COPIRRAI_Julio César Abad Martínez-Losa ARNEDO (LA RIOJA)
1 TRIGONOMETRÍA
1.- Demuestra, aplicando algún criterio de semejanza, que el triángulo(1) rectángulo isósceles es semejante al
triángulo(2) de lados a = 6, b= 6 y c =6 2. Sabiendo que la altura sobre la hipotenusa del triángulo(1) es 12 cm.
Calcula la razón entre sus áreas.
_Sol:
(2 2 8 A A _ 90º y , 45º , 45º : ÁNGULOS 2 x 2 6 x 6 x 6 : LADOS 2 1 2 2.- Calcula el valor de x en el dibujo. _Sol: x = 25 cm
3.- En un mapa a escala 1:3000 un jardín ocupa 5 cm2. Calcula cuántos m2 ocupa en la realidad. _Sol: x = 4.500 m2 4.- Justifica si son ciertas o falsas las siguientes afirmaciones utilizando algún criterio de semejanza:
a) Un triángulo isósceles tiene un ángulo de 92º. Otro triángulo isósceles tiene un ángulo de 92º. Obligatoriamente ambos triángulos son semejantes. Dibujo. _Sol: 92º, 44º y 44º _ VERDADERA
b) Un triángulo isósceles tiene un ángulo de 87º. Otro triángulo isósceles tiene un ángulo de 87º. Obligatoriamente ambos triángulos son semejantes. Dibujo. _Sol: NO NECESARIAMENTE: 87º, 87º y 6º o 87º, 46,5º y 46,5º
c) Dos triángulos rectángulos con un ángulo agudo igual son semejantes. Dibujo. _Sol: Dos ángulos iguales _ VERDADERA
5.- Las áreas de dos hexágonos regulares semejantes son 665,12 y 41,57 cm2. ¿Cuánto mide el radio del mayor si el
perímetro del menor es 24 cm? _Sol: RMayor = 16 cm
6.- En un triángulo rectángulo de lados 30, 40 y 50 cm, se reduce su tamaño un 20% con una fotocopiadora. Calcula:
a) El valor del ángulo menor. _Sol: α = 36º 52´11,63”
b) La razón de semejanza entre las áreas. (Mayor-Menor) _Sol: 1,5625
384 600 A A 1 2
c) El perímetro de la copia. _Sol: Perímetro = 96 cm
d) El valor del coseno del ángulo intermedio. _Sol:
5 3 cosβ
7.- Una torre de 47 metros está inclinada. La perpendicular desde su parte más alta hasta el suelo mide 49 metros. ¿Cuánto mide el ángulo de inclinación respecto a la vertical? Dibujo. _Sol: IMPOSIBLE
8.- El mástil de una bandera mide 10 m. Un coche se choca contra el mástil y lo inclina 15º respecto de la vertical. ¿A qué altura queda la bandera del suelo, tras la colisión? Dibujo. _Sol: h = 9,659 m
9.- El seno de un ángulo agudo en un triángulo rectángulo es 5 3
. Calcula el seno del otro agudo. _Sol:
5 4 sen
10.- Calcula el valor de x e y en el dibujo. _Sol: x= 5 e y = 22
11.- La razón entre los volúmenes de dos cilindros es 512. Si sabemos que el área total del cilindro pequeño es 43,96 cm2. ¿Cuál es el área total del cilindro grande? _Sol: A = 2.813,44 cm2 12.- Calcula el perímetro de un dodecágono regular de 12 cm de radio. _Sol: P = 74,52 cm
13.- La inclinación de los rayos del sol en un momento determinado del día es de 26º. ¿Quién es más grande, un objeto o su sombra? ¿Y si fueran 45º? Dibujo y razonamiento. _Sol: Sombra>Objeto _ Iguales
14.- Justifica si son ciertas o falsas las siguientes afirmaciones utilizando algún criterio de semejanza:
a) Dos triángulos equiláteros de lados 6 y 8 cm, respectivamente, son semejantes. Dibujo. _Sol: SÍ, lados proporcionales
b) Un triángulo rectángulo isósceles que tiene dos catetos de 10 cm es semejante a otro triángulo rectángulo isósceles
que tiene una hipotenusa de 20 cm. Dibujo. _Sol: SÍ SON SEMEJANTES
15.- Calcula las razones de = 150º y = 180º, relacionando este ángulo con uno conocido del primer cuadrante.
Transforma el ángulo a radianes. Dibujo. _Sol: TEORICO-PRÁCTICO
16.- La altura de un árbol en una fotografía a escala 1:60 es 8 cm. Se realiza una reducción al 80% de dicha fotografía. ¿Cuánto mide el árbol? ¿Cuál es la nueva escala de la fotografía? _Sol: h = 4,8 cm y E_1:75
17.- Calcula con calculadora si: a) tg = –2 con II. _Sol: α 116º33´ 54,1" b) sen = 0,9 con III. _Sol: IMPOSIBLE
c) cos = 0,8 con IV. _Sol: α 323º07´48,37" d) sen = –0,1 con II. _Sol: IMPOSIBLE
18.- Demuestra: tg2 (1sen2)cos2 1 _Sol: cos cos sen cos 1 cos sen 2 2 2 2 2 2 α α α α α α
2
19.- Si sen =
25 7
y 180º ≤ ≤ 270º. Calcula todas las razones y . Dibujo. _Sol:
15´36,7" 196º α 7 24 α cotag 24 7 α tg 24 25 α sec 25 24 α cos 7 25 -α cosec 25 7 -α sen
20.- Un ángulo tiene las siguientes razones sen = 5 3
y tg = 2 3
. Demuestra, utilizando la fórmula fundamental que
esto es imposible. 1 25 13 cos sen : _Sol 2α 2α
21.- Calcula las razones de = 135º, relacionando este ángulo con uno conocido del primer cuadrante. Transforma el
ángulo a radianes. Dibujo. _Sol: TEORICO-PRÁCTICO
22.- La tangente de un ángulo mide 2. Dibuja un triángulo rectángulo, indicando las medidas de sus lados, donde aparezca dicho ángulo. ¿Cuánto miden los tres ángulos, en grados, minutos y segundos?
_Sol: Â 63º26´5,82" _ Bˆ 26º33´54,18" _ Cˆ 90º 23.- En un triángulo rectángulo un cateto vale 44 cm. Si la altura sobre la hipotenusa vale 41,184 cm. Calcula (utilizando al menos una vez, indicando claramente, el teorema de Pitágoras, el teorema del cateto y el teorema de la altura), su área, el otro cateto, la hipotenusa, las proyecciones de los catetos sobre la hipotenusa y el valor de los tres ángulos en grados, minutos y segundos. _Sol: A = 2.574 cm2 _ c = 117 cm _ H = 125 cm _ m = 109,512 cm _ n = 15,488 cm
_Sol: Â 20º36´34,89" _ Bˆ 69º23´25,11" _ Cˆ 90º 24.- Calcula la altura de una torre si desde un punto se ve bajo un ángulo de 25º10´12” y si nos acercamos 100
metros se ve bajo un ángulo de 50º20´24”. Dibujo. _Sol: A = 76,98 m
25.- Calcula las razones de = 210º, relacionando este ángulo con uno conocido del primer cuadrante. Transforma el
ángulo a radianes. Dibujo. _Sol: TEORICO-PRÁCTICO
26.- Si cos = 29
20
y 180º ≤ ≤ 270º. Calcula todas las razones y . Dibujo. _Sol:
23´49,9" 226º α 21 20 α cotag 20 21 α tg 20 29 α sec 29 20 α cos 21 29 -α cosec 29 21 -α sen
27.- Dado un triángulo trazamos una de sus alturas generando dos segmentos en la base de esa altura de 15 y 21 cm. Si su área es 360 cm2. ¿Es rectángulo? Calcula su perímetro. Dibujo. _Sol: NO _ P = 90 cm
28.- Dado un triángulo rectángulo en Â, con b = 20 y c = 21. Calcula el lado “a” aplicando el Tª del Coseno. ¿Qué
observas? _Sol: PITÁGORAS
29.- Resolver el triángulo de lados: a = 20 cm, b = 38 cm y c = 57 cm. Dibujo.
_Sol: Â 7º41´38,39" _ Bˆ 14º44´11,92" _ Cˆ 157º34´9,69" 30.- Resolver el triángulo con los siguientes datos: a = 20,2 cm, b = 11 cm, Bˆ= 33º y Cˆ= 54º. _Sol: NO EXISTE
31.- Un pino de 8 metros de largo crece inclinado hacia el este, formando un ángulo de 75º34´45” con la horizontal. Desde un punto al oeste del pino se ve lo alto del mismo con un ángulo de 40º. Si retrocedemos unos metros se ve el mismo punto bajo un ángulo de 20º. ¿Cuántos metros hemos retrocedido? Dibujo. _Sol: T.ª Seno _ x = 12,05 m
32.- Demuestra: sen 1 tg cos sen 2 _Sol: s enα c osα s enα 1 α c os α s en α c os α s en 2 2 2
33.- Dos triángulos semejantes tienen áreas de 5 cm2 y 20 cm2 respectivamente. Si el primero tiene un ángulo de 25º.
¿Puede tener el segundo dos ángulos de 30º y 100º? _Sol: 30º, 100º y 50º _ IMPOSIBLE
34.- Demuestra la siguiente igualdad: sen4 cos4 sen2 cos2
_Sol: (sen2α c os2α)(s en2α c os2α) 1(s en2αc os2α) (s en2α c os2α)
35.- Dos conejos de monte ven un águila conejera, situada entre ellos, bajo ángulos de 25º y 65º respectivamente. Sabiendo que ambos conejos están a 200 m. ¿A qué altura está el águila? _Sol: h = 76,60 m
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3
36.- Dado un triángulo rectángulo, sean Bˆ y Cˆ sus ángulos agudos. Razona qué relación existe entre el seno de Bˆ y
el coseno de Cˆ. Dibujo. _Sol: Son iguales
37.- Calcula el valor de x e y en el dibujo.
_Sol: x = 52 cm e y = 120 cm
38.- Calcula las razones trigonométricas de III, sabiendo que la tg =
21
20. Calcula el valor del
ángulo expresado en grados y radianes. Dibujo.
39.- Calcula las razones de = 225º, relacionando este ángulo con uno conocido del primer cuadrante. Transforma el
ángulo a radianes. Dibujo. _Sol: TEORICO-PRÁCTICO
40.- En un triángulo de lados a = 25 cm, b = 12 cm y ángulo Cˆ=30º. Calcula el ángulo Â.
_Sol:  127º40´ 12" _c15,79cm _con  52º 19´ 48" nosepuede
41.- Si sen = 2 1
, y I. Calcula sen (180 + ) y cos (90 + ). Dibujo. _Sol: sen (180+α) = 2 1 y cos (90+α) = 2 1
42.- Dado un triángulo rectángulo en Â, con b = 20 y a = 29. Calcula el ángulo correspondiente al lado “b” aplicando
el teorema del seno. ¿Qué observas? _Sol: ES LA DEFINICIÓN DE SENO
43.- Calcula el área de un paralelogramo de lados 10 cm y 20 cm y cuya diagonal mayor mide
30 cm. Dibujo. _Sol: NO EXISTE EL PARALELOGRAMO _ T.ª COSENO
44.- Calcular el área del triángulo de la figura. _Sol: ISÓSCELES _ A = 43,30 cm2
45.- Dado un triángulo rectángulo con hipotenusa 25 cm y seno de uno de sus ángulos agudos “” 0,6. Dibújalo de forma aproximada y calcula:
a) Todas las razones trigonométricas del ángulo . _Sol:
3 4 α cotag 4 5 α sec 3 5 α cosec 4 3 α tg 5 4 α cos 5 3 α senb) El valor de los catetos del triángulo. _Sol: a = 15 cm y b = 20 cm
c) El valor de las proyecciones de los catetos sobre la hipotenusa. _Sol: m = 9 cm y n = 16 cm
d) El valor de la altura sobre la hipotenusa. _Sol: h = 12 cm
e) El valor del coseno del ángulo complementario de _Sol:
5 3 cos 46.- Demuestra: 2 2 tg 1 1 sen 1 _Sol: α t g 1 α c ot g α s en α c os α s en α s en 1 α s en α s en α s en 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2
47.- Aplica algún criterio de semejanza para aclarar si estos triángulos son o no semejantes:
Triángulo I: c = 18 cm, b = 9 cm y â = 60º Triángulo II: a = 50 cm, b =25 3cm y â = 90º
_Sol: T.ª DEL SENO _ SÍ SON SEMEJANTES
48.- Calcula : a) tg = 3 con Є III _Sol: α = 251º 33´54,1” b) cos = 2 1
con Є IV _Sol: NO EXISTE
c) tg = 2 1
con Є II _Sol: α = 153º 26´58,2” d) cos =
3 1
con Є II _Sol: NO EXISTE
49.- Calcula las razones de = 240º, relacionando este ángulo con uno conocido del primer cuadrante. Transforma el
ángulo a radianes. Dibujo. _Sol: TEORICO-PRÁCTICO
50. Dado el triángulo de la imagen, contesta:
a) Demuestra, aplicando semejanza, que la altura de este triángulo rectángulo “h”,
mide 60 cm. _Sol: h 60 cm 45 h h 80 a b
b) Tomando h = 60 cm, calcula el valor de los dos ángulos desconocidos del triángulo rectángulo. _Sol: Â 53º07´48,37" _ Bˆ 36º52´11,63" c) Este dibujo, representa una finca triangular cuya base mide 5,625 km. ¿Cuál es la escala? _Sol: E _ 1 : 4.500
d) Calcula la altura de un triángulo semejante a este de área 9.600 cm2. _Sol: h= 96 cm 40 50 y x 156 150 40 50 y x 156 150 5,99 cm 7,99 cm 10,00 cm 45 cm 80 cm h rad 3,9026 _ 36´10,1" 223º α 20 21 α cotag 21 20 α tg 21 29 α sec 29 21 α cos 20 29 -α cosec 29 20 -α sen : _Sol
4
51.- Resolver el triángulo de lados: a = 10 cm, b= 15 cm y c= 10 cm.
_Sol: Â 41º24´34,64" _ Bˆ 97º10´50,72" _ Cˆ 41º24´34,64" 52.- Un rayo golpea un árbol que mide 18 m y lo parte. El trozo superior cae formando un ángulo de 30º con la horizontal. ¿A qué altura desde el suelo golpeo el rayo al árbol? _Sol: h = 6 m
53.- Calcula el valor de cos (180º + ) siendo sen =
13 5
y con un ángulo agudo. Dibujo. _Sol: cos (180+α) = 13
12
54.- Un romboide tiene un área de 300 cm2, con una base de 20 cm y un perímetro de 74 cm. Se realiza una
ampliación cuya área es de 588 cm2. Calcula el porcentaje de la ampliación y el valor de los ángulos del romboide en
la ampliación. _Sol: 40% _ α = 61º 55´39,05” β = 118º 04´20,95”
55.- Calcula el área del triángulo del dibujo. _Sol: 360 cm2 2
20 36
A
56.- En un triángulo rectángulo los catetos miden 39 cm y 52 cm.
a) Calcula la altura sobre la hipotenusa. _Sol: h = 31,2 cm
b) Calcula el área de otro triángulo de dimensiones el triple de las de este. _Sol: A = 9.126 cm2 57.- Demostar: tg2 tg2 sen2 sen2 0 _Sol: c osα- s enα 0
α c os α s en α s en - ) α s en -( 1 α 2 2 2 2 2 2 2 tg
58.- Desde lo alto de una farola se ata una cuerda hasta el suelo formando un ángulo de 32º. Si se hubiera atado 10 metros más atrás el ángulo sería la mitad. Calcula la medida de la primera cuerda y la altura de la farola.
_Sol: CUERDA = 10 m ISÓSCELES _ h = 5,299 m
59.- Calcula las razones de = 300º, relacionando este ángulo con uno conocido del primer cuadrante. Transforma el
ángulo a radianes. Dibujo. _Sol: TEORICO-PRÁCTICO
60.- Dado sen = 5 4
, y II. Calcula . Dibujo. Calcula: 15 cos + 6 tg = _Sol: -17
61.- Una maqueta a escala tiene una torre de 35 mm que en la realidad mide 105 metros. Calcula:
a) El área real, expresada en m2, de una piscina que en la maqueta ocupa una superficie de 136 mm2. _Sol: 1.224 m2 b) El volumen de la piscina en la maqueta, en litros, si en la realidad tiene 3 metros de profundidad. _Sol: 0,000136 l
62.- Darío y Elena han resuelto el triángulo a = 30 cm, b = 40 cm y  = 35º y han obtenido:
Darío_ Bˆ= 49º 53´11,07”, Cˆ= 95º 06´48,93” y c = 52,095 cm. _ Elena_ Bˆ= 130º 06´48,93”, Cˆ= 14º 53´11,07” y c = 13,437 cm.
¿Quién de los dos tiene razón? Justifica tu respuesta. Dibujo. _Sol: 0,7647_LOSDOS,HAY DOSSOL. 30
sen35º 40
senβ
63.- En un triángulo rectángulo un cateto mide doble que el otro. Calcula la tangente de cada uno de sus tres ángulos.
Dibujo. _Sol: _ tg β 2 _ 2 1 α tg tg 90º = ∄
64.- Apoyo dos bolígrafos iguales sobre un lapicero de 20 cm formando un triángulo en el que se puede aplicar el teorema de la altura. ¿Cuánto miden los bolígrafos? _Sol: x = 14,14 cm
65.- Calcula el valor de x en el dibujo. _Sol: x = 20 cm
66.- Demostrar: 1sen2 cotg sen 0
_Sol: s enα c osα - c osα 0 α s en α c os α c os2 -
67.- ¿Qué ángulo se debe abrir un compás con brazos de 8 cm para trazar un círculo de 804 cm2 de superficie? Dibujo.
_Sol: α = 177º 59´19,6”
68.- Calcula : a) cotg = 3, con Є III _Sol: α = 198º 26´5,82” b) sen = 2 1
, con Є I _Sol: NO EXISTE
c) cotg = 2 1
con Є II _Sol: α = 116º 33´54,1” d) sen =
3 1
con Є III _Sol: NO EXISTE
69.- Calcula el valor de x en el dibujo. _Sol: x = 3 40
70.- Un alumno dice: “Yo veo lo alto de la pared del gimnasio con un ángulo de elevación de 45º. Si me acerco 6 metros ahora el ángulo es de 30º”. Demuestra con cálculos matemáticos que el alumno miente. Dibujo.
_Sol: 14,19 0,46 -6 x _ tangentes Por
71.- Calcula las razones de = 330º, relacionando este ángulo con uno conocido del primer cuadrante. Transforma el
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72.- Calcula: a) cos (180 - ) si cos = 4 5 _Sol: NO EXISTE b) tg (180 + ) si tg = 5 12 . Dibujo. _Sol: tg = 5 12
73.- Justifica con algún criterio de semejanza, si un triángulo con dos ángulos iguales de 30º y un triángulo de lados 10 cm, 10 cm y 10 3cm, son semejantes o no. Dibujo. _Sol: Ángulos iguales
74.- Calcula el área del triángulo de la figura. _Sol: A1
2 cm 176,78 2 14,14 45
75.- Dos amigos ven la copa de un árbol bajo ángulos de 40º y 25º. Sabiendo que el árbol está situado entre ellos y que la distancia entre los dos amigos es de 200 metros. Calcula la altura del árbol. _Sol: h = 59,94 m
76.- En un triángulo rectángulo la proyección de un cateto sobre la hipotenusa vale 25,6 cm y la altura sobre la hipotenusa vale 19,2 cm.
a) Calcula el área y el perímetro. _Sol: A1
2 cm 384 2 19,2 40 y P1 = 96 cm
b) Calcula el área de otro triángulo cuyas medidas sean la octava parte de las de este. _Sol: A2 = 6 cm2
77.- Demostrar: 2 2 2 cos tg sen sen 1 cos sen _Sol: 1 c osα s enα α s en α s en α c os 1 α c os α s en α s en α c os α 2 2 2 2 sen
78.- Calcula la diagonal menor y el área de un romboide de lados 10 cm y 18 cm, sabiendo que uno de sus ángulos
mide 53º 7´48,37”. _Sol: d = 14,42 cm y A = 144 cm2
79.- Desde la ventana de Juan, a 15 metros del suelo, éste ve la ventana de Luis, a 23 metros del suelo, bajo un ángulo de 20º. ¿Qué distancia separa la ventana de Juan de la de Luis? _Sol: x = 23,39 m
80.- Dado un triángulo rectángulo, el ángulo recto le dice a uno de los ángulos agudos, si conociéramos el seno de tu complementario, podríamos saber con certeza el área de este triángulo. Demuestra que el ángulo recto no lleva razón.
_Sol: Falta “b” y además solamente conoce la razón entre a y c, no sus valores.
81.- En un triángulo rectángulo la proyección de un cateto en la hipotenusa mide el doble que la proyección en la hipotenusa del otro cateto. Calcula el valor de sus ángulos. Dibujo.
_Sol: Â 35º15´51,8" _ Bˆ 54º44´8,2" _ Cˆ 90º00´00" 82.- Demostrar: cotg cos sen tg 2 2 _Sol: t g α α t g 1 1 α c ot g α c os α s en2 2
83.- Unos niños que juegan al balón, han embocado la pelotita en la ventana de un piso, viéndola bajo un ángulo de 18º. Si retroceden 9 metros, ven la pelota bajo un ángulo de 11º. ¿A qué altura está la pelota? _Sol: h = 4,35 m
84.- Resolver el triángulo con los siguientes datos: b = 20 cm, c = 32 y  = 40º.
_Sol: Bˆ 37º37´26,2" _ Cˆ 102º22´33,8" _ˆC 77º37´26,2"MAL _ a21,058cm 85.- Calcula un ángulo agudo no nulo cuyo seno sea el doble que su coseno. _Sol: 2 α 63º26´5,82"
α c os α c os 2 α t g
86.- La tangente de un ángulo agudo de un triángulo rectángulo vale 4. ¿Cuánto vale la tangente del otro ángulo agudo ? ¿Qué puedes decir de sus catetos? Dibujo. _Sol: t g α 4_ Un cateto es cuatro veces el otro: x = 4y
87.- Los lados de un triángulo miden a = 60 cm y b = 80 cm. La altura sobre el lado “c” mide 48 cm. Demuestra que es un triángulo rectángulo. _Sol: m = 36 cm y n = 64 cm _ T.ª Altura ⇒ 482 = 36 · 64 88.- Un campo de lechugas rectangular, mide 160 metros de largo y su superficie ocupa 12.000 m2. Si una
representación suya mide 1.920 cm2. ¿Cuál es la escala? _Sol: E _ 1 : 250
Ahora se reduce la representación hasta que su ancho mide 12 cm. ¿Cuál es la escala del campo con respecto a la
última reducción? _Sol: E _ 1 : 625
89.- Una escalera de 8 metros se apoya en la base de una ventana formando un ángulo de 35º 10´23” con el suelo. Si apoyamos la escalera en la parte superior de la ventana el ángulo ahora es de 50º. ¿Cuánto mide la ventana? Dibujo.
_Sol: x = 1,519 m
90.- Calcula el ángulo menor en el triángulo de datos: a = 40 cm, b = 20 cm, c = 30 y  = 105º.
_Sol: Aplicando T.ª Seno Bˆ 28º 52´44,74" y Cˆ46º25´21" peroesIMPOSIBLE 91.- Dado un triángulo de lados 8 cm, 15 cm y 20 cm. Calcula el ángulo mediano. Calcula su área. _Sol: A = 53,19 cm2 92.- Una torre de 15 m de altura da una sombra de 8 m. En ese momento una señal da una sombra de 2 m. ¿Qué ángulo forman los rayos del sol con la vertical de la señal? Dibujo. _Sol: 28º4´20,95"
6
93.- En un triángulo las proyecciones de sus lados menores sobre el lado mayor son 5 cm y 16 cm. Si su área es 130 cm2. ¿Cuál es la altura de un triángulo semejante a este de área 573,3 cm2? Dibujo. _Sol: h = 26 cm
94.- Sabiendo que sen2 =
25 9
. Calcular 5· tg2 – 3· cos2. _Sol:
400 357
95.- Un triángulo tiene las siguientes medidas: a = 7 cm, b= 8 cm y c= 16 cm. Demuestra utilizando el teorema del
coseno que esto es imposible. _Sol: cos  = 1,058 > 1 ⇒ IMPOSIBLE
96.- Dado un triángulo de lados a = 25 cm, b = 29 cm y c = 36 cm, calcula el valor de los lados de otro triángulo semejante a este de área 810 cm2. Dibujo. _Sol: k = 1,5 ⇒ a´= 37,5 cm _ b = 43,5 cm _ c = 54 cm
97.- Demostrar: 1 tg 1 1 sen2 2 _Sol: s en α c os α 1 α c os 1 1 α s en 2 2 2 2 98.- Calcula : a) cosec = 4 1
, con Є III _Sol: NO EXISTE b) cos = 5 2 , con Є IV _Sol: α = 293º 34´41,4” c) sec = 4 1
, con Є III _Sol: NO EXISTE d) sen =
5 2
, con Є II _Sol: α = 156º 25´18,5”
99.- Resolver el triángulo con los siguientes datos: b = 15 cm, c = 18 cm, Â = 45º.
_Sol: Bˆ 55º 07´16,80" _ Cˆ79º52´43,2" _ a12,929cm 100.- Comprueba si existe un ángulo si: sen =
4 1 y cos = 4 3 . _Sol: 1 NO 16 10 16 9 16 1 4 3 4 1 2 2
SEMEJANZA101.- Dado un triángulo rectángulo de lados 15 cm, 17 cm y 8 cm, se obtiene un triángulo semejante de 540 cm2 de
área. Dibujo. Calcula para este segundo triángulo: a) El seno del ángulo menor. _Sol:
17 8 sen
b) El perímetro del triángulo. _Sol: P = 120 cm c) El valor del ángulo intermedio. _Sol: β = 61º 55´39,05”
102.- Dado un triángulo de lados a = 15 cm, b = 20 cm y c = 25 cm. Calcula el ángulo menor de un triángulo
semejante a este cuya área es 89 cm2. _Sol: α = 36º 52´11,63”
103.- Dado un triángulo rectángulo de lados 8 cm, 15 cm y 17 cm. Dibujo. Calcular:
a) El área de otro triángulo semejante a este cuya altura sobre la hipotenusa mide 12 cm. _Sol: A = 173,4 cm2 b) La medida de los ángulos de este segundo triángulo. _Sol:Â 90º00´00" _ Bˆ 61º55´39" _ Cˆ 28º04´21" 104.- Un triángulo isósceles tiene un perímetro de 180 cm, un lado desigual que hace de base de 80 cm y un área de 1.200 cm2. Se hace una reducción y ahora el área es 432 cm2. Calcula el porcentaje de reducción y el valor de los
ángulos del triángulo reducido. _Sol: 40% _ α = 36º 52´11,63” β = 106º 15´36,70”
105.- Un profesor de matemáticas quiere felicitar a su alumno favorito y por ello pone un examen el día de su cumpleaños en el cual el alumno y sus compañeros deben resolver la siguiente situación: “Si el volumen del regalo que le piensa obsequiar su profesor es el triple del que regalaría a cualquier otro alumno. ¿Cómo debe ser el envoltorio del regalo con respecto al de cualquier otro alumno?”
106.- Se fotocopia una hoja rectangular de 21 cm de ancho y 30 de alto. ¿Qué porcentaje se marca en la fotocopiadora para obtener una copia de 63 centímetros de ancho? ¿Y para una de 15 cm de alto? _Sol: 300% y 50%
107.- Aplicando algún criterio de semejanza justifica si un triángulo rectángulo con un ángulo de 45º es semejante con
un triángulo rectángulo isósceles. _Sol: Cualquier criterio
108.- Dado un rectángulo de área 324,48 cm2 semejante a otro de perímetro 64 cm y cuyo lado menor mide 8 cm,
calcula la diagonal del primer rectángulo. _Sol: D 31,22 10,42 32,887 cm 109.- Dado un triángulo isósceles de lados 130 cm, 130 cm y 100 cm, se traza una recta paralela al lado desigual que hace de base, a cuatro quintos de su altura por encima de la base. Calcula la relación entre las áreas del triángulo inicial y del formado al trazar la paralela. Dibujo. Calcula el valor de los tres ángulos.
_Sol: 25 _ A A 67º22´48,49" y B 45º14´23,03" 240 6.000 A A 2 1 ˆ ˆ ˆ
110.- Un triángulo dibujado a escala 1:100 tiene de perímetro 40 cm y de área 28 cm2. Calcula el perímetro y el área
del triángulo original. _Sol: P = 40 m _ A = 28 cm2
3 2,08 veces k A A 3 k : _Sol 2 3 2 2 1 3 COPIRRAI_Julio César Abad Martínez-Losa ARNEDO (LA RIOJA)
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111.- Indica, aplicando algún criterio de semejanza, si son semejantes un triángulo rectángulo con un ángulo de 30º, y otro triángulo de lados 10 cm, 20 cm y10 3cm. _Sol: ÁNGULOS IGUALES _ SÍ SON SEMEJANTES
112.- Un triángulo tiene de perímetro 140 cm y otro semejante tiene un perímetro de 420 cm. Si el área del mayor es
513 cm2. ¿Cuál es el área del menor? _Sol: A = 57cm2
113.- Un triángulo de perímetro 115 cm es semejante a otro de lados 8 cm, 9 cm y 6 cm. Calcula el área de ambos triángulos. _Sol: T.ª coseno ⇒ h = 5,2278 cm ⇒ A1 = 23,52 cm2 ⇒ A2 = A1 · 25 = 588 cm2
FÓRMULA FUNDAMENTAL
114.- Siendo sen = 29 20
y 90º ≤ ≤ 180º. Calcula el valor de . Dibujo. _Sol:
23´49,9" 136º α 20 21 -α cotag 21 20 -α tg 21 29 α sec 29 21 α cos 20 29 α cosec 29 20 α sen
115.- Si sen = 29 21y 180º ≤ ≤ 270º. Calcula y sus las razones. Dibujo. _Sol:
23´49,8" 226º α 21 20 cotagα 20 21 tgα 20 29 secα 29 20 cosα 21 29 cosecα 29 21 senα
116.- Si sen = 13 5y 180º ≤ ≤ 270º. Calcula y sus las razones. Dibujo. _Sol:
37´11" 202º α 5 12 cotagα 12 5 tgα 12 13 secα 13 12 cosα 5 13 cosecα 13 5 senα
117.- Siendo cos = 29 21 y 180º ≤ ≤ 270º. Calcula el valor de . Dibujo. _Sol:
36´10,1" 223º α 21 20 α cotag 20 21 α tg 20 29 α sec 29 20 α cos 21 29 -α cosec 29 21 -α sen
118.- Si sen = 13 5, y 90º ≤ ≤ 180º. Calcula y sus las razones. Dibujo. _Sol:
22´48,4" 157º α 5 12 -cotagα 12 5 -tgα 12 13 secα 13 12 cosα 5 13 cosecα 13 5 senα
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119.- Conociendo que cos = 25 24 - y que 2 3
, calcula sin usar la calculadora el valor de la expresión: 50
sen - 25 sec + tg . Con la calculadora, halla el valor de en grados y radianes. _Sol: _ 196º15´36,7" 3 37 α 20.- Si sen = 5 3
y III. Calcula y todas sus razones. Dibujo.
52´11,6" 216º α 3 4 cotagα 4 3 tgα 4 5 secα 5 4 cosα 3 5 -cosecα 5 3 -senα
DEMOSTRACIONES 121.- Demuestra: 1 sen sen 1 cos2 _Sol: ( 1 s enα) 1 s enα
) s enα ( 1 ) s enα ( 1 α α sen 1 sen -1 2
122.- Demostrar: cosec2 1cotg2 _Sol: α
α 1 α α α α α 1 α 1 2 2 2 2 2 2 2 2 cosec sen sen cos sen sen cos cotg
123.- Demostrar: tg2 sen2 sen2 tg2 _Sol: t gα s enα
α c os ) α c os ( 1 α s en α c os α c os α s en -α s en α s en α c os α s en 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 124.- Demuestra: 2 2 sen 1 tg 1 1 _Sol: α s en 1 α s en α c os α s en α s en α c os 1 α c os α s en 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2
TEOREMA DE LA ALTURA – TEOREMA DEL CATETO
125.- La altura de un triángulo divide al lado mayor en dos segmentos de 7 cm y 28 cm. Si su área es de 245 cm2. ¿Es
rectángulo? _Sol: h 14 SÍ 2 h 35 245 y 14 h 196 28 7 h2
126.- Dado un triángulo rectángulo de cateto menor 12 cm y proyección del cateto mayor sobre la hipotenusa de 12,8
cm. Calcula su área. _Sol: 96 cm2
2 9,6 20
A
127.- Dado un triángulo rectángulo de área 480 cm2 y cateto menor 20 cm. Calcular las proyecciones de los catetos
sobre la hipotenusa. _Sol: 44,31 cm
13 576 m cm 7,69 13 100 n
128.- En un triángulo rectángulo un cateto mide 34 cm y la altura sobre la hipotenusa mide 36. La proyección de ese cateto sobre la hipotenusa mide 9 cm. Calcula el área del triángulo. _Sol: IMPOSIBLE
129.- Dado el triángulo del dibujo calcular la altura h y el lado a. _Sol: h = 100 cm _ a = 125 cm
130.- Dado el triángulo de lados a=9 cm, b=12 cm y c=15 cm. Calcula los tres ángulos. Calcula la altura sobre la hipotenusa y las proyecciones de los catetos sobre ella.
_Sol: h = 7,2 cm _ m = 9,6 cm _ n = 5,4 cm _ α = 36º 52´11,63” _ β = 53º 07´48,37” _ γ = 90º
TANGENTE, SENO Y COSENO
131. Calcula: a) a si tg a = 5 y a III _Sol: α = 258º 41´24,2”
b) b si sec b =
2 1
y b I _Sol: IMPOSIBLE c) c si cos c = -0,4 y c IV _Sol: IMPOSIBLE
132. Calcula con la calculadora el valor de sabiendo que tg = 1,2 y III. _Sol: α = 230º 11´39,9”
133. Calcula con la calculadora el valor de sabiendo que sen = 1,2 y II. _Sol: α = IMPOSIBLE
134.- Hallar con la calculadora: a) el valor de α III si sen α = –0,41. _Sol: α = 204º 12´17,4”
b) el valor de III si tg = –3,15. _Sol: IMPOSIBLE
135.- Un limpiador de fachadas ve lo alto de un edificio bajo un ángulo de 40º. Se retrasa 200 metros y ahora ve ese punto bajo un ángulo de 25º. Calcula la altura del edificio. _Sol: h = 209,91 m
COPIRRAI_Julio César Abad Martínez-Losa ARNEDO (LA RIOJA)
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136.- Calcula la altura de un pino piñonero si un jabalí lo ve bajo un ángulo de 40º y si se acerca 100 metros lo ve
bajo un ángulo de 80º. _Sol: h = 98,48 m
137.- Cuando Juan volvía a casa en Noche Vieja, a duras penas, logró ver a su madre en la ventana de su casa bajo un ángulo de 25º. Para verla mejor se acercó 57 metros y volvió a mirar siendo ahora el ángulo de 80º. ¿A qué
distancia de su casa se encontraba Juan finalmente? _Sol: x = 5,106 m
138.- Un árbol mide 50 metros de alto y tiene una sombra de 120 metros. ¿Qué ángulo, en grados, minutos y segundos, forman los rayos del sol con el suelo? Calcula las razones de dicho ángulo, dando el resultado en forma de fracción y sin usar la calculadora.
139.- Dado un triángulo de lados 24 cm, 13 cm y 13 cm. Calcula el ángulo mayor en grados, minutos y segundos y el valor de las razones trigonométricas del ángulo menor en forma de fracción sin usar la calculadora.
140.- Calcula el área de un rombo de perímetro 100 cm y sabiendo que uno de sus ángulos mide 66º.
_Sol: A = 570,96 cm2
141.- Un triángulo rectángulo tiene dos catetos que miden 39 cm y 52 cm. Calcula en forma de fracción las razones
del ángulo menor. _Sol:
4 3 α tg _ 5 4 α cos _ 5 3 α sen
142.- Alberto ve al otro lado de un río un árbol bajo un ángulo de 70º. Retrocede 22 metros y ahora el ángulo es de 50º 50´50”. Calcula la altura del árbol y la anchura del río. _Sol: h = 48,86 m _ x = 17,785 m
143.- Atamos una cuerda de 50 m desde un punto en el suelo a 25 m de distancia del pie de un árbol, hasta la copa de dicho árbol. ¿Cuánto mide el ángulo que forma la cuerda con el suelo? Dibujo. _Sol: α = 60º
144.- Dado un triángulo rectángulo de cateto 15 cm e hipotenusa 17 cm. Calcula el valor de sus tres ángulos. Dibujo.
_Sol: Aˆ 61º55´39,1" _ Bˆ 28º 04´ 20,9" _ Cˆ 90º
TEOREMA SENO Y COSENO
145.- Calcula el área de un triángulo de lado b = 20 cm y ángulos Aˆ 115º y Bˆ 35º. _Sol: 158 cm2 2
15,8 20
A
146.- Dado un triángulo de lados 44 cm, 18 cm y 37 cm. Calcula su área. _Sol: 327,41 cm2 2
14,88 44
A
147.- Los lados de un romboide miden 12 cm y 13 cm. Uno de sus ángulos mide 50º. Calcula la medida de la diagonal
mayor y su área. Dibujo. _Sol: D =22,66 cm y A = 119,50 cm2
148.- Calcula el área de un paralelogramo de lados 20 cm y 12 cm que forman un ángulo de 130º. _Sol: A = 183,85 cm2 149.- Resolver el triángulo con los siguientes datos: b = 5 cm, c = 8 cm, Â = 45º.
_Sol: cm 5,694 a _ 23,97" 37´ 96º C _ 36,03" 22´ 38º B ˆ ˆ
150.- Dado el triángulo de lados: a = 62 cm, b = 119 cm y c = 57 cm, calcula su mayor ángulo.
_Sol: IMPOSIBLE _ 62 + 57 = 119 (T.ª COSENO)
151.- Resuelve el triángulo mayor del dibujo. Calcula su área.
_Sol: a 13cm_b 20cm_c 21cm_Aˆ 36º52´11,63"_Bˆ 67º 22´ 48,49"_Cˆ 75º 44´ 59,88" _Sol: 126 cm2 2 12 21 A
152.- Resuelve el siguiente triángulo: a = 35 cm, b = 50 cm, â = 35º y b = 50º. Dibujo. _Sol: IMPOSIBLE
153.- Calcula el ángulo menor de un triángulo de lados 5 cm, 12 cm y 13 cm. _Sol: α 22º 37´ 11,51" 154.- Calcula el área de un rectángulo cuya diagonal vale 48 cm, sabiendo que al cortarse con la otra diagonal forman
un ángulo de 44º. _Sol: A = 17,98 · 44,50 = 800,24 cm2
155.- Dado un triángulo donde a = 7 cm, b = 21 cm y â = 19,5º. Calcula el ángulo b. _Sol: IMPOSIBLE
156.- Dado un triángulo de lados 20 cm, 25 cm y 40 cm, calcular el ángulo obtuso. _Sol: α = 125º 05´58,68” 45´36,9" 134º _ 139 37´11,51" 22º _α 138 5 12 cotagα 12 5 tgα 12 13 secα 13 12 cosα 5 13 cosecα 13 5 senα
