}

_{mensual en 6 años 3}

m e s e s .

p = $5.000;

_{J = 0 , 0 6 ; t t t = t \ ;}

, = O-?U

= 0 , 0 0 5 = : % ,

i l r l l

3 I

r l \

rt = 6¡= 64 año;rtut

= 12164)=

75 periodos

E s t á n d a r Algebraica E s t á n d a r Algebraica E s t á n d a r Algebraica

p = $ 3 o . o o o ; / = o , o g ;

_{m = 2 ; L = o , o 4 ;}

_{t t = S}

ftt

F : 3 0 . 0 0 0 ( r / P , 4 % , 1 0 )

F : 3 0 . 0 0 0 ( 1

+ 0 , 0 4 ) ' 0

F : 30.000(7,48024428)

F : $44.407,34

F : s.000(F/P,

0,s%,,

7s)

F : 5 . 0 0 0

( l + 0,005)?'

F : s.000(1,45363252)

F : $7.268,76

F : 5.000(F/P,

0,5%, 360)

F : s . 0 0 0 ( 1 + 0 , 0 0 5 ) % 0

F : 5.000(6,022575272)

F : $30.112.88

5. Calcular el valor futuro en el problema anterio4 para 30 año¡. Sólo varía el número de periodos; m : 12; tt = 30: mn = 360.

Si se desea calcular utilizando tablas, la I sólo tiene valores hasta n = 50, para í : \%, "l factor es 1,28322587. _{El exponente 360 se puede descomponer en 7 sumanclos 50}

(24)

más 10; esto conduce a que es necesario multiplicar el valor 7,28322587 como fac-tor 7 r'eces v el resultado multiplicarlo por 1,05114013 que constituye el factor para rr : 10, i : _{]%, obteniendo así el}factor para il - 360j Esta fue una forma de calcular antes"de la era de las calculadoras electrónicas; hoy resulta absurdo em-plear este método (aénsc el ejemplo 4.2).

6. En un juicio civil por cobro de una deuda de $12.000, el juez falla ordenando el pago de la cantidád acleudada con acumulación anual de intereses a\ 8,3% por 4 anós, contaclos <lesde la fecha de su vencimiento. Calcular el monto acumulado de l a d e u d a .

La tabla I no tiene valores para 8,3%,, una t¿ls.l l1o cr)nlú11 etl las operaclones comL'r-ciales. I,ara determinar el ¡nonto acumulado, se procetde directamente utiliz¿rndt-calcul¿rdctra.

i r : 1 2 . 0 0 0 ( 1 , 0 8 3 ) 1 : 12.000(1,3756686) F : $ 1 6 . 5 0 8 , 0 2

7. En el problemer anterio¡, calcular el v¿rlor futuro parar 24 años E s t á n d a r Est¿indar Algebraic.r

E s t á n d a r

Tablas

I y III

P : 1 2 . 0 0 ( ) ;

j : 0,083;

r r : 4

F : 1 2 . 0 0 0 ( 1

+ 0 , 0 8 3 ) '

t : 12.0t10(FlP,

8,3%,

4)

I = l ] . ( r 0 0 ( f P , ¡ { , 3 o ; , 2 4 ) F : 1 2 . 0 0 0 ( 1 , 0 8 3 ) r ' Utilizando calculaclora ccln función,t"

(1,083)11 : 6,7777096

F : 12.000(6,7777096) F : $ 8 1 . 3 3 2 , 5 2

Calcular el valor futuro teórico de $6.000 para 4 años 8 meses al7% con capitaliza-c i ó n a n u a l .

8 2

F = $ 6 . 0 0 0 ;

t t = 4 - = 4 - ; t = U,l)/

t ¿ J

F : 6 . 0 0 0 ( F /

P 7 % , 4 , 6 6 6 7 )

m a n d o c o h p u e s t o

( i ' l c ' s c

e j e m p l o

4 ' 5 )

F = 6.000

_{1r + 0,0f}

i = 6.000

(1 + 0,07)'

(1 + 0,07):

F = 6.000

(1,31079601)

(7,02280912)'

F = $8.227,65

(25)

g. En el problema anterior, calcular el valor futuro seg,ún la rcgla comercial de dete¡-minar la fracción cle periodo a interés simple.

F : 6 . 0 0 0 ( l / P , 7 ' / , , , 4 , 6 6 6 7 ) m a n d o s i m p l e ( r ' c r n s c e j e m p l o 4 . 5 ) f t - l

I - h . 0 0 0 ( l t 0 , ( ) 7 ) r

_{l t r}

- r t l ' t l z t l

L J I

I ' : 6 . 0 0 0 ( r , 3

1 0 7 9 6 0 1 ) (

1 , 0 4 6 6 6 6 6 7 )

Ir : $u.231,80

1 0 . C a l c u l a r la t a s a d e i n t c r i ' s s i r n p l c e c ¡ u i v i i l e n t c a l i n t c r ó s c o m ¡ r u e s t o d d 6 ' : / , d u r a r r t e I 2 ¿r frtts. F í r r m u l a g c n e r a l : S c a n : l , : i r r t t ' r ó s s i m p l c ; i , - i n t t ' r ó s c t l t n ¡ r u e s t t r l + ¡ ¡ , _ ( l + i . ) , , , , ¡ , = ( l + i , ) , ' I ( l + i , ) " - l i l I'ar:r i, : 0,06; tt : 12 ( l + 0 , 0 6 ) 1 2 - I 2 , 0 1 2 1 9 6 4 7 I t -E s t á n d a r A l g e b r a i c a

t 2

¡. : 0,08435

I ¿ r s a d e i n t e r é s s i m p l e : 8 , 4 3 5 % 1 1 . U n p r e s t a m i s t a d e s e a g a n a r e l 8 % , e f e c t i v o ¿ l - t t i a l s o b r t ' u n p r e s t a m o , c ( ) n ln t e r ( ' s c s c a p i t a l i z a b l e s t r i m e s t r a l m e n t c . H . t l l a r l a t a s a n o m i n a l q u e d e b e c o b r a r : (F ó n n u l a s 2 1 n y 2 1 b ) .

( 2 1 a )

7 = r , [ { l - , ) ' r ' - 1 ]

[ , . , ^

l r

₁

( 2 t b )

-

" ' L [

I lP ' ¡7'

'

, i , ,

, -

' )

i = 0 , 0 8 ; r ¡ = 4

7 = + [ { r + 0 , 0 8 ) ]

- 1 ]

Tabla

III

(1+ 0,08)j =1,07942655

o calculadora

t 2

(26)

M A T E I ú Á T I C A S F I N A N C I E R A S

I = 4(0,07942655)

j = 0,0777062

i =7,77%

(Tasa

nominal)

12. iEn qué tiempo se duplica un capital depositado

al7%, con capitalización

semes_

t r a l ?

Tabla III

En la tabla I, columna del3h%, se halla que el valor 2 está comprenclido entre 20 y 21 periodos. Interpolando, se tiene:

( i \

F = P l P l F , ; % ' ,

_{m t I}

\

"'

_./

F = 2 P ;

j = 0 , 0 7 ; m = 2

2 P = P ( 1 . + 0 , 0 3 5 ) ' "

Z = ( 1 + 0 , 0 3 5 ) ' '

a 27 corresponde 2,05943147

a 20 corresponde 1,98978886

a 2 0 + x

a 2 0

cclrresponde

2,00000000

1,98978886

0,06964261

como ¡

0 , 0 1 0 2 1 1

1 4

0,06964267 0.01027114

- r -

0 ' 0 1 0 2 1 1 1 4

= o.t466LIo

0,06q64261

2tt :20 + x :20 + 0,7466220

:20,1466220

N.'a

E'

.i"_p:

_{"":::::::: ffi}

:J::

;:_:: ::::j:,,ue puede

c.

rresponder hasta 3 días en el cálculo del tiempo.

13' En el problema anterio¡, proceder calculando el monto compuesto en perioclos en-teros y los intereses simples para la fracción de tiempo.

El valor más próxim o es 1,98978886 que corresponde a 20 periodos

2 = 7,98978886

_{[1 + n(0,07}

_)]

1 + n ( 0 , 0 7 ) =

2 = 1 . 0 0 5 1 3 1 8

(27)

tl -

0'0051318

=0.0733174

0,07

Tiempo : 10,0733774

años, aproximadamente

10,073

años

: 10 años 26 días (año de 360 días)

L 4 . R e s o l v e r

e l p r o b l e m a

N e 1 2 ,

u t i l i z a n d o

c a l c u l a d o r a

q u e te n g a m e m o r i a

y l a f u n

-c i ó n h ¡ .

( 1 + 0 , 0 3 5 ) " : 2

2 t i l t 4 l , 0 3 5 ) : I n 2

hr(1,035)

: 0,034401427

entra a memoria

I r r ( 2 )

+ MR:20,7487975

n :20,7487975

+ 2

tt -- 10,0744

aios

Se obtiene

un tiempo ligeramente

superior

debido a que se trabajó

con la fracción

de pc.riodo

a interés

compuesto.

15. Una persona

deposita

$7.500

en una cuenta

de ahorros

que paga el9o/o,

con

capita-lización

bimensual.

ZEn qué tiempo tendrá un valor futuro de $10.500?

Se pide

so-lucionar

utilizando tablas.

F : 10.500;

P : 7.s00;

j : 0,09;

ttt : 6

1 0 . 5 0 0

: 7.500(1

+ 0 , 0 1 5 ) 6 ,

( l + t ) , 0 1 5 ) n " = ! g - t , 4

7.500

a a L.->

22 7,40837715

1,387s6370

a l r . , L L T A

22 1,40000000

1,3875637t'l

1 c's a

0,02081345 como

E S

0,07243630

2081345 7243630

1243630

_{- , t q q T q}

2087345

6 n = 2 2 , 5 9 7 5

n : 3 , 7 6 6 a ñ o s : 3 a ñ o s

9 a e s e s 6 d í . i s

(28)

16. Resolver el problema Ne 15, utilizando calculadora con memoria y función lrr'

(1 + 0,015)6'

6n In 1.,0L5

In 1,01'5

¡rr1,4

+ MR

= 7,4

: In 1.,4

: 0,0148886

entra a memoria

= 22,599302

: 2 2 , 5 9 9 3 0 2

+ 6:3,767

: 3 a ñ o s g m e s e s 6 d í a s

4 . 1 2 P R O B L E M A S

P R O P U E S T O S

17. Hallar el valor futuro a interés compuesto de $100, para 10 años: (¡t) al5% efectivo anual

(b) al 5% capitalizable mensualmente (c) al 5% capitalizable trimestralmente (d) al 5% capitalizable semestralmente 18. Hallar el valor futuro a interés compuesto de:

(n) $5.000 al6% caPitalizable semestralmente en 20 años i¿rj S¿.OOo al7% capitalizable semestralmente en 70 años (c) $9.000 alTt/z% capitalizable trimestralmente en 12 años i¿l $S.OOO al6/z% capitalizable mensualmente en 30 años

1g. Hallar el vF de $20.000 depositados al 8%, capitalizables anualmente durante 10 años 4 meses en forma: (ru) teórica, (b) comercial'

2 0 . H a l l a r e l V F d e $ 1 0 . 0 0 0 d e p o s i t a d o s a ] . 8 % , c a p i t a l i z a b l e s t r i m e s t r a l m e n t e d u r a n t e 32 años 7 meses 22 días.

Nota En los problemas, se suPone que se trata del vF comercial, cuando no se especifique algo distinto.

21. Una persona deposita $3.000 el22 deabril de 1995, enuna caja de ahorros que paga el6/o, capitalizatle semestralmente el 30 de junio y el 31 de diciembre de cada año' ZCuánto podrá retirar el 14 de noviembre del2002?

22. lJnbanco pagaba el 5% de interés comPuesto, capitahzable trimestralmente' El 1a de enero d,e 7996modificó la tasa, elevándola aI7/" capitalizable semestralmente' Calcular el monto compuesto que tendrá el 1q de enero del 2016, un depósito de S10.000, efectuado el 1q de abril de 1993'

(29)

23. Un padre muere el 20 de marzo de 7996 y deja a su hija $100.000 para que les sean entregados al cumplir 18 años. La herencia se deposita en una cuenta que gana el 6%, capltaluable anualmente. El 22 de septiembre del año en que murió el padre, Ia hija cumplió 10 años; calcular la cantidad que recibirá en la edad fijada. (Int. real). 24. HaIlar el VF de un capital de $100 depositados durante 10 años 5 meses, a la tasa

efectiva anual del 6,32%.

25. ZQué tasa capitalizable semestralmente es equivalente al 8% , capitalizable trimes-tralmente?

26. Calcular la tasa de interés simple equivalente al7%, capitalizable semestralmente durante 12 años.

27. Hallar Ia tasa nominal convertible semestralmente. a la cual $10.000 se convierten e n $ 1 2 . 5 0 0 , e n 5 a ñ o s .

28. Se estima que un bosque maderable avaluado en $750.000 aumentará su valor cada año en el 8,5%, durante los próximos 6 años. ZCuál será su valor al final del plazo calculado?

29. ZCuántos años deberá dejarse un depósito de $6.000 en una cuenta de ahorros que acumula el 8% semestral, para que se conviertan en $10.000?

30. Calcular el monto de $4.000 depositados durante 12 años 5 meses al 6,4% con acu-mulación semestral.

31. ¿Qué es más conveniente: invertir en una sociedad maderera que garantiza dupli-car el capital invertido cada 10 años, o depositar en una cuenta de ahorros que ofrece el 6/o capitalizable trimestralmente?

32. Una población aumentó de 475.000 habitantes a 1.235.000 en 25 años. ZCuál fue el tipo anual aproximado de crecimiento?

33. Un inversionista ofreció compr¿r un pagaré de $120.000 sin intereses que vence dentro de 3 años, a un precio que le produz ca eI 8% efectivo anual; calcular el precio ofrecrdo. 34. Un pagaré de $18.000 a intereses simples deI6% con vencimiento a 5 años, es com-prado por un inversionista 3 años antes de su vencimiento por la cifra de $20.300. Hallar la tasa efectiva de rendimiento que produce la inversión.

35. Hallar el VF a interés.compuesto de $20.000 en 10 años, a la tasa continua del 5-, de interés. Comparar el resultado con el monto compuesto al5%, convertible men-sualmente.

(30)

M A T E I V A T I C A S F I N A N C I E R A S

Hallar el valor de la fuerza de interés que corresponde al interés compuesto del5% ' Eiaborar la gráfica del vF de $1.000 a interés compuesto para i : 0,25, tr : 3 años f en la misma , trazar la escalonada corresPondiente al VF a la tasa equivalente capitalizable cada cuatro meses'

Elaborar la gráfica correspondiente al VF con capitalización continua de|78,2322% y hallar la tása equivalenle anual y el VF en los años 7, 2, 3 y 4. En la misma, ttazar íu .o.r"rpondienie al VF a interás simple continuo para |a tasa del 20%; para eI primer aho, hallar los vF a interés compuesto y a interés simple, al final de cada m e s .

4.I3

ACTIVIDADES

DE CONSULTA

3 6 .

5 / ,

3 8 .

(c)

(¡')

(c)

Consultar en la banca local las tasas )'periodos de capitalización para cuentas de ahorros, y analizar ventajas y desventajas de los sistemas aplicados.

Consultar las tasas de capitalización para depósitos a mediano y largo plazo. Estudiar las tasas y periodos de capitaiización para las reservas de seguros de vida'

(31)

r*

rr,*qe,

e*'é

i ' , , i

il,

. ! l : r : ! ¡ i i

VALOR

ACTUAL

O PRESENTE

AL INTERES

COMPUESTO

OBJETIVO

En este capítulo se aprenderá a reconocer, definir y calcular valores actuales o presen-tes, valores futuros o montos de sumas a interés compuesto; además r" .r'lar,"1u.un ecuaciones _{de valores equivalentes y diagramas de flujos de caja. Al terminar este} capi-tulo se podrán plantear y resolver problemas financieros en los que inten'ienen cálcu-Ios de valores futuros y de valores presentes o actuales a partir de obligacionc: que devengan o no intereses; _{igualmente se podrán plantear ecuaciones de valores equir} a-lentes y elaborar diagramas de flujos de caja.

I N T R O D U C C I O N

Una cuestión fundamental en el mundo de los negocios es la determinación del r-aior de aquellos bienes expresables en dinero que, por alguna condición, se recit'rrán en fecha futu¡a. Así, por ejemplo: iQué vale hoy un legado de $1.000.000 que se recibirá d e n t r o d e 1 0 a ñ o s ? Z E n c u á n t o p u e d e v e n d e r s e hoy un terreno que está en concesión por 6 años?

Definición El valor actual o presente a interés compuesto de un dinero que se reciba en fecha futura es aquel capital que, a interés compuesto, tendrá en el mismo tiempo un monto equivalente a la suma de dinero que se reciba en la fecha convenida.

(32)

5.2 cÁtculo DEt VAtoR AcTuAt

P

Valor presente

Utilizando la fórmula 19: F : P(7 se obtiene,

Notación estándar: _{P : F(p/F, i% , n)}

Para su aplicación, la fórmula 23a se modifica así:

T

( 7 + i)"

P - F 1 1 ) - ; \ - t I

. . \ ^ , . , /

Algebraica \otación estándar n periodos F Valor futuro + r)i'

El factor (1 + if'es el valor presente de un valor futuro de una unidad por recibir dentro de n periodos de capitalización, a la tasa efectiva i por periodo. En notación estándar (P/E i%, n).

La tabla II contiene los valores del factor de valor presente para diferentes tasas y periodos. Para el uso de la tabla, i es la tasa efectiva expresada én tanto por,r.,o

"., él periodo de capitalización. Para valores que no figuren en las tablas, debe utilizarse cal-culadora.

La fórmula para el valor actual a la tasa j capitalizable rrr veces en el año se obtiene remplazando i, así:

I

i = L, n = número de periodos de capitalización en el año, para n años_m el número de periodos : rzn

(23n)

(23b)

(23c) (24a) (24b)

P = P ( t *

i l ' '

\ m )

n = r( e ¡ r , L n , r ^ \

\ m )

( 7 + i ) "

(33)

V A L O R A C T U A L O P R E S E N T E A L I N T E R E S C O M P U E S T O

[ft!fflEf,fl Hallar el valor presente de $5.000 pagaderos en 5 años, a la tasa efectiva anual d e l 6 % . F : 5 . 0 0 0 ; i : 0 , 0 6 ; , 7 = 5 Notación estándar P = 5.000 (PlF,6%,5\ Algebraica

P : s.000(1

+ 0,06)

s

En tabla II (1 + 0,06) 5 - 0,74725817 P : 5.000 (0,7472s817) P : 5 3 . 7 3 6 . 2 9 E n l a n o t a c i ó n e s t á n d a r P : 5 . 0 0 0 ( P / F , 6 % , 5 ) , s e p i d e c a l c u l a r e l v a l o r p r e s e n t e P conocido el valor futuro F : 5.000 al 6% eÍectivo en 5 periodos; por solicitarse el valor presente, se utiliza el factor de valor presente cuyo valor se busca en la tabla II o se calcula.

El lector debe comprende¡, con claridad, que ia notación estándar es estrictamen-te necesaria cuando se dispone de calculadoras financieras. Al introducir los valores dc F, i%, n,la calculadora interpreta el valor presente, determina el factor del valor presen-te para los datos informados y continúa su programa hasta entregar el resultado. Pero si el computador es programable, se recomienda crcar programas usando los conoci-' mientos asimilados en computación, y aplicar correctamente los conceptos financieros manejando con propiedad las fórmulas y métodos matemáticos que correspondan al problema que se trabaje. En este texto de matemáticas financieras, el objetivo es ense-ñar a manejar los conceptos y métodos matemáticos para obtener el resultado correcto. ffilEf,p Hallar el valor presente de $5.000 pagaderos en 5 años, a la tasa del 6"1, capitalizable trimestralmente.

A l g e b r a i c a

r = r [ r , l r )

N o t a c i ó n e s t á n d a r

_{n = dn¡r,ln,^,,)}

\

" '

)

F = 5 0 0 0 ;

m

= 4 ;

n = s ;

_{i = 0 , 0 6 ;}

_{i = *=ry= 0,015}

P = s . ] w ( P l F , " t , s % , 2 0 ) p = 5 . 0 0 0 ( 1 _{+ 0 , 0 1 5 f 4 ,} P = 5.000(0,74247042) P = $3.772.35 Tabla II

(34)

5 . 3

5 . 4

VATOR

ACTUAI PARA

VALORES

DE n MAYORES

QUE EL ñAÁXIMO

DE LA TABLA

Se procede como en el ejemPlo 4.4.

freEEEEEl Hallar el valor presente de $100.000 pagaderos dentro de 20 años, al 6% capitalizable trimestralmente. F = 1 0 0 . 0 0 0 ; m = 4 ; j= 0 , 0 6 ; n = 2 0 P = 100.000(1 + 0,015)-80 p - 100.000(1 + 0,015)-50 (1 + 0,015) 30 p = 100.000(0,47500468 ) (0,6397 6243 ) P = $30.389 Tabla II

VALOR ACTUAL A INTERÉS COMPUESTO CON PERIODOS DE CAPITALIZACIóN FRACCIONARIOS

En la sección 4.5 se explicaron las dos formas de calcular el valor futuro a interés com-puesto, cuando se prÁentan fracciones de periodo. El mismo método se aplica para el iálculo del valor actual o presente en fracciones de periodo'

Regla comercial El valor actual se calcula a interés compuesto, para los periodos ente-rot, y u interés simple para las fracciones de periodo'

cálculo teórico se calcula a interés compuesto para todo el tiempo, incluida la fracción de periodo.

El valor actual o presente resulta menor cuando se calcula a interés simple para Ia fracción de periodo.

IEtrEIEEg iCuál es el valor presente de un pagaré de $60.000 pagaderos dentro de 2 años 8 meses, si la tasa es del 8% capitalizable semestralmente?

(a) Aplicando la regla comercial, se calcula primero el valor presente para 2 años 6 meses que equivalen u S p"iiodor y, luego, con base en el valor encontrado, se busca su valor presente a interés simPle en 2 meses.

Fórmula 24: Estándar D _ E D _ E

l'. ¿')

''

\ t n )

(v'

' j'*")

(35)

V A L O R A C T U A L O P R E S E N T E A L I N T E R E S C O M P U E S T O F - r , ( 1 . 0 ( ) ( l ; t t t = 2 : _{i = 0 . ( ) 8 ; i r y = ( ) , ( ) 4 ; i l = 2 , 5} 2 P - 60.000(1 + 0,04) 5 = Orl.OtlO(il,t¡2192711 ) P = $,19.315,63 A s í , e l v a l o r Presente de $60.()00 p a g ¿ d e r o s _{e n 2 , 5 a n o s e s d e 9 4 9 . 3 1 5 , 6 3}y s o b r e e s t e v a k r r d e b e hall¡rse cl v¿krr presente, .r interés simple del f3i4 , en 2 rneses.

A p l i c a n c l o l . r fr i r m u l a 9 : , = * ; F = ,19 3 15,63; i , , 4 9 3 1 5 , 6 3

' =

la!o,-ori)

= 0 , ( ) 8 ; r ' - I a ñ t r t ) - $18 666,74 l . ¿ s c ¿ l c u l ¿ d o r ¿ s f i n ¡ n c i c r . t s ti e n e n n r . r n d o p r r a e a l c r r l . r ¡ d e p e r i o d o p a r . t in t c r é s s i n t ¡ r l c o i n t e r ú s c o m p u c s t o . ( l ' ) ( á l c u l o t e r i r i c o : . t v o l u n t ¡ d t l t , l o P c r ¿ c l o r , l¡ f r . t c c i t i n

) . )

i \ i l | ¡ t 1 ' - l l l + ' - ] \ , / i /

f - 6 0 . ( X X ) ;

l - ( ) , 0 u ;

t t t

- 2 ; n . . 2 + - Z ? - ! ,

1 2 3 3

, , , , , - z l { ) - i í - s l

\ 3 i 3 3 P = 6 0 . ( X X ) ( I + ( ) , ( ) 4 ) 5 l , -t0.(xl0(l,(u) ¡(1.()4) I',l T¿rbla Il (1,04) 5 =(\,8219271;'f¡bl¿ IV (1,0.t) r':r - 0,.lu0l152 C = 60.(XX) (0,¡l2l!'2711X0,9¡1701 152) - $'1¡1.675.()9

E l v a l o r Presentc calculado a interés compuest(), i n c l u i t l ¡ l ¡ f r ¿ c c i t i n d c p c r i o d o , d . r u n r e s u l t ¡ do mayor en $6,35, c¡ue el obtcnido calcul¿nclo.r intt'rós sinrple ¡rar.r la fraccitilr cle pt'rioclo.

- l

( c ) E f e c t u a r e l c . i l c u l o c l e ( l + 0 , 0 4 ; ' :

c 9 n c a l c u l ¿ t l t ) r . i v c ( ) m p . l r . l r l ¡ c 6 n e I v ¿ l ¡ r e b t e ¡ i t l ¡ t ' ¡ (l¡) aplicanclo tablas. Ilepetir el ejem¡rlo ¿ l.t t¿s¡ cfecti'u,¿ del 2,/{, ¿nu..rl.

D E S C U E N T O A I N T E R É S C O N N P U ¡ S r O

E l d e s c u e n t o _{c o m p u e s t o v e r d a d e r o e s la d i f t r c r - r c i a}e n t r c c l . " ' a l 9 r _{f u t u r , , l¡i)r f} .t-valor presc.nte.

(36)

M A T E M A T I C A S F I N A N C I E R A s P o r d e f i n i c i ó n : S u s t i t u v e n d o : Factorizando:

D = F -P

(D es el descuento

verdadero)

P : F ( 1 + i ) - "

D : F - F ( 1 + t ) - ' ,

D : F [ 1 - ( 1 + ¡ ) ' ]

o = r [ r

(25n)

El valor tl - (1 + i)"'] recibe el nombre de factor de descuento, a interés compucsto-S i l a t a s a d e i n t e r é s e s 7 c a p i t a l i z a b l e n l v e c e s Por año, se obtiene:

-fr*al

""'l

\

' t r /

_l

_(2sb)

Descuento bancario compuesto Es el que se calcul¿r sobre el monto de la deluda, a una tasa de clescuento ¡1. Esta forma de descuento es poco frecuente y no tiene aplicaciones prácticas. Iror meclio de un ciesarrollo análogo al utilizado para deducir la fórmula 19, para el clescuento bancario compuesto se obtienel la fórmula:

VL : VN (1 - rl)" D o n d e :

VL: Valor líquido del Pagaré VN: Valor nominal del Pagaré

d: 'fipo o tasa de descuento exPresada en tanto por ciento

5 . ó V A T O R P R E S E N T E D E U N A D E U D A Q U E D E V E N G A T N T E R E S E S

para calcular el valor presente de una deuda que devenga intereses, es necesario esta-blecer primero su monto nominal, es decir, el valor que liquidará la deuda a-su venci-miento. Una vez calculado el monto nominal, se procede a determinar su valor actual. [ffiH!f,fl Calcular, 3 años antes de su vencimiento, el valor presente, alfl% capitalizable s e m " s t . a l m e n t ! , d e u n p a g a r é d e 9 1 0 0 . 0 0 0 f i r m a d o a 5 a ñ o s p l a z o , c o n e l 6 % , d e i n t e r é : capitalizable anualmente

Irrimero, se calcula el monto nominal a 5 años de plazo:

Notación estándar F = P ( F I P , i % , t t ) \ o t a c i í r n a l g e b r a i c a F = P ( 1 + , ) "

P : 1 0 0 . 0 0 0 ; i = 0 , 0 6 ; n : 5 F r : 1 0 0 . 0 0 0 ( 1 + 0 , 0 6 ) s

(37)

V A L O R A C T U A L O P R E S E N T E A L I N T E R E S C O M P U E S T O

L u e g o , p a r a e s t e monto F,, se calcula el valor presente, n sea, el valor líquido:

Notacirin estándar ¡ - 0 , 0 1 1 ; m = 2 ; n = 3 0 , 0 4 ) ' ( i \ P = F l P l F , - , t n t t l \ D t ₎ / i \ ' " P = F l 1 + - l \ t t t ) F - F, - 100.0(X) (l + 0,06)5 yL = 100.000 (1 + 0,06)5(1 + Con las tablas I y II o mediante calculadora, se tiene

t,L : 1 00.000(1,33822s58 _{) (0,790314s3\} Vt, : $705.76r,90

5 . 7 _{E C U A C I O N E S D E V A L O R E S EQUIVATENTES}

Estas ecuaciones son las que se forman igualanclo -en una fecha de comparación cr fecha focal- las sumas de los valores en la fócha escogicla cle los diferentes .n'n;,,,,-,tn¡; .1,, obligaciones.

Los problemas básicos que deben analizarse son cios:

1' Establecer _{el valor que debe pagarse, en determinacia fecha, equivalente al valor de} un conjunto de obligaci.nes, que vencen en diferentes fechas.

2' Determinar la fecha cle vencimiento promeclio en que se puede cancela¡, mediante un pago único igual a la suma de los valores de uñ conjlnto cle obligaciones que tienen distintas fechas de vencimiento. El tiempo por transcurrir hasta la fecha cie vencimiento promedio se define como ticm¡to cquiiarente.

fffilllEEE _{Una persona}_{debe $10.000}_pagaderos

dentro de 2 años y $20.000 a 5 años plazo. con su acreed.or pacta efectuar un pa¡lo _{único al final de 3 años a la tasa}_{del u%, capitalizable} semestralmente. Calcular _{el valor único del pago.}

ru.uuu

x

20.000

En el diagrama anterio¡, las flechas muestran el movimiento del dinero. El gráfico del tlujr, J. caja sustituyendo los dos pagos por uno solo es (para economizar espacio, las flecha: rt i-,.,:-colocado a un solo lado de la línea de tiempo):