TECNOLÓGICO DE ESTUDIOS SUPERIORES DE ECATEPEC
DIVISION DE INGENIERÍA ELECTRÓNICA Y TELEMÁTICA
ECUACIONES DIFERENCIALES
Y
TRANSFORMADAS DE LAPLACE
CON APLICACIONES
Material de apoyo para el curso de
Matemáticas 4
M. en C. Antonio Silva Martínez
PRESENTACION
Este material es de apoyo para el curso de Matemáticas IV, del plan de estudios de la carrera de Ingeniería Electrónica, correspondiente a Ecuaciones Diferenciales Ordinarias y Transformadas de Laplace.
Como herramienta necesaria en la modelación y solución de problemas de ingeniería en general, las matemáticas merecen un especial apoyo para su comprensión y motivación. Para lo cual se ha preparado este trabajo con ejemplos resueltos, desarrollados con los pasos detallados hasta su solución, así como algo muy importante que debe motivar al estudiante de Ingeniería Electrónica sobre la importancia y retos de las matemáticas en su formación académica: ejemplos y ejercicios prácticos de circuitos eléctricos transitorios. Complementándose este trabajo con ejercicios de práctica para el estudiante. Además de un apéndice sobre descomposición en fracciones parciales de una función racional, formularios de identidades trigonométricas, reglas de exponenciación, derivadas e integrales y una tabla de Transformadas de Laplace de mayor utilidad.
Es conocido por todo ingeniero, que las matemáticas en general no pueden estudiarse en forma contemplativa o pasiva, al contrario, requieren una actitud dinámica y participativa. Bajo este punto de vista, se espera que el alumno se anime a analizar, comprender y realizar con este apoyo, la mayor cantidad de ejercicios y problemas posibles. Adquiriendo las bases cognitivas que para asignaturas posteriores a ésta.
Este trabajo se presenta ante la coordinación de Material Didáctico y la Academia de Ciencias Básicas de la División de Ingeniería Electrónica y Telemática del TESE, esperando ser avalado por las mismas para su difusión y uso del mismo por parte de los estudiantes de la División.
M. EN C. ANTONIO SILVA MARTINEZ DOCENTE DE LA DIVISION TECNOLÓGICO DE ESTUDIOS SUPERIORES DE ECATEPEC
ÍNDICE
TECNOLÓGICO DE ESTUDIOS SUPERIORES DE ECATEPEC DIVISION DE INGENIERIA ELECTRONICA Y TELEMATICA
PÁGINA 1. ECUACIONES DIFERENCIALES.
1.1.Introducción
1.2. Clasificación según su, tipo, orden y linealidad
3 3 2. ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS (EDO) DE
PRIMER ORDEN 2.1. Introducción
2.2. EDO con variables separables 2.3. EDO homogéneas
2.4. EDO exactas 2.5. EDO lineales 2.6. EDO de Bernoulli
2.7. Aplicaciones. Circuitos Eléctricos 2.7.1. Circuitos R-C en serie 2.7.2. Circuitos R-L en serie 6 7 11 17 23 28 32 36
3. ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS (EDO) DE ORDEN SUPERIOR.
3.1. Introducción
3.2. EDO homogéneas con Coeficientes Constantes 3.3. Ecuaciones Diferenciales no Homogéneas
3.3.1. El Método de los Coeficientes Indeterminados 3.3.2. El Método de Variación de Parámetros
3.4. Aplicaciones. Circuitos R-C-L en serie.
40 41 49 57 67 4. LA TRANSFORMADA DE LAPLACE 4.1. Introducción
4.2. La Transformada de Laplace por definición 4.3. La Transformada de Laplace por tablas 4.4. La Transformada Inversa de Laplace
4.5. Teoremas de Traslación de la Trasformada de Laplace. 4.5.1. El Primer Teorema de Traslación
4.5.2. El Segundo Teorema de Traslación 4.6. La Derivada de la Transformada de Laplace 4.7. Transformada de Laplace de una derivada
4.8. Transformada de Laplace una integral. El Teorema de convolución
4.9. Aplicaciones
4.9.1. Solución de sistemas de ecuaciones diferenciales ordinarias 4.9.2. Circuitos R-C-L en paralelo. 77 77 82 86 91 96 99 102 106 113 120 5. APÉNDICE
UNIDAD 1. ECUACIONES DIFERENCIALES
1.1. INTRODUCCIÓN
Definición. Si una ecuación contiene las derivadas o diferenciales de una o más variables dependientes con respecto a una o más variables independientes, se dice que es una ecuación diferencial. Las ecuaciones se clasifican de acuerdo con el tipo, el orden y la linealidad.
En general, una ecuación Diferencial es de la forma:
)
(
)
(
)
(
...
...
)
(
)
(
1 1 0 1 1a
x
y
f
x
dx
dy
x
a
dx
y
d
x
a
dx
y
d
x
a
n n n n n n
Las Ecuaciones Diferenciales ofrecen poderosas herramientas para explicar el comportamiento de los procesos con cambios dinámicos o variables en el espacio, en tiempo o en ambos. Se utilizan tales herramientas para responder preguntas que de otra manera son muy difíciles de contestar.
Por ejemplo, el comportamiento de una población de seres vivos a lo largo del tiempo, con base en sus tasas de nacimiento y muerte en cierta región. Otro ejemplo de gran utilidad de las ecuaciones diferenciales, es en la Ingeniería Electrónica, con el análisis Circuitos Eléctricos, mediante el comportamiento de la carga y la corriente a través del tiempo, en el proceso de carga o descarga en un circuito eléctrico, con componentes de resistencia, inductancia y capacitancia en diferentes arreglos.
1.2. CLASIFICACION SEGUN SU TIPO, SU ORDEN Y SU LINEALIDAD.
El Tipo de una ecuación diferencial lo determina el tipo de derivadas que contiene la misma: total o parcial
El Orden de una ecuación diferencial lo determina el grado de la derivada mas alta que contenga la misma: desde primer orden, segundo orden y en general, orden superior.
La Linealidad de una derivada lo determina la potencia de las variables dependientes de la ecuación: si la potencia de las variables es uno, se denomina ecuación diferencial lineal, y si la potencia es diferente de uno, se dice que es una ecuación diferencial no lineal.
1.2. Ejemplos. Clasifique las siguientes ecuaciones diferenciales según su tipo, su orden y su linealidad. 1)
2
4
yx
x
2dx
dy
Ecuación diferencial ordinaria de primer orden, lineal2)
x
dx
dy
y
dx
y
d
x
3 24
3
Ecuación diferencial ordinaria de tercer orden, no lineal3)
(
1
)
20
2
y
dx
dy
dx
y
d
x
Ecuación diferencial ordinaria de segundo orden, lineal4)
y
x
dx
y
d
cos
3
3 2 2
Ecuación diferencial ordinaria de segundo orden, no lineal5)
y
senx
x
y
2
Ecuación diferencial parcial de primer orden, lineal6) 2
1
2 2 2 2
t
y
c
x
y
Ecuación diferencial parcial de segundo orden, lineal
7)
(
1
y
2)
dy
4
ydt
0
Ecuación diferencial ordinaria de primer orden, no lineal 8)sent
t
y
dt
dy
3 Ecuación diferencial ordinaria de primer orden, lineal9)
t
dt
y
d
y
t
3
3 2 1 2 2)
(
Ecuación diferencial ordinaria de tercer orden, no lineal10) 3 2 5 3
)
(
y
dt
y
d
1.2. Ejercicios. Clasifique las siguientes ecuaciones diferenciales según su tipo, su orden y su linealidad. 1) 3
xy
e
2x1dx
dy
y
2)x
dx
dy
dx
y
d
y
dx
y
d
xy
3 2 3 4 4tan
2
3)
1
x
v
x
y
4) (4y)dx4xdy2 5)y
x
x
dx
y
d
x
3
4
3
1
3 2 6)y
x
dx
y
d
dx
dy
y
2
2)
2
(
7)xy
Ln
(
x
)
x
y
x
1
2 2 2 8) 22
2
2 2 xxe
y
dx
dy
dx
y
d
y
9) (1 y2)dy3x3dt3 xlnx2 10)senh
(
x
)
dx
dy
y
13
1
UNIDAD 2. ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS DE PRIMER ORDEN
2.1. INTRODUCCIÓN
En esta unidad se resolverán ecuaciones diferenciales ordinarias de la forma:
)
,
(
x
y
f
dx
dy
Sujeta a la condición adicional
y
(
x
0)
y
0Conocido también como el problema del valor inicial. En términos geométricos, se está interesado en buscar al menos una solución o curva por donde pase el punto dado, de una familia de curvas que representan a la ecuación diferencial ordinaria.
Fig. 2.1. Familia de curvas que representan la solución de una ecuación diferencial. Por un punto P(x0,y0) perteneciente a un intervalo, sólo pasa una curva de la familia.
x
oy
oP(x
o,y
o)X
Y
2.2. ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS CON VARIABLES SEPARABLES
Definición. Se dice que una ecuación diferencial de la forma
)
y
(
h
)
x
(
g
dx
dy
es separable o que tiene variables separables si puede escribirse como:
dx ) x ( g dy ) y ( h
E integrado de ambos lados se tiene:
c dx ) x ( g dy ) y ( h
Dando como resultado de la integración, una familia paramétrica de soluciones, la cual queda expresada de manera explícita o de manera implícita.
Nótese que como resultado de la integración, no es necesario usar dos constantes de integración, ya que la suma algebraica de tales constantes, da solo una constante c.
2.2. Ejemplos. Resuelva las siguientes ecuaciones diferenciales con separación de variables 1)
C
x
C
u
senudu
x
y
du
dx
dx
du
x
u
xdx
sen
dy
xdx
sen
dy
x
sen
dx
dy
5
cos
5
1
cos
5
1
5
1
)
(
5
5
5
5
5
5
2)C
e
)
x
(
y
C
e
y
C
du
e
y
C
y
du
e
du
dx
dx
du
x
u
dy
dx
e
dy
dx
e
dy
e
dx
dy
e
dx
x u u u x x x x
3 3 3 3 33
1
3
1
3
1
3
1
3
1
3
3
0
3)C
x
Ln
x
x
y
C
x
Ln
x
x
y
C
x
Ln
x
Ln
x
x
y
C
x
Ln
Lnu
u
x
y
x
Ln
du
u
du
x
y
x
Ln
u
u
dy
du
dx
u
x
x
u
dx
x
dx
x
x
dx
x
x
dy
dx
x
x
dy
x
dx
dy
x
)
1
((
5
)
(
)
1
((
5
)
1
(
)
(
)
1
(
6
)
1
((
)
1
(
)
(
)
1
(
6
)
(
)
1
(
6
1
)
(
)
1
(
6
1
1
1
1
1
6
1
1
6
1
6
6
)
1
(
4) 4 4 4 44
4
4
4
4
Cx
)
x
(
y
C
x
e
e
e
e
C
Lnx
)
C
Lnx
(
Lny
x
dx
y
dy
x
dx
y
dy
y
dx
dy
x
c Lnx C Lnx Lny
5)
2
)
(
2
2
1
2
2
1
2 2 1 2 1 2 2 3 2 3 3 2
cx
x
x
y
cx
x
y
C
x
y
C
x
y
C
x
y
dx
x
dy
y
dx
x
dy
y
x
y
dx
dy
6))
4
(
)
2
(
1
2
1
1
2
1
2
2
4
2
2
2
4
2
4
2
)
2
(
)
4
(
0
)
2
(
)
4
(
0
)
2
(
)
4
(
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2x
C
y
Cv
e
e
u
e
e
C
Lnv
Lnu
C
Lnv
Lnu
dv
v
du
u
x
dv
dx
xdx
dv
x
v
y
du
dy
ydy
du
y
u
dx
x
x
dy
y
y
dx
x
x
dy
y
y
dx
y
x
dy
x
y
dx
y
x
dy
x
y
dx
xy
x
dy
yx
y
C Lnv C Lnv Lnu
7)C
x
sen
x
y
C
x
sen
x
y
dx
x
y
xdx
senydy
xdx
senydy
x
dx
y
dy
ydx
xdy
ydx
xdy
)
2
4
1
2
1
(
cos
2
4
1
2
1
cos
2
2
cos
1
cos
cos
cos
sec
csc
csc
sec
0
csc
sec
2 2 2 2 2 8)Resolver la siguiente EDO, sujeta a y(0)=0
C
y
e
x
C
ye
e
e
ye
e
x
dy
e
ye
e
x
e
v
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e
dv
dy
du
y
u
partes
por
dy
ye
e
senxdx
dy
ye
e
dx
x
x
senx
dy
ye
e
dx
x
x
senx
dy
dx
x
x
sen
dy
y
e
x
xdx
sen
e
dy
y
e
x
xdx
sen
e
y y y y y y y y y y y y y y y y y e y e y y y y y y
)
2
(
cos
2
2
cos
2
)
(
cos
2
:
.
2
)
(
cos
cos
2
)
(
cos
cos
2
cos
2
)
(
cos
2
0
)
(
cos
2
2 2 2Aplicando la condición inicial:
2.2. Ejercicios. Resuelva las siguientes ecuaciones diferenciales con separación de variables 1) 2
y
2
0
dx
dy
x
2)
sec
y
0
dx
dy
e
x 3) xsenx
2
0
dx
dy
y
4)(
4
2)
2
x
2
xy
2
0
dx
dy
y
x
y
5) 2
4
y
2
0
dx
dy
x
6)(
2
1
)
y
tan
x
0
dx
dy
y
7) y
0
dx
dy
xy
8)
y
2cos
x
0
dx
dy
y
9)(
1
)
2
(
8
x
1
)(
y
2
)
0
,..
y
(
1
)
2
dx
dy
y
x
10) 0,.. (0) 2 1 2 2 y x xy dx dy2.3. ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS HOMOGÉNEAS
Definición. Si una función tiene la propiedad de que:
f(tx,ty)= tn f(x,y)
Para un número real n, entonces se dice que f es una función homogénea de grado n.
Por lo tanto, para una ecuación diferencial de la forma:
0
)
,
(
)
,
(
x
y
dx
N
x
y
dy
M
Se dice que es homogénea si M y N son funciones homogéneas del mismo grado.
Método de solución. Una ecuación diferencial homogénea de la forma anterior puede ser resuelta por medio alguna de las siguientes sustituciones algebraicas:
y = u x
ó
x = v y
con sus respectivas diferenciales:
dy = u dx +x du
dx = v dy + y dv
Donde u y v son nuevas variables dependientes que transformarán la ecuación original en una ecuación diferencial de primer orden con variables separables.
2.3 Ejemplos. Resuelva las siguientes ecuaciones diferenciales homogéneas usando una sustitución apropiada
1)
)
y
x
2
(
C
x
)
x
y
2
(
C
x
e
e
e
e
C
)
x
y
2
(
Ln
Lnx
C
)
u
2
(
Ln
Lnx
du
u
2
1
dx
x
1
du
u
2
1
du
2
u
1
dx
x
1
du
)
2
u
(
x
dx
)
u
1
(
x
0
du
)
2
u
(
x
dx
)
u
u
2
1
(
x
0
du
)
x
2
ux
(
dx
)
ux
2
x
u
x
(
0
du
x
2
uxdx
2
du
ux
xdx
u
xdx
0
)
xdu
udx
)(
x
2
ux
(
xdx
x
y
u
xdu
udx
dy
ux
y
0
dy
)
x
2
y
(
xdx
2 C ) x y 2 ( Ln C ) x y 2 ( Ln Lnx 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
2)C
x
y
x
Cx
x
y
x
x
y
x
C
x
x
y
x
C
x
x
y
C
x
x
y
C
u
C
x
Ce
e
e
C
u
Ln
Lnw
w
dw
Lnx
u
dw
du
udu
dw
u
w
du
u
u
dx
x
du
u
u
dx
x
du
ux
dx
u
x
du
ux
dx
x
dx
x
u
dx
x
u
dx
x
du
ux
dx
x
u
dx
x
u
x
xdu
udx
ux
x
y
u
xdu
udx
dy
ux
y
dx
y
x
yxdy
u Ln u Ln Lnx C
4 2 2 2 6 2 4 2 2 2 4 4 1 2 2 2 4 1 2 2 2 4 1 2 2 4 1 2 ) 1 2 ( ) 1 2 ( 2 2 2 2 3 2 2 3 2 2 2 2 2 2 3 2 2 2 2 2 2 2 22
2
)
2
(
)
2
(
)
2
(
)
1
2
(
)
1
2
(
)
1
2
(
4
1
4
1
4
1
4
4
1
2
1
2
1
1
2
1
)
1
2
(
0
2
0
0
)
(
)
(
0
)
(
4 1 2 4 1 23) 2 2 ) ( ) ( 2 2 2 2
)
(
1
1
0
0
)
(
0
0
)
(
)
(
0
)
(
Cx
y
Cy
x
x
y
C
x
e
e
e
e
C
x
y
Lnx
C
u
Lnx
du
dx
x
du
dx
x
du
x
xdx
du
x
xdx
du
x
dx
ux
ux
x
du
x
uxdx
uxdx
xdx
xdu
udx
x
dx
ux
x
x
y
u
xdu
udx
dy
ux
y
xdy
dx
y
x
C x y Ln C x y Ln Lnx
4)Cx
y
y
x
C
x
e
e
e
e
C
y
x
Lnx
C
u
Lnx
du
u
dx
x
du
u
dx
x
du
x
dx
x
u
du
x
dx
x
u
du
x
udx
x
dx
ux
dx
x
u
xdu
udx
x
dx
ux
x
u
x
y
u
xdu
udx
dy
ux
y
dy
x
dx
yx
y
C y x Ln C y x Ln Lnx
2 2 ) ) ( ( ) ) ( ( 2 2 2 2 3 2 2 3 2 2 3 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2)
(
)
(
1
1
1
1
1
0
0
0
)
(
)
(
0
)
(
2 25)
C
y
x
y
x
Ln
Lnx
C
u
u
Ln
Lnx
du
u
du
u
u
dx
x
x
du
u
u
dx
x
x
du
x
u
xdx
u
xdx
uxdx
du
x
uxdx
du
ux
xdx
u
dx
x
ux
xdu
udx
x
ux
x
y
u
xdu
udx
dy
ux
y
dx
x
y
dy
x
y
x
y
x
y
dx
dy
1 2 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2tan
2
1
1
2
1
tan
2
1
)
1
(
2
1
1
1
1
1
)
1
(
)
1
(
)
1
(
)
(
)
)(
(
0
)
(
)
(
6)C
y
Cx
x
y
e
e
e
C
Lnx
x
y
Ln
C
Lnx
Lnu
x
dx
du
u
dx
x
x
du
u
u
u
u
xdx
u
u
u
du
x
u
dx
u
xu
du
x
u
uxdx
du
x
uxdx
xdu
udx
ux
x
x
uxdx
x
y
u
xdu
udx
dy
ux
y
dy
xy
x
ydx
c Lnx x y Ln
1 2 2 2 2 11
1
0
)
(
)
1
(
0
0
)
)(
)
(
(
0
)
(
7) 2 2 2 2 2 2 3 2 2 2 3 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
2
2
1
2
1
1
1
)
(
)
(
)
(
)
(
Cx
Lnx
x
y
C
Lnx
x
y
C
Lnx
u
dx
x
udu
dx
x
udu
dx
x
du
ux
dx
x
dx
x
u
du
ux
dx
x
u
dx
x
x
u
xdu
udx
ux
x
y
u
xdu
udx
dy
ux
y
dx
x
y
xydy
dx
xy
x
y
dy
dx
y
x
x
y
dy
y
x
x
y
dx
dy
8)C
y
y
Ln
e
C
Lny
e
dy
y
dv
e
dy
y
y
dv
e
dy
e
dv
y
dy
ye
vydy
dv
y
yvdy
dy
ye
vy
ydv
vdy
y
y
x
v
ydv
vdy
dx
vy
x
dy
ye
x
ydx
ye
x
dy
dx
y
y x v v v v v v y x y x
8
4
2
1
1
4
4
4
4
)
)
4
(
)
(
)
4
(
4
/ 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 / 2 / 22.3. Ejercicios. Resuelva las siguientes ecuaciones diferenciales homogéneas usando una sustitución apropiada.
1)
y
x
y
x
dx
dy
3
3
2)y
x
2y
2dx
dy
x
3)
0
x
y
Ln
x
y
dx
dy
4) (y2xy)dxx2dy 0 5) 2y
3x
3dx
dy
xy
6) (x22y2)dx xydy 7)(
)
x
y
x
12y
32dx
dy
xy
x
8)y
dx
dy
xy
y
x
2
(
9) (x4 y4)dx2x3ydy 0 10) x y y x dx dy cosh 2.4. ECUACIONES DIFERENCIALES EXACTAS
Definición. Una expresión diferencial de la forma:
dy
y
x
N
dx
y
x
M
(
,
)
(
,
)
Es una diferencial exacta en una región R del plano xy si corresponde a la diferencial total de alguna función f(x,y). Una ecuación diferencial de la forma:
0 ) , ( ) , (x y dxN x y dy M
se dice que es una ecuación exacta si la expresión del primer miembro es una diferencial exacta, donde se debe cumplir a su vez:
y
N
x
M
Si se cumple la última condición, entonces:
)
,
(
x
y
M
x
f
o tambiènM
(
x
,
y
)
x
f
Separando variables, de cualquiera de una de las ecuaciones anteriores, resulta, respectivamente:
( , ) ( ) ) , (x y N x y dy h x f y f(x,y)
M(x,y)dyg(y) Donde:
2.4. Ejemplos. Determine si las siguientes ecuaciones diferenciales son exactas. Si lo son, revuélvalas. 1) C y y x x x y y x x x y x f y y dy y y g y y g y g y g x x y y f y g x x y x f x x f x x f x x f exacta Es x N y M y x x N x y y M dy y dx x 2 2 3 2 4 2 2 2 3 2 4 2 ) , ( 2 2 3 ) 1 3 ( ) ( 1 3 ) ( ' ) ( ' )) ( 4 2 ( ) ( 4 2 ) , ( ) 4 2 ( ) 4 2 ( 4 2 0 ) 1 3 ( 0 ) 4 2 ( 0 ) 1 3 ( ) 4 2 ( 2)
exacta
es
No
x
N
y
M
y
x
xy
x
x
x
N
y
y
x
y
y
M
dy
y
x
x
dx
y
x
y
x
2
2
)
2
(
2
)
(
0
)
2
(
)
)(
(
2 2 2 3) C y yx x y yx x y x f y dy y y g y y g y x y g x y g x y g yx x y y f y g yx x y x f x y x f x y x f y x x f exacta Es x N y M y x x x N y x y y M dy y x dx y x 4 2 4 2 2 5 4 2 4 2 2 5 ) , ( 4 2 ) 3 8 ( ) ( 3 8 ) ( ' 3 8 4 ) ( ' 4 ) ( ' 4 )) ( 4 2 2 5 ( ) ( 4 2 2 5 ) , ( ) 4 5 ( ) 4 5 ( 4 5 4 ) 3 8 4 ( 4 ) 4 5 ( 0 ) 3 8 4 ( ) 4 5 (4) C y x y x y x y x y x f y dy y g y g y x y g yx y g yx y f y g x y x y y f y g x y x y x f x x y f x x y f x y x f exacta Es x N y M xy y x x x N xy x y y y M dy y x dx x y 4 3 2 2 4 3 2 2 ) , ( 4 4 ) ( 4 ) ( ' 4 2 2 ) ( ' 2 2 ) ( ' 2 2 )) ( 3 2 2 ( ) ( 3 2 2 ) , ( ) 3 2 2 ( ) 3 2 2 ( 3 2 2 4 ) 4 2 2 ( 4 ) 3 2 2 ( 0 ) 4 2 2 ( ) 3 2 2 ( 5)
exacta
es
No
x
N
y
M
Lny
xLny
y
x
x
N
y
x
xe
Lny
y
x
e
yLny
y
y
M
dy
xLny
y
dx
y
x
y
x
e
yLny
)
1
(
1
)
(
0
)
1
(
)
)(
(
6)C
x
x
y
x
y
C
x
x
y
x
y
x
y
xy
x
y
y
x
y
y
y
g
x
x
y
x
y
y
y
f
y
g
x
x
y
x
y
y
x
f
x
x
senx
y
y
f
x
x
senx
y
y
f
x
senx
y
y
x
f
exacta
Es
x
N
y
M
ysenx
y
x
y
xy
x
x
N
ysenx
y
x
senx
y
y
y
y
M
dy
x
y
xy
dx
x
senx
y
y
C
dy
y
g
y
g
y
g
y
g
2
2
cos
2
3
0
2
2
cos
2
3
cos
2
2
3
cos
2
2
3
cos
2
2
3
))
(
2
2
cos
2
3
(
)
(
2
2
cos
2
3
)
,
(
)
2
3
(
)
2
3
(
2
3
2
2
3
)
cos
2
2
3
(
2
2
3
)
2
3
(
0
)
cos
2
2
3
(
)
2
3
(
0
)
(
0
)
(
'
)
(
'
)
(
'
7)
C
x
x
x
e
xy
x
x
x
e
xy
y
x
f
x
x
x
e
y
h
dx
x
x
xe
x
h
x
x
xe
x
h
x
y
x
xe
x
h
y
x
h
y
y
f
x
h
xy
x
x
f
x
h
xy
y
x
f
y
x
f
y
x
f
x
y
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exacta
Es
x
N
y
M
x
x
x
N
x
y
x
xe
y
y
M
dx
x
y
x
xe
xdy
x
y
x
xe
dx
dy
x
3
2
)
1
(
2
3
2
)
1
(
2
)
,
(
3
2
)
1
(
2
)
(
)
2
6
2
(
)
(
2
6
2
)
(
'
2
6
2
)
(
'
)
(
'
))
(
(
)
(
)
,
(
1
)
(
1
)
2
6
2
(
0
)
2
6
2
(
2
6
2
8) C x y x x y x y x f x x dx x x h x x h x y x x h y x x h y x x f x h y x x x f x h y x y x f y y x f y y x f y x y f exacta Es x N y M y x y x x x N y x x y x y y M dy y x dx x y x y x dy dx x y x 3 arctan 3 1 3 3 3 3 arctan 3 1 3 3 3 ) , ( 3 arctan 3 1 2 9 1 1 9 1 2 9 1 1 ) ( 2 9 1 1 ) ( ' 2 9 1 1 3 2 ) ( ' 3 2 ) ( ' 3 2 )) ( 3 3 3 ( ) ( 3 3 3 ) , ( ) 2 3 ( ) 2 3 ( 2 3 2 3 ) 2 3 ( 2 3 ) 2 9 1 1 3 2 ( 0 2 3 ) 2 9 1 1 3 2 ( 0 2 3 ) 2 9 1 1 3 2 (9)
C
xI
I
Ln
seny
x
xI
I
Ln
seny
x
f(x,y)
xl
l
Ln
h(x)
dx
x
h(x)
x
h'(x)
seny
senx
x
h'(x)
y
senx
h'(x)
y
senx
x
f
h(x))
seny
x
(
x
x
f
h(x)
seny
x
f(x,y)
y
y
x
f
y
y
x
f
y
x
y
f
exacta
Es
x
N
y
M
y
senx
y)
x
(
x
x
N
senx
y
seny)
senx
x
(
y
y
M
ydy
x
seny)dx
senx
x
(
sec
cos
sec
cos
sec
tan
tan
tan
cos
cos
cos
cos
cos
cos
cos
cos
cos
cos
cos
cos
cos
cos
tan
0
cos
cos
tan
10)exacta
es
No
x
N
y
M
x
y
x
x
x
x
N
x
xy
x
y
y
M
dx
xy
x
dy
y
x
x
xy
x
dx
dy
y
x
x
4
1
)
2
2
2
(
4
)
4
3
4
(
0
)
4
3
4
(
)
2
2
2
(
4
3
4
)
2
2
2
(
2.4. Ejercicios. Determine si las siguientes ecuaciones diferenciales son exactas. Si lo son, revuélvalas. 1)
(
2
)
(
6
)
0
dx
dy
y
x
y
x
2)
(
seny
ysenx
)
dx
(cos
x
x
cos
y
y
)
dy
0
3)
(
2
1
cos
3
)
4
33
3
0
2
x
ysen
x
x
y
dx
dy
x
x
y
4)(
3
2
)
(
3
2
)
0
dy
y
xe
x
dx
e
y
x
y y 5)(
2
cosh
)
'
2
2cosh
0
x
y
senhx
xy
y
x
xy
e
y 6)2
20
2
dy
y
x
dx
y
x
7) (3xcos3xsen3x3)dx(2y5)dy0 8)(
4
2
15
2
)
(
4
3
2
)
0
dy
x
y
x
dx
y
x
y
x
9)(
)
2
(
2
2
1
)
0
dy
x
xy
dx
y
x
;con y(0)=1 10)0
2
)
3
(
4 5 2 2
dx
y
x
dy
y
x
y
;con y(1)=02.5. ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES
Definición. Una expresión diferencial de la forma:
)
(
)
(
)
(
0 1a
x
y
g
x
dx
dy
x
a
Es una diferencial lineal en una región R del plano xy .
Despejando y simplificando:
)
(
)
(
)
(
)
(
1 1 0x
a
x
g
y
x
a
x
a
dx
dy
Dando una ecuación diferencial ordinaria de la forma::
)
(
)
(
x
y
f
x
P
dx
dy
La cuál se podrá hacer ecuación diferencial exacta con un factor (x) integrante de la forma:
Pxdxe
x
)
( )(
Multiplicando a la última ecuación obtenida en todos sus términos por el factor integrante (x) e
integrando la diferencial exacta obtenida, se obtiene la siguiente solución general:
