Sistemas de Ecuaciones
2º Bachillerato
Definición
Un sistema de m ecuaciones con n incógnitas es un conjunto de ecuaciones como:
m ecuaciones
n incógnitas
Coeficientes del sistema
incógnitas
11 1 12 2 13 3 1 1
21 1 22 2 23 3 2 2
1 1 2 2 3 3
n n n n
m m m mn n m
a x
a x
a x
a x
b
a x
a x
a x
a x
b
a x
a x
a x
a x
b
A: matriz de los coeficientes
Expresión matricial del
sistema
Expresión matricial de un sistema de ecuaciones lineales
11 1 12 2 13 3 1 1
21 1 22 2 23 3 2 2
1 1 2 2 3 3
n n n n
m m m mn n m
a x
a x
a x
a x
b
a x
a x
a x
a x
b
a x
a x
a x
a x
b
El sistema puede ser escrito de la siguiente manera:
Matriz ampliada
X: matriz de las incognitas
B: matriz de los términos independientes AX=B n mn m m m n n n x x x x a a a a a a a a a a a a a a a a 3 2 1 3 2 1 3 33 32 31 2 23 22 21 1 13 12 11 ... .. .. .. .. .. ... ... ...
=
m b b b b 3 2 1A
*=
Expresión matricial: ejemplo
El sistema
2x + 5y – 3z = 1
x – 4y + z = –2
Tiene la siguiente matriz de los coeficientes
: A =
2 5 –3
1 –4 1
Tiene la siguiente
matriz ampliada
: A
*=
2 5 –3 1
1 –4 1 –2
Tiene la siguiente
expresión matricial:
2 5 –3
1 –4 1
x
y
z
=
Solución de un sistema de ecuaciones
Una
solución
del sistema
:
es un conjunto ordenado de números reales (s
1, s
2, s
3, ... , s
n) tales
que se verifican todas las ecuaciones:
11 1 12 2 13 3 1 1
21 1 22 2 23 3 2 2
1 1 2 2 3 3
n n n n
m m m mn n m
a x
a x
a x
a x
b
a x
a x
a x
a x
b
a x
a x
a x
a x
b
Solución de un sistema de ecuaciones: ejemplo
1
3
3
z
y
x
• Los valores
• Los valores
1
1
3
z
y
x
son una solución del sistema por que: Consideramos el sistema:
3
3
2
2
2
1
y
x
z
y
x
z
y
x
son una solución del sistema por que:
Clasificación de un sistema según el número de soluciones
Sistemas de
ecuaciones lineales
Incompatible
Compatible
Sin soluciónCon solución
Determinado
Indeterminado
Soluciónúnica
Infinitas soluciones
• Discutir un sistema es decidir a cuál de estas tres categorías pertenece.
I. Multiplicar o dividir ambos miembros de una ecuación por un número distinto de cero.
II. Sumar a una ecuación del sistema otra ecuación del mismo.
Sistemas equivalentes
Dos sistemas de ecuaciones lineales son equivalentes si tienen exactamente las mismas soluciones.
Transformaciones que convierten un sistema en otro equivalente:
Sistemas equivalentes: ejemplo
4
4
2
2
1
3
3
2
2
z
y
x
z
y
x
z
y
x
2
2
1
3
3
2
2
z
y
x
z
y
x
z
y
x
3
2
2
1
3
2
2
z
y
x
z
y
x
z
y
x
1
2
5
5
2
2
2
z
y
z
y
z
y
x
3
5
5
2
2
2
z
z
y
z
y
x
3 3 2 1 E E 1 3 E E 1 2 2 E 3EE
1 3 3 E 2E
E
2 3 3 2E E
E
Sistemas de ecuaciones escalonados
Un sistema de ecuaciones es escalonado cuando verifica que, reordenadas sus ecuaciones de forma conveniente, la matriz de los coeficientes es escalonada.
5
3
4
3
2
y
y
x
2
3
3
2
4
5
3
2
4
z
z
y
z
y
x
2
2
3
4
5
3
2
z
y
z
y
x
1
4
4
3
2
z
y
x
z
z
x
Resolver un sistema es encontrar todas sus soluciones o decidir que no tiene ninguna.
Resolución de sistemas de ecuaciones
Métodos de resolución:
1. Método de Gauss.
2. Método de Cramer.
Resolución de un sistema escalonado: ejemplo
5
2
14
8
3
9
2
z
z
y
z
y
x
2
5
z
Los sistemas escalonados son fácilmente resolubles:
6
2
5
9
x
2
3
20
14
Resolución de sistemas: método de Gauss
Se pueden dar los siguientes pasos:
I. Si es necesario reordenar ecuaciones para que a11 sea distinto de cero.
II. Dividir la primera ecuación por a11 y restar a cada ecuación un múltiplo de la primera para eliminar todos los elementos que quedan por debajo de a11x1.
III. Repetir los pasos anteriores basados ahora en a22 (y si es necesario en cada aii).
IV. El proceso termina cuando no quedan más ecuaciones.
El método de Gauss para resolver un sistema de ecuaciones lineales consiste en obtener
de un sistema:
un sistema equivalente y escalonado, mediante transformaciones adecuadas.
,
;
;
3 3 33 2
32 1
31
2 3 23 2
22 1
21
1 3 13 2
12 1 11
b
x
a
x
a
x
a
b
x
a
x
a
x
a
Método de Gauss: posibilidades
En el método de Gauss, una vez obtenida la matriz se pueden dar las siguientes posibilidades:
Incompatible
• Si no es incompatible, se considera el número de filas e incógnitas que quedan:
nº de ecuaciones = nº de incógnitas
compatible determinado
nº de ecuaciones < nº de incógnitas
compatible indeterminado
5
0
14
8
3
9
2
z
y
z
y
x
5
2
14
8
3
9
2
z
z
y
z
y
x
9
2
14
8
3
z
y
x
z
y
3
x
y
2
z
1
19
10
3
14
8
3
9
2
z
y
z
y
z
y
x
Método de Gauss: sistema compatible determinado
1
6
2
4
4
2
9
2
z
y
x
z
y
x
z
y
x
5
2
14
8
3
9
2
z
z
y
z
y
x
(1ª ec) (–2) + 2ª ec (1ª ec) (–2) + 3ª ec
(2ª ec) (–1) + 3ª ec
Se despejan incógnitas hacia arriba
2
5
2
3
14
Método de Gauss: sistema incompatible
1
4
2
4
4
2
9
2
z
y
x
z
y
x
z
y
x
19
8
3
14
8
3
9
2
z
y
z
y
z
y
x
5
0
14
8
3
9
2
z
z
y
z
y
x
(1ª ec) (–2) + 2ª ec (1ª ec) (–2) + 3ª ec
(2ª ec) (–1) + 3ª ec
Método de Gauss: sistema compatible indeterminado
14
8
3
9
2
z
y
z
y
x
t
z
t
y
t
t
x
3
14
8
3
14
8
2
9
8
8
2
4
4
4
2
9
2
z
y
x
z
y
x
z
y
x
0
0
14
8
3
9
2
z
y
z
y
x
(1ª ec) (–2) + 2ª ec (1ª ec) (–2) + 3ª ec
t
z
t
y
t
x
3
8
3
14
3
2
3
13
Regla de Cramer: sistema de dos ecuaciones
con dos incógnitas
Esta solución puede ser expresada de la siguiente forma:
Se observa que:
• El denominador de las soluciones es el determinante de la matriz de los coeficientes.
• Cada numerador es el determinante de la matriz obtenida al sustituir la correspondiente columna de coeficientes por la los de términos independientes.
El sistema al ser resuelto por reducción se llega a:
2 2
22 1
21
1 2
12 1
11
b
x
a
x
a
b
x
a
x
a
;
22 21
12 11
22 2
12 1
1
a
a
a
a
a
b
a
b
x
22 21
12 11
2 21
1 11
2
a
a
a
a
b
a
b
a
x
a
a
a
a
b
a
a
b
x
1 22 12 21
a
a
a
a
a
b
b
a
Regla de Cramer: sistema de tres ecuaciones
con tres incógnitas
Si | A | 0, el sistema de 3 ecuaciones con 3 incógnitas A · x = B tiene solución única dada por:
Esta regla es válida para cualquier sistema de igual número de ecuaciones que de incógnitas y se llama regla de Cramer.
x1 =
b1 a12 a13 b2 a22 a23 b3 a32 a33 a11 a12 a13 a21 a22 a23
a31 a32 a33
; x2 =
a11 b1 a13 a21 b2 a23 a31 b3 a33 a11 a12 a13 a21 a22 a23
a31 a32 a33
; x3=
a11 a12 b1 a21 a22 b2 a31 a32 b3 a11 a12 a13 a21 a22 a23
Regla de Cramer (demostración)
Sea S un sistema de Cramer (por definición es sistema compatible determinado). La solución se obtiene como un cociente entre el determinante de la incógnita
correspondiente (el que se obtiene sustituyendo la columna de dicha incógnita por los términos independientes) y el determinante de la matriz de coeficientes.
D./ Como el sistema es compatible, (s1,s2,....sn) que es solución del sistema, es
decir B= s1C1+s2C2+....+snCn
det(C1,C2,...B,....Cn) = det(C1,C2,..., s1C1+s2C2+....+snCn,...Cn) =
det(C1,C2,...., s1C1....Cn) + det(C1,C2,..., s2C2,....Cn) +...+ det(C1,C2,..., snCn,....Cn)
Todos los determinantes, excepto el que tiene todas las columnas distintas son cero por tener dos columnas proporcionales. Luego
= det(C1,C2,..., siCi,,....Cn) = si det(C1,C2,..., Ci,....Cn) y despejando si se obtiene lo que queríamos.
n
i
1
)
C
,...
C
,...
C
,
C
det(
)
C
,...
B
,...
C
,
C
det(
s
n i
2 1
n 2
1
Resolución de sistemas: método de la matriz
inversa
A
.X = B
Si | A | 0 la matriz A es inversible.
Multiplicamos por la izquierda a ambos miembros por A-1 .
A
-1 .A
.X = A
-1 .B
I
.X = A
-1 .B
X = A
-1 .B
Y esta última igualdad nos resuelve el sistema. El sistema
a
11x
1+ a
12x
2+ a
13x
3= b
1a
21x
1+ a
22x
2+ a
23x
3= b
2a
31x
1+ a
32x
2+ a
33x
3= b
3 tiene la siguiente expresión matricial:
a
11a
12a
13a
21a
22a
23a
31a
32a
33
x
1x
2x
3=
Compatibilidad de sistemas. Teorema de Rouché
Enunciado: Un sistema de m ecuaciones con n incognitas, es compatible si y sólo si, los rangos de las dos matrices son iguales.
rg(A) = rg (A*)
Dado el sistema de m ecuaciones lineales con n incógnitas:
siendo A y A* la matriz de los coeficientes y la matriz ampliada:
Teorema de Rouché: demostración
• Escribimos el sistema en forma vectorial (con las columnas) C1x1+ C2x2+...+Cnxn= B [Sistema S] Demostración
Cond. necesaria) Si S es compatible, existe al menos una solución (s1,s2,s3,....sn)tal que C1s1+ C2s2+...+Cnsn= B
Por tanto B es combinación lineal de las columnas C1,C2,....Cn y el rango de la matriz ampliada con esa columna B no varía. Luego rg(A) = rg(A*)
Cond. suficiente) Si rg (A ) = rg (A+) una fila o columna es combinación lineal de las
demás. Sólo puede ser B porque el resto son iguales que las de A, luego: C1s1+ C2s2+...+Cnsn= B
Lo que quiere decir que los coeficientes (s1,s2,s3,....sn) son una solución del sistema por lo que el sistema es compatible.
Consecuencias: El rango indica el nº de ecuaciones linealmente independientes.
Discusión de un sistema mediante el
Teorema de Rouché
Sistemas de
ecuaciones lineales
Incompatible
Compatible
Sin soluciónCon solución
Determinado
Indeterminado
Soluciónúnica
Infinitas soluciones
Sea un sistema de m ecuaciones con n incógnitas. • Sea A la matriz de los coeficientes y sea p su rango. • Sea A* la matriz ampliada y sea q su rango.
p
q
p = q = n
p = q
Discusión y resolución de un sistema dependiente
de un parámetro
• En ocasiones, alguno de los coeficientes o términos independientes pueden tomar cualquier valor: es un parámetro de sistema de forma que al darle valores obtenemos sistemas de ecuaciones diferentes.
• Discutir el sistema según los valores de dicho parámetro es averiguar según sus
valores cuándo el sistema es compatible o incompatible, y en caso de compatibilidad si es determinado o indeterminado.
Los siguientes pasos pueden ser útiles para discutir un sistema:
Hallar los valores del parámetro que anulan al determinante de la matriz de
los coeficientes
Para dichos valores estudiar la
naturaleza del sistema Para los valores que hacen que el determinante de la matriz de los coeficientes no sea nulo, estudiar la
Sistema dependiente de parámetro: ejemplo
Consideramos el sistema de ecuaciones lineales:
Las matriz de coeficientes y la matriz ampliada asociadas al sistema son:
5
3
2
2
3
z
y
mx
z
y
x
z
my
x
1
1
2
1
1
3
1
m
m
A
5
1
1
3
2
1
1
2
3
1
*
m
m
A
4
2
2
2
3
2
3
1
2
2
m
m
m
m
m
A
2
1
0
4
2
2
0
2
m
m
m
m
A
Sistema dependiente de parámetro (continuación) :
ejemplo
1 1 1 2 1 1 3 1 1 A 5 1 1 1 3 2 1 1 2 3 1 1 * ACASO I. Cuando m = −1: Las matrices son
rg(
A) = 2 rg(
A*) = 3
El sistema es incompatible
1 1 2 2 1 1 3 2 1 A 5 1 1 2 3 2 1 1 2 3 2 1 * A
CASO II. Cuando m = 2:Las matrices son
Su única solución se puede obtener
mediante la regla de Cramer:
rg(A) = 2 =rg(A*) Compatible indeterminado
3
8
,
3
5
1
y
t
x
t
t
y
x
t
y
x
t
z
2
3
3
2
2
,
CASO III. Cuando
rg(A) = rg(A*) = 3 = número de incógnitas
m
1
,
2
Compatible determinado 2 2 4
26 13 1 1 5 2 1 3 3 2
2
m m m A m x 4 2 2 26 13 1 5 2 3 1 3 2 1
2
Compatibles
es siempre solución del sistema
x
1
x
2
x
n
0
Sistemas homogéneosUn sistema de ecuaciones lineales es homogéneo si todos los términos independientes son 0.
Los sistemas homogéneos pueden tener, pues, una o infinitas soluciones:
Si el determinante de la matriz de los coeficientes es no nulo,el sistema es compatible determinado y tiene como única solución la solución trivial.
Si el determinante de la matriz de los coeficientes es nulo, el sistema es compatible indeterminado. Entre sus infinitas soluciones se encuentra la solución trivial.
0
0
0
2 2 1
1
2 2
22 1
21
1 2
12 1
11
n mn m
m
n n
n n
x
a
x
a
x
a
x
a
x
a
x
a
x
a
x
a
x
a
Interpretación geométrica de una ecuación lineal
con dos incógnitas
Interpretación geométrica de un sistema
con dos incógnitas
Las dos rectas sólo tienen un punto en común: el sistema es compatible determinado.
Las dos rectas no tienen puntos en común: el sistema es incompatible.
