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(1)

UNIVERSIDADES PÚBLICAS DE LA COMUNIDAD DE MADRID PRUEBA DE ACCESO A ESTUDIOS UNIVERSITARIOS (LOGSE)

SEPTIEMBRE 2008

MATEMATICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOOCIALES II EXAMEN

INSTRUCCIONES: El Examen presenta dos opciones A y B; el alumno deberá elegir una de ellas y responder razonadamente a los cuatro ejercicios de que consta dicha opción. Para la realización de esta prueba puede utilizarse calculadora científica, siempre que no disponga de capacidad gráfica o de cálculo simbólico.

TIEMPO MAXIMO: 90 minutos.

CALIFICACION: Cada ejercicio lleva indicada su puntuación máxima.

OPCION A

EJERCICIO 1.( Puntuación máxima: 3 puntos)

Una empresa instala casas prefabricadas de tres tipos A,B y C. Cada casa de tipo A necesita 10 horas de albañilería, 2 horas de fontanería y 2 de horas de electricista. Cada casa de tipo B necesita 15 horas de albañilería, 4 de fontanería y 3 d electricista. Cada casa de tipo C necesita 20 horas de albañilería, 6 de fontanería y 5 de electricista. La empresa emplea exactamente 270 horas al mes de albañilería, 68 de fontanería y 58 de electricista. ¿Cuántas casas de cada tipo instala la empresa en un mes?

SOLUCION

⇒ ⎪

⎩ ⎪ ⎨ ⎧

= = =

sta electrisci z

eria fon

y

a albañileri x

tan ⇒

⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧

= + +

58 5 3 2

68 6 4 2

270 20

15 10

z y x

⇒ ⎪

⎩ ⎪ ⎨ ⎧

= − −

= − +

= + +

6 2 0

10

z y x

z y

z y x

( )

⇒

⎟ ⎟ ⎟

⎠ ⎞

⎜ ⎜ ⎜

⎝ ⎛ =

58 68 270

5 3 2

6 4 2

20 15 10 A

Hallo el determinante de A: 10 5 3 2

6 4 2

20 15 10

= =

A

Resuelvo las incógnitas: a, b y c: mediante la fórmula:

A x x= Δ ,

A y y= Δ y

A z z = Δ

100

5 3 58

6 4 68

20 15 270

= =

Δx , 60

5 58 2

6 68 2

20 270 10

= =

Δy , 40

58 3 2

68 4 2

270 15 10

= =

(2)

10 10 100 ₌ = Δ =

A x

x 6

10 60 ₌ = Δ =

A y

y

4 10 40 ₌ = Δ =

A z z

⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧

= = = ⇒

sta electrisci de

horas z

eria fon

de horas y

a albañileri de

horas x

. . 4

tan .

. 6

. . 10

Se desea fabricar un acuario con base cuadrada y si tapa, de capacidad 500dm3. La base y las paredes del acuario han de estar realizadas en cristal. ¿ Cuáles deben ser sus medidas para minimizar la superficie total del cristal empleado?

SOLUCION.

El volumen de un prisma 2 500₂

x y y x

V = ⇒ = , despejamos la incógnita y para meterla en la fórmula del área del prisma, para después derivar e igualar a cero( condición de mínimo).

( )

1000 1000 10

2 2000 2

2000 2000

2 0 2000 2

2000 500

4 4

4

3 3

3 2

2 /

2 2 2

2 2

= =

→ =

= → =

→ =

→ = −

=

+ = +

= + = →

+ =

x x

x x A

x x x x x xy x

x A xy x

A

5 100 500 10

500 2

2 ⇒ = = =

= x y y

(3)

Comprobamos que es un mínimo A/7

( )

x >0

( )

4 2 6 0

1000 4000 2

4000

2 ₃

7

/ = + = + = + = >

x x

A

Se consideran dos actividades de ocio: A= ver televisión y B= visitar centros comerciales. En una ciudad, la probabilidad de que un adulto practique A es igual a 0,46; la probabilidad de que practique B es igual a 0,33 y la probabilidad de que practique A y B es igual a 0,15.

a)Se selecciona al azar un adulto de dicha ciudad. ¿ Cuál es la probabilidad de que no practique ninguna de las dos actividades anteriores?

b)Se elige azar un individuo de entre los que practican alguna de las dos actividades. ¿ Cuál es la probabilidad de que practique las dos actividades?

DATOS:

( )

A =0,46

P P

( )

B =0,33 P

(

A∩B

)

=0,15 SOLUCION

a)Se selecciona al azar un adulto de dicha ciudad. ¿Cuál es la probabilidad de que no practique ninguna de las dos actividades anteriores?

(

) (

)

(

)

( ) ( ) (

)

(

0,46 0,33 0,15

)

0,36 1

1 1

= −

+ −

=

= ∩ −

+ −

= ∪ − = ∪ =

∩B P A B P A B P A P B P A B

A P

b) Se elige azar un individuo de entre los que practican alguna de las dos actividades. ¿Cuál es la probabilidad de que practique las dos actividades?

(

)

(

₍

)

₎

_{( ) ( ) (}

₎

0.23

64 . 0

15 . 0 15 . 0 33 . 0 46 . 0

15 . 0 15

, 0

= =

− + =

∩ − +

= ∪ ∩ =

∩

B A P B P A P B A P

B A P B A P

Se supone que la calificación en Matemáticas obtenida por los alumnos de una cierta clase es una variable aleatoria normal de desviación típica 1,5 puntos. Se elige una muestra aleatoria simple de tamaño 10 y se obtiene que la suma de sus calificaciones es igual a 59,5 puntos. a) Determinar un intervalo de confianza al 95% para la calificación media de la clase. b) ¿Qué tamaño ha de tener la muestra para que el error máximo de la estimación sea de 0,5 puntos, con nivel del 95%?.

a)Determinar un intervalo de confianza al 95% para la calificación media de la clase.

)

(

μ,σ

)

N

(

μ;1,5

(4)

min 5 , 59 min 10

5 ,

59 ₌

⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ =

X ,n=10 y 95% de confianza.

⎟ ⎠ ⎞ ⎜

⎝ ⎛ _± = =

n Z X C I Confianza de

Intervalo. . . _α ·σ

2

Cogemos la gráfica de la distribución de probabilidad normal estandar, N(0,1) y hallamos el _⎟

⎠ ⎞ ⎜⎛ .

⎝Zα2

Sustituimos en la fórmula del Intervalo de Confianza:

(

5,95 0,92

) (

5,95 0,92;5,95 0,92

) (

5,02;6,87 10

5 , 1 · 96 , 1 95 , 5 ·

.

2

= + −

= ± = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜

⎝

⎛ _±

= ⎟ ⎠ ⎞ ⎜

⎝

⎛ _±

= ⇒

n Z X C

I _α σ

)

b)¿Qué tamaño ha de tener la muestra para que el error máximo de la estimación sea de 0,5 puntos, con nivel del 95%?.

⎟

⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛

2

α

Z al 95%, 1,96

2

= ⎟ ⎠ ⎞

α

Z ,

⎜ ⎝

⎛ Error=₅,

Sustituimos en la fórmula que relaciona el Intervalo de Confianza y el Error:

(

5,88

)

34,57 35 5

, 0

5 , 1 · 96 , 1 .

·

2 2

2

2 ⎟ = = ⇒ =

⎠ ⎞ ⎜

⎝ ⎛ > ⇒ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜

⎜ ⎝ ⎛

> n n

máximo Error

Z n

σ

α

OPCION B

(5)

debe ser la distribución de la inversión para maximizar la ganancia anual? Determínese dicha ganancia máxima.

SOLUCION

Donde: X es el dinero invertido en bonos tipo A. Y es el dinero invertido en bonos tipo B.

Función objetivo: “Las acciones del tipo A garantizan una ganancia del 10% anual y Las acciones del tipo B garantizan una ganancia del 5% anual.”

( )

x y x y

F

100 5 100

5

, = +

Restricciones:

-“Se desea invertir una cantidad de dinero menor o igual que 125000€,”. 125000

≤ +Y X

-“Las acciones del tipo A debes invertir en ellas un mínimo de 30000€ y un máximo de 81000€”

81000 30000≤ X ≤

-“Las acciones del tipo B tienes que invertir en ellas un mínimo de 25000€.” 25000

≤

Y

-“ La cantidad invertida en acciones del tipo B no puede superar el triple de la cantidad invertida en acciones del tipo A”.

X Y ≤3·

Restricciones triviales: y

Resumiendo

Los puntos de corte se resuelven mediante la resolución de sistemas entre las inecuaciones de las restricciones:

PTO A:

0

≥

X Y ≥0

⎪ ⎪ ⎪ ⎪

⎩ ⎪⎪ ⎪ ⎪

⎨ ⎧

≥ ≥ ≥ ≥

≤ ≤

≤ +

0 0 3 25000

81000 3000

125000

X Y

X Y Y

X Y X

(

)

⎩ ⎨ ⎧

→ =

=

25000 , 30000 .

25000 30000

A Pto Y

(6)

PTO B:

(

)

⎩ ⎨ ⎧

→ =

= = → = − =

90000 , 30000 .

90000 30000

· 3 3 0

3

30000

B Pto x

y y

x x

PTO C:

⎩ ⎨ ⎧

= → =

→ = − →

⎩ ⎨ ⎧

= − =

→ =

− = +

31250 125000

4 3 125000

3 125000

0 3

125000

x x

x x x

y

x y

y x

(

31250,93750

)

.

93750 31250

· 3

3x PtoC

y = = = →

PTO D:

PTO E:

(

)

⎩ ⎨ ⎧

→ =

− =

→ =

= +

44000 , 81000 .

44000 81000

125000 125000

81000 125000

D Pto y

y x

(

)

⎩ ⎨ ⎧

→ =

=

25000 , 81000 .

25000 81000

E Pto y

x

81000 25000 F

(

81000,25000

)

=0.1·81000+0.05·25000=9350

La solución válida son las coordenadas del punto

{

Pto.B

(

30000,90000

)

con un valor de 10300€, que se obtiene invirtiendo 81000€ en acciones tipo A y 44000€ en acciones tipo B.

EJERCICIO 2. (Puntuación máxima: 3 puntos)

Se considera la función real de variable real definida por:

( )

4 2 2 2

− + =

x x x f

a) Determínense las asíndotas de f.

b) Calcúlense los máximos y mínimos relativos de f y determínense sus intervalos de crecimiento

c) Calcúlese la integral definida

SOLUCIÓN

(8)

ASINDOTAS VERTICALES: Las asíndotas verticales coinciden con los puntos no incluidos en el dominio, donde el límite vale infinito (no tiene imagen la función). ----Denominador igual a cero

( )

(

)

=∞→ →a x x f

Lim 4 0 4 4 2

4

2 2 2

2 2 ± = → = → = → = − → ∞ = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − +

→ _x x x x x

x Lim

a x

Para _⎟⎟= =∞

⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − + → − = − → ₀ 8 4 2 2 ₂ 2 2 _x x Lim x

x , Hay una asíndota vertical en x=−2

Para _⎟⎟= =∞

⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − + → = → ₀ 8 4 2 2 ₂ 2 2 _x x Lim x

x , Hay una asíndota vertical en x=2

ASINDOTAS HORIZONTALES: Las asíndotas horizontales coinciden con el límite cuando x tiende a infinito de la función.

( )

(

)

= → = → = → ∞

→ f x L

Lim y L y a x

x

(

( )

)

∞ = →

∞ = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − + = = ∞ → → ∞

→ _x Ind

x Lim x f Lim y x a x x ₄ 2 2 2 Aplico L´Hopital. → = ∞ ∞ = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = ∞

→ _x Ind

x Lim L

x ₂

2

Aplico L´Hopital. 1 1

2 2 = → = = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = ∞

→ Ind Y

Lim L

x

ASÍNDOTAS OBLICUAS: Por tener asíndotas horizontales, no tiene asíndotas oblicuas.

b)Calcúlense los máximos y mínimos relativos de f y determínense sus intervalos de crecimiento

Los máximos y mínimos se localizan cuando:

( )

_{( )}

₍

_{( )}

( )

₎

⎩ ⎨ ⎧ → → > < → = Mínimo Máximo c f c Pto b f b Pto c f b f x f , , ( 0 0 0 _// // /

( )

(

) (

)

(

)

(

)

0 12 0 0

4 12 4 2 · 2 4 · 2 4 2 2 2 2 2 2 2 / 2 2 = → = − → = − − = − + − − = ⇒ − +

= x x

x x x x x x x x f x x x f

Hallamos los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:

( )

(

)

( )

(

( )

−

( )

−

)

> →

− − = − → = − − = 0 4 2 2 · 12 2 0 4 12 2 2 / 2 2 / f x x x f CRECE

( )

(

)

( )

(

−

)

< →

− = → = − − = 0 4 2 2 · 12 2 0 4 12 2 2 / 2 2 / f x x x f DECRECE La función:

Por tanto tiene un máximo en el punto X=0

(

)

(

)

DECRECE

(9)

( )

₍

(

₎

)

⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − →

− = − + = −

+ = ⇒

− + =

2 1 , 0 2

1 4 0

2 0

4 0

2 0 0 4

2

2 2

2

MÁXIMO

PTO f

x x x f

c)Calcúlese la integral definida:

∫

5

(

−

)

( )

3

2 · 4 f x dx x

(

)

∫

_⎟⎟ =

⎠ ⎞ ⎜⎜

⎝ ⎛

− + −

5

3 2

2 2

4 2 ·

4 dx

x x

x

(

)

2

3 3

5

3 3

5 3

2

3 110 3

· 2 3 3 5 · 2 3 5 2

3

2dx x x u

x _⎟⎟=

⎠ ⎞ ⎜⎜

⎝ ⎛

− − ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜

⎝ ⎛

+ = ⎥ ⎦ ⎤ + = +

∫

Ejercicio 3.(Puntuación máxima: 2 puntos)

Se supone que las señales que emite un determinado telégrafo son punto y raya y que el telégrafo envía un punto con probabilidad 3/7 y una raya con probabilidad 4/7. Los errores en la transmisión pueden hacer que cuando se envíe un punto se reciba una raya con probabilidad 1/4 y que cuando se envíe una raya se reciba un punto con probabilidad 1/3.

a)Si se recibe una raya, ¿ Cuál es la probabilidad de que hubiera enviado realmente una raya?

b)Suponiendo que las señales se envían con independencia. ¿ Cuál es la probabilidad de que si se recibe punto-punto se hubiera enviado raya-raya?

GRAFICA:

SOLUCION:

(10)

( ) ( ) % 78 78 . 0 41 · 21 84 · 8 84 41 21 8 84 32 9 21 8 21 8 24 3 21 8 3 2 · 7 4 4 1 · 7 3 3 2 · 7 4 . Re . Re . . Re . ⇒ = = = = + = + = + = ∩ = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ Raya cibir P Raya cibir Raya Enviar P Raya cibir Raya Enviar P

b)Suponiendo que las señales se envían con independencia. ¿ Cuál es la probabilidad de que si se recibe punto-punto se hubiera enviado raya-raya?

( )

(0.371) 0.138 13.8% 43 · 21 84 · 8 84 43 21 8 84 16 27 21 8 21 4 28 9 21 4 3 1 · 7 4 4 3 · 7 3 3 1 · 7 4 . Re . Re . . Re . . Re . 2 2 2 2 2 2 2 ⇒ = = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + = ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + = ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∩ = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∩ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ Punto cibir P Punto cibir Raya Enviar P Punto cibir Raya Enviar P Punto cibir Raya Enviar P ( ) 7 3 .Punto = Enviar

P ( )

7 4 .Raya = Enviar

P ( )

3 1 .

RecibirPunto =

P ( )

3 2 .

RecibirRaya = P

Ejercicio 4.(Puntuación máxima: 2 puntos)

La duración de la vida de una determinada especie de tortuga se supone que es una variable aleatoria con distribución normal de desviación típica igual a 10 años. Se toma una muestra aleatoria simple de 10 tortugas y se obtienen las siguientes duraciones en años: 46, 38, 59, 29, 34, 32, 38, 21, 44 y 34. a) Determinar un intervalo de confianza al 95% para la vida media de dichas tortugas. b) ¿Cuál debe ser el tamaño de la muestra observada para que el error de estimación de la vida media no sea superior a 5 años, con un nivel de confianza del 90%?

a) Determinar un intervalo de confianza al 95% para la vida media de dichas tortugas ( , ) N(8;1,5)

N μ σ =

años años

X 37,5

10 34 44 21 38 32 34 29 59 38 46 ₌ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + + + + + + + + +

= ,n=10 y 95% de confianza.

⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ _± = = n Z X C I Confianza de

Intervalo. . . α ·σ

2 ⎟ ⎠ ⎞ 2 α . ⎜ ⎝ ⎛_Z

(11)

Sustituimos en la fórmula del Intervalo de Confianza:

(

37,5 6,20

) (

37,50 6,20;37,50 6,20

) (

31,30;43,70 10

10 · 96 , 1 5 , 37 ·

.

2

= + −

= ± = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜

⎝

⎛ _±

= ⎟ ⎠ ⎞ ⎜

⎝

⎛ _±

= ⇒

n Z X C

I _α σ

)

b) ¿Cuál debe ser el tamaño de la muestra observada para que el error de estimación de la vida media no sea superior a 5 años, con un nivel de confianza del 90%?

El valor 0,975 está entre los valores

(

)

(

)

0,9750

9505 , 0 65 , 1

9495 , 0 64 , 1

⎭ ⎬ ⎫ ⎩

⎨ ⎧

→ =

→ = ⇒

X P

645 , 1 2

165 , 64 , 1

2

= + = ⇒Z_α

Sustituimos en la fórmula que relaciona el Intervalo de Confianza y el Error:

(

3,29

)

10,82 11 5

10 · 645 , 1 .

·

2 2

2

2 _⎟ = = ⇒ =

⎠ ⎞ ⎜

⎝ ⎛ > ⇒ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜

⎜ ⎝ ⎛

> n n

máximo Error

Z n

σ