Optimización de la resistencia a la fractura de engranajes cilíndricos de dientes rectos de material plástico usando el software MatLab

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(1)Facultad de Ingeniería Mecánica Departamento de Ingeniería Mecánica Tesis en opción al título de Ingeniero Mecánico Título: Optimización de la resistencia a la fractura de engranajes cilíndricos de dientes rectos de material plástico usando el software MatLab. Autor: Frank Plasencia Martínez. Tutor: Dr. Jorge L. Moya Rodríguez. Santa Clara Junio, 2013. 1.

(2) Resumen Hoy en día ha ido creciendo cada vez más el uso de los materiales plásticos para los engranajes. Los engranajes plásticos se han colocado como serias alternativas a los engranajes tradicionales de metal en una gran variedad de usos. El uso de los engranajes plásticos se ha expandido desde las aplicaciones de baja potencia y transmisiones de movimiento de precisión hasta aplicaciones que cada vez demandan más potencia.. Los engranajes plásticos cuando son correctamente. diseñados ofrecen muchas ventajas comparados con los engranajes metálicos. Tienen menos peso, una inercia más baja, y funcionan mucho más silenciosamente que sus contrapartes metálicas. Los engranajes plásticos muchas veces no requieren lubricación o a menudo la lubricación puede ser a través de lubricantes internos dentro del propio material como es el caso del PTFE o la silicona. Los engranajes plásticos tienen un menor costo que los metálicos y se pueden diseñar con una geometría especial. Sin embargo hay poca información disponible sobre el diseño de los engranajes plásticos. En el presente trabajo se hace un análisis de los materiales, características, fallas principales, métodos de cálculo, ejemplos de aplicación de los engranajes plásticos y la optimización de estos.. 2.

(3) Abstract Today the use of plastic materials for gearing has been growing up. Plastic gears have positioned themselves as serious alternatives to traditional metal gears in a wide variety of applications. The use of plastic gears has expanded from low power, precision motion transmission into more demanding power transmission applications. When properly designed plastic gears offer many advantages compared to metal gears. They have less weight, lower inertia, and run much quieter than their metal counterparts. Plastic gears often require no lubrication or can be compounded with internal lubricants such as PTFE or silicone. Plastic gears have a lower cost than metal gears, and can be designed with a special geometry. Nevertheless there is little information available about plastic gear design. At this work is made an analysis of the materials, characteristics, main failures, calculations methods, examples of application of plastic gears and their optimization.. 3.

(4) Índice general Introducción............................................................................................................. 1 Capítulo 1: Generalidades de los engranajes plásticos. ...................................... 12 1.1 Marco teórico ............................................................................................... 12 1.2 Materiales .................................................................................................... 13 1.2.1 Termo-plásticos ..................................................................................... 13 1.2.2 Termo-estables...................................................................................... 13 1.3 Propiedades de los materiales termo-plásticos y termo-estables. ............... 15 1.3.1 Termo-plásticos ..................................................................................... 16 1.3.2 Termo-estables...................................................................................... 18 1.4 Refuerzos para engranajes.......................................................................... 20 1.5 Fallas en los engranajes plásticos ............................................................... 23 1.6 Geometría .................................................................................................... 26 1.7 Lubricación .................................................................................................. 30 Conclusiones parciales del capítulo 1................................................................ 32 Capítulo 2: Metodología de cálculo de los engranajes plásticos. .......................... 33 2.1 Temperatura de trabajo ............................................................................... 33 2.2-Cálculo de la distancia entre centros ........................................................... 34 2.3 Resistencia superficial de los engranajes .................................................... 36 2.4 Métodos de cálculo ..................................................................................... 44 2.5 Posible utilización de engranajes plásticos. ................................................. 51 2.6 Pasos para el diseño de los engranajes plásticos de dientes rectos ........... 52 2.7 Validación a través de una ejemplo de cálculo ............................................ 53 Conclusiones parciales del capítulo 2................................................................ 57 4.

(5) Capítulo 3: Optimización multicriterial de la resistencia de los engranajes cilíndricos de dientes rectos de material plástico. ................................................. 58 3.1 Algoritmos genéticos.................................................................................... 59 3.2 Algoritmos Genéticos propuestos para resolver problemas de optimización multiobjetivo son ................................................................................................ 62 3.3 Optimización de los engranajes cilíndricos .................................................. 64 3.4 Lenguaje utilizado en el editor de MatLab ................................................... 65 3.5 Análisis de resultados .................................................................................. 71 Conclusiones......................................................................................................... 72 Recomendaciones ................................................................................................ 74 Bibliografía ............................................................................................................ 75 Anexos .................................................................................................................. 78. 5.

(6) Introducción Para los ingenieros mecánicos el uso de engranajes plásticos hoy en día es insoslayable debido al bajo costo, el bajo peso, la reducción de ruido y otros parámetros de vital importancia en las aplicaciones con engranajes. Mientras existe mundialmente una gran experiencia en el diseño de engranajes metálicos que data de cientos de años, los engranajes plásticos son tema de estudio de los Ingenieros Mecánicos de hace solo unas pocas décadas. Producto del desconocimiento cuando un engranaje plástico falla inmediatamente se tiende a culpar a la pobre calidad de estos materiales siendo en realidad de los proyectistas y constructores que realmente no dominan la teoría y práctica de los engranajes plásticos. La primera intención de todo ingeniero es tratar de reemplazar los materiales metálicos con materiales plásticos usando el mismo diseño, pero lamentablemente esto no es posible, ya que existen enormes diferencias entre las propiedades mecánicas, métodos de fabricación, geometría y cálculo de los engranajes plásticos y los engranajes metálicos. De hecho existe una mayor libertad en cuanto a forma y modificaciones del diente en los engranajes plásticos. Este proyecto de diploma de Ingeniería Mecánica surge con el objetivo de lograr un mayor conocimiento de los engranajes cilíndricos de dientes rectos de material plástico. En este se pretende profundizar en los materiales más utilizados para su fabricación, así como las diversas fallas que se pueden encontrar en ellos, la metodología de cálculos y métodos de optimización de estos. A partir de esto se plantea la siguiente idea: Idea: Optimización de la resistencia a la fractura de engranajes cilíndricos de material plástico de dientes rectos.. 6.

(7) Objeto de la Investigación: El Objeto de esta Investigación lo constituyen los engranajes plásticos. Problema Científico: El problema Científico que se aborda en este trabajo consiste en que no existe en la literatura suficiente información para el diseño de engranajes plásticos ni están recopilados los diferentes métodos de cálculo de los mismos, así como métodos de optimización. Con base en la revisión bibliográfica, el objeto de la misma y el problema científico se plantea la siguiente hipótesis: Hipótesis: “Es posible agrupar en una metodología las diferentes expresiones de cálculo de los engranajes plásticos que existen en la literatura para posteriormente desarrollar una metodología automatizada de cálculo de estos engranajes que facilite la optimización de ellos con el software necesario”. Objetivo general: Desarrollar un método de optimización multiobjetivo a través de algoritmos genéticos para el diseño de engranajes plásticos cilíndricos de dientes rectos que recopile la información y los criterios dispersos que existen en la literatura. Objetivos específicos: 1. Hacer un análisis de las diferentes fallas de los engranajes cilíndricos de dientes rectos de material plástico. 2. Recopilar la información disponible en la literatura sobre el cálculo de los engranajes plásticos. 3. Incorporar el valor de la temperatura como criterio a tener en cuenta en el diseño de los engranajes plásticos. 4. Establecer los pasos a seguir para el diseño de los engranajes plásticos cilíndricos de dientes rectos. 5. Realizar un análisis de la optimización multiobjetivo aplicada a los engranajes cilíndricos de dientes rectos de material plástico. 7.

(8) Justificación de la investigación: Esta investigación es de suma importancia ya que en la actualidad una de las principales metas es la obtención de productos con los menores gastos posibles y en etapas de tiempo rápidas, por lo que al tener un lenguaje de optimización se pueden llegar a respuestas óptimas en cortas etapas de tiempo. Viabilidad: . El presente trabajo se desarrolla en el laboratorio Triunfo de la Facultad de Ingeniería Mecánica de la Universidad Central “Marta Abreu” de las Villas, y en la planta Centroplast de la INPUD de Villa Clara.. . Se cuenta con la orientación de profesores y especialistas para desarrollar la investigación.. . Se dispone de la bibliografía necesaria para su desarrollo.. Tareas de Investigación: Para alcanzar los objetivos anteriormente planeados, se acometieron las siguientes tareas: 1. Realizar una descripción de los engranajes cilíndricos de dientes rectos de material plástico. 2. Recopilar y organizar el conocimiento teórico y práctico sobre el diseño y fabricación de engranajes plásticos, mediante el análisis del mayor número posible de normas, revistas y textos. 3. Analizar las particularidades de la geometría del diente de los engranajes plásticos 4. Analizar las particularidades de los materiales plásticos, sus características y propiedades mecánicas más importantes. 5. Analizar las diferentes fallas de los engranajes plásticos. 8.

(9) 6. Realizar un análisis de los diferentes métodos de cálculo existentes. 7. Elaborar una metodología de cálculo. 8. Analizar las particularidades de la optimización multiobjetivo a través de algoritmos genéticos, para posteriormente aplicarla a los engranajes cilíndricos de dientes rectos de material plástico. Métodos de Investigación empleados: Entre los métodos científicos empleados en esta investigación se pueden señalar los siguientes: Métodos generales: Se utilizó el método hipotético – deductivo al elaborar la hipótesis y proponer nuevas líneas de trabajo a partir de los resultados parciales de la revisión bibliográfica. Se empleó además el método sistémico para enmarcar el tema de investigación en uno más amplio del Diseño Mecánico para aplicar métodos. computacionales. de. optimización. y. análisis. y. posteriormente. descomponerlo en subsistemas que al unirlos brindan una solución al problema planteado. Métodos lógicos: El método científico fundamental empleado en este proyecto es el analítico-sintético. Mediante el análisis se evaluaron las expresiones para el diseño geométrico de los engranajes plásticos así como las diferentes normas y métodos de cálculo. Ello permitió descubrir las diferencias con los engranajes metálicos y conocer los aspectos aun no investigados dentro de la geometría, la resistencia y la fabricación de engranajes plásticos. El análisis permite también establecer las comparaciones entre el comportamiento de los materiales plásticos, termoestables y termoplásticos, las formas de falla de estos engranajes y los diferentes métodos de fabricación. La síntesis permite integrar las partes analizadas, lo que da como principal resultado el desarrollo de nuevas expresiones de cálculo geométrico y de resistencia de estos engranajes.. 9.

(10) También se emplea el método inductivo-deductivo. Mediante el estudio de las características funcionales de los engranajes metálicos, se pudo deducir expresiones equivalentes para los engranajes plásticos. Métodos empíricos: Se utilizó el método coloquial para la presentación y discusión de los resultados en sesiones con el tutor y varios profesores del departamento. Aportes esperados de la investigación: Se recopilan expresiones existentes para el diseño de los engranajes cilíndricos de dientes rectos de materiales plásticos. Se tienen en cuenta en estas expresiones aspectos tan importantes como las diferentes normas de cálculo para transmisiones por engranajes plásticos. Entre otras la investigación reportará las siguientes ventajas: Ahorro de materiales. y posible sustitución de engranajes metálicos por. engranajes plásticos. Mayor rapidez en la elaboración de los diseños. Mayor durabilidad de los engranajes plásticos diseñados por la metodología elaborada. Superior calidad técnica de las soluciones, dada por la realización de cálculos y comprobaciones que en la práctica no se realizan o cuando se realizan se hacen sin el uso de técnicas precisas. Aplicación de programas informáticos para la obtención de soluciones óptimas. Novedad científica del trabajo. El autor defiende como novedades científicas de la investigación las siguientes: Un método de cálculo de resistencia al contacto para engranajes cilíndricos de dientes rectos de material plástico. La influencia de la temperatura en el diseño de los engranajes plásticos cilíndricos de dientes rectos. 10.

(11) Un método de optimización multiobjetivo utilizando algoritmos genéticos. El valor práctico del trabajo se deriva de la automatización del diseño y la optimización de los engranajes cilíndricos de dientes rectos de material plástico.. 11.

(12) Capítulo 1: Generalidades de los engranajes plásticos. 1.1 Marco teórico Mundialmente los engranajes más utilizados y de los que existe una vasta experiencia son los metálicos, pero en los últimos años ha existido una proliferación de los engranajes plásticos y esto viene dado esencialmente a su bajo costo y a las mejoras de las propiedades mecánicas que con el decursar de los años de estudio se han logrado. En la actualidad no existe una base sólida sobre los engranajes plásticos, por lo cual es tema de estudio para los ingenieros de hoy en día, pero sin duda alguna estos presentan una serie de beneficios sobre los metálicos que no se deben dejar pasar como son el bajo peso e inercia de estos, la reducción de ruidos, la no necesidad de lubricación y otros parámetros de vital importancia en las aplicaciones con engranajes, sin embargo poseen desventajas entre las que se pueden destacar la ineficiencia a elevadas temperaturas y la intolerancia a agentes químicos en el ambiente. En la literatura que se puede encontrar sobre este tema existen algunas lagunas en cuanto a las fallas de estos engranajes, los métodos de cálculo a resistencia y sobre los posibles materiales con sus propiedades mecánicas que se pueden utilizar en su elaboración. Debido a esto en la actualidad cuando un engranaje plástico tiende a fallar siempre se culpa a la baja calidad de los materiales y nunca se tiene en cuenta a los proyectistas y constructores de estos que realmente no dominan la teoría y práctica de los engranajes plásticos. Un error que cometen los ingenieros a la hora de la elaboración de estos tipos de engranajes es que tratan de remplazar los metálicos con materiales plásticos utilizando el mismo diseño, lo cual no es posible debido a que existen diversas diferencias entre las propiedades mecánicas, métodos de fabricación, geometría y cálculo de los engranajes plásticos y los metálicos.. 12.

(13) Estos engranajes son usados fundamentalmente en mecanismos de precisión donde se transmite una baja potencia, sin embrago ya hoy en día se ha podido llegar a potencias de alrededor de 50 Kw. Para su elaboración existen dos métodos fundamentales que son a través de inyección de plástico y a través del procesos de maquinado. Los obtenidos a partir del primer proceso poseen la ventaja que pueden ser reforzados con fibra de vidrio(esta posee varias características que aumentan la resistencia de estos engranajes como son su resistencia a altas temperaturas, resistencia mecánica [con una resistencia específica(tracción/densidad) superior a la del acero] y que permanece inerte ante los ácidos además del bajo costo de sus materias primas), y agregarles algunos adhesivos anti-fricción, aparte de poseer superficies más duras y más lisas, la única diferencia es que a partir del procesos de maquinado se pueden obtener mayores dimensiones. 1.2 Materiales Actualmente podemos encontrar una diversidad de materiales para el diseño de engranajes plásticos, sin embargo los podemos agrupar solamente en dos grupos que son los: termo-plásticos y los termo-estables [1]. 1.2.1 Termo-plásticos Es un plástico que, a temperatura ambiente, es plástico o deformable, se convierte en un líquido cuando se calienta y se endurece en un estado vítreo cuando se enfría lo suficiente. La mayoría de los termoplásticos son polímeros de alto peso molecular, los que poseen cadenas asociadas por medio de débiles fuerzas Van der Waals (polietileno); fuertes interacciones dipolo-dipolo y. un enlace de. hidrógeno, o incluso anillos aromáticos apilados (poliestireno). 1.2.2 Termo-estables Los plásticos termoestables son materiales que una vez que han sufrido el proceso de calentamiento-fusión y formación-solidificación, se convierten en 13.

(14) materiales rígidos que no vuelven a fundirse. Generalmente para su obtención se parte de un aldehído. Esta clasificación depende esencialmente. de las cadenas de polímeros, si la. cadena permanece lineal y separada después del moldeo estamos en presencia de un termo-plástico, y si la cadena se convierte en una cadena tridimensional reticulada estamos en presencia de un termo-estable. Además los polímeros termoplásticos difieren de los polímeros termoestables en que después de calentarse y moldearse éstos pueden recalentarse y formar otros objetos, ya que en el caso de los termoestables o termo-duros, su forma después de enfriarse no cambia y este prefiere incendiarse. La siguiente tabla (tabla 1) presenta los materiales, tanto termo-plásticos como termo-estables más comúnmente usados.. 14.

(15) Tabla 1. Materiales termo-plásticos y termo-estables más utilizados en los engranajes plásticos MATERIALES TERMO-PLÁSTICOS. TERMO-ESTABLES. ABS(Acrylonitrile-butadiene-styrene). Alquídicos. Acetal. Alilos. Acrílico. Amino (urea y melamina). Celulósicos. Resinas epóxicas. Fluoroplásticos. Resinas fenólicas. Nylon. Poliéster. Poliamidas. Poliuretano. Policarbonato. --. Poliéster. --. Poliestireno. --. Poliuretano. --. Cloruro de polivinilo (PVC). --. 1.3 Propiedades de los materiales termo-plásticos y termo-estables Para la ingeniería a es de vital importancia conocer las propiedades de los materiales que se van a utilizar en el diseño de engranajes, ya que a partir de estas propiedades se puede saber en que aplicaciones se van a utilizar, a 15.

(16) continuación se muestran las propiedades de los materiales más usados en el diseño de engranajes plásticos: 1.3.1 Termo-plásticos ABS: este material es muy tenaz, pero es. duro y rígido; en cuanto a su. resistencia química esta es aceptable; posee baja absorción de agua por lo tanto buena estabilidad dimensional; alta resistencia a la abrasión y puede. ser. recubierto con una capa metálica con facilidad. Acetal: es un plástico rígido usado en ingeniería con estabilidad dimensional excepcional, posee poca absorción de agua, además de ser resistente químicamente, tiene como desventaja su baja resistencia al impacto. Acrílico: se compone de un polímero, es un termo-plástico brillante y resistente de 10 a 20 veces más que el vidrio y con la mitad del peso en relación a este. Posee una. excelente resistencia a la intemperie en exteriores, su resistencia. química es aceptable y tiene una alta claridad óptica. Celulósicos: familia de materiales tenaces y duros, los márgenes de las propiedades son amplios debido a las composiciones; disponible con diversos grados de resistencia a la intemperie, humedad y productos químicos;. la. estabilidad dimensional es de aceptable a mala; posee colores brillantes. Fluoroplásticos: compuestos por una gran familia dentro de los que podemos mencionar a PTFE, FEP. PFA, CTFE, ECTFE, ETFE y PVDF. Estos son caracterizados por una buena resistencia eléctrica y química y estabilidad sobresaliente a altas temperaturas. Nylon: es un polímero sintético que pertenece al grupo de las poliamidas. Poseen buena resistencia a la tracción además de un bajo coeficiente de fricción, su resistencia química es buena. Al nylon se le puede agregar fibra de vidrio para. 16.

(17) aumentar su rigidez, en la tabla 3 se muestra un ejemplo con un 25% de fibra de vidrio de como varían las propiedades de este. Poliamidas: se caracterizan por su óptima propiedad mecánica, resistencia al desgaste, bajo coeficiente de fricción, puntos de fusión elevada, buena resistencia al impacto y alta resistencia a la fatiga, además tienen gran resistencia al calor (500ºF continuos, 900ºF intermitente) y al envejecimiento por el calor. Policarbonato: tiene la más alta resistencia al impacto de los materiales transparentes rígidos; estabilidad en exteriores y resistencia a la deformación plástica bajo carga excelentes; su resistencia a los productos químicos es aceptable, su resistencia a la compresión es superior a los 80 Mpa. Poliéster: buena estabilidad dimensional, no es adecuado para uso en exteriores o en instalaciones para agua caliente. Para darle mayor resistencia mecánica suelen ir reforzados con cortante, también llamado endurecedor o catalizador. Poliestireno: tiene relativamente poca resistencia a la temperatura, ya que reblandece entre 85 y 105 °C (el valor exacto depende del contenido en aceite mineral), tiene muy baja conductividad eléctrica (típicamente de 10-16 S m-1). Las ventajas fundamentales son su facilidad de uso y su costo relativamente bajo. Poliuretano: es un material tenaz, de extrema resistencia a la abrasión, al impacto, al desgaste y a las bajas temperaturas. Además tiene alta resistencia a grasas, aceites, oxígeno y ozono. Cloruro de polivinilo (PVC): en la industria existen dos tipos, los rígidos y los flexibles. Tiene una elevada resistencia a la abrasión, junto con una baja densidad (1,4 g/cm3), buena resistencia mecánica y al impacto.. 17.

(18) 1.3.2 Termo-estables Alquídicos: propiedades eléctricas y resistencia al calor excelentes; más fáciles y rápidos de moldear que la mayoría de los termoestables; no son productos volátiles. Alilos: estabilidad dimensional y propiedades eléctricas sobresalientes; fáciles de moldear, excelente resistencia a la humedad y a los productos químicos a temperaturas altas. Amino (urea y melamina):. posee buena resistencia a la abrasión y a los. disolventes; en el caso de la urea se moldea con mayor rapidez y cuesta menos que la melamina; la melamina tiene una superficie más dura y una alta resistencia al calor y a los productos químicos. Resinas epóxicas: una de las principales ventajas es que dependiendo del peso molecular pueden tener muchas aplicaciones. Sus principales propiedades son su buen aislamiento eléctrico, buena resistencia mecánica, a la humedad y además de resistir temperaturas elevadas tienen poca contracción al ser curadas lo que las hace superiores en propiedades a los demás materiales. Resinas fenólicas: poseen un buen equilibrio entre sus propiedades. Su resistencia a la tracción está dada entre 2.5 y 8.4 Kg/mm 2 . Pueden resistir temperaturas desde 116 ° C hasta 175 ° C y generalmente son de color oscuro. Poliéster: es muy resistente a la humedad, a los productos químicos y a las fuerzas mecánicas. No libera volátiles durante el curado, pero la contracción en el moldeo es alta, puede ser además de poliéster termo-estable poliéster termoplástico. Poliuretano: posee un coeficiente de transmisión de calor muy bajo, tienen una alta resistencia a la absorción de agua y adecuado para piezas grandes hechas 18.

(19) de espuma, ya sea en tipos rígidos o flexibles, al igual que el poliéster puede ser termo-plástico o termo-estable. En la siguiente tabla (tabla 2) se muestran las propiedades físicas de varios plásticos utilizados en la elaboración de engranajes de este tipo. Tabla 2. Propiedades físicas de materiales plásticos usados en la confección de engranajes [5] Material. Acetal. Fuerza de. Fuerza de. Módulo de. Absorción. Dureza. tensión. flexión. compresión. de agua (%. Rockwell. (psix103). (psix103). (psix103). en 24 hrs). 8.8-1.0. 13-14. 410. 0.25. M94 R120. ABS. 4.5-8.5. 5-13.5. 120-200. 0.2-0.5. R80-120. Nylon 6/6. 11.2-13.1. 14.6. 400. 1.3. R118-123. Nylon 6/10. 7 – 8.5. 10.5. 400. 0.4. R111 M70. Policarbonato. 8 – 9.5. 11 – 13. 350. 0.15. R112. Poliestireno. 1.9 – 4. 5.5 – 12.5. 300 – 500. 0.05 – 0.10. M25 – 69 M29. 4.5 – 8. 7.1. 85. 0.60 – 0.80. R90. Cloruro. 6–9. 8 – 15. 300 – 400. 0.07 – 0.40. Polysulfone. 10.2. 15.4. 370. 0.22. R100 – 120 M69 R120. MoS2- relleno. 10.2. 10. 350. 0.4. D785. de alto impacto Poliuretano Polivinilo. con Nylon 19.

(20) En la actualidad también tiene una gran aplicación las resinas Alphatic polyketone (PK), este polímero ofrece un balance único de cualidades mecánicas, tribológicas-químicas y de moldeabilidad. Algo que podemos destacar es que los materiales termoestables pueden ser utilizados a mayores temperaturas de operación, pero sin embargo los termoplásticos tienen un mejor comportamiento a la fatiga. Actualmente se está utilizando la inclusión de fibra de vidrio para aumentar la dureza de estos engranajes ya que esta posee una resistencia mecánica, con una resistencia específica (tracción/densidad) superior a la del acero, además de su bajo coeficiente de dilatación y su bajo costo en el mercado. Tabla 3. Propiedades del Nylon con un 25% de fibra de vidrio [2] Temperatura de uso. 40 a 170 °C. Tensión de rotura. 100 a 160 Mpa. Elongación. 3 a 4%. Resistencia a la flexión. 130 a 230 Mpa. Dureza Brinell. 112 a 122. Coeficiente de expansión térmica. 3,5x10-5 °C. Resistencia al impacto. 170 J/m. Absorción de agua en aire húmedo. 2,2 a 2,7%. 1.4 Refuerzos para engranajes En la actualidad a la hora de confeccionar un engranaje se utilizan diversas fibras para aumentar sus propiedades, estas fibras son conocidas como refuerzos que aumentan en cierto grado las propiedades mecánicas a las cuales son sometidos los engranajes. Entre los refuerzos más populares en la actualidad encontramos los refuerzos a base de fibras de vidrio, las fibras de carbono y el aramid. Ellas 20.

(21) también constituyen formas para atenuar las fallas que estos engranajes presentan. Los refuerzos de fibra de vidrio y de carbono le proporcionan a los engranajes una gran. resistencia. a. las. fuerzas. y. tensiones. mecánicas,. reduciendo. considerablemente el factor de carga. En el caso de la fibra de vidrio esta posee características especiales, que la sitúan en una de las más utilizadas debido a su bajo costo y a que poseen buenas propiedades mecánicas, además de soportar elevadas temperaturas lo cual es muy importante en el diseño de los engranajes de este tipo. Con solo la inclusión de fibras disminuye considerablemente el factor de desgaste de la mayoría de los sistemas a base de resinas, y con la combinación de PTFE y estos refuerzos de fibra se produce una reducción extensa de este factor. Por situar un ejemplo podemos decir que para el Nylon 6/6 lubricado con un 15% PTFE y reforzado con fibras típicas (30% de fibra de vidrio y carbono, y 10% para el aramid) los factores de desgaste se reducen a menos de 20. Cabe destacar que estas fibras también en ocasiones poseen desventajas dejándose ver que las de vidrio y carbono inducen una contracción anisotrópica en el molde, lo que en ocasiones puede provocar que los engranajes producidos no tengan buena precisión [4]. La siguiente tabla (tabla 4) muestra una comparación de las propiedades para el Nylon 6/6 utilizando diferentes fibras de refuerzos.. 21.

(22) Tabla 4. Comparación. de las propiedades del Nylon 6/6 reforzado con. diferentes fibras [4] Unidades. Sin. 10%. 10%. 10%. reforzamient. vidrio. carbono. aramid. o Reducción. % flujo. 1.5/1.8. 0.6/1.1. 0.6/1.1. 0.8/1.1. Tensión de. psi. 12500. 14000. 20000. 13500. psi. 410000. 650000. 1000000. 520000. Estático/dinámic o. 0.22/0.28. 0.21/0.2. 0.18/0.2. 8. 4. 0.23/0.2 5. Pulg5-min/pie-lbhr. 200. 80. 65. contacto Fuerza de flexión Coeficient e de fricción Factor de desgaste. 30. En la actualidad se viene trabajando en el empleo de fibras largas para lograr una sustitución de los engranajes de metal, para tener una idea, una comparación de las propiedades del uso de las fibras de vidrio largas y cortas para el Nylon 6/6 con un 40% de fibras de vidrio y 10% de PTFE revela mejoras significativas en los esfuerzos de flexión e impacto para el refuerzo de fibra larga. En este caso el régimen de desgaste no aumenta drásticamente ya que el número de extremos de fibra se reduce. En la siguiente tabla (tabla 5) se muestran las propiedades mecánicas de algunos plásticos utilizados en ingeniería comparados con algunos metales.. 22.

(23) Tabla 5. Propiedades mecánicas de algunos materiales usados en ingeniería. Propiedades. Unidades. Material. Densidad Resistencia a la Tracción Módulo de elasticidad Resistencia relativa al peso Coeficiente de expansión térmica lineal. g/cm3 MPa. Nylon 1.15 83. Torlon 1,41 124. Bronce 8,8 152. Acero 7,84 248. Aluminio 2,7 207. MPa. 2,75*103. 1,1*105. 2*105. 2,9*104. Acero=1. 2,27. 4,13*10 3 2,78. 0,54. 1. 2,41. mm/mm/ºK. 100*10-6. 28*10-6. 20*10-6. 12*10-6. 24*10-6. 1.5 Fallas en los engranajes plásticos Los engranajes plásticos también están expuestos a las fallas, entre las principales fallas que pueden ocurrir en un engranaje de este tipo podemos encontrar [2, 4]: Desgaste adhesivo: ocurre producto de las soldaduras intermitentes de pequeñas áreas de un diente en el otro diente conjugado, si ocurre a un nivel microscópico el resultado es un desgaste pequeño y uniforme. En estos engranajes tanto como en los metálicos si los materiales de los engranajes son diferentes existe un mejor comportamiento al desgaste, en ocasiones es conveniente poner a engranar una rueda metálica con una plástica. Además en el caso particular que las dos ruedas sean plásticas es aconsejable que al menos una de ellas contenga Politetrafluoroetileno (PTFE), lo cual ayuda a disminuir el desgaste. Desgaste abrasivo: tiene lugar cuando partículas de un engranaje o suciedades entran dentro de las superficies de contacto, también puede ocurrir si uno de los engranajes (el metálico, en caso de usarse) tiene una superficie más rugosa que el otro, lo que ocurre es que las partículas de la superficie más dura penetran en 23.

(24) la superficie más blanda arrancando pedazos de material de la superficie, cuando son diseñados no se debe trabajar para este tipo de desgaste sino buscar una forma de evitarlo. En la figura 1 se muestra un desgaste en una rueda dentada plástica.. Figura 1. Aguzamiento del diente debido al alto desgaste [4] Picadura: esta es una falla superficial que ocurre cuando se excede el límite de endurancia del material. Si las cargas son lo suficientemente altas y los ciclos de tensiones se repiten frecuentemente se fatigan porciones de la superficie que posteriormente se desprenden. La zona del polo recibe la mayor tensión y es la más propensa a la picadura. Flujo plástico: este se produce debido a las altas tensiones de contacto y la acción de la rodadura y deslizamiento que se produce durante el engranamiento. De hecho es una deformación de la superficie debido a la fluencia del material en la superficie y sub-superficie. El flujo plástico inicial es en la dirección radial y puede no ser destructivo ya que el mismo puede atenuarse, en casos más severos el flujo será en la dirección axial. Fractura: esta es la falla que más se puede encontrar en los engranajes plásticos y es producto de las sobrecargas debido a los ciclos de tensiones aplicadas al diente, los cuales sobrepasan los límites de endurancia del material. Ocurre 24.

(25) generalmente en el radio de redondeo de la raíz del diente y se propaga alrededor de la base del mismo (figura 2).. Figura 2. Fractura del diente debido a la sobrecarga [4] Fatiga por ciclo térmico o ablandamiento parcial o global del diente: ocurre cuando se eleva considerablemente la temperatura y por tanto disminuye la resistencia del material. Esta se produce como la deformación del diente en la zona polar, perdiéndose el paso y en ocasiones doblando el diente. Este tipo de falla ocurre debido a que las tensiones sobre el diente siempre resultan en una especie de histéresis de calentamiento que incrementa considerablemente la temperatura del material, ya que los plásticos son buenos aislantes (figura 3).. Figura 3. Deformación del diente debido al excesivo calor [4] 25.

(26) Los diferentes tipos de fallas pueden ser atenuadas mediante modificaciones geométricas del diente, mayor precisión en los métodos de cálculo y un mejoramiento en las propiedades del material, además de la utilización de refuerzos como la fibra de vidrio o las de carbón, aunque existen firmas como la Intech que plantean la importancia del diseño de engranajes plásticos con un núcleo metálico, lo que trae como ventajas una mayor disipación de calor y una sujeción del engranaje más segura al árbol ( figura 4).. Figura 4. Engranajes plásticos con núcleo de metal 1.6 Geometría Otro aspecto a tener en cuenta a la hora de diseñar engranajes plásticos es su geometría, ya que existen diversos tipos de geometría entre las que podemos mencionar cilíndricos de dientes rectos exteriores, cilíndricos de dientes rectos interiores, cónicos y tornillos sin fin. Estos engranajes poseen diversas particularidades respecto a los metálicos, pero tradicionalmente el perfil del diente utilizado es el evolvente con un ángulo de presión de 20 0, aunque podemos señalar que. la Plastic Gearing Technology, Inc. de Manchester [3, 4]. ha. modificado los patrones de involuta en cuatro formas, entre las que podemos 26.

(27) encontrar la PGT 1 (figura 5) que es la que produce los dientes con la forma más fuerte y se usa en aplicaciones donde se necesita una mayor potencia, y la PGT 4 que es el otro extremo, es decir la herramienta que se utiliza para accionamientos de mecánica de precisión.. En cuanto a la PGT 1 la ISO ha realizado una. modificación llamándola ISO R53 Modificada (figura 6), en esta se usa diferente nomenclatura, la ISO usa el sistema métrico del módulo (m), mientras que en la PGT 1 se utiliza el diametral Pitch (P d).. Figura 5. PGT 1 [4]. 27.

(28) Figura 6. ISO R53 Modificada [4] También podemos encontrar la norma AGMA que por su parte establece además de la tradicional AGMA PT, las cremalleras adicionales XPT-2, XPT-3 y XPT-4 siendo el uso de estas opcionales pues las mismas son experimentales. A continuación se muestran los datos correspondientes a las diferentes cremalleras tradicionales usadas por la norma AGMA e ISO para módulo unitario (tabla 6).. 28.

(29) Tabla 6. Valores de los diferentes parámetros de las cremalleras AGMA e ISO [2] Parámetro. AGMA PT. ANSI/AGMA. ISO 53 (1974). 1003-G93 Paso. Paso grueso. fino Ángulo del perfil. 20 0. 20 0. 20 0. Paso circular. 3.1416. 3.1416. 3.1416. Espesor del. 1.57080. 1.57080. 1.57080. Addendum. 1.00000. 1.00000. 1.00000. Profundidad total. 2.33000. 2.20000. 2.25000. Radio de. 0.43032. .0.00000. 0.30000. Deddendum. 1.33000. 1.20000. 1.25000. Profundidad de. 2.00000. 2.00000. 2.00000. Clarencia. 0.33000. 0.20000. 0.25000. Form dedundum. 1.04686. 1.2. 1.05261. Espacio entre. 1.57080. 1.57080. 1.57080. diente. redondeo. trabajo. dientes. En la geometría de los engranajes plásticos hay que tener en cuenta dos aspectos esenciales que son el alivio de la punta (Tip relief) y el aumento del radio de 29.

(30) redondeo del pie del diente. El primero consiste en el afilamiento o estrechamiento de la cabeza del diente y el segundo se debe a que los engranajes plásticos son muy sensibles a las entallas y con un alto radio de redondeo se elimina el socavado (figura 6).. Figura 7. Cremallera para producir alivio en la cabeza del diente, donde, Rac es el radio de redondeo y ARac es la altura a la que se comienza a redondear la cabeza de la cremallera [2] 1.7 Lubricación [2, 4, 5] Está demostrado que los engranajes trabajan mucho mejor lubricados que sin lubricación. En el caso de los plásticos esta puede ser reducida y en ocasiones eliminada, muchas veces la lubricación solo se tiene en cuenta dependiendo del tipo de aplicación, pero siempre es recomendable que al menos en el montaje este presente, muchos autores recomiendan una lubricación periódica de estos ya que se puede mejorar la vida de ellos, además los engranajes plásticos son inertes a los lubricantes comunes por lo cual trabajan sin dificultad en este medio.. 30.

(31) De acuerdo a L.D. Martin [6]: 1. Todos los engranajes lubricados pueden tener una mayor efectividad y un mayor servicio de vida útil. 2. Usualmente son recomendados los aceites de ligera viscosidad (SAE 10), los cuales incorporan aceites de silicona e hidrocarbono y en algunos casos es aceptada el agua fría. 3. Bajo ciertas condiciones, los lubricantes secos, tales como el disulfuro de molibdeno, se puede utilizar para reducir la fricción del diente. Para los engranajes reforzados con fibra de vidrio u otro material es recomendable usar baños de aceite como lubricación y para las aplicaciones donde no está permitida el uso de grasas o lubricantes muchas veces se utilizan engranajes auto- lubricados (aquí se le adiciona PTFE (politetrafluoroetileno), silicón o grafito). En el caso del PTFE cuando el 20% de este es PES (politersulfone) el coeficiente de fricción dinámica se reduce desde 0.37 hasta 0.11, y el factor de desgaste disminuye desde 1500 hasta 32. Para tener una idea, un engranaje elaborado con un material con un factor de desgaste por encima de 200 indica que posee una relación de desgaste alta e inaceptable, lo que revela que este material es inadecuado para la mayoría de las aplicaciones donde son usados los engranajes de material plástico, por el contrario si el factor de desgaste es inferior a 200 el material a utilizar es potencialmente viable para la confección de engranajes. Es recomendable que una pareja de engranajes plásticos al menos uno contenga PTFE, ya que así se previene la formación de la capa de arrastre o traslado, ya que el PTFE actúa en los termoplásticos formando una película delgada de lubricante entre los engranajes, lo que arroja como resultado una baja fricción entre ellos, además de un bajo desgaste. A la hora de diseñar un engranaje el diseñador es el que decide la presencia de la lubricación o no, y el tipo de lubricante a utilizar. Por lo general los engranajes plásticos no lubricados fallan debido al desgaste o al ablandamiento producto del 31.

(32) sobrecalentamiento del flanco del diente, pero a la hora de elegir el lubricante que se va a utilizar en caso de que exista la lubricación se debe tener mucho cuidado ya que este puede producir grandes cambios en las propiedades y dimensiones del engranaje. Conclusiones parciales del capítulo 1 . La selección adecuada del material para el diseño de un engranaje plástico es de suma importancia ya que de esta selección va a depender en gran medida la resistencia de dicho engranaje.. . Las fallas de los engranajes plásticos poseen un carácter similar a los de los engranajes metálicos, aunque en el caso de los plásticos se debe tener en cuenta la elevación de la temperatura, el ablandamiento, deformación del material y la fractura del diente que es una de las fallas esenciales de los engranajes plásticos.. . La geometría de estos engranajes juega un papel determinante, ya que a través de esta se pueden hacer diversas modificaciones que no siempre se pueden realizar en los engranajes metálicos.. . En cuanto a la lubricación la presencia de ella va a ser en dependencia del diseñador pero es recomendable su utilización para un mayor servicio de vida útil.. 32.

(33) Capítulo 2: Metodología de cálculo de los engranajes plásticos. A la hora de realizar el cálculo de cualquier tipo de engranaje se debe tener en cuenta primeramente la naturaleza del mismo, es decir, el mecanismo del engranaje. Cada diente del engranaje es una viga en voladizo soportada en un extremo; el contacto producido entre los dientes al entrar en movimiento el engranaje intenta doblar la viga y trasquilarla del volumen del material. Por tanto un material para engranajes necesita tener alta resistencia a la flexión y rigidez. La parte más importante de un engranaje son los dientes ya que estos son los que facilitan el movimiento. o potencia según requiera la aplicación, sin estos el. engranaje simplemente sería una rueda con poca funcionalidad. Por ello a la hora del cálculo de los engranajes hay que prestar vital atención a la carga que estos dientes pueden soportar, porque de aquí depende en gran medida la vida útil que estos van a poseer. Para el cálculo de los engranajes plásticos cilíndricos de dientes rectos exteriores existen diferentes métodos de cálculo los cuales. son empleados para lograr. determinar ciertos requisitos en cuanto a potencia y velocidad. Entre estos métodos podemos mencionar. a. Dvorak, Kelley, Faires y Moya, ellos nos. permiten evaluar la resistencia de estos engranajes y así lograr un mejor funcionamiento de ellos. Ahora antes de seleccionar el método de cálculo a emplear cabe destacar algunos aspectos que son necesarios en el diseño de los engranajes plásticos entre los que podemos mencionar: 2.1 Temperatura de trabajo Uno de los principales aspectos que hay que tener en cuenta y que es de suma importancia es la determinación de la temperatura, ya que un incremento no deseado de esta puede llevar a una falla del engranaje por flujo plástico o de fatiga por ciclo térmico. Según estudios realizados en la escuela Politécnica de Montreal [3] es posible predecir la máxima temperatura superficial de dos dientes plásticos engranados por la expresión que se presenta a continuación: 33.

(34) Tmax  C0 * Ft c1 *V c 2 * m c 3  Ta Dónde: . Tmax- temperatura máxima de la superficie en 0C.. . Co, C1, C2 y C3 – coeficientes de regresión según tabla 7.. . Ft- fuerza tangencial por unidad de longitud en N/mm.. . V- velocidad lineal en el polo en m/s.. . m- módulo en mm.. . Ta- temperatura ambiente.. Tabla 7. Coeficientes de regression [4] Material. Co. C1. C2. C3. Nylon 6-6. 0.2354. 0.755. 0.42. 0.502. Acetal. 5.556x10-2. 1.08. 0.354. 0.225. UHMWPE. 1.985x10-4. 1.76. 0.831. 0.687. 2.2-Cálculo de la distancia entre centros En cuanto a la geometría un parámetro que hay que prever es el incremento de la distancia entre centros para el buen funcionamiento de los engranajes debido a la dilatación térmica. Esta distancia entre centros se puede determinar mediante la expresión [2, 4]: ∆. =. Dónde:. + 2. +. ( − 70). ∝ ∗. +∝ ∗ +. −∝. +. ∗. +. +. ∗. ∗. −. +. + 2. 34.

(35) . ∆aw – Incremento requerido en la distancia entre centros en mm.. . Tct – Tolerancia combinada total máxima del engranaje en mm (La tolerancia total combinada es la suma de las tolerancias de los índices comunes de precisión (precisión cinemática, suavidad de trabajo y contacto entre los dientes)).. . aw – Distancia entre centros sin tener en cuenta la temperatura en mm.. . T – temperatura de operación en 0C.. . α – Coeficiente de expansión térmica lineal en mm/mm 0C.. . Z – Número de dientes.. . M – Expansión debida a la absorción de humedad (tabla 8) en mm/mm.. . RTI – Error de circularidad indicada en los cojinetes.. Tabla 8. Expansión debida a la absorción de humedad de determinados materiales [4] Material. M (mm/mm). Acetal. 0.0005. Nylon 6/6. 0.0025. Nylon 6/6 + 30% de fibra de vidrio. 0.0015. Policarbonato. 0.0005. Si el material con el que se está trabajando no se encuentra en la tabla 8, entonces se emplea el valor del policarbonato para materiales de baja humedad y el valor del nylon 6/6 para materiales que absorben el agua. 35.

(36) 2.3 Resistencia superficial de los engranajes La resistencia superficial de los engranajes cilíndricos de dietes rectos de material plástico se puede determinar mediante las derivadas de la ecuación de Hertz aplicadas a este caso en particular, para ello utilizaremos diferentes expresiones para lograr una comparación de resultados a través de ellas. La primera ecuación a analizar es utilizada para el análisis por el método de elementos finitos (MEF), esta parte de la teoría de Hertz, dicha expresión está dada por [7]:. Dónde:. ∗ ∗ ∗ ∗. . F –Fuerza de contacto en kgf.. . Er –Módulo de reducción.. . b –Ancho de la rueda en mm.. . Rr –Radio de reducción en mm.. El módulo de reducción (Er) es determinado por la expresión:. = Dónde: . µg/p –Coeficiente de Poisson (tabla 10).. . Eg/p –Módulo de Young (tabla 9). 36.

(37) El radio de reducción (Rr) es determinado por la expresión: =. 1. Dónde: . 1. +. 1. Rg/p – Radio de curvatura en el flanco del diente.. Tabla 9. Módulos de Young para materiales plásticos [7, 8] Material. Módulo de Young (GPa). Stanyl GF30. 10. Stanyl UF 23°C. 3. Stanyl UF 140°C. 0.7. ABS. 1.7. Nylon. 1.4-2.75. Acrílico. 6. Polietileno. 0.8. Poliestireno. 5. PVC rígido. 2.4-2.75. 37.

(38) La segunda ecuación a analizar es derivada de la ecuación de Hertz sobre la teoría de la fuerza de contacto entre dos cilindros, modificada para la corona [4]: =. ∗. Dónde:. ∗. 1−. 1. +. 1−. ∗. ∅∗ 2. 1 ∅. ∗. +1. . SH – Superficie de contacto.. . Wt – Potencia transmitida en Hp.. . Dp – Diámetro Pitch para el piñón.. . f – Ancho del diente en pulg.. . µ - Coeficiente de Poisson para materiales plásticos (tabla 10).. . E – Módulo de elasticidad en MPa.. . Ø – Ángulo de presión.. . m – Relación de transmisión (Zc/Zp).. . Z – Numero de dientes.. 38.

(39) Tabla 10. Coeficientes de Poisson para materiales termoplásticos sin reforzamiento [5] Polímero. µ. ABS. 0.33. Acetal. 0.35. Nylon 6/6. 0.39. Acrílico. 0.33. PPO modificado. 0.38. Policarbonato. 0.36. Poliestireno. 0.33. PVC. 0.38. TFE (Tetrafluorethylene). 0.46. FEP (Fluorinated. 0.48. Ethylene Propylene) Stanyl GF30. 0.4. Stanyl UF 23°C. 0.4. Stanyl UF 140°C. 0.45. 39.

(40) Para la tensión superficial. entre los dientes de contacto también se puede. emplear la siguiente expresión (esta expresión es utilizada para el Duracon M90) [5]: ∗ ( + 1) ∗ ∗ ∗. =. Dónde:. 1. +. 1. 1.4 ∗. (2 ). ≤[. ]. . F – Fuerza tangencial en kgf.. . b – Ancho del diente en mm.. . d1 – Diámetro de paso del piñón en mm.. . u – Relación de transmisión (Z2/Z1).. . E – Módulo de elasticidad del material en kgf/mm 2 (figura 8).. . α – Ángulo de presión en grados.. . σH – Tensión admisible del material en kgf/mm 2.. La fuerza tangencial para esta ecuación puede ser obtenida a partir de la fórmula de Lewis:. F  m * y *b *. b. Dónde: . m – Módulo en mm.. . y – Factor de forma según anexo 1.. . b – Ancho del diente en mm.. .  b -- Tensión permisible en kgf/mm2. 40.

(41) Figura 8. Módulos de elasticidad [5] La tensión permisible para la fuerza tangencial se puede obtener mediante la expresión:. b  b. /. kv kT k L k M CS. Dónde: . b. /. -- Máxima tensión permisible bajo condiciones ideales en kgf/mm2. (figura 9). . KV – Factor de velocidad (figura 10).. . KT – Factor de temperatura (figura 11).. . KL – Factor de lubricación (tabla 11).. . KM – Factor del material (tabla 12). 41.

(42) . CS – Factor de servicio (tabla 13).. Figura 9. Máxima tensión permisible bajo condiciones ideales en kgf/mm 2 [5]. Figura 10. Factor de velocidad [5]. 42.

(43) Figura 11. Factor de temperatura [5] Tabla 11. Factor de lubricación [5] Lubricación. KL. Lubricación inicial con grasa. 1. Lubricación continua con aceite. 1.5 - 3.0. Tabla 12. Factor del material [5] Combinación del material. KM. Duracon vs. metal. 1. Duracon vs. duracon. 0.75. 43.

(44) Tabla 13. Factor de servicio [4] Tipo de carga. 8-10 h/día. 24 h/día. 0.5 h/día. 3 h/día. Constante. 1. 1.25. 0.80. 0.50. Choques ligeros. 1.25. 1.50. 1. 0.80. Choques medios. 1.50. 1.75. 1.25. 1. Choques fuertes. 1.75. 2. 1.50. 1.25. 2.4 Métodos de cálculo Método de Dvorak Este método presenta una ecuación que no es más que una modificación de la ecuación de Lewis, lo que incorpora la velocidad en la circunferencia de paso y el factor de servicio [2, 3].. S. 556  V WPC s  S s  FYV. Dónde: . S- Tensión actuante en la base del diente en lb/pulg2.. . V- Velocidad del polo en pie/min.. . W- Potencia en Kw.. . P- Diámetro Pitch (tabla 14).. . Cs- Factor de servicio (tabla 13).. . F- Ancho del diente en pulgadas.. . Y- Factor de forma o de Lewis (tabla 15). 44.

(45) . [Ss]- tensión admisible en lb/pulg2 (tabla 16).. Tabla 14. Diámetro Pitch y módulos normalizados Módulos y diametral Pitch normalizados 1. 1.25. 1.5. 2. 2.5. 3. 4. 5. preferente. 6. 8. 10. 12. 16. 20. 25. 32. 1.75. 2.25. 2.75. 3.5. 4.5. 5.5. (mm). Módulo. Serie. Serie poco. 1.125 1.375 7. 9. 11. 14. 18. 22. 28. 36. Serie. 20. 16. 12. 10. 8. 6. 5. 4. preferente. 3. 2.5. 2. 1.5. 1.25. 1. 0.75. 0.5. Serie. 18. 14. 11. 9. 7. 5.5. 4.5. 3.5. 2.75. 2.5. 1.75. __. __. __. habitual. Diámetro. Pitch. poco. 0.875 0.625. habitual. En el caso con que no se cuente con la tabla 15 para hallar el diámetro Pitch (el cual es igual al número de dientes por pulgadas en el diámetro primitivo) se puede emplear la expresión que expresa la relación entre el diámetro Pitch y el módulo [1]:. =. 25.4. 45.

(46) Dónde: . m – Módulo en mm.. . Pt – Diámetro Pitch.. Tabla 15. Factor de forma [2] Número de dientes. Dientes de involuta. Dientes de involuta de. de 20°. 20° cortos.. 12. 0,245. 0,311. 14. 0,276. 0,339. 16. 0,295. 0,361. 18. 0,308. 0,377. 20. 0,320. 0,393. 22. 0,330. 0,405. 26. 0,346. 0,424. 30. 0,358. 0,437. 34. 0,371. 0,446. 38. 0,383. 0,456. 43. 0,396. 0,462. 50. 0,408. 0,474. 46.

(47) Tabla 16. Valores de las tensiones admisibles para engranajes plásticos a 700F en lb/pulg2 [2] Reforzado con fibra de. Plástico. Normal. ABS. 3000. 6000. Acetato. 5000. 7000. Nylon. 6000. 12000. Policarbonato. 6000. 9000. Poliéster. 3500. 8000. Poliuretano. 2500. -. vidrio. Método de Kelley Este método emplea para el cálculo de las tensiones la ecuación de Lewis en su variante original [2]..  . FP    fY. Dónde: .  - Tensión actuante en el pie del diente en lb/pulg2.. . [  ]- Tensión admisible del material en lb/pulg2.. . f- Ancho del diente en pulgadas.. . P – Diámetro Pitch (tabla 14).. 47.

(48) . F- Fuerza tangencial transmitida en libras.. o. o . Ft . 2000 * M 2 d2. M 2  9550. N2 n2. Y- Factor de forma del diente (tabla 15).. Método de Faires En este método se realizan diferentes cálculos, donde primeramente se calcula la carga dinámica (Fd) [2].. Fd . 200  3,28V Ft 200  0,82V. Dónde: . Fd- Carga dinámica en Kg.. . V- Velocidad del polo del engranaje en m/min.. . Ft- Fuerza tangencial actuante sobre el diente en Kg.. Posteriormente esta carga dinámica se iguala a la carga actuante según la ecuación de Lewis, Fd=Fs.. Fs . SbYm 10. Dónde: . S- Esfuerzo de cálculo en Kg/cm 2, que depende del módulo, del material y del número de ciclos. 48.

(49) . b- Ancho de la rueda en cm.. . m- Módulo en mm.. . Y- Factor de forma (anexo 2), en dependencia de donde se quiera aplicar la carga, asumiendo un valor para el módulo se puede despejar el ancho de cara necesario para transmitir la potencia dada. Luego se iguala Fd=Fw.. FW  D. Q. p. *b*Q * K. g. 2 * Dg Dg  D p. Dónde: . Dg- Diámetro primitivo de la rueda en cm.. . Dp- Diámetro primitivo de piñón en cm.. . b-Ancho de los dientes en cm.. . Kg- Factor del material que se determina por la siguiente ecuación..  s 2 * sen   1 1   K g   *   1,4   E p E g  Dónde: . s- Tensión admisible a contacto en Kg/cm 2.. .  - Ángulo de presión. 49.

(50) . Ep, Eg- módulo de elasticidad del piñón y la rueda respectivamente.. De los anchos obtenidos por la ecuación de Lewis y por la ecuación de desgaste se toma el mayor. Método de Moya Según Moya la resistencia de una pareja de engranajes plásticos está dada por [2]:. . nFCs    mbY. Dónde: .  - Tensión actuante en el pie del diente en MPa.. . [  ]- Tensión admisible del material en MPa (tabla 17).. . F- Fuerza tangencial aplicada sobre el diente en Newton.. . Cs- Factor de servicio (tabla 13).. . Y- Factor de forma (tabla 15).. . m- Módulo en mm.. . b- Ancho del diente en mm.. . n- Factor de seguridad (se debe tomar entre 1 y 1.7 según la experiencia del autor, los valores mayores se toman para aplicaciones de mayor potencia y temperatura).. 50.

(51) Tabla 17. Valores de la tensión admisible [2] Reforzado con fibra de. Material. Normal. ABS. 27,7. 55,4. Acetato. 45,5. 64. Nylon. 63,7. 127,4. Policarbonato. 63,7. 82. Poliéster. 32. 73. Poliuretano. 23. -. vidrio. 2.5 Posible utilización de engranajes plásticos A la hora de diseñar engranajes plásticos también se debe tener en cuenta la posible utilización de estos, ya que en ocasiones no pueden ser utilizados, para ello contamos con la siguiente expresión: =(. Dónde:. ∗. ∗ ) + (115 ∗. ∗ ). D- diámetro del engranaje en pulg. F- ancho del diente en pulg. n- velocidad de la rueda en rpm. H- potencia transmitida en HP. Z- número de dientes. Ahora si X es: -. 1 o mayor - Se recomienda el uso de plásticos, específicamente de la firma Nylamid.. -. 0,722 a 1 - El engranaje plástico funciona adecuadamente 51.

(52) -. 0,445 a 0,721 - El engranaje tiene pocas propiedades para funcionar adecuadamente.. -. Menos de 0,445 - No debe usarse el plástico para reemplazar el metal.. 2.6 Pasos para el diseño de los engranajes plásticos de dientes rectos Para considerar una metodología de cálculo de engranajes plásticos se deben concebir unas serie de pasos para su diseño óptimo, a continuación se proponen estos pasos para su diseño. 1. Determinar la potencia requerida a transmitir y la velocidad de giro del piñón. 2. Especificar el número de dientes y calcular el diámetro de paso del piñón con el módulo seleccionado. 3. Determinar los valores del ancho del diente, ángulo de presión del engranaje, relación de transmisión y diámetro del engranaje. 4. Buscar el material que se va a emplear en el diseño de los engranajes y determinar todas las propiedades de este. 5. Comprobar si se pueden utilizar engranajes plásticos en la transmisión deseada. 6. Determinar la temperatura de trabajo del mismo para comprobar si el material seleccionado cumple con los requisitos para las condiciones trabajo y determinar la distancia entre centros requerida. 7. Calcular la resistencia superficial de los engranajes (en este trabajo de diploma se proponen tres formulaciones para así lograr una comparación de resultados). 8. Calcular la resistencia a la fractura de los engranajes (se proponen cuatro formulaciones con el objetivo de realizar una comparación de resultados). 52.

(53) 9. Si no llega a un diseño óptimo se repiten nuevamente los pasos anteriores, variando las especificaciones del engranaje a diseñar hasta lograr el diseño requerido. 2.7 Validación a través de una ejemplo de cálculo Con la intención de realizar una comparación de resultados a través de las expresiones anteriores se procedió a efectuar un ejemplo de cálculo, para ello se seleccionó como material a utilizar el Nylon 6/6 y los siguientes datos hipotéticos: W=5kw. C0=0.2354. C1=0.755. C2=0.42. C3=0.502. m=4mm. Ta=250C. Ø=200. Δaw=250mm. Zp=25. Zc=100. n=1500rpm. D=3.94pulg. b=20mm. Ft=1500N. u=4. µ=0.39. Dp=6. Y=0.342. Y=0.34 (para Faires). V=990.71pie/min. Cs=1(carga constante, trabaja 8-10 h/día) Er=0.58 Rr=44.1mm. Cálculo del diámetro de paso = =. ∗ ∗. = 4 ∗ 25 = 100. = 4 ∗ 100 = 400. Comprobación de la posible utilización de los engranajes plásticos =(. ∗. ∗ ) + (115 ∗. ∗ ). = (3.94 ∗ 0.78 ∗ 1500) + (115 ∗ 8.04 ∗ 25) 53.

(54) X=27724.8>1 Se recomienda el uso de engranajes plásticos. Cálculo de la temperatura de trabajo. T max  C 0 * F t c 1 * V = 0.2354 ∗ (75). Tmax=490C. .. c2. * m c3  Ta. ∗ (5.03). .. ∗ (4). .. + 25. Cálculo de la resistencia superficial En este caso solo se emplearon dos de las expresiones mencionadas anteriormente. La primera expresión empleada fue: ∗ ∗ ∗ ∗. . ∗ . ∗ ∗ ∗ .. .. Segunda expresión empleada:. =. =. ∗ ( + 1) ∗ ∗ ∗. 1. 152.9 ∗ (4 + 1) ∗ 20 ∗ 100 ∗ 4. Cálculo de tensiones. +. 1. 1.4 ∗. .. (2 ). ≤[. 1.4. 1 1 20.3 + 20.3 ∗. ]. (2 ∗ 20). =. 1.49. = 14.6. Según Dvorak. S. 556  V WPCs  S s  FYV 54.

(55) =. 55 ∗ (6 + 990.71) ∗ 5 ∗ 6 ∗ 1 6222.79 = 0.78 ∗ 0.342 ∗ 990.71. Según Kelley. = 42.9. Solo tiene en cuenta la geometría en forma y dimensiones del diente y la carga a la cual está sometido.. FP    fY.   =. 337.21 ∗ 6 = 7584.5704 0.78 ∗ 0.342. Según Faires. = 52.2. Primeramente se calcula la carga dinámica (Fd).. Fd  =. 200  3,28V Ft 200  0,82V. (200 + 3.28 ∗ 301.9) ∗ 152.9 = 406.62 200 + 0.82 ∗ 301.9. La carga dinámica (Fd) se iguala a la carga actuante (Fs), para obtener mediante despeje el valor del esfuerzo de cálculo (S).. = =. ∗. ∗ ∗ 10. 10 ∗ ∗ ∗. 55.

(56) 10 ∗ 406.62 298.9 = 10 ∗ 0.34 ∗ 4. =. Según Moya.  =. = 29.31. nFCs    mbY. 1 ∗ 1500 ∗ 1 = 54.8 4 ∗ 20 ∗ 0.342. A continuación se muestra una tabla (tabla 18) con los valores obtenidos para cada método empleado. Tabla 18. Resultados obtenidos en cada expresión Resultados de los cálculos de resistencia superficial Primera expresión. Segunda expresión. 1.76. 14.6. Resultado en Mpa. Resultados de los cálculos de tensión. Resultado en. Método de. Método de. Método de. Dvorak. Kelley. Faires. 42.9. 52.2. 29.31. Método de Moya 54.8. Mpa Después de. observar los resultados obtenidos por los diferentes métodos de. cálculo, especialmente los de tensiones a flexión los cuales no tienen en cuenta los mismos parámetros podemos decir que el método de Kelley y el método de Moya son los que nos arrojan una solución con un menor porciento de diferencia, 56.

(57) en este caso estos métodos tienen en cuenta la geometría como uno de sus parámetros fundamentales. Cuando analizamos los resultados de las expresiones para el cálculo de resistencia superficial se puede apreciar que existe una gran diferencia, esto viene condicionado ya que en la primera expresión se puede realizar el cálculo para todo tipo de material plástico no siendo así en la segunda expresión la cual es desarrollada para el Duracon M90. Conclusiones parciales del capítulo 2 . Para el cálculo de engranajes plásticos existen diversos métodos para determinar las dimensiones de este en función de la solicitación de la potencia los cuales arrojan soluciones diferentes.. . En la literatura que se encuentra actualmente sobre este tema existen varios métodos para el cálculo de engranajes plásticos, sin embargo todos estos métodos están basados en la ecuación original de Lewis para el cálculo a flexión.. 57.

(58) Capítulo 3: Optimización multicriterial de la resistencia de los engranajes cilíndricos de dientes rectos de material plástico. La optimización es una rama de las matemáticas aplicadas que consiste en la recolección de principios y métodos usados para solucionar problemas cuantitativos de muchas disciplinas como física, biología, ingeniería y economía para obtener la mejor o una buena solución. Los métodos de optimización se pueden clasificar en tres tipos: los métodos analíticos (uso del cálculo diferencial, este es insuficiente para problemas no lineales), los métodos numéricos (se emplean los algoritmos) y otros métodos como es el caso de los métodos gráficos, métodos experimentales y estudio de casos. Al usar la palabra optimización en MatLab nos referimos al proceso de búsqueda del mínimo o máximo de una función, denominada comúnmente función objetivo (también conocida como función de error). En la mayoría de las funciones de optimización de MatLab, se requiere la definición de una función (.m) que compute la función objetivo a optimizar. Es decir, la función objetivo realiza una serie de cálculos, que el usuario define y devuelve como parámetro de salida un escalar que será el valor que se pretende minimizar o maximizar. Por ende el objetivo fundamental en todos los métodos de optimización en esencia es obtener, con el menor número posible de evaluaciones de la función objetivo, una representación adecuada de la misma que permita determinar la ubicación del punto óptimo [9]. Existen diferentes problemas de optimización, los cuales se pueden dividir en dos grandes grupos de acuerdo al número de objetivos que se tratan de resolver: los problemas de optimización simple y los problemas de optimización multiobjetivo. La diferencia más grande que se podría encontrar entre los anteriores es que los de optimización simple buscan obtener el mejor diseño o decisión, el cual es regularmente un máximo o mínimo global, según sea el caso de maximizar o minimizar. En cambio en la optimización multiobjetivo puede no existir una solución que sea la mejor con respecto a todos los objetivos. Existe un conjunto de soluciones que son las mejores del resto cuando todos los objetivos son 58.

(59) considerados, pero no tan buenas a otras soluciones al tomar en cuenta uno o más objetivos [10]. Para analizar los problemas de optimización multiobjetivo ante todo debe tenerse en cuenta el concepto de óptimo de Pareto [11, 12] el cual fue formulado por Wilfredo Pareto en el siglo XIX y da inicio al origen de las investigaciones en la materia de optimización multiobjetivo, este está definido por:. Esto quiere decir que la optimalidad de Pareto está definida como un conjunto donde cada elemento es una solución al problema para la que ninguna otra solución puede ser mejor dentro del problema, es decir que una solución P1 es un óptimo de Pareto cuando no existe otra solución P2 tal que mejore en un objetivo sin empeorar al menos uno de los otros. En la mayoría de los problemas de optimización existen ciertas restricciones las cuales pueden aparecer como consecuencias de las características del ambiente de la investigación, estas se deben satisfacer con el fin de establecer soluciones válidas. Todas las restricciones describen dependencias entre las variables de decisión y las constantes (o parámetros), involucrados en el problema. En el caso de este trabajo de diploma se implementará el uso de la optimización multiobjetivo mediante algoritmos genéticos. 3.1 Algoritmos genéticos Los algoritmos genéticos (AG) o programación evolutiva como también se le conoce se pueden definir como técnicas de búsquedas basadas en la teoría de la evolución de las especies de Charles Darwin. Estos se basan en los mecanismos de selección natural que utiliza la naturaleza de acuerdo a los cuales los individuos más aptos de una población son los que sobreviven, al adaptarse más fácilmente a los cambios que se producen en su entorno, por lo cual un algoritmo genético consiste en una función matemática o una rutina de software que toma como entradas a los ejemplares y retorna como salidas cuáles de ellos deben 59.

(60) generar descendencia para la nueva generación. Estos fueron establecidos y desarrollados por John Henry Holland [13] en la década del 1960 bajo el nombre de “planes reproductivos” pero no fue hasta después del 1975 tras la publicación de su libro titulado “Adaptation in Natural and Artificial Systems” (en español: “Adaptación en Sistemas Naturales y Artiﬁciales”) [14] que se le llamó algoritmos genéticos, su popularidad viene dada por ser un método robusto y bien probado dentro de los sistemas naturales. Estos por su parte aunque no garanticen encontrar la solución óptima, si encuentran soluciones con un alto grado de acierto. Principalmente están basados en implementar e integrar dos ideas fundamentales: . Las representaciones simples como strings binarios de las soluciones del problema.. . La realización de transformaciones simples para modificar y mejorar estas representaciones.. Las ventajas de su uso para resolver problemas de optimización multiobjetivo es que estos trabajan de antemano con las poblaciones, lo que facilita la generación del conjunto de soluciones de Pareto, ya que tratan de encontrar tantos elementos del conjunto de Pareto como le sea posible. La siguiente figura (figura 12) muestra la estructura básica de un algoritmo genético [15].. 60.

(61) Figura 12. Diagrama de flujo de la estructura base de un algoritmo genético Los algoritmos genéticos poseen mecanismos de trabajo los cuales parten de una población determinada de cromosomas generados aleatoriamente los cuales generan a una nueva población empleando un mecanismo de selección natural junto con los operadores genéticos de cruzamiento, mutación e inversión. En el caso de la selección se escogen los cromosomas con posibilidades de reproducirse y por ende los cromosomas más aptos producirán un mayor número de descendientes que los menos aptos. En el cruzamiento lo que ocurre es que se intercambian parte de dos cromosomas tratando de reproducir la recombinación biológica entre dos organismos monocromosómicos. 61.