ELECTROMAGNTISMO DE ALTA FRECUENCIA. Grado en Física

(1)

Electromagnetismo de Alta Frecuencia 1

APÉNDICE.- REVISIÓN DE LA TEORÍA ELECTROMAGNÉTICA

ELECTROMAGNTISMO DE ALTA FRECUENCIA Grado en Física

PROFESOR: José Represa Fernández.

Dpto. Electricidad y Electrónica.

e-mail: jrepresa@ee.uva.es

(2)

REVISIÓN DE LA TEORÍA ELECTROMAGNÉTICA

ELECTROMAGNETISMO DE ALTA FRECUENCIA Grado en Física

Ecuaciones de Maxwell.

Descripción de los medios.

Condiciones de contorno.

La ecuación de ondas.

Ondas planas.

Energía y Potencia.

Reflexión y refracción de ondas planas.

Bibliografía:

(3)

TEORÍA ELECTROMAGNÉTICA Revisión

Ecuaciones de Maxwell

(4)

Relaciones constitutivas y condiciones de contorno

Ligan los vectores de campo tanto en medios materiales

como en el vacío

Necesarias en las superficies de separación de medios

diferentes

Existen condiciones de contorno “especiales”

(5)

Relaciones constitutivas

Los vectores eléctricos y los vectores magnéticos, respectivamente, significan lo

mismo (Solo un factor de escala)

Carece de sentido la relación

J ↔ E

Contribución de la materia

(6)

Relaciones constitutivas

Relaciones

Diferentes comportamientos Linealidad

Homegeneidad Isotropía

(7)

Relaciones constitutivas. Caso estático.

Medios H. I. L.

Parámetros del medio

(8)

Relaciones constitutivas. Caso dinámico.

Descripción en el dominio del tiempo.

- PRINCIPIO DE CAUSALIDAD

- RETARDO DE LA RESPUESTA

Descripción en el dominio de la frecuencia.

- NOTACION COMPLEJA

- DISIPACION DE ENERGIA

Transformada de Fourier

(9)

DESCRIPCION EN EL DOMINIO DEL TIEMPO

PRINCIPIO DE CAUSALIDAD:

La respuesta no puede ser anterior a la causa.

ε ^(t-τ ^{) = 0} , µ ^(t-τ ^{) = 0} ^si τ ^> ^t (Respuesta de impulso)

(10)

DESCRIPCION EN EL DOMINIO DEL TIEMPO

RELACION ENTRE DOMINIOS

(11)

DESCRIPCION EN EL DOMINIO DE LA FRECUENCIA

SUPONE CAMPOS DE VARIACION TEMPORAL

ARMONICA

SUPONE REGIMEN ARMONICO ESTACIONARIO

SEÑALES

MONOCROMATICAS

COMPONENTES DE FOURIER

(12)

DESCRIPCION EN EL DOMINIO DE LA FRECUENCIA PARA CADA FRECUENCIA ω"

Relaciones de Kramers-Kronig

(13)

DERIVADAS DE LAS PROPIAS ECUACIONES DE LOS CAMPOS

(14)

DERIVADAS DE LAS PROPIAS ECUACIONES DE LOS CAMPOS

(15)

Condiciones de contorno. Casos particulares.

Dieléctrico perfecto

“Conductor magnético”

Conductor perfecto

Condiciones de radiación (Problemas abiertos)

Los campos deben ser

“salientes”

(16)

El dominio de la frecuencia.

NOTACION COMPLEJA

Consideramos campos de variación armónica en el tiempo

Tomamos:

Que es un VECTOR COMPLEJO dependiente de las variables ESPACIALES

El CAMPO FISICO es:

(17)

El dominio de la frecuencia.

NOTACION COMPLEJA

Para campos armónicos arbitrarios

Tomamos:

Que es un VECTOR COMPLEJO dependiente de las variables ESPACIALES

(18)

Las ecuaciones de Maxwell en el dominio de la frecuencia.

Ecuaciones en divergencia

(19)

Derivación temporal

Ecuaciones rotacionales

(20)

Ecuación de continuidad Ecuaciones rotacionales

(21)

Forma integral

(22)

El vector de Poynting

Forma real Forma compleja

Relaciones de interés (en régimen armónico)

(23)

El vector de Poynting. Valor medio temporal.

Forma real Forma compleja

Teorema de Poynting (forma real)

Energía del campo e.m. Flujo de potencia

Efecto Joule Potencia de los generadores

(24)

El vector de Poynting. Valor medio temporal.

Teorema de Poynting (forma compleja)

(25)

TEORÍA ELECTROMAGNÉTICA La ecuación de ondas

Término de atenuación

Fuera de las fuentes: ρ=0, J_g=0 Medio H. I. L. ε, µ, σ"

Tomar el rotacional de las ecuaciones rotacionales de Maxwell y usar las

divergencias

Para cada componente (i=x, y, z) del campo E (H) en el dominio del tiempo:

Término de propagación

(26)

Fuera de las fuentes: ρ=0, J_g=0 Medio H. I. L. ε, µ, σ"

Usar la notación compleja o hacer la transformada de Fourier de la ecuación en el dominio del tiempo

Para cada componente (i=x, y, z) del campo E (H) en el dominio de la frecuencia:

(27)

Dos casos particulares

Medio con pérdidas conductoras altas: difusión Medio sin pérdidas: onda no atenuada

(28)

Un caso simple: Ondas planas uniformes.

Condiciones Características

Régimen armónico estacionario Medio no conductor sin pérdidas

Campo Ex

Dependencia espacial con z

Ondas planas: Los vectores de campo están contenidos en un

plano

Ondas uniformes: los vectores de campo no cambian (módulo y fase)

con la posición en el plano

Ecuación de Helmholtz

(29)

TEORÍA ELECTROMAGNÉTICA Ondas planas uniformes

con:

Número de onda (Cte. Propagación)

(30)

TEORÍA ELECTROMAGNÉTICA Ondas planas

Solución a la ecuación de Helmholtz

con constantes complejas a determinar

que corresponde, en el dominio del tiempo, a:

(31)

t₀

z₀

t₁

z₁

(32)

El campo magnético

Puede obtenerse de la ley de Faraday

(33)

Características de propagación

- Velocidad de fase

- Longitud de onda

- Constante de propagación (fase) o número de ondas

- Impedancia de onda (intrínseca) λ"

(34)

Transversalidad de los campos

(35)

(36)

Medios con pérdidas

Condiciones

Fuera de las fuentes

Régimen armónico estacionario Medio con conductividad finita

Campo Ex

Dependencia espacial con z

(37)

Medios con pérdidas

Cte. de propagación compleja Cte. de atenuación Cte. de fase Con pérdidas dieléctricas (magnéticas), utilizamos ε (µ)"

y análogamente si tuviéramos µ’’"

(38)

TEORÍA ELECTROMAGNÉTICA Ondas planas. Medios con pérdidas Solución a la ecuación de Helmholtz

con constantes complejas a determinar

corresponde, en el dominio del tiempo, a:

Como

(39)

TEORÍA ELECTROMAGNÉTICA Ondas planas. Medios con pérdidas

El campo magnético

Puede obtenerse de la ley de Faraday

Onda que avanza en z+ Onda que avanza en z-

OBSERVAR EL SIGNO -

Atenuadas en su sentido de propagación

(40)

Características de propagación

- Velocidad de fase

- Longitud de onda

- Constante de propagación

λ"

(41)

(42)

TEORÍA ELECTROMAGNÉTICA Ondas planas. Buenos conductores

Domina la conductividad

σ>>ωε Corriente de conducción >>Corriente de desplazamiento

(43)

TEORÍA ELECTROMAGNÉTICA Ondas planas. Buenos conductores Profundidades de penetración a 10 GHz.

Profundidades de penetración para el cobre

µ µ µ µ

(44)

TEORÍA ELECTROMAGNÉTICA Ondas planas. Caso general.

La ecuación de Helmholtz en coordenadas cartesianas.

con

Para cada componente de E (H)

(45)

Resolución mediante separación de variables.

Que llevado a la ecuación de Helmholtz:

Constantes de separación Suponemos

donde cada sumando sólo depende de su variable, como mucho y, puesto que k es una constante, los sumandos deben serlo también

(46)

Resolución mediante separación de variables.

Cada componente f, g, h obedece a una ecuación

de soluciones

cualquier componente del campo (i=x, y, z) será de la forma:

(47)

Dirección de propagación.

Definimos un vector de onda Vector unitario

Para cada onda (+ ó –) i= x, y , z

La condición

Solamente dos de las amplitudes son independientes

Los vectores y son perpendiculares

(48)

El campo magnético.

Se obtiene, de nuevo, de la ley de Faraday.

Tanto para la onda + como para la onda -

(49)

(50)

(51)

TEORÍA ELECTROMAGNÉTICA Reflexión y refracción.

Incidencia normal.

E _i H _i

E _t H _t

E _r H _r

ε₁ , µ₁ ε₂ , µ₂

z

x Onda incidente:

Onda reflejada:

(52)

Incidencia normal.

Onda transmitida:

- Elección de sentidos de los campos.

(53)

Incidencia normal.

Condiciones de contorno en z=0

(54)

Incidencia normal.

El vector de Poynting.

Potencia reactiva

(55)

Incidencia normal.

El vector de Poynting. Observaciones.

El flujo de potencia se conserva en la interfaz.

(56)

Incidencia normal.

Formación de una onda estacionaria.

En la región z<0 se superponen dos ondas de la misma frecuencia, con distintas amplitudes:

y análogamente para H

(57)

Incidencia normal.

Ondas estacionarias. Las amplitudes de los campos.

(58)

Incidencia normal.

Ondas estacionarias. Las amplitudes de los campos.

Campo eléctrico

(59)

Incidencia normal en un buen conductor.

Lo que hace cambiar los valores de Γ y Τ, que ahora serán complejos.

Cambian la constante de propagación y la impedancia de onda del segundo medio.

Los campos transmitidos son:

(60)

Campo eléctrico

(61)

El vector de Poynting.

Para z<0:

Para z>0:

Resultando de nuevo:

(62)

Incidencia normal en un conductor perfecto.

Representa el caso límite cuando σ → ∞.

(63)

Incidencia normal en un conductor perfecto.

Campo magnético Campo eléctrico

(64)

TEORÍA ELECTROMAGNÉTICA

Reflexión y refracción. Incidencia oblicua.

Planteamiento general.

(65)

Campo eléctrico paralelo al plano de incidencia.

Onda incidente:

Onda reflejada:

(66)

Onda transmitida:

(67)

En z=0 para todo x

La igualdad de fases:

Leyes de Snell

(68)

Coeficientes de reflexión y de transmisión (Fresnel).

Obsérvese que para el que (Angulo de Brewster)

(69)

Módulo del coeficiente de reflexión frente al ángulo de incidencia.

Nótese el ángulo de Brewster.

(70)

Campo eléctrico perpendicular al plano de incidencia.

Onda incidente:

Onda reflejada:

(71)

Dirección de los campos Dirección de propagación

Onda transmitida:

(72)

En z=0 para todo x

La igualdad de fases:

Leyes de Snell

(73)

Coeficientes de reflexión y de transmisión (Fresnel).

¿ para el que ?

(74)

(75)

Reflexión total. Ondas de superficie.

De la ley de Snell:

conocido como ángulo crítico o de reflexión total.

¡La onda no pasa al medio 2!

Angulo crítico.

Si la onda viaja de un medio más denso a uno menos denso (ε₂<ε₁)

(76)

Reflexión total. El ángulo crítico.

Para θ_i> θ_c sería

Llamamos :

Los campos transmitidos (pol. paralela):

(77)

El coeficiente de reflexión:

La onda transmitida:

-Se propaga en la dirección x.

-No se propaga en la dirección z, pero existen campos que decaen exponencialmente con z.

- Se conoce como ONDA DE SUPERFICIE.

- Es una onda plana NO UNIFORME (varía en la dirección transversal)

(78)

El vector de Poynting para la onda transmitida:

Potencia reactiva Potencia transmitida