EC 2322 Lineas de Transmisión Uniformes Con Conductores Reales pdf

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(1)EC232 TEORIA DE ONDAS UNIDAD 3: LÍNEAS DE TRANSMISIÓN UNIFORMES. 3.6. LÍNEAS DE TRANSMISIÓN UNIFORMES CON CONDUCTORES REALES. 3.6.1 Efecto de la conductividad finita de los conductores en el modo de propagación Hasta ahora se ha supuesto que la conductividad de los conductores de las líneas de transmisión es infinita, con lo cual el modo de propagación es TEM. A fin de establecer el efecto de la conductividad finita de los conductores reales, se hace una comparación con el caso ideal. La tabla 3.1 presenta la comparación de ambos casos. Tabla 3.1: Comparación de las corrientes y campo eléctrico entre una línea de transmisión de conductores ideales y una de conductores reales. Línea con conductores ideales. Línea con conductores reales. Como la conductividad es infinita, Como la conductividad es finita, no existe. K̂. en. la. superficie. conductor, de manera que:. ∫. ˆ ± ⋅ 1z dl = Iˆ ± ( z ) K. del existe. K̂. en. la. superficie. del. conductor, sino Ĵ en su volumen, de manera que: ˆ c± = σ c Ec± 1z Jˆ c± = σ c E. ∂c1. ±. ∫∫ Jˆ c ⋅ 1z da z = Iˆ. ±. ( z). c1 I(z) E=0, Jc=0. Jc=σ c Ec. Profesor Orlando J. Sucre Rosales, ®2006-2007 Departamento de Electrónica y Circuitos, Universidad Simón Bolívar, Caracas, Venezuela. I(z). 1.

(2) EC232 TEORIA DE ONDAS UNIDAD 3: LÍNEAS DE TRANSMISIÓN UNIFORMES. Tabla 3.1: (cont.) Comparación de las corrientes y campo eléctrico entre una línea de transmisión de conductores ideales y una de conductores reales. Línea con conductores ideales. Línea con conductores reales. ˆ = 0 en el conductor, E z = 0 Como E Como E ˆ = Ec+ 1z en el conductor, en el dieléctrico por continuidad de las existe E ≠ 0 en el dieléctrico por z componentes tangenciales de Ê continuidad de las componentes tangenciales de Ê El modo de propagación es TEM. El modo de propagación no es TEM. El hecho de que el modo de propagación no sea TEM en una línea de transmisión real no implica que deba desecharse la teoría de los modos TEM que se ha venido utilizando hasta ahora para el estudio de las líneas de transmisión. La estrategia que se usa para el análisis es considerar a la presencia del campo axial E z en las líneas de transmisión reales como una. perturbación al modo TEM, lo cual lo convierte en un modo cuasi-TEM. 3.6.2 El modo de propagación cuasi-TEM El modo de propagación cuasi-TEM es no es más que el modo de propagación TEM modificado (o perturbado) por la presencia de un campo eléctrico axial E z cuya magnitud es muy pequeña en comparación con la magnitud del campo eléctrico transversal E t .. Profesor Orlando J. Sucre Rosales, ®2006-2007 Departamento de Electrónica y Circuitos, Universidad Simón Bolívar, Caracas, Venezuela. 2.

(3) EC232 TEORIA DE ONDAS UNIDAD 3: LÍNEAS DE TRANSMISIÓN UNIFORMES. La condición sobre la magnitud del campo axial E z en el dieléctrico se cumple, y por lo tanto la suposición de que el modo de propagación es cuasiTEM, si la densidad de corriente de conducción Jˆ c± = σ c Eˆ c± es finita y además la conductividad del conductor σ c es muy grande, típicamente. σ c > 10 7 siemens/m. Bajo estas condiciones, Eˆ z << Êt y Eˆ ≅ Eˆ t . Una condición adicional para la validez del modo de propagación cuasiTEM es que la profundidad de penetración en los conductores a la frecuencia de operación sea mucho menor que la menor dimensión transversal en los conductores, para garantizar que la onda que se propaga en el conductor se extinga por completo en su interior. La necesidad de esta condición adicional se hará evidente cuando se estimen las pérdidas en los conductores. 3.6.3 Características de las líneas de transmisión reales de bajas pérdidas Una línea de transmisión real tiene dos fuentes independientes de atenuación: la atenuación en el dieléctrico y la atenuación debida a la disipación de potencia en los conductores no ideales. Desde un punto de vista práctico, interesa más conocer la atenuación total de la línea de transmisión que las contribuciones individuales del dieléctrico y de los conductores a la atenuación. Además, desde ese mismo punto de vista una línea de transmisión es útil solamente cuando su atenuación total en tramos de longitud significativamente mayor a la longitud de onda en el dieléctrico es relativamente pequeña, por ejemplo, inferior a 3 dB. Profesor Orlando J. Sucre Rosales, ®2006-2007 Departamento de Electrónica y Circuitos, Universidad Simón Bolívar, Caracas, Venezuela. 3.

(4) EC232 TEORIA DE ONDAS UNIDAD 3: LÍNEAS DE TRANSMISIÓN UNIFORMES. Aunque no existe un criterio universal para establecer bajo cuál rango de atenuación total una línea de transmisión puede considerarse como una de bajas pérdidas, las líneas de transmisión de bajas pérdidas tienen. características comunes que son las siguientes: a) La impedancia característica es real y constante. Esto significa que desde el punto de vista de impedancia se desprecia el efecto reactivo de la atenuación en el dieléctrico en el rango de frecuencias de operación. Esta aproximación es válida si la tangente de pérdidas es muy pequeña. b) El modo de propagación es un modo TEM con constante de propagación modificada. Se supone, como en el caso de conductores ideales, que no hay campos en los conductores y que el modo de propagación es TEM. Para considerar la atenuación adicional producida por las pérdidas en los conductores, se modifica a la constante de propagación en el dieléctrico sumándole un término de atenuación asociado a la atenuación debida a los conductores, con lo cual se obtiene una constante de propagación equivalente:. γˆeq = γˆd + α ceq = α d + α ceq + jβ d = α tot + jβ d. Profesor Orlando J. Sucre Rosales, ®2006-2007 Departamento de Electrónica y Circuitos, Universidad Simón Bolívar, Caracas, Venezuela. (3.36). 4.

(5) EC232 TEORIA DE ONDAS UNIDAD 3: LÍNEAS DE TRANSMISIÓN UNIFORMES. donde α ceq es la constante de atenuación asociada a la contribución de los conductores a la atenuación total de la línea de transmisión. La constante de propagación equivalente γˆeq se aplica al cálculo del coeficiente de reflexión generalizado así como al de voltajes y corrientes. Por su parte, la constante de atenuación total α tot se aplica al cálculo de la potencia transmitida. Es oportuno mencionar que frecuentemente en el cálculo de la constante de fase β d en líneas de transmisión de bajas pérdidas se desprecia a la tangente de pérdidas del dieléctrico, por lo cual β d ≅ ω µ d ε d . Es importante además mencionar que las ondas en el conductor se propagan en dirección normal a la interfaz conductor-dieléctrico, interviniendo la geometría de la línea de transmisión, por lo que. α ceq ≠ α c , siendo α c la constante de atenuación para ondas TEM propia del material conductor a la frecuencia de operación (en condiciones normales, α ceq << α c ). La evaluación aproximada del parámetro α ceq se hace a continuación.. 3.6.4 Evaluación aproximada de las pérdidas en los conductores La evaluación exacta de las pérdidas en los conductores de una línea de transmisión implica el cálculo de los campos electromagnéticos exactos en el dieléctrico y en los conductores, cálculo que es sumamente complejo porque los campos por las condiciones del problema son modos de propagación no Profesor Orlando J. Sucre Rosales, ®2006-2007 Departamento de Electrónica y Circuitos, Universidad Simón Bolívar, Caracas, Venezuela. 5.

(6) EC232 TEORIA DE ONDAS UNIDAD 3: LÍNEAS DE TRANSMISIÓN UNIFORMES. TEM. Mediante una evaluación aproximada, basada en la suposición de campos TEM en el dieléctrico y en los conductores, se obtienen resultados numéricos con un margen de error muy pequeño. Para la evaluación aproximada de las pérdidas en los conductores de una línea de transmisión, además de suponerse que el modo de propagación en el dieléctrico y en los conductores es TEM, se aplica el principio de superposición en el sentido de considerar que el dieléctrico no tiene pérdidas. De esta manera, las pérdidas obtenidas son atribuibles por completo a los conductores. Para simplificar los cálculos, se considera también que no hay ondas reflejadas, por lo que la potencia transmitida es: eq P( z ) = P + e − 2α c z. (3.37). Por conservación de la energía, la disminución por unidad de longitud de la potencia transmitida es igual al incremento por unidad de longitud de las pérdidas en los conductores: −. eq dP ( z ) dP( z ) =+ c = 2α ceq P + e − 2α c z = 2α ceq P + ( z ) dz dz. (3.38). de donde:. α ceq =. dPc ( z ) / dz 2P + ( z). Profesor Orlando J. Sucre Rosales, ®2006-2007 Departamento de Electrónica y Circuitos, Universidad Simón Bolívar, Caracas, Venezuela. (3.39). 6.

(7) EC232 TEORIA DE ONDAS UNIDAD 3: LÍNEAS DE TRANSMISIÓN UNIFORMES. Antes de proceder a evaluar el incremento por unidad de longitud de las pérdidas en los conductores, es conveniente mostrar gráficamente cómo son los campos electromagnéticos TEM y el vector de Poynting promediado en el tiempo en el interior de los mismos. La figura 3.22 muestra los campos y el vector de Poynting en la sección transversal de uno los conductores de una línea de transmisión de sección arbitraria, considerando que debe haber continuidad del campo magnético en la interfaz conductor-dieléctrico y que el campo eléctrico dentro de los conductores es paralelo a densidad de corriente de conducción.. H E, Jc <S>. Fig. 3.22: Campos electromagnéticos y vector de Poynting promediado en el tiempo en la sección transversal (mostrada en gris claro) de un conductor de una línea de transmisión real. Para el cálculo de la potencia disipada en los conductores en segmento de línea de transmisión de extremos z0 y z, se aplica el Teorema de Poynting promediado en el tiempo a un volumen limitado longitudinalmente por los planos z y z= z0 que rodee a cada conductor. Como dentro de dicho volumen no hay fuentes, se tiene para cada conductor:. Profesor Orlando J. Sucre Rosales, ®2006-2007 Departamento de Electrónica y Circuitos, Universidad Simón Bolívar, Caracas, Venezuela. 7.

(8) EC232 TEORIA DE ONDAS UNIDAD 3: LÍNEAS DE TRANSMISIÓN UNIFORMES. 0=. ∫ S ⋅ da + Pc ( z) − Pc ( z0 ). (3.40). S = ∂Vc. donde Pc ( z ) − Pc ( z0 ) es la potencia neta consumida por el segmento de conductor encerrado dentro del volumen. Despejando:. ∫ S ⋅ da + Pc ( z0 ). Pc ( z ) = −. (3.41). S = ∂Vc. Con relación al cálculo del flujo neto del vector de Poynting promedio, dado que en el conductor éste es perpendicular a 1z , sólo hay flujo a través de la superficie que rodea al conductor. Por lo tanto: z. Pc ( z ) = −. ∫ ∫ S ⋅ 1n dl dz + Pc ( z0 ). (3.42). z 0 ∂c. Derivando la ecuación 3.42 y extendiendo el resultado a los dos conductores, se obtiene que el incremento de potencia disipada en los conductores es: dPc ( z ) =− dz. ∫ S ⋅ 1n dl. (3.42). ∂c1 + ∂c2. Nótese que la integración de la ecuación 3.42 se hace sobre los contornos que se obtienen al interceptar las superficies de los conductores con el plano z. En dicha superficie, el vector de Poynting promedio es:. Profesor Orlando J. Sucre Rosales, ®2006-2007 Departamento de Electrónica y Circuitos, Universidad Simón Bolívar, Caracas, Venezuela. 8.

(9) EC232 TEORIA DE ONDAS UNIDAD 3: LÍNEAS DE TRANSMISIÓN UNIFORMES. S. 1  ˆ 2  = −1n Reηˆc H  c Sc 2  Sc  . donde η̂c es la impedancia intrínseca del conductor y S c es la superficie del conductor. Como el campo magnético tangencial es continuo en la superficie interfaz entre el conductor y el dieléctrico, queda: S. 2 1 ˆ+ = −1n Re{ηˆc } H d Sc 2 Sc. (3.43). donde el campo magnético Ĥ +d en el dieléctrico se calcula suponiendo que el. conductor es ideal. Al sustituir la ecuación (3.43) en la ecuación (3.42), se obtiene:. { } ∫ Hˆ +d 2 dl + 12 Re{ηˆc2 } ∫ Hˆ d+ 2 dl. dPc ( z ) 1 = Re ηˆc1 dz 2. ∂c1. (3.44). ∂c 2. donde se han separado los términos correspondientes a cada conductor en previsión de que sean de distinto material. El parámetro Re{ηˆc } ≅ ω µ c (2σ c ) se define como Resistencia superficial Rs del material conductor. Nótese que aumenta proporcionalmente a la raíz cuadrada de la frecuencia. Al sustituir la ecuación 3.44 en la ecuación 3.39, se obtiene:. Profesor Orlando J. Sucre Rosales, ®2006-2007 Departamento de Electrónica y Circuitos, Universidad Simón Bolívar, Caracas, Venezuela. 9.

(10) EC232 TEORIA DE ONDAS UNIDAD 3: LÍNEAS DE TRANSMISIÓN UNIFORMES. ∫. Rs1. 2. dl + Rs2. ∂c1. α ceq = Dado. ˆ+ H d. ∫. ˆ+ H d. 2. dl. ∂c 2. +. (3.45). 4P ( z) que. en. el. dieléctrico. se. tiene. { ( )}. que. 2 P + ( z ) = Re Vˆ0+ Iˆ0+ * e − 2α d z ,. hˆ +d = −1z × eˆ0+ ∇ tφt / ηˆd ,. ˆ + = hˆ + e −γˆd z , H d d. Iˆ0+ = Vˆ0+ / Zˆ 0. y. Vˆ0+ = eˆ0+ , finalmente se tiene: Rs1. ∫ ∇ t φt. 2. dl + Rs2. ∂c1. α ceq = Zˆ 0. ∫ ∇ t φt. 2. dl. ∂c 2. (3.46). 2. 2 ηˆd cos(θη d ). Una manera opcional de calcular α ceq se obtiene al sustituir la ecuación 3.22 en la ecuación 3.46, quedando:. Rs1. α ceq =. ∫ ∇ t φt. 2. dl + Rs2. ∂c1. 2 ηˆd cos(θη d ). ∫ ∇ t φt. 2. dl. ∂c 2. ∫ (∇t φt × 1z ) ⋅ dl. (3.47). ∂c1. Por ejemplo, para un cable coaxial de radio interno a y radio interno b la ecuación 3.47 se reduce a: Rs1 Rs2 + eq a b αc = 2 ηˆ d cos(θη d ) ln(b / a ). Profesor Orlando J. Sucre Rosales, ®2006-2007 Departamento de Electrónica y Circuitos, Universidad Simón Bolívar, Caracas, Venezuela. 10.

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