RECTAS SITUADAS EN EL PLANO

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(1)

8

Rectas en el plano

Rectas situadas en el plano. Recta situada en un plano que pasa por la LT. Recta que pasa por la LT. Rectas de máxima pendiente y máxima inclinación. Trazas de la recta.

TEMPORALIZACION: 3 horas.

RECTAS SITUADAS EN EL PLANO

R R

R2 R1

α1 α2

R R

α2 R1 R2

α1

R2

α2

α1 R1

α2 R2

R1 α1

R2

R1

α1

α2 α2

R1 R2

α1

R2

α2

α1

R1

α2 R2

R1

α1 Recta oblicua al plano Recta oblicua en un plano

proyectante horizontal Recta horizontal del plano Recta oblicua en un plano de perfil

R R

1

2

R1

R2

R1

R2 2

1

R2 R1

R1 R2

R2

R1

R

R2

R1

1

1

2

2

Recta horizontal en un plano

paralelo al pH Recta frontal en un plano

paralelo al pV Recta oblicua en un plano

paralelo a la LT

(2)

En la página anterior hemos visto algunos ejemplos de rectas situadas en cada uno de los pla- nos. Fig.8.1

Recordamos que una recta está situada en un plano cuando las trazas de la recta están situadas sobre las trazas del plano.

Si se quisiera situar un punto en un plano, bastaría situar primeramente una recta cualquiera R1- R2 en él y luego tomar un punto cualquiera P1-P2 sobre ella.

Recta situada en un plano que pasa por la LT. Fig.8.2

Para visualizar mejor las proyecciones de una recta situada en un plano que pasa por la LT de- bemos auxiliarnos del plano de perfil. En la representación espacial vemos que el plano que pasa por la LT tiene su traza correspondiente sobre el de perfil. Tomamos dos puntos cualesquiera de dicha recta y llevamos sus proyecciones A3 y B3 sobre dicha traza. Giramos el plano de perfil sobre el vertical de proyección; éste girará con todos sus puntos, de forma que al contactar sobre el pV quedará determinada la traza del plano que pasa por la LT, así como los puntos A y B por donde pasará la recta. Estos puntos nos determinarán su cota con sólo medir la distancia a la LT.

El alejamiento de los puntos quedará determinado por la distancia del punto a la traza del plano de perfil.

Pasos para hallar la proyección de una recta situada en un plano que pasa por la LT.

Supongamos dados el punto M que define el plano y la proyección horizontal de dicha recta.

1.- Trazamos por el origen la traza de un plano de perfil.

2.- Colocamos sobre dicha traza la cota y el alejamiento del punto que determina el plano que B

A2

M B0

M2 M0

M1 A1

B2 A3 A

B1 B3

A0 B0

A2 M0

A0

B2

A1

B1 M2

M1

(3)

pasa por la LT (proyecciones M1 y M2 del punto M).

3.- Con centro en el punto origen y radio O-M1 trazamos un arco de circunferencia que corte a la LT. Desde este punto de corte levantamos una perpendicular.

4.- Trazamos por la proyección vertical M2 una paralela a la LT hasta que se corte con la per- pendicular levantada en el paso 3, lo que determinará el punto M. La unión del punto origen y el punto M, así hallado, será la traza del plano que pasa por la LT en el vertical de proyección.

5.- Proyectamos los puntos A1 y B1 de la recta sobre el plano de perfil para obtener A3-B3.

6.- Con centro en el punto origen y radio hasta las proyecciones A3 y B3 trazamos arcos que cortarán a la LT. Por estos puntos levantamos perpendiculares a la LT hasta que interseccionen la traza del plano que pasa por la LT y hallada en el paso 4. Obtendremos los puntos (A) y (B).

7.- Por los puntos (A) y (B) llevamos rectas paralelas a la LT, indefinidas.

8.- Por las proyecciones A1 y B1 dibujamos perpendiculares a la LT que cortarán a las paralelas a la LT trazadas en el paso anterior. Estas perpendiculares determinarán las proyecciones A2 y B2 de la recta y por ende su proyección vertical.

Si nos dieran la proyección vertical de la recta, hallaríamos la proyección horizontal pero desa- rrollando el camino inverso al explicado, a partir del paso 5.

Recta que pasa por la LT. Fig.8.3

Sus dos trazas, horizontal y vertical, están confundidas en un mismo punto de la LT. Por tanto las dos proyecciones concurren en un punto de la LT.

Las rectas situadas en el primer bisector pueden cortar o no a la LT. En el primer caso las dos proyecciones son simétricas y coinciden en un punto. En el 2º caso, si la recta además es para-

Recta situada en el primer bisector Recta que pasa por la LT

R

α R2

R1

R2

R1 VR HR

α R2

R1

R2

R1

(4)

lela a la LT, ambas proyecciones son paralelas a la LT y equidistan de ella.

Recta de máxima pendiente de un plano. Fig.8.4

Llamamos recta de máxima pendiente de un plano α, respecto de otro π a la recta del plano α que forma un mayor ángulo respecto del plano π, o mejor, recta de máxima pendiente de un plano α respecto de otro π es la perpendicular respecto a la intersección con el otro π (el plano π puede ser el horizontal o el vertical de proyección).

Pueden ser dos: la del plano horizontal denominada simplemente recta de máxima pendiente (l.m.p.) y la del plano vertical llamada recta de máxima inclinación (l.m.i.).

En la l.m.p., la proyección horizontal de la recta es perpendicular a la traza horizontal del plano α, mientras que en la l.m.i. la proyección vertical de la recta es perpendicular a la traza vertical del plano.

Recta de maxima pendiente

Recta de maxima inclinacion

R2

α2

α1 R2

R1

α2

α1 R1

(5)

TRAZAS DE LA RECTA

Se da este nombre a los puntos de intersección de la recta con los planos horizontal y vertical, y con los bisectores.

Trazas de una recta oblicua al pH y oblicua al pV. Fig.8.5 Caso general.

a) Para obtener la traza horizontal de una recta prolongamos su proyección vertical hasta la LT, y desde este punto trazamos una perpendicular a dicha LT que corte a la prolongación de la proyección horizontal de la recta. El punto de intersección de la perpendicular a la LT con la prolongación de la proyección horizontal de la recta será la traza horizontal HR.

b) Para obtener la traza vertical de una recta prolongamos su proyección horizontal hasta la LT, y desde este punto trazamos una perpendicular a dicha LT que corte a la prolongación de la proyección vertical de la recta. El punto de intersección de la perpendicular a la LT con la prolon- gación de la proyección vertical será la traza vertical VR.

A2 A

A1 B

HRB1R1 R R2 B2

HR

A1 B1 R1 VR

A2 R2 B2

VR

(6)

Trazas de una recta paralela al pH y oblicua al pV. Fig.8.6

Al ser la recta paralela al pH, en el dibujo sólo tiene traza vertical. La traza horizontal se encuen- tra en el infinito.

Trazas de una recta oblicua al pH y paralela al pV. Fig.8.7

En el dibujo la recta sólo presenta traza horizontal. La traza vertical está en el infinito puesto que una recta paralela a un plano se corta con éste en el infinito.

Trazas de una recta paralela a los planos de proyección (o también, recta paralela a la LT).

Fig.8.8

Es a la vez recta horizontal y frontal del plano. Las trazas se encuentran en el infinito.

R A B2 R2 A2

B

B1R1A1

VR B2 R2 A2 VR

B1 A1 R1

R

A B

B2 A2 R2

HR B1

A1 R1

HR B1

A1 R1

B2 A2 R2

B2 A2 R2

A

B2 A2 R2

R B

B1 A1 R1

B1 A1 R1

(7)

Trazas de una recta situada en el pV, oblicua al pH. Fig.8.9 La traza vertical coincide con la proyección vertical de la recta.

Trazas de una recta situada en el pH y oblicua al pV. Fig.8.10 La traza horizontal de la recta coincide con su proyección horizontal R1.

Trazas de una recta situada en el pV, paralela al pH. Fig.8.11

 

B2

A2

R2

B1 A1 R1

A

R B

HR

HR A1 B1

R1 R2 A2

B2

 

B2 A2 R2 B2

R1

A R

VR

A1

B B1

A2 R2 R1 A1

B1 VR

  

B2

A2 R2

B1 A1

R1

A R B A2 R2 B2

B1 A1

R1

(8)

Trazas de una recta situada en el pH y paralela al pV. Fig. 8.12

Al estar contenida la recta en el pH, la traza horizontal de la recta coincide con su proyección R1 mientras que la traza vertical se encuentra en el infinito.

Trazas de una recta perpendicular al pH y paralela al pV. Fig.8.13

Trazas de una recta perpendicular al pV y paralela al pH. Fig.8.14

 

R1

A A1 R B B1

A2 R2 B2 A2 R2 B2

R1

A1 B1

R1

A R

A1 B

B1 HR A2

R2 B2

A2 R2

B2

R1

A1 B1 HR

B2

 

A2 R2

R A VR B

R1 A1 B1

B2

 

A2 R2 VR

R1 B1

A1

(9)

Trazas de una recta situada en el pV, perpendicular al pH. Fig.8.15

Trazas de una recta situada en el pH, perpendicular al pV. Fig.8.16

Trazas de la recta de perfil. Fig.8.17

En la representación tridimensional del dibujo, a la izquierda, se aprecia como para localizar las trazas de la recta de perfil debemos girar el plano que la contiene hasta que coincida con el pV.

Por ello, para hallar en diédrico las trazas de una recta de perfil realizamos este mismo proceso de forma que giramos las proyecciones horizontales de la recta sobre la LT, tomando como cen- tro el punto de intersección de la recta que une las proyecciones con la línea de tierra. Una vez

 

 R

1

A

1

B

1

H

R

A

B R A

2

R

2

B

2

 R

1

A

1

B

1

H

R

A

2

R

2

B

2

B2

 

A2 R2 VR

A A1

R1

R B B1

B2

 

A2 R2 VR

A1 R1 B1

(B)

(A) (R)

pP

pV A2

R A

B HR

HR

A1 B1 R1 B2

R2

VR

R1

HR VR A2

B2

R2

(B) (A)

(R)

A1 B1

R1

(10)

giradas las proyecciones horizontales de los puntos extremos de la recta, levantamos perpen- diculares. Desde las proyecciones verticales de la recta de perfil, llevamos paralelas, por estos puntos, a la LT hasta que corten a las perpendiculares trazadas desde ella. Los puntos de corte de paralelas y perpendiculares serán los puntos de paso de la recta de perfil. Prolongando esta recta hasta la LT, obtendremos la traza horizontal de la recta. Para conseguir la representación diédrica de esta traza giraremos nuevamente este punto hasta que corte a la recta que une las proyecciones.

Para hallar la traza vertical, prolongamos la recta R hasta que corte a la recta que une las pro- yecciones A2 y B2.

Trazas de una recta con los bisectores. Fig.8.18

Para hallar las trazas de una recta con el primer bisector basta hallar la recta simétrica con res- pecto a la LT, de una cualquiera de las proyecciones. Veremos entonces que la cota y el aleja- miento son iguales.

Para hallar las trazas de una recta con el 2º bisector basta prolongar una de las proyecciones de la recta hasta que se corte con la otra proyección.

Hallar las trazas de una recta oblicua. Caso particular. Fig.8.19

Para hallar las trazas de una recta oblicua, como la de la figura, se deben seguir puntualmente los pasos descritos en el caso general de la Figura 8.5, prolongando las proyecciones de la recta hasta la LT.

Prolongamos la proyección vertical de la recta hasta la LT. Por la LT trazamos una perpendicular

I Bisector II Bisector

α

α

A2

B2

A1

B1 HR

VR I2

I1

B2 R2

R1

C2

A1 B1 R1 C1 R2

A2

(11)

a ésta. Donde la perpendicular corta a la prolongación de la proyección horizontal de la recta tendremos la traza horizontal de la recta, HR.

La traza vertical se encuentra en el punto de contacto de la recta con el plano de pro- yección vertical, es decir en aquel punto de la recta cuyo alejamiento es cero.

HR VR

(12)

EJERCICIOS PROPUESTOS

1.- Dado un plano oblicuo P, dibujar en él: 1) una horizontal del plano, 2) un punto A que perte- nezca al plano, 3) una recta de máxima inclinación y que pase por el punto A.

Datos: traza horizontal de P= 30º traza vertical de P= 60º

2.- En un plano proyectante vertical cuya traza oblicua forma con la LT un ángulo de 60º, situar una línea de máxima pendiente y en ella un punto de cota 8 mm.

3.- La recta R es de máxima pendiente de un plano α. Se pide determinar dicho plano.

4.- Dado un plano α y un punto A de él, de proyección A2 dada, trazar la recta máxima pendiente del plano que pasa por A.

5.- Dado el segmento AB contenido en un plano de perfil, dibujar las proyecciones de un segmen- to MN de 10 mm de longitud y que esté contenido y centrado en AB. (Selectividad setiembre 94)

α1

A2 α2

Ejercicio 4

A2 B2

A1 B1

Ejercicio 5

(13)

6.- Por un punto A(2, 2, 2'5) trazar una horizontal que corte a una recta oblicua R1-R2 cualquiera.

Especificar el punto de intersección. Medidas en cm.

7.- Dibujar las proyecciones de un tetraedro re- gular de arista AB apoyada en el plano horizontal y totalmente contenido en el primer cuadrante.

(Selectividad. Setiembre 1994)

8.- Averiguar si se cortan o no dos rectas dadas, una de perfil y otra cualquiera.

9.- Dibujar las trazas del plano determinado por las rectas R y S.

A2 B2

A1

B1

Ejercicio 7

S

2

S

1

V

R

H

R

R

2

R

1

Ejercicio 8

R

2

R

1

S

1

S

2

Ejercicio 9

(14)

EJERCICIOS RESUELTOS CAPITULO 7º

1.- Tómese un punto cualquiera O sobre la LT que servirá como punto origen de los desplazamientos la- terales.

Puesto que el vértice A pertenece al plano vertical de proyección su alejamiento necesariamente es cero (?=0).

El vértice B pertenece al plano ho- rizontal por lo que carece de cota (?=0).

El vértice C se encuentra en el eje OY y además, el lado BC al ser frontal tiene que ser paralelo al plano vertical por lo que, el alejamiento del punto C tiene que ser el mismo que el del punto B (?=5). Dado que el punto C se encuentra en el eje Y podemos decir que se encuentra en el plano horizontal de proyección y por tanto su cota es cero (?=0).

Uniendo las proyecciones horizontales y las verticales de los vértices así obtenidos conseguimos dibujar las proyecciones horizontal y vertical del triángulo.

2.- Dibújese la LT y en ella un punto cualquiera O, origen de los desplaza- mientos laterales.

Dibújense los puntos A y B definidos por sus coordenadas y que represen- tan la recta R.

Para hallar el punto de la recta R que

A1 C2O

7´5

5

5

4´5 Z

Y

A2

B2

B1 C1

Solución ejercicio 1

O 24

B2

I1 B1 A2 VR

R2

A1 R1

I2 HR

Solución ejercicio 2

(15)

tiene un alejamiento de 24 mm. basta con trazar una paralela a la LT a esta distancia de forma que corte a la proyección R1 en I1. Levantando la vertical por I1 obtendremos sobre R2 la proyec- ción vertical del punto de la recta R que tiene el alejamiento pedido.

Puesto que el punto A carece de alejamiento dicho punto coincide con la traza vertical de la recta R. Para hallar la traza horizontal de la recta R basta con seguir el caso general desarrollado en la Fig.8.5 y en concreto el caso particular de la Fig.8.9

Hay que recordar que la recta deja de ser vista a partir de la traza vertical VR

3.- Obsérvese en la zona superior izquierda de la figura la representación espacial de un punto cualquiera A del 4º cuadrante, com- prendido entre el vertical de proyección y el 2º bisector.

Trasladado al diédrico ambas proyecciones del punto deberán quedar por debajo de la

LT como corresponde a los puntos del 4º cuadrante, pero en este caso, necesariamente, el ale- jamiento es menor que la cota por lo que el resultado se presentará según la figura.

4.-

A1 A2 A

A1

A2

Solución ejercicio 3

A2B1C2D2

A1

A1

A2

B2

B2

B1

C1 C1

C2

D1

D1

D2

(16)

5.- Determínense el punto A y la recta BC dadas por sus coordenadas. Puesto que las rectas horizontales son aquellas que tienen la proyección vertical paralela al plano hori- zontal de proyección, trácese una recta pa- ralela a la LT y que pasando por A2 corte a la proyección vertical B2-C2 en P2.

Bájese una vertical por P2 para obtener P1.

A1-P1 será la proyección horizontal de la recta que pasa por el punto de corte P.

6.- Determínese la recta AB dada por sus coordenadas.

Dicha recta es una recta oblicua que atravie- sa el primer cuadrante.

Puesto que el punto de cota 3 ha de estar por encima del plano horizontal, el punto tie- ne cota positiva, por lo que el punto pedido también se encuentra en el primer cuadrante.

Para determinar el punto de cota 3 pedido, basta con trazar, a 3 cm, una paralela a la LT que corte a A2-B2 en P2.

7.- Basta con llevar la proyección horizontal sobre el plano de perfil y hallar un punto A que diste tres unidades de la LT, para poder dibujar la proyección vertical A2

8.- Trácese por un punto cualquiera un plano de perfil y determínese la traza del plano que pasa por la LT y definido por el punto M.

Determinado el plano hállese la 3ª proyección de cada uno de los puntos dados en él. Obtenidos

O

C1

C2

A2 B2

P1

A1

B1

P2

Solución ejercicio 5

O A2

B2

P1 A1

B1 P2

3

Solución ejercicio 6

3 cm

A1

A2

Solución ejercicio 7

(17)

éstos es fácil obtener las proyecciones horizontales de todos los vértices de la figura.

El sentido de la flechas indica el modo de obtención del punto M3 (necesario para determinar la traza del plano) y el de los vértices.

9.- Sabiendo que dos rectas determinan un plano es fácil deducir que la traza horizontal del pla- no será una línea que pase por las trazas

horizontales de las rectas y la traza verti- cal del plano unirá las trazas verticales de ambas rectas.

Para resolver el ejercicio basta con trazar por Hs, y desde la LT, una línea paralela a R1 puesto que HR se encuentra en el in-

finito, con lo que se obtendrá la traza horizontal del plano α1. Para obtener la traza vertical del plano α2, se hace pasar por VR una paralela a S2. Ambas trazas del plano se encuentran en la LT.

10.- Auxiliándonos de la vista de perfil, desde la cual los planos de proyección se ven como rectas, repre- sentamos el punto A del tercer diedro o cuadrante, de cota c y alejamiento a, así como el primer bisector. Por el punto A trazamos una recta perpendicular a él y so- bre ésta tomamos el punto B pedido, simétrico del A.

Girando el plano horizontal sobre el vertical, en torno a la LT, para hallar la representación diédri- ca, observamos que las proyecciones horizontales quedan por encima de ésta como correspon- de a la representación de puntos situados en el tercer cuadrante. Además la cota del punto B es de igual magnitud que el alejamiento de A y viceversa.

A2

E3

M3

B2

M2

M1

A3

A1

C2

D2

E2

F2 G2

G1 F1

C1

E1 D1

G3 B3

Solución ejercicio 8

S2

A1

S1

R1

R2

VR

Hs

a2

a1

Solución ejercicio 9

A2 A1

B2 A

B B1

A2 A1

B2 B1

Solución ejercicio 10

(18)

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