Desarrollos planos 3ESO 1
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Si te percatas pronto que todo lo que se te presenta en las clases de matemáticas responde, más o menos, al mismo esquema, entonces no te resultarán en absoluto difíciles. Te darás cuenta que es como hacer churros: aprendes a hacer uno, y después repites la misma jugada, una y otra vez, hasta que te aburres y te buscas otro trabajo. Éste es el esquema del que te hablo:
1. HEXOMINÓS
Un hexominó es un un polígono en el plano formado por 6 cuadrados de igual tamaño conectados por un borde (comparten un lado)
Esto es algo típico en la ACTIVIDAD MATEMÁTICA: introducir un nuevo ‘ente’, un nuevo objeto matemático, mediante una DEFINICIÓN. ¿Entiendes bien la definición? ¿Sabes para qué vale una definición? Muy bien, eso te permite decidir lo que es un hexominó o hexaminó de lo que no lo es.
¿Es esto un hexaminó? ¿Y esto?
¿Por qué? ¿Por qué?
Ahora puedes estudiar sus PROPIEDADES: SIMETRÍAS, FORMA, TAMAÑO… y NÚMERO.
1 INVESTIGACIÓN: ¿Cuántos hexominós distintos hay?
Para responder, tienes, como siempre, que tomar decisiones. ¿Las rotaciones y reflexiones, se considerar o no formas distintas? Si no se consideran distintas, a los hexominós que quedan se les llama ‘libres’. Entonces la pregunta es, ¿cuántos hexominós libres hay?
Con esta ACTIVIDAD se quiere entrenar los protocolos que te permiten realizar INVESTIGACIONES MATEMÁTICAS con cierta garantía de éxito. Las dos investigaciones que te propongo son de RECUENTO. Requieren que seas muy SISTEMÁTIC@, tener buenas NOTACIONES, y ser EXHAUSTIVOS: no te puedes dejar ningún caso sin contar.
Lo que te propongo a continuación es que desarrollar tu VISIÓN ESPACIAL. ‘Pliega’ mentalmente (uno a uno) todos los hexaminós posibles, y constata cuáles se corresponden a DESARROLLOS PLANOS del cubo (o hexaedro) y cuáles, no.
2 INVESTIGACIÓN: Y de éstos, ¿cuántos son desarrollos planos del cubo? En definitiva, ¿cuántos desarrollos posibles tiene un cobo? ¿Cuál te parece el más bonito? ¿Y el que mejor aprovecha el papel?
Desarrollos planos 3ESO 2 2. DESARROLLO PLANO DE UN POLIEDRO
Quizá tengas que repasar bien antes el siguiente CONCEPTO: en geometría, el desarrollo de un poliedro es la sucesión ordenada en un plano de polígonos unidos por sus lados, de forma que se puedan doblar (por los bordes) para formar las caras del poliedro. Por ejemplo:
Los desarrollos de poliedros son útiles a la hora de estudiar los cuerpos geométricos, ya que gracias a ellos se pueden dibujar las FIGURAS GEOMÉTRICAS que te permiten, mediante plegado, construir los MODELOS GEOMÉTRICOS utilizando diferentes materiales, como por ejemplo papel o cartón. Aquí tienes muchas plantillas:
VER: DESARROLLOS-PLANOS-DE-CUERPOS-GEOMÉTRICOS
3. APLICACIONES: LA ARAÑA, LA MOSCA Y LAS GEODÉSICAS
En matemáticas, casi todo tiene interesantes APLICACIONES. Por eso se estudian más y más ‘entes’
matemáticos. Aquí te presento una APLICACIÓN PRÁCTICA de todo lo que estamos aprendiendo hoy. Sí, resulta ser que la ruta más corta (sobre la superficie) entre dos puntos de la superficie de un poliedro se corresponde con una línea recta en un desarrollo plano bien hecho. Dicha línea debe estar completamente dentro del desarrollo, aunque se pueden considerar diferentes desarrollos planos para ver cuál de ellos ofrece el camino más corto.
Por ejemplo, en el caso de un cubo, si los puntos están en caras adyacentes el camino más corto puede ser aquel que cruza el vértice común; en estos casos el camino más largo se obtiene con un desarrollo en el que las dos caras también sean adyacentes. Otros posibles candidatos a ser el camino más corto son aquellos que pasan a través de la superficie de una tercera cara adyacente a ambos, y los desarrollos correspondientes se pueden utilizar para encontrar el camino más corto en cada caso.
Otro ejemplo, como ves en la figura, el camino más corto que permite llegar de A (la araña) a M (la mosca) sobre las caras de este ortoedro transita por tres caras. ¿De verdad que lo ves?
Lo verías muchísimo mejor si dibujases el correspondiente desarrollo plano del ortoedro y trazases, sobre él, la línea recta que une A con M. ¿Por qué no lo haces?
Ah, sí, tú ya tienes la comida preparada para cuando llegues a casa. Pero, si no fuera así…
Desarrollos planos 3ESO 3 Otro ejemplo, todo el mundo conoce que la distancia más corta entre dos puntos de un plano es la línea recta, pero si alguien se viera obligado a caminar sobre una superficie esférica la línea más corta entre dos puntos no podría ser una recta y el camino más corto será el arco de círculo máximo que los une. Se llama GEODÉSICA sobre una superficie a la línea más corta trazada sobre la superficie que une dos puntos de la superficie.
La geodésica para un avión que cubriera el vuelo de Nueva York a Tokyo, ciudades que tienen con una diferencia de longitud geográfica de unos 150º no puede ser una trayectoria recta, la trayectoria no es tan intuitiva y el avión debe ir, si quiere seguir la línea de mínima distancia, un arco de círculo máximo terrestre.
A continuación proponemos dos sencillas cuestiones que ponen de manifiesto cuál es la línea geodésica entre dos puntos cuando un móvil (una raña) se mueve sobre una superficie formada por dos planos en ángulo recto.
Cuestión 1.- En una pared vertical y a 5 dm del suelo está apostada una araña y en el suelo, pegada a la pared en la que se encuentra la araña y a 5 dm a la izquierda de la vertical de la araña, hay una colilla. Y a 7 dm de la pared y de la colilla se encuentra en el suelo una mosca, tal y como se observa en la figura siguiente:
a) ¿Cuál será la trayectoria de la araña y cuál será la mínima distancia que tiene que recorrer para comerse a la mosca?
(la araña camina y lo hace sobre los dos planos)
b) ¿A qué punto de la intersección del suelo con la pared se debe dirigir la araña para hacer el recorrido mínimo?
Respuesta:
Para determinar la mínima distancia basta con abatir el plano vertical, sobre el que se encuentra la araña, sobre el plano horizontal, mediante un giro de 90º. En esta situación, es evidente que la trayectoria de mínima distancia será el segmento rectilíneo que une el punto A de la figura, en el que se encuentra la araña, con el punto M en el que se halla la mosca.
Para que la araña vaya desde el punto A hasta el punto donde se encuentra la mosca M debe recorrer la hipotenusa del triángulo rectángulo sombreado, cuyo cateto vertical mide 12 dm y el horizontal 5 dm, luego debe recorrer una distancia:
Desarrollos planos 3ESO 4 Y teniendo en cuenta la semejanza de triángulos,
Luego, por semejanza de triángulos, se obtiene el punto x el suelo al que debe dirigirse la araña:
La araña debe dirigirse a un punto situado a 2’92 dm de la colilla situada en el suelo.
Cuestión 2.– En una pared vertical y a 5 dm del suelo y a 3 dm de una pared lateral hay una araña. En el suelo, a 7 dm de la pared en la que se encuentra la araña y a 1 dm de la pared lateral se encuentra una mosca
¿Cuál es la mínima distancia que tiene que recorrer la araña para comerse a la mosca?
¿A qué punto de la intersección del suelo con la pared se debe dirigir la araña?
La araña, como no puede volar, tiene, en este caso, la opción de pasar por dos o tres de los planos que forma el rincón donde se encuentra. Para determinar el camino de mínima distancia, esto es, la geodésica entre la araña y la mosca procederemos de forma análoga al caso anterior, pero, así como en ese caso había una sola posibilidad de abatir el plano sobre el plano horizontal ahora cabe tres posibilidades según el eje que elijamos como eje de giro del abatimiento
Podemos hacer el desarrollo de las siguientes formas:
a) Cortando el eje OX y abatir sobre el plano YZ como en el caso a) de la figura siguiente.
b) Cortando el eje OY y abatir sobre el plano XZ, como el caso b) de la figura.
c) Cortando el eje OZ y abatir sobre el plano XY, caso c).
Puede comprobarse que se obtienen los siguientes resultados que se ven arriba.
Desarrollos planos 3ESO 5 Para cada uno de estos casos, se obtienen las siguientes distancias
Luego en el caso b), en el cual la araña camina por las tres paredes, es el recorrido de menor distancia.
Aplicando la semejanza de triángulos, se puede calcular fácilmente:
La trayectoria de la araña para comerse a la mosca es, aproximadamente, como se indica en esta figura:
La araña se dirige a un punto de la arista vertical situado a 3´7 dm del suelo. Y luego se dirige a un punto de la arista horizontal a 5’3 dm del rincón.
Desarrollos planos 3ESO 6 SOLUCIONES
Hay 35 hexominós libres diferentes.
(Cuando los reflejos se consideran distintos, hay 60 hexominós de un solo lado. Cuando las rotaciones también se consideran distintas, hay 216)
Y se éstos, estos 11 son los desarrollos planos del cubo. Para sacarlos, hay que ser muy metódico y sistemático: tomas uno a uno los 35 hexaminós posibles, los pliegas mentalmente, y si da un cubo, lo dejas. Si no, lo tachas. Tacharías todos, menos éstos:
Como el OCTAEDRO es dual ¿? del CUBO (HEXAEDRO), también hay 11 desarrollos planos de OCTAEDRO. Éstos: