PROBABILIDAD RICARDO TRUJILLO PÉREZ. 1. De una urna con 4 bolas blancas y 2 negras se extraen al azar, sucesivamente y sin devolución, dos bolas.

(1)

PROBABILIDAD

1. De una urna con 4 bolas blancas y 2 negras se extraen al azar, sucesivamente y sin devolución, dos bolas.

a) Haz el diagrama de árbol que representa el experimento.

b) Calcula la probabilidad de que la segunda bola sea negra, condicionada a que la primera ha sido blanca.

a.

Siendo los sucesos:







negra bola N

bloanca bola

B

b. 0,4 40%

5 ) 2 /

(N B = = 

P

2. Lanzamos dos monedas de un euro al aire:

a) Haz el diagrama de árbol.

b) Calcula la probabilidad de sacar dos caras.

a.

(2)

b.

% 25 25 , 0 5 , 0

· 5 , 0 ) / ( )·

( )

(CC =PC P C C = = 

P

3. De una baraja española de 40 cartas se extraen dos de ellas con devolución.

Determina:

a) La probabilidad de que las dos sean copas.

b) La probabilidad de que la segunda sea de oros, condicionado a que la primera haya sido de copas.

c) La probabilidad de que las dos sean figuras.

d) La probabilidad de que la segunda sea figura, condicionado a que la primera haya sido un as.

a. P(CC)=P(C)·P(C/C)=0,250,25=0,06256,25% b. P(O/C)=0,2525%

c. 0,09 9%

100 9 40 12 40 ) 12 / ( )·

( )

(FF =P F P F F = = = 

P

d. 0.3 30%

10 3 40 ) 12 /

(F A = = = 

P

4. Considérese una urna que contiene 2 bolas rojas y 4 blancas. Si de la urna se sacan dos bolas sin devolución, calcula la probabilidad de que las dos bolas sean del mismo color y que al menos una de las bolas sea blanca.

Vamos a representar la situación en un diagrama de árbol:

(3)

Siendo los sucesos:







roja bola R

bloanca bola

B

a. Aplicando el teorema de probabilidad total tenemos que:

% 7 , 46 467 , 5 0

·3 3 2 5

·1 3 ) 1 / ( )·

( ) / ( )·

( )

(V = p R p R R + p B p B B = + =  p

b. Nos piden el camino señalado con (V(b)) en el gráfico. Así

% 33 , 93 9333 , 5 0 1 3 1 1 ) ( 1 )

(Vb = −PVb = − = 

p .

5. Un barco cubre diariamente el servicio entre dos puertos. Se sabe que la probabilidad de accidente en día sin niebla es 0,005, y en día de niebla, 0,07. Un cierto día de un mes en el que hubo 18 días sin niebla y 12 con niebla se produjo un accidente. Calcula la probabilidad de que el accidente haya sido en un día sin niebla.

N o s p i d e

(4)

Siendo los sucesos:







accidente Tener

A

niebla con Día N

Nos piden una probabilidad a posteriori. Debemos utilizar el teorema de Bayes. Así

% 7 , 9 097 , 0 005 , 300 07 18 , 300 12

005 , 0 30· 18

) (

) ) (

/

( = 

+

=

= p A A N A p

N

P  _.

6. Se extrae una carta de una baraja española de 40 cartas. Si la carta extraída es un rey, nos dirigimos a la urna I; en caso contrario, a la urna II. A continuación, extraemos una bola. El contenido de la urna I es de 7 bolas blancas y 5 negras y el de la urna II es de 6 bolas blancas y 4 negras. Halla:

a) La probabilidad de que la bola extraída sea blanca y de la urna II.

b) La probabilidad de que la bola extraída sea negra.

Siendo los sucesos:











rey un Sacar R

negra bola N

blanca bola

B

a. Aplicando la regla de probabilidad condicionada tenemos que:

% 54 54 , 10 0

·6 10 )) 9 2 ( / ( ))·

2 ( ( )) 2 (

(BRU = p RU p B RU = = 

p

b. Aplicando el teorema de probabilidad total tenemos que:

% 17 , 40 4017 , 10 0

·4 10

9 12

·5 10 ) 1 2 / ( )·

2 ( ) 1 / ( )·

1 ( )

(N = p RU p N RU + p RU p N RU = + = 

p

(5)

1*. El 80% de los jóvenes de una ciudad usa Facebook, el 80% usa WhatsApp y el 4% usa Facebook pero no WhatsApp. Determina:

a) (0’5 puntos) Halle el porcentaje de jóvenes de esa ciudad que usa ambas aplicaciones.

b) (0’75 puntos) Calcule el porcentaje de esos jóvenes que usa WhatsApp pero no Facebook.

c) (0’75 puntos) Entre los jóvenes que usan WhatsApp, ¿qué porcentaje usa también Facebook?

d) (0’5 puntos) Los sucesos “usar Facebook” y “usar WhatsApp”, ¿son independientes?

Siendo los sucesos: F Usar Facebook W Usar Whatsapp

 

 

a. Nos piden ^{p F}⁽ ^W⁾ . Así, aplicando la regla de probabilidad condicionada:

( ) ( ) 0,8·0,95 0, 76 76%

p A = p FW = = 

b. Nos piden p F( W) . Así, aplicando la regla de probabilidad condicionada:

( ) ( ) 0, 2 · 0, 2 0, 04 4%

p B = p FW = = 

c. Nos piden una probabilidad a posteriori. Debemos utilizar el teorema de Bayes. Así

( ) 0, 76

( ) ( / ) 0,95 95%

( ) 0, 76 0, 04 p F W

p C p F W

= = p W = = 

+

d. Para que dos sucesos sean independientes tiene que ocurrir p F( W)=p F p W( )· ( ), pero ^{p F}⁽ ^W⁾=^{0, 76} ^{y p F p W}^{( )· ( )}=^0,8·0,8=^{0, 64}. Así pues, los sucesos no son independientes.

(6)

También lo podemos hacer utilizando una tabla de contingencia:

W W

F 0,76 0,04 0,8

F 0,04 0,16 0,2

0,8 0,2 1

a. Nos piden p F( W) . Así, p A( )=p F( W)=0,7676%

b. Nos piden p F( W) . Así, p B( )= p F( W)=0, 044%

c. Nos piden una probabilidad a posteriori. Debemos utilizar el teorema de Bayes. Así ( ) 0, 76

( ) ( / ) 0,95 95%

( ) 0,8 p F W

p C p F W

= = p W = = 

d. Para que dos sucesos sean independientes tiene que ocurrir p F( W)=p F p W( )· ( ), pero ( ) 0, 76 ( ) · ( ) 0,8·0,8 0, 64

p FW = y p F p W = = . Así pues, los sucesos no son independientes.

2*. Sean A y B dos sucesos tales que ^{p A}⁽ ^^B⁾⁼^{0, 9,} ^{p A}^{( )}⁼^{0, 4} ^{y p A}⁽ ^^B⁾⁼^{0, 2}. Calcular las siguientes probabilidades: p B( ), p A B( / ), p A( B) y p A( B).

Modelo EBAU 2017A

Vamos a utilizar una tabla de contingencia:

A A

B 0,2

B 0,4

0,6 0,4 1

De momento no podemos rellenar más tabla.

a. ^{p A}⁽ ^B⁾=^{p A}^{( )}+^{p B}^{( )}−^{p A}⁽ ^B⁾p B( )=p A( B)−p A( )+p A( B)=0.9 0.6 0.2− + =0.5 Con este dato ya podemos completar la tabla.

A A

B 0,2 0,3 0,5

B 0,4 0,1 0,5

0,6 0,4 1

(7)

b. ( / ) ⁽ ⁾ ^0.2 0.4 ( ) 0.5 p A B

p A B

p B

=  = =

c. ^{p A}⁽ ^^B⁾⁼^0.4

d. p A( B)= p A( )+p B( )− p A( B)=0.4 0.5 0.1+ − =0.8

3*. El 42% de la población activa de cierto país está formada por mujeres. Se sabe que el 24% de las mujeres y el 16% de los hombres está en el paro.

(a) Hallar la probabilidad de que una persona, elegida al azar, esté en el paro y sea hombre.

(0,5 puntos)

(b) Hallar la probabilidad de que una persona en paro, elegida al azar sea mujer. (0,5 puntos)

Modelo EBAU 2017B

Siendo los sucesos: M Ser Mujer P Estar en paro

 

 

a. Nos piden una probabilidad del camino 3. Debemos utilizar la regla de probabilidad condicionada. Así:

p A^{( )}= p M⁽ P⁾=0, 58 · 0,16=0, 09289, 28%

b. Nos piden una probabilidad a posteriori. Debemos utilizar el teorema de Bayes. Así ( ) 0, 42 · 0, 24

( ) ( / ) 0,5207 52, 07%

( ) 0, 42 · 0, 24 0,58 · 0,16 p M P

p B p M P

= = p P = = 

+

(8)

4*. Los resultados académicos de un grupo de Bachillerato muestran que la probabilidad de aprobar Matemáticas es 0,6 y la de aprobar Economía 0,7. Además, la probabilidad de aprobar las dos asignaturas es 0,45. Si en ese grupo se elige un alumno al azar, calcule la probabilidad de que:

a) Apruebe alguna de las dos asignaturas. (0,5 puntos)

b) Apruebe solamente una de las dos asignaturas. (0,5 puntos) c) No apruebe ninguna de las dos asignaturas. (0,5 puntos)

Siendo los sucesos: M Aprobar Matemáticas E Aprobar Economía

 

 

a. Nos piden p M( E) . Así, aplicando el teorema de probabilidad total ( ) ( ) 0, 6 ·0, 75 0, 6 ·0, 25 0, 4 ·0, 625 0,85 85%

p A =p ME = + + = 

b. Nos piden una probabilidad de los caminos 2 y 3. Debemos utilizar el teorema de probabilidad total. Así:

p B^{( )}= p M⁽ E⁾+ p M⁽ E⁾=0, 6 · 0, 25 0, 4 · 0, 625+ =0, 440%.

c. Nos piden una probabilidad del camino 4. Debemos utilizar la regla de probabilidad condicionada. Así:

p C^{( )}= p M⁽ E⁾=0, 4 · 0, 375=0,1515%

(9)

M M

E 0,45 0,25 0,7

E 0,15 0,15 0,3

0,6 0,4 1

a. Nos piden p M( E) . Así:

p A( )=p M( E)=p M( )+p E( )−p M( E)=0, 6 0, 7 0, 45+ − =0,8585%

b. Nos piden ^{p M}⁽ ^^E⁾⁺ ^{p M}⁽ ^^E⁾⁼^{0,15 0, 25}⁺ ⁼^{0, 4}^^40%

c. Nos piden p M( E)=0,1515%

5*. Los operarios A, B y C producen respectivamente el 50 %, el 30 % y el 20 % de las resistencias que se utilizan en un laboratorio de electrónica. Resultan defectuosas el 6 % de las resistencias producidas por A, el 5 % de las producidas por B y el 3 % de las producidas por C. Se selecciona al azar una resistencia:

a) Calcule la probabilidad de que sea defectuosa.

b) Si es defectuosa, calcule la probabilidad de que proceda del operario A.

(10)

Siendo los sucesos

A Ser producida por el operario A B Ser producida por el operario B C Ser producida por el operario C

D Ser defectuosa D No ser defectuosa

 

  

 

 



a. Nos piden los caminos señalados con (a) en el gráfico. Así, aplicando el teorema de probabilidad total: p D =( ) 0,5·0,06 0,3·0,05 0,2 ·0,03 0,051+ + = 5,1%.

b. Nos piden una probabilidad a posteriori. Debemos utilizar el teorema de Bayes. Así ( ) 0,5 · 0,06

( / ) 0,5882 58,82%

( ) 0,051 p A D

p A D

= p D = =  .

6*. En una población se sabe que el 80 % de los jóvenes tiene ordenador portátil, el 60 % tiene teléfono móvil, y el 10 % no tiene portátil ni móvil. Si un joven de esa población tiene teléfono móvil, calcule la probabilidad de que dicho joven tenga también ordenador portátil. (Junio 17A) Vamos a representar la situación en un diagrama de árbol:

Siendo los sucesos: M Tener Móvil P Tener portátil

 

 

(11)

( ) 0,5

( / ) 0,8333 83,33%

( ) 0,5 0,1 p M P

p P M

= p M = = 

+

M M

P 0,5 0,3 0,8

P 0,1 0,1 0,2

0,6 0,4 1

( ) 0,5

( / ) 0,8333 83,33%

( ) 0, 6 p M P p P M

= p M = = 

7* Una asociación deportiva tiene 1000 socios, el 40% de ellos mujeres. Están repartidos en tres secciones y cada socio sólo pertenece a una sección. En la sección de baloncesto hay 400 socios, 120 de ellos mujeres, en la de natación hay 350 socios, 180 de ellos mujeres, y en la de tenis están el resto de los socios. Calcule la probabilidad de que un socio seleccionado al azar sea varón y de la sección de tenis.

. (Junio 17B) Podemos representar la situación en un diagrama de árbol:

Nos piden la probabilidad del camino 6. Debemos utilizar la regla de probabilidad condicionada. Así:

^{p M}⁽ ^^T⁾⁼^{0,25 · 0,6}⁼^0,15^^15%

(12)

8* En un libro con 3 capítulos, el primero consta de 100 páginas y 15 de ellas contienen errores. El segundo capítulo, de 80 páginas, tiene 8 con error, y en el tercero, de 50 páginas, el 80% no tiene ningún error. Calcule la probabilidad de que una página elegida al azar no esté en el capítulo dos y no tenga errores.

JULIO 2017

A Podemos representar la situación en un diagrama de árbol:

Nos piden la probabilidad de los caminos señalados con a. Debemos utilizar el teorema de probabilidad total. Así:

( ) ¹⁰⁰· 0,85 ⁵⁰·0,8 0,5435 54,35%

230 230

p IIE = + = 

9* El 40% de la población activa de una ciudad son mujeres. Se sabe que el 20% de las mujeres y el 12% de los varones está en el paro. Elegida al azar una persona entre la población activa que no está en paro, calcule la probabilidad de que dicha persona sea mujer.

JULIO 2017

^B

Podemos representar la situación en un diagrama de árbol:

(13)

Siendo los sucesos: M Ser Mujer P Estar en paro

 

 

Nos piden una probabilidad a posteriori. Debemos utilizar el teorema de Bayes. Así ( ) 0,4 · 0,8

( / ) 0,3774 37,74%

0,4 · 0,8 0,6·0,88 ( )

p M P p M P

= p P = = 

+

10* En una red social el 55 % lee noticias deportivas, el 65 % lee noticias de información, y el 10 % no lee las noticias deportivas ni las de información. Tomando al azar una persona de esta red social:

a. Calcule la probabilidad de que lea noticias deportivas o de información. (0,5 puntos) b. Sabiendo que lee noticias de información, calcule la probabilidad de que también lea

noticias de deportes. (0,5 puntos)

c. Ssabiendo que lee noticias de deportes, calcule la probabilidad de que no lea noticias de información. (0,5 puntos)

(Junio 18A)

Sean los sucesos:

inf

D Leer Noticias deportivas I Leer Noticias ormación

 

 

Consideremos la tabla de contingencia:

I _I

D 0,30 0,25 0,55

D 0,35 0,1 0,45

0,65 0,35 1

a. Nos piden p D(  =I) p D( )+p I( )−p D( I)=0,55 0,65 0,3 0,9+ − = 90%

(14)

b. Nos piden ( / ) ⁽ ⁾ ^0,3 0,4615 46,15%

( ) 0,65 p D I

p D I

= p I = = 

c. Nos piden ( / ) ⁽ ⁾ ^0,25 0,4545 45,45%

( ) 0,55 p D I

p I D

= p D = = 

11* Se conoce que el ganado caprino padece un 10% la tuberculosis. La prueba de tuberculosis caprina no es completamente fiable, ya que da un 10% de positivos en cabras realmente sanas y también da negativo en el 5% de cabras enfermas.

a) Calcule la probabilidad de que la prueba sea positiva.

b) Calcula la probabilidad de que una cabra elegida al azar esté sana sabiendo que en la prueba ha dado positiva.

(Junio 18A ANULADO) Vamos a representar la situación en un diagrama de árbol:

Siendo los sucesos: T Tener la enfermedad P Dar positivo en la prueba

 

 

a. Nos piden los caminos señalados con (a) en el gráfico. Así, aplicando el teorema de probabilidad total: p P =( ) 0,1·0,95 0,9 ·0,1 0,185+ = 18,5%.

b. Nos piden una probabilidad a posteriori. Debemos utilizar el teorema de Bayes.

Así ( / ) ⁽ ⁾ ^{0,9 · 0,1} 0,4865 48,65%

( ) 0,185 p T P

p T P

= p P = =  .

(15)

12* En un centro comercial el 35 % de los clientes utiliza carro. El 70 % de los que utilizan carro son hombres y el 40 % de los no que no utilizan carro son mujeres.

(a) Calcule la probabilidad de que un cliente elegido al azar sea mujer. (0,75 puntos) (b) Sabiendo que un cliente elegido al azar ha sido hombre, que´ probabilidad hay de que utilice carro. (0,75 puntos)

(Julio 18A) Podemos representar la situación en un diagrama de árbol:

Siendo los sucesos:

hom C Usar carro

H Ser bre

 

 

a. Nos piden los caminos señalados con (a) en el gráfico. Así, aplicando el teorema de probabilidad total: p H =⁽ ⁾ 0,35· 0,3 0,65· 0,4+ =0,36536,5%. b. Nos piden una probabilidad a posteriori. Debemos utilizar el teorema de

Bayes. Así ( / ) ⁽ ⁾ ^{0,35 · 0,7} 0,3858 38,58%

( ) 1 0,365 p C H

p C H

= p H = = 

− .

13* Una región de bosques está dividida en tres zonas A, B y C. Para el próximo verano la probabilidad de incendio en cada zona es de 0.1, 0.2 y 0.05, respectivamente. En cada zona sólo puede producirse, como máximo, un incendio. Si consideramos que los incendios se producen de forma independiente entre las zonas:

a. ¿Cuál es la probabilidad de que no haya ningún incendio? 1 PUNTO b. ¿Cuál es la probabilidad de que haya exactamente dos incendios? 1 PUNTO

c. Si se sabe que ha habido sólo un incendio, ¿cuál es la probabilidad de que haya sido en la zona A? 1,5 PUNTOS

(16)

JULIO 17 OP B SOCIALES Podemos representar la situación en un diagrama de árbol:

Siendo los sucesos:

a. Nos piden el camino 8. Así, por la regla de probabilidad condicionada:

b. Nos piden los caminos 2, 3 y 5. Así, utilizando el teorema de probabilidad total:

( ) 0,1·0, 2·0,95 0,1·0,8·0, 05 0,9·0, 2·0, 05 0,032 3, 2%

p B = + + = →

c. Nos piden una probabilidad a posteriori. Hay que utilizar el teorema de Bayes:

( ) ( 8) 0, 9 · 0,8 · 0, 95 0, 684 68, 4%

p a =p C = = 

1 1

( ) 0,1· 0,8 · 0,95

( ) ( / ) 0, 2686 26,86%

( ) 0,1· 0,8 · 0,95 0,9 · 0, 2 · 0,95 0,9 · 0,8 · 0, 05 p A I

p C p A I

p I

= =  = = →

+ +

A Que ocurra incendio en la zona A

B Que ocurra incendio en la zona B

C Que ocurra incendio en la zona C

 

 



 



(17)

14*. Para que una persona sea contratada en una empresa, tiene que superar las pruebas psicológicas P1, P2 y P3, en ese mismo orden. En el momento en que no supera alguna de ellas, no es contratada. Por la experiencia, se sabe que el 96% de las personas aspirantes a ser contratadas superan P1, que P2 no es superada con probabilidad 0,03 y que 95 de cada 100 aspirantes superan P3.

Determinar, justificando las respuestas, la probabilidad de que una persona aspirante a conseguir empleo en esa empresa no sea contratada.

Junio 2016 SOCIALES

Siendo los sucesos:

Vamos a hallar la probabilidad del suceso contrario ya que tiene menos caminos. Por la regla de probabilidad condicionada:

P(C)=0,96· 0,97· 0,95=0,8846 y, por lo tanto, p(C)=1−0,8846 =0,1154 , es decir, el 11,54%.

















contratada Ser

C

prueba la

erar No

S

prueba la

Superar S

sup

(18)

15*. El 80% de las familias españolas es propietaria de la casa que habitan. De ellas, el 70% tiene una hipoteca sobre la misma. Se está realizando un estudio sobre la satisfacción de las familias respecto a la vivienda en la que residen. Se han obtenido los siguientes datos: - Las familias con vivienda en propiedad y sin hipoteca están satisfechas en un 80%. - Las familias con vivienda en propiedad y con hipoteca están satisfechas en un 60%. - Las familias sin vivienda en propiedad están satisfechas en un 30%. a) Si se elige al azar una familia, ¿Cuál es la probabilidad de que esté satisfecha con la vivienda en que reside? b) Si se elige al azar una familia, ¿Cuál es la probabilidad de que esté satisfecha con la vivienda en que reside y que ésta sea en propiedad? c) Sabiendo que una familia está satisfecha, ¿Cuál es la probabilidad de que no tenga vivienda en propiedad?

Justificar las respuestas.

Julio 15 SOCIALES Vamos a representar la situación en un diagrama de árbol:

Siendo los sucesos:











vivienda la

con satisfecha Estar

S

hipoteca Tener

H

a propietari Ser

P

a. Nos piden los caminos señalados con (a) en el gráfico. Así, aplicando el teorema de probabilidad total: p(S)=0,8·0,7·0,6+0,8·0,3·0,8+0,2·0,3=0,58858,8%.

b. Nos piden los caminos señalados con (b) en el gráfico. Así, aplicando el teorema de probabilidad total: p(P S)=0,8·0,7·0,6+0,8·0,3·0,8=0,52852,8%

(19)

% 2 , 10 1020 , 588 0 , 0

2 , 0

· 3 , 0 ) (

) ) (

/

( = = = 

S p

S P S p

P

p 

16* Dos personas, A y B, comienzan un juego con 3 € cada una. Al final de cada partida, la ganadora recibe un euro de la perdedora (no hay empates). Sabiendo que hay un 60% de posibilidades de que A gane una partida, y que el juego termina cuando una de las dos se queda sin dinero, determina:

a. ¿Cuál es la probabilidad de que, transcurridas dos partidas, A tenga tres euros?

b. ¿Cuál es la probabilidad de que, transcurridas tres partidas, A tenga cuatro euros?

c. ¿Cuál es la probabilidad de que el juego dure más de tres partidas?

Julio 14 SOCIALES

Siendo los sucesos:







B jugador Ganar

B

A jugador Ganar

A

a. Nos piden los caminos señalados con (a) en el gráfico. Así, aplicando el teorema de probabilidad total: p(a)=2·0,6·0,4=0,4848%.

(20)

b. Nos piden los caminos señalados con (b) en el gráfico. Así, aplicando el teorema de probabilidad total: p(b)=3·0,6²·0,4=0,43243,2%.

c. Nos piden los caminos señalados con (c) en el gráfico. Así, aplicando el teorema de probabilidad total: p(c)=1− p(c)=1−(0,6³+ 0,4³)=0,7272%.

17*. De los 10000 socios de cierto club de fútbol, 2500 son menores de 25 años, 6500 tienen entre 25 y 60 años y el resto son mayores de 60 años. El presidente pregunta a todos los socios si están a favor o en contra de fichar a determinado jugador. Un 20% de los socios menores de 25 años, un 35% de los socios entre 35 y 60 años y un 15% de los socios mayores de 60 años, le responden que están a favor. El resto le manifiesta su opinión contraria a fichar a dicho jugador. Determinar la probabilidad de que seleccionado al azar un socio de dicho club, sea:

a) Mayor de 60 años y de los que se han manifestado en contra de fichar al jugador.

b) De los que se han manifestado a favor de fichar al jugador.

c) De los que se han manifestado en contra de fichar al jugador, sabiendo que tiene 38 años.

Siendo los sucesos

















fichar de

contra En

T

fichar de

favor A T

años de

mayor Ser

MA

años y

entre Tener E

años de

menor Ser

ME

60 60 25

25

a. Nos piden el camino señalado con (a) en el gráfico. Así, aplicando la expresión de probabilidad condicionada ^p⁽^a⁾⁼ ^p⁽^MA^^T⁾⁼⁰^,¹^·⁰^,⁸⁵⁼⁰^,⁰⁸⁵^⁸^,⁵^%.

(21)

b. Nos piden los caminos señalados con (b) en el gráfico. Así, aplicando el teorema de probabilidad total: p(b)= Tp( )=0,25·0,2+0,65·0,35+0,1·0,15=0,292529,25%.

c. Nos piden el camino señalado con (c) en el gráfico. Así ^p⁽^c⁾⁼ ^p⁽^T ^/^E⁾⁼⁰^,⁶⁵^⁶⁵^%.

18*. Una empresa que fabrica televisores con tecnología LED tiene tres centros de producción de pantallas. En el centro A fabrica el 50% de las pantallas y se sabe que el 5% de ellas son defectuosas. En el centro B se fabrica un 10% de las pantallas y el porcentaje de defectuosas es del 20%. El resto se fabrica en C, donde el porcentaje de defectuosas es del 10%.

a) Determinar la probabilidad de que una pantalla elegida al azar sea defectuosa.

b) Determinar la probabilidad de que una pantalla elegida al azar sea defectuosa y fabricada en el centro B.

c) Si se selecciona una pantalla al azar y se observa que es defectuosa, ¿Cuál es la probabilidad de que haya sido fabricada en A?

Siendo los sucesos

















defectuosa ser

No T

defectuosa Ser

T

C centro del

Ser C

B centro del

Ser B

A centro del

Ser A

d. Nos piden los caminos señalados con (a) en el gráfico. Así, aplicando el teorema de probabilidad total: p(a)= Tp( )=0,5·0,05+0,1·0,2+0,4·0,1=0,0858,5%.

(22)

e. Nos piden el camino señalado con (b) en el gráfico. Así, aplicando la expresión de probabilidad condicionada p(b)=p(BT)=0,1·0,2=0,022%.

% 4 , 29 294 , 085 0 , 0

05 , 0

· 5 , 0 ) (

) ) (

/ ( )

( = = = = 

T p

T A T p

A p c

p 

19*. A 180 estudiantes de 3 Institutos de Enseñanza Secundaria (A, B y C) se les preguntó si consideraban que la existencia de un carril para bicicletas contribuiría a solucionar los problemas de polución que afectaban a su ciudad. Contestaron afirmativamente 20 de los 80 estudiantes del Instituto A, 12 de los 60 estudiantes del Instituto B y un 60% de los estudiantes del Instituto C. Determinar la probabilidad de que seleccionado un estudiante al azar de entre los 180:

a) No haya contestado afirmativamente.

b) Haya contestado afirmativamente y no sea del Instituto B.

c) Sea del Instituto C, sabiendo que ha contestado afirmativamente.

Siendo los sucesos

















mente afirmativa contestar

No T

mente afirmativa Contestar

T

C centro del

Ser C

B centro del

Ser B

A centro del

Ser A

a. Nos piden los caminos señalados con (a) en el gráfico. Así, aplicando el teorema

de probabilidad total: ·0,4 0,6888 68,89%

180 8 40 , 0 180· 75 60 , 0 180· ) 80 ( )

(a = Tp = + + = 

p .

b. Nos piden los caminos señalados con (b) en el gráfico. Así, aplicando el teorema de probabilidad total: ·0,6 0,244 24,44%

180 25 40 , 0 180· ) 80

(b = + = 

p

(23)

% 86 , 42 4286 , 6889 0 , 0 1

6 , 0 180·

40

) (

) ) (

/ ( )

( = 

= −

=

= pT

T C T p

C p c

p  .

20* En un centro comercial, las compras son pagadas con tarjetas de crédito, tarjetas de débito o en metálico. Se comprobó que en una semana hubo 400 compras con tarjetas de crédito, 500 con tarjetas de débito y 1100 en metálico. Un 60% de las compras con tarjetas de crédito fueron superiores a 200 euros, mientras que para las compras con tarjeta de débito el porcentaje de compras superiores a 200 euros fue del 40%. Además, 300 de las compras en metálico también fueron superiores a 200 euros. Si se extrae al azar un comprobante de compra,

a) ¿Cuál es la probabilidad de que corresponda a una compra superior a 200 euros?

b) Si la compra es inferior a 200 euros, ¿Cuál es la probabilidad de que haya sido pagada en metálico?

Siendo los sucesos:

















€ 200 inf

€ 200 sup

. .

a erior Compra

T

a erior Compra

T

metálico en

Comprar M

débito de

t con Comprar D

crédito de

t con Comprar C

(24)

a. Nos piden los caminos señalados con (a) en el gráfico. Así, aplicando el teorema

de probabilidad total: ·0,55 0,37 37%

11 4 3 , 0

· 25 , 0 6 , 0

· 2 , 0 ) ( )

(a = Tp = + + = 

p .

b. Nos piden una probabilidad a posteriori. Debemos utilizar el teorema de Bayes. Así

% 49 , 63 6349 , 37 0 , 0 1

11

·8 55 , 0 ) (

) ) (

/ ( )

( = 

= −

=

= pT

T M T p

M p b

p 

DISTRIBUCIÓN BINOMIAL

13. La probabilidad de que un jugador de baloncesto enceste una canasta de 3 puntos es 0,6.

Si tira a la cesta 4 veces, calcula la probabilidad de que enceste 3.

Sea la variable X= nº encestes. Se trata de una binomial de parámetros B(4, 0’6).

Nos piden ·0,6 ·0,4 0,3456 34,56% 3

) 4 3

(  ³ ¹ = 

 



=

= X P

14. Un 5% de las piezas producidas en un proceso de fabricación resultan defectuosas.

Halla la probabilidad de que en una muestra de 20 piezas elegidas al azar haya exactamente dos piezas defectuosas.

Sea la variable X= nº piezas defectuosas. Se trata de una binomial de parámetros B(20, 0’05).

Nos piden ·0,05 ·0,95 0,1887 18,87% 2

) 20 2

(  ² ¹⁸ = 

 



=

= X P

42. Si el 20% de las piezas producidas por una máquina son defectuosas, ¿cuál es la probabilidad de que entre cuatro piezas elegidas al azar, a lo sumo 2 sean defectuosas?

Sea la variable X= nº piezas defectuosas. Se trata de una binomial de parámetros B(4, 0’2).

Nos piden

% 28 , 97 9728 , 0 8 , 0 2 , 2 0 8 4 , 0 2 , 1 0 8 4 , 0 2 , 0 0 · ) 4 2 ( ) 1 ( ) 0 ( ) 2

( ⁰ ⁴ ¹ ³  ² ² = 

 

 +



 

 +



 



=

= +

=

 P X P X P X

X P

39. Un examen tipo test tiene diez preguntas con cuatro respuestas cada una. Si un alumno responde aleatoriamente, ¿qué probabilidad tiene de contestar bien a más de tres preguntas?

Sea la variable X= nº preguntas acertadas. Se trata de una binomial de parámetros B(10, 0’25).

Nos pidenP(X 3)=1−P(X3)=1−(P(X =0)+P(X =1)+P(X=2)+P(X =3))=

(25)

% 41 , 22 2241 , 0 7759 , 0 1 ) 75 , 0 25 , 3 0 75 10 , 0 25 , 2 0 75 10 , 0 25 , 1 0 75 10 , 0 25 , 0 0 · ( 10

1 ⁰ ¹⁰ ¹ ⁹ ² ⁸  ³ ⁷ = − = 

 

 +



 

 +



 

 +



 



− 

=

67. Un determinado antibiótico produce efectos secundarios en el 25% de las personas que lo toman. Lo ingieren ocho personas. Calcula la probabilidad de que sufran efectos secundarios:

a) A lo sumo dos personas.

b) Más de dos personas.

a. Sea la variable X= nº personas que sufren efectos secundarios. Se trata de una binomial de parámetros B(8, 0’25).

Nos pidenP(X 2)=P(X =0)+P(X=1)+P(X =2)=

% 86 , 67 6786 , 0 75 , 0 25 , 2 0 75 8 , 0 25 , 1 0 75 8 , 0 25 , 0 0 ·

8 ₀ ₈ ₁ ₇ ₂ ₆



 =



 

 +



 

 +



 



=

b. Nos pidenP(X 2)=1−P(X2)=1−0,6786=0,321432,14%

65. Se lanza 12 veces una moneda. Calcula: a) La probabilidad de obtener 5 caras. b) La esperanza matemática de que salga cara. c) La desviación típica.

a. Sea la variable X= nº caras obtenidas. Se trata de una binomial de parámetros

B(12, 0’5). Nos piden ·0,5 ·0,5 0,1934 19,34% 5

) 12 5

(  ⁵ ⁷ = 

 



=

= X P

b. = np=12·0,5=6

c. = npq= 12·0,5·0,5=1,73

66. Se lanza un dado 5 veces. Calcula: a) La probabilidad de obtener tres cuatros. b) El número medio de cuatros obtenidos. c) La desviación típica.

a. Sea la variable X= nº cuatros obtenidas. Se trata de una binomial de parámetros

B(5, 1/6). Nos piden 0,0322 3,22% 6

5 6

· 1 3 ) 5 3 (

2 3



 =



 



 



 







 



=

= X P

b.

6 5 6

·1 5 =

=

= np

c. 0,83

6

·5 6

·1

5 =

=

= npq



(26)

1* Se estima que en una partida de bombillas el 10 % son defectuosas. Si se eligen al azar 6 bombillas de esta partida, calcule:

a. La probabilidad de que ninguna sea defectuosa. (0,5 puntos) b. La probabilidad de obtener más de 2 defectuosas. (0,5 puntos) c. La media y la desviación típica de la distribución. (0,5 puntos)

JULIO 18B a. Sea la variable X= nº bombillas defectuosas. Se trata de una binomial de parámetros

B(6, 0’1). Nos piden ⁽ ⁰⁾ ⁶ ^{· 0,1}

( ) ( )

⁰ ^0,9 ⁶ ^0,5314 ^53,14%

P X  0

= =  = 

 

b. Nos piden ⁽ ²⁾ ¹ ⁽ ²⁾ ^{1 [} ⁶ ^{· 0,1}

( ) ( )

⁰ ^0,9 ⁶ ⁶ ^{· 0,1}

( ) ( )

¹ ^0,9 ⁵ ⁶ ^{· 0,1}

( ) ( )

² ^{0,9 ]}⁴

0 1 2

1 [0,5314 0,35430,0984] 0,0159 1,59%

P X  = −P X  = −    +   +   =

     

− + = 

c. =np=6·0,1 0,6=  = npq= 6·0,1·0,9=0,7348

DISTRIBUCIÓN NORMAL

19. Calcula en una N (0, 1) las siguientes probabilidades:

a) P (z ≤ 0,5) b) P (z ≤ 1,72) c) P (z ≥ 2,4) d) P (z ≤ – 3,56) a) P (z ≤ 0,5)=0,6915

b) P (z ≤ 1,72)=0,9573

c) P (z ≥ 2,4)=1 - P (z < 2.4) =1 – 0,9918=0,0082

d) P (z ≤ – 3,56)= P (z ≥ 3,56)=1 - P (z < 3,56) =1 – 0,9998=0,0002

a) P (1,5 ≤ z ≤ 2) b) P (– 2,3 ≤ z ≤ 3,7) c) P (– 3,4 ≤ z ≤ – 1,8) d) P (– 1,6 ≤ z ≤ 1,6) a) P (1,5 ≤ z ≤ 2)= P (z ≤ 2) - P (z <1,5)=0,9772 – 0,9332=0,0440

b) P (– 2,3 ≤ z ≤ 3,7) = P (z ≤ 3,7) - P (z < - 2,3)=0,9999 – P (z >2,3)=0,9999 – [1 - P (z < 2,3)]

=0,9999+0,9893 – 1=0,9892

(27)

c) P (– 3,4 ≤ z ≤ – 1,8)= P (1,8 ≤ z ≤ 3,4)= )= P (z ≤ 3,4) - P (z <1,8)=0,9997 – 0,9641=0,0356 d) P (– 1,6 ≤ z ≤ 1,6)=2· P (0≤ z ≤ 1,6)=2 · [P (z ≤ 1,6) - P (z <0)]=2 · (0,9452 – 0,5)=0,8904

21. Calcula el valor de k en los siguientes casos: a) P (z ≤ k) = 0,9582 b) P (z ≥ k) = 0,7612 a) P (z ≤ k) = 0,9582  k = 1,73

b) P (z ≥ k) = 0,7612  k es negativo  P (z ≥ k) = P (z ≤ - k) = 0,7612 - k = 0,71  k = - 0,71

a) P (x ≤ 25) b) P (x ≥ 17) c) P (23 ≤ x ≤ 27) d) P (15 ≤ x ≤ 18) Normalizamos la variable X  = − 

4 20 Z X

a. ) ( 1,25) 0,8944

4 20 ( 25

) 25

(X  =P Z  − =P Z = P

b. ) ( 0,75) ( 0,75) 0,7734

4 20 ( 17

) 17

(X  =P Z  − =P Z − =P Z  = P

c. P (23 ≤ x ≤ 27) =

1865 , 0 7734 , 0 9599 , 0 ) 75 , 0 ( ) 75 , 1 ( ) 75 , 1 75

, 0 ( 4 )

20 27 4

20

(23−   − =   =  −  = − =

Z P Z

P Z

P

d. . P (15 ≤ x ≤ 18) =

2029 , 0 6915 , 0 8944 , 0 ) 5 , 0 ( ) 25 , 1 ( ) 25 , 1 5 , 0 ( ) 5 , 0 25

, 1 ( 4 )

20 18 4

20

(15−   − = −  − =   =  −  = − =

Z P Z

P Z

P

23. El peso de los recién nacidos sigue una distribución normal de media 3,5 kg y una desviación típica de 0,6 kg. Calcula la probabilidad de que un recién nacido pese entre 2,7 kg y 4 kg. ¿Qué peso tiene un recién nacido si sabemos que el 23% tiene más peso que él?

Sea la variable X= Peso de los recién nacidos. Se trata de una normal de parámetros N(3’5, 0’6).

(28)

Nos pidenP(2,7X4)= ) ( 1,33 0,83) ( 0,83) ( 1,33) 6

, 0

5 , 3 4 6

, 0

5 , 3 7 ,

(2 − = −   =  − −



− 

Z P Z

P Z

P

= P (Z ≤ 0,83) – P (z >1,33) = P (Z ≤ 0,83) - [1 - P (z ≤ 1,33)] =0,7967+0,9082 – 1=0,7049 En la segunda parte nos piden que hallemos un valor k tal que P (X >k)=0,23. Tipificamos:

( ) ( 3,5) 0, 23

0, 6

P X k =P Zk− = 3,5

( ) 0, 77

0, 6 P Z k−

  = . Buscamos en tabla y tenemos que:

3,5 0, 74 074 · 0, 6 3,5 3,94 0, 6

k− k Kgs

 =  = + = .

73. En una normal N (0, 1), calcula el valor de k en los siguientes casos:

a) P (z ≥ k) = 0,9066 b) P (– k ≤ z ≤ k) = 0,8

a. P (z ≥ k) = 0,9066  k es negativo  P (z ≥ k) = P (z ≤ - k) = 0,9066 - k = 1,32  k = - 1,32

b. P (– k ≤ z ≤ k) = P (z ≤ k) – P (z ≤ – k) = P (z ≤ k) – P (z ≥ k) = P (z ≤ k) - [1 - P (z ≤ k) ]= 2P (z ≤ k) – 1 = 0,8  0,9

2 8 , 0 ) 1

(Z  k = + =

P k=1,28

74. En una distribución N (8; 1,5), calcula el valor de k en los siguientes casos:

a) P (x ≥ k ) = 0,05 b) P (– k ≤ x ≤ k) = 0,99

a. ) 0,95

5 , 1 ( 8 05 , 0 5 ) , 1 ( 8 )

( − =





− =



=

 k

Z k P

Z P k X

P  1,64 1,64·1,5 8 10,46

5 , 1

8=  = + =

− k

k

b. ERROR

88. El tiempo que una persona sana invierte en recorrer 10 km está normalmente distribuido con una media de 60 minutos y una desviación típica de 9 minutos.

a) Calcula la probabilidad de que una persona sana invierta menos de 50 minutos.

b) Calcula la probabilidad de que una persona sana invierta menos de 55 minutos o más de 65 minutos.

c) En una fiesta de animación al deporte participan 500 personas sanas. Calcula cuántas de ellas invertirán entre 50 y 60 minutos en hacer el recorrido.

d) ¿Qué tiempo invertirá en recorrer un atleta la prueba si sabemos que el 27% tarda menos que él?

(29)

a. Sea la variable X= El tiempo que una persona sana invierte en recorrer 10 km. Se trata de una normal de parámetros N(60, 9).

Nos pidenP(X  )50 = ) ( 1,11) ( 1,11) 1 ( 1,11) 0,1335 9

60

(Z 50− =P Z− =P Z = −P Z  = P

b. Nos pidenP(X 55)+P(X65)=

5774 , 0 )) 56 , 0 ( 1 ( 2 ) 56 , 0 ( 2 ) 56 , 0 ( ) 56 , 0 ( 9 )

60 ( 65

9 ) 60

(Z 55− +P Z  − =P Z − +P Z  = P Z  = −P Z =

P

c. Nos piden P (50 ≤ x ≤ 60) =

=



−



=

−



−



=



−

− =



− 

) 11 , 1 ( ) 0 ( ) 11 , 1 ( ) 0 ( ) 0 11

, 1 ( 9 )

60 60 9

60

(50 Z P Z P Z P Z P Z P z

P

P (Z ≤ 0) - [1 - P (Z ≤ 1,11) ]=0,366536,65%

El número de personas que se esperan inviertan entre 50 y 60 minutos en hacer el recorrido Serán el 36,65% de 500, es decir, 183 personas aproximadamente.

d) Nos piden que hallemos un valor k tal que P (X < k)=0,27. Tipificamos:

( ) ( 60) 0, 27

9

P X k =P Z k− = . ⁶⁰ 9

k − es negativo.

60 60 60 60

0, 27 ( ) ( ) 1 ( ) ( ) 0, 73

9 9 9 9

k k k k

P Z − P Z − + P Z − + P Z − +

=  =  = −    = . Buscamos en tabla y

tenemos que:

60 0, 61 061·9 60 54 ' 31'' 9

k k

− +  = − + .

87. La duración de cierto tipo de batería sigue una distribución normal de media 3 años, con una desviación típica de 0,5 años.

a) ¿Qué porcentaje de baterías se espera que duren entre 2 y 4 años?

b) Si una batería lleva funcionando 3 años, ¿cuál es la probabilidad de que dure menos de 4,5 años?

a. Sea la variable X= El tiempo que dura la batería. Se trata de una normal de parámetros N(3, 0,5).

a. Nos pidenP(2 X 4))=

9544 , 0 )]

2 ( 1 [ ) 2 ( ) 2 ( ) 2 ( ) 2 ( ) 2 ( 5 ) , 0

3 ( 2

5 ) , 0

3

( 4 − =  − − =  −  =  − −  =



− +

 P Z P Z P Z P Z P Z P Z P Z

Z P

b. Nos piden P(X<4,5/X≥ 3)=

) 3 (

) 5 , 4 3

(





 X P

X P