Talleres

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Número 1, Vol. 1 Junio - diciembre de 2015 ISSN 2500-5251 (En línea) http://ojs.asocolme.org/index.php/RECME 708

Conocimiento matemático para la enseñanza ... 710

Descubre que no todos los problemas de probabilidad son

iguales ... 715

Una contribución para la competencia matemática de los

estudiantes ... 721

Un mundo sin fronteras: aplicación del teorema de los cuatro

colores en técnicas de conteo usando el programa Teocolor en

población no oyente ... 727

Una secuencia didáctica en el paso de las razones

trigonométricas a funciones trigonométricas: El caso de la

función seno ... 732

Introducción a la geometría 3D con GeoGebra 5.0 ... 738

Taller para el desarrollo del pensamiento lógico geométrico

espacial mediante actividades ... 743

Un acercamiento a nuevas formas de pensar intentando

dominar conjuntos de relaciones numéricas diferentes, en un

aula inclusiva ... 748

Tangram: Material didáctico que contribuye al desarrollo de

habilidades de pensamiento espacial en la escuela ... 753

Diseño de sitios web matemáticos con HTML5, CSS3 y

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0

Una aproximación a π con el método de Montecarlo

mediante el software R: una propuesta para ser llevada al

aula de clase ... 763

Aportes del calendario matemático para el desarrollo y/o

fortalecimiento de competencias matemáticas ... 767

Cabri Elem como medio adidáctico para la enseñanza de la

homotecia ... 772

Invención de problemas matemáticos de enunciado verbal

(IPMEV) ... 775

Formas de significación cultural de la multiplicación desde la

Teoría de la Objetivación ... 781

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Conocimiento matemático para la enseñanza

HILDUARA VELÁSQUEZ ECHAVARRÍA

[email protected] Universidad de Antioquia (Profesora)

JOSÉ WILDE CISNEROS

[email protected] Universidad de Antioquia (Profesor)

WALTER FERNANDO CASTRO GORDILLO

[email protected] Universidad de Antioquia (Profesor)

Resumen. Este taller discute sobre el desarrollo práctico del conocimiento matemático para la enseñanza, en tanto que debe ser aprendido por los maestros en formación y usado en el aula por los maestros activos. Se basa en la propuesta de Shulman (1987) y de Ball et al., (2005) para analizar diversas dimensiones del conocimiento del maestro que se requieren para describir, explicar y valorar el avance de los procesos de enseñanza y aprendizaje. Las actividades del taller están orientadas a diferenciar el conocimiento común del contenido del conocimiento especializado.

Palabras clave: Conocimiento pedagógico del contenido, conocimiento matemático, conocimiento común del contenido.

1. Marco teórico

El Conocimiento Pedagógico del Contenido (PCK), propuesto por Shulman (1987), ha servido de referencia para otros trabajos de investigación como los de Ball (2000); Ball, Lubienski y Mewborn (2001), quienes han estudiado el proceso de enseñanza en las aulas de matemáticas, y han introducido la noción de “conocimiento matemático para la enseñanza” (MKT)1

. Hill, Ball, y Schilling (2008) definen el conocimiento matemático para la enseñanza como “el conocimiento matemático que utiliza el profesor en el aula para producir instrucción y desarrollo en el alumno” (p. 374). Este conocimiento que caracteriza al maestro que enseña matemáticas, “Tal conocimiento no es algo que tendría un matemático como virtud por haber estudiado matemáticas avanzadas…más bien es un conocimiento especial para la enseñanza de las matemáticas” (Ball et al., 2001, p. 448). Los últimos autores clasifican el conocimiento del maestro de matemáticas en dos grandes grupos: el conocimiento del contenido y el conocimiento pedagógico del contenido. En el

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primer grupo se incluye: el Conocimiento Común del Contenido2_{(CCK), el Conocimiento}

Especializado del Contenido (SCK), y Conocimiento en el Horizonte Matemático (HCK). Para el conocimiento pedagógico del contenido, se incluyen el Conocimiento del Contenido y los Estudiantes (KCS), Conocimiento del Contenido y la Enseñanza (KCT), y Conocimiento del Currículo (Delaney, Ball, Hill, Schilling, y Zopf, 2008).

En ésta categorización del conocimiento del maestro de matemáticas llama la atención la distinción entre el Conocimiento Común del Contenido (CCK) y el Conocimiento Especializado del Contenido (SCK); el primero se refiere a los conocimientos requeridos para resolver problemas matemáticos, que un matemático, un ingeniero o un sujeto con alguna preparación en matemáticas, podría resolver; el segundo se refiere al conocimiento del maestro que lo faculta para enseñar y para orientar la resolución de problemas matemáticos; este incluye: un ordenamiento de las secuencias con las cuales podrían desarrollarse los diferentes aspectos de un contenido específico, el conocimiento de los errores y dificultades comunes de los estudiantes, las concepciones erróneas, las estrategias utilizadas, ser capaz de valorar la comprensión del alumno y saber cómo evoluciona tal comprensión.

2. Descripción de las actividades

Las actividades se desarrollan en tres momentos; en el primero se presentan dos situaciones, cuyo análisis y solución ponen en juego el conocimiento matemático para la enseñanza, allí se establece una diferencia entre el Conocimiento Común del Contenido (CCK) y el Conocimiento Especializado del Contenido (SCK); en el segundo momento, se proponen dos situaciones para que los asistentes reflexionen sobre el conocimiento del contenido y los conocimientos de los estudiantes; durante el tercer momento los asistentes proponen situaciones sobre temas específicos. Estas situaciones se discuten y analizan con los participantes.

Primer momento

Situación 1.¿Cuál de estas situaciones considera más adecuada para la introducción del concepto de combinación? Proponga un argumento para cada una.

a) Un jugador de ajedrez tiene las opciones de capturar las piezas A, B, C y D (figura 1), si L representa el cuadrado donde se encuentra el caballo, representa los posibles movimientos que realizaría el jugador.

2

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Figura 1

b) Se tienen tres tarros de pintura con los colores que muestra la Figura 2. Se desea elaborar una mezcla para obtener el color violeta. ¿De cuántas maneras diferentes puede obtenerse dicho color?

Figura 2

c) Para la elección de personero y contralor estudiantil se presentan los siguientes candidatos: tres de grado 11A, dos de grado 11B y tres de grado 11C ¿de cuántas formas es posible elegir la pareja de un mismo grado y cómo las representaría? Situación 2.A los estudiantes se les ha explicado la propiedad uniforme de las ecuaciones: si a un miembro de una ecuación o igualdad se le suma una determinada cantidad, al otro miembro o igualdad de la ecuación se le debe sumar la misma cantidad para que la ecuación se conserve.

Un niño le explica a su compañero que no logró entender la propiedad: Tú sabes que:

3 9 =

6 18

De acuerdo a la propiedad uniforme le suma 1 a cada numerador y se obtiene que: 4+1

9 = 7+1

18

Ante esto, el otro niño le responde “entonces te faltó sumarle 1 a cada denominador” así: 4+1

10+1 = 7+1 19+1

¿Cómo explicaría a los niños que el procedimiento es incorrecto?

¿Cómo haría para que el error se convierta en una estrategia de aprendizaje?

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Número 1, Vol. 1 Junio - diciembre de 2015 ISSN 2500-5251 (En línea) http://ojs.asocolme.org/index.php/RECME 713 Segundo momento

Situación 1. Un estudiante va de casa a la escuela en 30 minutos y su hermano tarda 40 minutos. El hermano sale 6 minutos antes. ¿A los cuántos minutos alcanzará a su hermano? ¿Qué conocimiento matemático para la enseñanza (didáctico) del contenido necesita tener el maestro para proponer esta situación?

¿Qué conocimiento matemático debe tener el maestro para resolver esta situación? ¿Cuáles son los conocimientos que debe tener el estudiante para resolver la situación? Situación 2. Se proponen los siguientes algoritmos3_{para realizar una sustracción de dos}

números:

4256- 4256- 4256- 989 989 989 ______ _______ _______ 3267 -3 11 -30 1000 -700 2256 4000 ______ _______ 3267 3267

¿Qué conocimientos matemáticos, habilidades y “sensibilidades” son necesarios para gestionar estas tareas?

¿Qué razones darías para justificar cada procedimiento?

¿Qué forma considera más eficaz para representar el significado de la sustracción?

Tercer momento

Diseño de situaciones para la enseñanza de conceptos matemáticos específicos propuestos por los participantes. Los temas que se proponen son:

a) Relaciones de orden entre números fraccionarios. b) Las funciones y sus representaciones.

c) Ecuaciones e inecuaciones. d) Las variables y sus usos.

3

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3. Conclusiones

Los niños pueden manifestar dificultades en el aprendizaje, debido a la complejidad del conocimiento matemático, a las creencias epistemológicas de los maestros y al diseño de actividades de aprendizaje. Por ello es clave el concepto de “conocimiento matemático para la enseñanza”.

Se requiere generar procesos de transformación de las prácticas en la escuela, lo cual requiere de un análisis e innovación en el currículo de formación de maestros, por tanto se debe diseñar cursos de formación continuada de maestros, donde se reflexione sobre los conocimientos que se requieren para asumir el proceso de enseñanza y aprendizaje de las matemáticas.

El análisis del conocimiento para la enseñanza de las matemáticas, contribuye a la implementación de normas y políticas educativas, que podrían ayudar a mejorar el proceso de formación matemática de los niños.

Referencias bibliográficas

 Ball, D., Lubienski, S., y Mewborn, D. (2001). The unsolved problems of teachers’ mathematical knowledge. Research on teaching mathematics, Handbook of research on teaching, (4th ed), pp. 433–456.

 Ball, D., Hill, H., y Bass, H. (2005). Knowing mathematics for teaching: ¿Who know mathematics well enough to teach third grade, and how can we decide? American Educator, 29(1), pp. 14-17, 20-22, 43-46.

 Ball, D, Hoover, M., y Phelps, T. (2008).Content Knowledge for Teaching: What Makes It Special? Journal of Teacher Education 2008; 59; 389. DOI: 0.1177/0022487108324554.

 Delaney, S., Ball. D., Hill, H., Schilling. S., y Zopf, D.(2008). "Mathematical knowledge for teaching" Adapting U.S. measure for use in Ireland. Journal of Mathematics Teacher Education, 11 (3), pp. 171-197.

 Hill, H., Ball, D., & Schilling, S. (2008). Unpacking “pedagogical content knowledge”: Conceptualizing and measuring teachers’ topic-specific knowledge of students. Journal for Research in Mathematics Education, 39(4), p. 372-400.

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Descubre que no todos los problemas de

probabilidad son iguales

GLADYS MEJÍA OSORIO

[email protected]

LADY YAMILE SIERRA BLANCO

[email protected]

FELIPE FERNÁNDEZ HERNÁNDEZ

fjfernandez@pedagógica.edu.co Universidad Pedagógica Nacional (Docente)

Resumen. En este taller se pretende dar a conocer algunos resultados de cómo el contexto y la estructura en que se presentan los datos de un problema de probabilidad condicional ternario de nivel 1, genera diferentes efectos en la búsqueda de estrategias de solución por parte del resolutor. Para evidenciar los efectos que genera el contexto en el proceso de resolución de problemas se aplicara a los asistentes del taller algunas actividades que hacen parte de un experimento de enseñanza (conformado por tres tareas cada una con tres problemas), en el cual se enfatiza en los problemas ternarios de probabilidad condicional de nivel 1, categoría tres, en los tres subtipos que son expuestos en el marco de teórico de este documento, experimento que fue aplicado a estudiantes de grado undécimo. Para la presentación del enunciado del problema se decidió expresar los datos en tres contextos diferentes: social, de industria y de diagnóstico. Por otro lado, se controlaron variables como la naturaleza de los datos y la estructura del enunciado del problema; en particular, los datos se dieron en cantidades absolutas en un solo nivel. Las tareas del experimento de enseñanza realizado se entregarán a los participantes del taller con quienes se llevará a cabo un trabajo similar al desarrollado con los estudiantes.

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1. Introducción

Aunque en la escuela no dé mucha importancia al estudio de la probabilidad y especialmente a la probabilidad condicional; se encuentran estudios relacionados con el tema, por ejemplo, Yañez (2001), da a conocer una clasificación de los problemas de probabilidad condicional; luego, en Lonjedo (2008), se mencionan aspectos relacionados con la estructura de dichos problemas, que pueden tener incidencia en el actuar de los estudiantes al darles solución. Por ello, al tener en cuenta la importancia de la probabilidad condicional y las investigaciones en relación al tema, se consideró pertinente llevar a cabo una investigación relacionada con el contexto de los problemas de probabilidad condicional puesto que se constituye en una variable de tarea que puede sugerir variación en el proceder de los estudiantes.

En este taller, se presenta un estudio realizado en el marco de propuestas sugeridas por la línea de educación estadística1 a partir de los resultados de un experimento de enseñanza aplicado a un grupo de 36 estudiantes de grado once de un colegio privado de la ciudad de Bogotá, durante el año 2012. La investigación que se reporta surge como resultado del trabajo de grado presentado al programa de Maestría en Docencia de la Matemática ofrecido por la Universidad Pedagógica Nacional y se basa en dar cuenta de la influencia que tiene el contexto (caracterizado como social, industria y diagnóstico) en que se formulan los problemas de probabilidad condicional, en relación con la estructura del enunciado verbal y la presentación de los datos. Como se verá, pese a que las condiciones del problema sean similares, se identifica que el contexto y la estructura inciden en la actuación de los estudiantes.

2. Marco teórico

En el marco de referencia de este trabajo, se hace necesario puntualizar en la concepción que han realizado algunos investigadores de educación matemática, sobre el contexto en el que se formulan los enunciados de probabilidad condicional, así como la estructura de los problemas. En el caso puntual del concepto de contexto, se han tenido en cuenta dos fuentes, por un lado la revisión de textos escolares para identificar la manera como se establecen los contextos relativos a la probabilidad condicional y por otra parte, la postura de algunos autores como Valero (2002) y Font (2007), quienes han dado pautas para

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conceptualizar el contexto en que se formulan enunciados de problemas de matemáticas escolares.

En relación al análisis de los textos escolares, encontramos que los problemas que allí se presentan, se destacan por relacionar en sus enunciados situaciones que aluden a procesos industriales de control de calidad, eventos sociales como sondeos de opinión sobre deportes o política, asuntos de medicina como la efectividad de un medicamento y otros afines a los ya mencionados. Para nuestro estudio, la variable principal la constituyó el contexto, debido a que los problemas eran enunciados verbales con datos en lenguaje natural, sin presentación de gráficos o tablas.

Con respecto a los planteamientos realizados por Valero y Font, se considera el contexto como aquella situación particular en la que los problemas de probabilidad condicional están formulados, es decir, el conjunto de escenarios o hechos fenomenológicos en que se enmarca el enunciado de los problemas. En este orden de ideas, los fenómenos trabajados en la investigación se decide rotularlos como de carácter social, de industria o diagnóstico. A continuación se amplían los puntos de referencia que abarcan estos tres contextos en los enunciados de los problemas.

Contexto social. En el caso puntual del experimento de enseñanza desarrollado en la investigación, los problemas que se enmarcan en este contexto, tienen como objeto aquellos fenómenos de sondeos de opinión , es decir, aquellas situaciones destinadas a conocer la opinión pública o estudios de una población específica, así como los reportes que se pueden presentar de las características demográficas y sociales de una determinada población.

Contexto de industria. Los problemas de probabilidad condicional que se enmarcan en un contexto de industria, hacen referencia a la producción de un determinado producto o artículo y si éste se elaboró de manera adecuada o defectuosa. También relaciona la obtención de productos por parte de proveedores y los mecanismos de acción, herramientas que son empleadas para detectar la presencia de errores, así como, la elección que puede realizar una persona al adquirir un determinado producto.

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En cuanto a la estructura de los problemas de probabilidad condicional, se ha tenido en cuenta la clasificación realizada por Yañez (2001) y luego Lonjedo (2009), en su tesis doctoral hace uso de esta clasificación y organiza los problemas en tipos y categorías relacionando datos del enunciado y pregunta, la clasificación en subtipos se consolida a medida que se lleva a cabo la investigación. A continuación se explica un poco lo que se considera como nivel, categoría y tipo.

Nivel. El nivel está determinado por el número de probabilidades condicionales presentes en el texto del problema o de los datos interpretables como probabilidades condicionales.

Nivel 1, cero probabilidades en el enunciado del problema; Nivel 2, una probabilidad en el enunciado del problema; Nivel 3, dos probabilidades condicionales en el enunciado del problema; Nivel 4, tres probabilidades condicionales en el enunciado del problema.

Categoría. Hace referencia al número de probabilidades marginales presentes en el enunciado. Categoría 1, hace referencia a enunciado verbal en el cual los datos no presentan ninguna probabilidad de la marginal; Categoría 2, refiere aquellos enunciados verbales en el cual los datos presentan una probabilidad de la marginal. Categoría 3, refiere a aquellos enunciados verbales en el que el enunciado del problema presenta dos probabilidades de la marginal.

Tipo. Está determinado por la pregunta del problema. Tipo 1, cuando se pregunta por una probabilidad condicional; Tipo 2, cuando se pregunta por una probabilidad marginal; Tipo 3, cuando se pregunta por una probabilidad de la intersección.

3. Metodología del taller

El taller que se llevará a cabo tendrá como objetivo hacer que los asistentes puedan participar en el desarrollo de las tareas que se propondrán, de la misma manera como participaron los estudiantes al llevar a cabo el experimento de enseñanza. Tal desarrollo se hará en dos momentos.

Primer momento: se propone a los participantes realizar grupos de tres o cuatro personas y solucionar tres problemas de tres contextos distintos pero con la misma estructura, después de solucionarlos se llevará a cabo una discusión, donde se destacarán las estrategias utilizadas y la manera como se llega a la solución de las situaciones.

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4. Conclusiones

Frente a la influencia de la estructura que presentan los problemas de probabilidad condicional de enunciado verbal, cuando los estudiantes los resuelven, se puede concluir que el subtipo que presenta mayor grado de complejidad para los estudiantes es el que hemos denominado sub tipo 0. Este subtipo de problema no relaciona ninguno de los datos directamente con la pregunta, aspecto que conlleva a realizar un análisis más detallado de los datos y a buscar estrategias de solución. En las soluciones de estos problemas es relevante la organización de los datos en tablas de doble entrada, el uso de representaciones gráficas y la utilización de varias operaciones aritméticas para llegar a la solución.

Por otra parte, los problemas del subtipo dos se consideran como los de menor complejidad. Ello se debe a que en las soluciones de los estudiantes se evidencia que se recurre a realizar menos operaciones aritméticas, suele no ser necesario la elaboración de tablas de doble entrada o de representaciones gráficas, pues los estudiantes pueden extraer directamente los datos que necesitan para encontrar la solución y responder la pregunta del problema. En relación al contexto, se llevó a cabo un análisis comparativo de los contextos en cada subtipo de problemas y se encontraba que siempre el número de estudiantes que resolvía de manera exitosa los problemas del contexto diagnóstico en relación a los demás contextos era menor. De ello se concluye que el contexto que presenta mayor complejidad para los estudiantes es el de diagnóstico, independientemente de la complejidad de la estructura. Así mismo, el contexto de menor complejidad llegó a ser el de industria, resultado un poco inesperado debido a que se creía inicialmente que el contexto social era el menos complejo. Respecto al éxito de los estudiantes al resolver problemas, con base en los análisis de resultados, se evidencia que el contexto jugó un papel importante en sus actuaciones; cuando ellos resuelven un problema en el contexto de industria el índice de éxito aumenta considerablemente y cuando los estudiantes resuelven un problema formulado en un contexto de diagnóstico el índice de éxito disminuye considerablemente, situación que se presenta en los tres subtipos.

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Referencias bibliográficas

 Carles, M y Huerta, P. (2007). El mundo de los problemas de probabilidad condicional en el contexto de test diagnóstico. p. 249-260.

 Font, V. (2007). Comprensión y contexto: una mirada desde la didáctica de las matemáticas. La gaceta de la RSME, Vol. 10.2. P. 419–434.

 Huerta, M y Lonjedo, M.A., (2009). Una clasificación de los problemas escolares de probabilidad condicional. Departamento de Didáctica de la Matemática. Universidad de Valencia.

 Lonjedo, M. (2008). Análisis de los problemas ternarios de probabilidad condicional de enunciado verbal y de sus procesos de resolución(tesis doctoral).Universidad de Valencia.

 Valero, P. (2002). Consideraciones sobre el contexto y la educación matemática para la democracia. Quadrante, 11(1), 49-59.

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Una contribución para la competencia

matemática de los estudiantes

CARMEN SAMPER

[email protected] Universidad Pedagógica Nacional (Docente)

TANIA PLAZAS

[email protected] Universidad Pedagógica Nacional (Docente)

Resumen. Generalmente, en la enseñanza escolar no se fomenta deliberadamente el desarrollo de algunos procesos propios de las ciencias, como lo son visualizar, conceptualizar y conjeturar. En este taller, los participantes resolverán un problema geométrico abierto de conjeturación, para cuya solución se requerirá el uso de estos procesos. Se presentarán diferentes tareas que ilustran cómo propiciar el desarrollo de la habilidad para realizar estos procesos, los cuales contribuyen a que los estudiantes participen en la clase de matemáticas de manera genuina, relevante y autónoma, es decir con competencia matemática. El fin es proveer ejemplos que el profesor podrá emular.

Palabras clave: Visualizar, conceptualizar, conjeturar, competencia matemática, problemas.

1. Presentación

Tres procesos matemáticos que son importantes en la formación de una persona, y que tal vez no reciben la atención adecuada en el aula, para que los estudiantes adquieran la capacidad de realizarlos son: visualizar, conceptualizar y conjeturar. Entendiendo competencia matemática como ser capaz de resolver problemas, comprender conceptos, procesos y hechos matemáticos, argumentar con base en el saber matemático y no desde creencias, usar el conocimiento para establecer relaciones, entre otras cosas, cualquier aptitud que contribuya a esto es importante.

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sentido que los estudiantes exploren situaciones matemáticas para “descubrir” propiedades y formular conjeturas, pues lo que proponen ya son hechos matemáticos conocidos. En desacuerdo con cada una de las posturas mencionadas anteriormente, proponemos tareas que ilustran cómo propiciar la habilidad para realizar estos procesos en clase y cómo estos contribuyen para el aprendizaje de la matemática y el desarrollo de competencia matemática.

2. Marco teórico

Visualización

No se puede considerar la visualización como simplemente una ayuda para aprender; se debe reconocer como una herramienta real para el aprendizaje pues es un componente clave para: la resolución de problemas, el razonamiento que favorece conexiones teóricas con lo perceptual, y aún para actividades de índole teórico como la demostración (Arcavi, 2003). Dado que la matemática hace uso de diagramas, figuras, representaciones, íconos, símbolos para comunicar y organizar información, es indiscutible que la capacidad de procesar visualmente, percibir y manipular esas imágenes visuales es esencial para el aprendizaje. La definición que propone Arcavi (p. 217, 2003) de visualización es la siguiente: La visualización es la habilidad, el proceso y el producto, en nuestra mente, de la creación, interpretación, uso de y reflexión sobre retratos, imágenes, diagramas en papel o con herramientas tecnológicas, con el propósito de representar y comunicar información, pensar sobre y desarrollar ideas previamente desconocidas y avanzar en la comprensión.1

Es innegable que para que la visualización sea elemento incisivo en el aprendizaje es necesario realizar procesos analíticos profundos, capacidad que se debe desarrollar. Según Bishop (1980), la habilidad para visualizar implica tener la capacidad de: (i) interpretar información figural que requiere comprender representaciones visuales, convenciones y el vocabulario asociado y (ii) traducir relaciones abstractas e información que no ha sido dada a través de figuras a términos visuales; incluye la manipulación y transformación de representaciones visuales. Gal y Linchevski (2010) proponen tres fases de la visualización, basados en ideas de Anderson (citado en Gal y Linchevski, 2010): (i) organización que consiste en el momento en que se extraen formas y objetos de la imagen presentada; (ii) reconocimiento o fase en la cual las formas y objetos se reconocen; y (iii) representación o procesamiento mental de información perceptual.

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Por otro lado, Duval (en Gal y Linchevski, 2010) asegura que si no se realiza aprehensión operativa de figuras, es decir, visualmente hacer reorganizaciones relevantes de las figuras de acuerdo al contexto de una situación dada, se evidencian dificultades para entender conceptos matemáticos tanto básicos como avanzados.

Conceptualización

Por otro lado, los estudiantes deben ir adquiriendo un lenguaje que les permita comunicar ideas geométricas de manera correcta y clara. Adquirir el lenguaje geométrico no es solo aprenderse el vocabulario correspondiente sino comenzar a formar los conceptos que cada término representa.

En matemáticas, definir es asignarle un nombre a un conjunto de propiedades. Pero aun cuando las palabras denotan los conceptos, no los conforman. Así como un niño forma sus primeros conceptos basándose en referentes concretos que son objetos y hechos perceptibles y familiares, parte del proceso de conceptualización es ofrecerles a los estudiantes imágenes y hechos perceptibles relacionados con el concepto. Según Vergnaud (1990, citado en Douek y Scali, 2000), el concepto adquiere significado a través de situaciones en las que se usa ya sean estas teóricas o prácticas. Para él, un concepto consta de un sistema de tres conjuntos: (i) situaciones que le dan sentido al concepto (referencia); (ii) invariantes que hacen posible desarrollar esquemas de uso (significado), y (iii) representaciones lingüísticas o simbólicas (significante). Muchos conceptos se adquieren sin conocer la definición y, como indica Vinner (1991), no es principalmente conociendo la definición que este se forma. Para Douek y Scali (2000), la conceptualización es un proceso complejo que consiste en la construcción del sistema del concepto y la construcción consciente de vínculos del concepto en cuestión con otros.

El nombre del concepto debe evocar la imagen conceptual de este, término que Vinner (1991) define como algo no verbal que asociamos mentalmente con el nombre, ya sea una imagen o el recuerdo de una experiencia relacionada con el concepto. En matemáticas, desarrollar una buena imagen conceptual es indispensable y en ese proceso la definición juega un papel importante pero no es el único elemento que contribuye; se requieren ejemplos y no ejemplos, y diferentes representaciones (significante).

Conjeturación

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teoremas, que van conformando un sistema teórico. Una conjetura es una triada compuesta de una afirmación de carácter general, expresada como una condicional, cuyo antecedente reporta las propiedades suficientes para que las propiedades que se mencionan en el consecuente se deriven de ellas, junto con argumentos basados en un sistema de concepciones (Pedemonte, 2007). La conjetura puede convertirse en un teorema, es decir, un enunciado junto con su demostración (argumentos deductivos encadenados) y el sistema teórico que lo sustenta (Mariotti et al., 1997).

El uso de un software de geometría dinámica permite realizar representaciones robustas de situaciones geométricas, es decir figuras que mantienen bajo el arrastre todas las propiedades que se impusieron durante su construcción, al usar las diferentes herramientas de la geometría dinámica (v.g., recta, punto sobre objeto, rectas o segmentos perpendiculares o paralelos, equidistancia, etc.). Además, la geometría dinámica permite arrastrar directamente alguno de los objetos que conforman las figuras, con el fin de explorar la situación, y el movimiento indirecto de otras partes de ellas muestra que existen dependencias entre las partes que componen las figuras (Mariotti, 2012). Particularmente, arrastrar un elemento específico de una figura para que se cumpla alguna relación determinada entre partes de esta, origina el movimiento de otras partes de ella que adquieren o mantienen una propiedad específica. Esta depende entonces de la construcción misma de la figura y de las condiciones impuestas con el arrastre. Descubrir estas dependencias debe llevar a formular la conjetura y, más aún, querer buscar su justificación.

Competencia matemática

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3. Descripción de las actividades

A partir de un problema propuesto a los participantes del taller, se identificarán los momentos en que es necesario visualizar matemáticamente y conceptualizar para formular una conjetura que será la solución al problema, si esta se puede justificar. Se hará un paréntesis en cada uno de esos momentos para presentar ejemplos de tareas con las cuales, en un curso de formación inicial de profesores, se fomenta el desarrollo de las habilidades para realizar los procesos. El uso de un software de geometría dinámica permitirá proponer tareas novedosas.

Un ejemplo de problema que permite identificar momentos en los cuales juega un papel importante cada uno de estos procesos es: Estudie la relación entre el tipo de triángulo y la propiedad “la bisectriz de uno de los ángulos internos coincide con la mediana cuyo extremo es el vértice del mismo ángulo” formule una conjetura y justifíquela.

4. Conclusiones

Existen diferentes tareas que propician el desarrollo de la habilidad para realizar los procesos matemáticos: visualizar, conceptualizar y conjeturar. Tareas como las propuestas en el taller permiten que el estudiante sea partícipe de actividades matemáticas, de manera genuina, autónoma y relevante, lo cual favorece el aprendizaje.

Este tipo de tareas contribuyen a que los estudiantes ganen en la comprensión de los asuntos matemáticos que subyacen en ellas, porque se están favoreciendo estos procesos que permiten un tratamiento más detallado del asunto. Esto se logra con el uso de la geometría dinámica pues apoya a que se genere un ambiente de indagación, comunicación y justificación, siendo por ello un instrumento que media en el aprendizaje.

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Referencias bibliográficas

 Arcavi, A. (2003). The role of visual representations in the learning of mathematics. Educational Studies in Mathematics. 52: 215-241. Kluwer Academic Publishers. Netherlands.

 Bishop, A.J. (2008). Spatial abilities and mathematics education - a review.En P. Clarckson y N. Presmeg(Ed.) Critical Issues in Mathematics Education. (p. 71-81). Springer US.

 Douek, N., &Scali, E. (2000). About Argumentation and Conceptualization. En Proceedings of PME-XXIV (Vol. 2, pp. 249-256). Hiroshima.

 Gal, H. y Linchevski, L. (2010). To see or not to see: analyzing difficulties in geometry from the perspective of visual perception. Educational Studies in Mathematics. 74:163–183. Springer.

 Mariotti, M. A., Bartolini Bussi, M. G., Boero, P., Ferri, F., & Garuti, M. R. (1997). Approaching Geometry theorems in contexts: from history and epistemology to cognition. Proceeding of the international group for the psychology of mathematics education PME-21, vol. 1, (pp. 180–195). Lahti, Finland.

 Mariotti, M.A. (2012). Proving and proof as an educational task. En , M. Pytlak, T. Rowland, and E. Swoboda (eds) Proceedings of CERME 7, pp. 61- 89. University of Rzeszów, Poland.

 Pedemonte, B. (2007). How can the relationship between argumentation and proof be analysed? Educ Stud Math (2007) 66:23–41. Springer.

 Perry, P., Samper, C., Camargo, L. y Molina, Ó. (2013). Innovación en un aula de geometría de nivel universitario en Samper, C. y Molina, Ó. Geometría Plana: un espacio de aprendizaje. Universidad Pedagógica Nacional.

 Rico, L., (2006). La competencia matemática en PISA. PNA, vol. 1 (2), (p. 47-66).

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Un mundo sin fronteras: aplicación del teorema

de los cuatro colores en técnicas de conteo

usando el programa Teocolor

en población no oyente

MARLEN MILENA CASTIBLANCO CASTIBLANCO

[email protected] Universidad de Cundinamarca (Estudiante)

LAURA IBETT SIERRA

SAYE LORENA PERALTA RODRÍGUEZ

SAMUEL RICARDO PADILLA

Universidad de Cundinamarca (Docente-Tutor)

Resumen. La educación es para todos sin importar su raza, cultura o condición, se ha querido implementar una propuesta de enseñanza en las matemáticas para las personas no oyentes. En esta población el aprendizaje significativo se genera principalmente de manera visual. Se ha diseñado un programa en HTML5 llamado” Teocolor” que integra la idea acerca de la aplicación del teorema de los cuatro colores y teoría de grafos, en técnicas de conteo (permutaciones y combinaciones), donde se trabajará el pensamiento lógico, funcional y variacional.

Palabras clave: Inclusión, población no oyente, TIC`s, aprendizaje significativo, técnicas de conteo, HTML5.

1. Presentación

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nivel económico-social. En el caso específico, la población no oyente en muchos casos es excluida por su limitación auditiva, o en su defecto, a la hora de impartir su educación, se carece de herramientas suficientes o de fácil acceso por parte de los docentes, para poder brindarles una educación incluyente y de calidad.

A partir de esto, y con la firme idea de buscar una opción nueva y eficaz en cuanto a la metodología de enseñanza y aprendizaje de la matemática para la población no oyente, se crea esta propuesta, con el fin de mostrar innovaciones tecnológicas y de fácil acceso, que permitan además de hacer un buen uso de ellas, generar y potenciar habilidades desde las capacidades de esta población en específico.

Como parte del desarrollo de esta propuesta, se dará un vistazo a algunos de los aspectos más importantes, que se deben tener en cuenta a la hora de abordar un método de enseñanza como el que se quiere aplicar. De este modo, se iniciará por describir cómo se trabaja el aprendizaje significativo en personas no oyentes, y de qué manera se integran las TIC en este proceso. Por ello se muestra un modelo de enseñanza en el cual se hace uso de TEOCOLOR, una herramienta tecnológica y didáctica diseñada previamente, para la ejecución de este proyecto, utilizando HTML5, CSS3 y JavaScript, creada especialmente para que las personas no oyentes puedan interactuar, y aprender técnicas de conteo (permutaciones y combinaciones) a partir de coloración de mapas. Esta herramienta integra nociones acerca de teoría de grafos, coloración de grafos y el teorema de los cuatro colores.

2. Marco teórico

Este programa llamado TEOCOLOR, es un sitio web que permite, a través de un juego la implementación que favorece el proceso enseñanza-aprendizaje, el uso de materiales, instrumentos y estrategias que dinamicen la teoría y la práctica dentro de las aulas en el campo de las matemáticas, más exactamente en la técnica de conteo (permutación y combinación), este programa está basado en la coloración de mapas con un máximo de cuatro colores, donde implícitamente se utiliza el teorema de cuatro colores, la teoría de grafos; además facilitan un aprendizaje significativo en personas no oyentes.

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programas diseñados en este lenguaje son multiplataforma: PC, notebook, tablets, dispositivos móviles, etc.

HTML5 es la última revisión del lenguaje HTML, en el cual están escritos la mayoría de sitios web en el planeta. HTML5 provee básicamente tres características: estructura, estilo y funcionalidad. Nunca fue declarado oficialmente pero, incluso cuando algunas APIs (Interface de Programación de Aplicaciones) y la especificación de CSS3 por completo no son parte del mismo, HTML5 es considerado el producto de la combinación de HTML, CSS y JavaScript. Estas tecnologías son altamente dependientes y actúan como una sola unidad organizada bajo la especificación de HTML5. HTML está a cargo de la estructura, CSS presenta esa estructura y su contenido en la pantalla y JavaScript hace el resto que es extremadamente significativo. (Gauchat, 2012). El leguaje CSS3 es un lenguaje que trabaja junto con HTML para proveer estilos visuales a los elementos del documento, como tamaño, color, fondo, bordes, entre otros. (Oros, 2011).

JavaScript “es un lenguaje de programación creado por Netscape con el objetivo de integrarse en HTML y facilitar la creación de páginas interactivas sin necesidad de utilizar Scripts de CGI o Java. Gracias a JavaScript podemos desarrollar programas que se ejecuten directamente en el navegador de manera que este pueda afectar determinadas operaciones o tomar decisiones sin necesidad de acceder al servidor”. (Oros, 2011). Retomando los dos leguajes anteriores y su unificación, permiten la utilización de HTLM5 para la creación de este TEOCOLOR.

TEOCOLOR está basado en el clásico teorema de los cuatro colores, me indica “cualquier grafo plano G puede ser coloreado con cuatro colores diferentes” (Jiménez Murillo, 2008). Para entender cómo funciona se deben tener en cuenta los conceptos: técnicas de conteo (permutación, combinación), y grafos.

Una manera exclusiva en el proceso de contar, aplicado a la matemática ocurre cuando se está interesado en verificar las distintas formas, bajo ciertas características que puede ocurrir un evento, lo anterior recibe el nombre de combinación. (Walpole, 1999); además las técnicas de conteo se habla de “permutación en un conjunto finito de elementos, se entiende como cada una de las viables distribuciones de todos los elementos de dicho conjunto e interesa el lugar que ocupa cada uno” (Walpole, 1999), es decir que cada arreglo a un si tiene los mismos elementos pero en diferente orden se contabiliza. Las combinaciones y permutaciones son utilizadas en variedad de campos como el siguiente caso:

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caso, “el problema de los cuatro colores parece una cuestión geométrica, pero se puede reformular de forma puramente combinatoria. El color de las regiones de un mapa se puede usar para colorear los vértices de un grafo planar”. (Matousek, 1998) Esto se hace a partir de la noción de coloración para un grafo, es decir, a partir del concepto de número cromático de un grafo, que es una de las generalidades combinatorias más importantes. Según los anteriores párrafos “Los métodos de conteo en computación permiten optimizar los recursos de la computadora y disminuir el tiempo de ejecución de un proceso, lo que produce una mejora en el tiempo de respuesta”, (Jiménez Murillo, 2008) de esa manera se puede realizar y facilitar la comunicación con personas no oyentes a través de un programa computacional.

La lengua de señas es la lengua natural de las personas sordas y es de carácter viso- gestual y viso-espacial, esta surge de forma natural al interior de la comunidad sorda y al no ser producida ni percibida como las lenguas orales, demanda que las estrategias para su enseñanza como segunda lengua para personas oyentes, exija adaptaciones metodológicas, de contenido y de contexto que facilite su aprendizaje, esto busca eliminar las barreras de comunicación y de acceso a la información de la población sorda, coadyuvando a su participación real y efectiva en el ámbito social, económico, político y cultural. (FENASCOL, 2014).

Así mismo, Ausubel afirma que una de las vías más prometedoras para mejorar el aprendizaje escolar, consiste en mejorar los materiales de enseñanza (Ausubel, 1978), en estos instrumentos se incluyen las TIC; ahora bien, teniendo en cuenta que esta propuesta va dirigida a la población no oyente, el aprendizaje significativo se hace más fácil, desde su percepción visual, se busca que de esta forma se potencialice el desarrollo del pensamiento lógico, funcional y variacional de la manera más natural posible.

3. Descripción de las actividades

El desarrollo de este taller está propuesto en 4 fases:

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Fase II: Interacción con el juego: cada persona que participe en la actividad tiene la posibilidad de acercarse un poco más a conocer de manera visual ,dinámica y divertida el teorema de cuatro colores a partir de la coloración de mapas, y en ello divisa algunas técnicas de conteo. Partiendo de la anterior experiencia, se da paso a la coloración de grafos, donde cada persona detalla, las diferentes formas de colorear el grafo y lo relaciona con el mapa.

Fase III: Evaluación del programa TEOCOLOR como herramienta de enseñanza-aprendizaje. Mediante una guía estructurada con 5 preguntas, que permitirán el análisis del programa y el proyecto.

4. Conclusiones

La idea de generar programas especializados en matemáticas como herramientas para que la población no oyente tenga una educación matemática diferente, acorde a sus necesidades, sin dejar de ser dinámica, entretenida o animada, ha llegado a convertirse en el motivo suficiente, para profundizar con disciplina y empeño en temas como los lenguajes de programación, las técnicas de conteo, el aprendizaje significativo, la lengua de señas colombiana, las TIC, el teorema de los cuatro colores y la teoría de grafos, a partir de un solo objetivo, que es, a grandes rasgos, generar educación de calidad.

Con la aplicación del teorema de los cuatro colores, se puede generar interés por la matemática, y por los temas actuales de matemática aplicada. Para que los estudiantes profundicen, y se den cuenta de los campos y conjeturas o problemas abiertos que ofrece la matemática y los campos tan amplios que se conocen a través de la profundización de estos.

Referencias bibliográficas

 Ausubel, D. (1978). Psicología de la Educación: Una Visión Cognitiva. Nueva York: Novack.

 FENASCOL. (10 de Abril de 2014). Federación Nacional de Sordos de Colombia. Obtenido de Federación Nacional de Sordos de Colombia: http://www.fenascol.org.co/

 Gauchat, J. D. (2012). el gran libro de HTLM5, CSS3 Y JAVASCRIP. España: Marcombo.

 Jiménez Murillo, J. (2008). Matematicas Para la Computación. México: Alfaomega Grupo Editor S.A.

 Matousek, J. (1998). Invitación a la Matemática Discreta. BARCELONA: REVERTE.

 Oros, J. C. (2011). Diseño de Páginas Web con XHTLM, JAVA SCRIPT Y CSS. México: Alfaomega Grupo Editor S.A de C.V México .

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Una secuencia didáctica en el paso de las

razones trigonométricas a funciones

trigonométricas: El caso de la función seno

ÁNGELA MARÍA GÓMEZ

[email protected] Universidad del Valle (Docente)

LUIGI ALEJANDRO LASSO

[email protected] Universidad del Valle (Estudiante)

CHRISTIAN DAVID CAMPO

[email protected] Universidad del Valle (Estudiante)

Resumen. El siguiente trabajo aborda una problemática presente en el campo de la educación matemática sobre la enseñanza y aprendizaje de las razones trigonométricas y su paso a las funciones trigonométricas, debido a que persiste la ruptura entre un concepto y otro, en el momento de su enseñanza y aprendizaje. Se busca mediante una secuencia didáctica, favorecer el paso de las razones a funciones trigonométricas. Dicha secuencia consta de dos situaciones, la primera es una situación problema que fundamenta el concepto de razón trigonométrica y la segunda propone una serie de actividades que dan coherencia a las múltiples nociones matemáticas relacionadas con la función trigonométrica. Para las actividades, se usará Geogebra como herramienta facilitadora de la aprehensión de los conceptos trabajados.

Palabras clave: Razón trigonométrica, función trigonométrica, secuencia didáctica, GeoGebra.

1. Presentación

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razón trigonométrica en la escuela es abordado desde la geometría euclidiana, una geometría que se caracteriza por ser invariante, rígida y sin transformaciones explícitas. En este sentido, es el círculo trigonométrico el que se usa frecuentemente como medio de introducción a las funciones trigonométricas en donde se pueden evidenciar el cambio entre las magnitudes del triángulo, las longitudes de arco, la equivalencia entre la medida de grados en el triángulo y la medida en radianes en el plano, entre otras. Por ello su compresión es fundamental en el andamiaje entre un concepto y otro.

Investigaciones hechas por Montiel (2004, 2005), demuestran que persiste la ruptura en el paso de la razón trigonométrica a función trigonométrica, es decir, cuando se pierde el sentido geométrico y se adquiere un carácter más funcional, esto se debe a que existe una discontinuidad entre la geometría y el álgebra de la geometría. Asimismo, Santacruz (2005) realizó una investigación en torno a los textos escolares que se trabajan en Colombia y a las concepciones que tienen los maestros sobre las funciones trigonométricas y el pensamiento variacional concluyendo que prevalece en el aula una enseñanza mecánica de dichas funciones coartando de esta manera las posibilidades de su uso como desarrollo del pensamiento variacional.

Ante este panorama, el presente trabajo girará en torno a las razones y funciones trigonométricas, sus problemas de enseñanza y aprendizaje y el diseño de una propuesta didáctica que permita la diferenciación y el paso de un concepto al otro y la importancia del desarrollo del pensamiento variacional.

2. Marco teórico

La Didáctica de la Trigonometría (Montiel, 2013) es una nueva disciplina que surge en el campo de la educación matemática por la necesidad de documentar resultados e investigaciones en torno a la problematización de la enseñanza y aprendizaje de las razones trigonométricas, las funciones trigonométricas y el tránsito de un concepto a otro. Por ejemplo, Kendal y Stacy (1998), comparan diferentes métodos como el círculo trigonométrico y el uso de los triángulos rectángulos para su extensión a las funciones trigonométricas y concluyen que éste último es donde encontraron mejores resultados, aun así se debe tener claro que en el paso de un concepto a otro es necesario los elementos que aporta el círculo unitario.

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fundamentados en teorías de aprendizaje en matemáticas. Las actividades diseñadas en este estudio utilizan los valores del círculo trigonométrico como un procedimiento geométrico donde sus coordenadas son justamente el valor de las funciones seno y coseno. Sin embargo el procedimiento para el cálculo que está detrás es nuevamente, el resultado de dividir dos segmentos de longitudes de un triángulo.

Esta inherencia entre los dos conceptos, el de razón y función trigonométrica pareciera estar involucrado en todo el proceso educativo de la trigonometría por donde quiera que se mire y resulta entonces más provechoso estudiar y analizar los resultados desde una perspectiva donde se retome y rescate tanto lo geométrico como lo variacional, es decir, ver lo trigonométrico como un conjunto de saberes que obedece a contextos, problemas y circunstancias particulares y no solo a estructuras matemáticas que dan coherencia a su presentación como objeto matemático formal.

Por ello, el diseño de las actividades de la secuencia didáctica debe abarcar todos los aspectos que sean necesarios con el único objetivo de que emerja el pensamiento funcional trigonométrico para resolver un problema en particular. Por pensamiento funcional trigonométrico (Montiel, 2013) se hace referencia a cuando el estudiante es capaz de reconocer, en un comportamiento periódico –acotado– una herramienta predictiva, es decir, una herramienta que pueda predecir el comportamiento “futuro” con base al presente y a las variaciones del pasado. La especificad de este comportamiento periódico se construye en un contexto de variación. Ello no resta importancia a las construcciones geométricas sino que por el contrario constituyen el proceso que le da origen y es entonces cuando se habla de desarrollo del pensamiento relacional-trigonométrico cuando el estudiante identifica la relación entre ángulos y cuerdas, pero sobre todo la naturaleza de dicha relación y la posibilidad de cuantificarlas.

La contextualización de las actividades didácticas en trigonometría no solo depende de la elección del tipo de herramientas (como el uso o no de la tecnología computacional) o de los materiales (manipulables o no) sino también de la elección de situaciones problema según la ubicación curricular de los contenidos y los problemas que ya se hayan resuelto con anterioridad o que en el futuro puedan ser vinculados con la trigonometría, es decir, con las intenciones o perspectivas que tiene el docente en los contenidos didácticos a trabajar.

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3. Descripción de las actividades

En la secuencia didáctica a desarrollar se presentan dos situaciones para ser desarrolladas con ayuda de GeoGebra, cada una se describirá en las siguientes tablas.

SITUACIÓN No. 1

Nombre Situación Distancia entre dos personas Número de preguntas por actividad

Número de actividades 4 Actividad 1 2

Actividad 2 3

Actividad 3 3

Actividad 4 7

Objetivo o propósito

Reconocer el patrón que emerge en un triángulo a partir de una situación problema

Descripción de la tarea

Mediante la generalización de un caso se pretende potenciar las características geométricas y variacionales en un triángulo, para ello se proponen cuatro (4) actividades en que los estudiantes deben no solo inferir sino explicar los resultados hallados. El dinamismo del programa Geogebra permite que los estudiantes puedan corroborar sus resultados para diferentes medidas tanto de ángulo como de distancia

SITUACIÓN No. 2

Nombre Situación Explorando el círculo unitario Número de preguntas por actividad

Número de actividades 4 Actividad 1 3

Actividad 2 2

Actividad 3 4

Actividad 4 5

Objetivo o propósito

Relacionar la longitud de arco con la coordenada 𝑦 del punto de referencia

Descripción de la tarea

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4. Conclusiones

En la situación No. 1 se puede evidenciar que emergió el desarrollo relacional geométrico en los estudiantes pues pudieron identificar la relación que existe entre un ángulo y un radio de la circunferencia, además de poder cuantificarlas y de establecer la forma de la relación. Dicha relación se estableció a lo largo de la Situación donde, en la última actividad, pudieron establecer el seno del ángulo como una razón entre la distancia media de los amigos y el radio de la circunferencia.

Respecto a la situación No. 2 se puede evidenciar también en los estudiantes que emergió el pensamiento funcional trigonométrico, esto porque los estudiantes fueron capaces de reconocer, en el comportamiento periódico del seno trigonométrico, una forma de predecir cómo será dicho comportamiento si se varían los parámetros. El registro en las diferentes tablas y la forma en cómo se relacionan los parámetros 𝑡, 𝑡̃, 𝑦 son evidencia de ello.

Es papel del docente y la función principal de este es guiar el aprendizaje de los estudiantes, esto se puede conseguir con acertadas intervenciones en medio del quehacer matemático, al devolver preguntas a los estudiantes, al intervenir o abstenerse de intervenir en el momento oportuno para que sean los mismos estudiantes quienes finalmente construyan los conceptos matemáticos.

La tecnología no es solución definitiva de los problemas del aprendizaje de las matemáticas, sin embargo, ella puede servir como un instrumento que facilite el análisis y la comprensión de conceptos matemáticos mediante el uso de sus diferentes sistemas de representación.

El marco teórico fue importante en el momento del diseño de las situaciones didácticas, esto porque además de mostrar las dificultades, los errores y los obstáculos didácticos que han existido a lo largo de la enseñanza de la trigonometría también vislumbra cuáles podrían ser los caminos que deben seguir los docentes para realizar trabajos en el aula de clase, con el objetivo del desarrollo de un pensamiento trigonométrico.

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Referencias bibliográficas

 Cantoral, R. Maldonado, S. & Montiel, G. (2004). Acta Latinoamericana de Matemática Educativa. Construyendo la Noción de Función Trigonométrica: Estrategias de Aprendizaje, (págs. 371-376). México, DF.

 Grabovskij, M., Kotel'nikov, P. (1971). The use of Kinematic Models in the Study of Trigonometric Functions. Dordrecht: Educational Studies in Mathematics.

 Kendal, M. & Stancy, K. (1998). Teaching Trigonometriy. Australian Mathematics Teacher. Melbourne: University of Melbourne.

 Montiel, G. (2005). Estudio Socioepistemológico de la Función Trigonométrica. México, DF: Instituto Politécnico Nacional.

 Montiel, G. (2013). Dsarrolo del Pensamiento Trigonométrico. México DF: Institu Politécnico Nacional. Montiel, G. (2005). Estudio Socioepistemológico de la Función Trigonométrica. México, DF: Instituto Politécnico Nacional. Educational Studies in Mathematics.

 Montiel, G. (2013). Desarrollo del Pensamiento Trigonométrico. México DF: Institu Politécnico Nacional.

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Introducción a la geometría

3D con GeoGebra 5.0

ANDRÉS FELIPE CARO

[email protected] Universidad Distrital Francisco José de Caldas (Estudiante)

Resumen. A partir del software GeoGebra 5.0 en su versión 3D, proponemos un taller introductorio a la geometría afín en el espacio, en el que a través del uso del software, los asistentes lograrán visualizar, representar y estudiar en un entorno tridimensional puntos, rectas, planos y sólidos de acuerdo a sus definiciones en la geometría espacial.

Palabras clave:Recursos informáticos, cálculo simbólico, geometría dinámica.

1. Presentación

Este taller fue elaborado como fruto del trabajo desarrollado a través del programa de CIEM, con el cual se muestra una matemática más dinámica a partir de GeoGebra, concretamente el uso de GeoGebra 5.0 para la simulación de problemas matemáticos en 𝑅3. Puesto que no era posible realizar construcciones geométricas en 𝑅3 con total libertad y a su limitación frente a un espacio bidimensional, la mayoría de docentes encontraba restringido su uso para trabajar la geometría espacial por medio de GeoGebra.

De acuerdo con los estándares básicos de competencias en matemáticas el uso de GeoGebra o de cualquier software que permita el estudio de comportamientos y propiedades geométricas, permite que los estudiantes en todo nivel de escolaridad puedan tener la posibilidad de construir, conjeturar y verificar los resultados de las transformaciones de figuras en los distintos planos (MEN, 2006). Por esto, es pertinente la utilización de herramientas tecnológicas en la enseñanza y aprendizaje de las matemáticas, pues como lo plantea el Ministerio de Educación “… la era tecnológica en que vivimos nos obliga a replantear la forma en que se utiliza el cálculo hoy día” (MEN, 1998), el uso de los

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2. Marco teórico

Un informe reciente de la National School Boards Association de los Estados Unidos, descubrió que el 96% de los estudiantes con acceso a Internet, usa herramientas de interacción con imágenes, videos y simuladores. Así mismo, se muestra que muchos de ellos son creadores de herramientas y contenidos, y conforme a sus calificaciones los que tienen menor rendimiento escolar son los que mayor habilidad en términos tecnológicos presentan, a lo que Morrissey (s.f) infiere que la implementación de tecnologías que permitan a los estudiantes ser diseñadores activos mediante el uso de programas, aplicaciones y demás, facilita que desarrollen mejor las habilidades de comprensión en todos los campos del conocimiento al que se expongan. Por consiguiente, trabajado desde las aulas, el software GeoGebra hace que los estudiantes interactúen o simulen las diversas situaciones planteadas en los problemas matemáticos.

Entre los contenidos del taller, se encuentran en consideración las distintas representaciones de las ecuaciones en el sistema de la geometría afín, puesto que GeoGebra reconoce únicamente el uso de las ecuaciones expresadas de manera implícita al momento de graficar, pero al determinar resultados en torno a intersecciones y transformaciones utiliza ecuaciones paramétricas:

Las formas de las ecuaciones en la geometría afín son:

Ecuaciones paramétricas Ecuaciones Continuas Ecuaciones Implícitas

Las definiciones de plano, punto, recta, intersección para la aplicación del taller son determinados a partir de la geometría Euclídea teniendo que:

El plano afín: es un conjunto, E2, formado por puntos(A, B, C, ··· ) junto con una aplicación que asocia a cada par de puntos (A,B) un vector de 𝑅2 de origen A y extremo B (𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ ) con las siguientes propiedades:

Dados A,B, C ∈ E2, 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗

Fijado A como origen, a cada 𝑥 ∈𝑅2le corresponde unúnico B ∈ E2 tal que 𝑥 = AB

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Recta: Es la intersección de dos planos. Constituida de manera de ecuación implícita para su graficación en GeoGebra.

Dado que las anteriores son representaciones algebraicas de objetos geométricos en el plano

𝑅3_{, Losada}1_{(2011) en el artículo}_{GeoGebra, la eficiencia de la intuición}_{, repasa las}

cualidades que hacen de esta aplicación una gran herramienta para la docencia de Matemáticas; incluso, según él, la visualización simultánea de lo que se realiza en las ventanas geométrica y algebraica en GeoGebra, permite realizar una elaboración compleja de los problemas geométricos y algébricos.

3. Metodología del taller

El taller se desarrollará en dos partes, la primera corresponde a la presentación en diapositivas explicando los pasos básicos de cómo utilizar el software Geogebra 3D, simultáneamente cada asistente trabajará directamente en cada computador, repitiendo los pasos presentados por el relator, de modo que aprenda personalmente a utilizar el software presentado y la segunda parte consiste en la solución de problemas para la aplicación de las herramientas.

Inicialmente se dará a conocer la aplicación de algunas herramientas que fueron modificadas y otras nuevas que trae GeoGebra 5.0 para la graficación en su espacio en 3D:

Punto A=(x,y,z);

A=(x,y)

Prisma [punto, punto, punto, punto] [polígono, punto]

Circunferencia c=[Eje, punto];c=[Centro, Radio, Dirección]

Pirámide [punto, punto, punto, punto] [polígono, punto]

Intersección de dos

superficies Interseca[objeto, objeto] Plano Paralelo [punto, plano]

Plano Plano[punto, punto,

punto];Plano[Recta, punto]

Rota vista grafica

Plano Perpendicular [punto, vector];

[punto, recta] Simetría Especular [objeto, plano]

Posteriormente, para la aplicación de las herramientas dichas anteriormente se plantearán los siguientes problemas que permiten el estudio y la visualización de situaciones en 3D, las cuales según Sandoval (2009) posibilitan “… explorar las variaciones de un problema y

1

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Número 1, Vol. 1 Junio - diciembre de 2015 ISSN 2500-5251 (En línea) http://ojs.asocolme.org/index.php/RECME 741 sacar conclusiones teóricas sobre el comportamiento de los elementos geométricos y sus propiedades, donde los alumnos o asistentes realizan conjeturas y comprueban, de manera sencilla, su validez” (Sandoval, p. 23-25). Tales problemas fueron tomados de las pruebas de admisión de la Universidad de Andalucía:

Encuentra la ecuación de la recta r que pasa por el origen de coordenadas y es paralela a los planos 𝜋₁de la ecuación 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 3√3 y 𝜋₂ de la ecuación – 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 2. Hallar la distancia de la recta r al plano 𝜋₁.

Considera el punto 𝑃(1,0, −2) y la recta r definida por 2𝑥 − 𝑦 = 5 𝑦 2𝑥 + 𝑦 − 4𝑧 = 7. a) determina la recta perpendicular a r que pasa por P. b) halla la distancia entre el punto P y su simétrico Q respecto de la recta r.

El desarrollo del taller se realizara guiado paso a paso, a continuación se presenta el ejemplo referente al primer problema planteado que será desarrollado en el taller.

Representaci ón de los datos

𝜋1: 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 3√3 En la barra de

entrada se debe escribir:

Plano[x+y+z=3*sqrt( 3)]

𝜋2 : – 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 2 En la barra de

entrada se debe escribir:

b: x+y+z=2

Def. de Recta Una recta es la

intersección de dos planos no

coplanares