Hiperb´ olicos
Trabajo de Tesis presentado al
Departamento de Matem´aticas por
Juan Camilo Acevedo Moreno
Asesor: Luis Jaime Corredor
Para optar al t´ıtulo de Matem´atico
Matem´aticas Universidad de Los Andes
Agosto 2005
and I’ll try not to sing out of key”
The Beatles
ii
Lista de Figuras IV
Introducci´on 1
I. Espacios Hiperb´olicos 2
1.1. Definiciones . . . 2
1.2. Equivalencia de las definiciones . . . 7
1.3. Cuasi-Isometr´ıas . . . 15
II. Grupos Hiperb´olicos 18 2.1. Presentaciones y problemas de Dehn . . . 18
2.2. Grafos de Cayley . . . 21
2.3. Diagramas de Van Kampen y Funci´on de Dehn . . . 24
2.4. Grupos Hiperb´olicos . . . 29
III. Solubilidad de los problemas de Dehn en grupos Hiperb´olicos 33 3.1. Teorema de Gromov . . . 33
3.2. Problema de la conjugaci´on . . . 39
Referencias 43
iii
1. Tri´angulo δ-delgado . . . 3
2. Puntos Interiores . . . 4
3. Las geod´esicas divergen . . . 7
4. Teorema 1.11, (1)⇒ (2) . . . 8
5. Teorema 1.11, (2)⇒ (1) . . . 9
6. Teorema 1.11, (2)⇒ (3) . . . 10
7. Teorema 1.11, (3)⇒ (1) . . . 11
8. Teorema 1.11, (1)⇒ (4) . . . 12
9. Teorema 1.11, (4)⇒ (1) . . . 14
10. Teorema 1.16 . . . 16
11. Ejemplo 2.6 . . . 22
12. Ejemplo 2.6 . . . 23
13. Lema 2.13, diagrama de Van Kampen para w . . . 26
14. Lema 2.13, diagrama de Van Kampen M y M− F . . . 26
15. Teorema 2.19, eliminar las celdas tu−1t . . . 28
16. Grafo de Cayley del grupo libre sobre dos elementos. . . 29
17. Teorema 2.24, llenando w con palabras de longitud menor o igual que 4δ + 6 . . . 31
18. Teorema 3.1, caso 1 . . . 34
19. Teorema 3.1, caso 2 . . . 35
20. Teorema 3.3, caso 1 . . . 36
21. Teorema 3.3, caso 1 . . . 37
22. Teorema 3.3, caso 2 . . . 38
23. Teorema 3.3, caso 3 . . . 39
24. Teorema 3.6 . . . 40
iv
Es usual en el trabajo de un algebrista, y en general en el trabajo de un matem´atico, darse cuenta del hecho que la teor´ıa de grupos es utilizada en otras teor´ıas como una herramienta indispensable.
La estructura de grupo aparece en diversas teor´ıas, entre ellas el grupo de homotop´ıa y homolog´ıa en topolog´ıa algebr´aica. En geometr´ıa es usual emplear la teor´ıa de grupos mediante acciones que se definen sobre distintos objetos geom´etricos. Sin embargo es muy inusual utilizar teor´ıas ajenas al algebra dentro de la teor´ıa de grupos. En el presente trabajo se hace una introducci´on a la teor´ıa geom´etrica de grupos, disciplina que usa la geometr´ıa como una herramienta para estudiar la teor´ıa de grupos.
La teor´ıa geom´etrica de grupos (TGG) se inicia en la segunda mitad del siglo XX. Sus ra´ıces provienen de la aparici´on del grafo de Cayley, el cual es su principal objeto de estudio y ser´a intro- ducido en la secci´on 2.2 del presente trabajo. Asimismo uno de los problemas que mas motiv´o el surgimiento de la TGG fue el denominado problema de la palabra, introducido por el matem´atico Max Dehn en 1911 y que en este trabajo se enuncia en la secci´on 2.1.
El art´ıculo ”Hyperbolic Groups”de M. Gromov [3] puede ser considerado el primero de la TGG. En este Gromov prueba que todo grupo hiperb´olico tiene funci´on isoperm´etrica lineal. En el presente trabajo nos proponemos introducir al lector la TGG y presentarle uno de sus m´as importantes resultados: el teorema de Gromov anteriormente mencionado. La mayor parte de las pruebas se encuentran en las referencias y han sido sencillamente modificadas para dar una exposici´on mas clara y precisa. Es dif´ıcil en la literatura de la TGG encontrar alg´un art´ıculo autocontenido que enuncie y demuestre los resultados que en este trabajo se presentan. Esta es la principal motivaci´on de esta tesis.
Esperamos que la lectura de esta tesis sea tan enriquecedora como lo fue para el autor su escritura y que abra el camino para otras tesis sobre este tema.
1
Espacios Hiperb´ olicos
1.1. Definiciones
Sea (X, d) un espacio m´etrico, p : [0, 1] −→ X una sumersi´on, diremos que p es un camino o arco . Ad´emas diremos que p es un camino rectificable si es un camino y el supremo sobre todas las particiones finitas [0 = t0, t1, . . . , tn= 1] de la sumas:
Xn i=1
d(p(ti−1), p(ti))
existe. A dicho supremo lo llamaremos la longitud de p y la denotaremos por len(p). Adem´as si x e y son puntos en la imagen de p note que la porci´on de p que une a x e y tambi´en es un camino rectificable, notaremos su longitud por lp(x, y).
Definici´on 1.1 Un espacio m´etrico (X, d) se dice geod´esico si para todo par de puntos x, y ∈ X existe una isometr´ıa γ : [0, d(x, y)] → X tal que γ(0) = x y γ(d(x, y)) = y. En este caso γ([0, d(x, y)]) es un segmento geod´esico o una geod´esica.
Un segmento geod´esico que une a x y a y lo denotaremos por [xy]. Nos referiremos a la imagen de la geod´esica α por α. Adem´as extendemos la definici´on de geod´esica y diremos que una sumer- ci´on isom´etrica α : [0,∞) −→ X es un rayo geod´esico. Note que toda geod´esica de x a y es un camino rectificable y su longitud coincide con d(x, y) = len[xy]. De ahora en adelante por camino entenderemos camino rectificable.
Definici´on 1.2 (Rips) (X, d) un espacio m´etrico geod´esico se dice que tiene la propiedad de tri´angulos δ-delgados (´o simplemente la propiedad de tri´angulos delgados), si existe δ > 0 tal que para todo tri´angulo geod´esico xyz, es decir que los lados [xy],[yz] y [zx] son segmentos geod´esicos, y para todo punto p∈ [xy] existe un punto q ∈ [yz] ∪ [zx] tal que d(p, q) ≤ δ.
Sea (X, dX) un espacio m´etrico geod´esico. Dado un tri´angulo geod´esico ∆ = xyz en X, sea
∆′ = x′y′z′ un tri´angulo en R2 con los lados de la misma medida que ∆ (Es decir: dE(x′, y′) = dX(x, y), dE(x′, z′) = dX(x, z) y dE(z′, y′) = dX(z, y), donde dE es la m´etrica Eucl´ıdea). Sea f : ∆ −→ ∆′ la identificaci´on natural de los lados. Sea c′z ∈ R2 el punto de tangencia del lado
2
p
q x
y
z
≤ δ
Figura 1:Tri´angulo δ-delgado
x′y′ y a la circunferencia m´axima inscrita en ∆′ y de modo an´alogo defina c′y y c′x. Definiremos cx= f−1(c′x), cy= f−1(c′y) y cz= f−1(c′z) y estos se llamar´an puntos internos del tri´angulo xyz.
Por geometr´ıa plana tenemos:
dE(x′, c′z) = dE(x′, c′y) dE(y′, c′x) = dE(y′, c′z) dE(z′, c′x) = dE(z′, c′y)
y por ende
dE(x′, c′z) = 1
2(dE(x′, c′z) + dE(x′, c′y))
= 1
2(dE(x′, c′z) + dE(c′z, y′) + dE(x′, c′y) + dE(c′y, z′)
−(dE(c′z, y′) + dE(c′y, z′)))
= 1
2(dE(x′, y′) + dE(x′, z′)− dE(y′, z′)) (1) Sea T∆ el ´arbol con un v´ertice w de grado 3, y 3 v´ertices, x′′, y′′ y z′′, de grado 1 tal que dE(w, x′′) = dE(x′, c′z) = dE(x′, c′y), dE(w, y′′) = dE(y′, c′x) = dE(y′, c′z) y dE(w, z′′) = dE(z′, c′x) = dE(z′, c′y). Sea t∆: ∆′−→ T∆la funci´on natural que identifica a c′x, c′y y c′z con w, a x′ con x′′, a y′ con y′′ y a z′ con z′′. Defina la funci´on f∆= t∆◦ f : ∆ −→ T∆ (Ver figura 2).
Definici´on 1.3 En el contexto de la discusi´on anterior diremos que el tri´angulo xyz es δ-fino para δ∈ R+, si las fibras de f∆ tienen di´ametro a lo sumo δ, es decir para todo p, q∈ ∆
f∆(p) = f∆(q)⇒ dX(p, q)≤ δ
x′
y′
z′ x
y
z cz
cx
cy
c′y c′z
c′x f
∆ ∆′
t∆
T∆
x′′
y′′
z′′
f∆
w
Figura 2:Puntos Interiores
Si existe un δ tal que todos los tri´angulos geod´esicos de X son δ-finos diremos que X tiene la propiedad de tri´angulos δ-finos, o simplemente que tiene la propiedad de tri´angulos finos si la tiene para alg´un δ.
Nota 1.4
La igualdad (1) vale en el tri´angulo ∆ por construcci´on.
Definici´on 1.5 (Gromov) Sea (X, d) un espacio m´etrico geod´esico. Dado un punto base w∈ X, se define el producto interno basado en w por:
(x· y)w= 1
2(d(x, w) + d(w, y)− d(x, y)) Si existe una constante δ tal que∀x, y, z ∈ X:
(x· y)w≥ m´ın{(x · z)w, (z· y)w} − δ se dice que el producto interno es δ-hiperb´olico
Nota 1.6
Si w∈ [xy] entonces (x · y)w=0.
Sea t∈ [xy] tal que d(t, w) = d(w, [x, y]), entonces:
d(w, x) ≤ d(t, x) + d(t, w) d(w, y) ≤ d(t, y) + d(t, w)
Ahora, d(x, t) + d(t, y) = d(x, y) luego sumando las dos desigualdades anteriores tenemos : d(w, [xy]) = d(w, t)≥ (x · y)w
Si xyz es un tri´angulo geod´esico y cx, cy y cz son sus puntos interiores entonces:
(x· y)z = 1
2(d(x, z) + d(z, y)− d(x, y))
= 1
2(d(z, cx) + d(cx, y) + d(z, cy) + d(cy, x)− d(y, cz)− d(cz, x))
= d(z, cx)
= d(z, cy)
Mostraremos que la definici´on de producto interno δ-hiperb´olico es independiente de la escogencia del punto base. Mas precisamente mostraremos que si el producto interno basado en un punto es δ-hiperb´olico, entonces el producto interno basado en cualquier otro punto es 2δ-hiper´olico. Para esto se mostrar´a primero el siguiente lema t´ecnico.
Lema 1.7 Sea (X, d) espacio m´etrico geod´esico con producto interno basado en w δ-hiperb´olico entonces para todo x, y, z, t∈ X se tiene:
(x· y)w+ (z· t)w≥ m´ın{(x · z)w+ (y· t)w, (t· x)w+ (y· z)w} − 2δ Demostraci´on:
(x· y)w+ (z· t)w ≥ m´ın{(x · t)w, (t· y)w} + (z · t)w− δ
= m´ın{(x · z)w+ (z· t)w, (t· y)w+ (z· t)w} − δ
≥ m´ın{(x · z)w+ m´ın{(z · y)w, (y· t)w}, (t · y)w+ m´ın{(z · x)w, (x· t)w}} − 2δ
= m´ın{(x · t)w+ (z· y)w, (x· t)w+ (y· t)w, (y· t)w+ (z· x)w} − 2δ
El ´ultimo m´ınimo se alcanza en (x· t)w+ (y· t)wsi y solo si (y· t)w< (z· y)wy (x· t)w< (z· x)w(1).
Similarmente,
(x· y)w+ (z· t)w ≥ m´ın{(x · z)w, (z· y)w} + (z · t)w− δ
= m´ın{(x · z)w+ (z· t)w, (z· y)w+ (z· t)w} − δ
≥ m´ın{(x · z)w+ m´ın{(z · y)w, (y· t)w}, (t · y)w+ m´ın{(z · x)w, (x· t)w}} − 2δ
= m´ın{(x · z)w+ (z· y)w, (x· z)w+ (y· t)w, (z· y)w+ (x· t)w} − 2δ
El ´ultimo m´ınimo se alcanza en (x·z)w+ (z·y)wsi y solo si (z·y)w< (y·t)wy (x·z)w< (x·t)w(2).
Las condiciones (1) y (2) no se pueden cumplir simultaneamente luego se tiene el resultado del Lema.
♣ Corolario 1.8 Sea (X, d) espacio m´etrico geod´esico con producto interno basado en w δ-hiperb´olico entonces para todo x, y, z, t∈ X se tiene:
d(x, y) + d(z, t)≤ m´ax{d(x, z) + d(y, t), d(t, x) + d(y, z)} + 4δ
Demostraci´on: Primero por definici´on de producto interno y el lema anterior tenemos:
d(x, w) + d(w, y)− d(x, y) + d(z, w) + d(t, w) − d(z, t) ≥ m´ın{d(x, w) + d(z, w) − d(x, z) + d(t, w) + d(w, y)− d(t, y), d(x, w) + d(t, w)− d(x, t) + d(y, w) + d(z, w)− d(z, y)} − 4δ
Cancelando se obtiene
−d(x, y) − d(z, t) ≥ − m´ın{−d(x, z) − d(y, t), −d(x, t) − d(y, z)} − 4δ multiplicando por -1 se tiene el resultado.
♣ Teorema 1.9 Sea (X, d) espacio m´etrico geod´esico con producto interno basado en w δ-hiperb´olico y t∈ X, entonces el producto interno basado en t es 2δ-hiperb´olico.
Demostraci´on:
m´ın{(x · z)t, (z· y)t} − (x · y)t = 1
2(m´ın{d(x, t) + d(z, t) − d(x, z), d(z, t) + d(x, y)− d(z, y)} + d(x, y) − d(x, t) − d(y, t))
= 1
2(m´ın{−d(y, t) − d(x, z), −d(x, t) − d(z, y)}
+d(x, y) + d(z, t))
Sumando d(x, w) + d(y, w) + d(z, w) + d(t, w) dentro del m´ınimo y restandolo fuera, m´ın{(x · z)t, (z· y)t} − (x · y)t = m´ın{(y · t)w+ (x· z)w, (x· t)w+ (z· y)w}
−(z · t)w− (x · y)w Aplicando el Lema anterior tenemos:
m´ın{(x · z)t, (z· y)t} − (x · y)t≤ 2δ
♣ Luego en vista del teorema anterior podemos omitir el punto base y decir que un espacio tiene pro- ducto interno δ-hiperb´olico sin hacer referencia al punto base. En general diremos que un espacio m´etrico geod´esico tiene un producto interno hiperb´olico si lo tiene para alg´un δ.
Definici´on 1.10 Sea (X, d) un espacio m´etrico geod´esico. Una funci´on e :N −→ R es una funci´on de divergencia para X si para todo x∈ X y para todos los segmentos geod´esicos γ = [xy] y γ′= [xz], la funci´on e satisface la siguiente condici´on:
Para todo R, r ∈ N tales que R + r < m´ın(d(x, y), d(x, z)) si d(γ(R), γ′(R)) > e(0) y α es un
x
y
z γ(R)
γ′(R)
γ(R + r)
γ′(R + r)
> e(0) BR+r(x) α
Figura 3: Las geod´esicas divergen
segmento geod´esico en X− BR+r(x), que va de γ(R + r) hasta γ′(R + r) entonces len(α) > e(r).
Si un espacio m´etrico geod´esico admite una funci´on de divergencia tal que esta es una funci´on es exponencial diremos que las geodesicas divergen exponencialmente.
1.2. Equivalencia de las definiciones
Teorema 1.11 Sea (X, d) un espacio m´etrico geod´esico las siguientes son equivalentes:
1. X tiene la propiedad de tri´angulos delgados.
2. X tiene la propiedad de tri´angulos finos.
3. X tiene producto interno hiperb´olico.
4. En X las geod´esicas divergen exponencialmente.
Demostraci´on: (1)⇒(2) En el contexto de la definici´on 1.3 se debe probar que el tri´angulo xyz es fino. Sea u un punto en el segmento [xcy] y v un punto en [xcz] tales que d(x, u) = d(x, v) es decir que f∆(u) = f∆(v). Como los tri´angulos geod´esicos son δ-delgados (para alg´un δ),
d(u, [xcz]∪ [czcy])≤ δ De modo an´alogo para v:
d(v, [xcy]∪ [czcy])≤ δ Ahora, si existe t∈ [xcz] tal que d(u, t)≤ δ, tenemos:
d(v, t) ≤ d(v, x) + d(x, t) (2)
d(u, t) ≤ d(v, x) + d(x, t) (3)
restando (3) en (2) entonces d(v, t) ≤ d(u, t) ≤ δ, por lo tanto d(u, v) ≤ 2δ. De modo an´alogo, si existe t′ ∈ [xcy] con d(t′, v) ≤ δ entonces d(u, v) ≤ 2δ. Ahora si no existe tal t o t′ entonces d(u, v) > 2δ y existen puntos tu, tv∈ [cycz] tales que d(u, tu)≤ δ y d(v, tv)≤ δ.
x
y
z cz
cx
cy
t u
v
tu
tv
Figura 4:Teorema 1.11, (1)⇒ (2)
Considere el punto cz∈ [xy]; como el tri´angulo es δ-delgado entoces existe un r ∈ [xz] ∪ [yz] tal que d(cz, r)≤ δ. Podemos asumir sin p´erdida de generalidad que r ∈ [xz] (Ver figura 5). Entonces
d(x, r) + δ≥ d(cz, x) = d(cy, x) d(x, r)≤ δ + d(cz, x)
y como d(r, cy) + d(r, x) = d(x, cy) = d(x, cz) entonces d(r, cy)≤ δ, por lo tanto d(cz, cy)≤ 2δ. Un argumento similar muestra que cxest´a a distancia menor que 2δ de czy cy. Luego el di´ametro del
x
y
z cz
cx
cy
r
Figura 5:Teorema 1.11, (2)⇒ (1)
conjunto {cx, cx, cy} es menor que 4δ. Por lo tanto como tv, tu ∈ [cycz] se sigue que d(u, v)≤ 6δ.
Luego en cualquier caso el tri´angulo xyz es 6δ-fino.
(2)⇒(1) Suponga que X tiene la propiedad de tri´angulos δ-finos. Sea xyz un tri´angulo geod´esico y u ∈ [xy], suponga que u ∈ [xcz] entonces existe v ∈ [xcy] tal que d(x, u) = d(x, v) luego por la propiedad de tri´angulos δ-finos d(u, v) ≤ δ. Si u ∈ [czy] entonces existe v ∈ [ycx] tal que d(y, u) = d(y, v) luego por la propiedad de tri´angulos δ-finos d(u, v)≤ δ. Por lo tanto
d(u, [y, z]∪ [z, x]) ≤ δ y X tiene la propiedad de tri´angulos δ-delgados.
(2)⇒(3)Sean x, y, w ∈ X el producto interno basado en w esta dado por:
(x· y)w= 1
2(d(x, w) + d(w, y)− d(x, y)) Debemos probar que existe λ tal que∀z ∈ X:
(x· y)w≥ m´ın{(x · z)w, (z· y)w} − λ
Suponga que X tiene la propiedad de tri´angulos δ-finos. Ahora considere el tri´angulo geod´esico wxy y sea z un punto cualquiera de X (Ver figura 6). Por la ecuaci´on (1) (P´ag. 3) se tiene que d(w, cx) = (x· y)w. Adem´as por la propiedad de tri´angulos δ-finos aplicada a los puntos cx y cw
que estan sobre la misma fibra de f∆ se sigue:
d(w, cw)≤ d(w, cx) + d(cx, cw)≤ (x · y)w+ δ Por otro lado aplicando la nota 1.6 tenemos que:
d(w, [xy])≥ (x · y)w
x y
z
cw
cx
cy
w
Figura 6:Teorema 1.11, (2)⇒ (3)
Considere el tri´angulo xyz (con cw∈ [xy]), este es δ-delgado pues es δ-fino, entonces δ ≥ m´ın{d(cw, [xz]), d(cw, [yz])}
= m´ın{d(cw, [xz]) + d(w, cw), d(cw, [yz]) + d(cw, w))} − d(w, cw)
= m´ın{d(w, [xz]), d(w, [yz])} − d(w, cw) Pero, d(w, [xz])≥ (x · z)w y d(w, [yz])≥ (y · z)w luego
(x· y)w+ 2δ ≥ d(w, cw) + δ
≥ m´ın{(x · z)w, (y· z)w}
Luego el producto interno basado en w es 2δ-hiperb´olico, luego el producto interno es hiperb´olico.
(3)⇒(1) Suponga (X, d) espacio m´etrico geod´esico con producto interno δ-hiperb´olico.
Afirmaci´on 1: Para cualquier par de puntos x, y∈ X:
(x· y)w≤ d(w, [xy]) ≤ (x · y)w+ 2δ
La desigualdad de la izquierda se tiene por la nota 1.6. Sean cw, cx y cy los puntos internos del tri´angulo wxy. Sean dx, dw y dy (respectivamente ex, ew y ey) los puntos internos del tri´angulo geod´esico xwcw (respectivamente ywcw), donde dy∈ [wx] y ex∈ [wy] (Ver figura 7).
Como dw ∈ [xcw], d(x, dy) = d(x, dw)≤ d(x, cy), entonces dy ∈ [xcy]. Se sigue que d(w, dy) ≥ d(w, cy). An´alogamente d(w, dx)≥ d(w, cx). Aplicando la nota 1.6
(x· cw)w≥ (x · y)wy (y· cw)w≥ (x · y)w
Sin p´erdida de generalidad podemos asumir que (y· cw)w≤ (x · cw)w; y como el producto interno es δ-hiperb´olico
δ≥ (y · cw)w− (x · y)w= d(cx, ex) = d(ew, cw)
x y
cw
cx
cy
w
dw
dy
dx
ew
ey
ex
Figura 7:Teorema 1.11, (3)⇒ (1)
Pero,
d(w, cw) = d(w, ey) + d(ey, cw)
= d(w, ex) + d(cw, ew)
= d(w, cx) + 2d(cx, cy)
≤ 2δ + (x · y)w de donde se obtiene:
d(w, [xy])≤ (x · y)w+ 2δ y la afirmaci´on 1 esta probada.
Sea xyz un tri´angulo geod´esico en X y w∈ [xy]
0 = (x· y)w
≥ m´ın{(x · z)w, (z· y)w} − δ
Sin perdida de generalidad podemos asumir (x· z)w≤ (z · y)w. Entonces por la afirmaci´on 1 δ ≥ (x · z)w
≥ d(w, [xz]) − 2δ
De donde obtenemos,
d(w, [xz])≤ 3δ Luego X tiene la propiedad de tri´angulos 3δ-delgados.
(1)⇒(4) Suponga que X tiene la propiedad de tri´angulos δ-delgados construiremos la funci´on e de divergencia. Defina e(0) = δ. Sean γ y γ′ segmentos geod´esicos de longitud mayor a R + r y que comienzan en el punto x tales que d(γ(R), γ′(R)) > δ. Sea p un camino desde γ(R + r) hasta γ′(R + r) tal que p∈ X − BR+r(x).
Afirmaci´on 2:
d(γ(R), p)≤ δ(log2(l(p)) + 2)
Para ver esto divida p de la siguiente manera. Sea p1el punto medio de p, sea p01el punto medio de
x
y
z γ(R)
γ′(R)
γ(R + r)
γ′(R + r)
> δ BR+r(x) p1
p01
p11
p001
p101
p011
p111
Figura 8:Teorema 1.11, (1)⇒ (4)
la primera mitad y p11el punto medio de la segunda mitad. Continuamos el proceso as´ı hasta que se ha subdivido a p, log2l(p) veces, los segmentos restantes tienen longitud menor que 2. Considere
los tri´angulos γ(R + r)γ′(R + r)p1, γ(R + r)p01p1, γ′(R + r)p1p11, p01p1p101, ... etc, como todos son δ-delgados entonces se puede construir un camino desde γ(R) hasta un punto de p de longitud a lo m´as δ(log2(l(p)) + 2). Luego se tiene la afirmaci´on 2.
Como p esta por fuera de BR+r(x) entonces d(γ(R), p) > r, por lo cual δ(log2(l(p)) + 2) > r, de donde tenemos:
l(p) > 2r−2δ y podemos definir e(r) = 2r−2δ .
(4)⇒(1) Sea e la funci´on de divergencia para X, y sea xyz una tri´angulo geod´esico en X. Considere [xy] (respectivamente [xz], [yz]) como la sumersi´on isom´etrica α1 : [0, n] −→ X basada en x (respectivamente α2, α3). Sea T ∈ [0, n] el m´aximo tal que,
∀t ∈ [0, T ], d(α1(t), α2(t))≤ e(0) Defina x1= α1(T ) y x2= α2(T ), de modo similar defina z1, z2, y1 y y2.
Afirmaci´on 3:Si [xx1]∩[y, y2]6= ∅ entonces existe una cota superior K para m´ax{d(z2, y1), d(z1, x2)}, y por lo tanto el tri´angulo es δ-hiperb´olico con δ = K/2 + 2e(0).
Si [xx1]∩ [y, y2]6= ∅ entonces existe un punto t ∈ [xx1]∩ [y, y2] tal que d(t, x), d(t, y)≤ e(0), por lo tanto existen puntos x3 ∈ [xx2]y z3∈ [yy1] tales que d(x3y3) < 2e(0). Aplicando la funci´on de divergencia a los segmentos [zy3] y [zx3] esto da una cota K a la longitud de [z1x3] y [z2y3] , y por ende una cota para [z1x2] y [z2y1]. Se sigue que xyz es (K/2 + 2e(0))-hiperb´olico.
Ahora suponga que [xx1]∩ [y, y2] = ∅. Sean L1 = d(z2, y1), L2 = d(x2, z1), L3 = d(y2, x1) y suponga sin p´erdida de generalidad que L1 = m´ax{L1, L2, L3}. Es suficiente probar que L1 esta acotado por alguna constante K.
Sea t el punto medio de [x1y2]. Sea a = d(x, x1) y b = d(y2, y). Sean B1 y B2 las bolas cerradas, Ba+L1/2(x) y Bb+L1/2(y) respectivamente. Note que los interiores de B1 y B2 no se intersectan.
Sin p´erdida de generalidad podemos asumir L3≥ L2. Afirmaci´on 4:[x2z]∩ int(B2) =∅
Suponga por contradicci´on que existe s∈ [x2z]∩ int(B2). Como s /∈ int(B1) entonces d(s, x2)≥ L1/2. Como L3≥ L2 existe un punto u∈ [y, z] tal que d(u, z) = d(s, z). De lo cual se deduce,
L1/2 ≤ d(s, x2)
= d(x2, z)− d(z, s)
= d(x2, z1) + d(z1, z)− d(z, s)
≤ d(z2, y1) + d(z1, z)− d(z, u)
= d(z, y1)− d(z, u)
= d(u, y1)
x
y z
x1
x2
z1 z2
y1
y2
u s
t
B1 B2
Figura 9:Teorema 1.11, (4)⇒ (1)
Por lo tanto u /∈ int(B2) pero;
d(z, y) = d(z, u) + d(u, y)
≤ d(z, s) + d(s, y) De donde se sigue:
b + L1/2≤ d(u, y) ≤ d(s, y) < L1/2 + b Lo cual es una contradicci´on y la afirmaci´on 4 esta probada.
Sea v un punto sobre [yz] tal que d(y, v) = b + L1/2 en vista de la afirmaci´on 4 tal v existe.
Por lo tanto el camino sobre el tri´angulo original que comienza en t pasando por x1, x, x2, z1, z, z2
y termina en v, est´a por fuera de B2 y tiene longitud a lo sumo:
d(t, x1) + 3e(0) + L2+ 3e(0) + d(z2, v)≤ L1/2 + 6e(0) + L1+ L1/2
Por lo tanto e(L1/2)≤ 2L1+ 6e(0) y esto establece una cota para L1que era lo que necesitabamos.
♣ Definici´on 1.12 Un espacio m´etrico geod´esico que satisfaga cualquiera de las sentencias del Teo- rema 1.11 es un espacio hiperb´olico.
Algunos autores definen espacio hiperb´olico como espacio δ-hiperb´olico mostrando la constante para la cual los tri´angulos son delgados o finos, o para la cual el producto interno es hiperb´olico.
El plano hiperb´olico, el disco de Poincar´e y en general los ejemplos de geometr´ıas hiperb´olicas son a su vez espacios hiperb´olicos. En la secci´on 2.2 introduciremos el grafo de Cayley asociado a un grupo finitamente generado, sobre el cual se definir´a una estructura de espacio hiperb´olico. Este es el ejemplo en el que estamos interesados en este trabajo.
1.3. Cuasi-Isometr´ıas
Definici´on 1.13 Sean (X, d) y (X′, d′) espacios m´etricos y sean λ, κ reales positivos. Una funci´on f : X−→ X′ es una (λ, κ)-cuasi-isometr´ıa (o simplemente cuasi-isometr´ıa) si para todo x, y∈ X:
1
λd(x, y)− κ ≤ d′(f (x), f (y))≤ λd(x, y) + κ
Los espacios (X, d) y (X′, d′) son cuasi isom´etricos si adem´as existe una cuasi-isometr´ıa g : X′ −→
X tal que para todo x∈ X d(x, g(f(x))) ≤ C y para todo x′∈ X′ d′(x′, f (g(x′)))≤ C donde C es una constate real mayor que 0.
Por ejemplo la sumersi´on deZ en R con las m´etricas usuales es una (1, 0)-cuasi-isometr´ıa. Asimismo la funci´on deR en Z dada por f(x) = x′ (el entero mas cercano a x) es una (1,12)-cuasi-isometr´ıa.
Cualquier par de espacios acotados son cuasi-isom´etricos. Diremos que una propiedad sobre un espacio m´etrico es un invariante cuasi-isom´etrico si esta se mantiene bajo cuasi-isometr´ıa. Note adem´as que ser cuasi-isom´etricos es una relaci´on de equivalencia sobre los espacios m´etricos.
Definici´on 1.14 Un camino α en un espacio m´etrico geod´esico (X, d) es una (λ, ǫ)-cuasigeod´esica (o simplemente cuasigeod´esica) para λ > 1, ǫ≥ 0 si para todo par de puntos x, y sobre α,
lα(x, y)≤ λd(x, y) + ǫ Nota 1.15
Si (X, d) y (X′, d′) son espacios m´etricos geod´esicos y f es una (λ, ǫ)-cuasi-isometr´ıa de X en X′ entonces si γ es una geod´esica de X entonces f ◦ γ es una (λ, ǫ)-cuasi geod´esica de X′. M´as a´un ser cuasi-geod´esica es un invariante cuasi-isom´etrico.
El siguiente Teorema muestra que las geod´esicas y las cuasigeod´esicas estan cerca en un espacio hiperb´olico.
Teorema 1.16 Sea (X, d) un espacio hiperb´olico. Sean x, y∈ X, si α es una (λ, ǫ)-cuasigeod´esica entre los puntos x, y, entonces existen enteros L(λ, ǫ) = L, M (λ, ǫ) = M tales que si γ es una geod´esica cualquiera [xy], entonces γ ⊆ NL(α) y α⊆ NM(γ), donde NL es la L-vecindad de α y NM es la M -vecindad de γ.
Demostraci´on: Sea e : N −→ R+ una funci´on de divergencia exponencial para X. Primero demostramos la existencia de una cota L.
Sea Dγ = supz∈γ{d(z, α)}, existe por compacidad de γ y α y por lo mismo existe un p ∈ γ donde se alcanza este supremo. Entonces
intBDγ(p)∩ α = ∅
Sean a y b puntos sobre γ a distancia Dγ de p, y sean a′ y b′ puntos sobre γ a distancia 2Dγ de p (o los puntos x e y si estan a distancia menor que 2Dγ de p). Existen puntos v, u en α tales que d(a′, u)≤ Dγ,d(b′, v)≤ Dγ. Note que ([a′u]∪ [b′v])∩ intBDγ(p) =∅. Siguiendo un camino via a′, b′
x y
α
a b
a′ b′
Dγ
p u
v
Figura 10: Teorema 1.16
y p se tiene que d(u, v)≤ 6Dγ, y como α es una (λ, ǫ)-cuasigeod´esica entonces lα(u, v)≤ 6λDγ+ ǫ.
Por lo tanto hay un camino de a a b via a′, u, v, b′ que no interseca intBDγ(p) y que tiene longitud menor o igual que 4Dγ+ 6λDγ+ ǫ. Entonces por definici´on de e
e(Dγ− e(0)/2) ≤ 4Dγ+ 6λDγ+ ǫ.
Pero e es una funci´on exponencial luego no puede estar acotada por una funci´on lineal, entonces Dγ debe estar acotada por una constante L y γ⊆ NL(α).
Ahora suponga que α* NL(γ). Una componente conexa de α− NL(γ) es un camino ξ con extremos u, v a distancia L de puntos r, s en γ.
Suponga que α : [0, 1] −→ X, y ξ = α([t1, t2]). Por la primera parte de la prueba para cada punto de γ entre r y s existe un punto en α([0, t1])∪ α([t2, 1]) = α1∪ α2. Entonces haciendo unn razonamiento an´alogo al de la primera parte existe un punto z ∈ γ entre r y s tal que existen u1∈ α1y u2∈ α2 a distancia menor o igual que L de z. De lo cual d(u1, u2)≤ 2L y por lo tanto lα(u1, u2)≤ 2λL + ǫ, y eso acota la longitud de ξ. Por lo tanto cualquier punto de ξ esta a lo sumo a una distancia de L + 2λL + ǫ de γ. Luego M = L + 2λL + ǫ y se sigue el resultado.
♣
A continuaci´on mostramos que la propiedad de ser hiperb´olico es una propiedad invariante bajo cuasi-isometr´ıas.
Teorema 1.17 Sean (X, d) y (X′, d′) espacios m´etricos geod´esicos cuasi-isom´etricos. (X, d) es hiperb´olico si y solo si (X′, d′) tambi´en lo es.
Demostraci´on: Bastar´a probar que si X tiene la propiedad de tri´angulos δ-delgados entonces X′ tambien la tiene para alg´un δ′. Suponga que f : X −→ X′ y f′ : X′ −→ X son (λ, ǫ)-cuasi- isometr´ıas tales que sus composiciones estan a distancia menor o igual que C de la identidad. Sea
∆′ un tri´angulo geod´esico en X′, entonces f′(∆′) es un tri´angulo cuasi-geod´esico, cuyos lados son (λ, ǫ)-cuasigeod´esicas. Por el teorema 1.16 se puede encontrar un tri´angulo ∆ que tiene los mismos vertices que f′(∆′) y cuyos lados son geod´esicas que estan en una H(λ, ǫ)-Hausdorff-vecindad de los lados de f′(∆). Se sigue que f′(∆′) es 2H + δ-delgado (donde se habla de delgadez en tri´angulos cuasigeod´esicos en el sentiodo natural). Ahora el tri´angulo cuasigeod´esico f (f′(∆′)) es λ(2H + δ) + ǫ-delgado, pero los lados de f (f′(∆′)) estan a lo sumo a distancia C de los lados de ltri´angulo orginal ∆. Por lo tanto el tri´angulo ∆ es δ′ = 2Cλ(2H + δ) + ǫ-delgado. Lo ´ultimo implica que X′ tiene la propiedad de tri´angulos δ′ delgados.
♣
Grupos Hiperb´ olicos
2.1. Presentaciones y problemas de Dehn
Asumiremos que el lector sabe que es un grupo libre y esta familiarizado con productos libres.
F (X) denotar´a al grupo libre sobre X. S´ı X es un cojunto generador de G, existe un homomor- fismo natural φ : F (X) → G. Ahora s´ı w1, w2 son palabras sobre X tales que φ(w1) = φ(w2), entonces diremos que w1=Gw2. Notaremos por len(w) a la longitud de la palabra w. Notaremos
|w| = m´ın{len(v)|v =Gw donde v es una palabra sobre X}
Definici´on 2.1 Una presentaci´on P para G es una pareja P =< S|D > donde S es un conjunto llamado alfabeto y D un conjunto de palabras sobre S llamadas relaciones, tales que s´ı F (S) es el grupo libre sobre S y NDes la clausura normal de D en G (m´ınimo subgrupo normal que contiene a D) entonces G es isomorfo al grupo cociente F (S)/ND.
De aqu´ı en adelante identificaremos a un grupo G presentado por P =< S|D > con el grupo F (S)/ND. Adem´as dadas dos palabras w1 y w2 en F (S) diremos que estas son iguales en G si y solo si w1ND= w2ND, esto lo notaremos por w1=Gw2.
S´ı S ={a1, a2, . . .} y D = {r1, r2, . . .} usaremos la notaci´on:
< a1, a2, . . .|r1, r2, . . . >
´o la notaci´on
< a1, a2, . . .|r1= 1, r2= 1, . . . >
Adem´as para dos palabras w1, w2 sobre S, w1 =G w2 s´ı y solo s´ı w1w−12 =G1, entonces tambi´en podemos dar una presentaci´on en la forma
< a1, a2, . . .|r1= w1, r2= w2, . . . >
donde se entiende que D = {r1w1−1, r2w−12 , . . .}. En general si P es una presentaci´on de G es- cribiremos G =< S|D >. Es f´acil ver que todo grupo admite una presentaci´on. Diremos que un grupo es finitamente presentable ´o que admite una presentaci´on finita, s´ı existe una presentaci´on de ´este, tal que tanto el alfabeto como el conjunto de relaciones son finitos.
18
Ejemplo 2.2
Si X es un subconjunto generador de G entonces el homomorfismo de F (X) en G es so- breyectivo. Adem´as si NX es el kernel de este homormofismo entonces una presentaci´on para G es < X|NX >. Este hecho lo usaremos constantemente.
Z =< a|∅ >, en general Zn=< a|an = 1 >.
El grupo libre, Fn, generado por n elementos admite una presentaci´on, Fn=< a1, a2, . . . , an|∅ >.
El grupo diedral Dn, grupo de movimientos r´ıgidos de un pol´ıgono regular de n lados tiene presentaci´on:
< a, b|a2= 1, bn = 1, a−1ba = b−1>
S´ı H =< SH|DH> y K =< SK|DK > con SH∩ SK=∅, el producto libre H ∗ K admite la presentaci´on < SH∪ SK|DH∪ DK >.
Suponga que G es un grupo presentado por P =< S|D >. La presentaci´on P se puede alterar de modo que la presentaci´on resultante produzca un grupo isomorfo al original. Este tipo de alteraciones se llaman Transformaciones de Tietze y se listan a continuaci´on
T1 Agregar Consecuencias: S´ı E⊆ F (S) y E ⊆ ND(por lo tanto ND= ND∪E) entonces cambie < S|D > por < S|D ∪ E >.
T−1Eliminar Redundancias: S´ı E ⊆ F (S) y ND= ND∪E entonces cambie < S|D ∪ E >
por < S|D >.
T2 Agregar abreviaciones: S´ı T es un conjunto de s´ımbolos tal que T ∩ S = ∅ y si {ut|t ∈ T } es un conjunto de palabras sobre S, entonces cambie < S|D > por < S∪T |D∪{t = ut|t ∈ T } >.
T−2 Eliminar abreviaciones: S´ı T es un conjunto de s´ımbolos tal que T ∩ S = ∅ y si {ut|t ∈ T } es un conjunto entonces cambie< S ∪ T |D ∪ {t = ut|t ∈ T } > por < S|D >.
La importancia de las transformaciones de Tietze las da el siguiente Teorema.
Teorema 2.3 (Teorema de Tietze) Sea G un grupo y sean < S|D > y < T |E > presentaciones de G. Existe una sucesi´on de transformaciones de Tietze que lleva de la una a la otra. Si las pre- sentaciones son finitas s´olo se introducen finitas abreviaciones o consecuencias y s´olo se eliminan finitas redundancias o abreviaciones.
Demostraci´on: Suponga que las transformaciones estan dadas por:
< S|D >=< a1, a2, . . .|r1(~a) = 1, r2(~a) = 1, . . . >
y
< T|E >=< b1, b2, . . .|q1(~b) = 1, q2(~b) = 1, . . . >.
donde la notaci´on ri(~a) significa que ries una palabra sobre los s´ımbolos a1, a2, . . . . Ahora, como las dos son presentaciones del mismo grupo G entonces existe un isomorfismo φ : FS/ND−→ FT/NE
y un isomorfismo ψ : FT/NE −→ FS/ND. Podemos asumir que estos isomorfismos son el uno inverso del otro y que son inducidos por homormofismos de FS y FT definidos por:
φ(aˆ i) = vi(~b) para i = 1, 2, . . . ψ(bˆ j) = wj(~a) para j = 1, 2, . . .
A partir de la primera presentaci´on y aplicando una transformaci´on de tipo T2 se llega a la presentaci´on
< a1, a2, . . . , b1, b2, . . .|r1(~a) = 1, r2(~a) = 1, . . . , b1= w1(~a), b2= w2(~a), . . . >
Como ˆψ(qk(~b)) =G1 entonces aplicando una transformaci´on de tipo T1 se llega a la presentaci´on:
< a1, a2, . . . , b1, b2, . . .|r1(~a) = 1, r2(~a) = 1, . . . , b1= w1(~a), b2= w2(~a), . . . , q1(~b) = 1, q2(~b) = 1, . . . >
Pero como ˆψ( ˆφ(ai)) = ai entonces de las relaciones de la presentaci´on anterior se deduce que ai= vi(~b), luego mediante una transformaci´on de tipo T1 se llega a la presentaci´on:
< a1, a2, . . . , b1, b2, . . .|r1(~a) = 1, r2(~a) = 1, . . . , b1= w1(~a), b2= w2(~a), . . . , q1(~b) = 1, q2(~b) = 1, . . . , a1= v1(~b), a2= v2(~b), . . . >
Un argumento an´alogo demuestra que de la presentaci´on < T|E > se llega a la presentaci´on an- terior. Ahora como la inversa de una transformaci´on de Tietze es una transformaci´on de Tietze se sigue que la sucesi´on de transformaciones de Tietze existe. Note adem´as que s´ı las dos presenta- ciones eran finitas s´olo se introducen finitas abreviaciones ´o consecuencias y s´olo se eliminan finitas redundancias o abreviaciones.
♣ En el estudio de presentaciones de grupos surgen 3 problemas fundamentales de decisi´on prop- uestos por Max Dehn en 1911:
Problema de la palabra: ?’ S´ı G es un grupo finitamente presentado con alfabeto S, existe alg´un algoritmo que permita decidir s´ı una palabra w sobre S se reduce a la identidad en G?
?’Es decir existe un algoritmo que permita decidir s´ı w =G1?
Problema de la conjugaci´on: ?’S´ı G es un grupo finitamente presentado con alfabeto S, existe alg´un algoritmo que permita decidir s´ı dos palabras u, v sobre S son conjugados?
?’Es decir existe un algoritmo que permita decidir s´ı existe w palabra sobre S, tal que wvw−1=Gu?
Problema del isomorfismo: ?’Existe un algoritmo que permita decidir s´ı dos presentaciones finitas arbitrarias representan grupos isomorfos?
En la d´ecada de los 50 Boone y Novikov dieron un ejemplo de un grupo finitamente presentado para el cual no existe un algoritmo que permita decidir si una palabra se reduce ´o no a la identidad.
La prueba de este hecho consist´ıa b´asicamente en asociar una maquina de Turing con problema de la parada insoluble a un grupo finitamente presentado, de modo que s´ı se resolv´ıa el problema de la palabra en dicho grupo se resolv´ıa el problema de la parada en la maquina de Turing. De este hecho se desprende que tanto el problema del isomorfismo como el de la conjugaci´on son insolubles en el caso general. En el presente cap´ıtulo introduciremos una familia de grupos en la cual el problema de la palabra es soluble.
2.2. Grafos de Cayley
Sea G un grupo y sea X un conjunto generador finito de G. Desde este punto todo grupo ser´a finitamente generado. Asociaremos a (G, X) un espacio m´etrico geod´esico. Primero considere el grafo abstracto, GX, asociado a G y X, el cual tiene por conjunto de v´ertices a los elementos de G, y entre cualquier par de elementos g1, g2∈ G, hay una arista s´ı y solo s´ı existe un elemento generador x ∈ X tal que g1x =G g2. Algunos autores dan a este grafo la orientaci´on natural y trabajan con el grafo abstracto orientado, sin embargo lo que es realmente interesante para el prop´osito de esta tesis es la realizaci´on geom´etrica que daremos a GX.
Sean g y g′ elementos de G, defina la funci´on dX : G× G −→ R por dX(g, g′) = m´ın{len(w)|w ∈ F (X), g′=Ggw}. Se puede ver f´acilmente que esta funci´on induce una m´etrica sobre el conjunto de v´ertices de GX. A esta m´etrica la llamaremos m´etrica de la palabra. Al grafo GX se asocia el grafo lineal o grafo continuo Γ(G, X), en el cual a cada arista se asocia una copia del intervalo [0, 1], ning´un par de aristas se intersectan salvo en los extremos. La m´etrica de la palabra dX se extiende de modo natural a Γ(G, X) haciendo que cada arista mida 1. Es f´acil notar que el espacio es arcoconexo y m´as a´un es geod´esico, dejamos los detalles al lector.
Definici´on 2.4 El espacio m´etrico geod´esico Γ(G, X) se llama Grafo de Cayley de G asociado a X y su m´etrica se denota por dX.
Dada una palabra w sobre X y un g ∈ G, w representa un camino en Γ(G, X) de g a gw. Note adem´as que en general en un grafo de Cayley las geod´esicas no son ´unicas por ejemplo considere Γ(Z × Z, (0, 1), (1, 0)). Es claro que para cualquier n existe mas de un camino que que unen la identidad con el v´ertice (n, n).
Nota 2.5
En Γ(G, X) todos los v´ertices tienen valencia 2n donde n es el n´umero de generadores en X.
Cualquier ciclo en el grafo Γ(G, X) basado en un elemento de G esta reprensentado por una palabra w sobre X tal que w =G 1 y viceversa.
El grafo de Cayley de cualquier grupo libre con base finita asociado al conjunto can´onico de generadores es un ´arbol.
El grafo de Cayley Γ(G, X) depende del conjunto generador X al cambiar este cambiar´a el grafo de Cayley. Sin embargo como se demostrar´a m´as adelante los grafos de Cayley asociados a un mismo grupo son todos cuasi-isom´etricos.
La acci´on de G en Γ(G, X) inducida por la multiplicaci´on a izquierda define una isometr´ıa sobre Γ(G, X) para cada g en G.
Un grupo G presentado por P =< S|D > tambi´en se puede ver como un grupo generado por S. Luego a la presentaci´on P se le asocia el grafo de Cayley Γ(G, S).
Ejemplo 2.6
El grafo de Cayley de Z asociado a la presentaci´on < a|∅ >
00 11
00 0 11 1
00 0 11 1
00 11 00
11 00
0 11 1
00 11 00
110000000000000000000000000000000000000000000000000000000000 11111111111111111111111111111 11111111111111111111111111111
00 11
a
1 a2
a−1 a−2
Figura 11: Ejemplo 2.6
El grafo de Cayley de S3 asociado a la presentaci´on < a, b|a2 = b3 = 1, a−1ba = b−1> (Ver Figura 12)
Lema 2.7 Sea G un grupo finitamente generado por X. G dotado de la m´etrica de la palabra dX
y Γ(G, X) son espacios m´etricos cuasi-isom´etricos.
Demostraci´on: La inyecci´on natural de i : G−→ Γ(G, X) es una (1, 0)-cuasi-isometr´ıa, en particu- lar es una (1, 1/2)-cuasi-isometr´ıa. Adem´as podemos construir la siguiente (1, 1/2)-cuasi-isometr´ıa f : Γ(G, X) −→ G, f(g) = g si g es un vertice, si x no es un vertice entonces x est´a a lo sumo a distancia 1/2 de alg´un vertice gx de Γ(G, X) defina f (x) = gx. Se tiene que para tado g ∈ G d(g, f (i(g))) = 0 y para todo x∈ Γ(G, X) d(x, i(f(x))) ≤ 1/2, esto prueba el lema.
♣
a a
a
a a
a b
b
b
b b
b
Figura 12: Ejemplo 2.6
Teorema 2.8 Sean A y B dos conjuntos finitos generadores del mismo grupo G. Los grafos de Cayley Γ(G, A) y Γ(G, B) son cuasi-isom´etricos.
Demostraci´on: En vista del lema anterior basta probar que (G, dA) y (G, dB) son cuasi-isom´etricos dado que la cuasi-isometr´ıa es una relaci´on de equivalencia. Como A y B generan G entonces para cada a∈ A existe una palabra wa de longitud m´ınima sobre B tal que a =Gwa de modo an´alogo para cada b∈ B existe una palabra wb de longitud m´ınima sobre A tal que b =Gwb. Ahora sea M el m´aximo de las longitudes de las palabras way wb. Sean g1, g2∈ G y suponga que dA(g1, g2) = n.
Sean a1, a2. . . , an∈ A tales que g1−1g2= a1a2. . . an entonces dB(g1, g2) =|wa1wa2. . . wan| ≤ nM, luego dB(g1, g2) ≤ MdA(g1, g2). Sim´etricamente se prueba dA(g1, g2) ≤ MdB(g1, g2), luego la identidad es una (M, 0)-cuasi-isometr´ıa y por lo tanto los espacios son cuasi-isom´etricos.
♣ La siguiente proposici´on ilustra la relaci´on que hay entre el problema de la palabra y el grafo de Cayley.
Teorema 2.9 Sea G un grupo finitamente presentado, generado por X (finito). G tiene problema de la palabra soluble s´ı y solo s´ı existe un algoritmo capaz de generar para cualquier n ∈ N en Γ(G, X) la bola de radio n al rededor de cualquier g∈ G.
Demostraci´on: ”⇒ ”. Suponga que G tiene problema de la palabra soluble. Basta probar que existe un algoritmo para construir una bola de radio n alrededor de la identidad. Primero se generan todas las palabras w en F (X) tales que len(w)≤ n. Usamos el algortimo para decidir cuales de estas son iguales en G. Tome un representate de longitud m´ınima por cada clase de plabras iguales. Estos
ser´an los v´ertices contenidos en la bola. Ahora, por cada par de representantes g, g′ y un generador x use el algoritmo para determinar s´ı gx =Gg′ ´o s´ı g′x =Gg y este proceso da las aristas.
”⇐ ” Suponga que podemos construir cualquier porci´on finita del grafo de Cayley Γ(G, X). Sea w una palabra sobre X, entonces el camino w esta contenido en la bola de radio len(w) + 1 centrada en la idnentidad. Construya esta bola y verifique s´ı w es un ciclo ´o no. Esto da la respuesta a la pregunta s´ı w se reduce a la identidad ´o no.
♣
2.3. Diagramas de Van Kampen y Funci´ on de Dehn
Sea G es un grupo finitamente presentado por P =< S|D >, sea w una palabra en F (S) entonces se tiene directamente de la definici´on de presentaci´on que w =G1 s´ı y solo s´ı
w = Yn i=1
uir±1i u−1i
donde ui∈ F (S) y ri∈ D.
Definici´on 2.10 Sea G finitamente presentado por P =< S|D >. Sea w una palabra en F (S), s´ı w =G1 se define el ´area de w sobre P como:
AP(w) = m´ın{n|w = Yn i=1
uiri±1ui, con ui∈ F (S), y ri ∈ D}
La siguiente definici´on permite dar una significado geom´etrico a la noci´on de ´area de una palabra.
Definici´on 2.11 (Diagrama de Van Kampen) Una diagrama de Van Kampen sobre la pre- sentaci´on P =< S|D > es un 2-complejo M, finito, simplemente conexo y contenido en el plano tal que:
Cada 1-celda de M esta orientada.
Cada 1-celda de M esta etiquetada por un elemento de S y al leer las etiquetas de la frontera de cada 2-celda (con punto de partida y direcci´on convenientes) la palabra resultante esta en D. (Una 1-celda etiquetada con s se lee como s s´ı la orientacion de la celda y la de la lectura coinciden en el caso contrario se lee como s−1).
El n´umero de 2-celdas de M es el ´area de M y se denota por AP(M ).
Esta definici´on hace uso del concepto de CW-Complejo o complejo simplicial, asumiremos que el lector esta familiarizado con el tema, para un buen acercamiento a este se recomienda consultar [4]
o [1]. No inclu´ımos la definici´on de CW-complejo en particular la de 2-complejo pues no est´a dentro del prop´osito de esta tesis.
El hecho de que una diagrama de Van Kampen sea finito, contenido en el plano y simplemente
conexo, garantiza que la frontera topol´ogica de un diagrama de Van Kampen este conformada por 1-celdas. Ahora si w es una palabra que se forma al leer las etiquetas de la frontera de un diagrama de Van Kampen M sobre una presentaci´on P , diremos que M es una diagrama de Van Kampen sobre P para w. En los casos en los que no haya confusi´on diremos simplemente diagrama de Van Kampen de w sin hacer alusi´on a la presentaci´on. De modo an´alogo diremos que una palabra w es la frontera de una 2-celda (respectivamente es la frontera de una diagrama de Van Kampen) s´ı esta se forma leyendo las etiquetas de la frontera de la 2-celda (respectivamente la frontera de una diagrama de Van Kampen) desde alg´un punto de partida y con alguna direcci´on.
Nota 2.12
Si M es un diagrama de Van Kampen sobre una presentaci´on P y F es una 2-celda adyacente a la frontera de M , entonces el 2-complejo que se obtiene al quitar de M la 2-celda F es un diagrama de Van Kampen sobre P ; a este diagrama lo denotaremos por M− F .
El 1-esqueleto de un diagrama de Van Kampen M sobre una presentaci´on finita < S|D >
del grupo G, generado por S (i.e. el subconjunto de M formado por las uno celdas), es un subgrafo (no inducido) del grafo de Cayley Γ(G, S).
Lema 2.13 (Van Kampen) Sea G es un grupo finitamente presentado por P =< S|D > y sea una w palabra en F (S). Entonces w =G 1 s´ı y solo s´ı existe un diagrama de Van Kampen sobre P para w.
Demostraci´on: ⇒. Suponga que w =G 1, entonces para algunas ui∈ F (S) y ri∈ D.
w = Yn i=1
uir±1i ui
Construya el diagrama de Van Kampen como se muestra en la Figura 13.
⇐. Probaremos por inducci´on en el n´umero de 2-celdas que s´ı w es la frontera de un diagrama de Van Kampen M entonces w =G 1. S´ı M solo tiene una 2-celda se tiene trivialmente que w =G1.
Suponga que s´ı w es la frontera de una diagrama de Van Kampen con k 2-celdas entonces w =G1.
Suponga ahora que w es la frontera de un diagrama de Van Kampen M con k + 1 2-celdas. Sea F una 2-celda de M tal que f1 ∈ F (S) esta en la frontera de F y de M. Sea f2 ∈ F (S) tal que la frontera de F es f1f2 (Ver Figura 14). Sean u, v ∈ F (S) tales que w = uf1v (u, v estan sobre la frontera de M entonces w = uf1f2u−1uf2−1v. Pero uf1f2u−1=G1 pues f1f2∈ D, y por inducci´on como la frontera de M− F es uf2−1v entonces uf2−1v =G 1. Por lo tanto w =G1.
♣ Corolario 2.14
AP(w) = m´ın{AP(M )|con M diagrama de Van Kampen de w }
u1
u2
1 un
. . . r1
r2 rn
Figura 13: Lema 2.13, diagrama de Van Kampen para w
v v
u u
f1
f2
f2
M M − F
F
Figura 14: Lema 2.13, diagrama de Van Kampen M y M− F
Definici´on 2.15 Sea G es un grupo finitamente presentado por P =< S|D >. La funci´on δP : N −→ N definida por:
δP(n) = m´ın{AP(w)|w ∈ F (S), w =G1 y len(w)≤ n}
se llama funci´on de Dehn asociada a la presentaci´on P , o funci´on isoperim´etrica asociada a la presentaci´on P .
Diremos que un grupo G finitamente presentado por P tiene funci´on isoperim´etrica lineal, cuadr´atica, exponencial, etc. s´ı su funci´on de Dehn asociada a P es, o esta acotada, por una funci´on lineal, cuadr´atica, exponencial, etc. Diremos que la funci´on de Dehn es subrecursiva si est´a acotada por una funci´on recursiva. La importancia de la funci´on de Dehn se evidencia por ejemplo en el siguiente Teorema.
Teorema 2.16 Si P =< S|D > es una presentaci´on finita de G, entonces G tiene problema de la palabra soluble s´ı y solo s´ı su funci´on de Dehn δP es sub-recursiva.
Demostraci´on: ⇐. Suponga que δP esta acotada por la funci´on recursiva f y que w es una palabra sobre S dada. Sea L = m´ax{len(r)|r ∈ D}. Ahora, sea v es una palabra sobre S tal que len(v)≤ len(w) y v =G1. Sea K un diagrama de Van Kampen minimal para v. El n´umero de dos celdas en K esta acotado por f (len(w)). El n´umero de 1-celdas que no est´an sobre la frontera de alguna 2-celda est´a acotado por len(w) y por lo tanto el n´umero total de 1-celdas esta acotado por Lf (len(w)) + l(w). Luego toda palabra v con len(v)≤ len(w) y v =G1 tiene un diagrama de Van Kampen con a lo sumo f (len(w)) 2-celdas y a lo sumo Lf (len(w)) + l(w) 1-celdas. El n´umero de diagramas de Van Kampen con estas caract´eristicas es finito y se puede generar. Una vez generada la lista se verifica s´ı w es la frontera de alguno de estos o si no lo es.
⇒. Sea n ∈ N, liste todas las palabras w tales que len(w) ≤ n, use el algortimo para decidir cuales de estas son la identidad y cuales no, construya el conjunto W = {w|w =G 1 y len(w) ≤ n}.
Ahora comience a generar todos los diagramas de Van Kampen sobre P tales que la frontera tenga longitud menor o igual que n, de ´area menor a mayor. En alg´un momento para cada palabra de W aparece al menos un diagrama de Van Kampen. El m´aximo de las ´areas de estos diagrama acota a δp(n). Luego δp es sub-recursiva.
♣ En vista del Teorema anterior lo realmente importante de una funci´on de Dehn es que esta sea recursiva o sub-recursiva. Ahora la funci´on isoperim´etrica depende de la presentaci´on del grupo luego lo que se quisiera es ver como se relacionan las funciones isoperimetricas para presentaciones distintas de un mismo grupo. Para ello primero tenga en cuenta la siguiente definici´on.
Definici´on 2.17 Sean f : N −→ N y g : N −→ N funciones. Diremos que f ∼ g s´ı existen contantes A, A′, B, B′, C, C′ tales que para todo n ∈ N se tiene f(n) ≤ Ag(Bn) + Cn y g(n) ≤ A′f (B′n) + C′n
Nota 2.18
∼ es claramente una relaci´on de equivalencia.
s´ı f ∼ g entonces f es sub-recursiva s´ı y solo s´ı g lo es.
Teorema 2.19 Sean P =< S|D > y Q =< T |E > presentaciones de grupos isomorfos entonces δP ∼ δQ.
Demostraci´on: En vista del Teorema de Tietze, (teorema 2.3), sabemos que Q se obtiene de P por medio de transformaciones de Tietze, luego basta probar que al aplicar una transformaci´on de Tietze a P las funciones de Dehn de P y de la presentaci´on resultante son equivalentes bajo ∼.
Recuerde adem´as que al ser P y Q presentaciones finitas el n´umero de abreviaciones y consecuen- cias agregadas o eliminadas se puede tomar finito.
