Teoría de superficies de variedades riemannianas de Dimensión Tres

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(1)UNIVERSIDAD NACIONAL DE SAN AGUSTIN DE AREQUIPA FACULTAD DE CIENCIAS NATURALES Y FORMALES ESCUELA PROFESIONAL DE MATEMÁTICAS. TEORÍA DE SUPERFICIES DE VARIEDADES RIEMANNIANAS DE DIMENSIÓN TRES. Tesis presentada por: Bach. Rubén Limascca Chahuayo Bach. José Rafael Prado Ancí Para optar el título profesional de licenciado en Matemáticas Asesor: Dr. Vladimir Rosas Meneses AREQUIPA – PERÚ 2018.

(2) Tesis aprobada por:. Mg. Eisa Mamani Palomino. Mg. Ricardo Hancco Ancori.

(3) AGRADECIMIENTOS. Al profesor Vladimir Rosas Meneses por su orientación, enseñanza, consejos y especialmente por dedicarnos una de las cosas más preciadas por el ser humano, SU TIEMPO, para la realización de esta tesis. A nuestros profesores de la escuela profesional de Matemáticas, varios de los cuales nos enseñaron no sólo conocimientos, sino valores y actitudes destacables como personas. Al profesor Walter Torres Montes. A nuestros compañeros del seminario de tesis que es donde empezó el estudio de esta tesis..

(4) DEDICADO. A nuestras familias.

(5) RESUMEN Encontramos explícitamente las conexiones y los coeficientes de la I y II forma fundamental de superficies inmersas en ℍ3 , 𝕄2 × ℝ 𝑦 ℍ2 × ℝ, también deducimos una fórmula para calcular las curvaturas extrínseca e intrínseca de superficies de revolución inmersas en ℍ3 .. PALABRAS CLAVE: Variedad Riemanniana, espacio hiperbólico, variedad producto, métrica, conexión, curvatura intrínseca, curvatura extrínseca..

(6) ABSTRACT We find explicitly the connections and the coefficients of the I and II fundamental form of surfaces immersed in ℍ3 , 𝕄2 × ℝ 𝑦 ℍ2 × ℝ, also we deduce a formula to calculate the extrinsic and intrinsic curvatures of surfaces of revolution immersed in ℍ3 .. KEY WORDS: Riemannian manifold, hyperbolic space, product manifold, metric, connection, intrinsic curvature, extrinsic curvature..

(7) Índice general Introducción. 3. 1. PRELIMINARES. 5. 1.1. Teoría básica de la Geometría Riemanniana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 5. 1.1.1. Conexión Riemanniana . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 7. 1.1.2. Curvatura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.1.3. La segunda forma fundamental . . . . . . . . . . . . . 14 1.1.4. Ecuación de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 1.2. Ecuaciones de compatibilidad del espacio euclideano . . . . . . 24 2. Desarrollo de algunas super…cies Riemannianas importantes y una aplicación de la segunda forma fundamental en el cálculo de la curvatura de super…cies de revolución. 27. 2.1. Primera y segunda forma fundamental de super…cies inmersas en el espacio Hiperbólico H3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 2.1.1. Espacio Hiperbólico H3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 2.1.2. Modelo del semiespacio . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 2.1.3. Primera forma fundamental de una super…cie S. in-. mersa en H3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30. 1.

(8) 2.1.4. Segunda forma fundamental de una super…cie S. in-. mersa en H3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 2.1.5. Consecuencias de la primera y segunda forma fundamental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 2.2. Espacio Producto M2. R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52. 2.2.1. Métrica Producto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 2.2.2. Conexión en M2. R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53. 2.2.3. Primera forma fundametal de M2 2.3. Espacio producto H2. R . . . . . . . . . . 57. R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58. 2.3.1. Conexión y primera forma fundamental de H2 2.3.2. La conexión de H2. R . . . 59. R . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60. 2.4. Una fórmula para calcular la curvatura media y curvatura de Gauss para super…ces de revolución inmersas en la variedad Riemanianna H3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 3. SUPERFICES INMERSAS EN EL ESPACIO DE MINKOWSKI. 69. 3.0.1. Teorema Fundamental de la Geometría en R2;1 . . . . . 72 Conclusiones. 77. Bibliografía. 78. 2.

(9) INTRODUCCIÓN El presente trabajo de investigación trata sobre super…cies inmersas en variedades Riemannianas de dimensión 3 como: el espacio hiperbólico H3 y M2. R (donde M2 es una variedad Riemanniana de dimensión 2), en par-. ticular H2. R y el espacio de Minkowski, entre otros. Para esto usaremos. la ecuación de Gauss y de Minardi –Codazzi, las cuales son conocidas como ecuaciones de compatibilidad en la teoría de super…cies de R3 , para luego probar que una super…cie inmersa en las variedades riemannianas de las ya nombradas antes, queda determinada por su primera y segunda forma fundamental. Así también gracias a que encontraremos la curvatura seccional, curvatura media y curvatura extrínseca de estas variedades es que calcularemos una fórmula que servirá para calcular la curvatura media y la curvatura de Gauss de cualquier super…cie que esté inmersa en la variedad Riemanniana H3 : Ricardo Earp Sa en [1] mostró una fórmula para el cálculo de la curvatura de Gauss de super…cies inmersas en H3 utilizando las propiedades del espacio hiperbólico, nosotros no utilizaremos la teoría hiperbólica para hallarla, sino utilizaremos al espacio hiperbólico como una variedad Riemanniana. Luego haremos una introducción al espacio de Minkowski, también llamado espacio - tiempo, donde veremos algunas super…cies inmersas en él, luego de de…nir la métrica de Lorentz. 3.

(10) Al trabajar con la geometría Riemanniana se generalizan diversos resultados que ya hemos visto en geometría diferencial de super…cies de R3 como la primera y segunda forma fundamental, geodésiscas, longitud, áreas, curvatura, entre otros resultados conocidos los cuales nos motivan explorar otros espacios y observar el comportamiento de esas nuevas geometrías para resaltar y hacer comparaciones con la geometría euclidiana. Este trabajo ha sido también motivado por el trabajo realizado por Ady Cambraia Junior [2], a partir del cual hemos comprobado resultados para conexiones, curvaturas, primera y segunda forma fundamental de super…cies, para luego probar que las super…cies inmersas en variedades riemaneanas quedan determinada por su primera y segunda forma fundamental, la ecuación de Gauss y Mainardi Codazzi, es decir, el teorema fundamental de la geometría extiende el teorema Bonnet.. 4.

(11) Capítulo 1 PRELIMINARES En este capítulo daremos conceptos importantes desde un punto de vista general sobre la teoría de la geometría Riemanniana que nos sevirán como herramientas para capítulos posteriores, la referencia utilizada es M.P. Do Carmo [4].. 1.1.. Teoría básica de la Geometría Riemanniana. La siguiente de…nición de variedad diferenciable nos proporciona el espacio adecuado donde se verán los conceptos en esta sección.. De…nición 1.1 Una variedad diferenciable de dimensión n es un conjunto M y una familia de aplicaciones biunívocas x : U U de Rn en M tales que: (1). S. x (U ) = M .. 5. Rn ! M de abiertos.

(12) (2) Para todo par. ,. , con x (U ). T. x (U ) = W 6= ;, los conjuntos. x 1 (W ) y x 1 (W ) son abiertos en Rn y las aplicaciones x. 1. x son. diferenciables. (3) La familia f(U ; x )g es máxima relativamente a las condiciones (1) y (2). Ejemplo 1.1 La esfera de centro en (0; 1) y radio 1 es una variedad diferenciable, cuyas parametrizaciones son la proyeccion estereográ…ca para el polo norte y para el polo sur.. Dado el espacio (variedad diferenciable), quisieramos hacer geometría sobre la variedad, para esto daremos las siguientes de…nición y teoremas. De…nición 1.2 Una métrica Riemanniana (estructura Riemanniana) en una variedad diferenciable M es una correspondencia que asocia a cada punto p de M un producto interno h; ip (esto es, una forma bilineal y simétrica, positiva de…nida) en el espacio tangente Tp M , que varía diferenciablemente en el 6.

(13) Rn ! M es un sistema de coordenadas locales. siguiente sentido: Si x : U. en torno de p, con x(x1 ; : : : ; xn ) = q 2 x(U ) y @x@ i (q) = dx(0; : : : ; 1; : : : ; 0), E D @ @ entonces @xi (q) ; @xj (q) = gij (x1 ; : : : ; xn ) es una función diferenciable en q. U.. De…nición 1.3. Una variedad diferenciable M. con una métrica. Riemanniana es llamada de variedad Riemanniana.. Ejemplo 1.2 Un ejemplo de variedad Riemanniana es el espacio hiperbólico H3 = f(x; y; z) 2 R3 =z > 0g donde la métrica está dada por gH =. dx2 +dy 2 +dz 2 z2. Ahora necesitamos una forma de derivar campos vectoriales, un concepto que nos proporcione como derivar vectores en variedades diferenciables dicho concepto será dado en la siguiente de…nición, la noción de derivación es un hecho fundamental en geometría Riemanniana ya que esta herramienta matemática nos permite estudiar la geometría de una variedad Riemanniana utilizando la métrica Riemanniana y nociones del cálculo diferencial. de. manera similar a como se estudió la geometría de super…cies en R3 como se verá más adelante .. 1.1.1.. Conexión Riemanniana. Indicaremos por X(M ) el conjunto de los campos de vectores de clase C 1 en M y por D(M ) el anillo de las funciones reales de clase C 1 de…nidas en M.. 7.

(14) De…nición 1.4 Una conexión afín r en una variedad diferenciable M es una aplicación r : X(M ) (X. X(M ) ,. X(M ). ! r. !. Y). rX Y .. que se indica por r que satisface las siguientes propiedades: (i) rf X+gY Z = f rX Z + grY Z, (ii) rX (Y + Z) = rX Y + rX Z, (iii) rX (f Y ) = f rX Y + X(f )Y , donde X,Y ,Z 2 X(M ) y f ,g 2 D(M ). La importancia de la conexión afín r en una variedad diferenciable M por la propiedades que tiene es que nos permite derivar objetos situados en espacios distintos o más generales al espacio Euclidiano. Ahora veamos como la conexión se expresa en coordenadas locales (x1 ; : : : ; xn ) en torno de p. X=. X. xi Xi ,. Y =. i. donde Xi =. @ , @xi. X. yj Xj ,. j. tenemos. rX Y. = =. Haciendo rXi Xj =. X. X. X. i. xi rXi. ij. xi yj rXi Xj +. X. k ij Xk ,. yj Xj. j. vemos que. k ij. !. X. xi Xi (yj ) Xj .. ij. son funciones diferenciables que. k. son llamados los símbolos de Christo¤el de la conexión afín y que ! X X rX Y = xi yj kij + X (yk ) Xk , k. ij. 8.

(15) lo que muestra que rX Y (p) depende de xi (p), yk (p) y de las derivadas X (yk ) (p) de yk según X , dicho de otra manera para calcular rX Y (p) el valor de la conexión en un punto p es solo preciso saber el valor del campo X en un punto p (X (p)) y los valores del campo Y a lo largo de alguna curva tangente al campo X. También podemos concluir en última fórmula que la conexión afín es la suma de la derivada Euclidiana más otro término, el cual tiene que ver con los símbolos de Christo¤el de la conexión afín, para mayor referencia ver M.P. Do Carmo [4] Ejemplo 1.3 Si X = (x1 ; : : : ; xn ), Y = (y1 ; : : : ; yn ) son campos de vectores de Rn , con xi ,yi : Rn ! R, la conexión de Rn es la derivada direccional, la cual es dada por rX Y = (X (y1 ) ; : : : ; X (yn )) donde X (yi ) = dyi (X) para i = 1; : : : ; n, es decir, rX Y (p) = dyp :X(p) El siguiente teorema y corolario nos permite relacionar la conexión afín con la métrica Riemanniana, esto es, nos permite derivar la métrica, también permite que los llamados símbolos de Christo¤el sean simétricos con respecto a sus índices inferiores.Sus demostraciones se encuentran en Do Carmo [4] Teorema 1.1 Sea M una variedad Riemanniana. Una conexión r en M es compatible con la métrica si y sólo si para todo par V y W de campos de vectores a lo largo de la curva diferenciable c : I ! M se tiene: d hV; W i = dt. DV ;W dt. + V;. DW dt. ; t2I. Corolario 1.1 Una conexión afín r en una variedad Riemanianna M es compatible con la métrica h:; :i,si y sólo si X hY; Zi = hrX Y; Zi + hY; rX Zi , 9. X,Y ,Z 2 X(M )..

(16) De…nición 1.5 Una conexón a…n r en una variedad diferenciable M es llamada simétrica cuando. rX Y. rY X = [X; Y ] , para todo X,Y 2 X(M ).. donde [X; Y ] = XY. Y X es un campo vectorial. A continuación enunciamos un teorema de existencia y unicidad, el cual también nos proveerá una fórmula para calcular los símbolos de Christo¤el en términos de la métrica Riemanniana. Teorema 1.2 (Levi-Civita) Dada una variedad Riemanniana M , existe una única conexión afín r en M satisfaciendo las condiciones: a) r es simétrica. b) r es compatible con la métrica Riemanniana. Prueba. Ver referencia M.P. Do Carmo [4]. Observación 1.1 La conexión dada por el teorema anterior es denominada conexión de Levi-Civita (o conexión Riemanniana) de M .. Sea M una variedad Riemanniana, r su conexión Riemanniana y (U; x) un sistema de coordenadas, entonces. rXi Xj = donde. k ij. X. k ij Xk. (1.1). k. son los coe…cientes de la conexión r en U o los símbolos de. Christo¤el de la conexión. De 1.1 se sigue que: 10.

(17) X. l ij glk. =. l. 1 2. @ @ gjk + gki @xi @xj. @ gij @xk. donde gij = hXi ; Xj i son elementos de la matriz (gkm ), y como g km es su matriz inversa, tenemos que. m ij. =. 1X 2 k. @ @ gjk + gki @xi @xj. @ gij g km @xk. (1.2). podemos también observar de la expresión (1.1) que …jada una carta toda la información de la conexión está dada por el conjunto de valores. k ij ,. símbolos. de Christo¤el .. 1.1.2.. Curvatura. La siguiente de…nición de curvatura mide intuitivamente, cuanto una variedad Riemanniana deja de ser euclidiana.. De…nición 1.6 La curvatura R de una variedad Riemanniana M es una correspondencia que asocia a cada par. X,Y 2 X(M ). una aplicación. R (X; Y ) dada por: R (X; Y ) : X(M ). Z. !. X(M ). ! R (X; Y ) Z = rY rX Z. rX rY Z + r[X;Y ] Z. donde Z 2 X(M ) y r es la conexión Riemanniana M: Notación 1.1 Se escribirá por conveniencia hR (X; Y ) Z; T i = (X; Y; Z; T ).. 11.

(18) Las siguientes dos proposiciones exhiben propiedades sobre la curvatura, cuyas demostraciones pueden ser encontradas en Do Carmo [4]. Proposición 1.1 La curvatura R de una variedad Riemanniana goza de las siguientes propiedades:. (i) R es bilineal en X(M ). X(M ), esto es,. R(f X1 + gX2 ; Y1 ) = f R (X1 ; Y1 ) + gR (X2 ; Y1 ) , R (X1 ; f Y1 + gY2 ) = f R (X1 ; Y1 ) + gR (X1 ; Y2 ) , (ii) Para todo par X,Y 2 X(M ), el operador curvatura R (X; Y ) : X(M ) ! X(M ) es lineal, esto es, R (X; Y ) (Z + W ) = R (X; Y ) Z + R (X; Y ) W , R (X; Y ) f Z = f R(X; Y )Z, f 2 D(M ), Z,W 2 X(M ). Proposición 1.2 R (X; Y ) Z + R (Y; Z) X + R (Z; X) Y = 0. 1. (X; Y; Z; T ) + (Y; Z; X; T ) + (Z; X; Y; T ) = 0 2. (X; Y; Z; T ) =. (Y; X; Z; T ). 3. (X; Y; Z; T ) =. (X; Y; T; Z). 4. (X; Y; Z; T ) = (Z; T; X; Y ). Escribamos la curvatura R en un sistema de coordenadas (U; x) en torno del punto p 2 M . 12.

(19) Denotaremos, como de costumbre, X=. X. ui Xi ,. Y =. i. X. @ @xi. = Xi ,. v j Xj ,. Z=. j. Si R (Xi ; Xj ) Xk =. X. wk Xk ,. k. X. l Rijk Xl .. l. l son las componentes de la curvatura R en (U; x). Se obtiene por donde Rijk. la linealidad de R que R(X; Y )Z =. XXXX. l Rijk ui v j wk Xl. (1.3). i=1 j=1 k=1 l=1. Por otro lado R (Xi ; Xj ) Xk = rXj rXi Xk rXi rXj Xk ! X X l r X = rXj Xi ik l. l jk Xl. l. l. !. ,. lo que, por un calculo directo, resulta s Rijk =. X. l ik. l. s jl. X. l jk. s il. l. +. @ @xj. s ik. @ @xi. s jk. .. (1.4). y entonces observamos que R depende solamente de los valores de los campos en un punto, además R depende únicamente de la métrica. Notación 1.2 Dado un espacio vectorial V , indicaremos por jx ^ yj la expresión. q jx ^ yj = jxj2 jyj2. hx; yi2 ,. que representa el área del paralelogramo bidimensional determinado por el par de vectores x,y 2 V:. 13.

(20) Proposición 1.3 Sea. Tp M un subespacio bidimensional del espacio. tangente Tp M y sean x,y 2. dos vectores linealmente independientes. En-. tonces (x; y; x; y) jx ^ yj2 no depende de la elección de los vectores x,y 2 . K (x; y) =. Prueba. Ver referencia M.P. Do Carmo [4]. De…nición 1.7 Dado un punto p 2 M y un subespacio bidimensional Tp M el número real K (x; y) = K ( ), es llamada curvatura seccional de en p, donde fx; yg es una base cualquiera de . La curvatura seccional en geometría Riemanniana es una generalización de la curvatura Gaussiana para super…cies, esto será visto más adelante usando la segunda forma fundamental.. 1.1.3.. La segunda forma fundamental. La segunda forma fundamental es un objeto que nos va a permitir estudiar la variedad Riemanniana y la super…cie en que está contenida en ella. De…nición 1.8 Sean M y N variedades Riemanniana. Un difeomor…smo f :M. ! N (esto es, f es una biyección diferenciable con inversa diferen-. ciable) es llamado una isometría si: hu; vip = hdfp (u) ; dfp (v)if (p) , para todo p 2 M , u, v 2 Tp M . De…nición 1.9 Sea f : M n diferenciable y dfp : Tp M. ! M. n+m. una inmersión, esto es, f es. ! Tf (p) M es inyectiva para todo p en M . Si M. tiene una estructura Riemanniana, f induce una estructura Riemanniana en M por hu; vip = hdfp (u) ; dfp (v)if (p) , para todo p 2 M 14. u, v 2 Tp M . La.

(21) métrica de M es llamada entonces la métrica inducida por f , y f es una inmersión isométrica donde f ,g 2 D(M ), X1 ,X2 , Y1 , Y2 2 X(M ). Sea f : M n. ! M. n+m. existe una vecindad U. una inmersión. Entonces, para cada p 2 M ,. M de p tal que f (U ). M es una subvariedad. de M . Esto quiere decir que existe una vecindad U difeomor…smo ' : U. !V. M de f (p) y un. Rk en un abierto V de Rk , tales que ' aplica. difeomór…camente f (U ) \ U en un abierto del subespacio Rn. Rk .. Para simpli…car la notación, identi…caremos U con f (U ) y cada vector v 2 Tp M , q 2 U , con, dfq (v) 2 Tf (q) M . Usaremos tales identi…caciones para extender, por ejemplo, un campo local (esto es, de…nido en U ) de vectores de M a un campo local (esto es, de…nido en U ) de vectores en M ; si U es su…cientemente pequeño, tal extensión es siempre posible, como se ve usando el difeomor…smo '. Para cada p 2 M , el producto interno en Tp M descompone Tp M en suma directa Tp M = Tp M. (Tp M )? ,. donde (Tp M )? es el complemento ortogonal de Tp M en Tp M . Si v 2 Tp M , p 2 M , podemos escribir v = vT + vN ,. v T 2 Tp M , v N 2 (Tp M )?. Denominamos v T la componente tangencial de v y v N la componente normal de v. La conexión Riemanniana de M será indicada por r y la conexión Riemanniana de M será indicada por r, así X y Y son campos locales de vectores en M , y X , Y son las extensiones locales a M . Ahora, en este contexto surge una pregunta natural ¿Cuál es la relación entre ambas conexiones Riemannianas? 15.

(22) La respuesta es dada por la siguiente proposición. Proposición 1.4 La conexión de M relativa a la métrica inducida de M es rX Y = rX Y. T. .. Prueba. De…namos: e X Y := r Y r X. T. mostremos que esta conexión esta bien de…nida, es compatible y simétrica con la métrica. e X Y está bien de…nida consiste en mostrar (i) Mostrar que la conexión r que la conexión anterior no depende de las extensiones.. e X Y está bien de…nida pues r Y en p 2 M solo depende de r X. X (p) = X (p) y de los valores de Y a lo largo de alguna curva tangente a X (p) = X (p). e es una conexión, esto sale del hecho que r ya es Es fácil probar que r una conexión y la operación de proyección tangencial ( )T es una trans-. formación lineal es decir la operación (. )T no afecta las propiedades. de conexión de M . (ii) Compatibilidad con la métrica Riemanniana. 1. Es consecuencia del hecho que el producto escalar de la subvariedad M es la misma que el producto escalar del espacio ambiente M . Sean X,Y ,Z 2 X(M ) y X,Y ,Z 2 X(M ) extensiones de X,Y ,Z respectivamente, es decir, X = X, Y = Y , Z = Z a lo largo de M . Todos. 16.

(23) los siguientes cálculos se harán a lo largo de M . X hY; Zi = X Y ; Z rX Y ; Z + Y ; rX Z E D D T rX Y ; Z + Y ; rX Z = D E D E e e = rX Y; Z + Y; rX Z . =. (iii) Simetría. e XY r. eY X = r =. rX Y X; Y. rY X. T. E. T. T. = [X; Y ] . Luego de (i), (ii), (iii) y de la unicidad del Teorema Levi-Civita se tiene e XY = r Y el resultado rX Y = r X. T. .. Podemos ver que la conexión de Levi-Civita r de una subvariedad M. se admite de manera simple: Se considera la conexión r del espacio ambiente M y se toma la proyección tangente a M , esto signi…ca que existe una componente normal de la conexión r que está pasando desapercibido, esa componente normal es exactamente la de…nición de la segunda forma fundamental. Notación 1.3 Indicaremos por X(U )? los campos diferenciables en U de vectores normales a U . De…nición 1.10 Si X,Y son campos locales en M y X,Y 2 X(M ) sus extensiones, la segunda forma fundamental de M en M , es de…nida por la. 17.

(24) siguiente operación B : X(M ). (X. X(M ) ;. Y). !. X(M )?. ! B(X; Y ) = rX Y. rX Y .. B(X; Y ) es un campo local en M , normal a M . X(M ) ! X(M )?. Proposición 1.5 Si X,Y 2 X(M ), la aplicación B : X(M ). es bilineal y simétrica, y no depende de las extensiones de X y Y: Prueba. Por las propiedades de linealidad de una conexión, se concluye que B es aditiva en X ,Y y que B(f X; Y ) = f B(X; Y ), f 2 D(U ). Resta mostrar que B(X; f Y ) = f B(X; Y ), f 2 D(U ). Indicaremos por f una extensión de f a U , tenemos B(X; f Y ) = rX f Y = f rX Y. rX (f Y ) f rX Y + X f Y. X (f ) Y .. Como en M , f = f y X f = X (f ), tenemos que los dos últimos términos se anulan, así B(X; f Y ) = f B(X; Y ), esto es, B es bilineal. Para mostrar que B es simétrica, utilizamos la simetría de la conexión Riemanniana B(X; Y ) = rX Y. rX Y. = rX Y + rY X. rY X. rX Y + rY X. = rY X + rX Y. rY X. rY X. = rY X + X; Y. rY X. [X; Y ] .. rY X. (rX Y. rY X). como en M , X; Y = [X; Y ], concluímos que B(X; Y ) = B(Y; X).. De esta proposición, expresando B en un sistema de coordenadas, resulta que el valor de B(X; Y ) (p) depende apenas de X (p) y Y (p). 18.

(25) Ahora podremos de…nir la segunda forma fundamental de una forma parecida a como se de…nió en el curso de geometría diferencial. Sea p 2 M , x, y 2 Tp M y. 2 (Tp M )? , la aplicación siguiente:. H : Tp M. (x. ;. Tp M. !. y). !. R H (x; y) = hB(x; y); i. es por la proposición anterior, una forma bilineal simétrica. De…nición 1.11 La forma cuadrática asociada a H, denotada por II y de…nida en Tp M por II (x) = H (x; x) es llamada la segunda forma fundamental de f en p según el vector normal . Observamos que a la aplicación bilineal H está asociada una aplicación lineal auto-adjunta S : Tp M ! Tp M dado por hS (x) ; yi = H (x; y) = hB(x; y); i . Proposición 1.6 Sea p 2 M , x 2 Tp M y sión local de. 2 (Tp M )? . Sea N una exten-. normal a M . Entonces rx N. S (x) =. T. .. (1.5). Prueba. Sea y 2 Tp M y X, Y extensiones locales de x, y, respectivamente, y tangente a M . Entonces hN; Y i = 0, y por lo tanto hS (x) ; yi = hB(X; Y ) (p) ; N i =. rX Y. =. rX Y; N (p) =. =. rX Y; N (p). rx N; y 19. Y; rX N (p).

(26) para todo y 2 Tp M . La ecuación S (x) =. T. rx N. nos dice que la información de la segun-. da forma fundamental es exactamente la información de como los vectores normales varían a lo largo de la subvariedad M . Consideremos el caso particular en que la codimensión de la inmersión es 1, esto es, f : M n ! M. n+1. ; f (M ). M es entonces denominada una. 2 (Tp M )? , j j = 1. Como S : Tp M. hipersuper…cie. Sea p 2 M ,. ! Tp M. es simétrica por álgebra lineal se sabe que S puede ser diagonalizado por una base ortonormal, así existe una base ortonormal de vectores propios fe1 ; : : : ; en g de Tp M con valores propios reales S (ei ) = donde. 1; : : : ;. det(Sn ) = k(p) =. n. i ei ,. 1. i. 1; : : : ;. n,. esto es, (1.6). n:. son llamadas las curvaturas principales de M en p y. 1: 2:. :. n. es llamada la curvatura de Gauss - Kronecker. Observación 1.2 En el caso de hipersuper…cie el vector rx N (p) siempre da un vector tangente si jN j = 1. En efecto: jN j. =. 1. hN; N i. =. 1. =. 0. ). rx N (p) 2 Tp M .. rx N; N. (1.7). =) rx N (p) = rx N (p) .. =. S (x). 20. T. (1.8).

(27) 1.1.4.. Ecuación de Gauss. Sean X,Y ,Z,W 2 X(M ), denotaremos de igual forma sus extensiones a M hR (X; Y ) Z; W i , es la curvatura de M . R (X; Y ) Z; W , es la curvatura de M . La ecuación de Gauss responde a la siguiente pregunta: ¿Cuál es la relación entre la curvatura R de la subvariedad M y la curvatura R del espacio ambiente M ? La respuesta es dada por la ecuación de Gauss dada a continuación. Teorema 1.3 (Ecuación de Gauss) Sean X,Y ,Z,W 2 X(M ), hR (X; Y ) Z; W i =. R (X; Y ) Z; W + hB (Y; W ) ; B (X; Z)i hB (X; W ) ; B (Y; Z)i. 21. (1.9).

(28) Proposición 1.7 Prueba. Sean X,Y ,Z,W 2 X(M ) R (X; Y ) Z; W. =. rY rX Z. rX rY Z + r[X;Y ] Z; W .. = hrY (rX Z + B(X; Z)). rX (rY Z + B(Y; Z)). +r[X;Y ] Z + B ([X; Y ] ; Z) ; W i. = hrY rX Z + rY B(X; Z). rX rY Z. rX B(Y; Z). +r[X;Y ] Z + B ([X; Y ] ; Z) ; W i. = hrY rX Z + B(Y; rX Z). rX rY Z. +r[X;Y ] Z + rY B(X; Z). B(X; rY Z). rX B(Y; Z) +. B ([X; Y ] ; Z) ; W i. = hrY rX Z. rX rY Z + r[X;Y ] Z; W i +. hrY B(X; Z); W i. hrX B(Y; Z); W i.. = hR (X; Y ) Z; W i. hB(X; Z); rY W i + hB(Y; Z); rX W i.. = hR (X; Y ) Z; W i. hB(X; Z); rY W i + hB(Y; Z); rX W i.. = hR (X; Y ) Z; W i. hB(X; Z); B (Y; W )i +. ?. ?. hB(Y; Z); B (X; W )i. de aquí se sigue el resultado. La ecuación de Gauss dice que la diferencia de la curvatura de la subvariedad M y la curvatura del espacio ambiente M es dada por la información de la segunda forma fundamental B, es decir, la segunda forma fundamental mide o captura la diferencia entre las curvaturas. Una consecuencia importante de la ecuación de Gauss es el siguiente corolario, el cual relaciona la curvatura seccional K (x; y) de M , la curvatura seccional K (x; y) de M y la segunda forma fundamental B.. 22.

(29) Corolario 1.2 Sean p 2 M ; x, y vectores ortonormales de Tp M . Entonces K (x; y). jB (x; y)j2 .. K (x; y) = hB (x; x) ; B (y; y)i. (1.10). Prueba. La prueba es solo un simple remplazo en la ecuación (1.9) , teniendo en cuenta que X = Z = x, Y = W = y donde X, Z son extensiones de x; Y , W son extensiones de y. Sea p 2 M ; x; y 2 Tp M y. 2 (Tp M )? , j j = 1, B (x; y) 2 (Tp M )? .. Regresando al caso de hipersuper…cies donde el espacio normal es de dimensión uno, para el operador S : Tp M. ! Tp M simétrico, por la ecuación. (1.6) ya sabemos que existe una base ortonormal de vectores propios fe1 ; : : : ; en g de Tp M con valores propios reales S (ei ) =. i ei ,. 1. i. n, donde. 1; : : : ;. 1; : : : ; n. n,. esto es,. son llamadas las curvaturas. principales y los vectores e1 ; : : : ; en son llamadas las direcciones principales de M en p. Para una hipersuper…cie M =) El espacio normal es de dimensión uno. =). B (x; y) = c , para algún c 2 R.. =) c = hB (x; y) ; i = hS (x) ; yi . =) c = hB (ei ; ej ) ; i = hS (ei ) ; ej i =) c = h i ei ; ej i =) c =. i. hei ; ej i .. =) B (ei ; ej ) = =). i. hei ; ej i .. Si i = j; B (ei ; ej ) =. i. .. Si i 6= j; B (ei ; ej ) = 0 . Si tomamos un plano generado dado por direcciones principales entonces la diferencia de la curvatura seccional K de la subvariedad M y de la curvatura seccional K del ambiente M es dado por el producto de las curvaturas 23.

(30) principales correspondientes, esto resulta del corolario 1.10 de la ecuación de Gauss K (ei ; ej ). K (ei ; ej ) =. (1.11). i j:. de esta ecuación podemos observar que la información de la segunda forma fundamental está contenida en el producto de las curvaturas principales. En el caso de super…cies regulares S. R3 tenemos que K (ei ; ej ) =. i j lo. que implica que la curvatura seccional es la curvatura de Gauss de S:. 1.2.. Ecuaciones de compatibilidad del espacio euclideano. Sea S una super…cie regular orientable y orientada. Sea x : U. R3 ! S. una parametrización, asociamos a cada punto x(U ) un triedro dado por los vectores xu ; xv y N: Derivando los vectores anteriores y expresándolos en combinación lineal con los anteriores en la base fxu ; xv ; N g obtendremos:. x uu =. 1 11 xu. +. 2 11 xv. + L1 N. x uv =. 1 12 xu. +. 2 12 xv. + L2 N. xvv =. 1 22 xu. +. 2 22 xv. + L3 N. xvu =. 1 21 xu. +. 2 21 xv. + L2 N. (1.12). Nu = a11 xu + a21 xv Nv = a12 xu + a22 xv Sabemos que las derivadas de xu ; xv y N en la base fxu ; xv ; N g dependen de los coe…cientes de la primera y segunda forma fundamental de la super…24.

(31) cie S. Ahora obtendremos relaciones entre los coe…cientes, considerando las siguientes expresiones:. (x uu )v. (x uv )u = 0. (xvv )u. (xvu )v = 0. Nuv. (1.13). Nvu = 0. De 1.12 y 1.13 tenemos:. A1 xu + B1 xv + C1 N = 0 A2 xu + B2 xv + C2 N = 0 A3 xu + B3 xv + C3 N = 0 Como los vectores xu ; xv y N son L.I. entonces Ai = Bi = Ci = 0; i = 1; 2; 3; haciendo cálculos obtenemos la fórmula de Gauss:. 2 12u. 1 11 v. +. 1 2 12 11. +. 2 2 12 12. 2 2 11 22. 1 2 11 12. =. EK. Luego también obtenemos:. ev fv. f = e. 1 12. +f. 1 12. 1 11. g. 2 11. gu = e. 1 22. +f. 2 22. 1 12. g. 2 12. Estas dos últimas ecuaciones son llamadas ecuaciones de Mainardi - Codazzi, y las tres ecuaciones en conjunto son conocidas como ecuaciones de compatibilidad de la teoría de super…cies.. 25.

(32) Teorema 1.4 (Bonnet) Sean E, F, G, e, f, g funciones diferenciables de…nidas en un conjunto abierto V. R2 ; E > 0; G > 0: Suponga que las fun-. ciones dadas satisfacen las ecuaciones de Gauss y Mainardi - Codazzi y que EG. F 2 > 0: Entonces, para todo q 2 V existe una vecindad U. y un difeomor…smo x : U x(U ). R2 ! x(U ). V de q. R3 tal que la super…cie regular. R3 tiene a E, F, G, e, f, g como coe…cientes de la primera y segunda. formas fundamentales respectivamente. Prueba. Una prueba puede ser vista en [3]. 26.

(33) Capítulo 2 Desarrollo de algunas super…cies Riemannianas importantes y una aplicación de la segunda forma fundamental en el cálculo de la curvatura de super…cies de revolución 2.1.. Primera y segunda forma fundamental de super…cies inmersas en el espacio Hiperbólico H3. En esta sección las referencias utilizadas son R. Sá Earp & E. Toubiana [1] , Ady Cambraia Júnior [2] y M.P. Do Carmo [3]. Después de haber expuesto 27.

(34) las herramientas para el desarrollo de nuestro tema de tesis, presentaremos aquí el modelo del espacio hiperbólico en el cual trabajaremos y algunos aspectos geométricos de este espacio.. 2.1.1.. Espacio Hiperbólico H3. 2.1.2.. Modelo del semiespacio. Consideremos el siguiente conjunto: H3 = (x; y; z) 2 R3 ; z > 0 Este subconjunto de R3 es llamado de semi-espacio superior de R3 , en seguida a este conjunto le dotaremos de una geometría mediante la siguiente de…nición. De…nición 2.1 La métrica o primera forma fundamental gH de H3 en p = (x; y; z) 2 H3 es dado por dx2 + dy 2 + dz 2 gH = z2 La cual tiene una representación matricial 1 0 1 0 0 C B z2 C B 1 (gij ) = B 0 z2 0 C A @ 1 0 0 z2. Así, en cada punto p = (x; y; z) 2 H3 tenemos el producto escalar denotado por h:; :iH3 , llamado de producto escalar hiperbólico, de…nido sobre Tp H3 por la métrica gH de la siguiente manera: Para todos los vectores u = (u1 ; u2 ; u3 ) y v = (v1 ; v2 ; v3 ) con punto base p, es decir, u, v 2 Tp H3 ,. 28.

(35) tenemos hu; vi z2 u 1 v 1 + u2 v 2 + u3 v 3 = z2. hu; viH =. donde h:; :i designa el producto escalar Euclidiano de R3 , consecuentemente tenemos la norma asociada a h:; :iH que denotaremos por k:kH , mas precisamente q hu; uiH r hu; ui = z2 kuk = z. kukH =. donde k:k designa la norma Euclidiana de R3 . El borde asintótico o borde al in…nito de H3 es denotado por @1 H3 y de…nido por @1 H3 = (x; y; z) 2 R3 ; z = 0 [ f1g De…nición 2.2 El espacio H3 provisto de la métrica gH es el modelo del semi-espacio del espacio hiperbólico de dimensión 3. De…nición 2.3 Un difeomor…smo f : (H3 ; gH ) ! (H3 ; gH ) es una isometría para la métrica gH , si f preserva la métrica gH . Mas precisamente, f es una isometría si para todo punto p = (x1 ; x2 ; x3 ) 2 H3 y todo vector u = (u1 ; u2 ; u3 ), v = (v1 ; v2 ; v3 ) 2 Tp H3 se tiene hu; viH = hDfp (u) ; Dfp (v)iH es decir, u 1 v 1 + u 2 v 2 + u3 v 3 hDfp (u) ; Dfp (v)i = 2 x3 y32 a donde f (p) = (y1 ; y2 ; y3 ) y Dfp designa la derivada de f en p.. 29.

(36) 2.1.3.. Primera forma fundamental de una super…cie S inmersa en H3. El concepto de primera forma fundamental es importante, porque nos permite hacer medidas sobre un objeto es decir, hacer geometría. Sea X: (u. ;. R2. !. H3. v). !. X(u; v). una parametrización local de una super…cie S y N el vector normal unitario de…nido en una vecindad de p 2 S. De…nición 2.4 La primera forma fundamental de la super…cie S. H3 es. la siguiente forma bilineal simétrica positiva de…nida, Ip (w) = hw; wip = kwk2p donde p 2 H3 , w 2 Tp H3 . Vamos a expresar la primera forma fundamental en la base fXu1 ; Xu2 g asociada a la parametrización anterior. Como un vector tangente w 2 Tp S es el vector tangente a una curva parametrizada t2(. ; ), con p =. (t) = X (u1 (t) ; u2 (t)),. (0) = X (u1 (0) ; u2 (0)), obtenemos:. Ip ( 0 (0)) = h 0 (0);. 0. (0)ip. = hXu1 u01 + Xu2 u02 ; Xu1 u01 + Xu2 u02 ip 2. 2. = hXu1 ; Xu1 ip (u01 ) + 2 hXu1 ; Xu2 ip u01 u02 + hXu2 ; Xu2 ip (u02 ) 2. = g11 (u01 ) + 2g12 u01 u02 + g22 (u02 )2 Los coe…cientes gij = hXi ; Xj i, donde Xi =. @X @ui. son llamados de coe…cientes. de la primera forma fundamental en la base fXu1 ; Xu2 g. 30.

(37) La matriz de la primera forma fundamental es denotada por G = (gij ). Esa matriz es simétrica positiva de…nida. Es importante tener para lo que sigue los valores de los símbolos de Christo¤el de la conexión, que es un objeto que solo depende de la métrica, como ya fue visto en el capítulo 1 por la ecuacin (1.2). Utilizando esta ecuación a continuación mostraremos a modo de ejemplo el cálculo de dos símbolos de Christo¤el. 1 11. 1X = 2 k=1 3. m ij. 1 11. 3 11. 3 11 :. y. @ @ gjk + gki @xi @xj. @ gij g km @xk. (2.1). 1 @ @ @ ( g11 + g11 g11 g 11 + 2 @x1 @x1 @x1 @ @ @ g13 + g31 g11 g 31 ) @x1 @x1 @x3 = 0. @ @ g12 + g21 @x1 @x1. @ g11 g 21 + @x2. @ @ @ 1 ( g11 + g11 g11 g 13 + 2 @x1 @x1 @x1 @ @ @ g13 + g31 g11 g 33 ) @x1 @x1 @x3 1 = z. @ @ g12 + g21 @x1 @x1. @ g11 g 23 + @x2. =. =. y procediendo de manera similar por un cálculo, los símbolos de Christo¤el para H3 son: 1 11. =0. 1 12. =0. 1 13. =. 2 11. =0. 2 12. =0. 2 13. 3 11. =. 1 z. 3 12. =0. 3 13. 1 z. 1 22. =0. 1 23. =0. =0. 2 22. =0. 2 23. =. =0. 3 22. =. 1 z. 3 23. =0. 31. 1 z. 1 33. =0. 2 33. =0. 3 33. =. 1 z. (2.2).

(38) Segunda forma fundamental de una super…cie S. 2.1.4.. inmersa en H3 La segunda forma fundamental es un objeto matemático que nos va a permitir estudiar la relación que existe entre la super…cie y el espacio ambiente en el que está contenida tal como ya fue visto en el capítulo 1. Como hemos podido observar del capítulo 1, para poder realizar el cálculo de la segunda forma fundamental de una super…cie S. H3 , necesitamos. conocer la conexión del espacio ambiente r, que en este caso en particular el ambiente es el espacio hiperbólico H3 . En efecto: Escogiendo un sistema de coordenadas en el entorno de p 2 H3 y utilizando la ecuación (1.1) y los resultados (2.2) que son los valores de los símbolos de Christo¤el se tiene que re1 e1 =. 1 11 e1. +. 2 11 e2. +. 3 11 e3. = z1 e3. re2 e2 =. 1 22 e1. +. 2 22 e2. +. 3 22 e3. = z1 e3. re1 e2 =. 1 12 e1. +. 2 12 e2. +. 3 12 e3. =0. re2 e3 =. 1 23 e1. +. 2 23 e2. +. 3 23 e3. =. 1 e z 2. re1 e3 =. 1 13 e1. +. 2 13 e2. +. 3 13 e3. =. re3 e3 =. 1 33 e1. +. 2 33 e2. +. 3 33 e3. =. 1 e z 3. 1 e z 1. Si p = (x; y; z) 2 H3 ; Tp H3 ' R3 y fe1 ; e2 ; e3 g una base para R3 luego para X; Y 2 Tp H3 con. X(p) = (f (p); g(p); h(p)) = f (p)e1 + g(p)e2 + h(p)e3. Y (p) = (m(p); n(p); r(p)) = m(p)e1 + n(p)e2 + r(p)e3 se tiene aplicando propiedades de conexión vistos ya en el cápitulo 1 que: rY X = rY (f e1 + ge2 + he3 ) = rY f e1 + rY ge2 + rY he3 32.

(39) esto es, rY X = rme1 +ne2 +re3 f e1 + rme1 +ne2 +re3 ge2 + rme1 +ne2 +re3 he3 Ahora calcularemos cada uno de los tres sumando de 2.3. rme1 +ne2 +re3 f e1 = =. mre1 f e1 + nre2 f e1 + rre3 f e1 m(e1 (f )e1 + f re1 e1 ) + n(e2 (f )e1. +f re2 e1 ) + r(e3 (f )e1 + f re3 e1 ) 1 = m fx e1 + f e3 + n (fy e1 + f 0) + z 1 e1 r fz e1 + f: z rf mf e3 + nfy e1 + rfz e1 e1 = mfx e1 + z z ;. rme1 +ne2 +re3 ge2 = mre1 ge2 + nre2 ge2 + rre3 ge2 = m(e1 (g)e2 + gre1 e2 ) + n(e2 (g)e2 +gre2 e2 ) + r(e3 (g)e2 + gre3 e2 ) g g = m (gx e2 ) + n gy e2 + e3 + r gz e2 e2 z z gr gn = mgx e2 + ngy e2 + e3 + rgz e2 e2 z z y. 33. (2.3).

(40) rme1 +ne2 +re3 he3 = mre1 he3 + nre2 he3 + rre3 he3 = m(e1 (h)e3 + hre1 e3 ) + n(e2 (h)e3 +hre2 e3 ) + r(e3 (h)e3 + hre3 e3 ) h h h = m hx e3 e1 + n hy e3 e2 + r hz e3 e3 z z z nh rh mh e1 + nhy e3 e2 + rhz e3 e3 = mhx e3 z z z Reemplazando en (2.3) : rY X =. 1 1 mh + nfy + rfz rf e1 + z z 1 1 rg e2 mgx + ngy + rgz nh z z 1 1 1 + mhx + nhy + rhz + mf + ng rh z z z mfx. e3. …nalmente tenemos la conexión de H3 : rY X =. rf + mh e1 + z rg + nh mgx + ngy + rgz e2 + z mf + ng rh mhx + nhy + rhz + e3 z mfx + nfy + rfz. recordando propiedades de linealidad de la derivada direccional Euclidiana esta expresión de la conexión hiperbólica también la podemos escribir de una. 34.

(41) forma más elegante, en efecto: rY X = (mfx + nfy + rfz ; mgx + ngy + rgz ; mhx + nhy + rhz ) + rf + mh rg + nh mf + ng rh ; ; z z z = (mfx ; mgx ; mhx ) + (nfy ; ngy ; nhy ) + (rfz ; rgz ; rhz ) + 1 ( (rf + mh) ; (rg + nh) ; mf + ng rh ) z = m (fx ; gx ; hx ) + n (fy ; gy ; hy ) + r (fz ; gz ; hz ) + 1 ( (rf + mh) ; (rg + nh) ; mf + ng rh ) z @X @X @X = m +n +r + @x @y @z 1 ( (rf + mh) ; (rg + nh) ; mf + ng rh ) z = m dX:e1 + n dX:e2 + r dX:e3 + 1 ( (rf + mh) ; (rg + nh) ; mf + ng rh ) z = dX: (m e1 + n e2 + r e3 ) + 1 ( (rf + mh) ; (rg + nh) ; mf + ng rh ) z Luego tenemos una fórmula de la conexión hiperbólica H3 un poco más compacta.. rY X = dX:Y +. 1 ( (f r + mh) ; z. (gr + nh) ; f m + gn. hr ). (2.4). de la cual podemos observar que la conexión hiperbólica es la suma de la derivada direccional euclidiana más otro término el cual tiene que ver con los símbolos de Christo¤el de la conexión hiperbólica, la anterior conclusión sacada de la fórmula, es un hecho general que ya se vió en el primer capítulo. De la anterior a…rmación podemos pensar que conexión hiperbólica puede ser vista como una derivada de X en relación a Y o más precisamente es 35.

(42) una derivada direccional del campo X en la dirección del campo Y esta es la forma en que realmente la utilizaremos para nuestros propósito a desarrollar. La última expresión de la conexión encontrada será utilizada posteriormente en los cálculos que vayamos a realizar porque es fácilmente manipulable y sencillo de recordar. La última formula 2.4 se puede también escribir de manera matricial, de forma similar a la matriz jacobiana para el espacio euclidiano R3. re1 X = dX:e1 +. 1 ( h; 0; f ) z. @X 1 + ( h; 0; f ) @x z 1 = (fx ; gx ; hx ) + ( h; 0; f ) z f h ; gx ; hx + = fx z z =. procediendo de manera similar obtenemos re2 X = (fy ; gy re3 X = (fz. h g ; hy + ) z z g h ; hz + ) z z. f ; gz z. de aquí. rX. 2. 6 6 = 6 4. 2. h z. fx gx hx +. fy gy. f z. f f 6 x y 6 = 6 gx gy 4 hx hy. h z. fz. f z. gz. g z. 3 7 7 7 5. hy + gz hz hz 3 2 h fz 0 7 6 z 7 6 h gz 7 + 6 0 z 5 4 f g hz z z. f z g z h z. 3 7 7 7 5. Así obtenemos la siguiente expresión, la cual vamos a llamar jacobiana hiperbólica. 36.

(43) 2. 2. 3. f f f h 6 x y z 7 16 6 6 7 rX = 6 gx gy gz 7 + 6 0 4 5 z4 hx hy hz f. 0 h g. f. 3. 7 7 g 7 5 h. Un ejemplo importante de aplicación de la conexión utilizando una fórmula similar a 2.4 (fórmula hallada anteriormente), es el cálculo de la curvatura de curvas planas en el plano hiperbólico, para eso utilizaremos el espacio hiperbólico de dimensión dos H2 (modelo del semi-espacio) del cual por cálculos similares ya realizados anteriormente para H3 conocemos: Los coe…cientes de la conexión de H2 1 y. 1 11. =0. 1 12. =. 2 11. =. 1 y. 2 12. =0. 1 22. =0. 2 22. =. 1 y. también re1 e1 =. 1 11 e1. +. 2 11 e2. = y1 e2. re1 e2 =. 1 12 e1. +. 2 12 e2. =. 1 e y 1. re2 e2 =. 1 22 e1. +. 2 22 e2. =. 1 e y 2. Si p = (x; y) 2 H2 ; Tp H2 ' R2 y fe1 ; e2 g una base para R2 luego para X; Y 2 Tp H2 con. X(p) = f (p)e1 + g(p)e2. Y (p) = m(p)e1 + n(p)e2 tenemos la conexión de H2 explícitamente: rY X =. mfx + nfy. mg + nf mf ng ; mgx + ngy + y y 37.

(44) El cual también puede ser escrito como rY X = dX:Y +. 1 ( (f n + mg) ; mf y. gn ). A continuación de…namos la curvatura de una curva en H2 : Sea c(t) = (c1 (t); c2 (t)) 2 H2 ; t 2 ]a; b[ ;una curva de clase C 2 parametrizada por longitud de arco, es decir que kc0 (t)kH2 = 1 para todo t 2 ]a; b[ : El vector c0 (t) = (c01 (t); c02 (t)) es el vector velocidad de la curva. c y el vector. n+ (c(t)) = ( c02 (t); c01 (t)) es normal a la curva c para cada t y además fc0 (t); n+ (c(t))g es una base positiva de Tp H2 ' R2 : De…nición 2.5 Utilizando las mismas notaciones anteriores llamamos curvatura hiperbólica de c con respecto al vector normal n+ (c(t)); denotado por kh+ (c(t)) el número real kh+ (c(t)) = c00H2 (t) ; n+ (c(t)). H2. donde c00H2 (t) es la aceleración de la curva c visto desde H2 : Ahora nuestro objetivo es encontrar una fórmula para la curvatura de una curva de H2 en función de las componentes de la curva c ,para que no se torne un poco engorroso los cálculos que realizaremos a continuación, omitiremos los argumentos de c(t),c1 (t) , c2 (t) y sus derivadas.Es aquí donde usaremos la fórmula de la conexión de H2 calculada anteriormente para obtener c00H2 (t) , el cual no es mas que:. c00H2 (t) = rc0 c0 = dc0 :c0 +. 1 c2. = (c001 ; c002 ) +. 2. 2. (c01 c02 + c01 c02 ) ; (c01 ) 1 c2. 2. 2c01 c02 ; (c01 ) 38. (c02 ) 2. (c02 ).

(45) Luego calculamos la curvatura. kh+ (c(t)) = = =. = = =. c00H2 (t) ; n+ (c(t)) H2 1 2 2 (c02 ) ; ( c02 ; c01 ) (c001 ; c002 ) + 2c01 c02 ; (c01 ) c2 00 00 h(c1 ; c2 ) ; ( c02 ; c01 )iH2 + E 1 D 2 2 (c02 ) ; ( c02 ; c01 ) 2c01 c02 ; (c01 ) c2 H2 1 0 00 1 2 3 2 c01 (c02 ) (c1 c2 c001 c02 ) + 3 2c01 (c02 ) + (c01 ) 2 c2 c2 1 0 00 c01 2 2 2 00 0 (c02 ) 2 (c02 ) + (c01 ) (c c c c ) + 1 2 1 2 2 3 c2 c2 1 0 00 c01 2 2 00 0 (c (c02 ) + (c01 ) c c c ) + 1 2 1 2 2 3 c2 c2. H2. como la curva es parametrizada por longitud de arco hiperbólicamente tenemos: kc0 kH2 = 1 q (c01 )2 + (c02 )2 = 1 c2 2 2 (c01 ) + (c02 ) = c22 Así continuando con el cálculo de la curvatura 1 0 00 c01 2 00 0 = 2 (c1 c2 c1 c2 ) + 3 c2 c2 c2 0 0 00 00 0 (c1 c2 c1 c2 ) c1 kh+ (c(t)) = + c22 c2 kh+ (c(t)). La fórmula anterior para la curvatura de una curva en H2 fue también obtenida sin hacer uso de la conexión Riemanniana en la referencia [6] por Ricardo Sá Earp (pagina 118) solo utilizando propiedades geométricas de H2 , aquí nosotros la obtuvimos utilizando la conexión Riemanniana de H2 esto 39.

(46) muestra la importancia que tiene la conexión Riemanniana en el cálculo de la curvatura.Todo el anterior cálculo lo enunciaremos en el siguiente teorema.. Teorema 2.1 Sea c : ]a; b[ ! H2 una curva de clase C 2 parametrizada por longitud de arco. La curvatura kh+ (c(t)) es determinada por la fórmula kh+ (c(t)) =. (c01 c002. c001 c02 ) c22. c01 c2. +. Prueba. Es el cálculo realizado arriba. También puede ser obtenida una fórmula para el cálculo de la curvatura de una curva en H2 cuando la curva no es parametrizada por longitud de arco. Por un procedimiento similar al cálculo anterior realizado para calcular la curvatura de curvas que son parametrizadas por longitud de arco se puede obtener esa fórmula, el cual será enunciado en el siguiente teorema.. Teorema 2.2 Sea c : ]a; b[ ! H2 una curva regular de clase C 2 , no necesariamente parametrizada por longitud de arco. Tenemos para todo t en ]a; b[ la siguiente fórmula kh+ (c(t)) = c2. c01 c002. c001 c02. (c01 )2 + (c02 )2. Prueba. ver [1]. 3=2. c01. +q. (2.5). (c01 )2 + (c02 )2. Algo curioso de la fórmula del teorema anterior es que esta aparecerá en la fórmula de la curvatura de super…cies de revolución del espacio hiperbólico H3 calculada en esta tesis como veremos más adelante. La siguiente de…nición es justi…cada por algunos resultados obtenidos en el capítulo 1 , más especí…camente en 1.5 y (1.7).. 40.

(47) De…nición 2.6 La segunda forma fundamental de la super…cie S. H3 es. la forma bilineal simétrica IIp de…nida por: rw N; w. IIp (w) =. = hA (w) ; wi donde p 2 H3 , w 2 Tp S , N es un vector normal unitario hiperbólico a la super…cie S con A (w) =. El operador A (w) =. rw N y r es la conexión Riemanniana de H3 .. rw N es llamado de operador de Weingartein.. Expresando la segunda forma fundamental en la base fXu1 ; Xu2 g asociada a la parametrización, se sigue que: IIp ( 0 (0)) =. r. 0 (0). 0. N;. (0). p. N; r 0 (0) 0 (0) p D E = N; r(Xu u0 +Xu u0 ) (Xu1 u01 + Xu2 u02 ). =. 1 1. =. N; rXu1 Xu1. 2 2. 2 (u01 ). p. + 2 N; rXu2 Xu1 u01 u02 +. N; rXu2 Xu2 (u02 )2 2. = b11 (u01 ) + 2b12 u01 u02 + b22 (u02 )2 Los coe…cientes de la segunda forma fundamental son dados por: bij = =. N; rXui Xuj rXui N; Xuj .. donde r es la conexión Riemanniana de H3 y N es el normal unitario. Denotaremos la matriz de la segunda forma fundamental por B = (bij ).. 41.

(48) Observación 2.1 Notemos que A =. rN es un operador lineal auto-adjunto.. En efecto: esto es consecuencia de las propiedades de compatibilidad y simetría de la conexión. Como A es auto-adjunto, tenemos que la matriz de A en una base ortonormal es simétrica y consecuentemente los autovalores de A son reales, digamos 1,. 2.. 2.1.5.. Consecuencias de la primera y segunda forma fundamental. En este cápitulo las referencias utilizadas son R. Sá Earp & E. Toubiana [1] , Ady Cambraia Júnior [2] y M.P. Do Carmo [3]. Aquí se presentan algunas consecuencias del anterior cápitulo, también conceptos que nos permiten distinguir una super…cie de otra, como son las curvaturas. Curvatura extrínseca de una super…cie S de H3 Un concepto en geometría se dice que es extrínseco cuando tal concepto depende del espacio ambiente en donde este colocada la super…cie, es decir, cuando se necesitan medidas externas a la super…cie para calcular un determinado valor. De…nición 2.7 La curvatura media H y la curvatura de Gauss extrínseca Kext de S son de…nidas por H=. 1. + 2. 2. =. traza (A) 2. y. Kext =. 1: 2. 42. = det (A).

(49) respectivamente. Los autovalores de A,. 1. y. 2,. son llamados como antes de. curvaturas principales. Mostraremos ahora que podemos calcular una expresión de la curvatura media H y también para la curvatura de Gauss extrínseca Kext en términos de los coe…cientes de la primera y segunda forma fundamental. Notación 2.1 Ahora por convenio hacemos u = u1 , v = u2 y también Nu = rXu N y Nv = rXv N . Observe que rXu N y rXv N , son tangentes a la super…cie S, luego, rXu N = Nu = a11 Xu + a21 Xv rXv N = Nv = a12 Xu + a22 Xv por lo tanto, r 0 N = (a11 Xu + a21 Xv ) u0 + (a12 Xu + a22 Xv ) v 0 esto es,. 0. rN @. u v. 0. 0. 1. 0. A=@. a11 a12 a21 a22. 10 A@. u v. 0. 0. 1 A. Con esto mostramos que en la base fXu ; Xv g, la matriz (aij ) representa el operador de Weingartein A. Observe que la matriz de A no es necesariamente simétrica, a no ser que la basefXu ; Xv g sea una base ortonormal. Notemos que: b12 = hNu ; Xv i = a11 g12 + a21 g22 b21 = hNv ; Xu i = a12 g11 + a22 g21 b11 = hNu ; Xu i = a11 g11 + a21 g12 b22 = hNv ; Xv i = a12 g21 + a22 g22 43.

(50) Lo que en forma matricial es: 1 10 1 0 0 g11 g12 a11 a21 b11 b12 A A@ A=@ @ g21 g22 a12 a22 b21 b22 0 @. a11 a21 a12 a22. 1. A=. de donde podemos concluir que. 0 @. b11 b12 b21 b22. 10 A@. a11 =. b12 g12 g11 g22. b11 g22 (g12 )2. a12 =. b22 g12 g11 g22. b12 g22 (g12 )2. a21 =. b11 g12 g11 g22. b12 g11 (g12 )2. a22 =. b12 g12 g11 g22. b22 g11 (g12 )2. g11 g12 g21 g22. 1. 1. A. Así tenemos que: 1 H= ( 2. 1. +. 2). =. traza (A) 1 = 2 2. g11 b22 + g22 b11 2g12 b12 g11 g22 (g12 )2. (2.6). y Kext = det (A) =. b11 b22 g11 g22. (b12 )2 (g12 )2. (2.7). podemos observar de los cálculos anteriores que tanto H como Kext dependen de los coe…cientes de la primera y segunda forma fundamental de la super…cie. Solo por costumbre y también para evitarnos escribir subíndices denotaremos los coe…cientes de la primera y segunda forma fundamental por g11 = E g12 = F g22 = G b11 = e. b12 = f 44. b22 = g.

(51) así las ecuaciones (2.6) y (2.7) se ven de la siguiente forma Kext =. eg EG. f2 F2. y H=. 1 eG 2f F + gE 2 EG F 2. estas serán las formas de las ecuaciones de Kext y H, en que serán utilizadas al momento de realizar el cálculo. Observación 2.2 Si la parametrización de una super…cie es tal que F = f = 0, entonces las curvaturas principales son dadas por. e E. y. g . G. De. hecho, en este caso, la curvatura Gaussiana y la curvatura media son dadas por eg EG 1 eG + gE H= 2 EG Kext =. la a…rmación se sigue del hecho de que Kext es el producto y 2H es la suma de las curvaturas principales.. 45.

(52) Curvatura seccional de H3 Se dice que un concepto es intrínseco cuando sólo depende de la propia super…cie (de la primera forma fundamental), es decir, que para calcular un valor de un tal objeto matemático sólo necesitamos saber apenas medidas sobre la propia super…cie. En esta sección realizaremos el cálculo de la curvatura seccional de H3 , para esto utilizaremos algunas ecuaciones vistas en el capítulo 1, como por ejemplo son las ecuaciones (1.3) y (1.4),el objetivo aquí es mostrar que la curvatura seccional de H3 es constante e igual a. 1.. s En efecto, utilizando la fórmula (1.4) y por un cálculo se obtienen los Rijk s de la siguiente forma. Todos los Rijk son iguales a cero excepto: 1 1 2 2 3 3 R212 = R313 = R121 = R323 = R232 = R131 = 2 3 3 1 2 1 R211 = R311 = R322 = R122 = R233 = R133 =. 1 z2. (2.8). 1 z2. luego realizamos el cálculo de R(X; Y )X donde X = (u1 ; u2 ; u3 ); Y = (v1 ; v2 ; v3 ); X; Y son campos de Tp H3 ; la curvatura seccional de H3 estaría dada por:. 46.

(53) R(X; Y )X =. 3 X 3 X 3 X 3 X. l Riji ui vj ui Xl. i=1 j=1 i=1 l=1. =. 3 X 3 X 3 X. 1 2 3 Riji ui vj ui X1 + Riji ui vj ui X2 + Riji ui vj ui X3. i=1 j=1 i=1 1 ui vj u2 X1 +Rij2. 3 2 ui vj u2 X3 + ui vj u2 X2 + Rij2 + Rij2. 1 2 3 +Rij3 ui vj u3 X1 + Rij3 ui vj u3 X2 + Rij3 ui vj u3 X3. =. 3 X. 1 2 3 ui v1 u1 X3 + Ri11 ui v1 u1 X1 + Ri11 ui v1 u1 X2 + Ri11. i=1. 1 2 3 +Ri12 ui v1 u2 X1 + Ri12 ui v1 u2 X2 + Ri12 ui v1 u2 X3 +. 1 2 3 +Ri13 ui v1 u3 X1 + Ri13 ui v1 u3 X2 + Ri13 ui v1 u3 X3 + 1 2 3 +Ri21 ui v2 u1 X1 + Ri21 ui v2 u1 X2 + Ri21 ui v2 u1 X3 + 1 2 3 +Ri22 ui v2 u2 X1 + Ri22 ui v2 u2 X2 + Ri22 ui v2 u2 X3 + 1 2 3 +Ri23 ui v2 u3 X1 + Ri23 ui v2 u3 X2 + Ri23 ui v2 u3 X3 + 1 2 3 +Ri31 ui v3 u1 X1 + Ri31 ui v3 u1 X2 + Ri31 ui v3 u1 X3 + 1 2 3 +Ri32 ui v3 u2 X1 + Ri32 ui v3 u2 X2 + Ri32 ui v3 u2 X3 + 1 2 3 +Ri33 ui v3 u3 X1 + Ri33 ui v3 u3 X2 + Ri33 ui v3 u3 X3. Entonces. 47.

(54) 1 2 3 R(X; Y )X = R111 u1 v1 u1 X1 + R111 u1 v1 u1 X2 + R111 u1 v1 u1 X3 + 3 2 1 u1 v1 u2 X3 + u1 v1 u2 X2 + R112 u1 v1 u2 X1 + R112 R112 1 2 3 R113 u1 v1 u3 X1 + R113 u1 v1 u3 X2 + R1j3 ui v1 u3 X3 + 1 2 3 R121 u1 v2 u1 X1 + R121 u1 v2 u1 X2 + R121 u1 v2 u1 X3 + 1 2 3 u1 v2 u2 X3 + R122 u1 v2 u2 X1 + R122 u1 v2 u2 X2 + R122 1 2 3 R123 u1 v2 u3 X1 + R123 u1 v2 u3 X2 + R123 u1 v2 u3 X3 + 3 2 1 u1 v3 u1 X3 + u1 v3 u1 X2 + R131 u1 v3 u1 X1 + R131 R131 1 2 3 R132 u1 v3 u2 X1 + R132 u1 v3 u2 X2 + R132 ui v3 u2 X3 + 1 2 3 R133 u1 v3 u3 X1 + R133 u1 v3 u3 X2 + R133 u1 v3 u3 X3 + 1 2 3 R211 u2 v1 u1 X1 + R211 u2 v1 u1 X2 + R211 u2 v1 u1 X3 + 1 2 3 R212 u2 v1 u2 X1 + R212 u2 v1 u2 X2 + R212 ui v1 u2 X3 + 1 2 3 R213 u2 v1 u3 X1 + R213 u2 v1 u3 X2 + R213 u2 v1 u3 X3 + 1 2 3 R221 u2 v2 u1 X1 + R221 u2 v2 u1 X2 + R221 u2 v2 u1 X3 + 1 2 3 R222 u2 v2 u2 X1 + Ri22 u2 v2 u2 X2 + R222 u2 v2 u2 X3 + 1 2 3 R223 u2 v2 u3 X1 + R223 u2 v2 u3 X2 + R223 u2 v2 u3 X3 + 1 2 3 R231 u2 v3 u1 X1 + R231 u2 v3 u1 X2 + R231 u2 v3 u1 X3 + 1 2 3 R232 u2 v3 u2 X1 + R232 u2 v3 u2 X2 + R232 u2 v3 u2 X3 + 1 2 3 R233 u2 v3 u3 X1 + R233 u2 v3 u3 X2 + R233 u2 v3 u3 X3 + 1 2 3 R311 u3 v1 u1 X1 + R311 u3 v1 u1 X2 + R311 u3 v1 u1 X3 + 1 2 3 u3 v1 u2 X3 + R312 u3 v1 u2 X1 + R312 u3 v1 u2 X2 + R312 1 2 3 R313 u3 v1 u3 X1 + R313 u3 v1 u3 X2 + R313 u3 v1 u3 X3 + 1 2 3 u3 v2 u1 X2 + R321 u3 v2 u1 X3 + R321 u3 v2 u1 X1 + R321 1 2 3 u3 v2 u2 X2 + R322 u3 v2 u2 X3 + R322 u3 v2 u2 X1 + R322. 48.

(55) 1 2 3 R323 u3 v2 u3 X1 + R323 u3 v2 u3 X2 + R323 u3 v2 u3 X3 + 3 2 1 u3 v3 u1 X3 + u3 v3 u1 X2 + R331 u3 v3 u1 X1 + R331 R331 1 2 3 R332 u3 v3 u2 X1 + R332 u3 v3 u2 X2 + R332 u3 v3 u2 X3 + 3 2 1 u3 v3 u3 X3 u3 v3 u3 X2 + R333 u3 v3 u3 X1 + R333 R333. Eliminando los coe…cientes iguales a cero tenemos. 2 1 3 R(X; Y )X = R121 u1 v2 u1 X2 + R122 u1 v2 u2 X1 + R131 u1 v3 u1 X3 + 1 2 1 R133 u1 v3 u3 X1 + R211 u2 v1 u1 X2 + R212 u2 v1 u2 X1 + 3 2 3 R232 u2 v3 u2 X3 + R233 u2 v3 u3 X2 + R311 u3 v1 u1 X3 + 1 3 2 R313 u3 v1 u3 X1 + R322 u3 v2 u2 X3 + R323 u3 v2 u3 X2 l tenemos que Desarrollando los Riji. R(X; Y )X =. 1 ((u1 v2 u2 z2. + u1 v 3 u 3. u2 v1 u2 + u3 v1 u3 )X1. (u1 v2 u1 + u2 v1 u1 + u2 v3 u3. u3 v2 u3 ) X2 +. (u1 v3 u1 + u2 v3 u2 + u3 v1 u1. u3 v2 u2 )X3 ). Luego. hR(X; Y )X; Y i = hR(X; Y )X; (v1 ; v2 ; v3 )iH3 1 = 4 [ (u2 v3 )2 + 2u2 u3 v2 v3 (u3 v2 )2 + z (u1 v2 )2 + 2u1 u2 v1 v2 (u2 v1 )2 + (u1 v3 )2 + 2u1 u3 v1 v3 Esto es 49. (u3 v1 )2 ].

(56) hR(X; Y )X; Y i =. 1 z4. (u2 v3. u3 v2 )2. (u1 v2. u2 v1 )2. (u1 v3. u3 v1 )2. y como. kX. Y k2H3 = kXk2 kY k2 hX; Y i2 (u1 )2 + (u2 )2 + (u3 )2 (v1 )2 + (v2 )2 + (v3 )2 (u1 v1 + u2 v2 + u3 v3 )2 = z2 z2 z4 2 2 2 (u2 v3 u3 v2 ) + (u1 v2 u2 v1 ) + (u1 v3 u3 v1 ) = z4 De donde resulta. hR(X; Y )X; Y i kX Y kM [ (u2 v3 u3 v2 )2 (u1 v2 u2 v1 )2 (u1 v3 u3 v1 )2 ] = (u2 v3 u3 v2 )2 + (u1 v2 u2 v1 )2 + (u1 v3 u3 v1 )2 = 1. K(X; Y ) =. Como X, Y. fueron arbitrarios podemos concluir que la curvatura sec-. cional de H3 es constante igual a. 1, información que nos servirá para la. última sección. Relación entre las Curvaturas extrínseca y Curvatura intrínseca Esta sección es consecuencia de la del teorema de la ecuación de Gauss (1.9),más precisamente de (1.10) que a continuación volveremos a escribir, pero aquella forma deducida para el caso de hipersuper…cies, ecuación (1.11), K (ei ; ej ). K (ei ; ej ) = 50. i j:.

(57) donde los ei ,. i. 1. i. 2 son llamados de direcciones principales y. curvaturas principales respectivamente. La ecuación es aplicable al asunto que estamos tratando, ya que una super…cie S en H3 es una hipersuper…cie de dimensión dos, pues su codimensión es uno. Del hecho que la curvatura seccional de H3 es constante e igual a. 1. resulta: H3 curvatura seccional constante =) K (ei ; ej ) = =) K (ei ; ej ) =. 1 i j. 1. el cual nos proporciona otra forma de calcular la curvatura seccional de una super…cie S. H3 a lo largo de direcciones principales en términos de. la curvatura de Gauss extrínseca. Finalmente, los ejemplos en esta parte son obtenidos del siguiente hecho por un simple remplazo en la ecuación K (ei ; ej ) = Kext. 1. y los ejemplos ya dados anteriormente donde ya conocemos Kext .. 51.

(58) 2.2.. Espacio Producto M2. 2.2.1.. R. Métrica Producto. Sea M2 una variedad Riemanniana 2 dimensional y R el espacio Euclideano 1 dimensional, con f(U ;. )g ;. I ;'. , sus estructuras diferenciales de. M y R respectivamente. Consideremos el producto cartesiano M2 aplicaciones X. :U. diferenciable para M2 Llamemos TX. ! M2. I. R, luego fU. R, donde X (p; q) = (. (p;q) M. 2. R y las. I ; X g es la estructura (p); ' (q)); p 2 U ; q 2 I. R al espacio tangente de M2. R en el punto. X (p; q). De…niremos ahora la métrica producto. Como M2 es una variedad Riemanniana con (x; y) 2 U nadas conformes locales en un abierto W. R2 las coorde-. M2 ; y t la coordenada usual de. la recta R, es decir, si (x; y) son las coordenadas conformes locales de M2 y la métrica de M2 está expresada en la forma: ds2 = Donde. 2. (dx2 + dy 2 ). : U ! R es positiva y suave.. La métrica producto en las coordenadas locales (x; y; t) en un abierto U. R de M2. R está de…nida como: ds2 =. 2. (dx2 + dy 2 ) + dt2. Ahora consideremos el producto interno h:; :iM2 hu; viM2 Sea gM2. R. R. = huM2 ; vM2 i + uR :vR. R. de la siguiente manera. 8u; v 2 TX. (p;q) (M. la métrica de…nida por el producto interno h:; :iM2 52. 2. R) R. ; esto es.

(59) gM2 Sea (x1 ; x2 ; x3 ) 2 U. R. = gM2 + gR. I; y sea X : U. R2 ! M 2. R una inmersión,. notemos que: X. '. (x1 ; x2 ; x3 ) = ( (x1 ; x2 ); '(x3 )) = p; @x =. @ ; @y @x1. y f@x1 ; @x2 ; @x3 g es el referencial local adaptado a M2 denotaremos por h:; :iM2 esto es, si v 2 Tp M2. R. =. @ ; @t @x2. =. @ ; @x3. R asociado a X;. el producto interno en el espacio producto M2 R,. R; entonces v se puede escribir como una combinación. lineal del referencial adaptado, luego v = a@x + b@y + c@t, entonces: hv; vi. M2. R. = ha@x + b@y + c@t; a@x + b@y + c@ti = a2 h@x; @xi + ab h@y; @xi + ac h@t; @xi + ab h@x; @yi + b2 h@y; @yi +bc h@t; @yi + ac h@x; @ti + c2 h@t; @ti = a2. 2.2.2.. 2. + b2. 2. + c2 h@t; @ti. =. 2. (a2 + b2 ) + c2 h@t; @ti. =. 2. (a2 + b2 ) + c2. Conexión en M2. R. Luego de de…nir al espacio producto M2. R como una variedad Rieman-. niana deseamos ahora encontrar su conexión Riemanniana que por de…nición debe ser única, para esto necesitaremos encontrar sus símbolos de Christo¤el. Símbolos de Christo¤el del espacio M2. R. La siguiente proposición nos dará resultados que luego nos servirán para hallar los símbolos de Christo¤el del espacio M2. 53. R..

(60) Proposición 2.1 Sea @x ; @y ; @t el referencial adaptado de M2 la conexión Riemanniana de M2 a) r@x @x =. x. @x. y. @y. b) r@y @y =. x. @x +. y. @y. c) r@x @y = r@y @x =. y. @x +. R y sea r. R; se sigue que. x. @y. d) r@x @t = r@y @t = r@t @t = r@t @x = r@t @y = 0 Prueba. prueba de a) Como r@x @x es un vector que pertenece al espacio tangente de M2. R;. tenemos que r@x @x = A@x + B@y + C@t. (2.9). donde A; B y C 2 R A continuación calcularemos los coe…cientes A, B y C:. hr@x @x ; @x i = hA@x + B@y + C@t ; @x i. (2.10). = A h@x ; @x i + B h@y ; @x i + C h@t ; @x i = A. 2. hr@x @x ; @y i = hA@x + B@y + C@t ; @y i. (2.11). = A h@x ; @y i + B h@y ; @y i + C h@t ; @y i = B. 2. hr@x @x ; @t i = hA@x + B@y + C@t ; @t i = A h@x ; @t i + B h@y ; @t i + C h@t ; @t i = C. 2. 54. (2.12).

(61) calculemos @x h@x ; @x i = hr@x @x ; @x i + h@x ; r@x @x i = 2 hr@x @x ; @x i : Entonces:. hr@x @x ; @x i =. @x 2. 2. =. 1 @ 2 @x. 2. =. 2. x. 2. =. x. (2.13). Calculemos @x h@x ; @y i = hr@x @x ; @y i + h@x ; r@x @y i, de donde: hr@x @x ; @y i =. h@x ; r@x @y i. (2.14). r@y @x ; @x + @x ; r@y @x = 2 @x ; r@y @x. (2.15). tambien calculemos. @y h@x ; @x i = @y 2 = 2 y =. @x ; r@y @x hr@x @x ; @y i. de igual modo calculemos. @t h@x ; @x i = hr@t @x ; @x i + h@x ; r@t @x i @ 2 = 2 hr@t @x ; @x i @t 0 = hr@t @x ; @x i : De 2.10 y de 2.13 resulta A = De 2.11 y de 2.15 resulta B =. x. y. De 2.12 y de 2.16 resulta C = 0 Luego reemplazando en 2.9 tenemos:. r@x @x =. x. @x. y. @y. De forma análoga se prueba los items b) c) y d) 55. (2.16).

(62) Corolario 2.1 Los símbolos de Christo¤el de M2. 1 11. =. x. 1 12. =. y. 1 13. =0. 1 22. =. 2 11. =. y. 2 12. =. z. 2 13. =0. 2 22. =. 3 11. =0. 3 12. =0. 3 13. =0. 3 22. =0. R serán:. x. y. 1 23. =0. 1 33. =0. 2 23. =0. 2 33. =0. 3 23. =0. 3 33. =0. Prueba. Identi…quemos @x = e1 ; @y = e2 ; @t = e3 De ahi que por 1.1 resulta: 1 11 @x. 2 11 @y. +. 3 11 @t. = r@x @x =. 3 12 @t. = r@y @x = r@x @y =. 3 22 e3. = re2 e2 = r@y @y =. +. x. @x. y. @y + 0@t. y. @x +. De donde: 1 11. =. x. 2 11. =. y. 3 11. =0. ;. De igual manera: 1 12 @x. 2 12 @y. +. +. x. @y + 0@t. De donde. 1 12. =. 1 21. =. y. 2 12. =. 2 21. =. z. 3 12. =. 3 21. =0. También 1 22 e1. 2 22 e2. +. +. De donde resulta: 1 22. =. 2 22. =. 3 22. =0. x. y. De igual manera se demuestra que: 1 13. =. 2 13. =. 3 13. =0. 1 33. =. 2 33. =. 3 33. =0 56. x. @x +. y. @y + 0@t.

(63) 1 23. =. 2 23. =. 3 23. =0. Ahora al ya haber encontrado todos los símbolos de Christo¤el y como sabemos que la conexión Riemanniana depende de los símbolos de Christo¤el, entonces, de quedará determinada la conexión de M2. rY X = + +. 2.2.3.. R la siguiente manera. mfx + nfy + rfz + (mg + nf ). y. + (mf. ng). x. @x. mgx + ngy + rgz + (ng. y. + (nf + mg). x. @y. mf ). (mhx + nhy + rhz ) @t. Primera forma fundametal de M2. Dada la métrica producto gM2. R. R. = gM2 + gR y los coe…cientes. gij = hXi ; Xj i, que son llamados coe…cientes de la primera forma fundamental en la base f@x1 ; @x2 ; @x3 g.donde Xi = denados de la variedad M2. @X @xi. son los campos coor-. R. La representación matricial de la primera forma fundamental es denotada por G = (gij ) donde G es la matriz: 0. Y su inversa será:. 2. B B G = (gij ) = B 0 @ 0. G. 1. 0. 0. 0. 1. 1. C C 0 C A 1. 2. B 2 B ij = (g ) = B 0 @ 0. 57. 0. 0 1 2. 0. 0. 1. C C 0 C A 1.

(64) 2.3.. Espacio producto H2. R. Una manera de representar al espacio H2 R es tomando al espacio hiperbólico H2 en el modelo del disco de Poincaré y hacer el producto cartesiano con R; el cual puede ser verse en la siguiente imagen:. Si p = (x; y; t) 2 H2. R y para cada a; b 2 Tp (H2. a = (u1 ; v1 ; t1 ); b = (u2 ; v2 ; t2 ); la métrica para H2. g(a; b) = ha; biH2. R. R) ' R3. R se de…ne así:. = h(u1 ; v1 ; t1 ); (u2 ; v2 ; t2 )iH2. = h(u1 ; v1 ); (u2 ; v2 )iH2 + t1 t2 u1 u2 + v 1 v 2 = + t1 t2 y2. 58. R.

(65) 2.3.1.. Conexión y primera forma fundamental de H2 R. Los símbolos de Christo¤el cuando T pM2. R = R3 se pueden obtener. apartir de la proposición 1.9 o también de la fórmula siguiente: 1X = 2 k=1 3. m ij. @ @ gjk + gkj @xi @xj. @ gij g km @xk. donde gij y g km son las entradas de las matrices G y G 1 , donde G es la representación matricial de la primera forma fundamental de H2. R; cuyas. matrices son: 0. 1 y2. 0. B B G = (gij ) = B 0 y12 @ 0 0 0 y2 0 B B G 1 = (g ij ) = B 0 y 2 @ 0 0 Los símbolos de Christofel de H2 Los símbolos de Christofel de H2. 1 11. =0. 1 12. =. 2 11. =. 1 y. 2 12. 3 11. =0. 3 12. 1 y. 1 y. en. 1 12. =. y. 1. C C 0 C A 1 1 0 C C 0 C A 1. R R son:. 1 13. =0. 1 22. =0. 1 23. =0. 1 33. =0. =0. 2 13. =0. 2 22. =. 1 y. 2 23. =0. 2 33. =0. =0. 3 13. =0. 3 22. =0. 3 23. =0. 3 33. =0. Ejemplo 2.1 El símbolo de Christo¤el =. 0. 2 11. se puede obtener de reemplazar. del corolario 2.1, así tendríamos:. 59.

(66) 2 11. y. =. @ ( y1 ) @y 1 y. =. = y 2y 1 = y A continuación mostraremos otra forma de hallarlo a partir de los coe…cientes de la métrica: 2 11. 2. =. = = = 2 11. 2.3.2.. =. @g11 @g11 + @x @x @g13 @g31 + + @x @x @g12 @g21 + @x1 @x1 @g11 22 g @y 2y 3 y 2 1 y. @g11 g 12 + @x @g11 g 32 @t @g11 g 22 @x2. La conexión de H2. Si p = (x; y; t) 2 H2. R; Tp H2. luego para los campos X; Y 2 Tp H2. @g12 @g21 + @x @x. @g11 @y. g 22. R R ' R3 y fe1 ; e2 ; e3 g una base para R3 R con. X(p) = (f (p); g(p); h(p)) = f (p)e1 + g(p)e2 + h(p)e3. Y (p) = (m(p); n(p); r(p)) = m(p)e1 + n(p)e2 + r(p)e3 rY X = rme1 +ne2 +re3 f e1 + rme1 +ne2 +re3 ge2 + rme1 +ne2 +re3 he3 60.

(67) y de manera análoga a los resultados hallados en 2.1.4 la conexión de H2. R quedará determinada por:. rY X =. 2.4.. (mg + nf ) e1 + y (ng mf ) mgx + ngy + rgz + e2 + y (mhx + nhy + rhz ) e3 mfx + nfy + rfz +. Una fórmula para calcular la curvatura media y curvatura de Gauss para super…ces de revolución inmersas en la variedad Riemanianna H3. Sabemos que las ecuaciones de las curvaturas extrínseca y media dadas en (2.6) y (2.7) se pueden ver de la siguiente forma: Kext =. eg EG. f2 F2. y 1 eG 2f F + gE 2 EG F 2 estas serán las formas de las ecuaciones de Kext y H, que serán utilizadas al H=. momento de realizar el cálculo. Observación 2.3 Si la parametrización de una super…cie es tal que F = f = 0, entones las curvaturas principales están dadas por. e E. y. g . G. De hecho, en este caso, la curvatura Gaussiana y la curvatura media están dadas por: Kext = 61. eg EG.

(68) H=. 1 eG + gE 2 EG. la a…rmación proviene del hecho que Kext es el producto y 2H es la suma de las curvaturas principales. Para esto consideraremos un ejemplo sencillo el Horociclo (es un plano paralelo al plano xy o también puede ser una esfera tangente al plano xy ; donde el plano xy es llamado también borde asintótico de H3 ). Consideremos la siguiente parametrización del plano paralelo al borde asintótico de H3 : X (u; v) = (0; 0; a) + u(1; 0; 0) + v(0; 1; 0), a > 0 Haciendo los cálculos correspondientes tenemos: Xu = (1; 0; 0) Xv = (0; 1; 0) rXu Xu = (0; 0; a1 ) rXv Xu = (0; 0; 0) rXv Xv = (0; 0; a1 ) N=. Xu ^ Xv = (0; 0; a) jXu ^ Xv jH3. así los coe…cientes de la primera y segunda forma fundamental son E=. 1 a2. F =0 G=. 1 a2. e=. 1 a2. f =0. 1 a2. g=. Luego remplazando en la fórmula de Kext tenemos: Kext =. eg = EG. 1 a2 1 a2. 1 a2 1 a2. = 1.. De la última observación tenemos que las curvaturas principales son y. 2. 1. =1. = 1 de ahí que la curvatura media de la super…cie es H = 1.. Seguidamente presentaremos un método para calcular las curvaturas media y de Gauss para super…cies de revolución inmersas en H3 : Sea (v) = (' (v) ;. (v)) una curva plana, contenida en H3 con 62.

(69) a < v < b , ' (v) > 0 situada en el plano xz y denotemos por S el conjunto obtenido al rotar la curva. al rededor del eje Oz (S es llamada. de super…cie de revolución). Una parametrizacion para S es (v)) 2 H3. Sea p = X (u; v) = (' (v) cos (u) ; ' (v) sen (u) ;. con 0 < u < 2 , a < v < b. Ahora calculemos los coe…cientes de la primera y segunda forma fundamental, en efecto, haciendo los cálculos correspondientes tenemos: Xu = ( ' (v) sen (u) ; ' (v) cos (u) ; 0) 0. Xv = ('0 (v) cos (u) ; '0 (v) sen (u) ;. (v)). Xuu = ( ' (v) cos (u) ; ' (v) sen (u) ; 0) Xvv = ('00 (v) cos (u) ; '00 (v) sen (u) ;. 00. (v)). Xuv = ( '0 (v) sen (u) ; '0 (v) cos (u) ; 0) Encontremos el vector normal unitario hiperbólico e1 Xu ^ Xv =. ' (v) sen (u) '0 (v) cos (u). = (' (v). 0. e2. e3. ' (v) cos (u). 0. '0 (v) sen (u). (v) cos (u) ; ' (v). 0. 0. (v). (v) sen (u) ; ' (v) '0 (v)). de ahora en adelante por simplicidad empezaremos a denotar ' (v) y sin sus argumentos. jXu ^ Xv jH3 = =. q 2 2 '2 ( 0 ) cos2 (u) + '2 ( 0 ) sen2 (u) + '2 ('0 )2 '. q. 2. ('0 )2 + ( 0 ). 63. (v).

(70) ) N = =. Xu ^ Xv jXu ^ Xv jH3 q (' 2 0 2 0 ' (' ) + ( ). ( = q 2 0 2 0 (' ) + ( ). 0. 0. cos (u) ; ' 0 sen (u) ; ''0 ) 0. cos (u) ;. sen (u) ; '0 ). Calculemos los coe…cientes de la primera forma fundamental E = hXu ; Xu iH3 =. '2 2. F = hXu ; Xv iH3 = 0 G = hXv ; Xv iH3 = El término ( ;. ;. 2. ('0 )2 + ( 0 ) 2. ) en los cálculos siguientes corresponde a la parte de. los símbolos de Christo¤el de la conexión hiperbólica, recordemos la siguiente descomposición de la conexión hiperbólica. rXu Xu =. Xuu |{z}. 1. +. ( ; ; | {z. Parte euclidiana. ) }. Parte correspondiente a los símbolos de Christo¤el. 64.

(71) Calculemos los coe…cientes de la segunda forma fundamental N; rXu Xu. e =. H3. =. hN; Xuu i 2. 1. =. 2. q. +. ('0 )2. 1 3. 1. ( ;. +( ). 0. h(. 1. q 3. ). ;. )i sen (u) ; '0 ) ;. 1. hN; ( ;. 3. 0. ' cos2 (u). ;. )i. 'sen2 (u) +. +( ) ;. )i. 1 ('0 )2. 0. cos (u) ;. 0. hN; ( ;. q. =. ). 0 2. ('0 )2. 1. ;. H3. hN; ( ; 0 2. ;. ( ' cos (u) ; 'sen (u) ; 0)i + =. ( ;. H3. = hN; Xuu iH3 + N; =. 1. N; Xuu +. 0. (. ') +. 1 3. 0 2. +( ). 0. q. : ('0 )2. 0 2. +( ). cos (u) ; 0 sen (u) ; '0 ) ; 0; 0; '2 0 1 '2 '0 ' 1 q q 2 2 2 ('0 )2 + ( 0 ) ('0 )2 + ( 0 ). ( =. De forma similar se obtienen los demás coe…cientes f = N; rXv Xu g = =. N; rXv Xv 0. 00. H3 0 00. ' ) 1 ( ' q 2 ('0 )2 + ( 0 ). H3. '0 2. =0. q. 2. ('0 )2 + ( 0 ). utilizando la fórmula de K tenemos Kext =. Kext =. '. p. 0. ('0 )2 +(. 0 2. ). +p. eg EG. ('0. '0 ('0 )2 +(. f2 F2. 0 2. ). 65. 00. (('0 )2 +(. 0. '00 ). 0 2. ). 3. )2. +p. '0 ('0 )2 +(. 0 2. ). !.

(72) También de la última observación tenemos 0 H=. 1B @q 2. 0. 2'0. + q + 2 2 0 2 0 2 0 0 (' ) + ( ) ' (' ) + ( ). ('0. 00. 0. 1. '00 ) C 3 A 2 0 2 2 0 (' ) + ( ). Algo importante de la fórmula de la Kext obtenida aquí es su segundo factor. 0 B @. ('0. 00. 0. '00 ) 2. ('0 )2 + ( 0 ). 3 2. '0. +q. 2. ('0 )2 + ( 0 ). 1 C A. el cual no es más que la curvatura de la curva plana generatriz (v) = (' (v) ;. (v)) de la super…cie de revolución hiperbólica, cabe tam-. bién notar que este segundo factor de la Kext coincide exactamente con la fórmula (2.5), algo análogo también ocurre cuando estudiamos super…cies de revolución del espacio euclidiano. De aquí podemos a…rmar que la curvatura de super…cies de revolución del espacio hiperbólico y del espacio euclidiano es in‡uenciada por la curvatura de sus curvas generatriz.. Ejemplo 2.2 Sea el cilindro hiperbólico X (u; v) = (' (v) cos (u) ; ' (v) sen (u) ;. (v)) que resulta de rotar la curva. (v) = (v; 0; v) alrededor del eje z. Donde ' (v) = v = fórmulas anteriores tenemos:. 66. (v); aplicando las.

(73) La curvatura extrínseca será: 0 10 1 0 0 0 '' ' ' A @q A +q Kext = @ q 2 2 2 2 2 2 ' ('0 ) + ('0 ) ('0 ) + ('0 ) ('0 ) + ('0 ) 2'0 = p 2'0 = 1. '0 p 2'0. Ejemplo 2.3 La curvatura media del cilindro hiperbólico será:. H =. 0. 0. 0. 1. 1@ 2' ' A q + q 2 2 2 2 2 ('0 ) + ('0 ) ' ('0 ) + ('0 ). 1 2 1 p +p 2 2 2 p 3 2 = 4 =. Ejemplo 2.4 Los coe…cientes de la primera y segunda formas fundamentales para el cilindro hiperbólico serán:. 67.

(74) E = hXu ; Xu iH3 =. '2 2. =1. F = hXu ; Xv iH3 = 0 G = hXv ; Xv iH3. e =. 0. '. 1 = p 2 p = 2 f = 0 g =. p. q. ('0 )2 + ('0 )2 2 = = 2 2 ' v. 1. 1 2. ('0 )2 + ( 0 ) 1 p 2. 2. v2. 68. '2 '0. q 2. 2. ('0 )2 + ( 0 ).

(75) Capítulo 3 SUPERFICES INMERSAS EN EL ESPACIO DE MINKOWSKI El espacio de Minkowski es conocido como el espacio donde los conceptos de espacio y tiempo de partículas fueron uni…cados por Minkowski en un solo concepto básico e indivisible el "ESPACIO - TIEMPO", que es el nombre con que se le conoce. En física este espacio es una variedad lorentziana de cuatro dimensiones y curvatura nula, usada para describir los fenómenos físicos en el escenario de la teoría especial de la relatividad de Einstein. En este trabajo estudiaremos el espacio de Minkowski de dimensión 3 la cual es una varie dad pseudo Riemanniana. En geometría diferencial, una variedad pseudo Riemanniana es una varie dad diferenciable equipada con una métrica diferenciable, simétrica, que es no degenerado en cada punto de la variedad. Esta métrica se llama pseudo Riemanniana y a diferencia de una métrica Riemanniana no tiene por qué ser de…nido positivo. De hecho la variedades pseudo Riemannianas generalizan 69.

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