Ejercicios de ecuaciones con raíces
Resuelve las siguientes ecuaciones con raíces
1. 𝐱 + 𝟑 + 𝟏 = 𝐱 − 𝟖 página 2
2. 𝟒𝐱 − 𝟑 𝐱𝟐+ 𝟗 = 𝟏 página 3
3. 𝟓 − 𝟒𝐱 = 𝟐𝐱 + 𝟕 − 𝟐 página 4
4. 𝟐𝐱 − 𝟑 − 𝐱 − 𝟓 = 𝟐 página 5
5. 𝐱 − 𝐱 − 𝟔 = 𝟎 página 6
6. 𝟖 − 𝐱 = 𝟐 − 𝐱 página 7
7. 𝐱 − 𝟐
𝐱= 𝟏 página 8
8. 𝐱 + 𝐱 − 𝟏 − 𝟑 = 𝟎 página 9
9. 𝟕𝐱 + 𝟏 = 𝟐 𝐱 + 𝟒 página 10
10. 𝟓𝐱 + 𝟏 − 𝟐 = 𝐱 + 𝟏 página 11
11. 𝟐 𝐱 − 𝟏 − 𝟓 = 𝟑
𝐱−𝟏
página 12
12. 𝐱𝟐+ 𝟓𝐱 + 𝟏 = 𝐱 + 𝟐 página 13
13. 𝟒𝟎 − 𝐱𝟐+ 𝟒 = 𝐱 página 14
14. 𝟐𝐱 − 𝟏 + 𝐱 + 𝟒 = 𝟔 página 15
1) Resuelve la siguiente ecuación.
𝐱 + 𝟑 + 𝟏 = 𝐱 − 𝟖
Resolución:
En este caso se trata de una ecuación con raíces cuadradas. El procedimiento para este tipo de ecuaciones es dejar la raíz en un lado de la ecuación y elevar al cuadro ambos miembros de la ecuación:
x + 3 + 1 = x − 8 = > 𝐱 + 𝟑 = 𝐱 − 𝟗 = > ( 𝐱 + 𝟑)𝟐= (𝐱 − 𝟗)𝟐
Operando tenemos que:
x + 3 = x2 – 18x + 81 => x2 – 19x + 78 = 0
Resolviendo la ecuación de segundo grado las soluciones serían:
x = 6 y x = 13
En el caso de radicales (especialmente con índice par) hay que comprobar que esta solución no hace que el radical sea negativo o cualquier otra coincidencia que haga que la solución no sea válida. En este caso si sustituimos por x = 6 nos quedaría 4 = –2 , con lo que nos es raíz y si sustituimos por x = 13 nos quedaría 5 = 5.
Así pues la única solución de la ecuación sería:
x = 13
2) Resuelve la siguiente ecuación.
𝟒𝐱 − 𝟑 𝐱𝟐+ 𝟗 = 𝟏
Resolución:
En este caso se trata de una ecuación con raíces cuadradas. El procedimiento para este tipo de ecuaciones es dejar la raíz en un miembro de ecuación y elevar al cuadro ambos miembros de la ecuación:
3 x2+ 9 = −4x + 1 = > (3 x2+ 9)2 = (−4x + 1)2
Operando tenemos que:
9(x2 +9) = 16x2 +1 – 8x => 7x2 – 8x – 80 = 0
Resolviendo la ecuación de segundo grado las soluciones serían:
x = 4 y x = - (40/14)
En el caso de radicales con índice par hay que comprobar que esta solución no hace que el radical sea negativo o cualquier otra coincidencia que haga que la solución no sea válida. En este caso,
4(4) – 3 42+ 9 = 16 – 15 = 1, así solución VÁLIDA
4(-40/14) – (−40
14)
2+ 9 = -80/14 – 3(58/14) = (-80-174)/14
lo que nos da un número negativo siempre distinto de 1, con lo que la solución NO ES VALIDA
Así pues la única solución de la ecuación sería:
x = 4
𝟓 − 𝟒𝐱 = 𝟐𝐱 + 𝟕 − 𝟐
Resolución:
En este caso se trata de una ecuación con raíces cuadradas. El procedimiento para este tipo de ecuaciones es dejar la raíz en un miembro de ecuación y elevar al cuadro ambos miembros de la ecuación; pero en este caso no podemos pues tenemos dos. En estos casos elevamos al cuadrado dos veces siguiendo el siguiente procedimiento:
Elevamos por primera vez al cuadrado:
( 5 − 4x)2 = ( 2x + 7 − 2)2 = > (5 – 4x) = (2x + 7) + 4 – (2*2* 2x + 7)
Operamos y volvemos a elevar al cuadrado, esta vez sí, dejando las raíces a un lado de la ecuación
4 2x + 7 = 6x + 6 = > (4 2x + 7)2 = (6x + 6)2 = > 16(2x + 7) = 36x2
+ 36 + 72x
32x + 112 = 36x2 + 36 + 72x => 36x2 + 40x – 76 = 0
Resolviendo la ecuación de segundo grado las soluciones serían:
x = -152/72 y x = 1
En el caso de radicales con índice par hay que comprobar que esta solución no hace que el radical sea negativo o cualquier otra coincidencia que haga que la solución no sea válida. En este caso:
5 − 4(1) = 2 1 + 7 − 2 => 1 = 9 – 2 , asi pues la solución ES VALIDA
5 – 4(−152/72) ≠ 2(−152/72) + 7 – 2 asi pues la solución NO ES VALIDA
Con lo que LA ÚNICA SOLUCIÓN ES x = 1
4) Resuelve la siguiente ecuación.
𝟐𝐱 − 𝟑 − 𝐱 − 𝟓 = 𝟐
Resolución:
En este caso se trata de una ecuación con raíces cuadradas. El procedimiento para este tipo de ecuaciones es dejar la raíz en un miembro de ecuación y elevar al cuadro ambos miembros de la ecuación; pero en este caso no podemos pues tenemos dos. En estos casos elevamos al cuadrado dos veces siguiendo el siguiente procedimiento:
Elevamos por primera vez al cuadrado:
( 2x − 3 − x − 5)2 = 22 = > (2x – 3) + (x – 5) – 2( 𝟐𝐱 − 𝟑 𝐱 − 𝟓) = 4
Operamos y volvemos a elevar al cuadrado, esta vez sí, dejando las raíces a un lado de la ecuación, operando y elevando al cuadrado tenemos que:
(−2 2x − 3 x − 5 )2= (4 − 3x + 8)2 = > (−2 2x − 3 x − 5 )2 = (−3x + 12)2
4(2x – 3)(x – 5) = 144 + 9x2 – 72x => 8x2 + 60 – 52x = 144 + 9x2 – 72x
x2 + 84 – 20 x = 0
Resolviendo la ecuación de segundo grado las soluciones serían:
x = 14 y x = 6
En el caso de radicales con índice par hay que comprobar que esta solución no hace que el radical sea negativo o cualquier otra coincidencia que haga que la solución no sea válida. En este caso:
2 6 − 3 − 6 − 5 = 2 => 3 - 1 = 2 , solución VÁLIDA
2 14 − 3 − 14 − 5 = 2 => 5 - 3 = 2 , solución VÁLIDA
Así pues ambas soluciones son válidas:
x = 14 y x = 6
𝐱 − 𝐱 − 𝟔 = 𝟎
Resolución:
En este caso se trata de una ecuación con raíces cuadradas. El procedimiento para este tipo de ecuaciones es dejar la raíz en un miembro de ecuación y elevar al cuadro ambos miembros de la ecuación:
x – 6 = x
(x – 6)2 = ( 𝐱) 2
Operando tenemos que:
x2 – 12x + 36 = x
x2 – 13x + 36 = 0
Resolviendo la ecuación de segundo grado nos quedan las siguientes soluciones:
x = 9 y x = 4
En el caso de radicales con índice par hay que comprobar que esta solución no hace que el radical sea negativo o cualquier otra coincidencia que haga que la solución no sea válida. En este caso 9 – 3 – 6 = 0 y 4 – 2 – 6 ≠ 0. Así pues la única solución válida será:
x = 9
6) Resuelve la siguiente ecuación.
𝟖 − 𝐱 = 𝟐 − 𝐱
Resolución:
En este caso se trata de una ecuación con raíces cuadradas. El procedimiento para este tipo de ecuaciones es dejar la raíz en un miembro de ecuación (como es el caso) y elevar al cuadro ambos miembros de la ecuación:
( 8 − x)2 = (2 − x)2
Operando tenemos que:
8 – x = 4 + x2 – 4x
x2 – 3x – 4 = 0
Resolviendo la ecuación de segundo grado nos quedan las siguientes soluciones:
x = –1 y x = 4
En el caso de radicales con índice par hay que comprobar que esta solución no hace que el radical sea negativo o cualquier otra coincidencia que haga que la solución no sea válida. En este caso 3 = 3 y 2 = – 2. Así pues la única solución válida será:
x = –1
𝐱 −
𝟐𝐱
= 𝟏
Resolución:
En este caso se trata de una ecuación con raíces cuadradas y denominadores. El procedimiento para este tipo de ecuaciones es, primero, quitar los denominadores y después dejar la raíz en un miembro de ecuación y elevar al cuadro ambos miembros de la ecuación:
( x)2−2
x
= 1
( x)2− 2 = x
Operando tenemos que:
x – 2 = x
(x – 2)2 = ( x ) 2
x2 – 4x + 4 = x => x2 – 5x + 4 = 0
Resolviendo la ecuación de segundo grado nos quedan las siguientes soluciones:
x = 1 y x = 4
En el caso de radicales con índice par hay que comprobar que esta solución no hace que el radical sea negativo o cualquier otra coincidencia que haga que la solución no sea válida. En este caso 1 – 2 = 1 lo que es falso y 2 – 1 = 1. Así pues la única solución válida será:
x = 4
8) Resuelve la siguiente ecuación.
𝐱 + 𝐱 − 𝟏 − 𝟑 = 𝟎
Resolución:
En este caso se trata de una ecuación con raíces cuadradas. El procedimiento para este tipo de ecuaciones es dejar la raíz en un lado de la ecuación y elevar al cuadro ambos miembros de la ecuación:
( x − 1)2 = (3 − x)2
Operando tenemos que:
x – 1 = 9 + x2 – 6x
x2 – 7x +10 = 0
Resolviendo la ecuación de segundo grado nos quedan las siguientes soluciones:
x = 2 y x = 5
En el caso de radicales con índice par hay que comprobar que esta solución no hace que el radical sea negativo o cualquier otra coincidencia que haga que la solución no sea válida. En este caso 2 + 1 – 3 = 0 lo que es correcto y 5 + 2 – 3 ≠ 0. Así pues la única solución válida será:
x = 2
9) Resuelve la siguiente ecuación.
𝟕𝐱 + 𝟏 = 𝟐 𝐱 + 𝟒
Resolución:
En este caso se trata de una ecuación con raíces cuadradas. El procedimiento para este tipo de ecuaciones es dejar la raíz en un miembro de ecuación y elevar al cuadro ambos miembros de la ecuación; pero en este caso tenemos dos raíces, eso sí, una en cada lado de la ecuación y no tenemos nada más, con lo que elevaremos al cuadrado en ambos miembros:
( 7x + 1)2 = (2 x + 4)2
Operando tenemos que:
7x + 1 = 4(x + 4)
7x + 1 = 4x + 16
3x = 15 => x = 5
Así pues la posible solución será:
x = 5
En el caso de radicales con índice par hay que comprobar que esta solución no hace que el radical sea negativo o cualquier otra coincidencia que haga que la solución no sea válida. En este caso la raíz cuadra de 36 que es 6 debe ser igual a dos por la raíz cuadrada de 9 que es tres. Así pues la solución es válida.
10) Resuelve la siguiente ecuación.
𝟓𝐱 + 𝟏 − 𝟐 = 𝐱 + 𝟏
Resolución:
En este caso se trata de una ecuación con raíces cuadradas. El procedimiento para este tipo de ecuaciones es dejar la raíz en un miembro de ecuación y elevar al cuadro ambos miembros de la ecuación; pero en este caso tenemos dos raíces con una suma, por que deberemos elevar al cuadrado dos veces de la siguiente manera:
Elevamos por primera vez al cuadrado, teniendo en cuenta que el miembro de la derecha es el cuadrado de una diferencia:
( 5x + 1 − 2)2 = ( x + 1)2 = > (5x + 1) + 4 – 4 5x + 1 = x + 1
Operamos y volvemos a elevar al cuadrado, esta vez sí, dejando las raíces a un lado de la ecuación
(−4 5x + 1)2 = (−4x − 4)2 = > 16(5x +1) = 16x2 + 16 + 32x
Operando tenemos que:
80x + 16 = 16x2 + 16 + 32x => 16x2 – 48x = 0 , sacando factor común x, x(16x – 48) = 0
Así pues una solución será x = 0 y la otra x = 3:
x = 0 y x = 3
En el caso de radicales con índice par hay que comprobar que esta solución no hace que el radical sea negativo o cualquier otra coincidencia que haga que la solución no sea válida. En este caso:
5 0 + 1 − 2 = 0 + 1 => 1 – 2 = 1, lo que es falso
5 3 + 1 − 2 = 3 + 1 => 4 – 2 = √4, lo que es cierto
Así pues solución de la ecuación será:
x = 3
𝟐 𝐱 − 𝟏 − 𝟓 =
𝟑𝐱−𝟏
Resolución:
En este caso se trata de una ecuación con raíces cuadradas y denominadores. El procedimiento para este tipo de ecuaciones es, primero, quitar los denominadores y después dejar la raíz en un miembro de ecuación y elevar al cuadro ambos miembros de la ecuación:
2 x − 1 x − 1 − 5 x − 1 = 3
2(x – 1) – 5 x − 1 = 3
2x – 5 = 5 x − 1
(2x − 5)2 = (5 x − 1)2
Operando tenemos que:
4x2 – 20x + 25 = 25(x – 1) => 4x2 – 45x + 50 = 0
Resolviendo la ecuación de segundo grado nos quedan las siguientes soluciones:
x = 10 y x = 10/8
En el caso de radicales con índice par hay que comprobar que esta solución no hace que el radical sea negativo o cualquier otra coincidencia que haga que la solución no sea válida. En este caso 2*3 – 5 = 3 / 3 lo que es cierto y 2 * (1/2) – 5 = 3/(1/2) lo que es falso. Así pues la única solución válida será:
x = 10
12) Resuelve la siguiente ecuación:
𝐱𝟐+ 𝟓𝐱 + 𝟏 = 𝐱 + 𝟐
Resolución:
En este caso se trata de una ecuación con raíces cuadradas. El procedimiento para este tipo de ecuaciones es dejar la raíz en un miembro de ecuación (como es el caso) y elevar al cuadro ambos miembros de la ecuación:
( x2+ 5x + 1)2 = (x + 2)2
Operando tenemos que:
x2 + 5x + 1 = x2 + 4x + 4 => x = 3
Así pues la única solución de la ecuación sería:
x = 3
En el caso de radicales con índice par hay que comprobar que esta solución no hace que el radical sea negativo o cualquier otra coincidencia que haga que la solución no sea válida. En este caso (5)2 + 5(3) + 1 = 25 cuya raíz cuadra es cinco e igual a 3 + 2. Así pues la solución es válida.
13) Resuelve la siguiente ecuación:
40 − x2+ 4 = x
Resolución:
En este caso se trata de una ecuación con raíces cuadradas. El procedimiento para este tipo de ecuaciones es dejar la raíz en un miembro de ecuación y elevar al cuadro ambos miembros de la ecuación:
40 − x2 = x − 4 = > ( 𝟒𝟎 − 𝐱𝟐)𝟐= (𝐱 − 𝟒)𝟐
Operando tenemos que:
40 – x2 = x2 – 8x + 16 => 2x2 – 8x – 24 = 0
Resolviendo la ecuación de segundo grado las soluciones serían:
x = 6 y x = - 2
En el caso de radicales (especialmente con índice par) hay que comprobar que esta solución no hace que el radical sea negativo o cualquier otra coincidencia que haga que la solución no sea válida. En este caso 40 – (6)2 = 4 cuya raíz cuadrada es 2 que al sumarle 4 da 6 y 40 – (– 2)2 = 36 cuya raíz cuadra es 6 que al sumar 4 NO DA -2.
Así pues la única solución de la ecuación sería:
x = 6
14) Resuelve la siguiente ecuación:
𝟐𝐱 − 𝟏 + 𝐱 + 𝟒 = 𝟔
Resolución:
En este caso se trata de una ecuación con raíces cuadradas. El procedimiento para este tipo de ecuaciones es dejar la raíz en un miembro de ecuación y elevar al cuadro ambos miembros de la ecuación; pero en este caso no podemos pues tenemos dos. En estos casos elevamos al cuadrado dos vemos siguiendo el siguiente procedimiento:
Elevamos por primera vez al cuadrado:
( 2x − 1 + x + 4)2 = 62 = > (2x – 1) + (x + 4) + 2( 𝟐𝐱 − 𝟏 𝐱 + 𝟒) = 36
Operamos y volvemos a elevar al cuadrado, esta vez sí, dejando las raíces a un lado de la ecuación
(2 2x − 1 x + 4)2 = (33 − 3x)2 = > 4(2x – 1)(x + 4) = 1089 + 9x2 – 198
8x2 – 16 + 28x = 1089 + 9x2 – 198x = > x2 + 1105 – 226 x = 0
Resolviendo la ecuación de segundo grado las soluciones serían:
x = 221 y x = 5
En el caso de radicales con índice par hay que comprobar que esta solución no hace que el radical sea negativo o cualquier otra coincidencia que haga que la solución no sea válida. En este caso:
2 5 − 1 + 5 + 4 = 6 => 3 + 3 = 6
2 221 − 1 + 221 + 4 = 6 => 21 + 15 = 36 QUE NO DA LA IGUALDAD
Así pues la única solución de la ecuación sería:
x = 5
15) Resuelve la siguiente ecuación:
𝟔 + 𝐱 + 𝟐𝐱 = −𝟐
Resolución:
En este caso se trata de una ecuación con raíces cuadradas. El procedimiento para este tipo de ecuaciones es dejar la raíz en un miembro de ecuación y elevar al cuadro ambos miembros de la ecuación:
6 + x = −2 − 2x => ( 6 + x)2 = (−2x − 2)2
Operando tenemos que:
6 + x = 4x2 + 8x + 4 => 4x2 + 7x – 2 = 0
Resolviendo la ecuación de segundo grado las soluciones serían:
x = 1/4 y x = - 2
En el caso de radicales con índice par hay que comprobar que esta solución no hace que el radical sea negativo o cualquier otra coincidencia que haga que la solución no sea válida. En este caso 6 + (1/4)2 = 49/4 cuya raíz cuadrada es 7/4 que al sumarle 1/2 no da –2, para –2 tenemos 6 –2 = 4 cuya raíz cuadra es 2 que al sumar –4 da –2.
Así pues la única solución de la ecuación sería: