Optimización de la regulación de máquinas de jaula de ardilla basada en

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UNIVERSIDAD PQUIÉCMCA DE MADRID / 2 |

Escuela Técnica Superior de Ingenieros Industriales '%=¡>^

Optimización de la regulación de máquinas de jaula de ardilla basada en

vectores espaciales TESIS DOCTORAL

Autor

Javier Herrero Fuerte Ingeniero Industrial

Director

Carlos Mario Vega González Doctor Ingeniero Industrial

Madrid, 2003

(2)

ÍNDICE

Simbología / 1. Planteamiento y composición de la tesis 1

1.1 Introducción 1 1.2 Estructura de la tesis 7

2. Ecuaciones del motor asincrono de jaula de ardilla en valores por unidad y obtención de los estados de minima

corriente o de máximo par/amperio 11

2.1 Introducción 11 2.2 Obtención de las ecuaciones del motor alimentado

por una fuente de corriente en valores por unidad. 17 2.3 Ecuaciones en régimen permanente. Obtención del

punto de corriente mínima o de máximo

par/amperio. 26 3. Aplicación de la teoría de control óptimo al motor asin-

crono de jaula de ardilla 31

3.1 Introducción 31 3.2 Principio del máximo de Pontriaguin 32

3.3 Solución implícita 39

(3)

ÍNDICE

3.4 Variable auxiliar x

3.5 Análisis de la ecuación implícita 3.5.1

3.5.2 3.5.3 3.5.4 3.5.5 3.5.6 3.5.7

Clasificación de las trayectorias Simetrías

Soluciones de la variable auxiliar x Curva frontera

Regiones de existencia de las variables ¿mR y X Asíntotas

Puntos de equilibrio

41 43 46 47 47 50 52 57 57 3.6 Curvas par del motor - corriente magnetizante del

rotor 61 3.6.1 Curvas m{iajs) para las trayectorias óptimas del

grupo I 61 3.6.2 Curvas m(i.^ para las trayectorias óptimas del

grupo II 63 3.7 Trayectorias óptimas en función del tiempo de la

corriente magnetizante del rotor, de la velocidad con

par de carga nulo y del par del motor • 65 3.7.1 Trayectorias del grupo I. Ramas cerradas 66 3.7.2 Trayectorias del grupo I. Ramas abiertas 71 3.7.3 Trayectorias de la separatriz C = 0,5 75

3.7.4 Trayectorias del grupo II 78

(4)

ÍNDICE

3.8 Superficies 7sd = fí/nR, x), kq = fÍJÍnR, x) y JJi =

f(JV„R,x) 87 4. Procesos de aceleración/desaceleración óptimos del ac-

cionamiento eléctrico con par de carga nulo 91

4.1 Introducción 91 4.2 Estado de régimen permanente de corriente mínima

con par de carga nulo 92 4.3 Aceleración y desaceleración óptimas en vacío 93

4.4 Incremento de velocidad alcanzado en función de C _ 104 4.5 Comparación de las trayectorias obtenidas con otros

posibles caminos óptimos 107 4.5.1 Posibles caminos óptimos con igual comente

magnetizante del rotor máxima 111 4.5.2 Posibles caminos óptimos con igual tiempo de

proceso 115 4.5.3 Posibles caminos óptimos con igual incremento de

velocidad 120 4.5 Conclusiones 124 5. Procesos de aceleración/desaceleración óptimos del ac-

cionamiento eléctrico con par de carga no nulo 127

5.1 Introducción 127

(5)

ÍNDICE

5.2 Trayectorias óptimas para la aceleración y

desaceleración en carga 128 5.3 Espacios de estado para diferentes pares de carga 137

5.4 Conclusiones 159 6. Proceso de restablecimiento de la velocidad del motor

frente a un escalón de par de carga 161 6.1 Introducción • 161

6.2 Procesos óptimos de aplicación del par de carga 162 6.3 Trayectorias óptimas para el restablecimiento de la

velocidad con el par de carga /nt > |»tc | 169 6.4 Trayectorias óptimas para el restablecimiento de la

velocidad con el par de carga O < /nt < |mc [ 176 6.5 Trayectorias óptimas para el restablecimiento de la

velocidad con el par de carga /nt < -| nic | ' 183 6.6 Trayectorias óptimas para el restablecimiento de la

velocidad con el par de carga O > JIÍC > -| wic I 187 6.7 Tabulación de las trayectorias óptimas 191

7. Sistema de control 195 7.1 Introducción 195

(6)

Í N D I C E

7.2 Modelo del motor asincrono de jaula de ardilla 196 7.3 Motor asincrono de jaula de ardilla alimentado por

una fuente de corriente 197 7.4 Estrategia del sistema de control 199

7.4.1 Estructura del sistema de control para la

aceleración/desaceleración óptima 199 7.4.2 Estructura del sistema de control para la aplicación

de la carga 203 7.4.3 Estructura del sistema de control para el

mantenimiento del régimen permanente de

corriente mínima 205 7.5 Programa simulador del sistema de control óptimo 206

7.5.1 Resolución de las ecuaciones del motor asincrono

de jaula de ardilla 207 7.5.2 Modelo para el inversor de tensión realimentado en

corriente del estator 208 7.5.3 Programa simulador para la aceleración y

desaceleración óptimas 213 7.5.4 Programa simulador para la aplicación de la carga 215

7.5.5 Programa simulador para el mantenimiento del

régimen permanente de corriente mínima 215

7.6 Resultados 215

(7)

Í N D I C E

7.6.1 Parámetros del conjunto motor - carga 216 7.6.2 Aceleración y desaceleración óptimas _ ^ _ _ _ _ _ _ _ 219

7.6.2.1 Aceleración en vacío 219 7.6.2.2 Desaceleración en vacío 224 7.6.2.3 Aceleración con par de carga positivo 228

7.6.2.4 Aceleración con par de carga negativo 232

7.6.3 Aplicación de la carga 236 7.6.3.1 Aplicación de la carga. Aumento del par de

carga 236 7.6.3.2 Aplicación de la carga. Disminución del par de

carga 240 7.7 Resumen y conclusiones 244

8. Conclusiones y trabajos futuros 247

8.1 Conclusiones 248 8.2 Sugerencias para futuros trabajos 251

Bibliografía 253

(8)

SlMBOLOGlA

Abreviatura Variable Unidades histr Ancho de b a n d a de la corriente de A

estator

C, Ángulo del fasor de c o m e n t e de esta- Rad tor respecto del eje de estator

5 Ángulo del fasor de corriente de esta- Rad tor respecto del fasor de corriente

magnetizante del rotor

p Ángulo posición fasor corriente mag- Rad netizante del rotor respecto sistema

de referencia definido en el estator

s Ángulo posición fasor corriente rotor Rad respecto sistema de referencia defi-

nido en el estator

O Coeficiente de dispersión

a s Coeficiente de dispersión del estator

<3R Coeficiente de dispersión del rotor

(9)

SlMBOLOGÍA

Abreviatura Variable Unidades

Ci

TR

Ts

hR, ks, br

ííelec_BASE

a,

^.mec_BASE

Coeficiente de dispersión total Constante de la Hamiltoniana Constante de la Hamiltoniana C o n s t a n t e de tiempo del rotor Constante de tierapo del estator Corriente de línea del motor

s A Corriente eléctrica b a s e p a r a el c a m - Rad/s bio de dimensión a valores por u n i -

d a d

Corriente m e c á n i c a b a s e p a r a el Rad/s cambio de dimensión a valores por

u n i d a d

k

Fasor de corriente de estator Fasor d e corriente del estator Fasor d e corriente de rotor Fasor de corriente del rotor

p.u.

A p.u.

A

(10)

SlMBOLOGlA

Abreviatura Variable Unidades 7mR Fasor de corriente magnetizante del A

rotor q u e define el sistema de referencia

¿nR Fasor de corriente magnetizante del p.u.

rotor q u e deñne el sistema de referencia

JmR Fasor de corriente magnetizante del A rotor que define el sistema de refe-

rencia

f/s Fasor de tensión del motor V

fn frecuencia asignada Hz fo Frecuencia de sincronismio Hz

p i Función auxiliar de la Hamiltoniana P2 Función auxiliar de la Hamiltoniana

H Función Harailtoniana

Ls I n d u c t a n c i a fase - n e u t r o del estator H

(11)

SlMBOLOGÍA

Abreviatura Variable Unidades

LR Inductancia fase - neutro del rotor H L^, Lo Inductancia mutua entre estator y H

rotor

kn Intensidad asignada A te Módulo del fasor de corriente de es- p.u.

tator

/mR Módulo del fasor de corriente raagne- A tizante del rotor que define el siste-

ma de referencia

4nR Módulo del fasor de corriente magna- p.u.

tizante del rotor que define el sistema de referencia

J Momento de inercia del motor Kg-m^

Mn Par asignado N-m

MBASE Par base para el cambio de dimen- N-m

sión a valores por unidad

Me Par de carga N-m

(12)

SlMBOLOGÍA

Abreviatura Variable Unidades me

MMEC

m P P'

kd

Usd

ba

Par de carga p.u.

Par mecánico motor Nm

Par motor p.u.

Pares de polos del motor

Pares de polos del motor equivalente adimensional

Potencia a s i g n a d a W Proyección sobre el eje de abcisas A

(sistema de referencia de JmR) del fasor de corriente de estator

Proyección sobre el eje de abcisas del V fasor de tensión de estator,

Proyección sobre el eje de abscisas A (sistema de referencia de estator) del

fasor de corriente de estator

(13)

SlMBOLOGÍA

Abreviatura Variable Unidades isd Proyección sobre el eje de a b s c i s a s p.u.

(sistema de referencia de ¿IR) del fasor d e corriente d e estator

Ish Proyección sobre el eje d e o r d e n a d a s A (sistema de referencia de estator) del

fasor de corriente de estator

/sq Proyección sobre el eje de o r d e n a d a s A (sistema de referencia de ImR) del fa-

sor de corriente de estator

kq Proyección sobre el eje de o r d e n a d a s p.u.

(sistema de referencia de ¿IR) del fasor de corriente de estator

í/sq Proyección sobre el eje de o r d e n a d a s V del fasor de tensión de estator

Xis Reactancia de dispersión del estator Q XiR Reactancia de dispersión del rotor Q XR Reactancia de dispersión del rotor Ci

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SlMBOLOGfA

Abreviatura Variable Unidades

Xs Reactancia de dispersión del rotor Q

Xm Reactancia m u t u a Q Xm Reactancia m u t u a Q XR Reactancia por fase de dispersión del Q

rotor

Xs Reactancia por fase propia del esta- Q tor

i?s Resistencia fase - n e u t r o del estator Q i?R Resistencia fase - n e u t r o del rotor Q

Us Tensión asignada del motor V í/sR, t/ss, UsT Tensiones fase-neutro del motor V

X Tiempo p.u.

t Tiempo S ismax Valor máximo de la corriente de línea A

del conjunto convertidor - motor

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SlMBOLOGÍA

Abreviatura Variable ^Unidades

X

n

Un

Qo

C02

O m R

S ¿elec

COelec

(O

i ¿mee

fio

Variable auxiliar

Velocidad a n g u l a r de deslizamiento Rad/s Velocidad angular del fasor de co- Rad/s rriente magnetizante del rotor

Velocidad angular del rotor Velocidad asignada

velocidad asignada

Velocidad asignada del motor

Rad/s

r.p.m.

r.p.m

Rad/s Velocidad de deslizamiento del m.otor p.u.

Velocidad de giro de ¿nR P-U.

Velocidad de giro eléctrica de rotor Rad/s Velocidad de giro eléctrica de rotor p.u.

Velocidad de giro mecánica de rotor p.u.

Velocidad de giro mecánica d e rotor Rad/s

Velocidad de sincronismo rad/s

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SlMBOLOGÍA

Abreviatura Variable Unidades

Cleiec Velocidad eléctrica asignada rad/s Qiuec Velocidad mecánica a s i g n a d a rad/s

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1. PLANTEAMIENTO Y COMPOSICIÓN DE LA TESIS

1.1 I n t r o d u c c i ó n

Los accionamientos eléctricos regulados con motores asincronos han experimentado un desarrollo considerable debi- do al progreso de la electrónica de potencia y al empleo de nuevas técnicas de control. La utilización de modernos con- vertidores estáticos y equipos de control basados en micro- procesador se han mostrado imprescindibles para obtener accionamientos con prestaciones altas. Actualmente se em- plean satisfactoriamente accionamientos con motores asincronos en aquellas aplicaciones que tradicionalmente han estado reservadas a los accionamientos regulados con motores de corriente continua.

Hoy día se realiza regulación de máquinas asincronas con técnicas de control vectorial. Inicialmente éstas técnicas se han limitado a copiar las técnicas de regulación utilizadas para máquinas de corriente continua, pero, desde pron- to han aparecido otras técnicas de control vectorial, concep-

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CAPITULO 1. PLANTEAMIENTO Y COMPOSICIÓN DE LA TESIS

t u a l m e n t e distintas, q u e h a n tratado de aprovechar las p a r - ticularidades de funcionamiento de las m á q u i n a s asincro- n a s , como son, por ejemplo, sistemas de control directo del p a r o sistemas b a s a d o s en la aplicación de diferentes crite- rios de optimización.

Precisamente, el problema de optimización del funcionamiento de m á q u i n a s a s i n c r o n a s constituye el principal te- m a de e s t a Tesis. Concretaraente, en este trabajo se p l a n t e a el análisis del comportamiento óptimo de u n motor asincrono de j a u l a de ardilla, consistente en p a s a r de u n p u n t o de velocidad - p a r a otro en el mínimo tiempo posible sin q u e la corriente de estator s u p e r e u n valor previamente fijado en las condiciones de p a r de carga constante. Dicho análisis se h a b a s a d o e n el principio del máximo de Pontriaguin. Al mismo tiempo se a b o r d a el problema de minimización de pérdidas eléctricas en el accionamiento, p a r a lo cual se p l a n t e a colocar el motor, al final del régimen transitorio, en u n p u n t o de funcionamiento próximo al de máximo rendimiento.

El principio del máximo de Pontriaguin es u n método va- riacional q u e obtiene las condiciones necesarias q u e deben cumplir las funciones q u e optimizan u n índice de coste en

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CAPÍTULO 1. PLANTEAMIENTO Y COMPOSICIÓN DE LA TESIS

u n sistema de control con e n t r a d a s a c o t a d a s . La aplicación del principio del máximo a las ecuaciones de estado del motor - definidas mediante s u modelo de campo orientado - obtiene los valores de las variables de e n t r a d a al motor que permiten modificar s u s variables de estado en el menor tiempo posible.

El funcionamiento bajo p a r de carga constante a b a r c a u n vasto campo de aplicaciones de los accionamientos eléctri- cos, como son, por ejemplo, ascensores, g r ú a s y otros m e - canisraos de transporte, diferentes miáquinas h e r r a m i e n t a s , trenes de laminación etc.

Con la brevedad de los transitorios se consigue u n a m a - yor maniobrabilidad y u n a mayor precisión dinámica del accionamiento, contribuyendo, especialmente si los t r a n s i - torios ocurren frecuentemente, a la mejora de las prestacio- n e s del accionamiento.

El ahorro de energía es u n o de los retos m á s u r g e n t e s a resolver hoy día. El ahorro de la energía eléctrica consumi- d a por los motores eléctricos, especialmente por los motores asincronos de j a u l a de ardilla, que son los m á s extendidos.

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h a sido u n a contribución importante a la solución de este problema.

Uno de los métodos de reducir las pérdidas eléctricas en accionamientos eléctricos consiste en la medición directa de la potencia c o n s u m i d a y s u minimización en régimen per- m a n e n t e . E n e s t a tesis se acomete la minimización de las pérdidas en régimen p e r m a n e n t e , proponiéndose s i t u a r al motor, al final del régimen transitorio, en el p u n t o de funcionamiento en corriente miínima, el cual es fácil de definir y m u y cercano al de máximo rendimiento [12; 38 y 56].

La máxima brevedad de los transitorios permite, a d e m á s , u n mayor tiempo de funcionamiento del motor en el régi- m e n p e r m a n e n t e de corriente mínima.

Ha habido varias p r o p u e s t a s dirigidas a combinar el a h o - rro de energía con los procesos transitorios rápidos. E n [10]

se propone u n sistema de control que, d u r a n t e el régimen transitorio, i n t e n t a generar el máximo p a r del motor posible y, d u r a n t e el régim^en p e r m a n e n t e , a j u s t a el flujo del motor p a r a minimizar las pérdidas en el cobre. Dicho s i s t e m a de control e s t á b a s a d o en u n modelo del motor funcionando en régimen p e r m a n e n t e , y por lo t a n t o , no p u e d e garantizar u n

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funcionamiento óptimo d u r a n t e el régimen transitorio. E n [14] se propone u n sistema de control q u e contiene d o s b u - cles independientes entre sí, u n o controla el flujo y el otro la velocidad. C a d a bucle tiene u n regulador PI. Para obtener u n a b u e n a r e s p u e s t a transitoria se asigna u n valor elevado a la constante proporcional de los reguladores PI. El funcionamiento independiente de a m b o s bucles no p u e d e garantizar u n a r e s p u e s t a óptima en el tiempo. P a r a minimizar las pérdidas en régimen p e r m a n e n t e también se a c t ú a sobre el flujo mediante u n t a n t e o de b ú s q u e d a b a s a d o e n el algoritmo de Fibonacci. E n [49] se propone u n sistema d e control que tiende, al comienzo del régimen transitorio, a a u m e n t a r el flujo del motor h a s t a s u valor asignado, lo q u e p u e d e re- sultar lento, por la necesidad de vencer la c o n s t a n t e de tiempo electromagnética del rotor, y excesivo, teniendo en c u e n t a que luego, si el p a r p e r m a n e n t e n o es elevado, h a b r á que reducir el flujo n u e v a m e n t e . P a r a m i n i m i z a r las pérdidas en régimen p e r m a n e n t e se propone ajustar el flujo b a s á n d o s e e n u n algoritmo de lógica borrosa.

E n r e s u m e n , el objetivo principal que se pretende en e s - tos trabajos, a u n q u e sin conseguirlo, es a c a b a r lo m á s r á - pido posible el proceso transitorio del p a r y la velocidad del

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motor. Una vez establecido el régimen permanente estos autores buscan reducir las pérdidas adecuando el valor del flujo.

Finalmente, hay trabajos que se han basado en la Teoría del Control Óptimo de Pontriaguin para alcanzar la velocidad deseada en el menor tiempo posible. En [20] se mantie- ne el flujo constante y actúa sobre la componente de la corriente que crea par. Ahora bien, al ser, durante el régimen transitorio, el flujo constante, modeliza el motor como u n sistema lineal de segundo orden. En [43, 44, 45, 46 y 47] se trata de aplicar la teoría del control óptimo de Pontriaguin actuando conjuntamente sobre el flujo y el par.

En ninguno de los citados trabajos se plantea situar al motor, al final del proceso transitorio, en u n punto próximo al de rendimiento óptimo, por lo que sería necesario u n tiempo adicional para llegar a él que podría durar, si se pretende hacerlo sin alterar el par y velocidad, varios segundos (de 12 a 15 segundos en [49]). Durante todo el tiempo, que incluye el proceso transitorio de par - velocidad en sí y la

"peregrinación" del motor, durante el régimen permanente, en busca del punto de máximo rendimiento, se siguen pro- duciendo pérdidas adicionales; de hecho, este es el auténti-

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co tiempo que dura el proceso transitorio, de modo que el planteamiento propuesto en los trabajos citados no resuelve el problema de reducción de pérdidas en régimen permanente junto con procesos transitorios rápidos.

El planteamiento que se propone en esta tesis estriba precisamente en no separar la regulación del par y velocidad de las demás variables y conseguir que el tiempo de traslado de u n punto de funcionamiento con máximo rendimiento a otro sea, en estas condiciones, el mínimo posible, contando lógicamente con las limitaciones que impone la corriente máxima admisible por el accionamiento.

En [38] se ha realizado el trabajo propuesto en esta tesis para pares de carga del tipo cuadrático.

1.2 Estructura de la tesis

La tesis se estructura en varios capítulos. En el capítulo dos se obtienen, en valores por unidad, las ecuaciones diferenciales que definen el comportamiento de u n motor asincrono de jaula de ardilla alimentado con u n a fuente de corriente. También se estudia la condición de corriente mínima. La obtención de las ecuaciones del motor y sus variables en

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CAPÍTULO 1. PLANTEAMIENTO Y COMPOSICIÓN DE LA TESIS

valores por unidad nos va a permitir abstraemos de u n accionamiento o motor concreto.

En el capítulo tres se aplica la Teoría del Control Óptimo de Pontriaguin a las ecuaciones de estado del motor, obte- niéndose las condiciones para modificar las variables de estado en el menor tiempo posible. Se obtiene además, para el caso de par de carga constante, la solución analítica al problema de optimización planteado.

En el capítulo cuatro se estudia el comportamiento del motor en vacío, obteniéndose las condiciones para acelerar- lo o frenarlo, con par de carga nulo, en el menor tiempo posible.

En el capítulo cinco se obtiene la forma de acelerar o desacelerar el motor en el menor tiempo posible y bajo el par de carga constante.

En el capítulo seis se estudia cómo restablecer la velocidad del motor, también de la forma más rápida posible, frente a u n escalón de par de carga.

En el capítulo siete se presenta u n sistema de control de velocidad que, bajo las condiciones estudiadas en los capí-

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C A P Í T U L O 1. PLANTEAMIENTO Y C O M P O S I C I Ó N D E LA T E S I S

tulos cuatro a seis, obtiene u n a respuesta óptima en el tiempo llevando al motor al punto de corriente mínima.

En el capítulo ocho se presentan las conclusiones y apor- taciones de la tesis y se sugieren posibles líneas de investi- gación que se pueden abrir a partir de este trabajo.

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(27)

2 . E C U A C I O N E S DEL MOTOR ASÍNCRONO DE JAULA DE ARDILLA EN VALORES POR UNIDAD Y OBTENCIÓN DE LOS ESTADOS DE MlNIMA

CORRIENTE O DE MÁXIMO PAR/AMPERIO

2.1 Introducción

Un control de velocidad con altas prestaciones tiene que funcionar satisfactoriamente no sólo en régimen permanente, sino también en régimen transitorio. El sistema de control debe apoyarse en u n modelo del motor que contemple su funcionamiento en régimen dinámico.

El modelo que se emplea en esta Tesis tiene en cuenta los valores instantáneos de las diferentes magnitudes electro- magnéticas y mecánicas que intervienen en el funcionamiento del motor asincrono de jaula de ardilla.

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CAPITULO 2. ECUACIONES DEL MOTOR ASINCRONO DE JAULA DE ARDILLA EN VALORES POR UNIDAD Y OBTENCIÓN DE LOS ESTADOS DE MÍNIMA CORRIENTE O D E MÁXIMO PAR/AMPERIO

Para definir dicho modelo nos hemos basado en los fasores espaciales. El empleo de éstos permite: u n a formulación más compacta de las ecuaciones y s u manipulación m á s sencilla, realizar gráficos más fáciles de interpretar y, a me- nudo, u n desarrollo más lógico y directo de conceptos. Los fasores espaciales se definen asociándolos a las diferentes magnitudes electromagnéticas del motor (tensiones, corrientes, flujos magnéticos, etc).

El modelo matemático del motor asincrono de jaula de ardilla queda pues definido en las siguientes ecuaciones diferenciales:

• Ecuación de tensión del estator referida al sistema de coordenadas del estator:

RsIs^Ls^ + Lofl{kd^)-Us. (2-1)

• Ecuación de tensión del rotor referida al sistema de coordenadas del rotor:

i?R & + Í R - ^ + i o ^ (h e-J ^) = O. (2-2)

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CAPITULO 2. ECUACIONES DEL MOTOR ASINCRONO DE JAULA DE ARDILLA EN VALORES POR UNIDAD Y OBTENCIÓN DE LOS ESTADOS DE MÍNIMA CORRIENTE O DE MÁXIMO PAR/AMPERIO

• Ecuación de la dinámica referida al sistema de coordenadas del estator:

J - j j - = M n , e c - M c = 3LopImUs(jRe/£) J - Me- (2-3) La definición de las variables utilizadas se encuentra en el capítulo de simbología.

En un motor asincrono polifásico de jaula de ardilla, sin neutro de retorno en los devanados, cada fasor espacial se corresponde de forma unívoca con dos variables independientes y por lo tanto es bidimensional, colocándose todos ellos en u n plano perpendicular al eje del motor.

Para determinar las coordenadas de estos fasores se emplea u n sistema de referencia que tiene su origen en el eje del motor y es perpendicular a éste. La elección de un sistema de referencia u otro cambia el aspecto de las ecuaciones diferenciales del modelo dinámico del motor asincrono de jaula de ardilla

Definiendo el fasor de corriente magnetizante /mR del rotor como

LiR = / s + (1 + CTR) de= /^R e/p

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y considerando u n sistema de coordenadas ortogonal en el que el eje de abscisas, o eje d, coincide con el fasor ¿nR y el eje de ordenadas, o eje q, está adelantado jt/2, las ecuacio- nes (2-1) a (2-3) pasan a ser, en las coordenadas d-q:

• Ecuación de tensión del estator proyectada sobre el eje d:

Tso ¿^ +Isd-

= - ^ - ( l - a ) ^ (Jsd - /mR) + CT Ts ílniR ^Sq- (2-4)

• Ecuación de tensión del estator proyectada sobre el eje

d 4

át • ^ q

_ - - ' S q ^ j _

Usa

= -^-(l-o)Tsn^ImR-oTsnraRhd- (2-5)

• Ecuación de tensión del rotor proyectada sobre el eje

d:

d JmR

^R jj f = -fed - 4iR- (2-6)

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CAPITULO 2. ECUACIONES DEL MOTOR ASINCRONO DE JAULA DE ARDILLA EN VALORES POR UNIDAD Y OBTENCIÓN DE LOS ESTADOS DE MÍNIMA CORRIENTE O DE MÁXIMO P A R / A M P E R I O

• Ecuación de tensión de rotor proyectada sobre el eje q:

A f~ ^elec "*• T^ T ^~ í^elec ^ ^ 2 - (2-7)

'^ >• •'R -"mR

• Ecuación de la dinámica del motor:

J - ^ J - = M n , e c - M c . (2-8)

El p a r mecánico del motor es 2

Mnec = 3" P -í« (1-Cf) 4iR -feq = ^ 4iR 4 q , (2-9)

y la velocidad del rotor:

d s

j , — iiglec ~ P "mee- (-^"^UJ

En la figura 2-1 se m u e s t r a u n a posible posición recíproca m o m e n t á n e a de los ejes del estator y del rotor y de los fasores espaciales de la corriente de estator /s y de la corriente

¿nR. Los ángulos eléctricos del fasor /s respecto de los siste- m a s de referencia d-q (definido por ínR) y a-b (definido por el estator) son 5 y (^ respectivamente. Los ángulos eléctricos

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CAPITULO 2. ECUACIONES DEL MOTOR ASÍNCRONO DE JAULA DE ARDILLA EN VALORES POR UNIDAD Y OBTENCIÓN DE LOS ESTADOS DE MÍNIMA CORRIENTE O DE MÁXIMO PAR/AMPERIO

8 y p indican, respectivamente, la posición de los ejes del rotor e 7mR respecto el estator.

Á^

^\6

Te

y

^ - m R

r

\ Sq

4d

Eje Estator Figura 2-1

En el caso de alimentar al motor con u n a fuente de corriente se simplifica notablemente el modelo de éste, quedando su comportamiento definido con las ecuaciones (2-6) a (2-10). El número de variables de.estado, que definen el comportamiento del motor, se reduce a dos, la corriente magnetizante del rotor /mR T la velocidad de giro del rotor

O . Las ecuaciones de estado, que definen el comportamiento de /mR y íímeo son la (2-6) y la (2-8) respectivamente.

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CAPITULO 2. ECUACIONES DEL MOTOR ASÍNCRONO DE JAULA DE ARDILLA EN VALORES POR UNIDAD Y OBTENCIÓN DE LOS ESTADOS DE MINIMA CORRIENTE O DE MÁXIMO P A R / A M P E R I O

2 . 2 O b t e n c i ó n d e l a s e c u a c i o n e s d e l m o t o r a l i m e n - t a d o p o r u n a f u e n t e d e c o r r i e n t e e n v a l o r e s p o r u n i d a d .

En este apartado se obtienen las variables y expresiones que definen el modelo dinámico del motor asíncrono de jaula de ardilla en valores por unidad (p.u.), ello perraite:

1. Simplificar las ecuaciones y por lo tanto el análisis de las mismas.

2. Abstraerse de cualquier accionamiento concreto (motor, convertidor de frecuencia, sistema de transmisión y mecanismos).

3. Aplicar las conclusiones obtenidas de este modelo a cualquier accionamiento concreto.

Para obtener las variables en valores por unidad fijamos para ellas unos valores base que han de ser elegidos del modo que permita simplificar las ecuaciones, despojándolas en la medida de lo posible de los parámetros concretos de u n motor o u n convertidor y acotando el margen de varia- ción de las variables resultantes.

(34)

CAPITULO 2 . E C U A C I O N E S D E L M O T O R A S I N C R O N O D E JAULA D E ARDILLA E N V A L O R E S P O R UNIDAD y OBTENCIÓN DE LOS ESTADOS DE MÍNIMA CORRIENTE O DE MÁXIMO PAR/AMPERIO

Los valores base que escogemos son respectivamente para el tiempo y para las corrientes, la constante de tiempo del rotor TR y la mínima de las corrientes máximas que se asignan al motor y al convertidor /gmax-

Al dividir u n a magnitud por su correspondiente valor base, se obtiene dicha magnitud en valores por unidad. Así por ejemplo, el tiempo y la corriente de estator quedan en valores por unidad:

^ IP--1 = T^ [s]

y

'^ tP-^-1 = isn^ax [AI

Aprovechando estas expresiones se puede presentar las ecuaciones de estado (2-6) a (2-10) en valores por unidad.

1. Ecuación de tensión del rotor provectada sobre el eje d Dividiendo oportunamente los términos de la ecuación (2-6)

p o r Jsmax y T R

(35)

CAPITULO 2. ECUACIONES DEL MOTOR ASINCRONO DE JAULA DE ARDILLA EN VALORES POR UNIDAD Y OBTENCIÓN DE LOS ESTADOS DE MlNIMA CORRIENTE O DE MÁXIMO PAR/AMPERIO

1 d JmR JmR hd

• + •

-'Smax j ( _ t _ | •'Smax •'Smax

se obtiene en valores por unidad

d ¿mR . d T ~ ^Sd - knR,

donde las variables en minúscula lo son en valores por unidad, es decir

_ -^mR

•'Smax

^Smax

y

Smax

2. Ecuación de tensión del rotor proyectada sobre el eje q De la ecuación (2-7) se tiene

(36)

CAPITULO 2. ECUACIONES DEL MOTOR ASINCRONO DE JAULA DE ARDILLA EN VALORES POR

UNIDAD Y OBTENCIÓN DE LOS ESTADOS DE MÍNIMA CORRIENTE O DE MÁXIMO PAR/AMPERIO

1

TR TR TR

Definiendo la velocidad eléctrica b a s e como

^elec_BASE "" j - >

se obtiene en valores por u n i d a d

ISq _

«>inR - <f>elec + / " «>elec + « 2 ,

donde

1 d p d p

^^^~ neIec_BASE d í " d x

_ 1 d e

®elec o . _ *^elec j _•

Con la definición a d o p t a d a de la velocidad eléctrica b a s e , los ángulos eléctricos, medidos en r a d i a n e s , son los m i s m o s q u e los medidos e n valores por u n i d a d .

(37)

CAPITULO 2 . ECUACIONES DEL MOTOR ASINCRONO DE JAULA DE ARDILLA EN VALORES POR UNIDAD Y OBTENCIÓN DE LOS ESTADOS DE MÍNIMA CORRIENTE O DE MÁXIMO PAR/AMPERIO

3. Ecuación de la mecánica

Si al miembro de la parte izquierda de la ecuación (2-8) se le multiplica y divide por TR y a toda la ecuación s e la multi- plica, teniendo e n c u e n t a (2-9), por 2 y se divide por k í^^^^

se tiene

d D ^ e c 1 JmR ho Me

d -^ÍT -'R "- -'Smax -^max ^ - ^ m a x

^^^^ 2 J 2

Si llamamos p a r b a s e y velocidad mecánica base respectivamente a

kf

M B A S E = - f ^ (2-12)

^R -^BASE ^R ^ 4 m a x

"mec_BASE ~ j ~ 2 J '

tenemos que l a ecuación (2-11) q u e d a dco

d i - 2 ¿mR ¿Sq - ' ^ j

(38)

CAPITULO 2. ECUACIONES DEL MOTOR ASINCRONO DE JAULA DE ARDILLA EN VALORES POR

donde

mee co

n

^{•mee BASE}

M _k JmR Jsq _ ífeASE -^BASE

-t" '^ -'mK -'sq . . / o 1 0 Í

?^ = T7 = n ü ^ = 2 Z i n R l S q ( 2 - 1 3 )

Me.

me _Mi

BASE

El motivo por el q u e se elige el p a r base dado por (2-12) es obtener u n p a r del motor máximo 1 p.u. c u a n d o la corriente de estator es, e n régimen p e r m a n e n t e , Jsmax.

La relación entre las velocidades eléctrica y mecánica del rotor e n valores por u n i d a d se deduce fácilmente,

i 'elec ~ P '' ^meo

^ e l e c ^^ec_BASE ^ m e c

^elec_BASE í^elec_BASE Q P elec_BASE !"'mec_BASE

(39)

«elec = P 2~J ® = P «•

E n valores por u n i d a d , el motor equivalente tiene p' p a r e s de polos.

Con las variables expresadas en valores por u n i d a d , la figura 2-1 t o m a el aspecto de la figura 2-2.

Figura 2-2

E n e s t a figura vemos que el fasor de corriente de estator ¿ se descompone, en el s i s t e m a de coordenadas del estator, en ¿sa e ish- Tomando el sistema de referencia definido por el fasor de corriente magnetizante de rotor ¿nR, las componen- tes de te son isd e ¿sq. La velocidad eléctrica de giro del eje

(40)

del rotor es ©eiec, m i e n t r a s que la velocidad eléctrica de giro del eje ¿QR es comR.

E n la figura 2-3 se m u e s t r a el primer c u a d r a n t e del sis- t e m a de coordenadas definido por imR. El valor máximo q u e alcanza el fasor de corriente de estator fe es 1 p . u . También se tiene este m i s m o valor raáximo p a r a s u s componentes ¿sd e teq y p a r a ¿nR. Asimismo observamos q u e , t r a t á n d o s e de u n s i s t e m a de coordenadas b a s a d o en el vector ¿IR, la pro- yección de ¿nR sobre sí mismo n u n c a p u e d e ser negativa. E n caso de ¿IR = O, es el vector ÍS el que se convierte en el vector de referencia p a r a el sistema de coordenadas.

De acuerdo con la expresión del p a r (2-16), la curva de p a r c o n s t a n t e en las coordenadas (isd (ímR), feq) es u n a hi- pérbola.

Resumiendo, las ecuaciones del motor alimentado con u n a fuente de corriente son, en valores por u n i d a d :

d ÍmR

- ¿ 7 - = f e d - 4 n R , (2-14)

d <o

-^=m-mc, (2-15)

(41)

C A P I T U L O 2 . E C U A C I O N E S D E L M O T O R A S I N C R O N O D E JAULA D E ARDILLA EN V A L O R E S P O R

^max ^

m = l Ejes(t„B,0

Figura 2-3

m- 2 4nR ÍSq (2-16)

d e

COelec-

(42)

CAPITULO 2 . ECUACIONES DEL MOTOR ASINCRONO DE JAULA DE ARDILLA EN VALORES POR

2.3 Ecuaciones e n régimen p e r m a n e n t e . Obtención del p u n t o de corriente m í n i m a o de máximo p a r / a m p e r i o .

E n este a p a r t a d o se obtienen las condiciones en las q u e el motor d a el máximo p a r del motor por araperio en régimen p e r m a n e n t e , o lo q u e es lo m i s m o , la corriente m í n i m a q u e se p u e d e s u m i n i s t r a r al motor con u n p a r dado.

E n régim.en perm.anente de giro a velocidad c o n s t a n t e l a s variables de estado se m a n t i e n e n c o n s t a n t e s , q u e d a n d o las ecuaciones de estado (2-14) y (2-15)

- ^ ^ = O : ^ tSd = ImR = C t e

d to „

• ^ = O => 2 imR isq = me = cte.

La expresión general del módulo de ¿

V

^{a ^ 2}

(43)

CAPITULO 2 . ECUACIONES DEL MOTOR ASINCRONO DE JAULA D E ARDILLA EN VALORES POR UNIDAD Y OBTENCIÓN DE LOS ESTADOS DE MÍNIMA CORRIENTE O DE MÁXIMO PAR/AMPERIO

queda en régimen permanente

k =

V 4 R +

4q- (2-17)

Presentando ¿sq = a-imR, las ecuaciones (2-17) y (2-16) que- d a n respectivamente

¿s = V w + « ' 4 = I w l V l + a ' (2-18)

y

m = 2 a ¿ R . (2-19)

Si se despeja 4HR de la ecuación anterior, tenemos

W = ±A/-f^. (2-20) Aunque la corriente de estator imR no puede ser negativa, se

ha optado aquí por tener en cuenta también el signo negativo de ella.

Si se sustituye imR, según la expresión (2-20), en la ecua- ción (2-18), se tiene

(44)

( m ( l + a^) 2 a

Hallando el valor de a que a n u l a la derivada de is respeto de a, y comprobando que, con dicho valor de a, la s e g u n d a de- rivada es positiva, determinaremos la corriente m í n i m a del estator p a r a u n p a r d a d o .

d is ±m (g - l)

indica que is es m í n i m a p a r a m = cte c u a n d o a = ± 1 , lo q u e significa, s e g ú n la ecuación (2-20),

y al ser feq = a- imR entonces

Como en régimen permanente m = mcy se tiene

4nR = fed = ± ' Y 2 . (2-21)

(45)

C A P I T U L O 2 . E C U A C I O N E S D E L M O T O R ASÍNCRONO D E JAULA D E ARDILLA E N VALORES P O R UNIDAD Y OBTENCIÓN DE LOS ESTADOS DE MÍNIMA CORRIENTE O DE MÁXIMO P A R / A M P E R I O

¿Sq = ± A / " ^ . (2-22)

En la figura 2-4 se m u e s t r a n los p u n t o s de funcionamiento a corriente m í n i m a en régimen p e r m a n e n t e . E n los c u a - d r a n t e s I y III el p a r es positivo, m i e n t r a s que en los c u a - d r a n t e s II y IV el p a r es negativo según indica la ecuación del p a r del motor (2-16).

El ángulo

5 = atan -

en régimen p e r m a n e n t e es

8 = atan -;—

P a r a el p u n t o de corriente m í n i m a se tiene 5 = ^ , ~T^, "T~, "~2~"

(46)

CAPITULO 2. ECUACIONES DEL MOTOR ASÍNCRONO DE JAULA DE ARDILLA EN VALORES POR UNIDAD Y O B T E N C I Ó N D E LOS ESTADOS DE MÍNIMA CORRIENTE O DE MÁXIMO P A R / A M P E R I O

rrKO m > 0

m > 0 m<0

Figura 2-4

(47)

3. APLICACIÓN DE LA TEORIA DE CONTROL ÓPTIMO AL MOTOR

ASÍNCRONO D E JAULA D E ARDILLA

3 . 1 I n t r o d u c c i ó n

En el capítulo anterior hemos obtenido las ecuaciones de estado del motor asincrono de jaula de ardilla en valores por unidad y hemos definido las condiciones que deben cumplir las corrientes de estator y magnetizante del rotor para establecer el régimen de corriente mínima.

En este capítulo vamos a definir u n procedimiento para modificar, en el menor tiempo posible, el estado de funcionamiento del motor asincrono de jaula de ardilla alimentado por u n a fiaente de corriente. Para ello aplicaremos la Teoría del Control Óptimo de Pontriaguin a las ecuaciones de estado del motor.

(48)

CAPITULO 3 . APUCACIÓN D E LA TEORÍA D E CONTROL ÓPTIMO AL MOTOR ASINCRONO D E JAULA DE ARDILLA.

3 . 2 P r i n c i p i o d e l m á x i m o d e P o n t r i a g u i n

El principio del máximo de Pontriaguin d a u n a s condiciones n e c e s a r i a s q u e deben cum.plir las funciones q u e optimizan u n índice de coste e n los problemas de control con e n t r a d a s a c o t a d a s .

P a r a aplicar este principio es necesario definir, a partir de las ecuaciones de e s t a d o del motor, u n a función Hamilto- n i a n a . Al b u s c a r el máximo de la Hamiltoniana se obtienen las expresiones de las e n t r a d a s al s i s t e m a q u e permiten optimizar el índice de coste.

E n este capitulo obtendremos, con a y u d a de la Teoría del Control Óptimo de Pontriaguin, las trayectorias q u e d e b e n seguir l a s c o m p o n e n t e s ted e feq de la variable de e n t r a d a is para, q u e las variables de estado, ¿nR y (o, se modifiquen e n

tiempo mínimo.

1. Ecuación Hamiltoniana. índice de coste y ecuaciones auxiliares

El índice de coste J a optimizar es el tiempo,

T^-TO,

empleado

en modificar las variables de estado, es decir:

(49)

CAPITULO 3. APLICACIÓN DE LA TEORÍA DE CONTROL ÓPTIMO AL MOTOR ASÍNCRONO DE JAULA DE ARDILLA

/ = / l dT = Ti-xO, (3-1) xo

donde x^ es el i n s t a n t e inicial y x^ el i n s t a n t e final del proceso transitorio.

Las ecuaciones de estado del raotor alimentado por u n a fuente de corriente se h a n obtenido en el capitulo dos y son:

d ¿mRÍ^)

~~^ = ^Sd(x) - ímR(x) ( 3 - 2 )

^ ^ = 2 4nR(T) feq(x) - me . (3-3)

De (3-1), (3-2) y (3-3), definimos la Hamiltoniana como

H(Ísd(t), feq(x)) =

= 1 + Pi(x)(isd(-t) - 4TIRW) + P 2 ( T ) { 2 isq(x) 4nR(x) - m e ) , (3-4)

donde piy pz son funciones auxiliares.

La ecuación Hamiltoniana y las funciones auxiliares cumplen,

(50)

CAPITULO 3 . APLICACIÓN DE LA TEORÍA DE CONTROL ÓPTIMO AL MOTOR ASÍNCRONO DE JAULA DE ARDILLA

(3-5)

S^nRÍt) Sx

5CO(T) dx • ^^^^

Teniendo e n c u e n t a la expresión (3-4), las ecuaciones (3-5) y (3-6) se transforman e n

^ = P l ( x ) - i ^ ( T ) | ^ 2 l s q ( x ) - ; g T - ^

dx d(i}(x)

En esta tesis vamos a suponer que el par de carga es cons- tante, por lo que las dos ecuaciones anteriores quedan

^ ^ = Pl(T)-2p2(T)feq(T) (3-7)

(51)

CAPITULO 3. APLICACIÓN DE LA TEORIA DE CONTROL ÓPTIMO AL MOTOR ASINCRONO DE JAULA DE ARDILLA

- ^ = 0 . (3-8)

De (3-8) s e t i e n e

P2(x) = Ci = cte, (3-9)

r e s u l t a n d o (3-7)

dpiix)

- ^ = PI(T) - 2 Ci ¿sqW . (3-10)

2. E x t r e m o d e l a H a m i l t o n í a n a

La e c u a c i ó n d e l a H a m i l t o n i a n a (3-4) c o r r e s p o n d e , e n el e s - p a c i o t r i d i m e n s i o n a l /í(ted,teq), a u n p l a n o i n c l i n a d o (si PI(T:),

P2(x) e ¿mR(x) n o s o n n u l a s s i m u l t á n e a m e n t e ) y p o r lo t a n t o n o t i e n e e x t r e m o (ver figura 3-1).

La corriente de estator is está limitada a u n valor máximo de 1 p.u. cumpliéndose

L(-^) + ÍM)<l. (3-11)

La región k < I representa, en el plano H{isd, teq), u n cir- culo de radio unidad con el centro en el origen de coorde-

(52)

CAPITULO 3. APLICACIÓN DE LA TEORÍA DE CONTROL ÓPTIMO AL MOTOR ASINCRONO DE JAULA DE ARDILLA

n a d a s . Dentro de e s t a región, la Hamiltoniana (3-4) sí tiene u n máximo q u e e s t á s i t u a d o en la frontera de dicha región, cumpliéndose

%d(^) + IqW = 1- (3-12)

H máxina

Figura 3-1

Despejando ^q de la ecuación anterior

= W

feq = i - y 1 - «Sd ,

introduciéndolo en (3-4) y teniendo en c u e n t a (3-9), se tiene

H = 1 + p i %d - P l ímR± 2 Ci 4 n R ^ l " é d " Q n ^ -

(53)

CAPITULO 3 . APLICACIÓN DE LA TEORIA DE CONTROL ÓPTIMO AL MOTOR ASINCRONO DE JAULA DE ARDILLA

El extremo se obtiene derivando H respecto ¿sd e igualando la derivada a cero,

• I T

P l = ± 2 C i ZmR I „ .

Vi-ád

Elevando al c u a d r a d o la ecuación anterior

2 2 ^ ^ ^ 2 ^ d Pl ^ '-^l hnR , 2 >

1 - ^ S d

y despejando ¿sd, se tiene

±Pi

¿Sd = / o 0 3 ( 3 - 1 3 )

V

2 i 2 C\ IrnR

^ - ^ d - / 2 1^2 • (3-14)

(54)

CAPITULO 3 . APLICACIÓN DE LA TEORIA DE CONTROL ÓPTIMO AL MOTOR ASÍNCRONO DE JAULA DE ARDILLA

El extremo será máximo si se exige que la segunda derivada de H respecto de ísd sea negativa,

d ^ f f - 2 C i 4nR ^

7 T - = — 3 — < o ,

es decir,

2 C i 4nR ^ 3 >0-

Sustituyendo la expresión (3-14) de hq en la parte izquierda de la desigualdad anterior se obtiene que

ijnR debe ser positiva, por tanto las expresiones (3-13) y (3-14) quedan

^<i = - f T = T = (3-15)

2 Cl ¡mR

^Pi + 4 Cí w

El comportamiento en régimen óptimo del motor está definido por el sistema de ecuaciones diferenciales (3-2), (3-3) y

(55)

CAPITULO 3 . APLICACIÓN DE LA TEORÍA DE CONTROL ÓPTIMO AL MOTOR ASINCRONO DE

JAULA DE ARDILLA

(3-10) j u n t o con la restricción (3-11). Las expresiones de isá e ¿sq son respectivamente (3-15) y (3-16).

3 . 3 S o l u c i ó n i m p l í c i t a

Puesto que la variable co no está presente en las ecuacio- n e s (3-2) y (3-10), éstas se p o d r á n resolver de forma independiente de la (3-3).

Sustituyendo (3-15) y (3-16) en (3-2) y (3-10), se tiene

dx VP?(X) + 4 el 4R(T) 4nR(^) (3-17)

= J3I(T:)-—r= j = = • (3-18)

d T

Multiplicando la ecuación (3-17) por P I ( T ) , la ecuación (3-18) por imR(x) y s u m á n d o l a s resulta

d W(t) ,,^dpM. , , Pi(-^) - 4C^ ¿R(t) ^^ ^^^

(56)

C A P I T U L O 3 . A P L I C A C I Ó N D E LA T E O R Í A D E C O N T R O L Ó P T I M O AL M O T O R A S Í N C R O N O D E

JAULA DE ARDILLA

Multiplicando la ecuación (3-17) por 4Ci4nR> la ecuación (3-18) por p i y s u m á n d o l a s se tiene

^ ^ 7 ^ 4C?4nR(x) + ^^Pi(t) = PI(X) - 4C^ 4R(T) . (3-20)

Sustituyendo el n u m e r a d o r de la p a r t e derecha de la ecua- ción (3-19) por s u equivalente de la ecuación (3-20) se obtiene

o p e r a n d o a continuación r e s u l t a

, , , . , , . , , ^ , , 4C^4nR(^) d4nR(T) + Pi(T) dpi(T)

P I ( T : ) d l m R ( x ) + ImR(x) dj9i(T) = , .

El primer s u m a n d o es la diferencial de pvimR, m i e n t r a s q u e el segundo s u m a n d o es la diferencial de '\/Í3I(T)+4C^IJJJR(X);

por lo q u e se tiene

d(4nRW Pi(x)) = d(-^p?(T)+4C;¿R(T)).

(57)

CAPITULO 3 . APLICACIÓN DE LA TEORÍA DE CONTROL ÓPTIMO AL MOTOR ASINCRONO DE

JAULA DE ARDILLA

Integrando obtenemos la solución implícita

4nR(x) PiW = V A W + 4 C Í ¿ R ( T ) - K, (3-21) siendo K la constante de integración.

3 . 4 V a r i a b l e a u x i l i a r x

Llam^ando

XW= f ^ (Ci ^ O),

se obtienen n u e v a s expresiones p a r a las componentes de la corriente de estator (3-15) y (3-16), p a r a las ecuaciones de estado (3-2) y (3-3), p a r a la ecuación aiixiliar (3-10), p a r a el p a r del motor y p a r a la ecuación implícita (3-21).

Así p a r a la expresión (3-15) de ¿sd se tiene . - , signo(Ci) X(T)

ísd(-c) = / „ ^ = - (3-22)

P a r a la expresión (3-16) de ¿sq se tiene

(58)

C A P I T U L O 3 . A P L I C A C I Ó N D E LA T E O R Í A D E C O N T R O L ÓPTIMO AL M O T O R A S Í N C R O N O D E

JAULA DE ARDILLA

. , . signo(Ci) ^R(T)

ÍSq(t) = I „ o =^- ( 3 - 2 3 )

Vx (^) -^ 4R(-Í)

La e c u a c i ó n a t i x i l i a r (3-10) q u e d a

dj3i(x) 1 1 .

^ ^ = X M - ísq(x). ( 3 - 2 4 )

Si e n l a e x p r e s i ó n a n t e r i o r s u s t i t u i m o s ^q p o r s u e x p r e s i ó n (3-23), t e n e m o s

í ^ = ,W-2MMa. ,3-251

S% (^) + ímRÍ^)

L a s e c u a c i o n e s d e e s t a d o , (3-2) y (3-3), q u e d a n r e s p e c t i v a - m e n t e

d 4BR(T) signo(Ci) x(x) .

ímR(T), (3-26) d x V ? W + 4RW

doÍT) signo(Ci) 2 4R(t)

d T " , / 2, - , 2 , . - ' ^ ' (3-27)

(59)

C A P I T U L O 3 . A P L I C A C I Ó N D E LA T E O R Í A D E C O N T R O L ÓPTIMO AL M O T O R A S I N C R O N O D E

JAULA DE ARDILLA

siendo el par mecánico interno del motor

signo(Ci} 2^{I^R(T)}

m(x) = 2 kn^(x) ^q(T) = ¡ ^ ^ - (3-28}

4

X (^) + ZmR(^)

Dividiendo la ecuación (3-21) entre 2-Ci y operando, tenemos

" ^ 2 C 7 '

r i — 2 — 1

¿mRÍT;) xW = signo(Ci) '\jx (T) + Z^R(T) - K ^ ^ ,

signo(Ci)4nR(x) XÍT) =A/%^(X) + 4R(X) - K signo(Ci) 2Ci '

signo(Ci)U(x) XW = Vx'(^) + W(^) - C, (3-29) d o n d e C = K / ( 2 - | C i | ) .

3 . 5 Análisis d e l a e c u a c i ó n i m p l í c i t a

En este apartado se presenta u n estudio de la ecuación im- plícita (3-29). Esta ecuación representa las trayectorias óp-

(60)

CAPITULO 3 . APLICACIÓN DE LA TEORÍA DE CONTROL ÓPTIMO AL MOTOR ASINCRONO DE JAULA D E ARDILLA

timas de las variables ¿nR y x en el espacio (¿nR, x)- En la fi- gura 3-2 se representan dichas trayectorias en función del parámetro C y para Ci positiva.

-2,0

Figura 3-2

En la figura 3-3 se representan estas mismas trayectorias

para Ci negativa.

(61)

CAPITULO 3. APLICACIÓN DE LA TEORÍA DE CONTROL ÓPTIMO AL MOTOR ASÍNCRONO DE JAULA DE A R D I L L A

Las trayectorias, óptimas o no, de la variable de estado co dependen del p a r de carga me (ver (3-3)), y por consiguiente, las trayectorias en el espacio de estado (¿nR, (o) también dependen de me. En cambio, la ecuación (3-29) no depende de 771c- Ello nos permite afrontar el estudio del comportamiento del motor de forma independiente del valor del p a r de carga c u a n d o las variables de estado siguen trayectorias óptimas.

Aunque la corriente magnetizante del rotor ¿nR es siempre positiva o nula, p u e s define el sistema de referencia de faso-

(62)

res espaciales empleado en esta Tesis, se han representado las trayectorias (únR, x) para ¿QR positiva y negativa, eUo permite ver el aspecto general de las curvas y entender me- jor su forma.

3.5.1 Clasificación de las trayectorias.

El análisis de las ecuaciones (3-25), (3-26) y (3-29) permite clasificar las trayectorias óptimas en tres familias o grupos principales:

• Grupo I: Trayectorias óptimas pertenecientes al in- tervalo O < C < 0,5.

• Grupo II: Trayectorias óptimas dadas por C > 0,5.

• Grupo III: Trayectorias óptimas dadas por C < O.

Las trayectorias para C = O separan los grupos I y III, mien- tras que las trayectorias para C = 0,5 sirven de separatrices para los grupos I y II. En las figuras 3-4 y 3-5 se represen- tan, en el plano (úaR, %), las regiones definidas por estos grupos.

(63)

CAPITULO 3. APLICACIÓN DE LA TEORÍA DE CONTROL ÓPTIMO AL MOTOR ASÍNCRONO DE

J A U L A D E ARDILLA

C^ positiva

Grupo II

Grupo 11

negativa

Figura 3-4 Figura 3-5

3 . 5 . 2 S i m e t r í a s

Las variables ¿nR y x son intercambiables en (3-29), lo q u e significa que las curvas ¿nR(x) y x(¿nR) s o n simétricas respec- to de los ejes % = +¿nR. De modo que los resultados q u e se obtienen p a r a x(¿nR) son aplicables a ¿HRÍX)-

3.5.3 Soluciones de la variable auxiliar %.

De la ecuación (3-29) se p u e d e obtener % en función de C, Ci e imR.

(64)

signo(Ci)4nR(-c) XM + C = ^Jx%) + W ( ^ ) - (3-30)

Elevando al c u a d r a d o

4R(^) X^(^) + 2 signo(Ci) C i^m x(x) + (f = x^{x) + 4R(^),

a g r u p a n d o términos en %,

( l - ¿ R W ) X^W - 2 signo(Ci) C imR(T) x(t) = C^ - ¿R(X),

y multiplicando por [ l - ZmRW), resulta

( l - 4 R W ) ' 1%) - ( l - 4 R M ) 2 signo{Ci) C 4nR(x) X(x) = ( l - w W ) ( c ' - w ( x ) ) .

Sumando {signo{Ci) CwW)^ a las partes derecha e iz- quierda de la ecuación anterior se obtiene un cuadrado per- fecto

({1 - 4 R ( ^ ) ) X(-Í) - signo(Ci) C 4nRW)^ =

= cf 4R(T) + (1 - 4 R W ) { C ' - 4R(-f))-

(65)

Tomando la raíz cuadrada

(1 - WW) XÍ-c) - signo(Ci) C 4nR(x) = +^/CR(X) - 4R(T) + &, y despejando x resulta

, , signo(Ci) C 4nR(T) + ^ / W ( T ) - ¿ R ( X ) + C^

XW = , 2 , , • (3-31)

Esta solución es válida si | feiR| ?^ 1. En el caso de | ¿nR| = 1, la ecuación (3-30) queda

signo(Ci) signo(4„R) % + C = A/X^ + 1,

que elevando al cuadrado

X^ + 2 signo(Ci) signo(4nR) % C + C^ = x^ + 1, y despejando %, obtenemos

l-C"

X= signo(Ci) signo(4nR) -2^- (3-32)

Nótese que las expresiones (3-31) y (3-32) son también soluciones de la ecuación

(66)

signo(Ci)4nR(^) X(^) = -•\¡1%) + 4 R ( ^ ) - C- (3-33)

La ecuación (3-33) n o se corresponde con solución a l g u n a de las ecuaciones diferenciales (3-2) y (3-10), y por t a n t o n o se identifica con trayectoria óptima a l g u n a de las variables de estado del motor.

De los dos posibles valores de (3-31) u n a s veces se verifica (3-29) y otras (3-33). Hay que diferenciar las soluciones q u e corresponden a (3-29) y a (3-33).

3.5.4 Curva frontera

De la expresión (3-31) obtenemos dos posibles valores:

, , signo(Ci) C 4nR(-c) + V 4 R ( - C ) - W('^) + ^

X+('c)= , 2 , , (3-34)

1 - ímR(^)

signo(Ci) C 4nR(T) - A / 4 R ( T ) - 4R(-^:) + <^ . , , _ . XÁV - , 2 , , ' (o-o5)

1 - hnd-^)

donde los subíndices + y — de x indican el signo de la raíz.

(67)

CAPITULO 3 . APLICACIÓN DE LA TEORÍA DE CONTROL ÓPTIMO AL MOTOR ASINCRONO DE JAULA DE ARDILLA

En el plano (imR, %) coexisten %+ y %- en s e n d a s regiones perfectamente s e p a r a d a s , siendo el lugar geométrico que separa x+ de %- u n a curva frontera s i t u a d a en el límite entre dos r a m a s de %. E n esta curva, que llamaremos Xfrontera, se cumple x+ ^ X- = Xfrontera- Paxa obtener este lugar geométrico se a n u l a el radicando de la ecuación (3-31), se despeja C y se sustituye en la m i s m a ecuación, es decir:

.4 2

.4 2 -J2

^ _ .4 2

^ ~ ' ^ R "^ ^ R '

C = ± ^URA/I - 4 R -

C o m o C e s r e a l , e n t o n c e s | ¿nR | < 1, y e n e s t a r e g i ó n , s e g ú n s e o b s e r v a e n l a s figuras 3-2 y 3 - 3 , C e s p o s i t i v a l u e g o

C

= IUlVl-¿R- (3-36)

La ecuación (3-31) q u e d a

_ SÍgno(Ci) C 4nR ,_ _ „ . Xfrontera 2 ' i o - o /)

1 " W

(68)

CAPITULO 3. APLICACIÓN DE LA TEORIA DE CONTROL ÓPTIMO AL MOTOR ASINCRONO DE JAULA DE ARDILLA

y s u s t i t u y e n d o (3-36) e n (3-37) s e t i e n e

SÍgno(Ci) | 4 n R l \ / l - tgiR W

Zfrontera 2

1 - W

2

= signo(Ci) signo(4nR) , ^ koR

V ^

^{^ R}

donde | 4nR I < 1 •

Esta ecuación representa la curva frontera que separa la región de x+ de la región de x- (ver figuras 3-8 y 3-9).

3.5.5 Regiones de existencia de las variables 4nR y %

Atendiendo a la clasificación hecha en el apartado 3.5.1 tenemos los rangos de existencia de ^nR^

1. Para las trayectorias pertenecientes al grupo I, Í^R está

A B

acotada por dos valores, I^R y I^R, verificándose ¿nR ^ -

B A A B A ímR. -ímR ^ ¿nR < «mR Y «mR ^ ¿nR. E s t O S d o S V a l o r e S , 1 „ R y

B

ZniR, son las raíces del radicando de (3-31), es decir,

(69)

C A P I T U L O 3 . APLICACIÓN D E LA T E O R Í A D E CONTROL ÓPTIMO AL M O T O R ASINCRONO D E

JAULA DE ARDILLA

tu-\l'-'^ (3-38)

B ^ / I + A / I - 4(f

En estos valores de ¿nR se cumple x+ = X- Las trayecto-

A JB

rias óptimas {imR, x) tienen en los puntos Z^R y imR tan- gente vertical. Los rangos de existencia de I^R y I^R son

0 < 4 R < 1 / V 2 < W ^ 1 -

Las figura 3-6 muestra, para Ci positiva, u n a trayec-

A B

toria de este tipo (C = 0,45) y los puntos i^^ y I^R.

Las figura 3-7 muestra, para Ci negativa, u n a trayec-

A B

toria de este tipo (C = 0,45) y los puntos i^^ y I^R.

2. Para las trayectorias pertenecientes al grupo II (C >

0,5) icnR existe para Ci > O y para la rama inferior en el rango de - 1 a co y para la rama superior en el rango de -00 a 1, para Ci < O Í^R existe para la rama superior en

(70)

CAPITULO 3 . APLICACIÓN DE LA TEORÍA DE CONTROL ÓPTIMO AL MOTOR ASÍNCRONO DE JAULA DE ARDILLA

el rango de - 1 a co y para la rama inferior en el rango de -co a 1

Cj positiva

Figura 3-6

3. Para las trayectorias pertenecientes al grupo III (C < O) el rango de existencia de ímR es | w l > 1-

(71)

CAPITULO 3 . APLICACIÓN DE LA TEORÍA DE CONTROL ÓPTIMO AL MOTOR ASINCRONO DE JAULA DE ARDILLA

Tal y como se h a dicho anteriormente, por simetría de la ecuación implícita, los intervalos de existencia de la variable X son análogos a los de la variable Í^R-

aliva

- 2 , 0 - -

Figura 3-7

Analizando las ecuaciones (3-25), (3-26), (3-29) y (3-33) se

obtienen las regiones de existencia de las variable % en fun-

(72)

CAPITULO 3 . APLICACIÓN D E LÁ TEORIA DE CONTROL ÓPTIMO AL MOTOR ASINCRONO D E

JAULA DE ARDILLA

ción de ¿nR y por t a n t o las soluciones que verifican (3-29) y no (3-33).

E n la región | ÍOIRI > 1 T p a r a Q positiva son valores váli- dos de (3-31) los siguientes valores de x-

• x+ si 4nR < - 1 ,

• X-SÍ4nR> +1-

Análogamente, p a r a C\ negativa son soluciones válidas

• X- s i 4nR < - 1 ,

• X+SÍ4nR>+l-

Los otros posibles valores de 4nR y X no s o n solución de la ecuación (3-29), sino de la ecuación (3-33) y por t a n t o se d e s e c h a n .

Tal y como se h a visto, en la región | 4nR I < 1 > son válidos a m b o s valores de (3-31).

(73)

CAPITULO 3 . APLICACIÓN DE LA TEORÍA DE CONTROL ÓPTIMO AL MOTOR ASÍNCRONO DE JAULA DE A R D I L L A

3 . 5 . 6 A s í n t o t a s

Todas las trayectorias óptimas, excepto las ramas cerradas del grupo I, convergen asintóticamente en el infinito, siendo las asíntotas i^^ = ±ly % = ±1.

3.5.7 Puntos de equilibrio

Los p u n t o s de equilibro s o n aquellos en los que imR y x. ^^o varían e n el tiempo. Éstos se obtienen a n u l a n d o las ecuaciones (3-2) y (3-24), es decir

d ímRÍT)

d ^ = O ^ isd(x) = 4nR(T) ( 3 - 4 0 )

^ = 0 = » ^ q ( T ) = x ( T ) . (3-41)

Sustituyendo la expresión (3-22), de ¿sd» en (3-40) se obtiene signo(Ci) x(x)

4

2 2 = ^ R ( ^ ) - ( 3 - 4 2 )

(74)

Análogamente, sustituyendo la expresión (3-23), de kq, en (3-41), se obtiene

signo(Ci) 4nR(-c) A/x (^) + 4R(^)

Dividiendo las dos ecuaciones anteriores entre si, se tiene

^ = % r ^ ^ R ( ^ ) = ±x(x) (3-44)

y sustituyendo el valor anterior en la ecuación (3-42), o en la (3-43), obtenemos

±signo(Ci) - j ^ = 4nR. (3-45)

De las expresiones (3-44) y (3-45) se obtienen, para Ci > O y para Ci < O, cuatro combinaciones diferentes de 4nR y <ie X para los puntos de equilibrio:

W = ± 1 / A / 2 ; X = ± 1 / > / 2 . (3-46)

Se verifica u n punto de equilibrio cuando los valores de (3-46) anulan las ecuaciones (3-25) y (3-26), es decir, los

(75)

p u n t o s de equilibrio son ¿mR "^ % ^ ± 1 / v ^ p a r a Ci > O y 4nR ~ -% = ±\/'\¡2 p a r a Q < 0. E n ambos casos C = 0,5; C se h a obtenido sustituyendo los valores de ¿nR y x en (3-29). Otro p u n t o de equilibrio es la solución trivial ¿nR = x = O-

E n la figura 3-8 se m u e s t r a p a r a Ci positiva el aspecto de las trayectorias (¿nR, x)-

Curva Frontera

Figura 3-8