1 Números enteros
ACTIVIDADES INICIALES
1.I. Queremos expresar con números las distancias de cinco metros por encima del agua y de tres metros por debajo del agua. Imagina un modo de hacerlo tomando como referencia el nivel del agua.
+5 y –3
1.II. Indica dos situaciones en las que utilizamos números con signo.
Respuesta libre.
Desarrolla tus competencias
1.1. Observa estos platos
a) Expresa las cantidades de mandarinas de cada plato en números romanos y en números del sistema decimal. ¿Qué diferencias encuentras en el uso de estos números?
b) Expresa en el sistema romano y en el sistema decimal el número total de piezas de fruta.
c) En el número con el que has expresado el total, en el sistema decimal, ha aparecido un cero.
Indica el significado de este cero.
a) A: VIII = 8; B: VII = 7; C: V = 5. En el sistema romano, los valores vienen determinados por letras, y en el decimal, por la posición de cada cifra.
b) XX = 20
c) Que la posición de las unidades está libre y que el 2 es una decena.
1.2. Observa la regla y el termómetro
a) Indica cuál es el significado del cero en cada instrumento.
b) El agua se congela a 0 ºC. La temperatura de 0 ºC, ¿indica ausencia de temperatura? Razona la respuesta.
1.3. Observa estas fechas.
• Año 1982 d. C. • Año 245 a. C.
• Año 57 a. C. • Año 862 d. C.
a) Ordena las fechas de más antigua a más moderna.
b) Imagina que en las fechas anteriores eliminamos las expresiones a. C. y d. C. ¿Qué problema se producirá?
c) ¿Cuántos años separan el 1 de enero del año 654 a. C. y el 1 de enero del 654 d. C.?
Recuerda que el año 0 no existe.
a) 245 a. C., 57 a. C., 862 d. C., 1982 d. C.
b) No sería posible ordenarlos, y se confundirían un tipo de años (antes de Cristo) con el otro tipo (después de Cristo).
c) 654 – (–654) – 1 = 1307 años
1.4. La altitud del Everest es de 8.848 m, y la de la fosa de las Marianas es de –11.516 m.
a) ¿Qué significa el signo negativo en la medida de la altitud de la fosa de las Marianas?
b) ¿Cuál es la diferencia de altitud entre la fosa y el Everest?
a) Que está bajo el nivel del mar. En este caso, la medida no representa una altura, sino una profundidad.
b) 8.848 – (–11.516) = 20.364 m
ACTIVIDADES
1.1. Representa estos números en una recta y ordénalos de menor a mayor:
–6, +3, +8, +2, –4, –6, +5, 0, +4
–6 = –6 < –4 < 0 < +2 < +3 < +4 < +5 < +8
1.2. ¿Cuál es el número opuesto en cada caso?
a) +4 b) –7 c) –2 d) 5
e) –1 f) +3 g) –8 h) –3
a) –4 b) +7 c) +2 d) –5
e) +1 f) –3 g) +8 h) +3
1.3. Di el valor absoluto de estos números.
a) –3 b) +6 c) +4 d) –8
a) 3 b) 6 c) 4 d) 8
1.4. Completa los espacios en blanco con los signos < o >:
a) +6 … –3 b) –4 … +2
c) 0 … –5 d) –3 … +2
e) –7 … +5 f) +3 … –6
a) +6 > –3 b) –4 < +2
c) 0 > –5 d) –3 < +2
e) –7 < +5 f) +3 > –6
1.5. Los números opuestos tienen el mismo valor absoluto. ¿Por qué?
Porque el valor absoluto de un número es la distancia entre dicho número y el origen, es decir, el 0, y los números opuestos distan lo mismo del origen.
1.6. El opuesto de cero no tiene sentido. ¿Por qué?
El número cero no es ni positivo ni negativo, por lo que no tiene sentido calcular su opuesto, ya que no es posible cambiar de signo a un número que carece de signo.
1.7. Observa los saldos de algunos clientes de una sucursal bancaria:
Cliente Saldo Juan Domingo 3.850 € Carlos García –2.677 € Carmen Garriga –2.894 € Dolores Giménez –5.883 € Ernesto Sala 2.998 € Ester Sanjuan 3.295 € Cristina Olmos –3.573 € Ignacio Planas 3.253 € a) Ordena los saldos de mayor a menor.
b) Escribe el saldo de un cliente que tenga más dinero que estos y el de otro que tenga menos.
a) 3.850 > 3.295 > 3.253 > 2.998 > –2.677 > –2.894 > –3.573 > –5.883 b) Por ejemplo, 4.000 y –6.000, respectivamente.
Se puede elegir cualquier número mayor que 3.850 y cualquiera menor que –5.883, ya que estos son el máximo y el mínimo, respectivamente.
1.8. (TIC) Resuelve estas sumas.
a) 5 + (–3) b) –9 + 6
c) –3 + (–5) d) 12 + 6
a) 2 b) –3
c) –8 d) 18
1.9. (TIC) Resuelve estas restas.
a) 7 – (–2) b) –4 – 9 c) 3 – (–9) d) 8 – 2
a) 9 b) –13 c) 12 d) 6
1.10. (TIC) Simplifica los paréntesis y cambia los signos cuando sea necesario.
a) (+3) + (–7) b) (–4) – (+3)
c) (–5) – (–2) d) (+7) + (+6)
e) (–3) + (+8) f) (–5) – (–9)
a) –4 b) –7
c) –3 d) +13
e) 5 f) 4
1.11. (TIC) Resuelve estas operaciones.
a) (–4) + (–5) + (–3) + 8 + (–3) + 7 b) 7 + 4 – (–3) – 5 + (–4) + (–3) + 4 c) 8 + (–3) – 6 + 4 + 3 – (–7) + (–2) + 5 d) 5 + (–3) + 6 – (–4) + (–2) – (+5) – (–8)
a) 0 b) 6 c) 16 d) 13
1.12. Los movimientos de una cuenta bancaria son los siguientes.
1.IV.11 Saldo anterior 3.522 € 1.IV.11 Ingreso nómina +1.400 €
5.IV.11 Recibo luz –65 €
7.IV.11 Extracción dinero cajero –250 €
9.IV.11 Pago multa –50 €
14.IV.11 Ingreso cheque +650€
16.IV.11 Recibo teléfono móvil –45 €
¿Cuánto dinero había en la cuenta el 16 de abril de 2011?
3.522 + 1.400 – 65 – 250 – 50 + 650 – 45 = 5.162 €
1.13. (TIC) Resuelve estas multiplicaciones.
a) 3 · (–5) b) –6 · 8
c) –4 · (–2) d) –15 · 6
e) 6 · (–3) f) (–4) · (–7)
a) –15 b) –48
c) 8 d) –90
e) –18 f) 28
1.14. (TIC) Indica el signo del resultado sin realizar las operaciones.
a) (+3) · (–3) · (–3) b) (–3) · (+3) · (+3) · (+3)
c) (–3) · (+3) · (+3) · (–3) d) (–3) · (–3) · (+3) · (–3) · (–3) · (+3)
a) + b) –
c) + d) +
1.15. (TIC) Resuelve estas divisiones.
a) 12 : (–2) b) –42 : 6
c) –20 : (–5) d) 55 : 5
e) 60 : 1 f) –36 : –3
a) –6 b) –7
c) 4 d) 11
e) 60 f) 12
1.16. (TIC) Resuelve estas operaciones combinadas.
a) 3 + 5 · (–3) – 4 + 2 · (–6) – 8 b) 8 + (–9) – 3 · (–6) + (–7) · 2
c) –4 · 6 – 5 · (–8) + 3 – 6 · (–4) + (–3) d) 9 – 6 · (–7) · 5 – 4 · 12 – (–3) + 4 a) 3 – 15 – 4 – 12 – 8 = –36 b) 8 – 9 + 18 – 14 = 3 c) –24 + 40 – 72 – 3 = –59 d) 9 + 210 + 48 + 3 + 4 = 274
1.17. (TIC) Resuelve estas operaciones combinadas.
a) 5 – (3 – 5) + 4 · [6 – (–3)] + 27 : (–3) b) 3 · (6 – 4) – 2 · [7 + (–8)] + 6 · (–4) c) 7 · (–6) + 12 : 4 + 4 · 8 – 3 · (7 – 4) a) 5 + 2 + 36 – 9 = 34
b) 6 + 2 – 24 = –16 c) –42 + 3 + 32 – 9 = –16
1.18. Actividad interactiva.
1.19. ¿Tiene sentido dividir 0 entre un número? ¿Y un número entre 0? Razónalo.
Sí tiene sentido dividir 0 entre un número no nulo, pues es completamente lógico repartir 0 unidades entre un número determinado de individuos; simplemente, a cada uno le corresponden 0 unidades.
Sin embargo, dividir entre 0 significa repartir cierta cantidad entre 0 individuos, por lo que la pregunta de a cuánto toca cada uno no tiene sentido.
1.20. En castellano, el término números naturales designa los números que usamos para contar: 1, 2, 3, 4, 5..., y el término números enteros se aplica al conjunto de los números positivos, negativos y 0. Ambos tipos expresan cantidades enteras.
En francés se usan términos diferentes. Los números naturales se denominan nombres entiers naturels, y los enteros, nombres entiers relatifs (números enteros relativos), o nombres relatifs.
Explica cuál es el significado de relativo aplicado a los números enteros.
Quiere decir que el hecho de considerarlos positivos o negativos depende de qué cantidad se tome de referencia, de origen.
1.21. El precio de cotización de un valor en Bolsa no ha tenido un buen día. Al empezar la sesión, el índice de un valor estaba en 1.347 puntos; después de tres bajadas consecutivas iguales se ha quedado en 1.287 puntos. ¿Cuánto ha bajado cada vez?
(1.287 – 1.347) : 3 = –20 20 puntos ha bajado cada vez.
ACTIVIDADES DE CONSOLIDACIÓN Y APLICACIÓN Números enteros
1.22. Recta numérica
Representa los siguientes números enteros en una recta numérica.
–1, 5, –3, 2, –4, 6, –8, 7, 1, –2, 4
1.23. Números opuestos
a) Escribe y representa los números opuestos a los representados en esta recta.
b) ¿Cuántos opuestos tiene un número?
c) Halla el número entero de valor absoluto 5 y opuesto a –5.
d) El opuesto de un número, ¿es siempre menor que dicho número?
e) Dos números distintos con el mismo signo, ¿pueden ser opuestos?
a) 7, 4, 0, –1, –3, –5 y –8, respectivamente.
b) Uno c) +5
d) No, solo es menor si calculamos el opuesto de un positivo.
e) No, los opuestos tienen siempre distinto signo.
1.24. Mayor
Indica cuál es el mayor número entero de cada par.
a) +3, +5 b) +6, –7 c) –9, –14
d) –2, –1 e) 0, +6 f) –18, +7
g) +9, +8 h) –4, –7 i) +4, –24
a) +5 b) +6 c) –9
d) –1 e) +6 f) +7
g) +9 h) –4 i) +4
1.25. Mayor o menor
Completa en tu cuaderno con el signo > o <, según convenga.
a) +2 … –4 b) +7 … –7
c) –10 … –12 d) –3 … 0
e) 0 … –5 f) –5 … +5
a) +2 > –4 b) +7 > –7
c) –10 > –12 d) –3 < 0
e) 0 > –5 f) –5 < +5
1.26. Ordenación
a) Ordena de mayor a menor estos números.
+6, –9, +4, +10, –22, +8, –3, –6
b) Ordena de menor a mayor estos números.
+7, –4, +6, –3, –8, +2, +12, 0, –4, +3 a) +10 > +8 > +6 > +4 > –3 > –6 > –9 > –22
b) –8 < –4 = –4 < –3 < 0 < +2 < +3 < +6 < +7 < +12
1.27. Identificación de números
Entre dos números enteros opuestos hay, incluyendo estos dos números, nueve números enteros.
a) ¿Qué números enteros son?
b) ¿Hay más de una solución?
c) Suprime el término “opuestos” del enunciado y responde a las preguntas de los dos apartados anteriores.
a) –4 y 4 b) No
c) Hay infinitas soluciones.
Algunas soluciones posibles son, por ejemplo, 1 y 9, 2 y 10, –1 y 7, etc..
Usos de los números enteros
1.28. Situaciones
Indica con qué número entero expresarías estas situaciones:
a) Arquímedes nació el año 287 antes de Cristo.
b) El termómetro marca 6 grados sobre cero.
c) El submarino está a 1.500 m bajo el nivel del mar.
d) Tengo una deuda de 500 €.
e) He ganado 600 €.
a) –287 b) +6 c) –1.500 d) –500 e) +600
1.29. Números enteros y situaciones
Escribe una situación para cada número entero.
a) +4 b) –3 c) +200 d) –30
a) El termómetro marca 4 grados sobre cero.
b) El buceador bajó a 3 metros de profundidad.
c) He ganado un premio de 200 €.
d) Mi factura de móvil asciende a 30 €.
1.30. Situaciones
Escribe para cada situación un número entero y después describe una situación que se represente con el número opuesto:
a) Subir cinco pisos en el ascensor.
b) Volar a 50 m sobre el nivel del mar.
c) Bajar a una cueva de 185 m de profundidad.
d) Correr 3 km hacia el este.
a) +5. Bajar cinco pisos en el ascensor.
b) +50. Sumergirse a 50 m bajo el nivel del mar.
c) –185. Subir una colina de 185 m de altura.
d) +3. Correr 3 km hacia el oeste.
1.31. Ascensores
a) ¿En cuál de estas botoneras se han utilizado números enteros?
b) ¿Cuántas plantas tiene cada edificio?
c) Dibuja la botonera del ascensor de un edificio de quince plantas con tres plantas subterráneas. ¿Cuántas plantas tendrá en total?
a) Aunque en la B no se han utilizado números negativos y en la A sí, podemos decir que se han utilizado números enteros en ambas botoneras, pues el conjunto de los números enteros está compuesto tanto por cantidades positivas como negativas, además del 0, que no es ni negativo ni positivo.
b) 7 y 9, respectivamente c) 15 + 3 + 1 = 19 plantas
1.32. El cero
Explica qué indica el cero en cada caso.
a) 0 m de altitud.
b) 0 € en la cuenta corriente.
c) 0 ºC de temperatura.
d) Planta 0 de un edificio.
a) Sin altura respecto al nivel del mar.
b) Sin dinero.
c) Punto de congelación del agua, origen de la escala de grados centígrados.
d) Sin altura, a nivel del suelo.
Suma y resta de números enteros
1.33. (TIC) Sumas y restas
Resuelve estas sumas y restas.
a) 4 + (–3) – (6 + 4) b) 4 + (–2) + 4 – (–6) c) 3 – (–5) – [8 + (–3)] d) –6 – (–5 + 8) – (–3)
a) –9 b) 12
c) 3 d) –6
1.34. (TIC) Término que falta Halla el término que falta.
a) (–3) + = +6 b) + 8 = +4 c) (–3) + = –2 d) 7 + = –10 e) (–5) – = –8 f) 9 – = –3
a) 9 b) –4
c) 1 d) –17
e) 3 f) 12
1.35. (TIC) Simplificación
Simplifica todos los paréntesis. Cambia los signos que sea necesario.
a) (–3) + (+5) – (+4) – (–3) b) (+5) – (+3) – (–7) + (–8) + (+4) c) (–8) + (–5) + (–6) – (–2) – (+6) d) (–4) – (+8) + (–3) – (+6) + (–9)
a) 1 b) 5
c) –23 d) –30
1.36. (TIC) Operaciones combinadas Halla el término que falta.
a) –3 + 4 – (5 – ) = 4 b) 6 + 3 – ( – 3) = 8 c) 4 – 3 + 8 – (3 + ) = –5 d) 3 – 2 – (5 – ) = –3
a) 8 b) 4
c) 11 d) 1
1.37. Ascensor
Un ascensor se encuentra en la planta 3. Indica en qué planta se encontrará en cada caso:
a) Baja tres plantas. b) Sube cuatro plantas.
c) Baja cinco plantas. d) Sube dos plantas.
a) 0 b) 7
c) –2 d) 5
Multiplicación y división de números enteros
1.38. (TIC) Multiplicaciones
Resuelve estas multiplicaciones.
a) 3 · (–3) · (–6) b) –3 · (–5) · (–1) · 5 c) 5 · 3 · (–6) · (–4) d) 3 · (–3) · (–5) · (–7)
a) 54 b) –75
c) 360 d) –315
1.39. (TIC) Término que falta en una multiplicación Busca el término que falta.
a) 3 · 5 · = –30 b) (–5) · 8 · = 120 c) (–6) · (–2) · = –60 d) (–5) · 5 · (–5) = 625
a) –2 b) –3
c) –5 d) 5
1.40. El 1 y el 0
Busca el número entero que falta.
a) –1 · = 1 b) 6 · = 0 c) · 8 = 8 d) –1 · = –1 e) 5 · = –5 f) · (–6) = 6
a) –1 b) 0 c) 1
d) 1 e) –1 f) –1
1.41. (TIC) Tabla
Copia en tu cuaderno y completa la tabla.
a b |a · b| Signo (a · b) a · b
3 –2 6 – –6
–4 –5
6 12 –
–3 + 15
4 – –20
a b |a · b| Signo (a · b) a · b
3 –2 6 – –6
–4 –5 20 + 20
6 –2 12 – –12
–3 –5 15 + 15
1.42. (TIC) Divisiones
Resuelve estas divisiones.
a) 15 : (–3) b) –80 : (–10) c) 96 : 12
d) –45 : (–5) e) 36 : (–12) f) –135 : 15
a) –5 b) 8 c) 8
d) 9 e) –3 f) –9
1.43. (TIC) Operaciones combinadas Resuelve estas operaciones.
a) 3 + (–5) · (4 – 3) b) 15 : 3 · 2 + 4 c) (–6) : (–2) + 5 · (–4) d) 5 · (3 – 1) : 2 + 6 e) 5 · 2 – 4 · (–6) + 3 f) –3 · 5 + 4 + 5
g) 12 + 3 · 5 – 4 · 3 h) 7 + 3 · (–2) + 6 · 8 + 2
a) –2 b) 14 c) –17 d) 11
e) 37 f) –6 g) 15 h) 51
1.44. Término que falta en una división
¿Cuál es el número que falta?
a) –6 : = 3 b) –12 : = –4
c) 25 : = –5 d) –18 : = –3
a) –2 b) 3
c) –5 d) 6
1.45. Tabla numérica
Copia en tu cuaderno y completa la tabla siguiente.
a b c a – b (a + b) · c a : (b – c) a + b – c
–5 2 –3
12 –4 –2 –3 –2 –1 40 10 –10
–1 5 6
a b c a – b (a + b) · c a : (b – c) a + b – c
–5 2 –3 –7 9 –1 0
12 –4 –2 16 –16 –6 10
–3 –2 –1 –1 5 3 –4
40 10 –10 30 –500 2 60
–1 5 6 –6 24 1 –2
1.46. (TIC) Término que falta dentro de un paréntesis Busca el término que falta.
a) – (4 + ) – 5 = 10 b) 12 – ( – 6) = 10 c) 16 + 2 · ( – 8) = 10 d) 16 – 2 · (8 – ) = 20 e) 7 · 3 – ( 4 + ) = –1 a) –19
b) 8 c) 5 d) 10 e) 18
1.47. (TIC) Correcto o incorrecto
Completa con los signos = o ≠ según corresponda.
a) 3 – 5 + 3 3 – 3 + 5 b) 3 + 5 + (–7) 5 + (–7) + 3 c) 5 · 2 · 6 2 · 6 · 5
d) 2 – 3 – 4 + 6 2 – 3 – 6 + 4 a) ≠
b) = c) = d) ≠
1.48. Descomposición en forma de producto
Expresa como producto de dos números enteros los números siguientes.
a) –6 b) 8 c) 12
d) –10 e) 3 f) –1
g) –16 h) 18 i) –14
a) –2 · 3 b) 4 · 2 c) –4 · (–3)
d) –5 · 2 e) 3 · 1 f) –1 · 1
g) –4 · 4 h) –9 · (–2) i) 7 · (–2)
1.49. Actividad interactiva.
RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS
1.50. Secuoyas
Las secuoyas gigantes de California, con unos 140 m de altura, nacieron hace unos 2.500 años. ¿En la época de qué matemático griego nacieron?
a) Tales de Mileto (630 a. C. - 546 a. C.) b) Pitágoras (580 a. C. - 497 a. C.) c) Euclides (430 a. C. - 360 a. C.) d) Arquímedes (287 a. C. - 212 a. C.) En la época de Pitágoras, aproximadamente.
1.51. Dieta
Pedro ha empezado una dieta para controlar su sobrepeso. En el primer mes ha perdido 3 kg, en el segundo ha aumentado 1 kg, y en el tercero ha perdido 2 kg. ¿Cuál ha sido la variación de su peso en los últimos tres meses?
–3 + 1 – 2 = – 4 kg. Ha perdido 4 kg en total.
1.52. Cotización en Bolsa
El precio de cotización de un valor en Bolsa ha bajado bastante en un solo día. Al empezar la sesión, el índice estaba en 358 puntos, y tras dos bajadas iguales y una subida posterior de 4 puntos se ha quedado en 286 puntos. ¿Cuántos puntos ha bajado cada vez?
286 – 4 – 358 = –76, luego cada bajada ha sido de 38 puntos.
1.53. Pinos de Bristlecone
Los árboles más antiguos que existen en la actualidad, los denominados pinos de Bristlecone, en California, tienen unos 4.700 años de vida. ¿En qué año nacieron, aproximadamente?
2.011 – 4.700 = –2.689. Nacieron sobre el 2700 a. C.
1.54. Grandes desniveles
La fosa marina de Mindanao (Filipinas) se encuentra a –11.500 m, y la de Puerto Rico, a –8.200 m. La cumbre del Everest llega hasta 8.848 m.
a) Calcula la diferencia entre ambas fosas.
b) Halla el desnivel entre la fosa de Mindanao y la cumbre del Everest.
a) –8.200 – (–11.500) = 3.300 m b) 8.848 – (–11.500) = 20.348 m
1.55. Oscilaciones térmicas
Un día de invierno, la temperatura más alta de una localidad fue de 9 ºC, y la variación térmica que se produjo en aquel día fue de 10 ºC.
a) ¿Cuál fue la temperatura mínima?
b) ¿En algún momento del día la temperatura pudo ser de –3 ºC? ¿Y de 0 ºC? ¿Por qué?
a) –1 ºC
b) No, porque –3 < –1. Sí, porque 0 > –1.
El sistema de numeración romano
Las letras que se utilizan y sus valores correspondientes son:
I = 1 V = 5 X = 10 L = 50 C = 100 D = 500 M = 1.000 Se aplican las siguientes reglas:
– Se pueden repetir como máximo 3 letras.
– Las cifras se ordenan de mayor a menor.
– Como excepción a la regla anterior, cuando las cifras I, X y C se sitúan a la izquierda de otra cifra mayor, restan su valor a dicha cifra.
IV = 4 XL = 40 CD = 400
– Una barra sobre una letra multiplica su valor por 1.000.
V = 5.000 L = 50.0000
PON A PRUEBA TUS COMPETENCIAS
1.56. Los sistemas de numeración
El sistema de numeración romana es aditivo, mientras que el sistema de numeración decimal es posicional.
1. ¿Cuáles son las propiedades de un sistema de numeración aditivo? ¿Y las de un sistema de numeración posicional?
En el aditivo, el número se obtiene sumando las cantidades que representan sus cifras, y en el posicional, cada cifra tiene un valor distinto dependiendo de su lugar.
2. En un sistema de numeración aditivo, ¿tiene sentido que exista una cifra específica para el cero? Razona la respuesta.
No, porque no aporta ningún valor.
3. El cuadro muestra las principales características del sistema de numeración romana.
Escribe estos números en el sistema de numeración decimal. Indica en cada caso cuántos ceros aparecen.
a) LCCC b) CDVI c) MMMCLVIII
d) VICCIX e) MMIX f) CCCLXXXIV
a) 350 (un cero) b) 406 (un cero) c) 3.158
d) No es posible. e) 2.009 (dos ceros) f) 384
4. ¿Cuál es el número mayor que se puede escribir en numeración romana con estos símbolos?
Usando una sola barra, un millón, M , pero podríamos usar más barras para multiplicar por 1.000 sucesivamente y obtener números tan grandes como se desee.
5. Escribe en notación romana las cantidades de 1 a 100.
a) Calcula la media de cifras que se utilizan para expresar estas cantidades en el sistema de numeración decimal y en el sistema de numeración romana.
b) Razona cuál de los dos sistemas crees que es más práctico.
I, II, III, IV, V, VI, VII, VIII, IX, X, XI, XII, XIII, XIV, XV, XVI, XVII, XVIII, XIX, XX, XXI, XXII, XXIII, XXIV, XXV, XXVI, XXVII, XXVIII, XXIX, XXX, XXXI, XXXII, XXXIII, XXXIV, XXXV, XXXVI, XXXVII, XXXVIII, XXXIX, XL, XLI, XLII, XLIII, XLIV, XLV, XLVI, XLVII, XLVIII, IL, L, LI, LII, LIII, LIV, LV, LVI, LVII, LVIII, LIX, LX, LXI, LXII, LXIII, LXIV, LXV, LXVI, LXVII, LXVIII, LXIX, LXX, LXXI, LXXII, LXXIII, LXXIV,
a) La media de cifras en el sistema romano es 3,96, y en el decimal, 1,92.
b) El decimal, pues, en general, usa menos cifras.
1.57. Diagrama cartesiano
1. Observa estos diagramas:
a) Explica cómo están graduados los ejes.
b) En el diagrama A, las coordenadas se dan siempre en el mismo orden: primero la horizontal y después la vertical.
Aplica esta convención para indicar la posición de los puntos en el diagrama B.
a) Están graduados de una en una unidad, solo números naturales.
b) De izquierda a derecha, (1, 1), (2, 4), (4, 6), (5, 2) y (6, 4).
2. Observa este diagrama.
a) ¿Con qué tipo de números están graduados los ejes: naturales o enteros?
b) Indica las coordenadas de los puntos señalados.
c) Dibuja unos ejes cartesianos y señala estos puntos:
A = (3, 5) B = (–4, 3) C = (2, –5)
D = (–2, –4) E = (3, –5) F = (6, 2)
d) ¿Cuántos cuadrantes se distinguen graduando cada eje con los números enteros (positivos y negativos)? ¿Y si graduáramos el eje de las abscisas con números positivos y negativos, y el eje de las ordenadas con números positivos?
Represéntalo.
a) Enteros
b) De izquierda a derecha y de arriba abajo, (–7, 4), (–7, –3), (–5, 1), (–4, –2), (–4, –5), (–3, 4), (2, 2), (3, 5), (4, –4), (5, 4), (6, 1), (6, –5) y (7, –2).
c) d) 4 cuadrantes y 2 cuadrantes, respectivamente.
1.58. Los asientos de un teatro
En un teatro, los asientos están dispuestos así:
1. ¿Qué criterio se usa para asignar los números a los asientos?
Se numera cada una de las filas con números naturales comenzando por la izquierda, y las filas, de abajo arriba.
2. Para indicar la posición de los asientos hay que hacer referencia a la fila: asiento 6, fila 4.
¿Cómo renumerarías los asientos para poder indicar su posición sin necesidad de indicar la fila?
Empleando dos dígitos, uno para la fila y otro para la columna, o equivalentemente, numerándolos todos, comenzando cada fila una decena distinta.
3. Los asientos se pueden numerar utilizando números con signo, de forma que se respete la distinción entre cada uno de los bloques.
¿Cómo lo harías? ¿Crees que es útil usar el cero? Razona tu respuesta.
Negativos a la izquierda y positivos a la derecha, comenzando desde el pasillo. El 0 no se emplearía, representaría el pasillo.
1.59. Plano de calles Observa el plano.
1. Nos piden que representemos las calles verticales con números, y que empecemos la numeración desde el lado del mar. ¿Qué números usarás? ¿Tiene sentido utilizar el cero?
Los naturales. El cero representaría el mar, así que no se emplearía.
2. Quieren que el origen de numeración de las calles verticales no sea el mar, sino la calle Mayor. Sabiendo que hay que asignar un número a todas las calles, ¿qué números utilizarás:
naturales o enteros? ¿Tiene sentido utilizar el cero?
Enteros. Sí tiene sentido utilizar el 0, representaría la calle Mayor.
1.60. El tiempo cronológico
1. Para expresar los años se utiliza la notación siguiente: si son anteriores al nacimiento de Jesucristo, decimos que son antes de Cristo (a. C.), y si son posteriores, decimos que son después de Cristo (d. C.). Expresa las fechas siguientes utilizando números con signo.
a) Año 245 a. C. b) Año 435 a. C. c) Año 365 d. C. d) Año 27 d. C.
a) –245 b) –435 c) 365 d) 27
2. El emperador romano César Augusto nació el día 23 de septiembre del año 63 a. C. y murió el día 19 de agosto del año 14 d. C. Calcula cuánto tiempo vivió (años, meses y días). Ten en cuenta que no hay año cero.
Del 23 de septiembre del año 63 a. C. al 19 de octubre del año 63 a. C. van 26 días.
Del 19 de octubre del año 63 a. C. al 19 de agosto del año 62 a. C. van 10 meses.
Del 19 de agosto del año 62 a. C. al 19 de agosto del año 14 d. C. van 75 años.
En total vivió 75 años, 10 meses y 26 días.
3. Imagina que consideramos el año en que nació Jesús como año 0.
a) ¿Cuánto tiempo habrá transcurrido entre el nacimiento de Jesús y el día 15 de junio del año –2? ¿Y hasta el día 15 de junio del año 2?
b) ¿Crees que todo serían ventajas si consideráramos que existe un año cero?
a) 1 año, 6 meses y 15 días, y 2 años, 6 meses y 15 días, respectivamente. (Suponiendo el nacimiento el 1 de enero).
b) Todos los recuentos serían más simples si existiera año 0.
4. En el año 1992 se celebraron los Juegos Olímpicos en Barcelona. Podemos considerar ese año como año origen.
a) ¿Qué valor darás al año de los Juegos Olímpicos: el de año 0 o el de año 1?
b) Expresa las fechas siguientes de acuerdo con esta fecha. Utiliza números con signo.
1969: Llegada a la Luna.
1989. Caída del muro de Berlín.
2004. Se concede el Premio Nobel de la Paz a Wangari Maathai.
2010. España gana el Mundial de Fútbol.
a) 0
b) –23, –3, 12, 18, respectivamente.
Escalas de temperatura
Las escalas de temperatura más importantes son la Kelvin, la Celsius o centígrada y la Fahrenheit.
– Escala Celsius: Se asigna el valor de 0 ºC a la temperatura de fusión del agua, y el de 100 ºC a la temperatura de ebullición.
– Escala Fahrenheit: Es una escala ideada para la meteorología. Se asigna el valor de 32 ºF a la temperatura de fusión del agua y 212 ºF a la temperatura de ebullición.
– Escala Kelvin: La unidad de temperatura, el kelvin, tiene el mismo valor que el grado centígrado. El origen de temperatura es el denominado 0 absoluto, la temperatura mínima alcanzable, y que corresponde a –273 ºC.
Correspondencia entre la escala centígrada y la Fahrenheit
Correspondencia entre la escala Celsius y la Kelvin 1.61. Temperaturas y escalas
1. La temperatura mínima que se puede alcanzar es la del cero absoluto, que equivale a –273 ºC. Esta temperatura es la que sirve de origen a la escala Kelvin. La escala Kelvin no utiliza números negativos. ¿Por qué?
Porque es imposible alcanzarlos.
2. El kelvin (grado en la escala Kelvin) tiene el mismo valor que el grado Celsius.
a) Expresa estas medidas en kelvins.
66 ºC –45 ºC 135 ºC
b) Expresa estas medidas en grados Celsius.
74 K 315 K 212 K
a) 339 K, 228 K, 408 K b) –199 ºC, 42 ºC, –61 ºC
3. La fórmula que permite pasar de grados Celsius (ºC) a grados Fahrenheit (ºF) es:
ºF = 1,8 · ºC + 32
y la fórmula que permite pasar de grados Fahrenheit a grados Celsius es:
ºC = ºF 32 1,8
−
Convierte, según el caso, los grados Celsius en grados Fahrenheit, o al revés.
a) 15 ºC b) 36 ºF c) 28 ºC
d) 16 ºC e) 96 ºF f) 150 ºF
g) –35 ºC h) –15 ºF i) 18 ºF
a) 59 b) 2,22 c) 82,4
4. A partir de las fórmulas anteriores, expresa en grados Fahrenheit estas temperaturas expresadas en kelvins.
a) 256 K b) 356 K c) 212 K d) 0 K
a) –17 ºC = 1,4 ºF b) 83 ºC = 181,4 ºF c) –61 ºC = –77,8 ºF d) –273 ºC = –459,4 ºF
5. La tabla muestra las temperaturas de fusión y ebullición de algunas sustancias.
Sustancia Punto de fusión (ºC) Punto de ebullición (ºC)
Nitrógeno –210 –196
Oxígeno –218 –183
Agua 0 100
Alcohol –114 87
Mercurio –39 357
Glicerina –40 290
a) Expresa las temperaturas de la tabla en grados Fahrenheit y en kelvins.
b) Halla, para cada sustancia, el número de grados a que se encuentra en estado líquido.
c) Fíjate en las respuestas anteriores. ¿Has utilizado números enteros o números naturales?
a)
b)
c) Naturales
6. (TIC) Investiga en qué países emplean habitualmente la escala Fahrenheit.
Por lo general, en países de habla inglesa.
Sustancia
Punto de fusión
(ºC)
Punto de fusión
(ºF)
Punto de fusión
(K)
Punto de ebullición
(ºC)
Punto de ebullición
(ºF)
Punto de ebullición
(K)
Nitrógeno –210 –346 63 –196 –320,8 77
Oxígeno –218 –360,4 55 –183 –297,4 90
Agua 0 32 273 100 212 373
Alcohol –114 –173,2 159 87 188,6 360
Mercurio –39 –38,2 234 357 674,6 630
Glicerina –40 –40 233 290 554 563
Sustancia
Intervalo de grados en forma líquida
(ºC)
Intervalo de grados en forma líquida
(ºF)
Intervalo de grados en forma líquida
(K)
Nitrógeno 14 25,2 14
Oxígeno 35 63 35
Agua 100 180 100
Alcohol 201 361,8 201
Mercurio 396 712,8 396
Glicerina 330 594 330
AUTOEVALUACIÓN
1.1. Indica el número opuesto y el valor absoluto de los siguientes.
a) –5 b) +16 c) –13 d) +9
a) +5 y 5, resp. b) –16 y 16, resp. c) +13 y 13, resp. d) –9 y 9, resp.
1.2. El valor absoluto de un número entero es 3. Para saber de qué número se trata, ¿qué otra información hay que proporcionar?
Su signo.
1.3. Calcula estas sumas y restas.
a) (+5) + (–3) – (–8) b) (–9) + (–2) – (+5) c) (+2) – (–7) + (–8)
a) 10 b) –16 c) 1
1.4. Resuelve estos productos y divisiones.
a) 5 · (–3) b) (–6) · (–4) c) 3 · (–5)
d) (–72) : (–6) e) (–27) : 3 f) 15 : (–5)
a) –15 b) 24 c) –15
d) 12 e) –9 f) –3
1.5. Elimina todos los paréntesis y cambia los signos que sea necesario.
a) (+3) + (–6) – (+9) – (+5) – (–9) + (+8) b) (–4) – (–3) + (+6) – (–4) + (+3) – (–5) a) 3 – 6 – 9 – 5 + 9 + 8 = 0 b) –4 + 3 + 6 + 4 + 3 + 5 = 17
1.6. Resuelve estas operaciones.
a) –4 · 5 + 3 – (–6 · 4 + 2) – 8 · (3 – 7) b) 5 + 6 · (8 – 4) – 12 : 4 · 3 – (–6) · 9 c) (8 + 9) · 5 – 3 – (–9 + 24 : 3) – 5 · (–6)
a) –20 + 3 + 22 + 32 = 37 b) 5 + 24 – 9 + 54 = 74 c) 85 – 3 + 1 + 30 = 113
1.7. La temperatura sube 2 ºC cada hora. ¿Qué temperatura tendremos cuando pasen 5 horas, si la temperatura actual es de –3 ºC?
–3 + 2 · 5 = 7 ºC
1.8. Este es el diagrama de carreteras entre tres poblaciones.
a) ¿Cuántos kilómetros hay que recorrer para ir de Arriate a Ronda?
b) Isabel se encuentra en el kilómetro 20. ¿Cuántos kilómetros recorrerá para llegar a Arriate?
a) 37 + 65 = 102 km b) 20 + 37 = 57 km
1.9. Juan ingresa cada mes 240 €. Teniendo en cuenta que el 31 de enero tenía un saldo negativo de 450 €, ¿cuánto dinero tendrá el 30 de junio?
–450 + 5 · 240 = 750 €
APRENDE A PENSAR... CON MATEMÁTICAS
Juego de la espiral
• Número de jugadores: de 2 a 4
• Material necesario:
– Un dado azul (para los números positivos).
– Un dado rojo (para los números negativos).
– Una moneda (a cada cara se le asignará un signo).
– Una ficha para cada jugador.
• Reglas del juego: se parte de la casilla 0. Cada jugador en su turno tira la moneda y uno de los dados. Multiplica el valor del dado por el signo que indica la moneda, suma el resultado obtenido al de la casilla donde estaba su ficha y avanza o retrocede hasta el número correspondiente. Si cae en la casilla con los signos + o –, se suman o se restan cinco unidades al movimiento. Gana el jugador que primero logre salir de la espiral por el 24 o el –24.
Del 1 al 8
Se trata de colocar los ocho primeros números naturales de forma que los números situados en los círculos sean la diferencia entre los números de los cuadrados que tienen a su lado.
Proyecto editorial: Equipo de Educación Secundaria del Grupo SM
Autoría: Ana Mª Álvarez, Marina Díaz, Mariano García, Francisco José Valencia, Miguel Ángel Ingelmo, Yolanda Zárate
Edición: Inés Ingerto, Arturo García, Eva Béjar Revisión contenidos: Manuela Coronado Corrección: Ricardo Ramírez
Ilustración: Modesto Arregui, R. Aranda, ÍDEM, José Manuel Pedrosa
Fotografía: Javier Calbet, Sonsoles Prada, María Pía Hidalgo, Fidel Puerta, Sergio Cuesta, Yolanda Álvarez, José Manuel Navia/Archivo SM; Olimpia Torres; Norbert Tomás; Pedro Carrión; Luis Castelo: Carlos Roca; Javier Jaime; Montse Fontich; Almudena Esteban; José Vicente Resino;
Peter Rey; Olivier Boé; Baldocchi/SIPA-PRESS; G. K. & Vikki Hart, Andrew Ward, Doug Menuez, Jeremy Woodhouse, Jim Wethje, Sue Davies,Philippe Colombi,PHOTOLINK/PHOTODISC; H.
Donnezan – RAPHO – EYEDEA/CONTACTO; Jack Schiffer, Francesco Ridolfi, Daniela Spryropoulou, Wessel Cirkel, Sebastian Feszler, ICEFRONT/DREAMSTIME.COM; ZEFA – CORBIS / CORDON PRESS; JOHN FOXX IMAGES; EFE; ORONOZ; PRISMA; CMCD; DIGITAL VISION; SPAINSTOCK;
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