Las ecuaciones de Lagrange se plantean de la forma siguiente: es la matriz jacobiana traspuesta de las restricciones del problema,

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4. RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS ESTÁTICOS.

Se aplicará la teoría desarrollada a problemas estáticos concretos, empleando para cada uno de ellos los dos sistemas clásicos de referencia, sistema biapoyado y sistema tangencial, comparando los resultados obtenidos al aplicar una u otra referencia. Dichos problemas estáticos son: viga empotrada con carga en el extremo, viga empotrada con momento en el extremo, viga biapoyada con carga aplicada en el centro y viga biapoyada con momento aplicado en el extremo.

Para la resolución genérica de problemas aplicamos las ecuaciones de Lagrange, dependiendo del problema que vayamos a resolver habría que aplicar unas u otras condiciones de contorno para particularizar la resolución del sistema en concreto.

Las ecuaciones de Lagrange se plantean de la forma siguiente:

e T q λ Q C q q ∂ + ⋅ = ∂ − ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂L L dt d & (4.1) U T L= −

donde T y U representan respectivamente la energía cinética y potencial del sólido, CTq es la matriz jacobiana traspuesta de las restricciones del problema,

λ son los multiplicadores de Lagrange y Q son las fuerzas generalizadas. e Sustituyendo la segunda ecuación representada anteriormente en la primera obenemos:

(4.2)

para problemas estáticos, 0

q q ∂ = ∂ = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂T T dt d

& con lo que se simplifica la expresión anterior de la forma:

(4.3)

siendo =Fe ∂ ∂

U la definición de las fuerzas elásticas, luego:

e T q λ Q C q q q ∂ + ⋅ = ∂ + ∂ ∂ − ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂T T U dt d & q Q λ CT e q ∂ − = ⋅ U

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(4.4)

A continuación se muestra una tabla donde se representan las propiedades físicas de la viga a estudiar.

Longitud, L(m) 8

Densidad, ρ(kg/m3) 2,767×103 Área de sección transversal, A(m2) 7,299×10−5

Momento de inercia, I(m4) 8,214×10−9

Masa, m(kg) 1,615

Módulo de Young, E(Pa) 10

10 895 , 6 × 4.1 Tabla

Estas propiedades se han usado en diversos estudios donde se ha aplicado ANCF, por ello la elección de las mismas para la resolución de los distintos problemas que se plantean a lo largo de este trabajo.

4.1. Viga empotrada con carga vertical en el extremo.

4.1 Fig.

Basándonos en la resolución genérica del problema, programamos una subrutina empleando el programa Mathemática por el cual resolvemos la posición del elemento. Debido a la no linealidad del sistema de ecuaciones a resolver, utilizamos un método numérico (Newton-Raphson) para obtener la posición de la viga como consecuencia de la aplicación de la carga.

Mediante la formulación en coordenadas nodales absolutas se irá discretizando progresivamente la viga, analizando y comparando los resultados obtenidos según discreticemos en uno, dos, tres ó n elementos.

e e T q λ Q F C ⋅ = + F O

(3)

Para el cálculo del problema para más de un elemento hay que introducir las denominadas matrices de conectividad (B) para asegurar la continuidad en toda la viga cuando discretizamos ésta en más de un elemento.

4.1.1. Discretización en un elemento.

4.2 Fig.

Para un elemento, la longitud del mismo y de la viga completa coinciden. Las restricciones del problema son e1 =e2 =e4 =0. La matriz Jacobiana particularizada para la viga empotrada tiene la forma:

(4.5)

Si el vector de multiplicadores de Lagrange es λ =

(

λ1,λ2,λ3

)

, obtenemos:

(4.6) F ⎟⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ 8 7 6 5 e e e e ⎟⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ 4 3 2 1 e e e e ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 e C ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = ⋅ 0 0 0 0 0 3 2 1 λ λ λ λ CT e

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Teniendo F el valor de 1 Newton, el vector de fuerzas generalizadas particularizado para este problema es el siguiente:

(4.7)

A continuación obtendremos las expresiones que definen las fuerzas elásticas del elemento. Para el cálculo de las mismas usamos la función de forma global definida en (2.5). Seleccionando el punto O (origen de la viga) como referencia, las componentes de un desplazamiento relativo de un punto arbitrario con respecto a O puede definirse según (2.9).

Definimos ahora un vector unitario i cuya orientación nos servirá para evaluar los desplazamientos longitudinales y transversales que obtendremos durante el desarrollo de este trabajo. Dependiendo del sistema de referencia donde definamos dicho vector unitario podríamos obtener resultados diferentes, ya que cada problema puede ajustarse mejor a un sistema u otro.

Para el problema de la viga empotrada con carga vertical en el extremo, la resistencia de materiales dictamina un desplazamiento de 0.301342 metros en el punto de aplicación de la carga.

• Sistema biapoyado.

Para este sistema, la dirección del vector unitario que define el eje de abscisas es la de una recta que pasa por los dos nodos del elemento, siendo el otro vector perpendicular al anterior. El primero queda definido según las expresiones (2.10) y (2.11). Las deformaciones longitudinales y transversales de la viga aparecen en (2.14). La energía potencial U queda reflejada según (2.15), con lo que las fuerzas elásticas se obtendrían derivando la expresión de la energía potencial respecto las coordenadas nodales, quedando reflejado este procedimiento en la ecuación (2.16).

⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − = 0 0 1 0 0 0 0 0 e Q

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• Sistema tangente.

La diferencia respecto al sistema biapoyado radica en la definición del vector i . Para este sistema concreto de coordenadas las componentes del vector unitario de orientación aparecen reflejadas en las expresiones (2.12) y (2.13).

• Sistema basado en la energía.

Como se explicó en el apartado 3 de este trabajo, el vector unitario i debe de optimizar la energía de deformación del sistema. Una vez obtenido dicho vector unitario se procedería a la obtención de las fuerzas elásticas según la expresión (2.16).

4.1.2. Discretización en n elementos.

4.3 Fig.

Para más de un elemento hay que introducir el concepto de conectividad entre los mismos para obtener continuidad en la viga. Mediante unas matrices denominadas matrices de conectividad podemos desarrollar perfectamente el problema para más de un elemento sin más que modificar levemente las ecuaciones que definen el sistema.

Las matrices de conectividad las denominaremos Bn, correspondiendo el subíndice al elemento en concreto al que se refiere, así pues para el ejemplo de dos elementos n podrá tomar los valores 1 y 2, es decir, tendremos dos matrices; B1 y B2. Dichas matrices tienen una dimensión 8×v, siendo v el número de variables del problema, el cual depende de los elementos en los que hayamos dividido el mismo. Así pues, v=4⋅(n+1) siendo n el número de

F ⎟⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ 4 3 2 1 e e e e ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + − + − + − + ) 1 ( 4 1 ) 1 ( 4 2 ) 1 ( 4 3 ) 1 ( 4 n n n n e e e e

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elementos en los que discreticemos la viga. La construcción de las matrices de continuidad es muy simple siguiendo un patrón que desarrollaremos a continuación. Dichas matrices están compuestas por una submatriz identidad de dimensión 8×8 y el resto de la matriz se rellena de ceros, dependiendo de la posición de la submatriz identidad dentro de la matriz global, tendremos la matriz de continuidad correspondiente a un elemento concreto. Si cada columna de la matriz Bn se asocia a una variable del problema, la submatriz identidad quedaría encajonada en las columnas de Bn correspondientes a las variables que conformarían el elemento n .

Con las matrices de continuidad redefinimos las ecuaciones de movimiento que modelan el problema. De esta forma:

(4.8)

• Resolución de los modelos.

Sistema de referencia biapoyado

Representamos en el siguiente gráfico el desplazamiento vertical en el extremo de la viga en voladizo para cada discretización.

4.4 Fig.

= ⋅ − ⋅ = ⋅ n j q 1 )) ( (B F e Q B λ C T j j e T n T

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A continuación se representará gráficamente las iteraciones del método de Newton-Raphson necesarias para la resolución del problema aplicado a las n discretizaciones empleadas, así como el tiempo de ejecución del algoritmo.

4.5 Fig.

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Los valores exactos del desplazamiento vertical en el extremo de la viga para cada discretización en los elementos descritos en la gráfica se visualizan en la siguiente tabla de valores, junto con el número de iteraciones y tiempo de ejecución del sistema de ecuaciones resuelto mediante el programa Matlab.

Número de elementos Desplazamiento en el extremo Número de iteraciones método de Newton- Raphson Tiempo de ejecución del algoritmo 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 0.3005 0.2866 0.2967 0.2997 0.3005 0.3007 0.3008 0.3009 0.3009 0.3009 0.3009 0.3009 0.3009 0.3009 0.3009 0.3009 0.3009 0.3009 0.3009 0.3009 5 6 6 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 0.2970 0.0790 0.1250 0.1090 0.1090 0.1410 0.1720 0.1870 0.2030 0.2350 0.2650 0.3130 0.3280 0.3440 0.3590 0.4060 0.4220 0.4690 0.4840 0.5320 4.2 Tabla

Tanto en la gráfica como en la tabla puede observarse el salto significativo ocurrido en el momento que evaluamos el desplazamiento vertical para dos elementos tras obtenerse una solución muy aproximada a la exacta al evaluar el problema con uno sólo. A partir de la evaluación para dos elementos, las distintas soluciones tienden a la solución exacta a medida que se aumenta el número de elementos que componen el problema. Llegados a la discretización en ocho elementos, la solución del desplazamiento permanece constante.

Puede observarse la variación del número de iteraciones del método de Newton-Raphson que también ocurre cuando discretizamos en dos elementos, necesitándose, junto al cálculo con tres elementos, hasta dos iteraciones más que las necesarias para llegar a la solución exacta.

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Sistema de referencia tangente

Al igual que en el caso biapoyado, se representará a continuación la evolución que sufre el desplazamiento en el extremo de la viga respecto al número de elementos en el se discretiza la misma (Fig. 4.7).

4.7 Fig.

Junto a esta gráfica, se incluyen dos más que nos indican las iteraciones del método de Newton-Raphson respecto a los elementos en los que se divide la viga (Fig. 4.8) y, el tiempo de ejecución del algoritmo para cada discretización (Fig. 4.9).

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4.8 Fig.

4.9 Fig.

En la siguiente tabla se exponen los diferentes resultados expuestos en los gráficos anteriores.

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4.3 Tabla

Al igual que para el sistema biapoyado, para dos elementos se produce un salto significativo en la solución del problema. A diferencia que en el sistema anterior, para el sistema de referencia tangente obtenemos la solución exacta del problema para un solo elemento, sin embargo, para n=2Κ 20 se obtienen peores soluciones que en el sistema de referencia biapoyado, donde son necesarias menos iteraciones para llegar a una solución estable que en el caso del sistema de referencia tangente.

La variación en el número de iteraciones que se obtienen para dos elementos es más significativa en el caso del sistema tangente que en el biapoyado. Además los tiempos de ejecución totales del algoritmo son sensiblemente mayores para el sistema tangente que para el sistema de referencia biapoyado. Número de elementos Desplazamiento en el extremo Número de iteraciones método de Newton- Raphson Tiempo de ejecución del algoritmo 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 0.3013 0.1567 0.1941 0.2320 0.2584 0.2749 0.2847 0.2906 0.2941 0.2963 0.2976 0.2986 0.2992 0.2996 0.2999 0.3001 0.3003 0.3004 0.3005 0.3006 2 12 9 8 8 7 6 6 6 6 5 5 4 4 4 4 4 4 4 4 0.1400 0.2660 0.2970 0.3440 0.4530 0.4690 0.4680 0.5630 0.6250 0.6870 0.6250 0.7030 0.6100 0.6560 0.7030 0.7660 0.8280 0.8910 0.9840 1.0160

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Sistema de referencia de máxima energía de deformación a flexión

La figura 4.10 representa el desplazamiento en el extremo de la viga respecto al número de elementos en los que se divide la misma aplicando para ello el nuevo sistema de referencia desarrollado.

4.10 Fig.

La siguiente figura refleja la evolución de las iteraciones del método de cálculo empleado en cada problema, es decir, para los distintos elementos en los que progresivamente se va dividiendo la viga (Fig. 4.11)

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4.11 Fig.

La siguiente gráfica expone el tiempo necesario que necesita el algoritmo de cálculo para resolver cada problema.

4.12 Fig.

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En la siguiente tabla se listan los diferentes valores empleados en la construcción de los diferentes gráficos anteriores.

4.4 Tabla

Se puede comprobar como con el sistema de referencia de máxima energía de deformación por flexión se obtienen resultados más exactos que con los sistemas tradicionales. No sólo se alcanza con exactitud la solución analítica del problema, sino que se cumple para n=1Κ 20 elementos. Además se consigue un número de iteraciones y un tiempo de ejecución del algoritmo más rápido y eficiente que con los sistemas tradicionales de referencia.

4.2. Viga empotrada con fuerza horizontal aplicada en el extremo.

4.13 Fig.

Se aplicarán los sistemas de referencia definidos para el problema de la viga empotrada con una fuerza horizontal aplicada en el extremo. Las

Número de elementos Desplazamiento en el extremo Número de iteraciones método de Newton- Raphson Tiempo de ejecución del algoritmo 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 0.3013 0.3013 0.3013 0.3013 0.3013 0.3013 0.3013 0.3013 0.3013 0.3013 0.3013 0.3013 0.3013 0.3013 0.3013 0.3013 0.3013 0.3013 0.3013 0.3013 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 0.1720 0.0310 0.0310 0.0630 0.0470 0.0780 0.0930 0.1100 0.1250 0.1250 0.1400 0.1570 0.1720 0.1710 0.2040 0.2340 0.2340 0.2500 0.2660 0.2970 F

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condiciones de contorno de este problema son las mismas que para la viga con carga vertical en el extremo, pero cambian las fuerzas generalizadas que se aplican al problema. De esta manera, dichas fuerzas quedan descritas como:

(4.9)

En este caso F tiene un valor de 10000 N para poder apreciar deformación a lo largo de la viga debido a la gran rigidez que posee la misma en sentido axial. Aplicando la resistencia de materiales a este problema aparecerá una deformación axial de 0.159 metros a lo largo de la viga.

A continuación se resolverá el problema aplicando los distintos sistemas de referencia descritos en este proyecto.

Sistema de referencia biapoyado

Aplicando el sistema de referencia biapoyado obtendremos un gráfico donde se refleja el desplazamiento axial que sufre la viga respecto a las diferentes discretizaciones en las que se divide el problema.

⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = 0 0 0 10 0 0 0 0 4 e Q

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4.14 Fig.

La figura 4.15 representa las iteraciones necesarias realizadas por el método de Newton-Raphson para la obtención de la solución más aproximada a la exacta ó, ella misma, para cada número de iteraciones en los que se ha planteado el problema.

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4.15 Fig.

A continuación se muestra el tiempo de ejecución del algoritmo a medida que la viga se va discretizando progresivamente.

4.16 Fig.

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La tabla que se muestra a continuación reúne los datos con los que se han construido los gráficos anteriores.

4.5 Tabla

Para el problema de la viga empotrada con carga horizontal aplicada en el extremo, la elección de un sistema de referencia biapoyado tiene un buen comportamiento ya que, como se puede observar, tomando la viga completa como un único elemento, se alcanza el valor exacto que nos define la resistencia de materiales, con un número de iteraciones pequeño para cada discretización y unos tiempos de ejecución del algoritmo ínfimos.

Sistema de referencia tangente

Se aplicará el sistema de referencia tangente al problema de la viga empotrada, con carga axial en el extremo libre de la misma. La figura 4.17 representa la deformación horizontal que sufre la viga respecto a las diversas discretizaciones con los que se resuelve el problema.

Número de elementos Desplazamiento en el extremo Número de iteraciones método de Newton- Raphson Tiempo de ejecución del algoritmo 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 0.1590 0.1590 0.1590 0.1590 0.1590 0.1590 0.1590 0.1590 0.1590 0.1590 0.1590 0.1590 0.1590 0.1590 0.1590 0.1590 0.1590 0.1590 0.1590 0.1590 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 0.1250 0.0160 0.0310 0.0630 0.0620 0.0630 0.0780 0.0930 0.1100 0.1250 0.1250 0.1400 0.1570 0.1720 0.1870 0.2030 0.2030 0.2500 0.2350 0.2650

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4.17 Fig.

La gráfica que se muestra a continuación representa las iteraciones del algoritmo de Newton-Raphson necesarias para la resolución del problema de la viga empotrada, para cada una de las diferentes iteraciones planteadas.

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4.18 Fig.

El tiempo necesario que emplea el algoritmo de Newton-Raphson en cada resolución, se encuentra reflejado en la gráfica de la figura 4.19.

4.19 Fig.

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La tabla de valores que se presenta a continuación muestra los datos usado en las representaciones gráficas anteriores.

4.6 Tabla

Como puede observarse, al comparar tanto las diversas gráficas obtenidas mediante el sistema de referencia biapoyado junto con las obtenidas aplicando el sistema de referencia tangente, así como las tablas 4.5 y 4.6, se llega a la conclusión de que es indiferente aplicar cualquiera de los dos sistemas de referencia mencionados anteriormente ya que se llegan a las misma soluciones, tanto en lo referente al desplazamiento en el extremo de la viga, como en el número de iteraciones del algoritmo de cálculo como en el tiempo de ejecución del mismo. Se aplicará a continuación el sistema de referencia de optimización de la energía para de esta manera comparar todos los datos obtenidos.

Sistema de referencia de máxima energía de deformación a flexión

Se representa a continuación el desplazamiento en el extremo de la viga respecto al número de elementos en los que se va discretizando la viga del problema, aplicando para ello el sistema que optimiza la energía de deformación. Número de elementos Desplazamiento en el extremo Número de iteraciones método de Newton- Raphson Tiempo de ejecución del algoritmo 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 0.1590 0.1590 0.1590 0.1590 0.1590 0.1590 0.1590 0.1590 0.1590 0.1590 0.1590 0.1590 0.1590 0.1590 0.1590 0.1590 0.1590 0.1590 0.1590 0.1590 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 0.0780 0.0160 0.0310 0.0630 0.0620 0.0630 0.0780 0.0940 0.1090 0.1090 0.1410 0.1410 0.1560 0.1720 0.1720 0.2030 0.2030 0.2340 0.2660 0.2650

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4.20 Fig.

La siguiente figura representa las iteraciones necesarias que ha de realizar el algoritmo de Newton-Raphson para obtener las distintas soluciones para cada número de elementos en los que se discretiza la viga del problema.

4.21 Fig.

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A continuación, se muestra el tiempo empleado por el algoritmo de cálculo para la resolución del problema, aplicado a cada una de las discretizaciones realizadas.

4.22 Fig.

Los datos usados en la construcción de los gráficos anteriores se muestran en la tabla 4.7. Al comparar dicha tabla con las obtenidas al aplicar los sistemas de referencia biapoyado y tangente se observa como para el problema de la viga empotrada con fuerza horizontal aplicada en el extremo libre es indiferente el uso de cualquier sistema de referencia, ya que con cualquiera se obtienen excelentes resultados. Esto es debido a que en el problema descrito no existe deformación a flexión en la viga, lo que no condiciona los resultados finales dependiendo del sistema de referencia empleado.

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4.7 Tabla

4.3. Viga empotrada con momento aplicado en el extremo.

4.23 Fig.

Se analiza el problema de la viga en voladizo aplicando un momento en el extremo libre de la misma. Las condiciones iniciales del problema son las mismas para esta configuración que las descritas en el apartado 4.1, salvo la definición de las fuerzas generalizadas del problema, que para éste quedan descritas como: (4.10) Número de elementos Desplazamiento en el extremo Número de iteraciones método de Newton- Raphson Tiempo de ejecución del algoritmo 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 0.1590 0.1590 0.1590 0.1590 0.1590 0.1590 0.1590 0.1590 0.1590 0.1590 0.1590 0.1590 0.1590 0.1590 0.1590 0.1590 0.1590 0.1590 0.1590 0.1590 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 0.1400 0.0160 0.0310 0.0620 0.0630 0.0780 0.0780 0.1090 0.1250 0.1250 0.1570 0.1560 0.1870 0.2040 0.2180 0.2190 0.2500 0.2500 0.2810 0.2970 M ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − ⋅ + = 8 2 8 2 7 0 0 0 0 0 0 e e e e M e Q

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donde M =1 N.m .

Para discretizar el problema en n elementos no hay más que aplicar la expresión (4.8).

Si se aplica la resistencia de materiales a este problema aparecerá una deformación de 0.0565 metros en el extremo de la viga.

A continuación se resolverá el problema aplicando los distintos sistemas de referencia descritos en este proyecto.

Sistema de referencia biapoyado

La siguiente gráfica compara los resultados obtenidos usando el sistema de referencia biapoyado con la solución exacta del problema aplicando la resistencia de materiales.

4.24 Fig.

Las gráficas 4.15 y 4.16 representan respectivamente las iteraciones necesarias del método de Newton-Raphson para la resolución del problema en cada una de las distintas discretizaciones en la que se ha resuelto la viga con momento aplicado en el extremo; así como el tiempo empleado por el algoritmo en la resolución de dicho problema.

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4.25 Fig.

4.26 Fig.

La tabla 4.8 agrupa los datos con los que se han representado las gráficas de las figuras 4.24, 4.25 y 4.26.

(27)

4.8 Tabla

Puede observarse como el sistema de referencia biapoyado proporciona una solución exacta a la analítica, lo que implica una buena elección de sistema de referencia para la resolución del problema.

Sistema de referencia tangente

A continuación, como se ha hecho en los apartados previos, se analizará el problema de la viga con momento aplicado en el extremo aplicando el sistema de referencia tangente. La figura 4.27 representa la evolución que sufre el desplazamiento en el extremo de la viga respecto al número de elementos en el se discretiza la misma.

Número de elementos Desplazamiento en el extremo Número de iteraciones método de Newton- Raphson Tiempo de ejecución del algoritmo 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 0.0565 0.0565 0.0565 0.0565 0.0565 0.0565 0.0565 0.0565 0.0565 0.0565 0.0565 0.0565 0.0565 0.0565 0.0565 0.0565 0.0565 0.0565 0.0565 0.0565 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 0.0930 0.0470 0.0630 0.0930 0.1100 0.1560 0.1560 0.1880 0.2190 0.2340 0.2660 0.2810 0.3120 0.3440 0.3750 0.4220 0.4220 0.5000 0.5000 0.5470

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4.27 Fig.

Junto a la gráfica anterior, se incluyen dos más que nos indican las iteraciones del método de Newton-Raphson respecto a los elementos en los que se divide la viga (Fig. 4.28) y, el tiempo de ejecución del algoritmo para cada discretización (Fig. 4.29).

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4.28 Fig.

4.29 Fig.

La tabla 4.9 reúne los datos con los que se han construido los gráficos anteriores.

(30)

4.9 Tabla

Si se observa la gráfica donde quedan representadas las distintas soluciones, dicha representación sigue una evolución muy parecida a la obtenida en el problema de la viga en voladizo con carga en el extremo, es decir, de partir de una solución exacta para un elemento, salta a una solución no exacta con una discretización superior y, progresivamente, a medida que aumenta el número de elementos en los que dividimos la viga la solución va tendiendo a la analítica. Destacar sin embargo que esta variación respecto la solución exacta es muy pequeña como se muestra en la tabla de valores.

Tanto el número de iteraciones del algoritmo como los tiempos de ejecución del mismo son muy parecidos para ambos casos, resaltar la alteración en la columna donde aparece el número de iteraciones en los primeros cuatro valores, que engloba el momento en el que el algoritmo vuelve a tender a la solución exacta una vez alcanzada ésta tras evaluar el problema para un elemento. Número de elementos Desplazamiento en el extremo Número de iteraciones método de Newton- Raphson Tiempo de ejecución del algoritmo 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 0.0565 0.0510 0.0544 0.0557 0.0561 0.0563 0.0564 0.0564 0.0565 0.0565 0.0565 0.0565 0.0565 0.0565 0.0565 0.0565 0.0565 0.0565 0.0565 0.0565 3 6 6 5 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 0.0940 0.0780 0.0780 0.1090 0.1100 0.1400 0.1720 0.1720 0.2190 0.2340 0.2660 0.2810 0.3120 0.3440 0.3600 0.4060 0.4370 0.4530 0.5000 0.5470

(31)

Sistema de referencia de máxima energía de deformación a flexión

La gráfica siguiente nos muestra el desplazamiento en el extremo de la viga respecto al número de elementos en los que discretizamos el problema usando el sistema de referencia que optimiza la energía.

4.30 Fig.

La siguiente figura muestra el número de iteraciones necesarias del algoritmo de Newton-Raphson para la resolución del problema según el número de elementos en los que discretizamos el mismo.

(32)

4.31 Fig.

La figura 4.32 representa el tiempo de ejecución del algoritmo para cada resolución del problema, es decir, para cada número de elementos en los que se discretiza el mismo.

4.32 Fig.

(33)

La tabla de valores que se adjunta a continuación engloba los diferentes datos usados en las representaciones gráficas anteriores, englobadas dentro de la resolución del problema mediante el sistema de referencia de optimización de la energía.

4.10 Tabla

Como puede observarse en las gráficas y en la tabla de valores adjuntas, el método de cálculo por el cual se maximiza la energía de deformación a flexión proporciona valores exactos a los obtenidos aplicando la resistencia de materiales, en cuanto a desplazamiento en el extremo de la viga se refiere, al igual que cuando se aplica el sistema de referencia biapoyado. Sin embargo, es en el número de iteraciones del método de Newton-Raphson, donde el sistema que optimiza la energía de deformación mejora los resultados obtenidos respecto a cuando se aplica el sistema de referencia biapoyado. Los resultados obtenidos mediante el sistema de referencia tangente son peores que los que se obtienen mediante los sistemas de referencia restantes, ya que en éstos últimos las deformaciones medidas son menores que si se miden en el sistema tangente. Número de elementos Desplazamiento en el extremo Número de iteraciones método de Newton- Raphson Tiempo de ejecución del algoritmo 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 0.0565 0.0565 0.0565 0.0565 0.0565 0.0565 0.0565 0.0565 0.0565 0.0565 0.0565 0.0565 0.0565 0.0565 0.0565 0.0565 0.0565 0.0565 0.0565 0.0565 3 3 3 3 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 0.1090 0.0310 0.0630 0.0780 0.0780 0.0780 0.0940 0.1090 0.1250 0.1570 0.1400 0.1880 0.1870 0.2030 0.2350 0.2340 0.2660 0.2810 0.3130 0.3120

(34)

4.4. Viga biapoyada con carga aplicada en el centro.

4.33 Fig.

La resolución del problema de la viga biapoyada con carga centrada se enfoca de la misma manera que para el problema de la viga empotrada, debiéndose tener en cuenta las condiciones particulares que demanda el primero. Así pues, para el problema de la viga biapoyada con carga en el centro se tendría en el caso de que se discretice la viga usando un solo elemento:

(4.9)

Si el vector de multiplicadores de Lagrange es λ =

(

λ123

)

, obtenemos:

(4.10)

Teniendo F el valor de 1 Newton, el vector de fuerzas generalizadas particularizado para este problema es el siguiente:

F ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 e C ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = ⋅ 0 0 0 0 0 3 2 1 λ λ λ λ CT e

(35)

(4.11)

Definidas las condiciones iniciales del problema, debe resolverse el mismo aplicando los distintos sistemas de referencia desarrollados. Para el caso de discretizar el problema en n elementos no hay más que aplicar la expresión (4.8).

Si se aplica la resistencia de materiales a este problema aparecerá una deformación de 0.0188339 metros en el centro de la viga. A continuación se resolverá este problema aplicando los distintos sistemas de referencia descritos.

Sistema de referencia biapoyado

Aplicando el sistema de referencia biapoyado, se representa el desplazamiento en el centro de la viga respecto el número de elementos en los que dividimos la misma, obteniéndose los resultados visibles en la figura 4.34.

⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − − − = 1 0 2 1 0 1 0 2 1 0 e Q

(36)

4.34 Fig.

Las dos gráficas que se muestran a continuación representan, respectivamente, las iteraciones del método de cálculo utilizado respecto al número de elementos en los que se divide el problema (Fig. 4.35) y, el tiempo de ejecución del algoritmo de cálculo para cada situación en el que se discretiza la viga (Fig. 4.36).

(37)

4.35 Fig.

4.36 Fig.

Los datos que se enumeran en la siguiente tabla recogen con exactitud los valores obtenidos durante la resolución de la viga biapoyada con carga

(38)

4.11 Tabla

Tanto en la gráfica, como en la tabla de resultados para los distintos números de elementos, se observa una evolución de la solución final partiendo de un valor inexacto para n=1 elemento hasta igualar la solución analítica del problema a medida que aumentamos el número de elementos en los que discretizamos la viga. Cuando n=3 existe una pequeña variación de la solución que se corrige a medida que se va incrementando el valor de n. No obstante, si se observa con atención la tabla de valores, la variación de la solución es prácticamente despreciable aunque en la representación gráfica parece más importante debido a los márgenes tan estrechos de valores en los que se representa la solución del problema para los distintos números de elementos en los que se discretiza la viga en cuestión.

Sistema de referencia tangente

Empleándose el sistema de referencia tangente, se resuelve el problema de la viga biapoyada con carga aplicada en el centro de la misma. La figura 4.37 representa el desplazamiento que sufre la viga respecto a las diferentes discretizaciones que se aplican al problema.

Número de elementos Desplazamiento en el centro de la viga Número de iteraciones método de Newton- Raphson Tiempo de ejecución del algoritmo 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 0.0141 0.0188 0.0186 0.0188 0.0188 0.0188 0.0188 0.0188 0.0188 0.0188 0.0188 0.0188 0.0188 0.0188 0.0188 0.0188 0.0188 0.0188 0.0188 0.0188 2 3 4 4 4 4 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 0.0780 0.0310 0.0630 0.0940 0.1090 0.1250 0.1250 0.1250 0.1560 0.1720 0.2030 0.2030 0.2340 0.2810 0.2970 0.2970 0.3280 0.3600 0.3750 0.4060

(39)

4.37 Fig.

La gráfica que se muestra a continuación, muestra las iteraciones del método de Newton-Raphson necesarias para la resolución del problema en cada una de las diferentes discretizaciones empleadas.

(40)

En la siguiente figura, se muestra el tiempo necesario de ejecución del algoritmo de resolución para cada discretización empleada en el problema.

4.39 Fig.

La tabla 4.12 refleja los diferentes resultados obtenidos en la resolución de la viga biapoyada con carga aplicada en el centro de la misma.

4.12 Tabla Número de elementos Desplazamiento en el centro de la viga Número de iteraciones método de Newton- Raphson Tiempo de ejecución del algoritmo 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 0.0141 0.0179 0.0175 0.0183 0.0185 0.0187 0.0187 0.0188 0.0188 0.0188 0.0188 0.0188 0.0188 0.0188 0.0188 0.0188 0.0188 0.0188 0.0188 0.0188 4 5 5 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 0.0940 0.0620 0.0790 0.0930 0.1100 0.1250 0.1560 0.1870 0.2040 0.2340 0.2660 0.3120 0.3130 0.3430 0.3750 0.3910 0.4370 0.4690 0.5000 0.5310

(41)

Con el sistema de referencia tangente, al igual que con el sistema biapoyado, existe una evolución de la solución aproximándose ésta a la solución analítica a medida que incrementamos el número de elementos en los que discretizamos la viga del problema. Sin embargo, puede observarse como es necesaria una mayor discretización de la viga para alcanzar la solución exacta respecto a la solución que aparece cuando se aplica el sistema de referencia biapoyado. Además, tanto el número de iteraciones realizadas por el algoritmo de cálculo como los tiempos de ejecución del mismo son mayores aplicando el sistema de referencia tangente que cuando se aplica el sistema biapoyado.

Sistema de referencia de máxima energía de deformación a flexión

Se aplicará finalmente el método de optimización de la energía, representándose a continuación los diferentes resultados obtenidos. En primer lugar, se muestra la evolución del desplazamiento en el centro de la viga respecto al número de elementos en los que se discretiza el problema.

4.40 Fig.

(42)

En segundo lugar, la figura 4.41 representa las iteraciones del método de Newton-Raphson necesarias para obtener la solución en cada una de las diferentes discretizaciones en las que se divide el problema.

4.41 Fig.

En último lugar, se representa el tiempo necesario de ejecución del algoritmo para la resolución del problema de la viga biapoyada para cada una de las discretizaciones que conforman el mismo.

(43)

4.42 Fig.

La tabla que se adjunta incorpora los datos empleados en las diferentes gráficas expuestas con anterioridad. En dicha tabla puede apreciarse con exactitud los valores obtenidos para la resolución del problema de la viga biapoyada con carga aplicada en el centro de la barra, usándose el sistema de referencia de optimización de la energía.

(44)

4.13 Tabla

Los resultados obtenidos para el sistema de referencia que optimiza la energía son prácticamente exactos a los que se obtienen al aplicar el sistema biapoyado. En este caso, el vector unitario i que maximiza la energía de deformación a flexión coincide con el obtenido en el sistema de referencia biapoyado. No obstante, si se compara el número de iteraciones del algoritmo y los tiempos de ejecución del mismo, se observa que son menores para la configuración que optimiza la energía de deformación respecto a si se toma el sistema de referencia biapoyado.

Para el problema de la viga biapoyada con carga aplicada en el centro se obtiene un resultado parecido al desarrollado en el apartado 4.1 en lo referente a la eficiencia del método utilizado. Con el sistema de referencia de máxima energía de deformación a flexión se obtienen mejores resultados respecto a los sistemas de referencia tradicionales.

Número de elementos Desplazamiento en el centro de la viga Número de iteraciones método de Newton- Raphson Tiempo de ejecución del algoritmo 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 0.0141 0.0188 0.0187 0.0188 0.0188 0.0188 0.0188 0.0188 0.0188 0.0188 0.0188 0.0188 0.0188 0.0188 0.0188 0.0188 0.0188 0.0188 0.0188 0.0188 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 0.1410 0.0150 0.0470 0.0470 0.0630 0.0780 0.0940 0.0930 0.1250 0.1250 0.1410 0.1560 0.1720 0.1880 0.1870 0.2030 0.2340 0.2660 0.2650 0.2970

(45)

4.5. Viga biapoyada con momento aplicado en el extremo.

4.43 Fig.

Para este problema concreto, las condiciones iniciales y de contorno coinciden con los desarrollados para la viga biapoyada con carga centrada. Es el vector que define las fuerzas generalizadas del problema lo que cambia respecto al problema descrito en el apartado 4.4. En este caso, el vector Q se e

define igual que el que aparece en la expresión (4.10), donde también se considera que M =1 N.m.

Evaluando la deformación en el centro de la viga, la resistencia de materiales dictamina un desplazamiento de 0.007063 metros.

A continuación se resolverá el problema aplicando los distintos sistemas de referencia descritos en este proyecto.

Sistema de referencia biapoyado

Se representará a continuación la evolución que sufre el desplazamiento en el centro de la viga respecto al número de elementos en el se discretiza la misma (Fig. 4.44).

(46)

4.44 Fig.

Junto a la gráfica anterior, se incluyen dos gráficas más que representan las iteraciones del método de Newton-Raphson respecto a los elementos en los que se divide la viga (Fig. 4.45) y, el tiempo de ejecución del algoritmo para cada discretización (Fig. 4.46).

4.45 Fig.

(47)

4.46 Fig.

La tabla 4.14 agrupa los datos obtenidos en la resolución de la viga biapoyada con momento aplicado en el extremo cuando se usa el sistema de referencia biapoyado. Número de elementos Desplazamiento en el centro de la viga Número de iteraciones método de Newton- Raphson Tiempo de ejecución del algoritmo 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 0.0071 0.0071 0.0071 0.0071 0.0071 0.0071 0.0071 0.0071 0.0071 0.0071 0.0071 0.0071 0.0071 0.0071 0.0071 0.0071 0.0071 0.0071 0.0071 0.0071 2 4 4 3 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 0.2030 0.0470 0.0620 0.0790 0.1090 0.1560 0.1560 0.1880 0.2030 0.2340 0.2500 0.2970 0.3130 0.3440 0.3750 0.3900 0.4690 0.4690 0.5000 0.5310

(48)

Puede observarse como el sistema de referencia biapoyado proporciona una solución exacta a la analítica, lo que implica una buena elección de sistema de referencia para la resolución del problema. A medida que se desarrollen las demás soluciones se podrán comparar dichos resultados con la proporcionada aplicando el sistema biapoyado de referencia en cuestión de iteraciones del algoritmo y tiempos de ejecución del mismo, ya que como puede observarse, se obtienen unos resultados en términos de desplazamiento exactos a la solución analítica.

Sistema de referencia tangente

A continuación se representa, para el sistema de referencia tangente, el desplazamiento en el centro de la viga respecto al número de elementos en los que se discretiza el problema.

4.47 Fig.

Las dos gráficas que se muestran a continuación representan, respectivamente, las iteraciones del método de cálculo utilizado respecto al número de elementos en los que se divide el problema (Fig. 4.48) y, el tiempo de ejecución del algoritmo de cálculo para cada situación en el que se discretiza la viga (Fig. 4.49).

(49)

4.48 Fig.

4.49 Fig.

(50)

Para finalizar, se representa la tabla con los datos exactos expuestos en las gráficas anteriores, dentro de la resolución del problema aplicando el sistema de referencia tangente.

4.15 Tabla

La aplicación del sistema de referencia tangente aporta unas soluciones muy parecidas a las logradas con la referencia biapoyada, es en el número de iteraciones del algoritmo y en los tiempos de ejecución del mismo donde se puede observar diferencia pero casi despreciable como se ha ido obteniendo durante la resolución de los demás problemas planteados.

Sistema de referencia de máxima energía de deformación a flexión

La gráfica siguiente nos muestra el desplazamiento en el centro de la viga respecto al número de elementos en los que discretizamos el problema usando el sistema de referencia que optimiza la energía.

Número de elementos Desplazamiento en el centro de la viga Número de iteraciones método de Newton- Raphson Tiempo de ejecución del algoritmo 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 0.0071 0.0070 0.0070 0.0070 0.0071 0.0071 0.0071 0.0071 0.0071 0.0071 0.0071 0.0071 0.0071 0.0071 0.0071 0.0071 0.0071 0.0071 0.0071 0.0071 3 4 4 4 4 4 4 4 4 4 3 3 3 3 3 4 4 4 4 4 0.1090 0.0470 0.0630 0.0930 0.1100 0.1400 0.1570 0.1710 0.2040 0.2340 0.1870 0.2190 0.2350 0.2500 0.2960 0.3910 0.4220 0.4690 0.4840 0.5310

(51)

4.50 Fig.

La siguiente figura muestra el número de iteraciones necesarias del algoritmo de Newton-Raphson para la resolución del problema según el número de elementos en los que discretizamos el mismo.

(52)

La figura 4.52 representa el tiempo de ejecución del algoritmo para cada resolución del problema, es decir, para cada número de elementos en los que se discretiza el mismo.

4.52 Fig.

La tabla de valores que se adjunta a continuación incluye los diferentes datos usados en las representaciones gráficas anteriores, englobadas dentro de la resolución del problema mediante el sistema de referencia de optimización de la energía.

(53)

4.16 Tabla

Puede observarse que ante igualdad en el desplazamiento en el centro de la viga, es en el número de iteraciones y en el tiempo de ejecución de las mismas donde este sistema de referencia supera a los restantes.

Número de elementos Desplazamiento en el centro de la viga Número de iteraciones método de Newton- Raphson Tiempo de ejecución del algoritmo 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 0.0071 0.0071 0.0071 0.0071 0.0071 0.0071 0.0071 0.0071 0.0071 0.0071 0.0071 0.0071 0.0071 0.0071 0.0071 0.0071 0.0071 0.0071 0.0071 0.0071 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 0.1250 0.0150 0.0320 0.0470 0.0620 0.0630 0.0780 0.0940 0.1090 0.1250 0.1410 0.1560 0.1720 0.1720 0.2030 0.2190 0.2340 0.2500 0.2660 0.2810

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