UNIDAD 1
Profesor: Felipe Muñoz B.
Correo: f.muñ[email protected] Educadora: Alejandra Muñoz Correo: [email protected]
Esta guía tiene el propósito de
segundo medio: números irracionales. Se verán los siguientes temas
1. Definición número irracional
2. ¿Cómo aproximar un número irracional?
3. Aproximación de raíces por acotación
Objetivo de Aprendizaje:
OA1:Realiza cálculos y estimaciones que involucren operaciones con números reales:
Utilizando la descomposición de raíces y las propiedades de raíces
Combinando raíces con números racionales
Resolviendo problemas que involucren estas operaciones en contextos diversos.
Indicadores de Evaluación:
1. Reconocen números cuyo desarrollo decimal es infinito y no tienen periodo.
2. Estiman y aproximan números racionales Contenidos:
Números Irracionales
GUÍANÚMERO 1
UNIDAD 1: NÚMEROS IRRACIONALES II Medio
MATEMÁTICA
f.muñ[email protected] Muñoz colegiogea.cl
Introducción:
Esta guía tiene el propósito de introducir la unidad 1 correspondiente a segundo medio: números irracionales. Se verán los siguientes temas
número irracional
¿Cómo aproximar un número irracional?
Aproximación de raíces por acotación
Objetivo de Aprendizaje:
Realiza cálculos y estimaciones que involucren operaciones con
Utilizando la descomposición de raíces y las propiedades de Combinando raíces con números racionales
Resolviendo problemas que involucren estas operaciones en contextos diversos.
Indicadores de Evaluación:
Reconocen números cuyo desarrollo decimal es infinito y no tienen periodo.
Estiman y aproximan números racionales
acionales
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introducir la unidad 1 correspondiente a segundo medio: números irracionales. Se verán los siguientes temas
Realiza cálculos y estimaciones que involucren operaciones con
Utilizando la descomposición de raíces y las propiedades de
Resolviendo problemas que involucren estas operaciones en
Reconocen números cuyo desarrollo decimal es infinito y no
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Definiciones:
1. Número irracionales: un número racional es una expresión numérica decimal infinito en el cual, cumple la característica de que éste no puede ser expresado por una fracción, por lo tanto, no puede ser clasificado como periódico o semi- periódico.
Dentro de estos números se encuentran las letras numéricas como , , , así como también las raíces que no son exactas, como √, √ , …
Observación:a partir de toda la unidad 1, tendremos que aprender a operar con estos números, pero, dado que son números infinitos, tendremos que aproximarlos.
2. ¿Cómo aproximo un número decimal?
Bueno, sepa usted que para aproximar un número infinito tendremos 4 formas distintas:
*Recuerde las posiciones de los elementos de un número decimal, de momento solo debemos centrarnos en los nombres.
Utilizaremos para todos los ejemplos el número irracional
3,1415926535897 …. Y lo aproximaremos a la centésima(2 cifras significativas).
A. Aproximación por exceso:se busca el número, con las cifras decimales fijadas, inmediatamente mayor. En nuestro ejemplo, si deseamos aproximar por exceso dicho número sería aproximadamente 3,15.
4
,
B. Aproximación por defecto:se busca el número, con las cifras decimales fijadas, inmediatamente menor. En nuestro ejemplo, si deseamos aproximar por defecto dicho número sería aproximadamente 3,14.
,
C. Aproximación por truncamiento: corresponde a eliminar los demás números que no se desean ser aproximados. En nuestro caso sería 3,14.
,
Aproximación por truncamiento:Cuando redondeamos un número a una determinada cifra, observamos la cifra que está a su derecha:
- Si esta es mayor a 5 le sumamos 1 a la cifra anterior, es decir, a la que está a su izquierda.
- Si esta es menor que 5, la cifra anterior no se altera.
- Si esta es igual a 5 o mayor, entonces nos fijamos en la cifra anterior, si esta es número par, se deja la misma cifra, y si es número impar, se deja en la cifra par siguiente.
En nuestro caso, el número después de la segunda cifra significativa es 1, que al ser menor a 5, se debe aproximar por defecto, lo que obtendríamos π ≈ 3,14.
,
Observación: dado que los números irracionales no son exactos, a partir de ahora se utilizará el símbolo de aproximación (), de lo contrario el ejercicio está totalmente incorrecto.
3. Aproximación de raíces que no son exactas
Para poder aproximar raíces que no son exactas, se debe tener un conocimiento previo de raíces cuadradas exactas.
Una raíz cuadrada responde a la pregunta: ¿Qué número multiplicado por sí mismo da como resultado la cantidad que se encuentra dentro de la raíz?
Entonces decimos que
√ = , ! "#, ∗ = .
5 Más claro aún, especifiquemos con una tabla algunas raíces exactas.
Raíces Valor Múltiplo
√1 1 1*1
√4 4 2*2
√9 9 3*3
√16 16 4*4
√25 25 5*5
√36 36 6*6
√49 49 7*7
√64 64 8*8
√81 81 9*9
√100 100 10*10
No obstante, nosotros debemos calcular por aproximación raíces no exactas (aquellas que se encuentras entre 2 raíces exactas consecutivas).
Observe a través de este ejemplo:
Determine sin calculadora y con un decimal la raíz √77 Solución: como nosotros no sabemos cuánto es este valor, aplicamos el método de aproximación por acotación.
Si se percata bien, √77 se encuentra entre √64 como la raíz exacta menor más cercana, y √81 como la raízmás cercana siguiente, entonces podemos afirmar que:
√64 < √77 < √81, mejor aún, puede afirmar que: 8 < √77 < 9. Por análisis, podemos intuir que la raíz se encuentra entre 8 y 9. Ahora bien, como queremos aproximar con un decimal, entonces este valor puede encontrarse entre 8,1 hasta 8,9.
Si se encuentra dentro de estos valores, entonces asumimos que la mitad de este rango es 8,5. Esto nos servirá como orientación para aproximar. Por otro lado.
1.Tomando el valor de 64 debemos sumar 13 para llegar a 77 2. Tomando el 81, debemos sumar desde 77, 4 números.
En conclusión, observe que dicha raíz de 77, se encuentra más cerca de 81 que de 64. Por lo tanto, es probable que dicho decimal sea mayor a 8,5.
6 A partir de este análisis, se debe estimar dicho decimal multiplicando por sí mismo decimales mayores a 8,5.
Comencemos:
1. Utilizando 8,6
8,6 *8,6 =73,96 /debemos verificar si existe un decimal mayor que se aproxime más a 77/
2. Utilizando 8,7
8,7*8,7= 75,69 3. Utilizando 8,8
8,8*8,8= 77,44
*Nótese que para el producto entre sí mismo de 8,8 existe un excedente de 0,44. Cosa que no puede ocurrir porque deseamos acercarnos a 77 sin pasarnos.
Finalmente, su aproximación con un decimal de dicha raíz es: √77 ', (
Comentarios Finales: es importantísimo, vital, que los estudiantes presenten un dominio completo en operatoria de números naturales, enteros y racionales, visto en años anteriores, para facilitar la comprensión de operatoria en IR.
Ejercicios:
1. Dado los siguientes números decimales irracionales, aproxime de acuerdo a la cantidad de cifras significativas y tipos de aproximación pedida:
a. 12,3445676586899….. (3 cifras)(truncado) b. 1,0034567……….. (4 cifras)(redondeo) c. 0,0002323423567……..(6 cifras)(exceso) d. 1423,345123………(3 cifras)(defecto) e. 3,00013424334…………(2 cifras)(exceso) f. 4,400012010101345……(4 cifras) (redondeo)
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2. Aproxime las siguientes raíces irracionales con un decimal, utilizando el método de aproximación por acotación.
a. √
b. √'
c. √
d. √
e. √)*
f. √ *
g. √
h. √
En este espacio puedes desarrollar los ejercicios:
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