EJERCICIOS DE MATEMATICAS
1.- Deriva las siguientes funciones:
a)
y
x
3(
2
x
1
)
5; b)1
2
1
2
x
x
y
; c)x
x
y
32
2.- Halla las derivadas de las funciones siguientes (L es logaritmo neperiano):
f
(
x
)
L
(
4
x
1
)
,g
(
x
)
cos(
3
x
1
)
2 yh
(
x
)
senx
cos
2
x
3.- Aplicando logaritmos, halla la derivada de la función
y
x
x4.- Halla la derivada de la función
1
1
2 2
x
x
L
y
5.- Deriva y simplifica:
2
)
1
(
2
x
x
y
6.- Deriva y simplifica:
x x x x
e
e
e
e
y
7.- Se considera la función
2
1
2
2
0
1
x
0
x
1
)
(
x
si
x
x
si
si
x
f
Estudia si es derivable en los puntos x = 0 y x = 2
8.- Deriva y simplifica la función
x
x
L
y
cos
1
cos
1
9.- Halla la pendiente de la recta tangente a la curva
f
(
x
)
x
2
x
1
en el punto de abscisa x = 2. Escribe la ecuación de dicha recta.10.- Deriva las siguientes funciones:
a)
1
3
)
(
2
x
x
x
f
; b)2
)
5
(
3
)
(
x
x
g
: c)h
(
x
)
5
3x22x111.- Deriva y simplifica: 2
)
5
(
3
2
x
x
y
12.- Deriva las siguientes funciones logarítmicas:
13.- Deriva y simplifica:
senx
senx
L
y
1
1
14.- Calcula:a) Derivada de
f
(
x
)
x
4
4
x
1
en el punto de abscisa x = 1 b) Derivada def
(
x
)
L
(
x
3
)
en x = 2c) Derivada de
f
(
x
)
cos(
5
x
4
)
en x = 15.- ¿Qué valores han de tener a y b para que la función
2
2
3
2
)
(
2 2x
si
b
ax
x
si
x
x
x
f
sea derivable en x = 2?
16.- Halla la ecuación de la recta tangente a la curva
y
3
sen
2
x
en el punto de abscisa x= 0.17.- Deriva la función 3 2
)
3
5
(
x
y
18.- El espacio recorrido por un móvil viene dado por la función
(
)
3
2
1
t
t
t
s
donde s se mide en metros y t en segundos. Calcula la velocidad en el instante t = 2 segundos.19.- Di si la función
1
2
-2x
1
x
1
)
(
2x
si
si
x
x
f
es derivable en x = 1.20.- Deriva y simplifica:
x
x
L
y
1
1
;x
a
x
a
L
y
;x
senx
y
cos
1
;21.- REPRESENTACIÓN DE CURVAS a)
Gráfica
de
y
x
2
4
x
3
b)
Gráfica
y
x
2
3
x
2
c)
Gráfica
de
f(x)
x
3
9
x
f)
5
x
3
-2x
y
de
Gráfica
g)
1
1
x
y
de
Gráfica
2 2
x
h)
x
Lx
y
de
Gráfica
i)
Gráfica
de
y
xe
xj)
Lx
x
y
de
Gráfica
k)
Gráfica
de
y
x
-
1
22.- OPTIMIZACIÓN
a) De una lámina cuadrada de lado 10 cm. se cortan cuadrados en cada uno de los vértices con el objeto de hacer una caja abierta por arriba. Calcula el lado del cuadrado que se debe cortar para que el volumen de la caja sea máximo.
b) Un pastor dispone de 1000 metros de tela metálica para construir un cerco rectangular aprovechando una pared ya existente. Halla las dimensiones del cerco a fin de el área encerrada sea máxima.
c) Entre todos los rectángulos de perímetro 12 cm. ¿cuál es el que tiene la diagonal menor?
d) Una hoja de papel debe contener 18 cm2 de texto impreso. Los márgenes superior e inferior deben tener 2 cm. cada uno, y los laterales 1 cm. Halla las dimensiones de la hoja para que el gasto de papel sea mínimo
x
e) Halla las dimensiones del rectángulo de área máxima inscrito en una circunferencia de 10 cm. de radio.
f) En una carretera a través del desierto un automóvil debe ir desde la ciudad A hasta el oasis P situado a 500 Km. De distancia de A. Puede aprovecha para ello una carretera recta que une las ciudades A y B y que le permite ir a una velocidad de 100 Km/h, mientras que por el desierto la velocidad es de 60 Km/h. Sabiendo que la distancia más corta de P a la carretera que une las ciudades A y B es de 300 Km., determina la ruta que deberá usar para ir de A a P en el menor tiempo posible.
g) Un depósito abierto de latón con base cuadrada y capacidad para 4.000 litros, ¿qué dimensiones debe tener para que su fabricación sea lo más económica posible?
h) Se desea construir una lata de conserva en forma de cilindro circular recto de área total 150 cm2 y volumen máximo. Determina su generatriz y su radio.
i) Con un alambre de 4 metros se quiere construir el borde de un rectángulo de área máxima. ¿Qué dimensiones hay que dar al rectángulo?
j) Se desea construir un marco rectangular para una ventana de 6 m2 de superficie. El metro lineal de tramo horizontal cuesta 20 € y el tramo vertical es a 30 € el metro. Calcula las dimensiones de la ventana para que el coste de marco sea mínimo.
k) Considérese un prisma recto de base rectangular, con dos de los lados de ese rectángulo de longitud doble que los otros dos. Halla las dimensiones que ha de tener este prisma para que el área total sea de 12 metros cuadrados y que con estas condiciones tenga volumen máximo.
23.- Halla los valores de a y b en la función
f
(
x
)
x
2
ax
b
sabiendo que pasa por el puntoP(-2, 1) y tiene un extremo relativo en el punto de abscisa x = -3
24.- Halla a, b y c en la función
f
(
x
)
ax
3
bx
2
cx
d
sabiendo que el punto P(0,4) es un máximo y el punto Q(2,0) un mínimo.25.- Estudia la monotonía de la función
f
(
x
)
(
x
1
)
e
x26.- Dada la función
1
)
(
2
x
x
x
f
, halla los intervalos de crecimiento y decrecimiento y losSOLUCIÓN EJERCICIOS DE MATEMATICAS
1.-
a)
y
x
2(
2
x
1
)
4(
16
x
3
)
; b)
21
2
4
x
y
; c)
3
2 22
6
x
x
x
y
2.-1
4
4
)
(
'
x
x
f
,g
'
(
x
)
6
(
3
x
1
)
sen
(
3
x
1
)
2 yh
'
(
x
)
cos
x
·cos
2
x
2
senx
·
sen
2
x
3.-
y
'
x
x(ln
x
1
)
4.-
1
4
'
4
x
x
y
5.- 3)
1
(
)
1
(
2
'
x
x
y
6.-
24
'
x xe
e
y
7.- No y No
8.-
senx
x
senx
y
1
cos
1
2
9.- pte= 5 y = 5x – 3
10.-
a)
2
2 21
1
6
)
(
'
x
x
x
x
f
; b) 3)
5
(
6
)
(
'
x
x
g
: c) 3 2 12
5
·
5
)·ln
2
6
(
)
(
'
x
x
x xh
11.- 3
)
5
(
2
4
x
x
y
12.-1
3
2
3
4
'
2
x
x
x
y
;
2
3
1
'
x
y
;2
)·ln
6
5
(
5
2
'
2
x
x
x
y
13.-:x
y
cos
2
'
15.- a= 1/2 b= 1
16.-
y
6
x
17.-
3
(
5
3
)
·
3
10
'
x
y
18.- 11 m/seg
19.- Sí
20.-
2
1
2
'
x
y
;'
22
2x
a
a
y
;x
y
cos
1
1
'
;21.- REPRESENTACIÓN DE CURVAS a)
Gráfica
de
y
x
2
4
x
3
c)
Gráfica
de
f(x)
x
3
9
x
d)
1
2
2
x
y
de
Gráfica
2
x
x
e)
1
x
y
de
Gráfica
2 2
x
1 1
f)
5
x
3
-2x
y
de
Gráfica
g)
1
1
x
y
de
Gráfica
2 2
x
h)
x
Lx
y
de
Gráfica
i)
Gráfica
de
y
xe
xj)
Lx
x
y
de
Gráfica
22.- OPTIMIZACIÓN
a) V=(10-2x)2·x x = 5/3
b) A=x·(1000 – x)/2 x = 500 y = 250
c) d=
x
2
(
6
x
)
2 x = 3 y = 3d) A=
2
-x
18
4
x·
x = 5 y = 10e) A=
x
400
x
2 x = y =200
f) t=
60
x
90000
100
x
-400
2carretera = 175 Km desierto = 375 Km
g) A=x2+16000/x lado base = 20 altura = 10
h) V=πr2·(150-2 πr2)/(2πr) r = 2’82 altura = 5’64
i) A=x·(2-x) x = y = 1
j) Coste=40·b+60·6/b b = 3 m h = 2 m
k) V=x·2x·(12-4x2)/(6x) base = 1 y 2 altura = 4/3
23.- a = 6 y b = 9
24.- a = 1, b = –3, c = 0 y d = 4
25.- ] –
∞
, 0 ] decreciente [ 0 , +∞
[ creciente ( 0 , –1 ) mínimo26.- ] –
∞
, 0 ] U ] 2 , +∞
] creciente [ 0 , 1 [ U ] 1, 2 ] decreciente ( 0 , 0 ) máximoEjercicios propuestos de Derivadas
1) 3 2
3
33
2
3
)
(
x
x
x
x
x
f
2)3 2 4
6
3
2
2
3
4
)
(
x
x
x
x
x
f
3)3 2 2
3
1
)
(
x
x
x
x
x
x
x
f
4) 4 3 4 2
5
2
3
)
(
x
x
x
x
x
x
f
5)f
(
x
)
x
2senx
x
cos
x
6)tgx
x
x
x
x
f
(
)
3ln
1
7)
e
xx
ctgx
x
f
3 2
)
(
8)f
x
e
xsenx
e
xx
cos
)
(
9)f
(
x
)
4
xarcsenx
10)
f
(
x
)
x
arctgx
11)1
4
2
5
)
(
2
x
x
x
f
12) x xe
x
e
x
x
f
)
(
13)arcsenx
arctgx
x
x
f
(
)
14)arctgx
x
x
f
1
)
(
15)(
)
ln
3x
x
x
x
f
16)
x
senx
x
senx
x
f
cos
cos
)
(
17)xsenx
ctgx
tgx
x
f
(
)
18)x
x
x
x
x
f
(
)
1
2
ln
ln
19)
f
(
x
)
xe
xsenx
20)x
senx
x
x
f
ln
)
(
3
21)f
(
x
)
x
e
x1)
y
4
x
3
6
x
2
17 2)y
x
4
3
x
2
6
3) 3 25
1
x
y
4)
5cos
x
senx
y
5)
y
x
arctgx
3 6)y
1
x
2
5
arcsenx
3 7)
31
2
1
x
y
8)y
sen
3
x
sen
23
x
9)
y
cos
3x
cos
(
x
3)
10)y
ln
(
senx
)
11)y
log
sen
x
12)
2
1
x
arcsen
y
13)
x
x
x
x
y
cos
cos
14) 35
cos
5
5
cos
5
x
x
sen
x
x
sen
y
15)arccos
1
1
2x
y
16)x
x
arctg
y
1
1
17) 2 21
x
x
arcsen
y
18)y
arcsen
1
e
x
19)y
ln
e
x
e
2x
1
20) 61 5
e
xx
y
21)
arcsen xy
1
8
22)x
x
y
2 2cos
1
cos
1
ln
23)y
arcsen
(
1
x
)
2
x
x
224)
a
x
arcsen
a
x
a
y
2 2 25)
a
x
arcsen
a
x
a
x
y
2 2 226) 2
1
x
arcsenx
y
27)4
2
ln
4
2
2
2
x
x
x
x
y
28)y
ln
x
x
2
1
29)
y
ln
(
arcsenx
)
arcsen
(ln
x
)
30)2
1
x
x
arcsen
y
31)
x
x
y
1
1
ln
ln
ln
32)
y
sen
2
sen
2
sen
2x
33)
)
(
arccos
1
cos
senx
Soluciones 1) 3 2 2
1
1
3
4
9
)
(
'
x
x
x
x
f
2)4 2
3
3
18
3
)
(
'
x
x
x
x
x
f
3) 3 2 2 3
·
5
2
5
2
3
)
(
'
x
x
x
x
x
x
f
4) 4 4 3
·
10
3
·
9
)
(
'
x
x
x
f
5)x
x
x
senx
x
x
x
f
cos
2
2
1
)
(
'
26) 2
2 2
cos
1
2
1
ln
3
)
(
'
x
x
x
tgx
x
x
x
x
x
f
7)
x
sen
x
e
x
x
ctgx
x
f
x 2 3 2 3 21
·
3
2
)
(
'
8)f
x
e
xx
cos
2
)
(
'
9) 21
4
·
2
ln
4
·
2
)
(
'
x
arcsenx
x
f
x x
10)1
2
)
(
'
2
x
x
x
arctgx
x
f
11)
2
2 21
4
5
16
20
)
(
'
x
x
x
x
f
12)
21
2
)
(
'
x
e
x
e
x
f
x x
13)
f
'
(
x
)
Graaanndee
e
14)
2
2 2 2 1 1 2 1 2 1 ) ( ' arctgx x x x x arctgx x xf 15)
'
(
)
1
3
4ln
2
3x
x
x
x
f
16)
2cos
2
)
(
'
senx
x
x
f
17)f
'
(
x
)
Graaaannde
eee
18)'
(
)
ln
2
22
x
x
x
x
f
19)
x
x
x
senx
e
x
f
'
(
)
xcos
1
20)
x
senx
x
x
senx
x
x
x
x
f
2 2 2 3ln
ln
3
cos
)
(
21)
x
x
e
x
f
x2
1
)
(
'
1)
y
'
17
4
x
3
6
x
2
1612
x
2
6
2)
6
3
3
2
'
2 4 2
x
x
x
x
y
3)
3 2 4
5
3
2
'
x
x
y
4)
y
'
5
senx
cos
x
4senx
cos
x
5)
1
3
'
2 2 3
x
arctgx
x
arctgx
y
6)f
'
(
x
)
Graaaannde
eee
7)
41
2
6
'
x
y
8)x
x
x
sen
y
'
6
3
cos
3
3
cos
3
9)
)
(
3
cos
3
'
senx
2x
x
2sen
x
3y
10)senx
x
y
'
cos
11)
senx
x
y
2
cos
'
12)2
1
1
'
x
y
13)
2cos
cos
2
'
x
x
x
sen
x
x
y
14) y’=015)
1
1
'
2
x
x
y
16))
1
(
2
1
1
'
x
x
x
y
17)2
1
19)
1
'
2
x xe
e
y
20)
4 21
6
5
'
6x
x
e
y
x 21)1
8
ln
8
'
2 1
x
x
y
x arcsen22)
senx
x
x
y
2cos
1
cos
2
'
23)2
2
'
2
x
x
x
y
24)'
2 2x
a
x
a
y
25) 2 2 2 2 2 2 2 2'
x
a
x
x
a
x
a
a
y
26)
2
3 21
1
'
x
x
xarcsenx
y
27)'
2
4
x
y
28)1
1
'
2
x
y
29)x
x
arcsenx
x
y
2 2ln
1
1
1
1
'
30) 2
1
1
'
x
y
31)
x
x
x
x
x
y
1
1
ln
ln
·
1
1
ln
1
2
'
2 32)Graaaannnndddeeeeee 33))
(
arccos
1
·
)
(
arccos
1
'
2senx
senx
sen
y
34) Graaanndeeee 35)x
sen
x
x
senx
y
4 4EJERCICIOS DE MATEMATICAS
Ejercicio nº 1.-
Calcula la función derivada de:
3 2
1
x x sen x
f f
x
3x2x
4f
x
e
4x 2x 3
f
x
ln
3
x
4
2
x
f
x 4x3 1Ejercicio nº 2.-
Escribe la ecuación de la recta tangente a la curva y = 2x2 3x que tenga pendiente 7. Halla la ecuación de la recta de pendiente 7 que es tangente a la curva y = 3x2 + x -1.
1 4 1 recta la a paralela sea
que curv a
la a tangente recta
la de ecuación la
Halla y x y x
Escribe la ecuación de la recta tangente a la curva y = x32x en el punto de abscisa x 2.
Halla la ecuación de la recta tangente a la curva y = x2 + 2x1 en el punto de abscisa x = 1.
Ejercicio nº 3.-
Halla y representa gráficamente los puntos singulares y los puntos de tangente horizontal de la siguientes funciones y, con ayuda de las ramas infinitas, decide si son máximos o mínimos:
4 22x x x
f
f
x x 6x 15x2 3
3 9 1
2 3
x x x
y
2 3
x x x f
2 3 2
x x x
f
Ejercicio nº 4.-
Estudia el crecimiento y el decrecimiento de la siguiente función:
x 3x2 2x1f
2 1 3 2
x x
x
f f
x 2x3 f
x x2
2 f
x 312x3x2Ejercicio nº 5A.-
sabiendoque: funciónuna de gráfica la
Haz f x ,
Es continua.
f x limf x
lim
x
x ;
3, 2
, en
0,2
yen
2, 3
.en anula se deriv ada
Su
4,0
, 2,0
, 1,0
, 3,0
y 0,2
.puntos los
en ej es los a
Corta
Ejercicio nº 5B.-
Representa una función f(x), de la que sabemos lo siguiente:
La derivada no se anula en ningún punto.
La función es decreciente.
Corta a los ejes en (1, 0) y en (0, 1)
f x limf x
lim
x
x 2 2
;
Tiene una asíntota horizontal en y 1. Además:
Ejercicio nº 5C.-
Representa una función f(x), de la que sabemos lo siguiente:
f x limf x
lim
x
x ;
2, 2
yen
0,2
. en0 es deriv ada
Su
. 3,0, 1,0 , 1,0 y 0,2 enej es los a
Corta
Ejercicio nº 5D.-
sabiendoque: funciónla de gráfica la
Dibuj a f x,
0,0. en anula se deriv ada Su
0,0.en ej es los a corta Solo
0 e 2 2, : son asíntotas
Sus
x x y
La posición de la curva respecto a las asíntotas es:
f x lim f x limf x limf x
lim
x x
x
x 2 2 2 2
; ;
;
Ejercicio nº 5E.-
sabiendoque: funciónla de gráfica la
Dibuj a f x,
1, 4
yen
1,4
.en anula se deriv ada
Su
No corta a los ejes.
f x limf x
lim
x
x 0 0
;
Ejercicio nº 6.-
A partir de la gráfica de f(x), di cuáles son sus asíntotas, indica la posición de la curva respecto a ellas, máximos y mínimos, puntos de corte con los ejes, ramas infinitas y halla los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de la función:
Ejercicio nº 7.-
Estudia y representa la siguiente función:
x x x xf 3 4 2 4
x x x f 3 12
x x4 2x2 1f
4 22x x x
f
3 23x x x
f
3 3 x x x f
1 3 x x x f
2 3 x x x f
1 2 2 x x x f
1 2 2 x x x f
4 2 2 2 x x x f
1 4 2 2 x x x f
22 1 2x x x
f
2 2 x x x f
1 2 x x x f
1 2 3 x x x f
3 24 x x x
f
2 2 2 3 x x x f
1 2 3 x x x f
1 2 2 3 x x x x f
x x x f 2 3
2 3 x x x f
x x x f 2 3
2 3 x x x f
1 2 4 x x x f
1 4 2 4 x x x f
4 21 x x x
f
4 2 21 2 x x x x
f
SOLCIONES A EJERCICIOS DE MATEMATICAS CC SS TEMA 8bis
1.- 2
)
3
2
(
3
2
1
cos
5
(x)
'
f
x
x
x
f ‘(x) = 4(3x2
+ x)3 · (6x+1)
f
'
(x)
4 32·(
12
2
2
)
x
e
x xx
x
x
2
3
2
12
(x)
'
f
43
1
4
6
(x)
'
f
3 2
x
x
2.- y = –7x – 2 y = 7x – 4 y = x/4+1 y = 10x – 16 y = 4x – 2
mínimos (-1, -1) y (1, -1)
máximo (0, 0)
mínimo (1, -8)
máximo (-5, 100)
mínimo (3, -26)
máximo (-1, 6)
mínimo (-3, 27)
mínimo (-3, 6)
máximo (-1, 2)
4.-
3
1
,
decreciente, resto
creciente
2
3
,
decreciente, resto
creciente
,
0
creciente, resto
decreciente
,
2
decreciente, resto
creciente
,
2
creciente, resto
decreciente
5.-1
1
1 1
1
1
1 1
6.-Asíntota vertical: x = − 1
1
lim
x
y
1
lim
x
y
Asíntota horizontal: y = 2
2
lim
x
y
2
lim
x
y
Máximos: No tiene Mínimos: No tiene Cruza OY en (0,-1) Cruza OX en (0’5,0) Ramas infinitas: No tiene Crece en todo el dominio
Asíntota vertical: x = 0
0
lim
x
y
0
lim
x
y
Asíntota horizontal: y = 0
0
lim
x
y
0
lim
x
y
Máximos: No tiene Mínimos: No tiene Cruza OY: No tiene Cruza OX: No tiene Ramas infinitas: No tiene Decrece en todo el dominio
Asíntota vertical: No tiene Asíntota horizontal: No tiene Máximos: (0,3)
Mínimos: (-3,-3) Cruza OY en (0,3)
Cruza OX en (-4,0), (-2,0) y (3,0) Ramas infinitas:
x
y
lim
x
y
lim
Crece: [-3,0]
Asíntota vertical: x = − 2
2
lim
x
y
2
lim
x
y
x = 2
2
lim
x
y
2
lim
x
y
Asíntota horizontal: y = 2
2
lim
x
y
2
lim
x
y
Máximos: (0,-3) Mínimos: No tiene Cruza OY en (0,-3) Cruza OX en (-3,0) y (3,0) Ramas infinitas: No tiene Crece: ]
,-2[ U ]-2,0] Decrece: [0,2[ U ]2,
[Asíntota vertical: x = − 1
1
lim
x
y
1
lim
x
y
x = 1
1
lim
x
y
1
lim
x
y
Asíntota horizontal: y = 0
0
lim
x
y
0
lim
x
y
Máximos: No tiene Mínimos: No tiene Cruza OY en (0,0) Cruza OX en (0,0) Ramas infinitas: No tiene Crece: ] -1,1[
x x x x f 3 4 2 4
x x x f 3 12
x x4 2x2 1f
4 22x x x
3 2 3x x xf
3 3
x x x f
1 3
x x x f
2 3
1
2 2
x x x f
1
2 2
x x x f
4 2
2 2
x x x f
1 4
2 2
22 1 2x x x
f
2 2
x x x f
1 2 x x x f
1
2 3
3 24 x x x
f
2 2
2 3
x x x f
1
2 3
x x x f
1 2 2
3
x x
x x
x x xf 2
3
2 3
x x x f
x x xf 2
3
2 3
1
2 4
x x x f
1 4
2 4
x x x f
4 21 x x x
f
4 2 21 2 x x x x
x x xf 1
4
1 2
2 5