ECUACIONES DIFERENCIALES TRANSFORMADAS DE LAPLACE

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(1)

TECNOLÓGICO DE ESTUDIOS SUPERIORES DE ECATEPEC

DIVISION DE INGENIERÍA ELECTRÓNICA Y TELEMÁTICA

ECUACIONES DIFERENCIALES

Y

TRANSFORMADAS DE LAPLACE

CON APLICACIONES

Material de apoyo para el curso de

Matemáticas 4

M. en C. Antonio Silva Martínez

(2)

PRESENTACION

Este material es de apoyo para el curso de Matemáticas IV, del plan de estudios de la carrera de Ingeniería Electrónica, correspondiente a Ecuaciones Diferenciales Ordinarias y Transformadas de Laplace.

Como herramienta necesaria en la modelación y solución de problemas de ingeniería en general, las matemáticas merecen un especial apoyo para su comprensión y motivación. Para lo cual se ha preparado este trabajo con ejemplos resueltos, desarrollados con los pasos detallados hasta su solución, así como algo muy importante que debe motivar al estudiante de Ingeniería Electrónica sobre la importancia y retos de las matemáticas en su formación académica: ejemplos y ejercicios prácticos de circuitos eléctricos transitorios. Complementándose este trabajo con ejercicios de práctica para el estudiante. Además de un apéndice sobre descomposición en fracciones parciales de una función racional, formularios de identidades trigonométricas, reglas de exponenciación, derivadas e integrales y una tabla de Transformadas de Laplace de mayor utilidad.

Es conocido por todo ingeniero, que las matemáticas en general no pueden estudiarse en forma contemplativa o pasiva, al contrario, requieren una actitud dinámica y participativa. Bajo este punto de vista, se espera que el alumno se anime a analizar, comprender y realizar con este apoyo, la mayor cantidad de ejercicios y problemas posibles. Adquiriendo las bases cognitivas que para asignaturas posteriores a ésta.

Este trabajo se presenta ante la coordinación de Material Didáctico y la Academia de Ciencias Básicas de la División de Ingeniería Electrónica y Telemática del TESE, esperando ser avalado por las mismas para su difusión y uso del mismo por parte de los estudiantes de la División.

M. EN C. ANTONIO SILVA MARTINEZ DOCENTE DE LA DIVISION TECNOLÓGICO DE ESTUDIOS SUPERIORES DE ECATEPEC

(3)

ÍNDICE

TECNOLÓGICO DE ESTUDIOS SUPERIORES DE ECATEPEC DIVISION DE INGENIERIA ELECTRONICA Y TELEMATICA

PÁGINA 1. ECUACIONES DIFERENCIALES.

1.1.Introducción

1.2. Clasificación según su, tipo, orden y linealidad

3 3 2. ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS (EDO) DE

PRIMER ORDEN 2.1. Introducción

2.2. EDO con variables separables 2.3. EDO homogéneas

2.4. EDO exactas 2.5. EDO lineales 2.6. EDO de Bernoulli

2.7. Aplicaciones. Circuitos Eléctricos 2.7.1. Circuitos R-C en serie 2.7.2. Circuitos R-L en serie 6 7 11 17 23 28 32 36

3. ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS (EDO) DE ORDEN SUPERIOR.

3.1. Introducción

3.2. EDO homogéneas con Coeficientes Constantes 3.3. Ecuaciones Diferenciales no Homogéneas

3.3.1. El Método de los Coeficientes Indeterminados 3.3.2. El Método de Variación de Parámetros

3.4. Aplicaciones. Circuitos R-C-L en serie.

40 41 49 57 67 4. LA TRANSFORMADA DE LAPLACE 4.1. Introducción

4.2. La Transformada de Laplace por definición 4.3. La Transformada de Laplace por tablas 4.4. La Transformada Inversa de Laplace

4.5. Teoremas de Traslación de la Trasformada de Laplace. 4.5.1. El Primer Teorema de Traslación

4.5.2. El Segundo Teorema de Traslación 4.6. La Derivada de la Transformada de Laplace 4.7. Transformada de Laplace de una derivada

4.8. Transformada de Laplace una integral. El Teorema de convolución

4.9. Aplicaciones

4.9.1. Solución de sistemas de ecuaciones diferenciales ordinarias 4.9.2. Circuitos R-C-L en paralelo. 77 77 82 86 91 96 99 102 106 113 120 5. APÉNDICE

(4)

UNIDAD 1. ECUACIONES DIFERENCIALES

1.1. INTRODUCCIÓN

Definición. Si una ecuación contiene las derivadas o diferenciales de una o más variables dependientes con respecto a una o más variables independientes, se dice que es una ecuación diferencial. Las ecuaciones se clasifican de acuerdo con el tipo, el orden y la linealidad.

En general, una ecuación Diferencial es de la forma:

)

(

)

(

)

(

...

...

)

(

)

(

1 1 0 1 1

a

x

y

f

x

dx

dy

x

a

dx

y

d

x

a

dx

y

d

x

a

n n n n n n

 

Las Ecuaciones Diferenciales ofrecen poderosas herramientas para explicar el comportamiento de los procesos con cambios dinámicos o variables en el espacio, en tiempo o en ambos. Se utilizan tales herramientas para responder preguntas que de otra manera son muy difíciles de contestar.

Por ejemplo, el comportamiento de una población de seres vivos a lo largo del tiempo, con base en sus tasas de nacimiento y muerte en cierta región. Otro ejemplo de gran utilidad de las ecuaciones diferenciales, es en la Ingeniería Electrónica, con el análisis Circuitos Eléctricos, mediante el comportamiento de la carga y la corriente a través del tiempo, en el proceso de carga o descarga en un circuito eléctrico, con componentes de resistencia, inductancia y capacitancia en diferentes arreglos.

1.2. CLASIFICACION SEGUN SU TIPO, SU ORDEN Y SU LINEALIDAD.

El Tipo de una ecuación diferencial lo determina el tipo de derivadas que contiene la misma: total o parcial

El Orden de una ecuación diferencial lo determina el grado de la derivada mas alta que contenga la misma: desde primer orden, segundo orden y en general, orden superior.

La Linealidad de una derivada lo determina la potencia de las variables dependientes de la ecuación: si la potencia de las variables es uno, se denomina ecuación diferencial lineal, y si la potencia es diferente de uno, se dice que es una ecuación diferencial no lineal.

(5)

1.2. Ejemplos. Clasifique las siguientes ecuaciones diferenciales según su tipo, su orden y su linealidad. 1)

2

4

yx

x

2

dx

dy

Ecuación diferencial ordinaria de primer orden, lineal

2)

x

dx

dy

y

dx

y

d

x

3 2

4

3

Ecuación diferencial ordinaria de tercer orden, no lineal

3)

(

1

)

2

0

2

y

dx

dy

dx

y

d

x

Ecuación diferencial ordinaria de segundo orden, lineal

4)

y

x

dx

y

d

cos

3

3 2 2

Ecuación diferencial ordinaria de segundo orden, no lineal

5)

y

senx

x

y

2

Ecuación diferencial parcial de primer orden, lineal

6) 2

1

2 2 2 2

t

y

c

x

y

Ecuación diferencial parcial de segundo orden, lineal

7)

(

1

y

2

)

dy

4

ydt

0

Ecuación diferencial ordinaria de primer orden, no lineal 8)

sent

t

y

dt

dy

3 Ecuación diferencial ordinaria de primer orden, lineal

9)

t

dt

y

d

y

t

3

3 2 1 2 2

)

(

Ecuación diferencial ordinaria de tercer orden, no lineal

10) 3 2 5 3

)

(

y

dt

y

d

(6)

1.2. Ejercicios. Clasifique las siguientes ecuaciones diferenciales según su tipo, su orden y su linealidad. 1) 3

xy

e

2x1

dx

dy

y

2)

x

dx

dy

dx

y

d

y

dx

y

d

xy

3 2 3 4 4

tan

2

3)

1

x

v

x

y

4) (4y)dx4xdy2 5)

y

x

x

dx

y

d

x

3

4

3

1

3 2 6)

y

x

dx

y

d

dx

dy

y

2

2

)

2

(

7)

xy

Ln

(

x

)

x

y

x

1

2 2 2 8) 2

2

2

2 2 x

xe

y

dx

dy

dx

y

d

y

 9) (1 y2)dy3x3dt3  xlnx2 10)

senh

(

x

)

dx

dy

y

13

1

(7)

UNIDAD 2. ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS DE PRIMER ORDEN

2.1. INTRODUCCIÓN

En esta unidad se resolverán ecuaciones diferenciales ordinarias de la forma:

)

,

(

x

y

f

dx

dy 

Sujeta a la condición adicional

y

(

x

0

)

y

0

Conocido también como el problema del valor inicial. En términos geométricos, se está interesado en buscar al menos una solución o curva por donde pase el punto dado, de una familia de curvas que representan a la ecuación diferencial ordinaria.

Fig. 2.1. Familia de curvas que representan la solución de una ecuación diferencial. Por un punto P(x0,y0) perteneciente a un intervalo, sólo pasa una curva de la familia.

x

o

y

o

P(x

o

,y

o)

X

Y

(8)

2.2. ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS CON VARIABLES SEPARABLES

Definición. Se dice que una ecuación diferencial de la forma

)

y

(

h

)

x

(

g

dx

dy 

es separable o que tiene variables separables si puede escribirse como:

dx ) x ( g dy ) y ( h

E integrado de ambos lados se tiene:

c dx ) x ( g dy ) y ( h

Dando como resultado de la integración, una familia paramétrica de soluciones, la cual queda expresada de manera explícita o de manera implícita.

Nótese que como resultado de la integración, no es necesario usar dos constantes de integración, ya que la suma algebraica de tales constantes, da solo una constante c.

(9)

2.2. Ejemplos. Resuelva las siguientes ecuaciones diferenciales con separación de variables 1)

 

C

x

C

u

senudu

x

y

du

dx

dx

du

x

u

xdx

sen

dy

xdx

sen

dy

x

sen

dx

dy

5

cos

5

1

cos

5

1

5

1

)

(

5

5

5

5

5

5

2)

C

e

)

x

(

y

C

e

y

C

du

e

y

C

y

du

e

du

dx

dx

du

x

u

dy

dx

e

dy

dx

e

dy

e

dx

dy

e

dx

x u u u x x x x

  

3 3 3 3 3

3

1

3

1

3

1

3

1

3

1

3

3

0

3)

C

x

Ln

x

x

y

C

x

Ln

x

x

y

C

x

Ln

x

Ln

x

x

y

C

x

Ln

Lnu

u

x

y

x

Ln

du

u

du

x

y

x

Ln

u

u

dy

du

dx

u

x

x

u

dx

x

dx

x

x

dx

x

x

dy

dx

x

x

dy

x

dx

dy

x

 

 

)

1

((

5

)

(

)

1

((

5

)

1

(

)

(

)

1

(

6

)

1

((

)

1

(

)

(

)

1

(

6

)

(

)

1

(

6

1

)

(

)

1

(

6

1

1

1

1

1

6

1

1

6

1

6

6

)

1

(

4) 4 4 4 4

4

4

4

4

4

Cx

)

x

(

y

C

x

e

e

e

e

C

Lnx

)

C

Lnx

(

Lny

x

dx

y

dy

x

dx

y

dy

y

dx

dy

x

c Lnx C Lnx Lny

(10)

5)

2

)

(

2

2

1

2

2

1

2 2 1 2 1 2 2 3 2 3 3 2

       

cx

x

x

y

cx

x

y

C

x

y

C

x

y

C

x

y

dx

x

dy

y

dx

x

dy

y

x

y

dx

dy

6)

)

4

(

)

2

(

1

2

1

1

2

1

2

2

4

2

2

2

4

2

4

2

)

2

(

)

4

(

0

)

2

(

)

4

(

0

)

2

(

)

4

(

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

x

C

y

Cv

e

e

u

e

e

C

Lnv

Lnu

C

Lnv

Lnu

dv

v

du

u

x

dv

dx

xdx

dv

x

v

y

du

dy

ydy

du

y

u

dx

x

x

dy

y

y

dx

x

x

dy

y

y

dx

y

x

dy

x

y

dx

y

x

dy

x

y

dx

xy

x

dy

yx

y

C Lnv C Lnv Lnu

7)

C

x

sen

x

y

C

x

sen

x

y

dx

x

y

xdx

senydy

xdx

senydy

x

dx

y

dy

ydx

xdy

ydx

xdy

)

2

4

1

2

1

(

cos

2

4

1

2

1

cos

2

2

cos

1

cos

cos

cos

sec

csc

csc

sec

0

csc

sec

2 2 2 2 2 8)

Resolver la siguiente EDO, sujeta a y(0)=0

C

y

e

x

C

ye

e

e

ye

e

x

dy

e

ye

e

x

e

v

dy

e

dv

dy

du

y

u

partes

por

dy

ye

e

senxdx

dy

ye

e

dx

x

x

senx

dy

ye

e

dx

x

x

senx

dy

dx

x

x

sen

dy

y

e

x

xdx

sen

e

dy

y

e

x

xdx

sen

e

y y y y y y y y y y y y y y y y y e y e y y y y y y

              

)

2

(

cos

2

2

cos

2

)

(

cos

2

:

.

2

)

(

cos

cos

2

)

(

cos

cos

2

cos

2

)

(

cos

2

0

)

(

cos

2

2 2 2

Aplicando la condición inicial:

(11)

2.2. Ejercicios. Resuelva las siguientes ecuaciones diferenciales con separación de variables 1) 2

 y

2

0

dx

dy

x

2) 

sec

y

0

dx

dy

e

x 3)

 xsenx

2

0

dx

dy

y

4)

(

4

2

)

2

x

2

xy

2

0

dx

dy

y

x

y

5) 2

4

y

2

0

dx

dy

x

6)

(

2

1

)

y

tan

x

0

dx

dy

y

7)

 y

0

dx

dy

xy

8)

y

2

cos

x

0

dx

dy

y

9)

(

1

)

2

(

8

x

1

)(

y

2

)

0

,..

y

(

1

)

2

dx

dy

y

x

10) 0,.. (0) 2 1 2 2    y x xy dx dy

(12)

2.3. ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS HOMOGÉNEAS

Definición. Si una función tiene la propiedad de que:

f(tx,ty)= tn f(x,y)

Para un número real n, entonces se dice que f es una función homogénea de grado n.

Por lo tanto, para una ecuación diferencial de la forma:

0

)

,

(

)

,

(

x

y

dx

N

x

y

dy

M

Se dice que es homogénea si M y N son funciones homogéneas del mismo grado.

Método de solución. Una ecuación diferencial homogénea de la forma anterior puede ser resuelta por medio alguna de las siguientes sustituciones algebraicas:

y = u x

ó

x = v y

con sus respectivas diferenciales:

dy = u dx +x du

dx = v dy + y dv

Donde u y v son nuevas variables dependientes que transformarán la ecuación original en una ecuación diferencial de primer orden con variables separables.

(13)

2.3 Ejemplos. Resuelva las siguientes ecuaciones diferenciales homogéneas usando una sustitución apropiada

1)

)

y

x

2

(

C

x

)

x

y

2

(

C

x

e

e

e

e

C

)

x

y

2

(

Ln

Lnx

C

)

u

2

(

Ln

Lnx

du

u

2

1

dx

x

1

du

u

2

1

du

2

u

1

dx

x

1

du

)

2

u

(

x

dx

)

u

1

(

x

0

du

)

2

u

(

x

dx

)

u

u

2

1

(

x

0

du

)

x

2

ux

(

dx

)

ux

2

x

u

x

(

0

du

x

2

uxdx

2

du

ux

xdx

u

xdx

0

)

xdu

udx

)(

x

2

ux

(

xdx

x

y

u

xdu

udx

dy

ux

y

0

dy

)

x

2

y

(

xdx

2 C ) x y 2 ( Ln C ) x y 2 ( Ln Lnx 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

  

 

2)

C

x

y

x

Cx

x

y

x

x

y

x

C

x

x

y

x

C

x

x

y

C

x

x

y

C

u

C

x

Ce

e

e

C

u

Ln

Lnw

w

dw

Lnx

u

dw

du

udu

dw

u

w

du

u

u

dx

x

du

u

u

dx

x

du

ux

dx

u

x

du

ux

dx

x

dx

x

u

dx

x

u

dx

x

du

ux

dx

x

u

dx

x

u

x

xdu

udx

ux

x

y

u

xdu

udx

dy

ux

y

dx

y

x

yxdy

u Ln u Ln Lnx C

       

4 2 2 2 6 2 4 2 2 2 4 4 1 2 2 2 4 1 2 2 2 4 1 2 2 4 1 2 ) 1 2 ( ) 1 2 ( 2 2 2 2 3 2 2 3 2 2 2 2 2 2 3 2 2 2 2 2 2 2 2

2

2

)

2

(

)

2

(

)

2

(

)

1

2

(

)

1

2

(

)

1

2

(

4

1

4

1

4

1

4

4

1

2

1

2

1

1

2

1

)

1

2

(

0

2

0

0

)

(

)

(

0

)

(

4 1 2 4 1 2

(14)

3) 2 2 ) ( ) ( 2 2 2 2

)

(

1

1

0

0

)

(

0

0

)

(

)

(

0

)

(

Cx

y

Cy

x

x

y

C

x

e

e

e

e

C

x

y

Lnx

C

u

Lnx

du

dx

x

du

dx

x

du

x

xdx

du

x

xdx

du

x

dx

ux

ux

x

du

x

uxdx

uxdx

xdx

xdu

udx

x

dx

ux

x

x

y

u

xdu

udx

dy

ux

y

xdy

dx

y

x

C x y Ln C x y Ln Lnx

  

 

4)

Cx

y

y

x

C

x

e

e

e

e

C

y

x

Lnx

C

u

Lnx

du

u

dx

x

du

u

dx

x

du

x

dx

x

u

du

x

dx

x

u

du

x

udx

x

dx

ux

dx

x

u

xdu

udx

x

dx

ux

x

u

x

y

u

xdu

udx

dy

ux

y

dy

x

dx

yx

y

C y x Ln C y x Ln Lnx

  

 

2 2 ) ) ( ( ) ) ( ( 2 2 2 2 3 2 2 3 2 2 3 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

)

(

)

(

1

1

1

1

1

0

0

0

)

(

)

(

0

)

(

2 2

(15)

5)

C

y

x

y

x

Ln

Lnx

C

u

u

Ln

Lnx

du

u

du

u

u

dx

x

x

du

u

u

dx

x

x

du

x

u

xdx

u

xdx

uxdx

du

x

uxdx

du

ux

xdx

u

dx

x

ux

xdu

udx

x

ux

x

y

u

xdu

udx

dy

ux

y

dx

x

y

dy

x

y

x

y

x

y

dx

dy









 

1 2 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

tan

2

1

1

2

1

tan

2

1

)

1

(

2

1

1

1

1

1

)

1

(

)

1

(

)

1

(

)

(

)

)(

(

0

)

(

)

(

6)

C

y

Cx

x

y

e

e

e

C

Lnx

x

y

Ln

C

Lnx

Lnu

x

dx

du

u

dx

x

x

du

u

u

u

u

xdx

u

u

u

du

x

u

dx

u

xu

du

x

u

uxdx

du

x

uxdx

xdu

udx

ux

x

x

uxdx

x

y

u

xdu

udx

dy

ux

y

dy

xy

x

ydx

c Lnx x y Ln

       

1 2 2 2 2 1

1

1

0

)

(

)

1

(

0

0

)

)(

)

(

(

0

)

(

(16)

7) 2 2 2 2 2 2 3 2 2 2 3 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2

2

1

2

1

1

1

)

(

)

(

)

(

)

(

Cx

Lnx

x

y

C

Lnx

x

y

C

Lnx

u

dx

x

udu

dx

x

udu

dx

x

du

ux

dx

x

dx

x

u

du

ux

dx

x

u

dx

x

x

u

xdu

udx

ux

x

y

u

xdu

udx

dy

ux

y

dx

x

y

xydy

dx

xy

x

y

dy

dx

y

x

x

y

dy

y

x

x

y

dx

dy

 

8)

C

y

y

Ln

e

C

Lny

e

dy

y

dv

e

dy

y

y

dv

e

dy

e

dv

y

dy

ye

vydy

dv

y

yvdy

dy

ye

vy

ydv

vdy

y

y

x

v

ydv

vdy

dx

vy

x

dy

ye

x

ydx

ye

x

dy

dx

y

y x v v v v v v y x y x





    

8

4

2

1

1

4

4

4

4

)

)

4

(

)

(

)

4

(

4

/ 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 / 2 / 2

(17)

2.3. Ejercicios. Resuelva las siguientes ecuaciones diferenciales homogéneas usando una sustitución apropiada.

1)

y

x

y

x

dx

dy

3

3

2)

y

x

2

y

2

dx

dy

x

3)

0

x

y

Ln

x

y

dx

dy

4) (y2xy)dxx2dy 0 5) 2

y

3

x

3

dx

dy

xy

6) (x22y2)dxxydy 7)

(

)

x

y

x

12

y

32

dx

dy

xy

x

 8)

y

dx

dy

xy

y

x

2

(

9) (x4 y4)dx2x3ydy 0 10) x y y x dx dy cosh  

(18)

2.4. ECUACIONES DIFERENCIALES EXACTAS

Definición. Una expresión diferencial de la forma:

dy

y

x

N

dx

y

x

M

(

,

)

(

,

)

Es una diferencial exacta en una región R del plano xy si corresponde a la diferencial total de alguna función f(x,y). Una ecuación diferencial de la forma:

0 ) , ( ) , (x y dxN x y dyM

se dice que es una ecuación exacta si la expresión del primer miembro es una diferencial exacta, donde se debe cumplir a su vez:

y

N

x

M

Si se cumple la última condición, entonces:

)

,

(

x

y

M

x

f 

o tambièn

M

(

x

,

y

)

x

f 

Separando variables, de cualquiera de una de las ecuaciones anteriores, resulta, respectivamente:

  ( , ) ( ) ) , (x y N x y dy h x f y f(x,y)

M(x,y)dyg(y) Donde:

(19)

2.4. Ejemplos. Determine si las siguientes ecuaciones diferenciales son exactas. Si lo son, revuélvalas. 1) C y y x x x y y x x x y x f y y dy y y g y y g y g y g x x y y f y g x x y x f x x f x x f x x f exacta Es x N y M y x x N x y y M dy y dx x                                                                    2 2 3 2 4 2 2 2 3 2 4 2 ) , ( 2 2 3 ) 1 3 ( ) ( 1 3 ) ( ' ) ( ' )) ( 4 2 ( ) ( 4 2 ) , ( ) 4 2 ( ) 4 2 ( 4 2 0 ) 1 3 ( 0 ) 4 2 ( 0 ) 1 3 ( ) 4 2 ( 2)

exacta

es

No

x

N

y

M

y

x

xy

x

x

x

N

y

y

x

y

y

M

dy

y

x

x

dx

y

x

y

x

2

2

)

2

(

2

)

(

0

)

2

(

)

)(

(

2 2 2 3) C y yx x y yx x y x f y dy y y g y y g y x y g x y g x y g yx x y y f y g yx x y x f x y x f x y x f y x x f exacta Es x N y M y x x x N y x y y M dy y x dx y x                                                                    4 2 4 2 2 5 4 2 4 2 2 5 ) , ( 4 2 ) 3 8 ( ) ( 3 8 ) ( ' 3 8 4 ) ( ' 4 ) ( ' 4 )) ( 4 2 2 5 ( ) ( 4 2 2 5 ) , ( ) 4 5 ( ) 4 5 ( 4 5 4 ) 3 8 4 ( 4 ) 4 5 ( 0 ) 3 8 4 ( ) 4 5 (

(20)

4) C y x y x y x y x y x f y dy y g y g y x y g yx y g yx y f y g x y x y y f y g x y x y x f x x y f x x y f x y x f exacta Es x N y M xy y x x x N xy x y y y M dy y x dx x y                                                                  4 3 2 2 4 3 2 2 ) , ( 4 4 ) ( 4 ) ( ' 4 2 2 ) ( ' 2 2 ) ( ' 2 2 )) ( 3 2 2 ( ) ( 3 2 2 ) , ( ) 3 2 2 ( ) 3 2 2 ( 3 2 2 4 ) 4 2 2 ( 4 ) 3 2 2 ( 0 ) 4 2 2 ( ) 3 2 2 ( 5)

exacta

es

No

x

N

y

M

Lny

xLny

y

x

x

N

y

x

xe

Lny

y

x

e

yLny

y

y

M

dy

xLny

y

dx

y

x

y

x

e

yLny

)

1

(

1

)

(

0

)

1

(

)

)(

(

6)

C

x

x

y

x

y

C

x

x

y

x

y

x

y

xy

x

y

y

x

y

y

y

g

x

x

y

x

y

y

y

f

y

g

x

x

y

x

y

y

x

f

x

x

senx

y

y

f

x

x

senx

y

y

f

x

senx

y

y

x

f

exacta

Es

x

N

y

M

ysenx

y

x

y

xy

x

x

N

ysenx

y

x

senx

y

y

y

y

M

dy

x

y

xy

dx

x

senx

y

y

C

dy

y

g

y

g

y

g

y

g

2

2

cos

2

3

0

2

2

cos

2

3

cos

2

2

3

cos

2

2

3

cos

2

2

3

))

(

2

2

cos

2

3

(

)

(

2

2

cos

2

3

)

,

(

)

2

3

(

)

2

3

(

2

3

2

2

3

)

cos

2

2

3

(

2

2

3

)

2

3

(

0

)

cos

2

2

3

(

)

2

3

(

0

)

(

0

)

(

'

)

(

'

)

(

'

(21)

7)

C

x

x

x

e

xy

x

x

x

e

xy

y

x

f

x

x

x

e

y

h

dx

x

x

xe

x

h

x

x

xe

x

h

x

y

x

xe

x

h

y

x

h

y

y

f

x

h

xy

x

x

f

x

h

xy

y

x

f

y

x

f

y

x

f

x

y

f

exacta

Es

x

N

y

M

x

x

x

N

x

y

x

xe

y

y

M

dx

x

y

x

xe

xdy

x

y

x

xe

dx

dy

x

 

3

2

)

1

(

2

3

2

)

1

(

2

)

,

(

3

2

)

1

(

2

)

(

)

2

6

2

(

)

(

2

6

2

)

(

'

2

6

2

)

(

'

)

(

'

))

(

(

)

(

)

,

(

1

)

(

1

)

2

6

2

(

0

)

2

6

2

(

2

6

2

8) C x y x x y x y x f x x dx x x h x x h x y x x h y x x h y x x f x h y x x x f x h y x y x f y y x f y y x f y x y f exacta Es x N y M y x y x x x N y x x y x y y M dy y x dx x y x y x dy dx x y x                                                                      3 arctan 3 1 3 3 3 3 arctan 3 1 3 3 3 ) , ( 3 arctan 3 1 2 9 1 1 9 1 2 9 1 1 ) ( 2 9 1 1 ) ( ' 2 9 1 1 3 2 ) ( ' 3 2 ) ( ' 3 2 )) ( 3 3 3 ( ) ( 3 3 3 ) , ( ) 2 3 ( ) 2 3 ( 2 3 2 3 ) 2 3 ( 2 3 ) 2 9 1 1 3 2 ( 0 2 3 ) 2 9 1 1 3 2 ( 0 2 3 ) 2 9 1 1 3 2 (

(22)

9)

C

xI

I

Ln

seny

x

xI

I

Ln

seny

x

f(x,y)

xl

l

Ln

h(x)

dx

x

h(x)

x

h'(x)

seny

senx

x

h'(x)

y

senx

h'(x)

y

senx

x

f

h(x))

seny

x

(

x

x

f

h(x)

seny

x

f(x,y)

y

y

x

f

y

y

x

f

y

x

y

f

exacta

Es

x

N

y

M

y

senx

y)

x

(

x

x

N

senx

y

seny)

senx

x

(

y

y

M

ydy

x

seny)dx

senx

x

(

sec

cos

sec

cos

sec

tan

tan

tan

cos

cos

cos

cos

cos

cos

cos

cos

cos

cos

cos

cos

cos

cos

tan

0

cos

cos

tan

10)

exacta

es

No

x

N

y

M

x

y

x

x

x

x

N

x

xy

x

y

y

M

dx

xy

x

dy

y

x

x

xy

x

dx

dy

y

x

x

4

1

)

2

2

2

(

4

)

4

3

4

(

0

)

4

3

4

(

)

2

2

2

(

4

3

4

)

2

2

2

(

(23)

2.4. Ejercicios. Determine si las siguientes ecuaciones diferenciales son exactas. Si lo son, revuélvalas. 1)

(

2

)

(

6

)

0

dx

dy

y

x

y

x

2)

(

seny

ysenx

)

dx

(cos

x

x

cos

y

y

)

dy

0

3)

(

2

1

cos

3

)

4

3

3

3

0

2

x

ysen

x

x

y

dx

dy

x

x

y

4)

(

3

2

)

(

3

2

)

0

dy

y

xe

x

dx

e

y

x

y y 5)

(

2

cosh

)

'

2

2

cosh

0

x

y

senhx

xy

y

x

xy

e

y 6)

2

2

0

2

dy

y

x

dx

y

x

7) (3xcos3xsen3x3)dx(2y5)dy0 8)

(

4

2

15

2

)

(

4

3

2

)

0

dy

x

y

x

dx

y

x

y

x

9)

(

)

2

(

2

2

1

)

0

dy

x

xy

dx

y

x

;con y(0)=1 10)

0

2

)

3

(

4 5 2 2

dx

y

x

dy

y

x

y

;con y(1)=0

(24)

2.5. ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES

Definición. Una expresión diferencial de la forma:

)

(

)

(

)

(

0 1

a

x

y

g

x

dx

dy

x

a

Es una diferencial lineal en una región R del plano xy .

Despejando y simplificando:

)

(

)

(

)

(

)

(

1 1 0

x

a

x

g

y

x

a

x

a

dx

dy

Dando una ecuación diferencial ordinaria de la forma::

)

(

)

(

x

y

f

x

P

dx

dy

La cuál se podrá hacer ecuación diferencial exacta con un factor (x) integrante de la forma:

Pxdx

e

x

)

( )

(

Multiplicando a la última ecuación obtenida en todos sus términos por el factor integrante (x) e

integrando la diferencial exacta obtenida, se obtiene la siguiente solución general:

Pxdx

PxdxPxdx

ce

dx

x

f

e

e

x

y

(

)

( ) ( )

(

)

( )

Figure

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