ANÁLISIS ESTADÍSTICO UNIDAD 2:
NOCIONES ELEMENTALES DE PROBABILIDAD
Ing. Carlos Viteri Chávez, Mgs
INTRODUCCIÓN A LA ADQUISICIÓN DE SEÑALES
Estudiar y analizar los tipos de probabilidad.
Estudiar y aplicar las diferentes reglas de las probabilidades
Estudiar y analizar los conceptos de probabilidad, experimento, Espacio muestral, eventos,
Objetivos
Identificar y aplicar el enfoque adecuado para asignar probabilidades.
Introducción
• La inferencia estadística se relaciona con las conclusiones relacionadas con una población sobre la base de una muestra que se toma de ella.
• Dada la incertidumbre existente en la toma de decisiones, es importante que se evalúen científicamente todos los riesgos implicados.
• La aplicación de teoría de la probabilidad permite a quien toma decisiones y posee información limitada analizar los riesgos y reducir al mínimo el riesgo que existe
Por ejemplo, al lanzar al mercado un nuevo producto o aceptar un envío que quizá contenga partes defectuosas.
Términos principales de probabilidad
Puesto que los conceptos de la probabilidad son importantes en el
campo de la inferencia estadística se introduce el lenguaje básico de la probabilidad, que incluye términos como:
1.- Probabilidad 2.- evento,
3.- experimento, 4.- resultado
4.- espacio muestral
5.- probabilidad subjetiva
6.- reglas de la adición y de la multiplicación
TERMINOLOGÍA BÁSICA
PROBABILIDAD
La probabilidad es una medida de la certidumbre asociada a un suceso o evento futuro y suele expresarse como un número entre 0 y 1 (o entre 0% y 100%).
TERMINOLOGÍA BÁSICA
EXPERIMENTO
Un experimento, en estadística, es cualquier proceso que proporciona datos, numéricos o no numéricos. Un conjunto cuyos elementos representan todos los posibles resultados de un experimento se llama espacio muestral y se representa como S.
El espacio muestral de un experimento siempre existe y no es necesariamente único pues, dependiendo de nuestra valoración de los resultados, podemos construir diferentes espacios muestrales.
ESPACIO MUESTRAL
El conjunto de los posibles resultados de un experimento aleatorio recibe el nombre de espacio muestral del experimento. Denotaremos el espacio muestral con la letra S.
TERMINOLOGÍA BÁSICA
EVENTO
Un evento es un subconjunto del espacio muestral de un experimento aleatorio.
Los eventos mutuamente excluyentes son aquellos en los que si un evento sucede significa que el otro no puede ocurrir
Ejemplos:
Al lanzar una moneda sacar cara o cruz Observar una luz de semáforo
Obtener una calificación de una materia
TERMINOLOGÍA BÁSICA
EVENTOS NO INCLUYENTES
✓ Sacar un 5 y una carta de espadas. Son eventos no excluyentes pues podemos tomar un 5 de espadas.
✓ Sacar una carta roja y una carta de corazones. Son eventos no excluyentes pues las cartas de corazones son uno de los palos rojos.
✓ Sacar un 9 y una carta negra. Son eventos no excluyentes pues podemos tomar el 9 de espadas o el 9 de tréboles.
Tipos de probabilidades
Existen tres maneras básicas de clasificar la probabilidad; éstas representan planteamientos conceptuales bastante diferentes para el estudio de la teoría de probabilidad.
1. El planteamiento clásico.
2. El planteamiento de frecuencia relativa.
3. El planteamiento subjetivo.
Probabilidad clásica
El planteamiento clásico define la probabilidad de que un evento ocurra como:
Ejemplo: ¿cuál es la probabilidad de obtener una cara en un solo lanzamiento de un dado?
Número de resultados posibles en un lanzamiento en los que se presente el evento (en este caso, el número de resultados que producirán una cara) = 1 Número total de resultado posibles en un lanzamiento (una cara y una cruz) = 2
𝑃 𝑐𝑎𝑟𝑎 = 1 2
Frecuencia relativa de presentación
Se basa en el número de veces que ocurre el evento como proporción del número de intentos conocidos.
define la probabilidad como:
1. La frecuencia relativa observada de un evento durante un gran número de intentos o;
2. la fracción de veces que un evento se presenta a la larga, cuando las condiciones son estables.
𝑃 empírica = Número de veces que el evento ocurre Número total de observaciones
Determinamos qué tan frecuentemente ha sucedido algo en el pasado y usamos esa cifra para predecir la probabilidad de que suceda de nuevo en el futuro
Probabilidad Subjetiva
• Las probabilidades subjetivas están basadas en las creencias de las personas que efectúan la estimación de probabilidad.
• Se puede definir como la probabilidad asignada a un evento por parte de un individuo, basada en la evidencia que tenga disponible.
• Si se cuenta con poca o ninguna experiencia o información con la cual sustentar la probabilidad, es posible aproximarla en forma subjetiva
Algunos ejemplos de probabilidad subjetiva son los siguientes:
1. Calcular la posibilidad de que los Patriotas de Nueva Inglaterra jueguen el Súper Tazón el año que viene.
2. Calcular la posibilidad de que usted contraiga matrimonio antes de los 30 años.
3. Calcular la posibilidad de que el déficit presupuestario de Estados Unidos se reduzca a la mitad en los siguientes 10 años.
❖
Análisis combinatorio:
Los diagramas de árbol muestran objetivamente el número de resultados posibles en que se puede disponer de la ordenación de un conjunto de elementos, pero esta enumeración es limitada, pues a medida que aumenta el número de objetos dicha ordenación se complica, por lo que hay que utilizar otro procedimiento más sencillo para determinar el número total de resultados.
Con este fin, nos apoyaremos en los conceptos
permutaciones y combinaciones, los cuales tienen como base
el principio fundamental del conteo.
TECNICAS DE CONTEO
Las técnicas de conteo son aquellas que son usadas para enumerar eventos difíciles de cuantificar. Las más usadas son:
❖ El diagrama de árbol: Los diagramas de árbol son ordenaciones empleadas para enumerar todas las posibilidades lógicas de una secuencia de eventos, donde cada evento puede ocurrir en un número finito. Proporcionan un método sistemático de enumeración objetiva de los resultados.
Reglas de Probabilidades
La mayoría de los administradores que utiliza la probabilidad se preocupan por dos condiciones:
1. El caso en que un evento u otro se presente.
2. La situación en que dos o más eventos se presenten al mismo
tiempo.El cálculo de la probabilidad de dos o más eventos aplicando las
reglas de la adición y la multiplicación.
Regla de la adición
Regla de la Adición
Eventos mutuamente
excluyente
P(AoB) = P(A) + P(B)
Eventos no
excluyentes P(AoB) = P(A) + P(B) - P(A y B)
Regla de la adición para eventos mutuamente excluyente
Si son dos eventos
Si son tres eventos
Ejemplo
Una máquina automática llena bolsas de plástico con una combinación de frijoles, brócoli y otras verduras. La mayoría de las bolsas contiene el peso correcto, aunque, como consecuencia de la variación del tamaño del frijol y de otras verduras, un paquete podría pesar menos o más. Una revisión de 4 000 paquetes que se llenaron el mes pasado arrojó los siguientes datos:
¿Cuál es la probabilidad de que un paquete en particular pese menos o pese más?
Solución
El resultado “pesa menos” es el evento A. El resultado “pesa más” es el evento C. Al aplicar la regla especial de la adición se tiene:
P(A o C) = P(A) + P(C) = .025 + 0.75 = .10
Observe que los eventos son mutuamente excluyentes, lo cual significa que un paquete de verduras mixtas no puede pesar menos, tener el peso satisfactorio y pesar más al mismo tiempo.
Ejemplo
¿Cuál es la probabilidad de que una carta escogida al azar de una baraja convencional sea rey o corazón?
P(AoB) = P(A) + P(B) - P(A y B)
= 0.077 + 0.25 - 0.019
= 0.308
Ejemplo
Los empleados de una cierta compañía han elegido a cinco de ellos para que los representen en el consejo administrativo y de personal sobre productividad. Los perfiles de los cinco elegidos son:
1. hombre edad 30 2. hombre 32
3. mujer 45 4. mujer 20 5. hombre 40
¿cuál es la probabilidad de que el vocero sea mujer o cuya edad esté por arriba de 35 años?
Reglas de la multiplicación
Regla de la multiplicación
Eventos
independientes P(A y B) = P(A).P(B)
Eventos no
independientes P(A y B) = P(A). P(B|A)
INDEPENDENCIA Si un evento ocurre, no tiene ningún efecto sobre la probabilidad de que otro evento acontezca.
PROBABILIDAD CONDICIONAL Probabilidad de que un evento en particular ocurra, dado que otro evento haya acontecido.
P(B|A) la probabilidad de que se presente el evento B, dado que el evento A se ha presentado
Ejercicio
Una encuesta que llevó a cabo la American Automobile Association (AAA) reveló que el año pasado 60% de sus miembros hicieron
reservaciones en líneas aéreas. Dos de ellos fueron seleccionados al azar. ¿Cuál es la probabilidad de que ambos hicieran reservaciones el año pasado?
Solución:
• La probabilidad de que el primero haya hecho una reservación el año pasado es de 0.60, que se expresa como P(R1) = 60, en la que R1 representa el hecho de que el primer miembro hizo una reservación.
• La probabilidad de que el segundo miembro elegido haya hecho una reservación es también de 0.60, así que P(R2) =60.
P(R1 y R2) = P(R1) . P(R2) = (.60)(.60) = 0.36
Ejercicio
Un golfista tiene 12 camisas en su clóset. Suponga que 9 son blancas y las demás azules. Como se viste de noche, simplemente toma una camisa y se la pone. Juega golf dos veces seguidas y no las lava. ¿Cuál es la probabilidad de que las dos camisas elegidas sean blancas?
Solución:
La probabilidad es P(W1) 9/12, porque 9 de cada 12 camisas son blancas
La probabilidad condicional relacionada con el hecho de que la segunda camisa
seleccionada sea blanca, dado que la primera camisa seleccionada es blanca también, es P(W2|W1) 8/11.
PROBABILIDAD CONDICIONAL
Como su nombre lo indica se trata de determinar la probabilidad de que ocurra un evento A (aposteriori) dado que ya aconteció un evento B (apriori), y se representa mediante P(A|B), se lee probabilidad de A dado B o probabilidad de A condicionada a B.
En la probabilidad condicional, consideramos que de
un espacio muestral S se conoce únicamente el evento B, que
constituye un espacio muestral reducido.
PROBABILIDAD MARGINAL
Para obtener expresiones útiles en el cálculo de este tipo de probabilidades, se realizará un ejemplo.
En un taller mecánico tienen un total de 135 desatornilladores, los técnicos atribuyen a éstos dos características cuando se los piden a sus ayudantes, su longitud (largo y cortos) y la forma de la punta que embona en los tornillos (planos o de cruz) de acuerdo a la definición de eventos que sigue, la distribución es la siguiente:
En la teoría de la probabilidad el teorema de Bayes es un resultado enunciado por Thomas Bayes en 1763:
Expresa la probabilidad condicional de un evento aleatorio A dado B en términos de la distribución de probabilidad condicional del evento B dado A y la distribución de probabilidad marginal de sólo A.
Sea {A1,A3,...,Ai,...,An} un conjunto de sucesos mutuamente excluyentes y exhaustivos, y tales que la probabilidad de cada uno de ellos es distinta de cero. Sea B un suceso cualquiera del que se conocen las probabilidades condicionales P(B | Ai). Entonces, la probabilidad P(Ai | B) viene dada por la expresión siguiente
:
TEOREMA DE BAYES
dónde:
•P(Ai) son las probabilidades a priori.
•P(B | Ai) es la probabilidad de B en la hipótesis Ai.
•P(Ai | B) son las probabilidades a posteriori.
TEOREMA DE BAYES
Probabilidad a Priori
Probabilidad basada en el nivel de información actual.
Probabilidad a Posteriori
En un evento aleatorio es la probabilidad condicional que es Asignada después de que la evidencia es tomada en cuenta.
Probabilidad revisada a partir de información adicional.
TEOREMA DE BAYES
Suponga que 5% de la población de Umen, un país ficticio del Tercer mundo, tiene una enfermedad propia del país. Sea A1el evento “padece la enfermedad” y A2el evento “no padece la enfermedad”..
A1: padece enfermedad P(A1) = 0.05 A2: no padece enfermedad P (A2) = 0.95
Esta probabilidad, P (A1) P(padece la enfermedad) 0.05, recibe el nombre de probabilidad a priori.
Sea B el evento “la prueba revela la presencia de la enfermedad”. Suponga que la evidencia histórica muestra que si una persona padece realmente la enfermedad, la probabilidad de que la prueba indique su presencia es de 0.90.
P (B| A1) = 0.9
Suponga la probabilidad de que la prueba indique la presencia de la enfermedad en una persona que en realidad no la padece es de 0.15.
P (B| A2) = 0.15
Ejercicio 1
¿Cuál es la probabilidad de que la persona en realidad padezca la enfermedad?
Lo que desea saber, en forma simbólica, es P(A1|B), que se interpreta de la siguiente manera: P(padece la enfermedad | la prueba resulta positiva). La probabilidad P(A1|B) recibe el nombre de probabilidad a posteriori.
Ejercicio 1
El parte meteorológico ha anunciado tres posibilidades para el fin de semana:
a) Que llueva: probabilidad del 50%. A b) Que nieve: probabilidad del 30% B c) Que haya niebla: probabilidad del 20%. C
Según estos posibles estados meteorológicos, la posibilidad de que ocurra un accidente es la siguiente: C
a) Si llueve: probabilidad de accidente del 20%. P (C|A) = 0.2 b) Si nieva: probabilidad de accidente del 10%
c) Si hay niebla: probabilidad de accidente del 5%.
Teorema de Bayes: a partir de que ha ocurrido el suceso B (ha ocurrido un accidente) deducimos las probabilidades del suceso A (¿estaba nevando o que clima había?).
Ejercicio 2
Las probabilidades que manejamos antes de conocer que ha ocurrido un accidente se denominan "probabilidades a priori" (lluvia con el 60%, nieve con el 30% y niebla con el 10%).
Una vez que incorporamos la información de que ha ocurrido un accidente, las probabilidades del suceso A cambian: son probabilidades condicionadas P (A/B), que se denominan "probabilidades a posteriori".
a) Probabilidad de que estuviera lloviendo:
La probabilidad de que efectivamente estuviera lloviendo el día del accidente (probabilidad a posteriori) es del 71.4%.
b) Probabilidad de que estuviera nevando:
La probabilidad de que estuviera nevando es del 21.4%.
c) Probabilidad de que hubiera niebla:
La probabilidad de que hubiera niebla es del 7.1%.
