Memorias VIII Encuentro Nacional de Educación Matemática y Estadística 1 Resumen
En esta ponencia se presenta una experiencia de investigación- acción generada en la asignatura Proyecto Peda-gógico VI de la Licenciatura de Matemáticas y Estadística de la Universidad Pedagógica y Tecnológica de Colombia- Duitama, con el fin de incidir en la construcción del conocimiento profesional de los estudiantes para profesores. Se describe el diseño, gestión y resultados de una propuesta de enseñanza de las operaciones con polinomios y productos notables, dirigida a estudiantes de octavo grado, con el fin de ayudar a superar algunas dificulta-des y errores manifestados, como la carencia de significados asociados a los conceptos, procedimientos y sus usos.
Palabras clave: polinomios, productos notables, errores, sistemas de representación
Abstract
In this presentation(paper) one presents an experience of investigation(research) - action(share) generated in the subject Pedagogic Project the VI of the Licentiate of Mathematics and Statistics of the Pedagogic and Technological University of Colombia - Duitama, in order to affect in the construction of the professional knowledge of the students for teachers. There are described the design, management and results of an offer of education of the operations by polynomials and notable products, directed students of eighth degree, in order to help to overcome some difficulties and demonstrated mistakes, as the lack of meanings associated with the concepts, procedures and his uses.
Key words: polynomials, notable products, mistakes, systems of representation.
INTRODUCCIÓN
Es muy cierto que muchas cuestiones matemáticas no se pueden demostrar en forma objetiva, y en ese caso, ciertamente el alumno tendrá que conformarse con la teoría; pero en el caso al que hago referencia, las operaciones de polinomios y los productos notables sí se pueden verificar, no sólo algebraica, sino aritmética y geométricamente, y esto es lo que no se ha hecho por lo tanto el alumno no genera conceptos con significado.
Cuando el maestro se preocupe, no sólo por enseñarle al alumno el procedimiento algebraico para elevar un binomio al cuadrado y/o al cubo, sino que le haga la verificación aritmética mediante la aplicación de valores a las literales y la realización de las operaciones correspondientes, y la confrontación de resultados iguales o equivalentes, así como dibujar la figura geométrica relativa en el caso del cuadrado, y presentar el modelo didáctico compuesto de ocho volúmenes que se refieren al cubo; entonces, el maestro
OPERACIONES CON POLINOMIOS Y PRODUCTOS NOTABLES: UNA PROPUESTA DE ENSEÑANZA
2 Escuela de Matemáticas y Estadística UPTC Duitama Septiembre de 2009 podrá considerar que el estudiante está construyendo significados asociados a los conceptos y procedimientos.
LA PROBLEMÁTICA
El proceso investigativo se lleva a cabo con estudiantes de grado octavo del Instituto Técnico santo Tomás de Aquino de Duitama y se inicia con una Fase Diagnóstica en la cual se utilizó una matriz de observación y un cuestionario como instrumentos de recogida de información, diseñados a la luz de la teoría de investigaciones realizadas en torno a las dificultades y errores en el aprendizaje del álgebra (Socas y Radatz; 1979: Pág. 96 - 105).
Al realizar la fase diagnóstica para identificar que errores estaban cometiendo los estudiantes al trabajar con operaciones con polinomios y productos notables, se tuvo presente la categoría de errores propuesta por la SESM (Strategies and Errors in Secondary Mathematics) en el Reino Unido entre 1980 y 1983 (Booth, 1984)
Con base en el análisis de la actuación y los protocolos de los estudiantes y teniendo en cuenta la categoría de errores mencionada se generó el siguiente diagnóstico en el cual se describen los diferentes tipos de error manifestados por los estudiantes.
Con el fin de buscar solución a esta problemática se planteó como objetivo general del proyecto:
Minimizar los errores y dificultades que manifiestan los estudiantes en el proceso de enseñanza- aprendizaje de las operaciones con polinomios y productos notables usando diferentes sistemas de representación y la estrategia metodológica de los sistemas concretos conceptuales y simbólicos.
Y para alcanzar este objetivo se formularon los siguientes objetivos específicos:
Identificar y clasificar los errores y dificultades que manifiestan los estudiantes al desarrollar operaciones con polinomios y productos notables.
Diseñar secuencias didácticas teniendo en cuenta los diferentes sistemas de representación que ayuden a la comprensión significativa de las operaciones con polinomios y productos notables.
0 5 10 15 20 25
Mal uso de los recíprocos Significado del signo igual en …
Mal uso de la propiedad … Cancelación Naruraleza y sinficado de …
Nº de estudiantes E
r r o r e s
d e b i d o
a
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Aplicar las secuencias didácticas diseñadas y promover el desarrollo de competencias matemáticas cuando operan con polinomios y productos notables
LA METODOLOGÍA
El tipo de Investigación que se utiliza para la realización del Proyecto de Aula es la Investigación Acción (IA) la cual como una actividad colectiva, se caracteriza por la participación reflexiva puesto que es una investigación realizada por colectivos acerca de su propio trabajo, lo cual no implica que se puede comenzar con el individuo como un sujeto práctico reflexivo, que pueda generar planes de acción que transformen su práctica docente; y, luego, apoyarse en el colectivo docente en donde todos analizan y reflexionan críticamente sobre un mismo plan de acción. De ahí, sus carácter sistemático, de aprendizaje y colaborador para dar forma a la acción educativa. “Castillo et al. (1986)” Proceso de la investigación- acción.
REFERENTES TEÓRICOS
Inicialmente la investigación se centra en el análisis de los errores que cometen los estudiantes al desarrollar operaciones con polinomios y productos notables; para esto se tomó como referencia la conceptualización de error en matemáticas propuesta por Socas ( 1997) y Matz (1980). Para el diseño de la propuesta de enseñanza se tomaron referentes desde las perspectivas epistemológicas, didácticas y cognitivas.
Sobre la noción de error en matemáticas se adoptaron las siguientes conceptualizaciones:
Según Socas (1997), el error debe ser considerado como la presencia en el alumno de un esquema cognitivo inadecuado y no sólo la consecuencia de una falta específica de conocimiento o una distracción.
4 Escuela de Matemáticas y Estadística UPTC Duitama Septiembre de 2009 novedosos que los obligan a hacer una revisión o reestructuración de lo que ya saben.
Para el diseño y desarrollo del proyecto de investigación en el aula se adoptan las siguientes perspectivas:
PERSPECTIVA EPISTEMOLÓGICA
Para la enseñanza de un objeto matemático es indispensable conocer su génesis y evolución, ya que es en el análisis epistemológico que se encuentran elementos constitutivos de la significación de los conceptos y procedimientos a enseñar.
En este sentido se han identificado las siguientes fases en el desarrollo del álgebra.
Fases del desarrollo del algebra:
La primera fase comprende el periodo de 1700 a.de C 1700 d.de C se caracterizó por la investigación gradual de símbolos y la resolución de ecuaciones. Dentro de esta fase encontramos un algebra desarrollada por los griegos (300 a. de C.), llamada algebra geométrica, rica en métodos geométricos para resolver ecuaciones algebraicas.
La introducción de la notación simbólica asociada a Viéte (1540-1603) marca el inicio de una nueva etapa el cual Descartes (1596-1650) contribuye de forma importante al desarrollo de dicha notación. En este momento, el algebra se convierte en la ciencia de los cálculos simbólicos y de las ecuaciones. Posteriormente, Euler (1707-1783) la define como la teoría de los “cálculos con cantidades de distintas clases” (cálculos con números racionales enteros, fracciones ordinarias, raíces cuadradas y cubicas, progresiones y todo tipo de ecuaciones).
El segunda mitad del siglo XIX el álgebra presentó un notable impulso a grandes matemáticos, entre los cuales destacamos las ideas de Galois (1801-1832) sobre la teoría de ecuaciones algebraicas. Teorías tales como la de grupos, determinantes y matrices, por citar algunas, alcanzaron un profundo desarrollo todo esto favoreció al nacimiento del algebra abstracta contemporánea tercera fase llamada algunas veces álgebra moderna. En este periodo se prescinde de los números, de ahí el nombre de abstracta, y los objetos utilizados pueden ser cualesquiera (matrices, vectores, tensores, etc.) sobre los cuales se define ciertas operaciones que verifican unas determinadas propiedades contrayéndose el algebra a partir de axiomas previamente definidos.
En la actualidad la revolución de los ordenadores está creando nuevos problemas sobre la mecanizaciones de los cálculos algebraicos lo que lógicamente conducirá a un desarrollo aun mayor del algebra.
La notación algebraica presenta también tres periodos.
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Período sincopado o abreviado, cuando empieza a utilizarse algunas observaciones para simplificar la resolución de los problemas. Este periodo comienza Diophante y duro hasta comienzos del siglo XVI.
Período simbólico aparece en el siglo XVI y utiliza diferentes símbolos y signos matemáticos esta notación que fue más o menos más estable en tiempos de Isaac Newton (1642- 1727), se mantiene actualmente sin uniformidad total este Período coincide con la fase dos anteriormente indicada que, como hemos señalado, está asociada al nombre de Viéte el cual comenzó denotar las letras no solo las incógnitas, sino números dados previamente. (Socas, M y otros, 1989: 38-41)
PERSPECTIVA COGNITIVA
En la enseñanza y aprendizaje del álgebra, como en la de toda la matemática, nos encontramos con una gran variedad de dificultades. Esta investigación toma la noción de dificultad la planteada por Socas (1997, Pág. 91), quien define las siguientes clases de dificultades en el aprendizaje de las matemáticas: Unas asociadas a la complejidad de los objetos de las matemáticas, otras asociadas a los procesos de pensamiento matemático, así como las dificultades asociadas a los procesos de enseñanza desarrollados para el aprendizaje de las matemáticas y aquellas que se relacionan con los proceso desarrollo cognitivo de los alumnos y sus actitudes afectivas y emocionales hacia las Matemáticas.
Tomando como referencia la clasificación del El proyecto SESM (Strategies and Errors in Secondary Mathematics) llevado a cabo en el Reino Unido entre 1980 y 1983 (Booth, 1984), este proyecto presenta una tipología de errores de los cuales según los resultados obtenidos del diagnóstico los alumnos manifestaron errores que pueden ser atribuidos a aspectos como:
a. La naturaleza y significado de los símbolos y las letras.
b. El uso inapropiado de “fórmulas” o “reglas de procedimientos”. Errores relativos al mal uso de la propiedad distributiva. Errores relativos al mal uso de los recíprocos.
Errores debido a falsas generalizaciones.
PERSPECTIVA DIDÁCTICA
El algebra, entendida como el desarrollo de habilidades para manipular letras y símbolos que pueden significar cosas diferentes, y también como construcción de operaciones, expresiones o entidades abstractas a través de relaciones bien definidas, ha sido considerada en los diversos currículos de formas distintas.
6 Escuela de Matemáticas y Estadística UPTC Duitama Septiembre de 2009 En matemáticas, al estar los conceptos tan fuertemente
jerarquizados, es decir, al existir entre ellos una gran dependencia, los “modelos” generan “esquemas” mentales que facilitan la comprensión de estas abstracciones y permiten progresar en el aprendizaje de nuevos conceptos.
Fundamentalmente se utilizarán en la presentación de un concepto como una herramienta de comunicación de ideas abstractas, ideas que expresadas con el recurso de los “modelos” irán adquiriendo más fácil y adecuadamente los estudiantes. (SOCAS R, Martín M y otros, 1989:116 - 117).
LAS SECUENCIAS DIDÁCTICAS
Todos los conceptos anteriores constituyen el soporte teórico y práctico que nos ayuda ayudó a proponer formas más efectivas en la enseñanza de temas algebraicos, así como también la experiencia pedagógica vivida en el salón de clase durante el proceso de investigación. Se diseñaron y aplicaron las siguientes secuencias didácticas:
Traducción del lenguaje habitual al lenguaje algebraico y viceversa.
Concepto de término, monomio, polinomio, operaciones de suma y resta con polinomios
Multiplicación y división de polinomios
Cuadrado de la suma de dos cantidades y el cuadrado de la diferencia de dos cantidades
Suma por diferencia de dos cantidades y el cubo de la suma de dos cantidades. Recopilación de los temas abordados en las cinco sesiones anteriores.
A continuación se muestra un ejemplo del diseño de una secuencia didáctica usando la traducción de lenguajes básicos (aritmético, habitual, geométrico y algebraico).
SECUENCIA DIDÁCTICA: SUMA DE POLINOMIOS
Se realizara de a dos estudiantes, cada grupo tendrá 16 fichas verdes, 5 amarillas,11 carmelitas y se les darán las siguientes instrucciones
Una fábrica produce las baldosas que aparecen a continuación, con las cuales se elaboran distintos patrones.
Memorias VIII Encuentro Nacional de Educación Matemática y Estadística 7 Hallen el área de cada patrón
Patrón a. Patrón b. Patrón c.
Unan el área de los patrones a, b, c, el área de la región cubierta por ellos será la suma de las áreas.
La suma o resta de dos o más polinomios es el polinomio formado por la suma o la resta de los términos de cada polinomio. Si hay términos semejantes, se realiza la reducción de tales términos.
SECUENCIA DIDÁCTICA CUBO DEL BINOMIO (A + B)3
LENGUAJE GEOMÉTRICO
Construya un cubo con las siguientes figuras
LENGUAJE ALGEBRAICO
¿Cuál es el volumen del cubo?
Verificar algebraicamente
3 2 2 3 2 2 2 3 3 3 ) )( 2 ( ) ( ) ( ) )( )( ( ) ( b ab b a a b a b ab a b a b a b a b a b a b a 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 8 2 4 ) ( 8 ) ( 2 ) 2 ( 2 3 2 12 ) ( 3 ) ( 2 ) 2 ( 6 16 ) ( 1 ) 2 ( 8 y x xy y x xy y x xy y x xy x xy x xy 2 11 5 32 8 2 4 3 2 12 16 2 2 2 2 2 2 y x xy y x xy y x xy x xy
3 3 2 2 3
8 Escuela de Matemáticas y Estadística UPTC Duitama Septiembre de 2009 LENGUAJE ARITMÉTICO
Verifica que la regla anterior sea válida, reemplazando las variables por los valores dados.
1. a=5 , b= 2 3. a=-6 , b= 9 2. a=-3 , b=-6 4. a=3/8 , b= 1/4
LENGUAJE HABITUAL
Como quedaría en palabras esta regla: a3 3a2b 3ab2 b3
NIVEL DE SUPERACIÓN DE ERRORES Y DIFICULTADES
A continuación se hace un listado teniendo en cuenta los errores más frecuentes que presentan los estudiantes de grado 8º, Tomando como referencia la clasificación del El proyecto SESM (Strategies and Errors in Secondary Mathematics) (Booth, 1984), se analizó el nivel de superación de los errores después de aplicada la propuesta de enseñanza.
Error 1: Se le dificulta evaluar o remplazar una letra por un valor específico en una expresión algebraica.
Error 2: Cometen errores de cancelación.
Error 3: Manejo inadecuado de las cuatro operaciones fundamentales y leyes de los signos al aplicar la propiedad distributiva.
Error 4: Cometen errores debido al mal uso de recíprocos ya que se les dificulta identificar términos semejantes.
Diagrama de barras contraste entre los resultados obtenidos en la fase diagnóstica y la fase del curso de apoyo.
Los resultados observados al finalizar el curso de apoyo corresponden a la aplicación de una prueba final teniendo el plan de prueba presentado
0 5 10 15 20 25
Mal uso de reciprocos Mal uso de la propiedad …
Cancelación Naturaleza y significado de …
Nº DE ESTUDIANTES
ER
R
ORE
S
M
Á
S FR
ECUE
N
TE
S
COMPARACIÓN ERRORES ANTES Y DESPÚES DEL CURSO
Diagnóstico
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En la gráfica podemos observar que en gran manera se colaboró en la superación de los errores que se presentaron en la fase diagnóstica.
Se presenta la perspectiva de los estudiantes según los resultados de una encuesta que fue diseñada y aplicada para tal fin.
ÍTEM 1 ¿sintió que aclaró, comprendió los conceptos y procedimientos matemáticos vistos?
ÍTEM 2 ¿la dinámica del trabajo contribuyó para aclarar sus dudas en los diferentes temas?
El gráfico muestra los resultados de la evaluación por parte de los estudiantes de la autoevaluación con respecto al curso los resultados fueron positivos, los estudiantes en su gran mayoría comprendieron, aclararon conceptos y procedimientos de las operaciones con polinomios y productos notables y la dinámica de desarrollo de estos temas fue de gran aceptación por parte de los estudiantes.
CONCLUSIÓN
De acuerdo con el análisis realizado el curso ayudó a superar algunos errores y dificultades que manifestaban los estudiantes en el diagnóstico y aportó la comprensión significativa de las operaciones con polinomios y productos notables.
La implementación de secuencias de enseñanza diseñadas desde la teoría de la didáctica de las matemáticas resulta novedosa para los estudiantes, desencadenan aprendizajes significativos y actitudes positivas hacia las matemáticas como la motivación, interés y seguridad para construir su propio aprendizaje. Es importante ofrecer cursos de esta naturaleza ya que los estudiantes ven la aplicabilidad de los conocimientos aprendidos en su formación académica y personal.
La práctica pedagógica e investigativa es significativa para el futuro docente ya que le permite hacer una autoevaluación de su proceso de formación pedagógica y analizar las fortalezas y debilidades que se presentaron durante este proceso y así tener un precedente para superar las debilidades que se le puedan presentar más adelante en su quehacer docente.
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NTE
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AUTOEVALUACIÓN
ITEM 1
10 Escuela de Matemáticas y Estadística UPTC Duitama Septiembre de 2009 BIBLIOGRAFÍA
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