FISICA IV 5º. Semestre
UNIDAD I: ESTATICA
La mecánica es una rama de la Física, dedicada al estudio de los movimientos y estados en que se encuentran los cuerpos. Describe y predice las condiciones del reposo y movimiento de los cuerpos, bajo la acción de los cuerpos, bajo la acción de las fuerzas. Se divide en dos partes: Cinemática que estudia las diferentes clases de movimiento de los cuerpos sin atender las causas que lo producen y la dinámica que estudia las causas que originan el movimiento de los cuerpos. La estática queda comprendida dentro del estudio de la dinámica, analiza las causas que permiten el equilibrio de los cuerpos.
La palabra estática se deriva del griego estáticos que significa inmóvil. La estática, como parte de la dinámica, se encarga de estudiar todos aquellos casos en que los cuerpos sometidos a la acción de varias fuerzas no se mueven, toda vez que las fuerzas se equilibran entre si. También estudia aquellos casos en que la resultante de las fuerzas que actúan sobre un cuerpo en movimiento es nula y el cuerpo sigue desplazándose con movimiento rectilíneo uniforme.
1.1 VECTORES.
1.1.1 Introducción.
Algunas cantidades pueden describirse totalmente por un número y una unidad. Sólo importan las magnitudes en los casos de un área de 12 m2, un volumen de 40 ft3, una distancia de 50 km. Este tipo de cantidades se llaman cantidades escalares.
Una cantidad escalar se especifica totalmente por su magnitud, que consta de un número y una unidad. Por ejemplo: rapidez (15 mi/hr), distancia (12 km) y volumen (200 cm3).
Algunas cantidades físicas, como la fuerza y la velocidad, tienen dirección, sentido y además magnitud. Por eso se les llama cantidades escalares.
Una cantidad vectorial se especifica totalmente por una magnitud, un sentido y una dirección. Por ejemplo desplazamiento (20 m, norte) y velocidad (40 mi/hr, 30° Norte).
Características de un vector
Un vector cualquiera tiene las siguientes características:
1. Punto de aplicación u origen.
2. Magnitud. Indica su valor y se representa por la longitud del vector de acuerdo a su escala convencional.
3. Dirección. Señala la línea sobre la cual actúa.
4. Sentido. Indica hacia donde va el vector.
Fig. 1.1 Estos vectores tienen la misma dirección pero diferente sentido.
Clasificación de los vectores.
Los vectores pueden clasificarse en coplanares, si se encuentran en el mismo plano, o en dos ejes, y no coplanares si están en diferente plano, es decir, en tres ejes.
Fig. 1.2 Ejemplos de vectores coplanares y no coplanares.
Sistema de vectores.
Se tiene un sistema de vectores colineales cuando dos o más vectores se encuentran en la misma dirección o línea de acción. Un sistema de vectores es concurrente cuando la dirección o línea de acción de los vectores se cruza en algún punto.
Fig. 1.3 Sistema de vectores colineales. Fig. 1.4 Ejemplos de vectores concurrentes.
Propiedades de los vectores.
Los vectores tienen las siguientes propiedades: propiedad de transmisibilidad del punto de aplicación, el efecto externo de un vector no se modifica si es trasladado en su misma dirección, es decir, sobre su propia línea de acción; propiedad de los vectores libres, los vectores no se modifican si se trasladan paralelamente a sí mismos.
Fig. 1.6 Propiedad de los vectores libres. (a) Dos vectores
Fig. 1.5 Propiedad de transmisibilidad del libres. (b) Los vectores no se modifican si se
punto de aplicación de un vector. trasladan paralelamente a sí mismos.
Resultante y equilibrante de un sistema de vectores.
La resultante de un sistema de vectores es el vector que produce él sólo, el mismo efecto que los demás vectores del sistema. Por ello un vector resultante es aquel capaz de sustituir un sistema de vectores.
La equilibrante de un sistema de vectores, como su nombre lo indica, es el vector encargado de equilibrar el sistema.
Por tanto, tiene la misma magnitud y dirección que la resultante, pero con sentido contrario.
Fig. 1.7 Resultante y equilibrante de un sistema de vectores.
1.1.2 Suma de vectores. (Métodos gráficos)
Para sumar vectores se deben utilizar métodos diferentes a una simple suma aritmética. Estos métodos pueden ser gráficos o analíticos, pero en ambos casos se consideran además de la magnitud del vector, su dirección y sentido.
Método del polígono.
1. Elija una escala y determine la longitud de las flechas que corresponden a cada vector.
2. Dibuje a escala una flecha que represente la magnitud, sentido y dirección del primer vector.
3. Dibuje la flecha del segundo vector de modo que la cola coincida con la punta de la flecha del primer vector.
4. Continúe el proceso de unir el origen de cada vector con las puntas hasta que la magnitud y la dirección de todos los vectores queden bien representados.
5. Dibuje el vector resultante con el origen (punto de partida) y la punta de flecha unida a la punta del último vector.
6. Mida con regla y transportador para determinar la magnitud y dirección del vector resultante.
Ejemplo 1:
Un jinete y su caballo cabalgan 3 km al norte y después 4 km al oeste. Calcular:
a) ¿Cuál es la distancia total que recorren?
b) ¿Cuál fue su desplazamiento?
Solución:
a) Como la distancia es una magnitud escalar, encontramos la distancia total recorrida al sumar aritméticamente las dos distancias:
dt = d1 + d2 = 3 km + 4 km = 7 km
b) Para encontrar su desplazamiento, dibujamos a escala el primer desplazamiento de 3 km realizado al norte, representado por d1 y después el segundo desplazamiento de 4 km al oeste representado por d2. Posteriormente unimos el origen de d1 con el extremo del vector d2 a fin de encontrar el vector resultante R equivalente a la suma vectorial de los dos desplazamientos. El origen del vector resultante R es el mismo que tiene el vector d1 y su extremo coincide con el del vector d2. Para calcular la magnitud de R medimos su longitud de acuerdo con la escala utilizada y su dirección se determina por el ángulo α que forma. Así, encontramos que
R = 5 km con un ángulo α de 37 º en dirección noreste.
Ejemplo 2:
Una lancha de motor efectúa los siguientes desplazamientos: 300 m al Oeste, 200 m al Norte, 350 m al Noreste y 150 m al Sur. Calcular:
a) ¿Qué distancia total recorre?
b) Determinar gráficamente cuál es su desplazamiento resultante, en qué dirección actúa y cuál es el valor de su ángulo medido con respecto al Oeste.
Solución:
a) La distancia total es igual a: dt = d1 + d2 + d3 + d4
dt = 300 m + 200 m + 350 m + 150 m = 1000 m
b) Como se ve en la figura el desplazamiento total de la lancha es de 300 m en una dirección Noreste que forma un ángulo de 80.5º medido con respecto al Oeste.
Ejercicios en clase:
1.- Un barco recorre 100 km hacia el norte durante el primer día de viaje, 60 km al noreste el segundo día, y 120 km hacia el este el tercer día. Encuentre el desplazamiento resultante con el método del polígono.
2.- Una ardilla camina en busca de comida, efectuando los siguientes desplazamientos: 15 m al sur, 23 m al este, 40 m en dirección noreste con un ángulo de 35º medido despecto al este, 30 m en dirección noroeste que forma un ángulo de 60º medido respecto al oeste, y finalmente 15 m en una dirección sureste con un ángulo de 40º medido respecto al oeste.
Calcular:
a) ¿Cuál es la distancia total recorrida?
b) Mediante una escala conveniente represente gráficamente los desplazamientos;
determine el valor del desplazamiento resultante, la dirección en que se efectúa y el valor del ángulo formado respecto al este.
Ejercicios de tarea:
1.- Un jugador de fútbol americano efectúa los siguientes desplazamientos: 6 m al este, 4 m en dirección noreste y finalmente 2 m al norte. Calcular:
a) ¿Cuál es la distancia total que recorre?
b) Encuentre en forma gráfica cuál fue su desplazamiento resultante, en qué dirección actúa y cual es el valor del ángulo medido con respecto al este.
2.- Una lancha de vela realiza los siguientes desplazamientos: 300 m al oeste, 200m al norte, 350 m en dirección noroeste formando un ángulo de 40º medido con respecto al oeste, 600 m al sur y finalmente 250 m en dirección sureste formando un ángulo de 30º medido con respecto al este. Calcular:
a) ¿Cuál es la distancia total recorrida?
b) Determinar gráficamente el valor del desplazamiento resultante, la dirección en que se efectúa y el valor del ángulo formado respecto al oeste.
Método del paralelogramo
1. Elija una escala y determine la longitud de las flechas que corresponden a cada vector.
2. Dibuje a escala una flecha que represente la magnitud, sentido y dirección del primer vector.
3. Dibuje la flecha del segundo vector de modo que la cola de éste coincida con la cola del primer vector.
4. Trace desde la punta de la flecha del primer vector una recta paralela al segundo vector y desde la punta de la flecha del segundo vector una recta paralela al primer vector.
5. De esta manera se forma un paralelogramo. Dibuje el vector resultante con el origen (cola de los vectores) y la punta de flecha unida al vértice opuesto del paralelogramo.
6. Mida con regla y transportador para determinar la magnitud y dirección del vector resultante.
Ejemplo 1:
Encuentre la fuerza resultante sobre el burro de la figura 1.8, si el ángulo entre las dos cuerdas es de 120º. En un extremo se jala con una fuerza de 60 lb; y en el otro, con una fuerza de 20 lb.
Solución:
Utilizando una escala de 1cm = 10 lb se tiene que
60 lb = 6 cm 20 lb = 2 cm
En la figura 1.9 se construyó un paralelogramo, dibujando a escala las dos fuerzas a partir de un origen común y con Fig. 1.8 ¿Cuál es la fuerza resultante? El ángulo de 120º entre ellas. Al completar el
paralelogramo se puede dibujar la resultante como una diagonal desde el origen. Al medir R y θ con una regla y un transportador se obtienen 52.9 lb para la magnitud y 19.1º para la dirección. Por consiguiente, R = 52.9 lb,
19.1º.
Fig. 1.9 Método el paralelogramo.
Ejemplo 2:
Dadas las componentes rectangulares de un vector, encontrar el vector resultante por el método del paralelogramo. Encuentre también el ángulo que forma la resultante con
respecto al eje horizontal.
Solución:
Para encontrar la resultante basta con trazar primero las componentes F1 y F2 utilizando una escala conveniente y después, una paralela a F1, a partir de F2 y una paralela a F2 a partir de F1. La resultante será la línea que une al origen de los dos vectores con el punto donde hacen intersección las dos paralelas. Medimos la longitud de la resultante y vemos que aproximadamente mide 5 cm, éstos equivalen a 50 N y el ángulo de la resultante a 53º.
Ejercicio para clase:
1.- Encontrar por el método del paralelogramo la resultante, así como el ángulo que forma con el eje horizontal en cada una de las siguientes sumas de vectores.
a) b) c)
Ejercicios de tarea:
1.- Determine por el método del paralelogramo la fuerza F2 y el ángulo correspondiente para que la lancha de la figura 1.10 se mueva hacia el este con una fuerza resultante de 650 N.
2.- Determine el peso de un cuerpo que esta suspendido y sostenido por dos cuerdas, como se ve en la figura 1.11.
Fig. 1.10 Fig. 1.11
1.1.3 Componentes de los vectores y suma de vectores (Métodos analíticos).
La componente de un vector se define como su valor efectivo en una dirección dada.
Un vector en dos dimensiones se puede resolver en dos vectores componentes que actúan a lo largo de dos dimensiones mutuamente perpendiculares. En general, podemos escribir las componentes x y y de un vector en términos de su magnitud F y su dirección θ.
Fx = F cos θ Fy = F sen θ
donde θ es el ángulo entre el vector y el eje x, medido en dirección contraria a las manecillas del reloj. El signo de una componente dada se determina a partir del siguiente diagrama de vectores (Fig. 1.12).
Fig. 1.12 Ejemplo 1:
Encontrar las componentes rectangulares o perpendiculares del siguiente vector.
Solución:
Escala 1 cm = 1 N
Fx = - F cos 45º = - (3N) (0.7071) = - 2.1213 Fy = F sen 45º = (3N) (0.7071) = 2.1213
Ejemplo 2:
Encuentre las componentes x y y de una fuerza de 400 N a un ángulo de 220° a partir del eje positivo, como muestra la figura 1.13.
Solución:
θ = 220º - 180º = 40º
Fx= F cos θ = - 400 cos 40 = - (400 N) (0.776) = - 306.417 N Fy = - F sen θ = - 400 sen 40 = - (400 N) (0.643) = - 257.115 Fig. 1.13
Ejercicio en clase:
Encontrar las componentes rectangulares de los siguientes vectores.
Ejercicios de tarea:
1.- Mediante una cuerda un niño jala un carro con una fuerza de 80 N, la cual forma un ángulo de 40º con el eje horizontal como se ve en la figura 1.14. Calcular:
a) El valor de la fuerza que jala el carro horizontalmente.
El valor de la fuerza que tiende a levantar el carro.
2.- Con ayuda de una cuerda se jala un bote aplicando una fuerza de 400 N, la cual forma un ángulo de 30º con el eje horizontal, como se ve en la figura 1.15. Calcular:
a) Determinar con el método analítico el valor de la fuerza que jala a la lancha horizontalmente.
b) Calcula el valor de la fuerza que tiende a levantar la lancha.
Fig. 1.14 Fig. 1.15
Método analítico para la suma de vectores aplicando la ley de los senos y la ley de los cosenos.
1. Para calcular la resultante entre dos vectores F1 y F2 debemos encontrar uno de los tres lados de un triángulo oblicuo, cuyos lados conocidos son F1 y F2. .
2. Aplicamos la ley de los cosenos, tomando en cuenta que en el triangulo oblicuo el ángulo formado por los dos vectores es β.
3. Para calcular el ángulo α que forma la resultante con respecto a la horizontal, aplicamos la ley de los senos:
Ejemplo 1:
Por el método de la ley de los senos y cosenos hallar la resultante y el ángulo que forma con la horizontal en la siguiente suma de vectores.
Solución:
Primero debemos encontrar los tres lados de un triángulo oblicuo cuyos lados conocidos son los dos vectores. Aplicamos la ley de los cosenos, tomando en cuenta que en el triangulo oblicuo el ángulo formado por los dos vectores es de 150º.
R = 65.715
Para calcular el ángulo α que forma la resultante con respecto a la horizontal, aplicando la ley de los senos.
Ejemplo 2:
En la siguiente suma de vectores encontrar la resultante y el ángulo que forma con respecto al eje horizontal.
Solución:
